Lärares syn på reflektion i matematik

Examensarbete

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Lärares syn på reflektion i matematik

7HDFKHUV¶YLHZRIUHIOHFWLRQLQPDWKHPDWLFV

Marlene Johansson

Anna Jönsson

Lärarexamen 210hp Handledare: Ange handledare

Matematik och lärande 2011-11-03

Examinator: Eva Riesbeck Handledare: Anna Wernberg Fakulteten för Lärande

och samhälle Natur, miljö, samhälle

3

Förord

Vi vill tacka vår handledare Anna Wernberg för all hjälp och feedback under arbetets gång. Vi vill även tacka de lärare som ställde upp på intervju, då arbetet inte varit möjligt utan dem. Arbetet fördelades lika och vi har båda varit engagerade och involverade i alla delarna av arbetet, eftersom vi båda vill kunna stå för det och vara insatta i hela vårt arbete. Detta examensarbete är en fristående studie, med bakgrund i tidigare forskning.

Malmö, 26 oktober 2011

5

Sammanfattning

Det övergripande syftet med vårt arbete är att ta reda på elevers möjlighet till reflektion kring sina kunskaper i matematik. Ett problem vi ser är att reflektion inte synliggörs och läggs mer tyngd på i skolan. Ett sociokulturellt perspektiv har genomsyrat arbetet, vilket innebär att fokus har legat på våra centrala begrepp. Vi har studerat relevant litteratur inom ämnet för att få svar på våra frågor. Vi har även intervjuat fem verksamma lärare som undervisar i matematik i de lägre årskurserna. Resultatet visar att samtliga lärare låter eleverna reflektera, men har olika

tillvägagångssätt. En slutsats är att, hur de låter eleverna reflekterar över sina kunskaper i matematik, beror på lärarnas syn på reflektion.

7

Innehåll

  Förord ... 3   Sammanfattning ... 5   Innehåll ... 7   Inledning ... 9   Syfte ... 11   Litteraturgenomgång ... 12   Centrala begrepp ... 12   Reflektion ... 12   Metakognition ... 13   Kunskaper i matematik ... 13   Tidigare forskning ... 15   Metod ... 22   Urval ... 22  

Information om de intervjuade lärarna ... 23  

Datainsamlingsmetoder... 23  

Etiska överväganden ... 24  

Procedur ... 25  

Sociokulturellt perspektiv på kunskap och lärande ... 25  

Resultat ... 27  

Lärares definition av elevers kunskap i matematik... 27  

Lärares syn på reflektion i matematik ... 29  

Varför reflektion ... 31  

Elevers möjlighet till reflektion ... 31  

Processnivå ... 32   Metakognitiv nivå ... 34   Uppgiftsnivå ... 34   Analys ... 36   Diskussion ... 39   Metoddiskussion ... 43   Slutsats ... 45   Referenser ... 47  

8

Bilaga 1 ... 52  

9

Inledning

Forskare har gjort studier som visar att elever idag mestadels får arbeta i sina matematikböcker och deras prestationer mäts i hur långt de räknat i boken, den som har kommit långt är duktig (Ahlberg, 2001; Tännfäldt, 2007). Enligt Skolverket (2011a) tar Matematikdelegationen avstånd från enskild räkning i läroboken, eftersom allt talar för att denna treQGlUVNDGOLJ´)|UDWWGH lärande skall få lust för och vilja till att lära sig meningsfull matematik krävs att lärarens

kompetens och tiden för matematikundervisning utnyttjas bättre. Diskussioner och samtal i och om matematik skall vara en naturlig del DYPDWHPDWLNXQGHUYLVQLQJHQ´Skolverkat, s. 7). Som en central del i undervisningens kvalitet lyfter Skolverket (2011a) fram lärarens förmåga att

synliggöra lärandeprocessen, genom att löpande följa elevernas kunskapsutveckling och lärande. Av erfarenhet från partnerskolor har vi fått erfara att eleverna har uppfattningen att den elev som räknar snabbast i matematikboken, är den som har mest kunskap i matematik. Men hur är det med förståelsen? Har den snabbaste eleven förstått vad det är denne gör? Kan han eller hon använda sig av kunskapen i andra sammanhang eller är det bara i matematikboken som eleven kan det? I Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Lgr 11) står det att ´JHQRPXQGHUYLVQLQJHQVNDHOHYHUQDlYHQJHVP|MOLJKHWHUDWt reflektera över matematikens betydelse, användning och begränsning i vardagslivet, i andra skolämnen och under historiska skeenden och därigenom kunna se matematLNHQVVDPPDQKDQJRFKUHOHYDQV´s. 62).

För att skapa matematik på elevens villkor är det viktigt att som lärare utgå från elevers kunnande. I Lgr 11 (Skolverket, 2011) VWnUGHWDWWOlUDUHQVND´WDKlQV\QWLOOYDUMHHQVNLOG

individs behov, erfarenheter och tänkande samt stärka elevernas vilja att lära och elevens tillit till den egna förmågan´ (s. 14). Detta hjälper läraren att lägga undervisningen på en nivå som är anpassad efter eleverna och bygger vidare på deras kunskaper. Genom reflektion får den enskilde eleven möjlighet att se sin utveckling och inse vad den lärt sig. Det gäller som lärare att få

10

redskap som kan användas. Björklund, Boistrup (2005) anser att reflektion kring kunskaper i matematik är ett bra verktyg för att göra eleverna medvetna om sitt eget lärande i matematik. Genom reflektionen kan eleverna förstå vad de kan och tilliten till den egna förmågan växer.

11

Syfte

Syftet med detta examensarbete är att undersöka om elever får möjlighet att reflektera över sina kunskaper i matematik. Vi vill ta reda på om läraren ger eleverna möjligheter att reflektera, och i så fall på vilket sätt och varför. Vi har inte sett någon tydlig reflektion av matematik på våra partnerskolor. Däremot har det funnits ett stort intresse hos lärare att lära sig och veta mer inom detta område. Att reflektion inte synliggörs mer och läggs mer tyngd på tycker vi är ett problem och ger oss ett större syfte med vårt examensarbete. I Lgr 11 (Skolverket, 2011) står det att ´OlUDUHQVNDRUJDQLVHUDRFKJHQRPI|ra arbetet så att eleven upplever att kunskap är meningsfull och att den egna kunskapVXWYHFNOLQJHQJnUIUDPnW´s. 14). För att kunna uppnå detta mål är reflektion en viktig del. Vi anser att det är viktigt att elever får reflektera kring sin kunskap och att det får ta tid och plats i undervisningen. Asplunds (2008) studie visar på att det är viktigt att eleverna stannar upp och funderar kring vad det är de gör och varför. Hon anser att det är betydelsefullt att låta eleverna reflektera kring sina kunskaper i matematik. Därför vill vi

fördjupa oss i detta, för att se hur lärare använder sig av reflektion i praktiken. Clarke och Clarke (2011) har i sitt samarbetsprojekt The Early Numeracy Research Project (ENRP) gjort en studie som lyfter fram vad som gör lärare framgångsrika. När det gäller lärare i matematik för

grundskolans tidigare år är en framgångsfaktor reflektion.

Vår forskningsfråga är: Får elever möjlighet att reflektera k ring sina kunskaper i matematik?

