Wedege, T. (2006). Hvorfor stave problematik med q? - hvad, hvordan og hvorfor i
matematikkens didaktik. Kapitel 16 i Skovsmose, O. og Blomhøj, M. (red.), Kunne det tænkes? - om matematiklæring. København: Malling Beck.
Hvorfor stave problematik med q?
- Hvad, hvordan og hvorfor i matematikkens didaktik
af Tine WedegeSom man råber i skoven får man svar.
(Dansk ordsprog.)
Vi befinder os i et klasseværelse hvor der undervises i matematik. Bagest i lokalet sidder tre personer som observerer elevernes læreprocesser ud fra hver deres faglighed. I kraft af faglige synsvinkler ser/opfatter de noget forskelligt i klassen. For sociologen drejer processerne sig om socialisering. For pædagogen om dannelse. For psykologen om læring. De kigger efter noget forskelligt, men det er ikke deres syn som er
afgørende. I mange populære fremstillinger er forskeren (næsten altid en
videnskabsmand) afbildet som en Sherlock Holmes type der drøner omkring med et forstørrelsesglas. Hvis man skulle finde en populær figur fra litteraturen som billede på forskeren, så ville Spørge Jørgen være et meget bedre bud. Det er nemlig spørgsmålet, eller problemstillingen, som gør forskellen i forskningen.
En sociologisk problemstilling kan f.eks. handle om kønssocialiseringen i klasserummet. En pædagogisk problemstilling om undervisningens almendannende karakter over for den studieforberedende. En psykologisk om elevernes vanskeligheder ved at tilegne sig abstrakte begreber. Spørgsmål af denne type om socialisering,
dannelse eller læring kan stilles i undervisningen gennem hele fagrækken (dansk, matematik, historie, engelsk osv.) Med hvad er det særlige ved de matematikdidaktiske spørgsmål? Hvis forskningsinteressen drejer sig om læring i almindelighed, kan der sagtens fremkomme resultater som er interessante for matematik- og
matematikdidaktikeren. Men det er min påstand at spørgsmålet eller forskningen ikke bliver matematikdidaktisk blot fordi undersøgelsen er rettet mod
matematikundervisning eller -læring. Hverken Piaget eller Lave regnes, eller regner sig selv, for matematikdidaktikere, selvom de begge i deres forskning om læreprocesser har brugt matematik som eksempel ud fra henholdsvis et psykologisk og et
socio-psykologisk perspektiv.
For en matematikdidaktiker vil interessen for elevernes læreprocesser i klasseværelset ovenfor være rettet mod deres matematiklæring, hvad enten problemstillingen primært er psykologisk, pædagogisk eller sociologisk. Som når spørgsmålet handler om elevernes vanskeligheder ved at tilegne sig det matematiske funktionsbegreb (Blomhøj, 2001), om elevernes matematiske kompetence som mål for matematikundervisningen (Niss og Jensen, 2002), eller om elevernes sociale motivation for at lære matematik (Skovsmose, 2002).
En del af min forskning befinder sig i et grænseland mellem matematikkens didaktik og voksenuddannelsesforskningens, der begge kan karakteriseres som
inter-disciplinære videnskaber. På den ene side importerer forskerne psykologiske,
pædagogiske, sociologiske, antropologiske, semiotiske, filosofiske m.m. begreber, teorier og metoder, rekonstruerer dem og gør dem til deres egne. På den anden side eksporterer de teorielementer til en række andre discipliner og bidrager med indsigt og
resultater som er relevante for andre forskningsfelter. Matematikkens didaktik har desuden et ganske særligt forhold til matematik som fag og videnskabelig disciplin. For at kunne navigere og rekognoscere i dette komplekse videnskabelige landskab har jeg udviklet en epistemologisk teminologi1, hvori ”problematique” er kernebegrebet
(Wedege, 1997, 1999, 2001; Wedege et al., 1998). Det udtales som ”problematik”, men staves med q. Jeg har nemlig importeret begrebet ”problématique” fra fransk filosofi, fordansket udtrykket en smule og rekonstrueret begrebet som matematikdidaktisk begreb.
Terminologien er et sprogligt redskab udviklet til at beskrive og analysere matematikdidaktisk praksis generelt – både udefra og indefra. I dette kapitel vil jeg præsentere terminologien, og sideløbende med det matematikkens didaktik som
forskningsfelt. Jeg vil uddybe spørgsmålet: Hvad karakteriserer en matematikdidaktisk problemstilling? og samtidig forsøge at svare på et andet: Hvordan kan begrebet
matematikdidaktisk problematique være et kritisk redskab til at højne kvaliteten i de
matematikdidaktiske studier.
”Problematik” på dansk og fransk
På dansk har ordet ”problematik” to grundbetydninger: ”problemstilling” og
”problemfelt”. Den første betydning problemstilling indeholder en forestilling om en bestemt måde at anskue problemerne på. Når der formuleres en problematik om et emneområde, så er der anlagt en bestemt synsvinkel. Som eksempel kan vi tage området "matematikundervisning i folkeskolen". En problemstilling formuleret af en finansmini-steriel embedsmand kan lyde sådan: De målte resultater svarer ikke til samfundets investering i denne sektor. En virksomhedsleder: Som medarbejdere skal de unge mennesker kunne betjene en lommeregner og lave overslagsregning. Gymnasielærer: Eleverne er ikke tilstrækkeligt stive i algebraen når de starter i 1. g. Folkeskoleelev: Vi skal lave alt for mange kedelige stykker i vores fritid. Forældre: Børnene lærer ikke det vi lærte i skolen, de burde have mere hjemmearbejde. I den anden betydning
problemfelt dækker udtrykket en række sammenhængende problemstillinger/problemer
om et bestemt emne opfattet som en helhed. F.eks. den samlede problematik om matematikundervisningens funktion i samfundet.
Det franske ord ”problématique” har kun den ene grundbetydning problemfelt, men her kan det have en mere specifik betydning, hvor sammenhængen inden for problemfeltet er bestemt af en videnskab eller teori. Det er denne sidste betydning jeg vil reservere til termen problematik.
Problemstilling Formulering af et problem inden for et område.
Problemfelt Sammenhængende problemstillinger om et område, opfattet som en helhed.
Problematik Et problemfelt hvor sammenhængen er skabt af en videnskab eller en teori.
1
Indtil videre er det nok at forstå ”epistemologisk” som en tilgang der kombinerer et erkendelsesteoretisk og videnskabsteoretisk perspektiv.
Tabel 1: Første teminologiske afklaring: fra problemstilling til problematik
I det videre bruger jeg de tre termer problemstilling, problemfelt og problematik som angivet i tabel 1. Med denne første tilnærmelse til fransk sprogbrug giver det god mening at tale om f.eks. en pædagogisk problematik, en matematikdidaktisk problematik eller en virksomhedsteoretisk problematik.
Fra genstandsområde til genstandsfelt
Videnskaber som matematik, psykologi, sociologi og pædagogik har hver deres
specifikke genstandsområde, forskningsinteresse, deres problemstillinger, resultater og kvalitetskriterier. (Se f.eks. Kuhn, 1962; Broady, 1991; Sierpinska & Kilpatrick, 1998)
Genstandsområdet for forskningen er et ”altid-allerede” (toujours-déjà) forarbejdet
virkelighedsudsnit. Ved afgrænsning af videnskabens genstandsområde eller
undersøgelsesområde, som ikke sker en gang for alle, men er en løbende proces, foregår der en første strukturering af området.
