Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng
Skolår 4 elevers uppfattning av
likhets-tecknet och läroböckernas framställning
Grade 4 students’ understanding of the equal sign and its
presenta-tion in mathematics textbooks
Joanna Haddad
Gabriele Sponheimer
Lärarexamen 210hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2010-01-14
Examinator: Tine Wedege Handledare: Nanny Hartsmar
Sammanfattning
Syftet med denna studie var att undersöka skolår 4 elevers förståelse av likhetstecknet. Vi ville även studera hur symbolen presenteras i elevernas läroböcker och mot bakgrund av tidi-gare forskning diskutera hur detta kan påverka deras förståelse av begreppet. I studien använ-de vi oss av tre insamlingsmetoanvän-der: en kvantitativ unanvän-dersökning, kvalitativa intervjuer och en textanalys av läroböcker för skolår 3 och 4. Vår undersökning visar att även om eleverna upp-visar bra förståelse av likhetstecknet när de löser uppgifter av strukturell typ, har de svårighe-ter med att muntligt beskriva likhetstecknets funktion. Textanalysen synliggör att andelen utsagor av operationell typ som framhävs i läroböckerna för åk 3 minskar betydligt i läro-böckerna för åk 4. Från vår studie drar vi slutsatsen att matematikläro-böckernas ensidiga presen-tation av likhetstecknet kan vara anledningen till elevers bristande förståelse av dess innebörd.
Nyckelord: ekvation, ekvivalens, likhet, likhetstecknet, matematik, operationell uppfattning, pre-algebra, strukturell uppfattning, öppna/slutna utsagor
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 7
1.1 Syfte ... 9
1.2 Frågeställningar ... 9
1.3 Likhetstecknet och grundskolans styrdokument ... 9
1.4 Pre-algebra ... 11
2 Litteraturgenomgång ... 11
2.1 Konstruktivism ... 11
2.1.1 Synen på elevers ”missuppfattningar” ur ett konstruktivistiskt perspektiv ... 13
2.2 Det matematiska symbolspråket ... 14
2.3 Likhetstecknet som matematisk symbol ... 14
2.4 Elevers uppfattningar om likhetstecknets innebörd – internationella studier ... 16
2.5 Orsaker till elevernas missuppfattningar ... 17
2.6 Likhetstecknet i läroböcker – internationella studier ... 18
2.7 Sammanfattande reflektioner kring litteraturen ... 19
3 Metod ... 20
3.1 Datainsamlingsmetoder ... 20
3.1.1 Kvantitativ undersökning ... 20
3.1.2 Kvalitativa intervjuer ... 20
3.1.3 Textanalys ... 21
3.2 Urval och bortfall ... 22
3.3 Forskningsetik ... 23 3.4 Analysmetod ... 23 3.4.1 Kvantitativ undersökning ... 24 3.4.2 Kvalitativa intervjuer ... 24 3.4.3 Textanalys ... 25 3.5 Trovärdighet ... 25 3.5.1 Kvantitativ undersökning ... 25 3.5.2 Kvalitativa intervjuer ... 26 3.5.3 Textanalys ... 26 3.6 Procedur ... 27 4 Resultat ... 28 4.1 Kvantitativ undersökning ... 28 4.2 Kvalitativa intervjuer ... 31 4.3 Textanalys ... 33 5 Diskussion ... 34
5.1 Elevernas förståelse av likhetstecknets innebörd ... 34
5.2 Elevernas tolkningar av likhetstecknet vid lösning av pre-algebraiska uppgifter ... 35
5.3 Hur eleverna muntligt beskriver symbolen ... 36
5.4 Likhetstecknet i läroböckerna ... 37
5.5 Resultatets trovärdighet ... 38
5.6 Studiens bidrag ... 38
6 Referenser ... 39
1 Inledning
Idén till detta examensarbete har successivt växt fram under vår studietid på lärarutbildningen. Att många elever i grundskolans tidiga och mellersta skolår har bristande förståelse för lik-hetstecknets innebörd är något som vi har fått erfara under den verksamhetsförlagda tiden av vår utbildning. Detta står i överensstämmelse med vad litteraturen och den över 20 års långa forskningen inom området uppger (Baroody och Ginsburg 1983; Behr, Erlwanger och Nichols 1980; Carpenter, Frank och Levi 2003; Kieran 1981; McNeil, Grandau, Knuth, Alibali, Stephens, Hattikudur och Krill 2006). Flera av de elever vi har mött ser symbolen som en uppmaning att utföra en räkneoperation och skriva svaret till höger. Lösningen i följande öv-ning: 9 + 6 = _ + 4 är ofta talet 15 istället för 11. En sådan tolkning av likhetstecknet benämns den operationella uppfattningen. För att kunna lösa den här uppgiften korrekt krävs den struk-turella uppfattningen, som innebär att båda sidor om likhetstecknet står för lika stora tal (a.a.).
Med denna studie vill vi skapa oss en klarare bild av hur en grupp elever i årskurs 4 tänker kring likhetstecknet. Vi är intresserade av hur de hanterar och tolkar likhetstecknet när de lö-ser pre-algebraiska uppgifter. Vår arbetshypotes är att många elever saknar förståelse för den strukturella innebörden av likhetstecknet. Är detta antagande sant? Uppvisar eleverna likarta-de missuppfattningar som forskningen exemplifierar?
Elevers förståelse av likhetstecknet är avgörande för att de ska kunna förstå och lösa ekvatio-ner (Bergsten, Häggström och Lindberg 1997). Den senaste TIMSS undersökningen från 2007 (Trends in International Mathematics and Science Study), har visat att svenska elever i årskurs 8 presterar sämre än elever i många andra länder i algebra. TIMSS är en internationell jämförande studie om skolår 4 och 8 elevers kunskaper i matematik och naturkunskap. Ana-lysen av testuppgifterna från denna studie har avslöjat att majoriteten av eleverna i årskurs 8 saknar den strukturella uppfattningen av likhetstecknet, vilket har varit orsaken till att många har misslyckats med ekvationslösning (Skolverket 2008).
Att likhetstecknet ofta missförstås av eleverna beror enligt flera forskare på att de i matema-tikundervisningen oftast möter uppgifter som förstärker den operationella uppfattningen av symbolen, som t ex 6 + 9 = __ och 16 – 7 = __, dvs. likheter där svaret skrivs till höger om likhetstecknet (Knuth, Alibali, Hattikudur, McNeil och Stephens 2008). Lärarens undervis-ning och matematikläroboken anses utgöra viktiga faktorer som kan påverka elevernas
förstå-else av likhetstecknets innebörd. Forskningsstudier från USA har visat att i de amerikanska läroböckerna för grundskolan dominerar uppgifter där likhetstecknet presenteras operationellt. Hur behandlas likhetstecknet i de svenska läromedlen? På vilket sätt kan elevernas matema-tikläroböcker påverka deras insikt om likhetstecknet? Eftersom vi inte kan finna någon forsk-ning kring hur likhetstecknet presenteras och behandlas i de svenska läroböckerna, anser vi det intressant att göra en studie av några aktuella matematikböcker för årskurs 3 och 4.
Det ovan beskrivna problemområdet känns högst relevant för oss som blivande matematiklä-rare att studera. Det visar sig att elevers bristande förståelse av likhetstecknet är en ständigt aktuell forskningsfråga. Av den anledningen anser vi att denna studie kan ge oss fördjupad kunskap inom området och på så sätt vara till stor hjälp i vårt framtida arbete som matematik-lärare. Vi kommer att:
arbeta medvetet för att öka elevernas förståelse av likhetstecknets betydelse
lättare kunna identifiera elevernas eventuella missuppfattningar och få verktyg att övervinna dessa
välja läromedel med större omsorg
Vår förhoppning är att undersökningen kan vara till nytta även för andra lärare och lärarstude-rande.
Definitioner av begrepp
Ekvation – En ekvation är en likhet som innehåller ett eller flera obekanta tal, vanli-gen betecknade med bokstäver (Skolöverstyrelsen 1979).
Likhet – Två talbeteckningar sammanbundna med ett likhetstecken kallas en likhet. Likheten anger att talbeteckningarna står för lika (samma) tal (a.a.).
Likhetstecknet – Tecknet (=) utläses ”är lika med” och ibland kortare ”är”. Likhets-tecknet används inte endast för att ange likhet mellan tal, utan även likhet mellan andra objekt som storheter, mängder och vektorer (a.a.).
Strukturell uppfattning handlar enligt Sfard (1991) om att kunna tolka matematiska begrepp och symboler som att de representerar objekt med en statisk struktur. ”The structural conception is static, instantaneous and integrative” (a.a., s. 4). En elev med en strukturell uppfattning av likhetstecknet tolkar därför symbolen som är lika med el-ler är lika mycket som och förstår att de uttryck som finns på båda sidor om likhets-tecknet representerar lika stora tal (Bergsten m.fl. 1997).
Operationell uppfattning innebär att matematiska begrepp och symboler tolkas som att de representerar en process. ”The operational conception is dynamic, sequential and detailed” (Sfard 1991, s. 4). Refererande till likhetstecknet, en operationell upp-fattning är när eleven tolkar likhetstecknet endast som en symbol för uträkning, dvs., en uppmaning att utföra en operation, och inte att likhetstecknet representerar ekviva-lens (Bergsten m.fl. 1997).