För att kunna ta reda på elevers möjligheter att reflektera kring sina kunskaper i matematik har vi även valt dessa frågeställningar:

- Hur definierar lärare kunskaper i matematik?

- Hur är lärares syn på reflektion? Varför görs det/varför görs det inte?

12

Litteraturgenomgång

De centrala begreppen i denna studie är reflektion, metakognition och kunskaper i matematik. Dessa begrepp kommer att belysas i vår studie och därför vill vi förtydliga dem. Här presenteras även tidigare forskning som fokuserar på vårt forskningsområde.

Centrala begrepp

Reflektion

Tännfäldt (2007) förklarar begreppet reflektion, vilket kommer från grekiskans reflectere, där re, betyder åter och flectere EHW\GHUYlQGD´0ed reflektion menas att man blickar tillbaka och begrundar, överväger och funderar över vad detta innebär för mig. Reflektion sker på olika nivåer, allt från vardagligt funderande till fördjupad reflektion där ny förståelse, nya kunskaper och nya handlingsP|QVWHUYl[HUIUDP´Tännfäldt, s. 15). Detta innebär att reflektionen kanske tar tid att utföra i praktiken, men den är viktig att genomföra eftersom nya kunskaper växer fram och eleven kan utvecklas genom reflektionen.

Emsheimer, Hansson och Koppfeldt (2005) anser att reflektionen är tydligt målinriktad och att den genomförs med någon form av ordning och struktur. Syftet med reflektionen är att distansera sig från gamla tankemönster och utveckla nya, samt att hitta lösningar på frågeställningar.

Sterner och Lundberg (2002) I|UNODUDUUHIOHNWLRQVRP´en medveten undersökning av ens KDQGOLQJDURFKWDQNDU´s. 74). Det innebär att elever i skolan måste få verktyg av lärarna att kunna utföra denna undersökning. De måste veta vad det innebär att reflektera, samt varför de gör det. Eleverna ska kunna relatera till den kunskap de redan har, för att sedan kunna reflektera över ny kunskap eller förståelse.

13

Wikner-Strid (1999) skriver att reflektion innebär att sätta ord på sina tankar för att bli medveten om vad jag ser, hör och känner samt för att förstå varför. Att reflektera handlar både om känsla och om fakta.

Metakognition

Reflektion handlar om att tänka och fundera över sin utveckling. Detta kan man hitta i den metakognitiva teorin. Nationalencyklopedins förklaring av metakognition innebär att det är en uppfattning av kunskap som man har, att man är medveten om sina egna tankeprocesser. Man väljer avsiktligt strategier när man ställs inför ett problem, man har uppsikt över sitt

tillvägagångssätt och ser att man är på rätt väg. Metakognitiv förmåga innebär att man ständigt kan ställa sig följande frågor; "Vad håller jag på med? Hur gör jag det? Hur bra/dåligt går det? Hur skall jag gå vidare?" (Nationalencyklopedin, 2011-09-12).

I Skolverkets kvalitetsgranskning (2003) förklaras metakognitiv teori som de tankefunktioner PHGYDUVKMlOSYLKDQWHUDULQIRUPDWLRQ´<QJUHHOHYHUOlUVLJJHQRPDWWI|UVWJ|UDVHGDQYHWDRFK slutligen förstå vad och hur de har lärt [...] Metakognition handlar om att bli medveten om sitt eget och andras lärande, att styra och värdera sitt lärande och den kunskap som det leder till, förstå vad man har lärt sig och YDUI|U´(Skolverket, s. 9). Detta handlar till viss del om att kunna reflektera över sina kunskaper, att man ser och blir medveten om sitt eget lärande för att kunna utvecklas. Man förstår sitt eget lärande, sitt tänkande och detta leder sedan till kunskap som ska kunna användas i olika sammanhang. Arfwedson (1998) har ett liknande resonemang kring metakognition, och förklarar det som en medveten kontroll över vad man själv kan och försöker lära sig. Elever måste lösa uppgiften, men också reflektera över och granska det som görs.

Kunskaper i matematik

I Lgr 11 (Skolverket, 2011) kan man OlVDDWW´NXQVNDSlULQJHWHQW\GLJWEHJUHSS.XQVNDS kommer till uttryck i olika former ± såsom fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet ± som I|UXWVlWWHURFKVDPVSHODUPHGYDUDQGUD´VI Skolverkets (2011b) stödmaterial kan man läsa

14

om kunskapssynen som finns i skolans styrdokument, där man uttrycker att det finns olika kunskapsformer. Dessa kunskapsformer kallas för de fyra f:n, och de förutsätter och samspelar med varandra. I undervisningen ska de balanseras så att de bildar en helhet för eleverna. I styrdokumenten diskuteras kunskapsbegreppet förmåga, och det är något som alla

kunskapsformer omfattas av.

Maltén (2003) förklarar de fyra kunskapsformerna, där faktakunskaper är inriktade på regler, information och annan mätbar kunskap. DenQDNXQVNDSVIRUPVYDUDUSnIUnJDQ´YDG´

Förståelsekunskap innebär att lära sig att hantera omvärlden så att den blir begriplig och att tillägna sig begrepp, strukturer och en gemensam referensram. Den representerar en teoretisk kunskapsform som svarar på IUnJDQ´YDUI|U´0HGIlUGLJKHWVNXQVNDSDQVHVDWWPDQXWI|UQnJRW GnGHWWDlUHQSUDNWLVNGLPHQVLRQ'HQVYDUDUSnIUnJDQ´KXU´QnJRWVNDJ|UDV

Förtrogenhetskunskap är en intuitiv kunskap, som hänger samman med våra sinnesupplevelser. Den ger en förförståelse som underlättar vår bedömning av nya situationer. Denna kunskapsform innebär också att vi kan ana hur saker och ting fungerar, och den behöver medvetande- och synliggöras genom att vi reflekterar över den och att vi med egna ord kan uttrycka vad vi ser och känner.

Att kunna matematik är så mycket mer än att kunna göra beräkningar och att kunna ett visst PDWHPDWLNLQQHKnOO´'HWlURFNVnYlVHQWOLJWDWWNXQQDNRPPXQLFHUDVLQNXQVNDSDWWNXQQD presentera lösningar och att kunna använda relevanta strategier, modeller och metoder samt att NXQQDDQDO\VHUDUHIOHNWHUDRFKNULWLVNWJUDQVNDVLQDHJQDRFKDQGUDVO|VQLQJDU´3HWWHUVVRQ 2011, s. 42).

Ahlberg (2001) har utifrån sin studie kommit fram till att, det är först när barnen får erfarenheter tillsammans med andra människor som de tidigaste formerna av matematiskt NXQQDQGHJUXQGOlJJV´6\QVlWWHWDWWPDWHPDWLVNNXQVNDSXSSVWnURFKXWYHFNODVJHQRPEDUQHQV interaktion med omgivningen och att det är en process som utvecklas successivt under lång tid genomsyrar all IRUVNQLQJLQRPIlOWHW´Ahlberg, s. 28). Carlgren, Forsberg och Linberg (2009) för också en diskussion kring matematiskt kunnande och definierar det som att eleverna ska kunna kommunicera, förklara och analysera sina tankar genom att föreslå, formulera, lösa och tolka matematiska problem i varierande situationer.