Genstandsområdet for matematikkens didaktik er ”altid-allerede” struktureret og afgrænset ved de konkrete praksis- og vidensformer der aktuelt betragtes som matema-tikundervisning, matematiklæring og matematikviden. Når det ikke kun er teoretisk matematik, skolematematik og boglig matematik der opfattes som matematik, men også etnomatematik og numeralitet, så omfatter matematikundervisning og -læring mange andre aktiviteter end dem der foregår i skoler og uddannelsesinstitutioner, og
matematikviden kan f.eks. være en ”tavs” viden, der kun viser sig gennem håndværks-mæssige færdigheder. Derved udvides genstandsområdet, men ikke kun som en kvantitativ udvidelse. Ikke kun horisonten, men også landskabet bliver ændret når der etableres relationer mellem fænomener som før var isolerede begivenheder. F.eks. når der åbnes for en socio-kulturel angrebsvinkel med opmærksomhed på matematik-undervisningens værdigrundlag. Når betragtninger om kontekst skifter fra primært at handle om opgave-kontekst (hvad og hvorfor) til også at dreje sig om
situations-kontekst (hvor). Eller når menneskers matematikviden ikke kun anskues som resultater af undervisning og læring, men også som udgangspunkt for undervisning og læring.
Med baggrund i bestemte formål og interesser indkredses et problemfelt, når der formuleres problemstillinger om genstandsområdet. Herved etableres relationer mellem fænomener i genstandsområdet som således struktureres yderligere til et genstandsfelt (Se tabel 2). En klassiker er ”overgangsproblemer i matematikundervisningen fra folkeskole til gymnasium”, hvor matematikundervisning i folkeskolen som
studieforberedende til gymnasiets matematikundervisning og måles i forhold til det.
Genstandsområde
(GO) Et ”altid-allerede” forarbejdet virkeligheds-udsnit som er genstand for forskningen.
Undersøgelsesområdet.
Problemstillinger formuleres om (GO) og et problemfelt dannes. Det sker ud fra bestemte formål og forsknings-interesser.
Genstandsfelt
(GF) Afgrænses og struktureres ud fra genstandsområdet ved formulering af problemstillinger. Undersøgelsesfeltet. Spørgsmål stilles om (GF) ud fra og inden for en problematik. Det sker inden for en videnskab og ud fra en given teori.
Tabel 2: Anden terminologiske afklaring: fra genstandsområde til genstandsfelt
Problemfeltet består ikke kun af en samling problemstillinger om genstandsområdet. De er sammenhængende, formuleret ud fra en bestemt logik, interesse eller synsvinkel. Det samme gælder problematikken, hvor spørgsmålene formuleres i videnskabens eller teoriens sprog. Enhver matematikdidaktisk problematik er – eller kan opfattes som – et af mange mulige bud på måder at spørge og svare på problemer der kan henføres til matematikundervisningens praksis.
Køn og matematik – eksempel 1
Lad os se hvordan “matematik og køn” som genstandsområde for matematikkens didaktik bliver afgrænset og struktureret til genstandsfelt. Området vil ”altid-allerede” være struktureret via den herskende diskurs om køn og matematik, og det slår igennem når problemstillinger og spørgsmål formuleres
Midt i 1970’erne publicerede Fennema og Sherman (1976) en række såkaldte ”Mathematics Attitudes Scales” til brug i kvantitative målinger af drenges og pigers holdninger til matematik. De er siden blevet brugt massivt ved forskning om
kønsforskelle i matematikundervisning. En af skalaerne, ”Mathematics as a Male domain”, forudsætter at matematik er et mandeområde, og genstandsfeltet ”matematik og køn” struktureres og afgrænses gennem spørgsmålene. De udsagn som eleverne skal forholde sig til ved afkrydsning af enig/uenig, er f.eks.:
2. Studying mathematics is just as appropriate for women as for men. 4. Girls can do just as well as boys in mathematics.
7. It’s hard to believe a female could be a genius in mathematics. 10. Girls who enjoy studying math are a bit peculiar.
(Fennema og Sherman, 1976, Appendix A)
Sidst i 1990’erne har Forgasz, Leder og Gardner (1999) kigget kritisk på skalaen og fundet at den indeholder en række items som ikke længere er valide. Baggrunden for deres kritiske opmærksomhed var at matematikdidaktiske studier med fokus på køn som brugte denne skala, fortsat viste store kønsforskelle, selvom opfattelsen af matematik som et mandeområde var aftaget gennem 1980’erne. Det bekymrede at den stereotype opfattelse af matematik som et mandeområde kunne have indflydelse på pigernes villighed til at dygtiggøre sig i matematik.
Denne bekymring var ligeledes baggrunden for GeMa-projektet (Gender and Mathematics) hvor elevers holdninger til matematik blev undersøgt i Sverige. Forksningsspørgsmålet er her: ”Is mathematics considered to be a male, female, or gender neutral domain by Swedish pupils in compulsory and upper secondary school?” (Brandell m.fl., 2004:1). Brandell, Edmeas og Sundqvist brugte en ny skala udviklet af
Forgasz og Leder, som bar navnet ”Who and mathematics”, og elever i 9. og 11. klasse blev bedt om at tage stilling til om udsagnene mest gælder drenge, piger, eller om der ikke er nogen forskel. Her er nogle eksempler:
1. Mathematics is their favourite subject
4. Give up when they find a mathematics problem is too difficult 5. Have to work hard in mathematics to do well
7. Care about doing well in mathematics (Brandell m.fl., 2004:10)
Til forskel fra Fennema-Sherman skalaen, som ikke muliggjorde svaret “Matematik er et kvindeområde”, eller “Matematik er et neutralt område”, så åbner den nye skala for tre svaralternativer: matematik som mande-, kvinde- eller neutralt område. Eksemplet illustrerer desuden hvordan spørgsmål lukker og åbner genstandsfeltet, og samtidig at problemstillingerne er historisk specifikke.
Fra genstandsområde til problematik
Genstandsområdet for en fagdidaktik er knyttet til det enkelte (undervisnings)fag. Uden matematikundervisning - ingen matematikdidaktik. Tre centrale problemstillinger i enhver fagdidaktik lyder sådan: Hvorfor undervises der i faget? Hvad undervises der i? og Hvordan undervises der? Med en ultrakort formulering anskuede Bent Christiansen, den første danske professor i matematikundervisning, matematikkens didaktik som ”studiet af matematikundervisningens problemfelt i al sin kompleksitet”. Alsidigheden i forskningen skal i følge ham sikre mod uhensigstmæssig reduktion af problemfeltets kompleksitet og sikre at delområder ikke behandles isoleret. Han citerer den hollandske matematikdidaktiker Hans Freudenthals udsagn i foredraget ”Major Problems of
Mathematics Education” på den fjerde internationale kongres om matematikundervisning, ICME 4:
Mathematical problems are problems within a science arising for a large part from this science itself or from other sciences. Education problems are problems of life arising from changing needs, moods and whims of a changing society. ... Moreover in mathematics you can choose one major problem ... solve it, and disregard the remainder. In education all major problems (...) are strongly interdependent. As a matter of fact major problems of education are
characterised by the fact that none can properly be isolated from the others. The best you can do at a given moment is to focus one of them without disregarding the others ... (Freudenthal, 1980, citeret efter Christiansen 1990:76)
På den internationale kongres om matematik (ICM) i Berlin 1998 beskrev Mogens Niss genstandsområdet sådan:
Matematikkens didaktik er det videnskabelige (…) forskningsfelt der søger at identificere, karakterisere og forstå de fænomener og processer som indgår - eller kunne indgå - i faktisk eller potentiel undervisning og læring af matematik på alle uddannelsesniveauer. (Niss, 1999:5,- min oversættelse)
I begge formuleringer er kerneområdet for den matematikdidaktiske virksomhed det der foregår – eller kunne foregå – i eller i tilknytning til den institutionaliserede
matematikundervisning. En problematik er imidlertid ikke kun karakteriseret ved det der tales om og undersøges, men også ved den måde hvorpå der bliver talt
(italesættelsen), og ved det der udelukkes, og derfor ikke kan undersøges. I ethvert studium er det nødvendigt at reducere problemfeltets kompleksitet, men udover den nødvendige reduktion kan der opstå blinde pletter som i eksemplet ovenfor med køn og matematik.