Öppna/slutna utsagor – En utsaga är ett språkligt eller formelmässigt uttalande om något och kan vara sann eller falsk. En bokstavsbeteckning som kan utbytas mot en annan bokstav utan att beteckningens betydelse respektive utsagans innehåll ändras kallas för en bunden bokstav. En bokstavsbeteckning som inte ingår som bunden bok-stav kallas fri. En utsaga med en eller flera fria bokstäver kallas öppen, en utsaga utan fri bokstav kallas sluten (Skolöverstyrelsen 1979).
1.1 Syfte
Vår studie har två syften. Det ena är att undersöka hur en grupp elever i skolår 4 förstår inne-börden av likhetstecknet. Det andra är att mot bakgrund av forskningslitteratur diskutera hur elevernas matematikläroböcker kan påverka deras insikt om likhetstecknets betydelse.
1.2 Frågeställningar
För att uppnå ovanstående syften har vi valt att utgå från följande frågeställningar:
Vilka tolkningar av likhetstecknet gör eleverna när de löser pre-algebraiska uppgifter? Hur tänker eleverna kring likhetstecknet när de muntligt beskriver symbolen?
Hur ser fördelningen över den strukturella och den operationella betydelsen av likhets-tecknet ut i matematikläroböckerna?
1.3 Likhetstecknet och grundskolans styrdokument
Elevers förståelse av likhetstecknet är av stor betydelse för deras möjligheter att lyckas med matematik, framför allt med algebra (Bergsten m.fl. 1997). I grundskolans kursplan för ma-tematik, under rubriken ”Ämnets syfte och roll i utbildningen”, står det bland annat att ”Ut-bildningen skall ge en god grund för studier i andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt lärande” (Skolverket 2000). Om eleven inte har en god insikt om likhetstecknets betydelse och inte lyckas med matematik i skolan kan hans/hennes möjligheter att välja en viss utbild-ning eller ett bestämt yrke vara begränsade. Vidare står det att: ”Utbildutbild-ningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens
språk och uttrycksformer” (a.a.).Om svårigheterna och hindren blir för stora kan både tron på den egna matematiska förmågan och intresset för ämnet upphöra.
Nedan citerar vi de mål från grundskolans kursplan i matematik som vi anser anknyter till likhetstecknet. Några av målen väljer vi att kommentera.
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven: utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda
– grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter (Skolverket 2000).
Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det tredje skolåret: beträffande tal och talens beteckningar
kunna jämföra, storleksordna och dela upp tal inom heltalsområdet 0-1000
Uppdelning av tal innebär att eleven kan se talens helhet och delar, t ex att talet 10 kan delas upp på olika sätt (10 = 5 + 5 och 3 + 7 = 1 + 3 + 6), vilket kräver förståelse för den strukturel-la innebörden av likhetstecknet.
kunna hantera matematiska likheter inom heltalsområdet 0-20 beträffande räkning med po-sitiva heltal
För att kunna hantera matematiska likheter, dvs. ta reda på ett eller flera utelämnade tal för att få en likhet att stämma (t ex: 5 + _ = 8 – 2) måste eleverna förstå att likhetstecknet står för ekvivalens.
kunna förklara vad de olika räknesätten står för och deras samband med varandra med hjälp av till exempel konkret material eller bilder
Att kunna se samband mellan räknesätten kan innebära att eleven förstår att t ex 12 – 6 = 6 eftersom 6 + 6 = 12, eller kan visa att ett tal kan skrivas som olika uttryck, där olika räknesätt används. Det krävs förståelse för den strukturella betydelsen av likhetstecknet när eleverna arbetar med uppgifterna som t ex: 9 = 3 • 3; 3• 3 = 3 + 3 + 3(Skolverket 2009b).
Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kun-na beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö. Inom denna ram skall eleven:
– förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna upp-täcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla formler (Skolverket 2000).
För att kunna bestämma värdena av obekanta tal i öppna utsagor som t ex 4 + _ = 5 + 5 måste eleverna förstå likhetstecknets strukturella innebörd.
1.4 Pre-algebra
Enligt Bergsten m.fl. (1997) handlar pre-algebra om olika aktiviteter som används i matema-tikundervisningen under alla skolår innan man börjar med den egentliga algebran, och innan bokstavssymbolerna införs. Malmer (1999) betonar vikten av progressionen i undervisningen i algebra, och menar att eleverna bör arbeta med pre-algebraiska aktiviteter upp till ungefär åk 5. Det pre-algebraiska arbetet ska enligt Bergsten m.fl. (1997) omfatta algebrans samtliga områden: mönster och generaliseringar, ekvationer och funktioner. För att kunna förstå och hantera ekvationer ska eleverna bland annat ha insikt om att likhetstecknet står för ekvivalens. Exempel på pre-algebraiska uppgifter inom området ekvationer kan vara aritmetiska likheter. Eleverna kan t ex bedöma om likheterna är sanna eller falska, som: 2 + 7 = 9 + 3; 3 · 5 = 10 + 2 + 3, eller göra likheterna sanna genom att fylla i ett/flera tal som utelämnats: 3 - _ = 10 – 8, 14 + _ = _ + 4.
2 Litteraturgenomgång
2.1 Konstruktivism
Ernest (1998) skriver om tre olika former av konstruktivism: den svaga, den radikala samt den sociala konstruktivismen. Gemensamt för dessa är principen om att individen aktivt konstrue-rar sin kunskap utifrån tidigare erfarenheter, och inte bara passivt tar emot den från andra. I undervisningen kan därför inte en överföring av kunskap ske. Engström (1998) menar att det som skiljer radikal och social konstruktivism är, lite förenklat, om utgångspunken är individu-alistisk, dvs. grundar sig på Piagets teori eller samhällsorienterad som i Vygotskijs teori. Den radikala konstruktivismen kritiseras för att betona den lärandes individualisering och isolering och försumma den sociala aspekten av lärande.
Ernest (1998) framhåller att det är främst genom Piagets inflytande som konstruktivismen har blivit den mest dominerande teoretiska strömningen inom matematikdidaktiken världen över. Enligt Piaget bygger individen upp kognitiva scheman som begreppskonstruktioner, vilka formas genom processerna: assimilation och ackommodation. När t ex en elev ska erövra en ny kunskap måste allt det nya sättas i relation till den kunskap eleven redan besitter. Om kun-skapen passar ihop med elevens existerande begreppsstruktur kan den assimileras. I annat fall startar en omstruktureringsprocess, ackommodation. Eleven bygger upp nya tankestrukturer för att åstadkomma balans. För Piaget är mognaden förutsättningen för lärande (Dysthe 2003). Kunskap är enligt honom nära kopplad till handlingar och själva processen för hur matematisk kunskap konstrueras benämner Piaget reflektiv abstraktion. Förståelsen skapas inte genom erfarenhet av objekt, utan från de handlingar som utförs på objekten. Den kunskap som upp-kommer genom reflektiv abstraktion och som handlar om relationer mellan objekt kallar han logiskmatematisk kunskap (Engström 1998).
Vygotskijs sociokulturella teori bygger på tanken att varje individ aktivt konstruerar sin kun-skap i samspel med andra. Det samhälle och den kultur individen lever i spelar en viktig roll i lärandeprocessen (Säljö 2000). Individens högre mentala funktioner som t ex språk, skrivande eller räkning utvecklas i en social kontext. Dessa funktioner medieras med hjälp av både fy-siska och mentala redskap som människor använder. Det viktigaste redskap som ”medierar lärande” är språket. Vidare rör det sig exempelvis om symbolsystem av olika slag, artefakter och teknologier (Dysthe 2003). För matematikens del kan det t ex handla om användningen av miniräknaren, linjalen, balansvågen m.m. Enligt Ahlberg (2000) kan vågen vara ett effektivt hjälpmedel när man introducerar likhetstecknet för de yngre barnen. Samtidigt som man labo-rerar kan utsagorna som t ex 3 +__ = 5; __ + 3 = 5 åskådliggöras genom att saker av samma sort läggs på vågen. Även Kronqvist och Malmer (1993) hävdar att balansvågen med exem-pelvis hektovikter kan användas för att förstärka begreppet likhetstecknet.
Till skillnad från Piaget anser Vygotskij att lärande leder till utveckling. Han använder be-greppet den närmaste utvecklingszonen för att definiera avståndet mellan vad ett barn kan prestera självständigt, och vad det kan klara med hjälp av en vuxen. Det som barnet kan göra idag med andras stöd kommer det i framtiden kunna utföra ensamt. Som lärare bör man därför sträcka sig längre än till den nivå eleverna redan uppnått och erbjuda dem meningsfulla och stimulerande undervisningssituationer (Dysthe 2003).
I likhet med Engström (1998) delar Sfard (2003) in konstruktivistiska inriktningar utifrån Pia-gets och Vygotskijs traditioner . Teorier som tar sin utgångspunkt i PiaPia-gets tankar, dvs. före-språkare för ett individualiserat lärande benämner hon ”acquisitionist group” (”förvärvare” ), medan de som grundar sig på Vygotskijs verk (lärande i en social kontext) kallar hon ”parti-pationist group” (”deltagare”). Enligt Sfard bör dessa två traditioner emellertid inte värderas som bättre eller sämre utan bör istället ses som komplementära. ”The two outlooks sometimes reinforce each other by providing complementary perspectives on the same basic needs of the learner” (Sfard 2003, s. 356).