Matematiken innehåller flera olika ämnesinnehåll enligt Bergius (2011), exempelvis fakta, begrepp, beräkningar, metoder och uttrycksformer. Dessa ämnesinnehåll använder man för att

15

resonera, diskutera, lösa problem och dra slutsatser. I Lgr 11 (Skolverket, 2011) beskrivs matematik som en kreativ, problemlösande och reflekterande aktivitet, som är sammankopplad med den tekniska, sociala och samhälleliga utvecklingen.

Tidigare forskning

Forskarna är enligt Arfwedson (1992) relativt ense om att elever måste utveckla kritiska egenskaper, för att lära in olika typer av kunskap. Detta innebär att de ska utveckla den metakognitiva förmågan, vilket handlar om att kunna strukturera och organisera sin kunskap, genom medveten reflektion kring det man kan och inte kan. Med andra ord handlar det inte bara om att elever ska utveckla skolkunskaper, utan dessutom om att de ska lära sig metoder för att anskaffa dem. Det är viktigt att läraren ger eleverna möjlighet att utveckla sin

reflektionsförmåga. Genom att eleverna uppmuntras att sätta ord på sina egna tankar förstärks denna förmåga. Eleverna blir medvetna om vad de vet och inte vet vid dialog, diskussion och skrivande (Arfwedson, 1992).

Enligt Sveriges Kommuner och Landsting (2011) behövs det större fokus på diskussion och reflektion inom matematik, istället för mekaniskt räknande och läroboksstyrd undervisning, för DWW|NDHOHYHUVI|UVWnHOVH´(QGMXSDQDO\VDY7,066-resultaten från 2007 visar att den svenska undervisningen skiljer sig på flera punkter från EU/OECD-genomsnittet. Den svenska skolan ägnar färre timmar åt matematik, särskilt i årskurs 4, och undervisningen bygger i högre

utsträckning på läroböcker och självständLJWDUEHWH´(Sveriges Kommuner och Landsting, s. 53-54). I Löwings (2006) studie om samspelet mellan elever och lärare, uppmärksammade hon att den individanpassade undervisningen, som finns i skolans läroplaner, tolkas av många lärare som att låta eleverna arbeta enskilt i matematikboken. De gemensamma diskussionerna uteblir. Det leder till att kollektivt lärande inte förkommer, vilket innebär att eleverna inte får möjlighet att höra andras tankesätt och därmed inte kan lära av varandra. En annan följd av detta blir att eleverna har svårt att se matematiken i ett sammanhang. I Vintereks (2006) forskningsöversikt om individualisering, belyser hon att studier visar att elevers engagemang sjunker vid enskilt arbete. Den visar även att det finns en risk att eleverna arbetar med sådant de redan kan, och därmed inte får några utmaningar. De elever som har svårt att ta ansvar för sitt eget arbete halkar

16

lätt efter. Vidare i Vintereks forskningsöversikt visar hon på att det finns ett samband mellan elevers enskilda arbete och deras sämre studieresultat. Skolverkets (2004) rapport samt

Skolverkets (2003) kvalitetsgranskning visar att enskilt arbete är den vanligaste arbetsformen i matematik och att grupparbete är sällsynt. Genomgångar ledda av läraren är även det ovanligt i matematikundervisningen. Gemensamma samtal som utvecklar begreppsförståelse, matematiskt tänkande och strategival förekommer sällan. Nyare studier (Skolverket, 2011a; Skolverket, 2009a) visar att undervisningen fortfarande bygger på enskilt arbete i matematik. Lärandet har blivit ett individuellt projekt, där eleverna är utelämnade till sin egen förmåga att söka kunskap. Eleverna ges inte möjlighet att utveckla samtliga kunskaper och förmågor som finns uttryckta i styrdokumenten. Detta leder till att eleverna i mindre omfattning får ta del av lärarens kompetens i matematik. Det har skett en ansvarsförskjutning från lärare till elever i svensk grundskola. Konsekvenserna av detta kan bli att eleverna känner en ökad stress och ett lägre välbefinnande. Även Tännfäldts (2007) studie visar att det är mycket fokus på tyst räkning i matematikboken, vilket leder till att eleverna inte får reflektera över sitt eget tänkande eller sin kunskap. Vidare skriver hon om problematiken kring att eleverna blir styrda fram till ny kunskap i skolan. Eleverna kan inte befästa sina kunskaper, eftersom de inte får använda sitt eget tänkande eller tänka igenom vad de lärt sig, för att sedan kunna använda det i andra sammanhang.

Undervisningen måste ha sin grund i elevernas erfarenheter och kunnande. Genom det kommer eleverna att kunna befästa kunskaperna, eftersom de kan relatera det till tidigare kunskap.

Ahlberg (2001) anser att elever ska ta ansvar för sitt eget lärande och reflektera över att de lär. När läraren låter eleverna ta eget ansvar för sin planering i matematik, hur många sidor de ska räkna i veckan, är intentionen att eleverna ska lära sig att ta ansvar och bedöma sina egna kunskaper inför det fortsatta lärandet. Risken är då att de börjar tävla mot varandra och det viktigaste blir hur långt fram i matematikboken man är. Undervisningen måste riktas in på innehåll och förståelse. Läraren måste istället få eleverna inriktade på vad de ska lära sig, och hur. I Lgr 11 (Skolverket, 2011) kan man läsa att läraren skD´RUJDQLVHUDRFKJHQRPI|UDDUEHWHW så att eleven upplever att kunskap är meningsfull och att den egna kunskapsutvecklingen går IUDPnW´s. 14). Det ligger alltså i lärarens ansvar att se till att det inte blir någon tävling i att vara längst i matematikboken, utan att fokus istället hamnar på meningen med matematik och sin egen kunskapsutveckling. Hatties (2009) studie visar på att samarbetsinriktat lärande uppmuntrar elevens intresse och problemlösning, jämfört med tävlingsinriktat lärande. Samarbetsinriktat

17

lärande är i sig själv en faktor som påverkar elevens möjlighet att utveckla intresse och

problemlösningsförmåga. Dysthe (1996) använder begreppet flerstämmighet i klassrummet. Det handlar om att eleverna ska lyssna på varandra och använda sig av det som sägs i klassen och därmed komma vidare i sitt eget lärande. Clarke och Clarke (2011) har i sitt samarbetsprojekt ENRP kommit fram till att en framgångsfaktor för lärare i matematik för grundskolans tidigare år är klassrumsinteraktion, vilket innebär att läraren bland annat ska uppmuntra eleverna till att beskriva sitt tänkande och att de ska lyssna på och bedöma andras tänkande.