Carl Winsløw (2003) har beskrevet det matematikdidaktiske genstandsområde med udgangspunkt i en klassisk ”didaktisk trekant”, hvis hjørner udgøres af: stof/fag, lærer/undervisning og elev/læring. Ifølge ham er fagdidaktikkens genstandsområde dog hverken faget eller de øvrige ’hjørner’, men derimod relationerne mellem dem: den
didaktiske akse (undervisning-fag), den a-didaktiske akse (læring-fag) og den sociale akse (undervisning-læring). Hver af disse akser får mening fra det modstående hjørne:
den didaktiske akse er motiveret af eleven som skal lære, den a-didaktiske er motiveret af undervisningen, og den sociale akse er motiveret af faget som der kommunikeres om. Winsløws konstruktion af genstandsfeltet er baseret på en fransk matematikdidaktisk problematik, hvor tilgangen til matematikundervisning og –læring afhænger af paradigmestærke teoridannelser, specielt Brousseaus teori om didaktiske situationer. Spørgsmålene der stilles om et genstandsfelt udspændt af den didaktiske, a-didaktiske og sociale akse, formuleres ud fra og inden for en teoretisk bestemt problematik. Med denne tilgang omfatter det primære genstandsområde ikke den historiske, kulturelle og samfundsmæssige kontekst for undervisning og læring, selvom den tilkendes en betydning og inddrages ad hoc for at belyse relationerne i genstandsfeltet.
Heroverfor står Ronald Fischers enkle beskrivelse (1993) af matematikkens didaktik som en akademisk disciplin der har det fælles mål at studere og søge at forme forholdet mellem mennesker og matematik. Hvor mennesker både betyder
enkeltindivider og sociale systemer, endog hele samfund. Ifølge ham er den overordnede intention at indvirke på relationen matematik <-> samfund gennem
matematikundervisning. Fischer argumenterer for at der i samfundet findes en dualisme mellem matematik som middel og som system. På den ene side udgør matematik et
middel (redskab) for individer til at forklare komplekse situationer og til at
kommunikere om dem. På den anden side er matematik et system af begreber, algoritmer og regler som er inkorporeret i os, i vore tanke og handlinger, og som bestemmer dele af vores identitet. Ifølge Fischer er systemet tæt forbundet med vores samfundsmæssige organisation, og vi skal adlyde det.
Med den sidste formulering synliggøres magterelationerne inden for det matematikdidaktiske problemfelt. Et tema som Paola Valero formulerer og diskuterer som ”diskurser om magt” i kapitel 15. Samtidig tydeliggøres – med Fischers
afgrænsning, strukturering og åbning af det matematikdidaktiske genstandsområde i et specifikt genstandsfelt – at forskerens opfattelser af hvad matematik er for noget, og hvorfor der skal undervises i matematik, er centrale.
Den matematikdidaktiske forskning er grundlæggende problemorienteret: Vi producerer viden fordi vi ønsker at forandre verden i overensstemmelse med vores grundlæggende værdier. Afhængigt af vores erfaringsmæssige og teoretiske baggrund og fremadrettede interesser identificerer og formulerer vi forskellige problemer i feltet, værdierne kommer bl.a. til udtryk i vores overordnede svar på
Begrundelsesproblemet (Hvorfor undervise i matematik?) kan besvares lokalt for en specifik undervisning, f.eks. med formål og funktion set i forhold til den enkelte og samfundet, men det kan også besvares globalt for matematikundervisning i
almindelighed (Jensen, Niss og Wedege, 1998). I en fagdidaktisk gennemgang af matematiske modeller argumenterer Skott (1992) for en tredeling af formålbeskrivel-serne for et anvendelsesorienteret matematikfag i en utilitaristisk, en kritisk og en humanistisk tendens. Den utilitaristiske tendens er kendetegnet ved at tillægge
matematikkens anvendelighed i og uden for erhvervsmæssige sammenhænge den største vægt, og først derefter prioriteres de videnskabsfaglige aspekter. Udvikling af en
praktisk, funktionel viden hos deltagerne bliver derfor hovedmålet med faget. Den
kritiske tendens er kendetegnet ved at formålet med undervisningen er at eleverne bliver
i stand til at forstå og forholde sig til matematikkens betydning som et, til tider
illegitimt, beslutningsgrundlag ved vigtige samfundsspørgsmål. Anvendelser og fagligt indhold inddrages i det omfang det kan bidrage hertil. Udvikling af en refleksiv viden hos deltagerne bliver derved hovedsigtet i undervisningen. I den humanistiske tendens er formålet "at udvikle elevernes matematik forstået som deres forholden sig, deres måde at stille og besvare spørgsmål på, deres måde at angribe såvel faglige som ikke-faglige problemer på." (Skott, 1992:102) Her er matematik som selvstændig aktivitet i undervisningen legitim, og udvikling af deltagernes ”rene” matematiske viden er et selvstændigt og væsentligt sigte i undervisningen.
Skiftet i besvarelse af begrundelsesproblemet for folkeskolens
matematikundervisning i første halvdel af 1900-tallet er tydeligt signaleret med titlen ”fra forstandens slibesten til borgerens værktøj” (Hansen, 2002). Udtrykt i tendenser kan vi tale om et skift fra en humanistisk tendens, hvor matematikundervisningens formalt dannende effekt blev fremhævet, til en utilitaristisk tendens hvor matematikken som værktøj i hverdagslivet blev betonet.