2.1.1 Synen på elevers ”missuppfattningar” ur ett konstruktivistiskt per-spektiv
Sfard (2003) menar att i pedagogiska sammanhang brukar man diskutera och bekymra sig över elevernas ”missuppfattningar” (misconceptions). När elever lär sig matematik skapar de egna betydelser av begrepp, ”create their own meanings” (a.a., s. 357), som ibland inte alls är korrekta. Dessa ”icke-korrekta uppfattningar” refererar dock inte till den inre samstämmighe-ten i deras tänkande, utan till skillnader mellan elevernas egna uppfattningar och den allmänt erkända versionen av samma idéer. Eleverna konstruerar sina egna betydelser av nya begrepp eftersom de vill få den nya kunskapen att passa in med den kunskap de redan besitter. Hur dagens elever konstruerar sin kunskap kan enligt Sfard jämföras med den historiska utveck-lingen av matematiska begrepp. Bristande förståelse för matematiska begrepp får inte betrak-tas som elevernas ”tanklöshet”. Det är behovet att skapa mening och sammanhang som gör att eleverna bygger upp begrepp utifrån den befintliga kunskapen. Idag är kunskapen om hur elever tänker kring matematiska begrepp bred och väldokumenterad och utgör ett viktigt stöd för pedagoger som kan hjälpa eleverna att utveckla bra förståelse för matematiken.
Von Glasersfeld (1998) hävdar att eleverna konstruerar sin kunskap aktivt utifrån egna erfa-renheter. Det är inte alltid den ”av läraren förväntade” kunskapen som byggs upp. Elevernas tolkningar är alltid personliga och meningsfulla för dem själva (Engström 1998). Det blir ex-empelvis ingen hjälp att enbart säga att elevens tankegång är felaktig, eller att lösningen på en uppgift är inkorrekt och förklara ”det rätta” sättet att tänka. Sådana rättelser kan leda till minskad motivation. Istället bör läraren ta reda på hur eleven uppfattar problemet och varför det sättet att resonera fungerar för honom/henne. I undervisningen bör man som lärare skapa situationer som ska utmana elevernas uppfattningar för att stimulera deras lärande (Engström 1998; von Glasersfeld 1998).
2.2 Det matematiska symbolspråket
Traditionen i skolan har varit att barn redan från starten börjar använda det matematiska sym-bolspråket som enligt Malmer (1990) är ett komplicerat system. Barnens möte med de ab-strakta symbolerna utgör en kritisk punkt i deras lärande. Eleverna kan oftast lösa ganska komplicerade matematiska uppgifter praktiskt utifrån de intuitiva matematikkunskaper som de skaffat sig genom erfarenheter i vardagen, men misslyckas när de ska tolka och använda de matematiska symbolerna. Som lärare måste man vara medveten om, att även om en elev kan känna igen eller rita en symbol, behöver det inte betyda att han/hon förstår dess innebörd. Elevernas uppfattning om de matematiska symbolerna bör därför noga kartläggas. I utgångs-punkt från detta bör läraren skapa undervisningssituationer som ska ge eleverna möjlighet att utifrån sina egna förutsättningar tillägna sig begrepp som de sedan ska kunna översätta till ett kortfattat symbolspråk (Ahlberg 2000; Malmer 1990; Olsson 2000).
Kronqvist och Malmer (1993) menar att det oerhört viktigt att innan de matematiska symbo-lerna införs, måste barnen få möjlighet att utveckla förståelse för begreppen bakom dem. De belyser språkets och handlingens betydelse för den matematiska begreppsbildningen, samt talar om vikten av att ta vara på elevernas tidigare erfarenheter. I matematikundervisningen bör därför eleverna få tillfälle att kommunicera matematik med hjälp av språket och andra uttrycksformer såsom bildframställning och laborerande med material. Även Høines (2000) betonar det muntliga språkets och teckningens betydelse för elevernas förståelse av innebör-den av matematiska symboler. När eleverna får möjlighet att rita och samtala om hur de tän-ker kring olika matematiska uppgifter kan de successivt och på ett medvetet sätt bygga upp symbolspråket. Den skriftliga symboliseringen blir på så sätt en utveckling av den naturliga för eleverna tecknandet.
2.3 Likhetstecknet som matematisk symbol
Enligt Freudenthal (1983) har likhetstecknet flera betydelser inom matematiken. Symbolen kan innebära en uppmaning att finna lösningen/svaret till en uppgift, t ex 3 + 4 = _, eller 3 + _ = 7. Lösningen i det fösta fallet är summan av termerna 3 och 4, medan i det andra fallet, sö-ker man en av termerna. Freudenthal menar att den andra uppgiften kan vara problematisk för eleverna. Många kan ha svårigheter med att förstå att lösningen inte är 7 utan 4, eftersom de anser att svaret bör skrivas till höger om likhetstecknet. I uppgifterna: 5 + 7 = 7 + 5, 5 + 7 = 6 + 6 representerar likhetstecknet ekvivalenta situationer. Freudenthal talar om symbolens symmetriska egenskap, dvs. att vänster och höger sida om likhetstecknet är likvärdiga.
Sfard (1991) menar att matematiska begrepp och symboler har en dual natur, vilket innebär att de kan uppfattas antingen operationellt (som en process) eller strukturellt (som ett objekt). Den operationella aspekten handlar om processer, algoritmer och aktiva handlingar, medan den strukturella om begreppens och symbolernas strukturella struktur. Förmågan att kunna se ett begrepp både som en process och som ett objekt är nödvändig för en djupare matematisk förståelse. Sfard framhåller att elever har lättare att se begrepp och symboler som operationel-la procedurer än som objekt med statisk struktur. Förståelsen av den struktureloperationel-la aspekten utvecklas successivt genom förtrogenhet med den operationella. Bergsten m.fl. (1997) hävdar att enligt Sfards (1991) synsätt bör alla nya begrepp och symboler i matematikundervisningen hanteras operationellt innan man övergår till den strukturella aspekten. Elevernas strukturella förståelse kommer att gradvis byggas upp om de i undervisningen får tillfälle att arbeta konti-nuerligt med genomtänkta uppgifter. Sfards synsätt kritiseras av andra forskare, som hävdar att de två uppfattningarna kompletterar och samspelar med varandra och bör därför ses på detta sätt, dvs. i samspel och kompletterande (Persson 2005, efter Lins och Kaput 2004).
Begreppet likhetstecknet är av central betydelse för att elever ska kunna förstå och lyckas med algebra (Bergsten m.fl. 1997; Skolverket 2008). Många elever tolkar likhetstecknet operatio-nellt, dvs. som en signal att utföra en operation. Symbolen utläses oftast som blir och svaret sätts direkt efter likhetstecknet, t ex. 7 + 2 = __. Denna uppfattning innebär att vänster och höger led inte finns samtidigt. Den strukturella betydelsen handlar om att kunna se tecknet som är lika med eller är lika mycket som. Detta innebär att vänster och höger sida om likhets-tecknet har samma värde, dvs. att båda leden är ekvivalenta och finns på samma gång, t ex: 3 + 4 = 10 – 3 (Bergsten m.fl. 1997). För att kunna tolka och lösa ekvationer är det viktigt att eleverna uppfattar likhetstecknet strukturellt. Bergsten m.fl. (1997) menar att i matematikun-dervisningen bör eleverna möta aktiviteter som ska vidga deras begränsade uppfattning av likhetstecknet till att omfatta både strukturella och operationella innebörden av symbolen. Detta ligger i linje med vad Sfard (1991) hävdar angående den duala naturen hos matematiska begrepp och symboler. Hon menar att för att eleverna ska kunna hantera algebra i skolan krävs att de är flexibla i sin uppfattning och kunna se begrepp/symbol som en operation (pro-cess) och som en struktur (objekt).
2.4 Elevers uppfattningar om likhetstecknets innebörd –
internatio-nella studier
Enligt internationella studier har många elever inom alla skolstadier svårigheter med att förstå den strukturella innebörden av likhetstecknet (Baroody och Ginsburg 1983; Behr m.fl. 1980; Carpenter m.fl. 2003; Kieran 1981; McNeil m.fl. 2006; Saenz - Ludlow och Walgamuth 1998; Seo och Ginsburg 2003). Symbolen tolkas oftast operationellt, dvs. som en signal att göra någonting. Alla likheter som inte är av följande slag: 4 + 3 = 7, dvs. med operationer på väns-ter sida om likhetstecknet och ett tal på höger sida, bedöms därför av många elever som inkor-rekta. Det finns även en stor tendens att inte acceptera uppgifter där likhetstecknet står utan något annat operationstecken. Utsagan 7 = 7, eller uttrycket 3 + 5 anses av många som felak-tiga. Utsagan 7 = 7 ändrar eleverna till 0 + 7 = 7, eller 7 + 7 =, medan 3 + 5 kompletterar de med symbolen ”=” och skriver som: 3 + 5 = (Carpenter m.fl. 2003; Falkner, Levi och Carpen-ter 1999; Seo och Ginsburg 2003). Enligt Seo och Ginsburg (2003) har eleverna större svå-righeter med att finna ett obekant element i öppna utsagor som: __ = 3 + 5, 8 = 3 + __, dvs. med operationer på höger sida om likhetstecknet, än i uppgifter där operationer ska utföras på vänster sida om tecknet, som t ex: 3 + 5 = __, 3 +__ = 8.