Flera studier (Tängdén och Wallner, 2003; Malmer, 1999; Ahlberg, 1995) visar på att eleverna måste utmana sina tankar och kunna skriva ned hur de tänker kring olika moment i matematiken. Det är betydelsefullt att ge eleverna tid till eftertanke kring sina kunskaper i matematik. Genom att låta eleverna skriva kring matematik utökas möjligheterna till reflektion eftersom det skrivna ordet, till skillnad från det talade ordet, ger tid till eftertanke. Då orden finns kvar och tankarna blir synliga, finns möjligheten att gå tillbaka och reflektera över vad man tänkt. Det skrivna ordet ger eleverna en medvetenhet över det egna tänkandet och gör att de kan se sin egen kunskapsutveckling. Även läraren kan genom detta se om eleverna har förstått. Emanuelsson (1995) visar genom sin undersökning att det är betydelsefullt att eleverna får använda sina kunskaper i matematik både muntligt och skriftligt. Eleverna bör reflektera över sina kunskaper, och inte fokusera på vad de inte kan. Eleverna får beskriva vad de tycker är lätt/svårt, ge exempel på olika områden i matematiken eller konstruera egna problem. Detta kan sedan användas som reflektion, då eleverna kan reflektera över sina kunskaper i matematik, samtidigt som läraren får en bild av elevernas uppfattningar och förmågor. Utifrån detta kan läraren planera undervisningen så att den blir på elevernas villkor. Det är viktigt att eleverna stannar upp och funderar kring vad det är de gör och varför, vilket Asplunds (2008) studie visar. Det är betydelsefullt att låta eleverna reflektera kring sina kunskaper i matematik. Asplund använder sig av en metod som hon kallar kortreflektion, vilket innebär att eleverna minst en gång i veckan reflekterar utifrån en frågeställning från läraren. Eleverna får respons på sina

UHIOHNWLRQHUYDUDQQDQYHFND9LGDUHVNULYHU$VSOXQGDWW´GHWEOLUHWWVlWWDWWSUDWDRPOlUDQGHL matematik med eleverna då vi har svårt att få tid aWWSUDWDPHGGHPHQVNLOW´Asplund, s.13). Läraren måste se betydelsen och meningen med att ge eleverna tid och rum till reflektion. Björklund Boistrups (2005) studie pekar på att reflektion kring kunskaper i matematik är ett bra verktyg för att göra eleverna medvetna om sitt eget lärande i matematik. Genom reflektionen

18

kan eleverna förstå vad de kan och tilliten till den egna förmågan växer. Vidare ger Björklund Boistrup några förslag på hur man kan använda reflektionen i undervisningen, till exempel att låta eleverna reflektera över hur säkra de är vid olika tillfällen. Björklund Boistrup menar att detta kan vara bra att göra innan ett arbetsområde i matematik, för att sedan jämföra vid slutet av området. Då kan eleverna själva se hur de har utvecklats, genom att se tillbaka på hur de tänkte och hur de tänker nu. Eleverna kan reflektera över sin kunskapsutveckling och lärandeprocess. En metod som kan användas för utvärdering av kunskaper är portfölj- eller portfoliobedömning och beskrivs i Skolverkets stödmaterial (2011b), som att elevens portfölj byggs upp av

elevarbeten i olika stadier och från olika undervisningsavsnitt. Det kan exempelvis vara inspelningar av muntliga presentationer, texter, arbetsblad och arbetsuppgifter. Det ska också finnas någon form av processredogörelse, till exempel loggboksanteckningar och reflektioner. Portföljen visar elevens kunskapsutveckling och den kan användas av läraren och eleven på olika sätt i undervisningen och i samband med bedömning.

Löwing och Kilborn (2002) VNULYHUDWW´LInlPQHlUEHKRYHWDYI|UI|UVWnHOVHRFK

förkunskaper så stort VRPLQRPlPQHWPDWHPDWLN´s. 36). Detta behöver eleverna för att kunna utveckla sina kunskaper i matematik. Eleverna använder sin förförståelse samt sina förkunskaper för att skapa och förstå ny kunskap. Genom detta kan eleverna även reflektera över vad de WLGLJDUHOlUWVLJRFKKXUGHNDQDQYlQGDVLJDYGHQ´JDPOD´NXQVNDSHQI|UDWWVNDSDQ\'H behöver nämligen sina förkunskaper och sina erfarenheter för att tolka ny information och konstruera ny matematikkunskap.

Björklund Boistrup (2010) har genom sin studie kring klassrumsbedömning kommit fram till att olika bedömningsdiskurser verkar i klassrummen. En av dessa diskurser, som påverkar elevens lärandeKDUKRQEHQlPQW´UHVRQHPDQJWDUWLG´'HQQDLQQHElUHQI|UGMXSQLQJL

diskussioner när det gäller processer, kommunikation och argumentation. Det förekommer ofta återkoppling, både från lärare till elev och från elev till lärare. Eleven utmanas ofta även till nytt lärande.

Hattie och Timperley (2007) för en diskussion kring fyra olika nivåer som återkoppling kan ges på: uppgiftsnivå, processnivå, personlig nivå och metakognitiv nivå. Uppgiftsnivå innebär att återkopplingen är specifik till den enskilda uppgiften. Återkoppling på processnivå handlar om process- och färdighetskunskaper samt om förståelse av begrepp och sammanhang. Den är riktad mot förmågor som eleven ska utveckla och är generaliserbar, vilket innebär att den därmed

19

kan stödja elevers lärande bättre än den uppgiftsrelaterade återkopplingen. Återkoppling på personlig nivå innehåller sällan tillräckligt med information för att eleven ska kunna använda den till att förbättra sin prestation. Denna typ av återkoppling som riktas mot eleven som person, kan till exempel vara ospecificerat beröm och har sällan en positiv inverkan på lärandet.

Metakognitiv nivå innebär att återkopplingen ska stärka elevens tilltro till den egna förmågan och vilja att själv gå vidare i sitt lärande. Det kan exempelvis vara frågor som uppmuntrar eleven att ta egna beslut i arbetet med en uppgift. Hattie och Timperley uttrycker alltså att den mest effektiv återkopplingen är, den som kan generaliseras till andra uppgifter eller som stärker elevernas förmåga att driva det egna arbetet framåt.

När det gäller feedback på metakognitiv nivå för Jönsson (2011a) ett likande resonemang som Hattie och Timperly (2007) gör ovan. Han beskriver det som att det inte först och främst handlar om ämneskunskaper, utan om strategier för att reglera lärandet, till exempel genom att låta eleverna lära sig hur de bedömer sina egna prestationer. Det kan ge stora positiva effekter på elevernas lärande då de får feedback för att hjälpa dem att ta ansvar över sitt eget lärande. Syftet är att låta eleverna lära sig hur man resonerar när man bedömer och även hur man formulerar och använder feedback.

Hattie och Timperley (2007) redogör i sin artikel för vad en bedömning/feedback kan fokusera på. Ett fokus som nämns är självreglering, Feedback About Self-Regulation. Det handlar om att eleven själv styr sitt lärande och ser till att få arbeta med uppgifter som styr mot vad eleven behöver lära sig. När eleverna har de metakognitiva färdigheterna till

självutvärdering, kan de utvärdera sin egen kunskapsnivå och förståelse, och deras strategier för att lösa uppgifter. Vidare tar de upp olika återkopplingar vid kommunikationen mellan lärare och elev. Feed back innebär en återkoppling kring det som eleven har gjort eller YLVDW´+XUJnUGHW för miJ"´Feed forward innebär att man ger eleven återkoppling som ska leda arbetet framåt, ´9DGlUQlVWDVWHJ"´Feed up benämns som målinriktad återkoppling, det vill säga att fokus OlJJVSnPnOHQHOHYHQVNDVWUlYDPRW´9DUWlUMDJSnYlJ"´

En central del i formativ bedömning är enligt Jönsson (2011b) själv- och kamratbedömning. Eleverna behöver själva utveckla förmågan att bedöma kvaliteten på det de gör, för att sedan kunna förbättra sina prestationer och utvecklas mot målen. Denna typ av bedömning är kraftfulla pedagogiska verktyg och ska därmed absolut inte ses som bortkastad tid att lägga på sådana övningar. Det ger stora positiva effekter på elevernas lärande.