”Problématique” i matematikdidaktisk litteratur
Ved en terminologisk afklaring og begrebslig konstruktion, som den jeg er i gang med, er det nødvendigt at undersøge hvordan termen eller begrebet “problématique” optræder i international matematikdidaktisk litteratur. En første konstatering må være denne: Når man støder på udtrykket ”problématique”, så er betydningen fransk inspireret eller forfatteren fransksproget. Det svarer altså til ”problematik” med betydningen af et problemfelt hvor sammenhængen er skabt af en videnskab eller en teori (se tabel 1). Det gælder f.eks. den tidligere hovedredaktør for det internationale tidsskrift ”Educational Studies in Mathematics”, østrigeren Willibald Dörfler, der bruger termen i en artikel om kvalitetskriterier for videnskabelige matematikdidaktiske artikler:
There should be an explicitly formulated and explained rationale for the presented research: What are the goals? What is the motivation? Which are the central research questions? What is the context for the research? In French terms the paper must explain and present its own problématique. (Dörfler, 1993:85) Hos Dörfler bestemmes en matematikdidaktisk ”problématique” altså bredt ved forskningens mål, hensigt, centrale spørgsmål og kontekst, mens den franske matematikdidaktiker, Nicolas Balacheff, definerer et begreb sådan:
A problématique is a set of research questions related to a specific theoretical framework. I refer to the criteria we use to assert that these research questions are to be considered and to the way we formulate them. (…) A problem belongs to a problématique on mathematics teaching if it is specifically related to the mathematical meaning of pupils’ behaviour in the mathematics classroom (Balacheff, 1990:258)
Her afgrænses en matematikdidaktisk problemstilling i forhold til f.eks. en sociologisk og psykologisk ved specifikt at handle om matematik, men Balacheff supplerer i en senere artikel, hvor han fremhæver at det ikke er tilstrækkeligt at det faglige indhold er matematik:
It [the problématique] refers to the criteria we use to assert that these research questions are to be considered and to the way we formulate them. It is not sufficient that the subject matter being mathematics for one to assert that such a study is research on mathematics teaching (Balacheff, 1993:132).
Som hos Dörfler omfatter ”problématique” hos Balacheff også centrale forsknings-spørgsmål, men de stilles ud fra en bestemt teori. Konkret hos ham og hans franske kolleger en konstruktivistisk teori om matematiklæring og ofte Brousseau’s (1986) teori om didaktiske situationer. I en artikel med titlen ”La problématique des situations fondamentales” diskuterer Marc Legrand (1996) forskellige didaktiske tilgange til matematikundervisningen. Fokus er de forskellige konstruktioner af
matematikundervisningen som genstandsfelt (”diverses modélisations d’une même réalité”) og mulige konsekvenser heraf for relationen til undervisningens praksis. Når ”problématique” bruges og defineres eksplicit eller implicit i den
matematikdidaktiske litteratur, optræder det alene. Begrebet bruges til at rette opmærksomheden på matematikdidaktisk forskning, men det indgår ikke i en epistemologisk terminologi. På en ICMI-konference2 i 1994 hvor spørgsmålet om matematikkens didaktiks identitet som forskningsområde stod på dagsordenen, var titlen på diskussionsdokumentet til en af arbejdsgrupperne ”What are the Specific Research Questions or Problématiques of Research in Mathematics Education.” Betydningen uddybes i teksten:
Mathematics education lies at the crossroads of many well-established scientific domains such as mathematics, psychology, pedagogy, sociology, epistemology, cognitive science, semiotics, and economics, and it may be concerned with problems imported from these domains. But mathematics education certainly has its own specific problématiques that cannot be viewed as particular cases or applications of those from other domains (Sierpenska & Kilpatrick, 1998:6). Det skal bemærkes at Balacheff var medforfatter til diskussionsdokumentet. Det er også værd at bemærke at ”problématiques” står i flertal: det opfattes altså som meningsfuldt at tale om matematikdidaktiske problematikker. Forfatterne fremhæver at
2
ICMI står for “International Committee on Mathematical Instruction”. Det er den internationale organisation som bl.a. står for den internationale kongres om mathematikundervisning: International Congress on Mathematical Education (ICME), som sidst blev afholdt i København, 2004.
matematikkens didaktik beskæftiger sig med problemer hentet fra sociologien,
psykologien osv., men samtidig at den har sine egne specifikke problematikker. Det vil sige at en matematikdidaktisk problematik opfattes som forskellig fra og ikke
reducerbar til en sociologisk eller psykologisk problematik. Senere i samme dokument fremgår det at både forskningsspørgsmål og resultater opfattes som relative til en given problematik.
Sammenfattende kan man sige at brugen af termen ”problématique” i matematikkens didaktik nærmest svarer til den specifikke franske betydning af problematik: et problemkompleks udspændt af forskningsspørgsmål formuleret inden for en bestemt teoretisk ramme.
… og videre til problematique
Epistemologien3 er ikke en overordnet instans, en slags videnskabernes videnskab. Tværtimod er den i en vis forstand underordnet de enkelte videnskaber. Dens teoretiske begreber og kategorier er altid foreløbige og delvis bestemt af den videnskabelige konjunktur den arbejder i. Kort kan epistemologi karakteriseres som en teoretisk praksis der fremsætter teser om begrebsproduktionen og de teoretiske eller samfundsmæssige betingelser for begrebsproduktionen inden for hver videnskab. Det grundlæggende filosofiske spørgsmål om forholdet mellem tanke og væren formuleres i epistemologien som spørgsmålet om forholdet mellem subjekt og objekt i erkendelsesprocessen. Et spørgsmål som enhver empirisk videnskab tager stilling til mere eller mindre eksplicit. Epistemologien taler om den videnskabelige praksis og leverer en bestemt fortolkning af forholdet mellem subjekt og objekt. Det er en grundlæggende tese at enhver sådan fortolkning er historisk specifik. Alligevel er det muligt at fremsætte endnu en tese med et generelt indhold. Den franske filosof Louis Althusser4 (og jeg med ham) skelner mellem realobjekt og erkendelsesobjekt ud fra en generel epistemologisk tese der kunne lyde sådan: Erkendelsesprocessen tager aldrig udgangspunkt direkte i det empirisk givne (realobjektet), men går altid ud fra et ”altid-allerede” forarbejdet objekt
(erkendelsesobjektet), som er de begreber og forestillinger vi gør os om realobjektet i vores erkendelse af det. Som konsekvens heraf er erkendelsen ikke en passiv
indskrivning, en blot og bar genkendelse, men har karakter af produktion. Det er denne opfattelse af forholdet mellem virkelighed og erkendelse der ligger bag min definition af genstandsområde og genstandsfelt ovenfor.
Enhver erkendelsesproces foregår inden for en bestemt problematique som definerer grænserne for erkendelsen. Det skal ikke forstås sådan at der er en øvre grænse for den menneskelige erkendelse. Begrænsningen ligger ikke i virkeligheden, men er bl.a. en funktion af de redskaber det tænkende hoved har til sin disposition på et givet tidspunkt (Pedersen & Wedege, 1972).
3
Den etymologiske betydning af epistemologi er læren (logos) om viden/videnskab (episteme).
Definitionen ovenfor placerer ”epistemologi” i et grænseland mellem erkendelsesteori, videnskabsteori og videnskabsfilosofi. Når der i den engelsksprogede (eller anglo-inspirerede) del af matematikkens didaktik tales om ”dominant epistemologies in mathematics education”, så drejer det sig om de grundlæggende og konfliktende syn på hvad matematik er for noget. Konflikten mellem absolutisme og fallibilisme (Ernest, 1991), eller mellem scientisme og humanisme (Triadafillidis, 1998) er centrale eksempler.