Falkner m.fl. (1999) har genomfört en studie i USA kring grundskoleelevers förståelse av likhetstecknets betydelse. Över 700 elever i årskurserna 1 – 6 har fått följande uppgift att lösa: 8 + 4 = __ + 5. Resultatet av undersökningen visar att knappt 10 % av eleverna i varje årskurs har kunnat ge den korrekta lösningen, 7. De mest frekventa lösningarna har varit: 12 eller 17. Årskurs 6 elever har dessutom presterat betydligt sämre än de yngre eleverna. Forskarna har kunnat identifiera tre typiska lösningsstrategier som avslöjar hur eleverna tolkar likhetsteck-net:
utföra additionen och skriva svaret 12 efter likhetstecknet, 8 + 4 = 12 + 5 addera samtliga tal och skriva in 17 i rutan, 8 + 4 = 17 + 5
utveckla uppgiften, 8 + 4 = 12 + 5 = 17
Freiman och Lee (2004) har utgått från Falkners m.fl. (1999) studie när de har undersökt hur kanadensiska barn i åldrarna 5 – 12 förstår likhetstecknet i olika kontexter. Eleverna har fått i uppgift att komplettera öppna utsagor genom att fylla i det saknade talet. Utsagorna har varit av följande slag: 7 = 7, 8 = 3 + 5, 3 + 4 = 7 samt 8 + 4 = 7 + 5, där ett av talen saknades. De kanadensiska eleverna i årskurs 3 och 6 har uppvisat betydligt bättre förståelse av
likhetsteck-nets innebörd än deras amerikanska kamrater inom respektive åldersgrupperna. Freiman och Lee (2004) har jämfört hur eleverna från respektive länder lyckats med att ange den korrekta lösningen 7 på utsagan 8 + 4 = _ + 5. Studien har visat att ca 86 % av eleverna i åk 6 respekti-ve 77 % av elerespekti-verna i åk 3 i Kanada, och endast 2 % av elerespekti-verna i åk 5 – 6 och 9 % av elerespekti-ver- elever-na i åk 3 – 4 i USA har löst uppgiften korrekt.
Tabell 1: Jämförelse av resultat (korrekta lösningar på utsagan 8 + 4 = __ + 5) Falkner m.fl. (1999) undersökning Freiman och Lee (2004) undersökning
Klass % som svarade 7 Klass % som svarade 7
1 och 2 5 Förskoleklass 3
3 och 4 9 3 77
5 och 6 2 6 86
Öppna utsagor av typen c = a + _, a + b = c + _ (med ett utelämnat tal på slutet av utsagan) samt utsagorna _ = a + b, a + b = _ + d och a = _ + b har varit de mest problematiska för ele-verna och genererat flest inkorrekta svar.
2.5 Orsaker till elevernas missuppfattningar
Enligt Carpenter m.fl. (2003) är det svårt att avgöra varför bristande förståelse av likhetsteck-nets innebörd är så bestående och svår att bearbeta. Förklaringen kan vara att eleverna i ma-tematikundervisningen kontinuerligt möter uppgifter som förstärker den operationella upp-fattningen. Om både läraren och läromedel ständigt presenterar likhetstecknet i uppgifter där
svaret skrivs till höger om tecknet kommer symbolen till slut att uppfattas som en uppmaning
att först räkna ut något och sedan skriva svaret (Bergsten m.fl. 1997; Carpenter m.fl. 2003; Seo och Ginsburg 2003). Likhetstecknet introduceras dessutom oftast i samband med
dyna-misk addition (Kronqvist och Malmer 1993), vilket gör att symbolen redan tidigt lätt uppfattas
som resultattecken. Även illustrationer i läroböcker förstärker denna tolkning. Ett exempel på den tolkning som kan göras utifrån en bild i läroboken kan vara följande: ”Det sitter två fåglar på marken. Så kommer en till flygande. Tillsammans blir de tre” (a.a., s. 40). Elevernas tolk-ning av likhetstecknet påverkas också av användtolk-ning av miniräknare i matematikundervis-ningen. När knappen med symbolen ”=” trycks in innebär det att svaret ska visas i fönstret (Carpenter m.fl. 2003; Seo och Ginsburg 2003).
Enligt Carpenter m.fl. (2003) kan matematikundervisningens sätt att behandla likhetstecknet inte vara den huvudsakliga orsaken till elevernas bristande förståelse av symbolens innebörd. Flera barn i förskoleåldern och årskurs 1, som inte har mött många av de ovannämnda uppgif-terna, är övertygade om att likhetstecknet alltid ska följas av ett svar. Falkner m.fl. (1999) menar att barn redan vid skolstarten har en informell matematisk kunskap och tolkar likhets-tecknet utifrån den intuitiva kunskapen om aritmetik som grundar sig i stort sett på aktiva handlingar och räknescheman. Långt innan de börjar skolan kan de t ex utföra addition i spon-tana situationer: “If you have three points and get two more points, how many points do you have now?” (Seo och Ginsburg 2003, s. 164). När additionen i skriftlig form introduceras i skolan, associerar barnen likhetstecknet med de operationella räknescheman och tolkar det som operationstecken. Falkner m.fl. (1999) poängterar att man som lärare bör ta reda på sina elevers uppfattningar av likhetstecknet så fort symbolen presenteras för dem.
2.6 Likhetstecknet i läroböcker – internationella studier
McNeil m.fl. (2006) har genomfört en studie om hur amerikanska läromedel presenterar lik-hetstecknet. Genom att analysera fyra läroboksserier i matematik för årskurserna 6 – 8 har forskarna identifierat några typiska kontexter i vilka likhetstecknet uppträder i böckerna:
operations equals answer context (operationell kontext/ ”resultattecken” – att utföra operationer för att få ett svar, t ex 3 + 4 = 7).
nonstandard context (icke-standardkontext)
operations on the right side context (operationer på höger sida om likhetsteck-net, t ex 7 = 3 + 4).
operations on both sides context (operationer på båda sidor om likhetstecknet, t ex 3 + 4 = 5 +2).
no explicit operations on either side (inga operationer på någon sida om likhets-tecknet, t ex 7 = 7).
Resultatet av läroboksanalysen har avslöjat att likhetstecknet oftast presenteras i den operatio-nella kontexten och sällan i de kontexter där det kan tolkas strukturellt. Matematiska utsagor med operationer på båda sidor om likhetstecknet (t ex 7 + 3 = 4 + 6) får inte stort utrymme i någon av lärobokserierna. McNeil m.fl. (2006) hävdar att uppgifter av den typen (med opera-tioner på båda sidor om likhetstecknet) är mest effektiva för att utveckla elevernas förståelse för den relationella tolkningen av likhetstecknet.
Li, Ding, Capraro och Capraro (2008) har utfört en komparativ studie om hur likhetstecknet introduceras och presenteras i några populära matematikläroböcker för årskurserna 1 – 6 i Kina och USA. I de kinesiska läroböckerna presenteras likhetstecknet oftast i kontexter där den strukturella innebörden av tecknet framhävs. Enligt Li m.fl. (a.a.) är kinesiska läroböcker i matematik ett bra hjälpmedel som gynnar elevernas förståelse av likhetstecknet. För att ta reda på om läroböckerna kan påverka elevernas förståelse av likhetstecknets innebörd, har forskarna valt att i respektive land studera hur en grupp elever i årskurs 6 uppfattar symbolen. Undersökningen har visat på stora skillnader mellan de två elevgruppgrupper vad gäller deras förståelse för likhetstecknet. Av studien framgår att ca 98 % av de kinesiska eleverna och en-dast 28 % av eleverna i USA har uppvisat en bra förståelse av symbolen. Genom att koppla detta resultat till lärobokstudien kan man enligt Li m.fl. (2008) se ett samband mellan läro-medlens sätt att presentera likhetstecknet och elevernas uppfattning om dess roll.