20

Det grundläggande för formativa bedömningar handlar om att de ska stödja elevernas lärande, som både Jönsson (2011b) och Skolverkets (2011b) stödmaterial tar upp. Styrkor och

utvecklingsbehov ska kunna identifieras och användas till grund för att ge eleverna en möjlighet att fortsätta utvecklas mot målen. Målen för undervisningen tydliggörs för eleverna och läraren söker information om var eleven befinner sig. Man kan använda den information som den formativa bedömningen ger, på olika sätt. Man kan som lärare ge återkoppling, direkt feedback, till eleverna för att föra lärandet framåt, men även använda informationen för att förändra undervisningen. Fredriksson (2011) för ett liknande resonemang kring formativ bedömning, då det snarare handlar om att undervisa än om att bedöma elevernas kunskaper. Det är viktigt att läraren ger eleven feedback utifrån resultaten, eftersom eleven då kan fortsätta arbeta mot målen. Detta kallas uppgiftsrelaterad feedback, som har visat sig vara avgörande för inre motivation. Hatties (2009) studie visar att en stor påverkansfaktor när det gäller skolprestationer är elevens motivation. Några faktorer som ligger bakom motivation är exempelvis intresse, tydliga mål och uppmuntran.

En mycket vanlig invändning mot att arbeta med formativ bedömning är att det tar tid, vilket Jönssons (2011b) studie visar på. Det kan tyckas tidsödande att till exempel låta eleverna göra själv- eller kamratbedömning, framför allt då man som lärare har siktet inställt på att hinna täcka en stor mängd ämnesinnehåll. Även Jönssons egna erfarenheter med att föra in formativ

bedömning visar att det tar tid i början. Mycket tyder dock på att det är en övergångsfas. För att eleverna ska få möjlighet till reflektion i matematik krävs tid och rum. Emsheimer, Hansson och Koppfeldt (2005) DQVHUDWW´UHIOHNWLRQHQEHK|YHUXWU\PPH'Hn behöver

någonstans att vara och det krävs tid. Denna plats är mental och kognitiv, en plats där tankar och NlQVORUInUUXP´s. 129).

Skolverket (2009b) för ett resonemang om att eleven ska föras framåt i sitt lärande genom den individuella utvecklingsplanen (IUP), och beskrivs som ett redskap för att stödja elevens lärande och sociala utveckling. Individuella utvecklingsplaner är ett exempel på dokumentation i skolan och kan enligt Asp-Onsjö (2011) ses som ett tecken på att en ny dokumentationskultur växer fram. Det är ett nytt sätt att tänka, reflektera och agera. Dokumentationskulturen blir en lins som skolans verksamhet betraktas genom. Den är ett centralt verktyg och även en viktig del av skolans vardag.

21

De senaste åren har en mängd forskning (Hattie, 2009; Clarke och Clarke, 2011) visat att en skicklig lärare involverar eleverna i det egna lärandet och ger även framåtsyftande återkoppling för att göra det tydligt för eleven vad som krävs för att nå målen. Clarke och Clarke (2011) har i sitt samarbetsprojekt ENRP gjort en studie som lyfter fram vad som gör lärare framgångsrika. När det gäller lärare i matematik för grundskolans tidigare år är en framgångsfaktor reflektion. De har kommit fram till att läraren ska ta upp nyckelbegrepp under eller i slutet av lektionen för att tydliggöra för eleverna vad de har arbetat med. Eleven ska även reflektera över sitt lärande.

22

Metod

I denna del beskrivs urval och vi gör en kort presentation av respondenterna. Vi motiverar vårt val av metod som vi använde i vår empiriska studie, samt hur vi genomförde insamlingen av empirin. De etiska överväganden som vi gjorde presenteras också här. Vår studie utgår från ett sociokulturellt perspektiv som vi beskriver i denna del.

Urval

Vi valde att intervjua lärare som är verksamma i grundskolans tidigare år och undervisade i matematik. För att komma i kontakt med lärare som skulle stämma överens med urvalet, sökte vi efter skolor som enligt deras hemsidor hade ett visst fokus på matematik. Vi kontaktade på olika sätt lärare som arbetade på skolor runt om i södra Sverige. Vi besökte skolor och lämnade en skriftlig beskrivning av studiens syfte och frågeställning (Bilaga 1), lärarna fick sedan kontakta oss om de var intresserade. Vi ringde även runt till skolor, där vi pratade med rektorn som

antingen gav oss en mail-adress till lärare som han/hon förmodade var intresserade eller så har vi fått prata direkt med lärare som varit villiga att ställa upp.

Vi valde att intervjua lärare eftersom det är läraren som ska ansvara för om eleverna får möjlighet att reflektera i matematik. Det står i Lgr 11 (Skolverket, 2011) DWW´Oäraren ska

organisera och genomföra arbetet så att eleven utvecklas efter sina förutsättningar och samtidigt stimuleras att använda och utYHFNODKHODVLQI|UPnJD´s. 14).

23

Information om de intervjuade lärarna

Lärare ett har vi valt att kalla Emma.

Emma är utbildad grundskolelärare 1-7, matematik och naturorienterade ämnen. Hon är

matematikutvecklare och är med och påverkar matematiken i sin stadsdel. Hon har arbetat som lärare i 11 år och undervisar just nu elever i årskurs 3.

Lärare två har vi valt att kalla Susanna.

Susanna är utbildad mellanstadielärare och har behörighet i alla ämne, men har mest fokus på matematik och naturorienterade ämnen. Hon har arbetat som lärare i 40 år och undervisar just nu i årskurs 4.

Lärare tre har vi valt att kalla Marie.

Marie är utbildad lågstadielärare och har arbetat som lärare i 36 år. Hon undervisar just nu i årskurs 1.

Lärare fyra har vi valt att kalla Sofie.

Sofie är utbildad grundskolelärare 1-7, matematik och naturorienterade ämnen. Hon har arbetat som lärare i 8 år. Just nu undervisar Sofie i årskurs 3.

Lärare fem har vi valt att kalla Åsa.

Åsa är utbildad grundskolelärare 1-7, matematik och naturorienterade ämen, och har en del fortbildning inom matematik. Hon har arbetat som lärare i 15 år. Åsa undervisar just nu i årskurs 5.

Datainsamlingsmetoder

Vi valde att använda kvalitativa intervjuer som undersökningsmetod för vår empiriska studie. Trost (2010) beskriver den kvalitativa intervjun som att förstå eller hitta mönster, till skillnad

24

från en kvantitativ studie där man vill ta reda på hur ofta, hur många eller hur vanligt något är. Anledningen till att vi valde att använda kvalitativa intervjuer är, att vi ville förstå hur elevers möjlighet till reflektion i matematik ser ut. Trost (2010) redogör för vad kvalitativa intervjuer innebär; DWWPDQVWlOOHUHQNODUDNDIUnJRURFKInUNRPSOH[DLQQHKnOOVULNDVYDU´,QWHUYMXQJnU bland annat ut på att förstå hur den intervjuade tänker och känner, vilka erfarenheter den har, hur GHQLQWHUYMXDGHVI|UHVWlOOQLQJVYlUOGVHUXW´Trost, s. 24). Bryman (2011) menar att fokus ligger på den intervjuades ståndpunkt i kvalitativa intervjuer. Man ska sträva efter att låta intervjun röra sig i olika riktningar, eftersom detta ger en bild av vad intervjupersonen anser vara viktigt och relevant.