4
Udvikling af begrebet problematique er især baseret på en kritisk læsning af Althusser (1965, 1968) og Bachelard (1949). Se nærmere om min læsning Althusser og om forholdet mellem Kuhns
paradigmebegreb (1962) og det franske epistemologiske begreb ”problématique” i Wedege (1999, kapitel 1.2)
Problematique defineres som den specifikke enhed i en teoretisk praksis hvor
der formuleres spørgsmål og produceres svar om genstandsfeltet. Der kan være tale om en ideologisk, videnskabelig eller filosofisk praksis hvori spørgsmål og svar er
indbyrdes strukturerede og udgør et systematisk, sammenhængende hele. Denne helhed kan på ingen måde reduceres til sine elementer (begreber og kategorier). Et begrebs gyldighed eller betydning er ikke en i termen iboende karakter, men må defineres i forhold til den problematique det optræder i. F.eks. kan ”dannelse” som begreb skifte betydning og status fra den ene pædagogiske eller filosofiske problematique til den anden.
En problematique er uendelig i den forstand at der til stadighed kan udvikles nye spørgsmål og svar om genstandsfeltet. Den er samtidig afgrænset: det er ikke et hvilket som helst spørgsmål eller praksis den tillader. En problematique er i lige så høj grad karakteriseret ved de tanker der ikke kan tænkes i den, som ved dem der kan tænkes. F.eks. vil en behavioristisk psykologi som udelukkende beskæftiger sig med den menneskelige adfærd (reaktion og stimuli), ikke kunne redegøre for de menneskelige bevidsthedsformer.
En problematique er altid et historisk produkt. Den formulerer virkelighedens problemer i sit eget sprog, hvorved den indfører en bestemt transformation af disse problemer. Samtidig er problematiquen en proces, som udvikler sig i med- og modspil til de problemer den forholder sig til. En problematique baseres på et eller flere temaer som er grundlæggende spørgsmål eller problemformuleringer, der i sidste instans bestemmer dens specifikke karakter. Det vil sige hvilke transformationer den foretager. I en videnskabelig problematique defineres de legitime problemstillinger og metoder via temaet. En sociologisk problematique kan karakteriseres ved at den tematiserer
relationen mellem menneske og samfund, mens forholdet mellem lærer og elev (i bred forstand) er et centralt tema i de pædagogiske problematiquer. De er desuden karak-teristiske ved
• at indeholde et (eksplicit eller implicit formuleret) filosofisk-antropologisk menneskesyn,
• at have både et analyserende og foreskrivende forhold til praksis.
Det samme gælder de matematikdidaktiske problematiquer, som tematiserer relationen menneske-matematik. De konstitueres bl.a. ved eksplicitering af hvad der menes med ”matematikviden”.
Fra tid til anden forekommer der brud i problematiquen. Der formuleres nye spørgsmål som ikke kan besvares inden for problematiquen. Et sådant brud er et punkt hvorfra det er umuligt at vende tilbage til en tidligere problematique.5 I pædagogiske proble-matiquer kan brud forårsages af nye pædagogiske spørgsmål, som da den tyske pæda-gog Wolfgang Klafki konstruerede begrebet om den kategoriale dannelse gennem en kritik af de to imkompatible teorier om material og formal dannelse (Klafki, 1959). Ingen pædagog med respekt for sig selv kan i dag tænke material og formal dannelse som et ”enten eller”, men kun som et ”både og”. Og mere end det, for begrebet om den
5 Tanken ledes hen på Kuhn og hans begreb om videnskabelige revolutioner (1962). Men inspirationen skal findes i Gaston Bachelards begreb ”rupture épistémologique” (1949). For en præsentation af en fransk videnskabsteori der søger at gøre rede for et begreb om brud, se Bøgeskov, Pedersen, Svindborg og Wedege (1972).
kategoriale dannelse handler ikke om sammenføjning af komplementære deldannelser, men om den dialektiske helhed mellem momenter der først får deres gyldighed og betydning i og med denne helhed (Wedege, 1993).
Brud kan også forårsages af spørgsmål ”udefra” f.eks. kvalifikationsbegrebet hentet fra uddannelsesøkonomien der ændrer genstandsfelt og problemfelt i de
pædagogiske problematiquer. Det bliver umuligt at tænke uddannelse uden samtidig at tænke kvalificering af arbejdskraft:
En stor del af den uddannelsesøkonomiske teori var orienteret mod analysen og kritikken af den statslige uddannelsespolitik, men den specifikke forståelse af pædagogik og læring er centreret om nøglebegrebet kvalifikation. (...)
Siden er kvalifikationsbegrebets samfundsmæssige bestemmelse af uddannelse blevet noget nær en selvfølgelighed: Det er blevet svært at tænke pædagogik og uddannelsespolitik uafhængigt af at vi lever i et kapitalistisk samfund og uden tanke for at menneskers udvikling samtidig er kvalificering af arbejdskraft. I den forstand er der etableret en ny forståelsesramme, omend på et meget generelt plan (Olesen, 1989:19).
En videnskabelig problematique kan nu defineres som den specifikke enhed for en teoretisk praksis hvori problemer formuleret som videnskabelige spørgsmål om et givet genstandsfelt udgør et systematisk, sammenhængende hele. Genstandsfeltet er kon-strueret ved formulering af problemstillinger der vedrører fænomener i genstands-området for den teoretiske praksis. Det vil sige ved dannelse af et problemfelt. I det videnskabelige praksisfællesskab transformeres problemfeltet til en problematique ved teoriers og metodologiers mellemkomst. Det giver mening at tale om ”det matematik-didaktiske problemfelt”, men ”den matematikmatematik-didaktiske problematique” findes ikke, kun ”matematikdidaktiske problematiquer”.
Genstandsområde (GO) Problemfelt (PF) om GO
Genstandsfelt (GF) Problematique (P) om GF
Problemer (spørgsmål) inden for P Problemstillinger inden for PF
Etnomatik – eksempel 2
Lad os se hvordan etnomatikken kan opfattes som en (eller flere) problematique(r). Det er opfattelsen af hvad matematik er, og hvad matematik ikke er, som er afgørende for en første afgrænsning af det matematikdidaktiske genstandsområde. I sit korte liv som videnskab har matematikkens didaktik ikke oplevet et epistemologisk brud. Det kan opfattes som udtryk for videnskabelig åbenhed og fleksibilitet, men er nok først og fremmest en konsekvens af at der ikke findes nogen hegemonisk problematique. Etnomatematikken er eksempel på et forsknings- og praksisfelt som er blevet indoptaget i matematikkens didaktik gennem noget man kunne kalde en reform. Det vil sige en forbedring som har påvirket og udvidet genstandsområdet, men samtidig en reform hvorfra der ikke er nogen vej tilbage ligesom ved bruddet. For etnomatematikerne omfatter matematik også hverdagsaktiviteter som at tælle, lokalisere, måle og designe (Bishop, 1988).
Den brasilianske matematiker og matematikdidaktiker Ubiratan D'Ambrosio lancerede sit ”etnomatematiske program” i begyndelsen af firserne, og præsenterede det på den fjerde internationale kongres om matematikundervisning (ICME 4)
(D’Ambrosio, 1985). Han satte etnomatematik over for teoretisk matematik (academic mathematics), det vil sige den matematik der undervises i og læres i skoler og
uddannelsesinstitutioner. Etnomatematik beskriver han som den matematik der praktiseres i identificerbare kulturelle grupper. F.eks. i nationale samfund eller stammesamfund, grupper af arbejdere, børn i en bestemt alderskategori eller professionsgrupper.