2.7 Sammanfattande reflektioner kring litteraturen
Den internationella forskning och litteratur som vi har tagit del av visar en förhållandevis samstämmig bild om att många elever inom alla skolstadier saknar förståelse av likhetsteck-nets strukturella innebörd. Flera studier pekar på att läromedel kan utgöra en betydande på-verkansfaktor vad gäller elevernas insikt om likhetstecknet. Genom denna litteraturstudie har vi uppmärksammats på att man som lärare inte bör ta för givet att eleverna förstår likhetsteck-nets betydelse. Det är viktigt att så tidigt som möjligt ta reda på vilken uppfattning av detta begrepp de verkligen har (Falkner m.fl. 1999; Malmer 1990). Vi har valt att belysa kunskaps-syn som grundats i Piagets och Vygotskijs teorier och som vi kan se har haft stort inflytande på tänkande kring lärande och utveckling. Sfard (2003) framhåller att de båda perspektiven inte ska värderas mot varandra utan istället bör ses som komplementära, något som vi själv också anser. Att individen konstruerar sin egen kunskap är typiskt Piaget. Matematikunder-visningen bör därför erbjuda eleverna möjlighet att aktivt konstruera sin kunskap om likhets-tecknet utifrån de erfarenheter de redan har. Genom nya erfarenheter ska deras förståelse av begreppet byggas upp. Enligt Vygotskij skapas kunskap i en sociokulturell kontext. Språket och kommunikationen har en central roll för lärandet. Matematikundervisningen bör då ge eleverna möjlighet att i samspel med både kamrater och läraren konstruera sin matematiska kunskap. Lärarens roll blir att skapa lärandesituationer där den strukturella innebörden av lik-hetstecknet ska framhävas, och där eleverna ska kunna kommunicera sina upptäckter och idé-er i samtal och diskussionidé-er, samt reflektidé-era övidé-er sitt lärande.
3 Metod
3.1 Datainsamlingsmetoder
För att kunna samla in data till vår studie av elevers förståelse av likhetstecknet valde vi två olika moment: en kvantitativ undersökning (Bilaga 1) som genomfördes av alla elever i vår studie, och kvalitativa intervjuer (Bilaga 2) av ett visst antal av dessa elever. För undersök-ningen av läroböckerna valde vi att utföra en textanalys av fyra lärobokserier för årskurs 3 och 4 med avseende på att utreda hur likhetstecknet presenteras i dessa böcker, dvs. i en struktu-rell eller en operationell kontext.
3.1.1 Kvantitativ undersökning
Syftet med vår kvantitativa undersökning var att få insikt om elevernas förförståelse av lik-hetstecknet, genom hur de löste uppgifter av strukturell och operationell form. Som datain-samlingsinstrument valde vi att använda en diagnos med pre-algebraiska räkneuppgifter. Ele-vernas lösningar använde vi sedan som underlag för att formulera lämpliga intervjufrågor till vår kvalitativa undersökning. Som inspiration till skapandet av diagnosen tog vi del av tidiga-re internationella studier (Se t ex: Falkner m.fl. 1999; Ftidiga-reiman och Lee 2004; Knuth m.fl. 2008 och Skolverkets (2009a) diagnosmaterial för åldrarna före åk 6, Diamant. Enligt Johans-son och Svedner (2006) ger kvantitativ undersökning bred men ytlig data, och det utesluter tolkande analyser. Meningen med kvantitativ mätning är att det ska visa ett ”sant” värde som, med upprepning av studien, inte skulle variera (Patel och Davidson 2003). Av den orsaken tog vi stöd av tidigare forskning och räkneuppgifter.
Diagnosen bestod av 10 räkneuppgifter, nio av strukturell form (t ex 10 = _ + 7, _ + 4 = 9 + 2, 24 = _) och en av operationell form (_ – 5 = 15). Uppgifterna 1 - 9 innehöll ett obekant tal, medan uppgift 10 bestod av två obekanta tal, en på varsin sida av likhetstecknet. Vi har lånat uppgift 7 (8 + 4 = _ + 5) från en studie utförd i USA av Falkner m.fl. (1999). Samma uppgift har också använts av Freiman och Lee (2004) i en kanadensisk studie. Vårt syfte med att in-kludera denna uppgift var att kunna jämföra resultatet från vår studie av en grupp skolår 4 elever med elever från de två internationella studierna.
3.1.2 Kvalitativa intervjuer
Vi valde att utföra kvalitativa intervjuer för att ge oss direkt insikt om elevernas egna tankar och erfarenheter (Dalen 2007). Erlwanger (1973) framhåller att det är främst genom samtal
med en elev att läraren kan få en uppfattning om hur hon/han tänker kring matematik. Att eleven kan ge korrekta lösningar på alla uppgifter i en diagnostisk test behöver inte innebära att eleven har förståelse för de matematiska begrepp som det skriftliga materialet avser att utvärdera.
Patel och Davidson (2003) anser att kvalitativa intervjuer har ”en låg grad av standardise-ring”, som de menar ger utrymme för intervjupersonen att svara fritt och med egna ord (s. 78). Kvantitativ undersökning är ofta begränsande när syftet gäller synsätt, känslor eller förhåll-ningssätt (Johansson och Svedner 2006). Vi använde oss av fasta intervjufrågor som vi ställde till alla intervjuelever, men följdfrågorna tog en friare och mindre strukturerad form (a.a.). Lärorika och intressanta svar är ofta resultatet av en sådan explorativ intervju, och kan leda till oväntade och betydelsefulla upptäckter (a.a.; Kvale 1997). Vi menar att med hjälp av kva-litativa intervjuer fick vi möjligheten att fördjupa oss i elevernas tänkande kring likhetsteck-net. Vi valde att anteckna våra samtal med eleverna. Enligt Patel och Davidson (2003) kan närvaron av en bandspelare utöva inflytande på intervjupersonernas svar. De menar att inspel-ning kan begränsa spontana kommentarer eftersom personerna försöker utrycka sig eller ”framstå som t ex logiska och förnuftiga” (s. 83).
3.1.3 Textanalys
För att kunna undersöka hur fördelning över den strukturella och operationella betydelsen av likhetstecknet ser ut i läroböckerna, bestämde vi oss för att genomföra en textanalys. Vi an-vände oss av fyra olika serier av läroböcker för skolår 3 och 4: (a) Matteboken 3A och 3B (Rockström och Lantz 2005), Tänk och räkna 3A/3B (Häggblom 2006), Matematikboken 4 (Undvall, Forsberg och Melin 2005), Matteborgen Direkt 4A (Anderson, Picetti och Sundin 2003) och Matteborgen Direkt 4B (Anderson och Picetti 2004). Dessa valde vi eftersom de är de aktuella läromedel som används i de respektive skolorna där vi genomförde vår undersök-ning.
Johansson och Svedner (2006) menar att noggrann närläsning är grundläggande i en textana-lys för att kunna anatextana-lysera och kartlägga innehållet ordentligt. De anser att det finns en risk av subjektivitet med läsning av saktexter, eftersom alla har olika resonemang eller perspektiv. Vid tanke på detta arbetade vi för den ”största möjliga exakthet” när vi läste igenom läro-böckerna (s. 65).
Vår textanalys innebar granskning av alla uppgifterna i de fyra lärobokserierna, för analyse-ring och kategoriseanalyse-ring. Som inspiration och utgångspunkt tog vi del av två tidigare interna-tionella studier (Se Li m.fl. 2008 och McNeil m.fl. 2006). Vi använde oss av liknande katego-rier från dessa studier för att analysera läroböckerna i vår undersökning. Detta gjorde vi dels för att kunna genomföra en likartad undersökning, om än i mindre skala, och dels för att kun-na jämföra vårt resultat av textakun-nalysen med de tidigare studierkun-na.
3.2 Urval och bortfall
Vår undersökning genomfördes på 30 elever i år 4 på grundskolenivå. Den utfördes på två olika skolor i södra Sverige, och omfattade åtta elever från en skola (Skola A) och 22 från en annan (Skola B). Det finns två anledningar till denna stora skillnad i antal elever som ingick i vår studie. Dels är det själva storleken av skolorna, dvs. det totala antalet elever på de respek-tive skolorna. Dels för att Skola A arbetar åldersintegrerat; där det finns tre åk 3-4 klasser med nio, nio respektive 10 årskurs 4 elever i varje klass, och lärarna från två av dessa klasser av-stod från att medverka i studien.
Den avsedda undersökningsgruppen omfattade 36 elever därav 30 medverkade. Det externa
bortfallet (Patel och Davidsson 2003) i vår studie är därför sex elever, en elev från Skola A
och fem elever från Skola B. Anledningen till att ca 17 % av samtliga tillfrågade inte deltog i undersökningen var föräldrarnas misstycke till sina barns medverkan.
Skolorna valde vi eftersom vi har utfört vår verksamhetsförlagda tid där och haft tidigare kon-takt med eleverna. Vi menar att på grund av detta var det lättare att utföra intervjuerna i kon-takt med att det redan fanns en viss förtrogenhet. Enligt Kvale (1997) är den intersubjektiva
inter-aktionen centralt i intervjun. Skolorna finns i samma kommun, men alla åtta elever från Skola
A är infödda elever eller elever med svensk bakgrund, medan samtliga 22 elever från Skola B är elever med utländsk bakgrund födda i landet, eller elever med utländsk bakgrund födda utomlands.
Skolverket (2007) använder följande definitioner för att beskriva elever med svensk respekti-ve utländsk bakgrund:
Infödda elever eller elever med svensk bakgrund definieras som elever som är födda i lan-det och har minst en förälder som också är född i lanlan-det.
Elever med utländsk bakgrund födda i landet definieras som elever som är födda i landet och där båda föräldrarna är födda utomlands.
Elever med utländsk bakgrund födda utomlands definieras som elever som är födda utom-lands och där båda föräldrarna är födda utomutom-lands (a.a., s. 26).