Det finns två huvudsakliga typer av kvalitativa intervjuer; ostrukturerade respektive semi-strukturerade intervjuer. Vi valde att använda oss av semi-semi-strukturerade intervjuer, eftersom vi ansåg att ostrukturerade intervjuer skulle vara för fritt och likna ett allmänt samtal och därmed inte ge oss tillräckligt med svar på våra frågeställningar. Det som utmärker denna typ av intervjuer är enligt Bryman (2011) att det finns ett tydligt fokus och specifika frågeställningar i studien. Frågornas ordningsföljd kan variera från intervju till intervju och det kan även

tillkomma nya frågor under intervjuns gång (Bilaga 2). Intervjuprocessen är flexibel då intervjupersonen har stor frihet att utforma sina svar.

Etiska överväganden

Informationskravet har för oss inneburit att vi har skickat ut ett informationsbrev till lärarna som ställde upp på intervju, för att ge de berörda information om vad vår studie skulle handla om. Vi har varit tydliga med att upplysa deltagarna om deras uppgift i projektet, att det är frivilligt och att de har rätt att avbryta sin medverkan när som helst. Samtyckeskravet har medfört att vi innan varje intervju har underrättat intervjupersonen om att han/hon självständigt får bestämma om han/hon fortfarande vill ställa upp på intervju och att det är möjligt att när som helst avbryta intervjun. Konfidentialitetskravet har inneburit att vi har informerat de berörda personerna om att vi har tystnadsplikt. Allt som sägs under intervjuerna är strängt konfidentiellt, det vill säga att personernas identitet inte kommer att kunna röjas eller igenkännas av utomstående. För att

25

uppfylla Nyttjandekravet har vi informerat de berörda om att vi endast kommer att använda den insamlade informationen till vår egen studie (Vetenskapsrådet, 2002).

Procedur

Vid intervjutillfällena valde vi att båda delta, den ena höll i intervjun medan den andra förde minnesanteckningar. Fördelarna med detta är enligt Trost (2010) att det kan vara ett gott stöd att vara två och att det ofta blir en bättre intervju då informationsmängden och förståelsen blir större. Lärarna i vår studie intervjuades enskilt för att få nyanserade svar, utan att svaren påverkades av andras åsikter. Vid gruppintervjuer är det svårt för alla att komma till tals, de tystlåtnas åsikter kommer inte fram medan de språksamma lätt tar över (Trost, 2010). Vid fyra av våra intervjutillfällen hade vi möjlighet att sitta i lärarnas klassrum, medan den femte

genomfördes ute i verksamheten.

Fyra av fem intervjuer spelades in med en diktafon, då en lärare inte ville bli inspelad. Anledningen till att vi ville spela in intervjuerna var att vi ville fokusera på den intervjuade. Vinsterna med att använda en diktafon är enligt Trost (2010) att man efter intervjun kan lyssna till tonfall och ordval upprepade gånger samt att man kan skriva ut intervjun och läsa vad som ordagrant sagts. Intervjuaren kan koncentrera sig på frågorna och svaren och behöver inte göra en massa anteckningar.

Direkt efter varje intervju fördes loggbok, där vi skev ner våra reaktioner, intryck och tankar. Efter detta lyssnade vi igenom intervjun och fyllde på med tankar och intryck.

Vi valde även att transkribera intervjuerna, för att vi lättare kan analysera resultaten.

Sociokulturellt perspektiv på kunskap och lärande

I vår studie har vi utgått från den sociokulturella inriktningen. Claesson (2007) förklarar denna inriktning genom att beskriva Lev Vygotskijs (1896-1934) teorier som kan sägas stå bakom den sociokulturella inriktningen. Han hade fokus på den sociala miljön, när han förklarade hur

26

människan lär sig något. Vygotskij ansåg att barnets utveckling hänger samman med vilken miljö det växer upp i. Lärandet äger rum när man deltar i ett sammanhang. Varje människa som

EHILQQHUVLJLHQOlUDQGHVLWXDWLRQKDUHQ]RQ´]RQHRISUR[LPDOGHYHORSPHQW´LQRPYLONHQHQ utveckling skulle kunna vara möjlig. I den sociokulturella inriktningen ligger det ett fokus på den omgivande kulturen, kommunikationen och sammanhanget. Elevperspektivet är i fokus, och alltså inte endast ett specifikt fokus på tänkandet. Claesson skriver vidare att lärarens roll är att hjälpa eleverna att ställa upp mål, och då eleverna inte förstår innehållet eller inte tycker det är viktigt kan läraren ingripa. Det gäller då i första hand för läraren att vara en god lyssnare.

Läraren bör skapa ett tillåtande klimat som utmärks av ömsesidig respekt där elevernas frågor tas på allvar.

I Skolverkets (2011c) publikation beskrivs att lärande utgår från samspel som sker mellan individer; först mellan individer och sedan genom individuell bearbetning. Att begrepp som kan knytas an till den sociokulturella inriktningen har haft genomslagskraft i Sverige, lyfts fram. I GHQQDLQULNWQLQJJnUVSUnNWlQNDQGHRFKNXQVNDSVXWYHFNOLQJKDQGLKDQG´9nUDVW\UGRNXPHQW bygger huvudsakligen på en sådan syn på kunskap och lärande. Kunskap konstrueras språkligt och språk fyller olika funktioner i olika sammanhang, så också i olika skoläPQHQ´Skolverket, s. 29). Vi kan använda detta i matematiken eftersom det behandlar kunskapsutveckling, begrepp och kommunikation.

Enligt ett sociokulturellt perspektiv krävs det att vi har kategorier och begrepp som vi kan ordna våra upplevelser med, för att kunna ta till oss och bevara kunskaper. Vi kan jämföra och lära av erfarenheter genom att tolka en händelse i begreppsliga termer. Språket är en central del, då vi genom språket skapar möjligheter att dela erfarenheter med varandra. Individen blir delaktig i kunskaper och färdigheter genom kommunikation. I denna studie har de centrala begreppen reflektion, metakognition och kunskap valts ut, som utgör stommen i studien (Säljö, 2010).

27

Resultat

Här presenteras den insamlade empirin utifrån intervjuer med lärare. Resultatet är uppdelat i kategorier efter våra frågeställningar, som är stommen i studien. Det finns även en uppdelning utifrån Hatties nivåer på återkoppling.

Lärares definition av elevers kunskap i matematik

När Emma definierar elevers kunskap i matematik talar hon om begrepp och språk. Hon menar att eleverna måste tillägna sig matematiska begrepp samt ett matematiskt språk och genom det får eleverna kunskaper i matematik. Emma ger eleverna möjlighet att resonera kring matematik. Hon låter de förklara hur de tänker och tydliggöra sina tankar för andra. Emma menar att det krävs kunskap i matematik för att kunna göra detta och hon uppmuntrar eleverna att använda matematiska begrepp vid diskussioner, såsom kvadrat, triangel, summa och produkt. Hon har enskilda samtal med eleverna, där hon låter dem reflektera över vad de känner att de behärskar i matematik och vad de behöver arbeta mer med. För att eleverna ska kunna förklara och prata kring matematik, måste de ha kunskap om matematiska begrepp. Genom detta samtal vägleder hon dem och gör eleverna medvetna om sin kunskap.