Med accepten af etnomatematikken i det matematikdidaktiske samfund udvides genstandsområdet fra ”skolematematik” til etnomatematik, og der kan dannes et didak-tisk praksisfelt som også betegnes ”etnomatematik”. Men for at få etnomatematik konstitueret som et genstandsfelt skal man udover et bredt matematikbegreb anlægge en socio-kulturel tilgang til genstandsområdet og derved udvide det matematikdidaktiske problemfelt.
Det er en forudsætning for det etnomatematiske projekt at matematik ikke opfattes som universel og værdifri. Projektet skal først og fremmest ses som en kritik af den vestlige kulturimperialisme, som den fungerer i de stort anlagte
undervisningsprogrammer i udviklingslandene. En helt central problemstilling er at elevernes kapacitet til at kunne bruge tal og mål, håndtere geometriske former og begreber i hverdagen gennem skolingen erstattes af andre praksisformer, som har fået matematikstatus.
Paulus Gerdes, der har arbejdet de sidste 35 år i Mozambique, argumenterer for at etnomatematikken både er et genstandsområde og et forskningsfelt (Gerdes, 1996). Han har formuleret otte udsagn, som udspænder det han kalder det etnomatematiske ”paradigme”, og som er baggrund for konstituering af det jeg kalder en etnomatematisk
problematique. Udover det brede matematikbegreb og den socio-kulturelle tilgang
indgår der teser om matematik, matematikviden og matematiklæring: F.eks. • at matematiske teknikker og sandheder er et kulturelt produkt,
• at alle folk - hver kultur og subkultur - udvikler deres egen særlige form for matematik, og
• at skolematematikken i de transplanterede og importerede læseplaner er et fremmedelement (”alien”) for de kulturelle traditioner i Afrika, Asien og Sydamerika.
Desuden omfatter en etnomatematisk problematique principper for organsering af undervisningen om at indarbejde matematiske traditioner og aktiviterer fra dagligdagen i læseplanerne. Og endelig står etnomatematikerne sammen om et globalt svar på begrundelsesproblemet. De har generelt et socio-kritisk syn på matematikundervis-ningen som skal give de studerende mulighed for at reflektere over den virkelighed de lever i og myndiggøre dem (empower) til at udvikle og bruge matematik på en
frigørende måde.
Etnomatematik handler ikke kun om matematiske aktiviteter i afgrænsede etniske grupper. Hos matematikdidaktikere som norske Stieg Mellin-Olsen (1987), der har introduceret termen ”folkematematik”, ligger der en generel anerkendelse af at menneskers matematik i hverdagen er matematik. Begreber om etnomatematik, gadematematik og folkematematik har åbnet det matematikdidaktiske problemfelt for spørgsmål om menneskers matematikviden udviklet i hverdagen, og ikke kun som resultat af institutionaliseret matematikundervisning. Jeg har tidligere argumenteret for at udvidelsen af genstandsområdet for matematikkens didaktik til at omfatte etnomate-matik - sammen med de antropologiske og socio-psykologiske tilgange har åbnet mulighed for at konstituere en forskningspraksis om ”voksne og matematik” inden for matematikkens didaktik (Wedege, 1999).
Afslutningsvis kan vi spørge hvem der har definitionsmagten i
matematikundervisningen. Mellin-Olsen (1987) udpegede det som et politisk spørgsmål om folkematematik anerkendes som matematik eller ej, og derved bliver relationen til det foregående kapitel igen synliggjort.
Problematique for matematikdidaktisk virksomhed
Med baggrund i ovenstående definitioner og diskussioner er det nu muligt at præcisere et begreb om problematique for matematikdidaktisk virksomhed. Fænomenerne i
genstandsområdet kan analytisk opdeles i tre hovedområder matematikundervisning,
matematiklæring og matematikviden plus et område for metastudier: matematikkens didaktik. Inden for og på tværs heraf konstrueres genstandsfeltet ved formulering af problemstillinger ved valg af aspekt (hvorfor, hvad, hvordan, hvem osv.), dimension (deskriptivt/normativt) og angrebsvinkel (subjektivt/objektivt) ud fra
matematikundervisningens problemfelt i hele dets kompleksitet6. Herved dannes
problemfeltet. Virksomheden foregår ofte gennem interdisciplinære studier (matematik,
psykologi, pædagogik, sociologi, antropologi, lingvistik, filosofi o.s.v. hvorfra begreber og teorier importeres og rekonstrueres/transformeres). En matematikdidaktisk
problematique7 konstitueres gennem fagdidaktisk virksomhed, herunder teoretisk praksis, der foregår i et forsknings- og praksisfællesskab inden for hvilket der eksplicit eller implicit er foretaget en række valg, som har betydning for konstruktion af
genstands- og problemfelt (og for den videnskabelige praksis):
1. Problemstillinger og forskningsspørgsmål formuleres med baggrund i en opfattelse af hvad matematikviden er.
6
Inspireret af bl.a. Niss (1999) og diskuteret i Wedege (1999) kapitel 5. 7
Det kan overvejes om ‘matematik’ vil kunne udskiftes med ‘fysik’, ‘biologi’, ‘datalogi’, ‘psykologi’ eller andre fag karakteriseret ved at de både findes som skolefag og videnskabsfag. Om man med andre ord kan generalisere det der er sagt her om en matematikdidaktisk problematique til udsagn om ‘en fagdidaktisk problematique’.
2. Problemstillinger og forskningsspørgsmål formuleres med baggrund i en opfattelse af hvordan man lærer matematik.
3. Begrundelsesproblemet besvares globalt ud fra en af de tre hovedtendenser: den utilitaristiske, den kritiske og den humanistiske.
Det gælder at en matematikdidaktisk problematique er et historisk produkt der kan
optræde som svar på vanskeligheder både i den teoriske praksis og i undervisningens praksis (i bred forstand). En etnomatematisk problematique kan være et svar på de
vanskeligheder som blev affødt af den vestlige kulturimperialismes implementering af matematikundervisning i udviklingslande. En problematique i forskningsområdet ”Adults Learning Mathematics” (ALM) kan være et svar på de vanskeligheder der opstår, når voksne fravælger erhvervsrettet efteruddannelse på grund af matematikken.
Det er meningsfuldt at tale om forskellige matematikdidaktiske problematiquer. En
klassisk matematikdidaktisk problematique reducerer problemfeltets kompleksitet når den, med afsæt i en humanistisk tendens, alene fokuserer på institutionaliseret
matematikundervisning og dens rammer. En etnomatematisk problematique kan bl.a. karakteriseres ved at den anlægger en sociokulturel synsvinkel på matematikviden og -læring. En problematique i ”ALM” kan karakteriseres ved at matematikbegrebet omfatter numeralitet, og at begrundelsesproblemet besvares med ”empowerment”. Hver
problematique åbner og afgrænser på én gang det matematikdidaktiske genstandsfelt (matematikundervisningens problemfelt) ved de spørgsmål den tillader, og de
spørgsmål den udelader. F.eks. vil en problematique der lader matematik omfatte
numeracy eller etnomatematik, åbne op for at deltagernes matematikviden i
undervisningen opfattes som andet end resultater af tidligere matematikundervisning eller -læring. Den samme problematique vil på den anden side lukke for spørgsmålet om hvorvidt matematikundervisning kan bidrage til udvikling af etnomatematik, eller ej.