Skolverket (2007) framhåller att det finns ganska stora skillnader i prestationsnivå mellan elever med svensk bakgrund (infödda) och elever med utländsk bakgrund, till fördel för de förstnämnda. Elever med utländsk bakgrund har i genomsnitt mindre gynnsamma socioeko-nomiska förutsättningar och enligt Skolverket (2009c) är den sociala bakgrunden och socio-ekonomiska statusen av stor betydelse för elevernas prestationer i skolan. Vi menar att av den orsaken att elevernas förutsättningar ser så olika ut på de respektive skolorna, kan vi inte sammanställa vårt resultat, och väljer därför att redovisa resultaten var för sig.
Av de 30 elever som genomförde de kvantitativa diagnoserna valde vi att intervjua 10: tre elever från Skola A och sju från Skola B. Eleverna valde vi slumpmässigt. De enskilda inter-vjuerna genomfördes vid ett tillfälle under höstterminen. Vi räknar inte med något externt bortfall eftersom vi inte hade bestämt oss i förväg hur många eller vem av eleverna som skulle intervjuas (Patel och Davidson 2003).
3.3 Forskningsetik
För att få godkännande att använda eleverna i vår undersökning delade vi ut ett kort informa-tionsbrev (Bilaga 3) i samband med föräldramöten på de respektive skolor, där vi bad föräld-rarna om medgivande till elevernas medverkan i både diagnosen och intervjuerna (Johansson och Svedner 2006).
Inför alla moment i vår undersökning informerade vi eleverna att deras medverkande var fri-villigt och att de kunde avbryta sitt deltagande av vilket anledning som helst (a.a.). Varken skolornas eller elevernas namn används i undersökningen och alla citat och resultat hanteras anonymt. Namnen som framgår under kapitlet Resultat är fingerade.
3.4 Analysmetod
Vår studie av elevers tänkande kring likhetstecknet och dess betydelse innebar användandet av tre olika datainsamlingsmetoder: en kvantitativ undersökning, kvalitativa intervjuer och en
textanalys av elevläroböcker. I detta kapitel redovisar vi hur vi gick tillväga med analysmeto-den.
3.4.1 Kvantitativ undersökning
Den kvantitativa undersökningen bestod av 10 utsagor som krävde ifyllning av ett eller två obekanta tal. Dessa utsagor kategoriserade vi som av antigen operationell eller strukturell form, beroende på presentation. Med Falkners m.fl. (1999) studie som utgångspunkt analyse-rade vi alla elevernas svar, där det inträffade ett eller fler inkorrekta lösningar. Felen av utsa-gorna av strukturell form redovisar vi i tre tabeller (Tabell 2a, 2b och 2c), där vi skiljer på elevernas olika tolkningar av likhetstecknets funktion som påverkar deras lösningar av uppgif-terna. Med uppgift 7 (8 + 4 = _ + 5) som vi har lånat från Falkner m.fl. (a.a.), räknar vi det totala antalet korrekta svar från de 30 diagnoserna. Vi redovisar resultatet för varsin skola i en tabell (Se Tabell 3b), och därutöver jämför dessa resultat med de tidigare studier (Se Tabell 3a) som genomförts av Falkner m.fl. (a.a.) samt Freiman och Lee (2004). Proportionen av totala korrekta svar redovisar vi dessutom i en separat tabell, var skola för sig. Resultatet från diagnosen använder vi som underlag till våra kvalitativa intervjuer.
3.4.2 Kvalitativa intervjuer
Våra kvalitativa intervjuer innefattade fasta ledfrågor till varje elev, och sedan följdfrågor beroende på deras svar. Vi uppmanade eleverna att tänka högt, dvs. tala när frågorna innebar uträknande, så att vi kunde både tolka och anteckna deras funderingar. Vi valde att anteckna istället för att spela in på band då vi ville utnyttja pauserna i elevernas talande med att tillåta dem att fortsätta i sina tankebanor, ostörda av ytterligare frågor från oss (Johansson och Sved-ner 2006). Samtidigt ville vi inte förhindra spontana kommentarer (Patel och Davidson 2003). Elevernas namn hanteras anonymt i vår studie. Dock eftersom namnen skrivits på diagnoserna hade vi dem som underlag till intervjuerna.
Vi speglade elevernas kommentarer för att försäkra oss att vi hade förstått vad de menade (Johansson och Svedner 2006). Efter intervjuerna, granskade vi noggrant deras svar och kommentarer i våra anteckningar. Vi använde oss av meningskoncentrering (Kvale 1997) för att kunna uttrycka kommentaren mer koncist. Vid den tidpunkten delade vi upp våra data i två kategorier, operationell och strukturell uppfattning, för att kunna redovisa resultatet. Redovis-ningen består av elevernas muntliga beskrivningar av likhetstecknet.
3.4.3 Textanalys
Vi inledde vår textanalys med noggrann närläsning av läroböckerna som ingick i vår under-sökning (Johansson och Svedner 2006), dvs. vi läste varenda uppgift i de sju läroböckerna. Med Li m.fl. (2008) och McNeil m.fl. (2006) som utgångspunkt kategoriserade vi sedan alla uppgifter med likhetstecknet, antingen som operationella (t ex 4 + 3 = 7) eller strukturella (t ex 7 = 4 + 3). I likhet med de internationella studier, uppdelade vi de strukturella uppgifterna vidare i följande kategorier för att kunna djupare analysera hur läroböckerna introducerar och presenterar likhetstecknet: a) operationer utan likhetstecken (t ex 4 + 3), b) operationer på höger sida om likhetstecknet (t ex 7 = 4 + 3), c) operationer på båda sidor om likhetstecknet (t ex 3 + 4 = 5 + 2), och d) ingen explicit operation på någon sida om likhetstecknet (t ex 7 = 7, 1m = 100 cm, 1 dygn = 24 timmar). Denna fördelning av uppgifter redovisar vi i Tabell 5a och 5b, där vi synliggör proportionen av det totala antalet uppgifter i de enskilda läroböckerna som presenteras i operationell form i Tabell 5a, och i de olika strukturella formerna i Tabell 5b. Sedan jämför vi resultaten från de enskilda läroböckerna.
3.5 Trovärdighet
3.5.1 Kvantitativ undersökning
Patel och Davidson (2003) menar att tillförlitligheten av en studie handlar i hög grad om vil-ken eller vilka olika instrument som används för datainsamlingen, och om dessa instrument kan stå emot inflytandet av olika slag, dvs. om resultatet från undersökningen skulle bli lik-nande med upprepning av studien. På grund av detta och för att uppnå god validitet, valde vi att använda oss av både en kvantitativ och en kvalitativ undersökning. Erlwanger (1973) visar i sin studie att ett högt antal korrekta lösningar i diagnostiska tester säger ingenting om en elevs förståelse. Skriftliga tester avslöjar inte hur eleven tänker kring matematiska begrepp, eftersom deras fokus ligger främst på det rätta svaret. När man som lärare ska utvärdera ele-vens kunskaper i matematik kan man därför inte endast förlita sig på det skriftliga materialet. Enligt Erlwanger är det främst genom samtal mellan lärare och elev att elevens resonemang kring matematiska begrepp kan synliggöras.
Vi tog inspiration från tidigare studier (Se t ex Behr m.fl. 1980; Falkner m.fl. 1999; Freiman och Lee 2004) och från Skolverkets (2009a) diagnosmaterial för åldrarna före skolår 6. Jo-hansson och Svedner (2006) menar att man undviker svårigheter och brister i frågeställningar genom att använda sig av etablerade metoder och undersökningsfrågor. Uppgifterna i vår
un-dersökning bestod av endast en utsaga av operationell karaktär och nio av strukturell, efter-som ett av våra syften var att utreda om eleverna hade svårigheter med den strukturella förstå-elsen av likhetstecknet. Vi inser att en jämnare fördelad diagnos av uppgifter av båda former, kan ha bidragit till fler fel i utsagor av den operationella typen, men vi instämmer med Frei-man och Lee (2004) att uppgifter av typen 3 + 4 = 7 är mindre fruktbara för denna sorts un-dersökning, eftersom majoriteten av eleverna från tidigare studier har löst dessa utan stora svårigheter.
3.5.2 Kvalitativa intervjuer
Trovärdigheten av våra intervjuer försökte vi kontrollera med att utgå från tre fasta ledfrågor och fyra bilduppgifter som vi ställde till varje intervjuelev. Frågorna formulerade vi med stöd av lösningarna från diagnosen och med hjälp av tidigare forskning (Se t ex Baroody och Ginsburg 1983; Carpenter m.fl. 2003; Knuth m.fl. 2008; McNeil m.fl. 2006). Dessa studier valde vi eftersom vi ansåg dem relevanta till vår undersökning med avseende på att deras fo-kus ligger på elevernas förståelse av likhetstecknet.
En svaghet med kvalitativa intervjuer är att det lätt inträffar att forskaren ställer ledande frå-gor eller påverkar svaren med egna förväntningar eller värderingar (Johansson och Svedner 2006). Därför bad vi eleverna endast att förklara hur de tänkte, oavbrutna av fler frågor från oss, och sedan speglade vi deras svar. På så sätt kunde vi lyssna ordentligt och anteckna allt som sagts under intervjun, och därmed undvika feltolkning av deras funderingar eller svar (a.a.).