´-DJKDUMXUHGDQWlQNWXWLI|UYlJYLONDVYDUGHVNDVlJDQlUMDJIUnJDUYDGGHEHK|YHUMREEDPHUSå. Om QnJRQLQWHVlJHUGHWMDJW\FNHUDWWGHVNDWUlQDPHUSnVnI|UV|NHUMDJOHGDGHPGLW´(PPD

28

´-DJDUEHWDUVWHQKnUWPHGDWWHOHYHUQDVNDI|UVWnRFKLQWHEOi färdig. Jag vill att de själv efter ett tag ska inse att de lärt sig något på vägen. Jag vill att de får en aha-XSSOHYHOVHRFKWlQNHUDWWGHIDNWLVNWNDQ´ (Susanna).

Detta gör hon genom att låta eleverna träna på att använda sin kunskap i olika sammanhang, genom att exempelvis låta eleverna lösa problem som de själva kan stöta på i vardagen. För att eleverna ska kunna utföra detta, måste de ha kunskap om matematikområdet de diskuterar. Susanna menar att eleverna får kunskap om det matematiska språket genom diskussioner i helklass, där de samtalar om matematik och vilka begrepp som är nödvändiga för att göra sig förstådd. Hon uppmanar eleverna att använda matematiska begrepp när de själva diskuterar matematiska problem och vill att eleverna ska bli förtrogna med det språk som krävs, eftersom Susanna menar att det hjälper eleverna att förstå och lösa matematiska problem.

Marie låter eleverna i grupp lösa matematikuppgifter, där de diskuterar sig fram till olika lösningar. För att eleverna ska kunna delta i diskussionerna måste de ha förståelse för matematiska begrepp och kunna uttrycka det genom språk. Detta menar Marie handlar om elevers kunskap i matematik. Hon anser att eleverna får detta språk tillägnat sig när de löser matematiska uppgifter med varandra, eftersom det är då de pratar matematik och måste förklara för varandra hur de tänker.

Även Sofie menar att elevers kunskap i matematik innebär att eleverna ska kunna reflektera över olika matematiska begrepp. Hon menar att eleverna måste ha denna kunskap, för att kunna diskutera kring och se olika möjliga lösningar på matematiska problem. Hon låter eleverna sitta i grupp och diskutera hur de tänker och de får beskriva hur de löser uppgifter, eftersom hon anser att det är betydelsefullt att eleverna lär av varandra och kan dela med sig av sin kunskap. Vidare menar Sofie att eleverna genom dessa diskussioner får olika begrepp definierade och deras matematiska språk utvecklas, vilket är oerhört betydelsefullt för elevernas utveckling i matematik.

För Åsa handlar elevers kunskap i matematik om att de ska förstå och kunna använda

begrepp. Hon menar att eleverna ska befästa kunskaperna. Detta arbetar hon med genom att låta de träna på att använda kunskaperna i olika sammanhang. Åsa arbetar varierat och berättar att

29

´QXMREEDUYLMXSnOLWHROLNDVlWWJHQRPYHFNDQ'HOVKDUYLIlUGLJKHWVWUlQLQJRFKGnMREEDUHOHYHUQD enskilt. Och dels har de lästal, då eleverna jobbar tillsammans. Då gör de reflektioner över sina NXQVNDSHU´cVD

Hon menar att eleverna måste ha begreppslig kunskap inom matematik, när eleverna i grupp diskuterar fram olika lösningar. För att uttrycka det krävs språk. Åsa anser att eleverna får dessa kunskaper när de är med på genomgångar i helklass, eftersom det är då hon definierar olika matematiska begrepp och för en matematisk diskussion med eleverna. Detta kan eleverna sedan använda när de själv diskuterar eller löser matematiska problem.

Lärares syn på reflektion i matematik

Emmas syn på reflektion i matematik handlar om att eleverna får syn på sitt eget lärande. Emma menar att genom reflektion medvetandegörs eleverna om sin kunskapsutveckling. De får fundera över vad de har förståelse för och vad de kan utveckla i olika område i matematik. Emma belyser att hon inte påskyndar eleverna vid samtal, utan låter eleverna förklara och berätta i sin takt. Detta eftersom hon menar att när eleverna sätter ord på sina tankar, reflekterar de över sina tidigare kunskaper. Emma menar även att eleverna ska kunna relatera till tidigare kunskap för att kunna utvecklas och reflektera över ny kunskap. Emma uttrycker att det är för elevernas skull som man använder reflektion i matematik, eftersom det är de som ska bli medvetna om sin utveckling. Hon menar att hennes elever är medvetna om att de reflekterar, men att de kanske inte använder just ordet reflektion, eftersom det är något som sker dagligen i samband med matematiklektionerna.

Susanna menar att reflektion handlar om att eleverna får tänka igenom vad de förstått, vad nästa steg är samt var de är på väg. Susanna menar att syftet med att låta eleverna reflektera är att de ska bli medvetna om varför de handlar som de gör. Genom reflektion medvetandegörs

eleverna om sitt eget lärande. Eleverna får fundera enskilt över vad de lärt sig i matematik, det är dock inget som Susanna ständigt påminner dem om, utan hon menar att det är något eleverna själva måste ansvara för. Då Susanna ger eleverna ansvar (och genom det) måste eleverna tänka

30

och reflektera över sin kunskapsutveckling i matematik. Hon menar att det är upp till dig som lärare att synliggöra reflektion i matematik.

´'HWEHURUSnGLJVRPYX[HQRPGHlUPHGYHWQDRPGHWHOOHULQWH'HHOHYHUVRPMDJKDUWUlQDVSnDWWEOL PHGYHWQDDWWInLQVLNWRPVLJVMlOYD´6XVDQQD

Maries syn på reflektion är att det sker automatiskt, därmed är inte hennes elever medvetna om att det görs. Hon menar att

´QlUHOHYHUQDKDUNRPPLWVnOnQJWDWWGHWlQNHUWLOOGnWlQNHUGHLQWHSnDWWGHUHIOHNWHUDU´0DULH

Marie ser inte meningen med att ge eleverna möjligheter till att reflektera i matematik, eftersom hon inte ser några fördelar med det. Hon ser reflektion som ytterligare ett moment i

matematikundervisningen som måste hinnas med.

Sofie talar om att eleverna ska fundera över hur de tänker, när hon förklarar sin syn på reflektion i matematik. Hon menar att eleverna ska förklara för varandra och ställa frågor till varandra för att därigenom reflektera, eftersom det är när eleverna får sätta ord på sina tankar som de reflekterar över sin kunskap och kan ta till sig ny. Vidare pratar Sofie om vikten av att ha gemensamma diskussioner kring olika matematiska problem, eftersom hon menar att detta gynnar reflektionen. Dessa gemensamma diskussioner är betydelsefulla för reflektionen eftersom även här får eleverna möjlighet att sätta ord på sina tankar, förklara och ta till sig ny kunskap. När Sofie pratar om elevernas medvetenhet kring reflektion menar hon att

´GHWlUI|UDWWHOHYHUQDVMlOYDVNDInHQXSSIDWWQLQJRPGHUDVHJHQI|UVWnHOVHRFKLQOlrning och för att jag som lärare ska få en uppfattning om eleverna har förstått. Det är även för att eleverna ska kunna utvecklas YLGDUHVnPnVWHGHI|UVWnYDGGHJMRUW´6RILH

Åsa menar att reflektion innebär att eleverna ska fundera över vad de lärt sig, samt hur de kan gå vidare för fortsatt lärande. Hon menar att eleverna ska använda reflektionen för att kunna förstå och gå vidare i sitt lärande, då de blir medvetna om sin utveckling i matematik. Åsa förmodar att eleverna inte förstår varför de reflekterar, utan att merparten av eleverna tror att det är för hennes skull de gör det.