Enhver problematique åbner for nogle spørgsmål og lukker samtidig for andre. Den vil altid være karakteriseret ved sin specifikke måde at reducere kompleksiteten på. ”Som man råber i skoven får man svar.” Ordsproget der indleder kapitlet giver essensen i det begreb om problematique som jeg har indført og betoner samtidig spørgsmålets betydning i forskningsvirksomheden. Matematikdidaktiske forskningsspørgmål og svar bestemmes for det første ved aspekt, dimension og angrebsvinkel og for det andet ved det sprog/begrebsapparat man benytter.
Og hvad kan vi så bruge det til?
Mange spørgsmål bliver stillet om og i matematikkens didaktik – ikke bare af nybegynderne, men også af de erfarne. Spørgsmålene kan dreje sig om
matematikdidaktikkens identitet. Det har netop været fokus for dette kapitel, og samtidig har jeg præsenteret en epistemologisk terminologi med ”matematikdidaktisk problematique” som kernebegreb. Med denne terminologi har matematikkens didaktik
et genstandsområde udspændt af fænomenerne matematikundervisning,
matematiklæring og matematikviden, et problemfelt med de til enhver tid legitime matematikdidaktiske problemstillinger, flere genstandsfelter hver især afgrænset og struktureret af forskningsspørgsmål formuleret inden for en given problematique og
flere problematiquer baseret på forskellige opfattelser af matematikviden,
et redskab til at systematisere den generelle diskussion om en fagdidaktisk videnskabs identitet. Men det er også – og især – en håndsrækning til den praktiserende
matematikdidaktiker, som arbejder alene eller i et praksisfælleskab. Det specifikke ved den enkeltes eller fællesskabets problematique kan beskrives ved vores måde overordnet og sammenhængende at besvare de tre konstituerende spørgsmål:
1. Hvad er matematikviden? 2. Hvordan læres matematik? 3. Hvorfor undervise i matematik?
De tre spørgsmål går på tværs af det matematikdidaktiske genstandsområde (matematikviden, matematiklæring og matematikundervisning) og det matematikdidaktiske problemfelt (Hvad? Hvordan? Hvorfor?).
Ved etablering af Center for forskning i matematiklæring i 1998 blev vi enige om et fælles fundament for centrets virksomhed. Grundlaget blev udspændt af seks teser om matematik, matematiklæring, matematikviden, matematikundervisning og
matematikdidaktisk praksis (Wedege, 1998). Ved en nærlæsning af teserne
fremkommer centrets generelle svar på to af de tre konstituerende spørgsmål for en matematikdidaktisk problematique:
(1) Matematikviden opbygges i sociale fællesskaber, hvor det enkelte individ bidrager til den fælles faglige viden, og netop herigennem udvikler sin egen personlige viden. Matematik er ikke kun en samling metoder, begreber og teorier, men også
aktivitetsformer der udspiller sig i forskellige situationer som en integreret del af vores kultur. Udvikling af kompetencer til refleksion over anvendelsen af regning og
matematik er ikke harmonisk forbundet med tilegnelsen af matematiske begreber og perfektionering af regnefærdigheder. (Den første og sidste tese om matematikviden indeholder også et udsagn om matematiklæring.)
(2) Matematiklæring foregår ikke ved overførsel af viden fra lærer til elev. Dialoger mellem elever indbyrdes og dialoger mellem lærer og elev(er) er af central betydning for læreprocessen. Matematiklæring er i udgangspunktet bundet til den kontekst hvori de foregår. Den lærendes erfaringsbaggrund, den læringsmæssige sammenhæng og den konkrete indholdsmæssige kontekst har afgørende betydning for læreprocessens forløb og dermed for de kompetencer der udvikles.
Matematiklæring anskues også som socialisering i bestemte former for samfundsmæssig virksomhed, og sociale og affektive faktorer har stor betydning for læreprocesserne. Det tredje spørgsmål, Hvorfor undervise i matematik, findes der ikke noget eksplicit svar på i centrets fundament, men femte tese indeholder nogle refleksioner om matematik i samfundet hvoraf man kan udlede følgende:
(3) Matematikundervisning har en afgørende betydning for at opretholde og udvikle demokrati i et moderne højteknologisk samfund. Det er et centralt mål for
matematikundervisningen at udvikle elevernes faglige dømmekraft over for anvendelsen af matematik i samfundet.
I forskningscentrets arbejde og litterære produktion findes belæg for min udlægning af tekstens generelle svar på matematikundervisningens begrundelsesproblem. Se f.eks.
Blomhøj (2001) om udvikling af kompetencer til selvbestemmelse, medbestemmelse og solidaritet, Skovsmose og Valero (2002) om demokratisk adgang til magtfulde
matematiske idéer og Wedege (1999) om matematikundervisningens mulige bidrag til udvikling af kortuddannede voksnes teknologiske kompetencer. Jeg tror ikke at nogen i eller uden for centret vil protestere hvis jeg placerer centrets problematique inden for den kritiske tendens. Også via besvarelsen af begrundelsesproblemet forbinder matematikdidaktikeren sin praksis med matematikundervisningens praksis.
På dansk har problematik – med k – de to betydninger ”problemstilling” og ”sammenhængende problemfelt” eller ”problemkompleks”. Jeg har reserveret termen ”problematik” til en tredje fransk betydning, hvor sammenhængen i problemfeltet er skabt af en teori eller videnskab. Når jeg staver problematik med q og får
problematique, er det for at signalere den fransk epistemologiske afstamning af begrebet. Mit epistemologiske valg indebærer to ting. For det første at ens
problematique bestemmer de spørgsmål man kan stille til genstandsområdet, og dermed til de svar man kan forvente at få. For det andet at problemets (eller spørgsmålets) mening er forskningens drivkraft – med Bachelards ord.
Problematique er desuden konstrueret som et specifikt redskab til at
kommunikere om didaktisk arbejde. Åbenhed og eksplicitering er to generelle kriterier for videnskabelighed. Det skal være min afsluttende påstand at kvaliteten af et
videnskabeligt arbejde (afhandling, speciale, rapport) inden for matematikkens didaktik bl.a. kan vurderes ud fra i hvilken grad det er bevidst om sin egen problematique. Det vil sige om arbejdet ekspliciterer sine egne svar på de tre konstituerende spørgsmål om matematikviden, -læring og –undervisning.
Note
Artiklen er skrevet i regi af Center for forskning i matematiklæring og Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen, Trondheim, og mit forskningsarbejde er finansieret af Statens Humanistiske Forskningsråd.
Referencer
Althusser, L. (1965). Pour Marx. Paris: Francois Maspero.
Althusser, L. (1968). Lire le Capital I - II. Paris: Francois Maspero.
Bachelard, G. (1949). Le rationalisme appliqué. Paris: Presses Universitaires de France..
Balacheff, N. (1990). Towards a problématique for research on mathematics teaching.
Journal for Research in Mathematics Education, 21(4), 258-272.
Balacheff, N. (1993). Artificial intelligence and real teaching. I: C. Keitel og K.
Ruthven (red.), Learning from computers: Mathematics education and technology (131-162). Berlin: Springer.
Bishop, A. J. (1988). Mathematical enculturation. A cultural perspective on
Blomhøj, M. (1997). Funktionsbegrebet og 9. klasse elevers begrebsforståelse. Nordisk
MatematikkDidaktikk, (1), 7-29.
Blomhøj, M. (2001). Hvorfor matematikundervisning? Matematik og almendannelse i et højteknologisk samfund. I: M. Niss (red.), Matematikken og verden (218-246). København: Forlaget Fremad.