3.5.3 Textanalys
Trovärdigheten av vår textanalys bygger på att vi än en gång utgår från etablerade studier och metoder (se Li m.fl. 2008 och McNeil m.fl. 2006). Dessutom har granskningen och analyse-randet av alla uppgifter i de olika läroböckerna utförts av oss båda och oberoende av varandra. Vi diskuterade och jämförde våra resultat och kom sedan överens om en kodningsmetod för att kunna kategorisera de uppgifter som relaterade till vår undersökning. Vi använde oss av fem kategorier, som vi lånade från studien genomförd av McNeil m.fl. (2006). En nackdel med användningen av a priori kategorier är att det kan inträffa att vissa uppgifter faller utanför ramen av dessa kategorier. Detta upplevde vi inte i vår studie.
3.6 Procedur
Med samtycke från vår respektive handledare på partnerskolorna deltog vi vid föräldramöten på de två skolor där vi genomförde vår undersökning. Under mötena fick vi tillfälle att infor-mera föräldrarna om vårt kommande arbete, och även dela ut informationsbrev för elevernas medverkan i studien. Till de föräldrar som inte befann sig på dessa möten skickade vi hem informationsbrev med eleverna för underskrift. Av de 36 som delades ut fick vi i första hand 22 tillbaka. Ett andra försök gav ett positivt resultat med tillåtelser för ytterligare åtta elever.
Undersökningen med elevernas medverkan realiserades vid två tillfällen på vardera skolan. Första tillfället bestod av en diagnos (Bilaga 1) som eleverna fick genomföra individuellt, om än tillsammans i klassrummet. Vi förklarade för eleverna att deras svar skulle användas endast som underlag i vårt arbete, att medverkan var frivillig och att all datainsamling skulle hanteras anonymt. Diagnosen behandlade pre-algebraiska räkneuppgifter, och bestod av 10 utsagor: nio med ett obekant tal och en utsaga med två obekanta. Utsagorna var av olika typer: _ – 5 = 15, 10 = _ + 7, 8 + 4 = _ + 5 och 24 = _.
Andra tillfället omfattade enskilda intervjuer (Bilaga 2). Vi intervjuade totalt 10 elever av de 30 som hade utfört den skriftliga diagnosen. Anledningen till detta var tillgång av både tid och elever. Intervjuerna genomfördes i ett enskilt grupprum på respektive skolor. De individuella samtalen innefattade tre olika delmoment och tog ca 15-20 minuter per tillfälle att genomföra. Grundtanken med ledfrågorna som ställdes till eleverna var att få en uppfattning om deras funderingar kring likhetstecknet och utförande av pre-algebraiska uppgifter, som vi sedan kunde fördjupa oss i med följdfrågor. Del I bestod av specifika frågor om själva symbolen (=) och hur eleverna förstår funktionen av symbolen, dvs. som strukturell eller operationell. Del II innefattade fyra bilduppgifter, där eleverna fick komma fram till vilka tal som saknades för att utsagorna skulle vara sanna. Under intervjuerna antecknade vi elevernas muntliga funderingar och svar. Dessa analyserade vi som strukturell eller operationell uppfattning, utifrån hur de utryckte sig angående likhetstecknet.
Textanalysen inleddes med att enskilt granska alla läroböcker som ingick i vår undersökning. Vi jämförde våra funderingar kring uppgifterna, och med Li m.fl. (2008) och McNeil m.fl. (2006) som utgångspunkt, kom vi överens om vilka kategorier från dessa studier som skulle användas för uppdelningen av uppgifterna, vad gäller strukturell och operationell presentation
av likhetstecknet. Vi utarbetade en lista för varje lärobok och därefter läste vi igenom alla uppgifterna en andra gång och anvisade varje uppgift till en kategori. Slutligen delade vi upp vårt resultat i två tabeller, enligt operationell eller strukturell presentation.
4 Resultat
Vi har uppdelat redovisningen av detta kapitel i tre huvudkategorier: kvantitativ undersök-ning, kvalitativa intervjuer och textanalys. Resultaten från de två skolorna redovisas, var för sig, med anledning av den stora skillnaden i både antal elever som ingick i studien från re-spektive skola samt elevernas olika etniska bakgrund på vardera skolan (Se avsnitt 3.2).
4.1 Kvantitativ undersökning
Vilka tolkningar av likhetstecknet gör elever när de löser pre-algebraiska uppgifter?
Resultatet från diagnosen visar att eleverna från Skola A inte har stora svårigheter när det gäller räkneuppgifter av operationell typ. Sex av de åtta eleverna gav rätt svar på uppgift 5 (_ - 5 = 15). Även på uppgift 4, av den strukturella typen 24 = _ , gav sju av de åtta eleverna rätt svar. En mindre andel elever från Skola B gav rätt svar på dessa två uppgifter: 15 av de 22 eleverna gav rätt lösning på uppgift 5, och 14 av de 22 eleverna gav rätt lösning på uppgift 4. Däremot, när uppgifter presenteras i strukturell form görs betydligt många fler felaktiga lös-ningar. Tabellerna nedan visar en sammanfattning av de fel som förekom av eleverna från båda undersökningsskolor, från strukturella uppgifter av typen 10 = _+ 7, _ = 11 + 3, 6 = 6 + _ (Tabell 2a); _ + 4 = 9 + 2, 11 + _= 13 + 3, 22 - 2 = _ + 10, (Tabell 2b) och även särskilda fel av typen _ + 20 = 40 -_ och 24= _ (Tabell 2c).
Tabell 2a: Inkorrekta lösningar vid uppgifter:_= 11 + 3, 6 = 6 + _, 10 = _ + 7
Utsaga Summan Differens
_ = 11 + 3 8 = 11 + 3
6 = 6 + _ 6 = 6 + 12 10 = _ + 7 10 = 17 + 7
I Tabell 2a ser vi att elevernas fel omfattar 1) att skriva summan av de två talen på strecket, oberoende av på vilken sida av likhetstecknet de befinner sig, och 2) att skriva differensen av de två talen på strecket.
Tabell 2b: Inkorrekta lösningar vid uppgifter:
_ + 4 = 9 + 2, 8 + 4 = _, 11 + _ = 13 + 3, + 5, 22 – 2 = _ + 10 Utsaga Direkt summa Direkt differens Upprepning
av en av ter-merna Total summa _ + 4 = 9 + 2 4 + 4 = 9 + 2 8 + 4 = _ + 5 8 + 4 = 5 + 5 _ + 4 = 9 + 2 5 + 4 = 9 + 2 8 + 4 = _ + 5 8 + 4 = 12 + 5 11 + _ = 13 + 3 11 + 2 = 13 + 3 22 – 2 = _ + 10 22 – 2 = 20 + 10 _ + 4 = 9 + 2 11 + 4 = 9 + 2 _ + 4 = 9 + 2 15 + 4 = 9 + 2 8 + 4 = _ + 5 8 + 4 = 17 + 5 11 + _ = 13 + 3 11 + 27 = 13 + 3 22 – 2 = _ + 10 22 – 2 = 34 + 10
Uppgifter av typen 8 + 4 = 7 + 5 visar fyra sorters fel. Det som inträffade oftast var att 1) ele-verna summerade eller subtraherade talen på den ena sidan av likheten, som om de frånsåg från det fjärde talet eller 2) att de summerade alla tre talen, oberoende av position till likhets-tecknet. Vi observerade även att några elever endast upprepade talet som fanns på samma sida av det obekanta talet.
Tabell 2c: Särskilda inkorrekta lösningar vid uppgifter: _ + 20 = 40 - _, 22 – 2 = _ + 10, 24 = _, _ - 5 = 15 Utsaga Addition på båda sidor
av likhetstecknet
Både addition och subtraktion Obestämd _ + 20 = 40 - _ 50 + 20 = 40 – 30 22 – 2 = _ + 10 22 – 2 = 30 + 10 24 = _ 24 = 12 (*) _ - 5 = 15 10 – 5 = 15 (**) * 5 elever, **4 elever
Tabell 2c inkluderar tillfällen där eleverna 1) använde addition på båda sidor av likhetstecknet och förmodligen bortsåg från minustecknet och 2) utförde subtraktion på en sida av likheten, sedan adderade tredje talet från andra sidan. Uppgiften 24 = _ orsakade också fel, där totalt fem elever svarade 12. Vi ansåg det också som intressant att observera att fyra elever gav lik-nande svar på subtraktionsuppgiften _ – 5 = 15 med att skriva svaret 10 som det obekanta talet.
Med syftet att kunna jämföra resultatet från de elever som deltog i vår studie med resultat från internationella undersökningar, inkluderade vi i vår diagnos uppgift 7, 8 + 4 = _ + 5 (Se Falk-ner m.fl. 1999; Freiman och Lee 2004). Vi vill påpeka att vår studie är betydlig mindre än de ovannämnda studierna, vars undersökning (Se Tabell 3a) omfattar skolår 1 till 6 med totalt 752 elever (Falkner m.fl. 1999) och förskoleklass, skolår 3 och 6 med totalt 89 elever (Frei-man och Lee 2004). Vi fokuserar endast på resultaten av elever i skolår 3 (Frei(Frei-man och Lee 2004) och skolår 4 (Falkner m.fl. 1999) i de internationella studierna, och skolår 4 i vår studie (Se Tabell 3b).