Brandell, G., Edmeas, P. Nyström og Sundqvist, C. (2004). Mathematics – a male domain. Publiceret af Topic Study Group 26, Gender and Mathematics Education. 10th
International Congress on Mathematics Education. Se www.icme-10.dk
Broady, D. (1991). Sociologi och epistemolog:. Om Pierre Bourdieus författerskap og
den historiske epistemologin. Stockholm: HLS Förlag.
Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
Recherces en Didactique des Mathématiques, 7(2), 33-115. (Findes også i Brousseau,
G. Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997.)
Bøgeskov, T., Pedersen, J. Mønster, Svindborg, B. og Wedege, T. (1972). Om
videnskabshistorie. I: T. Ditlevsen et al. (red.), Tegn tekst betydning: Introduktioner til
nyere fransk filosofi. Festskrift til Svend Johansen (65-88). København: Borgen.
Christiansen, B. (1990). Konferencens tema set i fagdidaktiske perspektiver. I:
Gymnasiets matematikundervisning mellem studie- og erhvervskrav og demokratikrav. Rapport fra konference 23.-25. november 1988 (33-92). (Statens Humanistiske
Forskningsråd: Initiativet vedr. matematikundervisning.) Roskilde: IMFUFA, Roskilde Universitetscenter.
D'Ambrosio, U. (1985). Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of mathematics. For the Learning of Mathematics, 5(1), 44-48.
Dörfler, W. (1993). Quality criteria for journals in the field of didactics of mathematics. I: G. Nissen og M. Blomhøj (eds.), Matematikundervisning og Demokrati II (75-88). Initiativet vedr. Matematikundervisning. Statens Humanistiske Forskningsråd. Roskilde: Roskilde Universitetscenter, IMFUFA.
Ernest, P. (1991). The philosophy of mathematics education. London: Taylor Press. Fennema, E. og Sherman, J. A. (1976). Fennema-Sherman mathematics attitudes Scales: Instruments designed to measure attitudes toward the learning of mathematics by females and males. Catalog of Selected Documents in Psychology, 6(2), 31, Appendix A.
Fischer, R. (1993). Mathematics as a means and as a system. I:S. Restivo, J. P. van Bendegem og R. Fischer (red.), Math worlds: Philosophycal and social studies of
mathematics and mathematics education (113-133). Albany: State University of N.Y.
Forgasz, H. J., Leder, G. C. og Gardner, P. L. (1999). The Fennema-Sherman
mathematics as a male domain scale reexamined. Journal for Research in Mathematics
Education, 30(3), 342-347.
Gerdes, P. (1996). Ethnomathematics and mathematics education. I: A.J. Bishop et al. (red.), International handbook of mathematics education (909-943). Dordrecht: Kluwer. Hansen, H. C. (2002). Fra forstandens slibesten til borgerens værktøj: Matematik og regning i folkets skole 1737-1958. Dansk Center for Naturvidenskabsdidaktik, (16), Aalborg Universitet.
Jensen, J. Højgaard; Niss, M.; Wedege, T. (red.) (1998). Justification and enrolment
problems in education involving mathematics and physics. Roskilde: Roskilde
University Press.
Klafki, W. (1983). Kategorial dannelse og kritisk-konstruktiv pædagogik. Udvalgte
artikler. Copenhagen: Nyt Nordisk Forlag /1959/
Kuhn, T. S. (1962). The structure of scientific revolutions. Chicago: The University of Chicago Press.
Legrand, M. (1996). La problématique des situations fondamentales. Confrontation du paradigme de situations à d’autres approaches didactiques. Recherches en Didactiques
des Mathématiques, 16(2), 221-280.
Mellin-Olsen, Stieg (1987). The Politics of Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher.
Niss, M. (1999). Aspects of the nature and state of research in mathematics education.
Educational Studies in Mathematics, 40(1), 1-24.
Niss, M. og Jensen, T. Højgaard (red.) (2002). Kompetencer og matematiklæring –
Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark.
Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18, 2002. København: Undervisningsministeriet.
Olesen, H. Salling (1989). Kvalifikationsforskning - uddannelse og arbejde. In Kyrö, Matti (red.), Kvalifikationsforskning som bas för utbildning? (pp. 16-50). Stockholm: Carlsson.
Pedersen, J. Mønster og Wedege, T. (1972). Om mulighederne for en historisk materialistisk epistemologi. Häften för kritiska studier, 2-3, 1972, 30-41.
Sierpenska, A. og Kilpatrick, J. (red.), Mathematics Education as a Research Domain:
A Search for Identity. An ICMI Study. Book 1 (pp. 87-103). London: Kluwer Academic
Skott, J. (1992). Matematiske modeller i fagdidaktisk belysning - et rids af en didaktisk
debat. Speciale. København: Danmarks Lærerhøjskole.
Skovsmose, O. (2002). Students’ foreground and the politics of learning obstacles.
Center for forskning i matematiklæring, Skrift nr. 35. Roskilde Universitetscenter.
Skovsmose, O. og Valero, P. (2002). Democratic access to powerful mathematical ideas. In L. English (red.), Handbook of international research in mathematics
education (pp. 383-407). Mahwah (New Jersey): Lawrence Erlbaum Associates.
Triadafillidis, T. A. (1998). Dominant epistemologies in mathematics education. For the
Learning of Mathematics, 18(2), 21-27.
Wedege, Tine (1993). Fra kvalificering til dannelse. ”Fleksibilitet” som en progressiv dannelseskategori. Dansk Pædagogisk Tidsskrift, 3/1993, 135-143.
Wedege, T. (1997). Could there be a specific problematique for research in adults’ mathematics education? In D. Coben og J. O’Donoghue (red.), Adults Learning
Mathematics: Proceedings of ALM-4 the Fourth Conference of Adults Learning Maths: A research forum, 4-6 July 97, Limerick (pp. 210-217). London: Goldsmiths University
of London.
Wedege, T. (red.) (1998). Matematiklæring – et nyt forskningscenter. København: Center for forskning i matematiklæring, Danmarks Lærerhøjskole.
Wedege, T.; Benn, R. og Maasz, J. (1998). “Adults Learning Mathematics” as
community of practice and research. In M. Groenestijn og D. Coben (red.), Mathematics
as part of lifelong learning: Adults Learning Maths: A research forum: Proceedings of the Fifth Conference of ALM, ALM-5, 1-3 July 98, Utrecht (pp. 54-63). London:
Goldsmiths University of London.
Wedege, T. (1999). Matematikviden og teknologiske kompetencer hos kortuddannede
voksne: Rekognosceringer og konstruktioner i grænselandet mellem matematikkens didaktik og forskning i voksenuddannelse. Ph.d.-afhandling. Roskilde: IMFUFA,
Roskilde Universitetscenter. (IMFUFA tekst nr. 381, 2000.)
Wedege, T. (2001). Epistemological questions about research and practice in ALM. In K. Safford og M. J. Schmitt (red.), Conversation between researchers and
practitioners: The 7th International Conference on Adults Learning Mathematics (ALM7) (pp. 47-56). Medford (Massachusetts, USA): Tufts University.
Winsløw, C. (2003). Hvad skal et naturvidenskabeligt fakultet med fagdidaktik? Forum
for Matematikkens Didaktik, 7(5), 4-7. (Tiltrædelsesforelæsning ved Center for