Tabell 3a: Resultat på uppgiften 8 + 4 = _ + 5
Falkner m.fl. (1999) USA Freiman och Lee (2004) Kanada Skolår
4
Antal som svarade 7 7/57
Skolår 3
Antal som svarade 7 69/89
Tabell 3b: Resultat på uppgiften 8 + 4 = _ + 5 (Sverige)
Haddad och Sponheimer (2009) Skola A Haddad och Sponheimer (2009) Skola B Skolår
4
Antal som svarade 7 7/8
Skolår 4
Antal som svarade 7 13/22
Tabellerna 3a och 3b visar att elever från den amerikanska studien hade betydligt lägre pro-portion av det totala antalet elever som gav rätt svar på uppgiften 8 + 4 = _ + 5 än elever i de andra tre studierna. Skola A från vår studie visade, proportionellt, det högsta antalet rätta svar, medan eleverna på Skola B klarade sig mindre bra än både Skola A och de kanadensiska ele-verna.
Uppgifter av strukturell form som visade det högsta antalet fel svar var utsagorna där både vänster- och högerledet bestod av två tal (t ex 8 + 4 = _ + 5 och 11 + _ = 13 + 3) och när det obekanta talet hamnade i slutet av en likhet (t ex 6 = 6 + _).
I Tabell 4 redovisar vi det totala antalet rätt svar på de 10 räkneuppgifterna från de två skolor-na.
Tabell 4: Proportion av rätt svar på räkneuppgifter
Skola Proportion av rätt svar på alla tio uppgifter
Skola A .850
Skola B .714
4.2 Kvalitativa intervjuer
Hur tänker eleverna kring likhetstecknet när de muntligt beskriver symbolen?
Resultatet från vår kvantitativa undersökning visar att en stor del av eleverna som ingick i vår studie demonstrerar en strukturell uppfattning av likhetstecknet i och med att de kan lösa ut-sagor av strukturell form. Under de kvalitativa intervjuerna, där vi bad eleverna att muntligt beskriva sina funderingar kring likhetstecknet, fick vi dock fler svar som tyder på en operatio-nell uppfattning. Endast Felix, från Skola A, visar en strukturell uppfattning när han beskriver likhetstecknet på följande sätt:
Felix: ”Lika med tecknet är en våg.”
Amanda, från Skola B, använder ordet blir, som i de flesta fall kopplas till en operationell uppfattning, men hon visar också en strukturell uppfattning eftersom hon samtidigt använder uttrycket lika mycket:
Amanda: ”Är lika med betyder… t ex … 5 + 5 = 10. Så det blir lika mycket.” Resten av intervjueleverna, oavsett om de gav rätt svar på uppgifterna i diagnosen eller inte, beskriver likhetstecknets funktion som operationell, dvs. att utföra en räkneoperation:
Axel: ”Den symbolen betyder ’är lika med’. ’Är lika med’ betyder om man räknar t ex 4 + 5 = 9.”
Elin: ”När man räknar … då blir det svar.”
Mohammad: ”Den här symbolen visar vad summan är … produkten.”
Hannah: ”Om man tar t ex 5 + 5 … så räknar vi det … men det måste stå symbol … och symbol är ’är lika med’.”
Kevin: ”… ska visa … efter symbolen kommer svaret.”
Linn: ”När man lägger ihop två tal … sen plussar man … (och då) blir det ett tal.” Ali: ”Om det är ett tal … vad det blir.”
Birk: ”Det ska alltid vara svaret efter ’lika med’…”
På bilduppgifterna i Del II gav nio av 10 elever rätt svar på alla uppgifter. Dessutom visade de en strukturell uppfattning med deras muntliga kommentarer:
Elin: ”Så det ska vara lika.”
Kevin: ”Att man ska lägga lika mycket … på båda sidor.” Linn: ”Lika mycket på både (sidor) …”
Ali: ”Samma vikt på både sidor …”
Vad gäller vår intervjufråga angående när eleverna såg likhetstecknet första gången, fick vi snarlika resultat från majoriteten av eleverna på båda skolorna. Övervägande delen svarade att de kommer ihåg symbolen från antingen förskoleklass eller år 1. Dessutom kommenterade de att det var i samband med operationstecknet för addition. En flicka förklarade att hennes in-troduktion till likhetstecknet var genom sina föräldrar:
Hannah: ”De ville hjälpa mig … innan jag började skolan. Mamma sa att denna (symbol) ger ett svar.”
Två elever kunde inte komma ihåg när de hade sett symbolen för första gången eller i vilket sammanhang.
4.3 Textanalys
Hur ser fördelningen över den strukturella och den operationella betydelsen av likhetstecknet ut i innehållet av de svenska läroböcker som ingick i vår studie?
Tabell 5a visar andel uppgifter som presenteras i operationell form i de fyra olika lärobokseri-erna som ingick i vår undersökning. Både Matteboken 3A/B (Rockström och Lantz 2005) och
Tänk och räkna 3A/B (Häggblom 2006), visar en hög andel av uppgifter av operationell typ,
med 69 % respektive 78 % . I läroböckerna för skolår 4 minskar däremot dessa andelar signi-fikant för både Matematikboken (Undvall m.fl. 2005) - 19,8 % - och Matteborgen Direkt 4A/B (Anderson m.fl. 2003; Anderson och Picetti 2004) - 26,3 %. Detta överensstämmer med stu-dien utfört av McNeil m.fl. (2006), där antalet operationella uppgifter avtar med varje årskurs.
Tabell 5a: Andel uppgifter som presenteras i operationell form
Lärobokserie Andel (%)
Matteboken 3A och 3B 69,0
Tänk och räkna 3A och 3B 78,0
Matematikboken 4 19,8
Matteborgen Direkt 4A och 4B 26,3
I Tabell 5b ser vi att av alla uppgifter som presenteras i strukturell form i skolår 4, framställs ett högt antal utan likhetstecknet, med 68,4 % i Matematikboken (Undvall m.fl. 2005) och 54,9 % i Matteborgen Direkt 4A/B (Anderson m.fl. 2003; Anderson och Picetti 2004). En signifikant skillnad från årskurs 3 där Matteboken 3A/B (Rockström och Lantz 2005) presen-terade endast 19,5 % uppgifter i denna form och Tänk och räkna 3A/B (Häggblom 2006) 10,1 %. Inga av de fyra lärobokserierna, varken för skolår 3 eller 4, framställde många uppgifter med operationer på höger sida eller med operationer på båda sidor. Matteboken 3A/B (Rock-ström och Lantz 2005), med 13 %, hade högst proportion av uppgifter av den strukturella ty-pen som t ex 7 = 4 + 3. När det gäller kategorin Ingen explicit operation på någon sida, där uppgifter kan presenteras som t ex 24 = 24 eller 1 dygn = 24 timmar, ser vi en ökning från skolår 3 till 4, från 2,8 % och 8,9 % i Matteboken 3A/B (Rockström och Lantz 2005) och Tänk
och räkna 3A/B (Häggblom 2006) respektive, till 10,9 % och 12.2 % i Matematikboken
(Und-vall m.fl. 2005) och Matteborgen Direkt 4A/B (Anderson m.fl. 2003; Anderson och Picetti 2004). Det inträffade dock ingen avsevärt hög andel av uppgifter i någon av de tre sista kate-gorierna i någon av läroböckerna.
Tabell 5b: Andel (%) uppgifter som presenteras i strukturell form
Lärobokserie Operationer utan likhets-tecknet Operationer på höger sida Operationer på båda sidor Ingen explicit operation på någon sida Matteboken 3A/3B 19,5 13,0 1,5 2,8
Tänk och räkna 3A/3B 10,1 0,5 2,5 8,9
Matematikboken 4 68,4 0,7 0,3 10,9
Matteborgen Direkt 4A/4B
54,9 1,2 5,3 12,2
5 Diskussion
5.1 Elevernas förståelse av likhetstecknets innebörd
Resultatet från vår kvantitativa undersökning bekräftar inte vår arbetshypotes att de flesta elever saknar förståelse för den strukturella innebörden av likhetstecknet. Trots att många elever på Skola B visar prov på att ha en operationell uppfattning, visar resultatet från studien i sin helhet att det finns ett förvånande stort antal elever som demonstrerar motsatsen till detta. Diagnosen med 10 öppna utsagor, har 85 % av eleverna från Skola A respektive 71 % av ele-verna från Skola B lyckats lösa korrekt. Detta tyder på att de flesta eleele-verna har bra förståelse av likhetstecknets innebörd.
I likhet med Freiman och Lees (2004) studie kan vi konstatera att öppna utsagor med opera-tioner på höger sida/båda sidor om likhetstecknet som t ex 10 = _ + 7; 8 + 4 = _ + 5, har varit de mest problematiska för eleverna och genererat flest inkorrekta lösningar. Detta bekräftas även av Seo och Ginsburg (2003) som menar att elever har större svårigheter med att finna ett obekant element i öppna utsagor med operationer på höger sida om likhetstecknet, än i upp-gifter där operationer ska utföras på vänster sida om tecknet. Flera studier visar (Carpenter