31

Varför reflektion

Emma ger eleverna möjlighet till reflektion för att eleverna själva ska bli medvetna om vad de kan, men även vad de kan bli bättre på. Detta ger en brinnande lust till att lära sig mer och hon anser att hennes elever är nyfikna och tycker att det är väldigt roligt med matematik.

Susanna menar att om eleverna får reflektera kring vad de lärt sig, kan de ta nytta av det senare i matematiken. De blir medvetna om den kunskap de besitter och hur de kan utvecklas. Susanna menar även att eleverna får möjlighet att reflektera för att de ska få en förståelse i matematik och att det inte handlar om att bli klar i matematikboken.

Då Marie anser att hennes elever reflekterar automatiskt, ser hon ingen mening med att arbeta medvetet med det.

Sofie pratar om att eleverna måste reflektera över vad de kan och vad de behöver utveckla, för att deras kunskapsutveckling ska gå framåt.

´'HWlUI|UDWWHOeverna själva ska få en uppfattning om deras egen förståelse och inlärning och för att jag som lärare ska få en uppfattning om eleverna har förstått. Det är även för att eleverna ska kunna utvecklas YLGDUHVnPnVWHGHI|UVWnYDGGHJMRUW´6RILH

Åsa ger inte idag eleverna tid för reflektion i matematik,

´GHWEHURUYlOOLWHSnYLONHQSHUVRQOLJKHWPDQVMlOYlURFNVn-DJlUMXOLNVRPOLWHPHUGHQKlULGpVSUXWDQ som sätter igång en massa och kanske inte riktigt ger dem tid att knyta ihop allting fullt ut, utan då går vi ORVVSnQ\DJUHMRU´cVD

Elevers möjlighet till reflektion

Emma ger eleverna möjlighet att reflektera i matematik genom samtal kring deras

32

lektionen eller vad eleven ska utveckla inom ett matematikområde. Emma ställer utmanande frågor till eleverna, som får dem att själva bli medvetna om sina kunskaper.

Susanna arbetar för att eleverna ska få en god lärandemiljö för att de ska kunna reflektera, vilket innebär att hon som lärare inte är stressad utan inger ett lugn. Hon menar att detta är betydelsefullt för att eleverna ska ha möjlighet att kunna reflektera. Susanna nämner att det beror på läraren om eleverna får möjlighet att reflektera, eftersom det är läraren som kan ge eleverna verktyg och möjligheter till det. Hon menar att det är läraren som styr undervisningen.

Marie ger inte eleverna några möjligheter till reflektion, då hon anser att det sker automatiskt under tiden de arbetar med matematik.

´'HWJ|UVDXWRPDWLVNW1lUGHKDUNRPPLWVnOnQJWDWWGHWlQNHUWLOOGnlUGHLQWHPHGYHWQDRPDWWGH UHIOHNWHUDU-DJWURULQWHDWWGHYHWDWWGHUHIOHNWHUDUPHQGHJ|UGHW´0DULH

Marie tror däremot att eleverna får aha-upplevelser under arbetes gång.

Sofie lyfter fram att eleverna får möjlighet till reflektion i matematik genom samtalet, i kombination med att göra saker praktiskt,

´I|UGnVHUPDQGHWSnHWWDQQDWVlWWRFKGnKDUPDQQnJRWDWWSUDWDRPRFKUHIOHNWHUDNULQJ´6RILH

Sofie belyser de gemensamma genomgångar, eftersom det är där eleverna kan lära av varandra och får möjlighet att sätta ord på sina tankar. Hon menar att detta kan vara en möjlighet för eleverna att relatera till sin tidigare kunskap för att kunna reflektera över ny kunskap och förståelse.

Åsa nämner, precis som Susanna, att det beror på läraren om eleverna får möjlighet att

reflektera. Åsa ger eleverna få möjligheter för reflektion då hon känner att hon måste påbörja nya områden i matematik, innan eleverna hunnit reflektera över föregående. Hon upplever liksom Marie att eleverna får aha-upplevelser när de insett att de förstått.

Processnivå

Emma arbetar kontinuerligt med reflektion genom att ställa frågor till eleverna efter varje lektion, som

33

´9DGKDUGXMREEDWPHGXQGHUGHQQDOHNWLRQ"*LFNGHWVRPGXKDGHWlQNWGLJ")LFNGXJMRUWGHWGXKDGH SODQHUDW"9DGVNDGXWlQNDSnWLOOQlVWDOHNWLRQ"´(PPD

I början av veckan har Emma en genomgång i helklass med eleverna om vad de ska arbeta med och vad de ska lära sig i matematik, för att i slutet av veckan ge eleverna möjlighet att reflektera kring vad de lärt sig. Genom samtal med eleverna tydliggör Emma deras mål, för att eleverna ska veta var de är på väg och bli medvetna om sin kunskapsutveckling. Hon menar att om man är tydlig i målformuleringen blir det lättare för eleverna att reflektera, eftersom då vet eleverna vad GHVNDDUEHWDPRW(PPDSnPLQQHUHOHYHUQDRP,83¶QI|UDWWGHVNDVHWLOOEDNDSnVLQDPnORFK stämma av hur det går. Det handlar inte bara om att hon som lärare stämmer av hur det går för eleverna, utan att de själva ser och blir medvetna om sin utveckling.Det är då eleverna får upp ögonen för sin kunskapsutveckling, genom att fundera över sina mål, hur det har gått, vad de kan och hur de kan gå vidare. Eleverna får även möjlighet attt reflektera över vilken kunskap de besitter genom att de får utvärdera sina läxor. Genom att låta eleverna utvärdera hur det gått med läxan, får de möjlighet att reflektera över vilken kunskap de besitter. Emma menar att det hela tiden måste ske ett samspel mellan henne som lärare och eleverna. Eleverna måste våga vara tydliga med att berätta för henne om de anser att något är lätt eller svårt, så att hon direkt kan ge feedback. Utifrån denna feedback får eleverna möjlighet att fundera över sin kunskap.

Susanna ger eleverna tid att fundera enskilt kring vad de har förståelse för och vad de behöver utveckla, vilket brukar ske i slutet av matematiklektionen. Då får eleverna individuellt tänka igenom vad de arbetat med under lektionen och hur det gått, vad de ska tänka på till nästa lektion och vad de behöver arbeta mer med. Precis som Emma, arbetar Susanna med att tydliggöra målen för eleverna, eftersom hon också anser att det blir lättare för eleverna att bli medvetna om sin kunskapsutveckling. Detta gör hon genom att innan arbetspasset gå igenom i helklass vad eleverna ska göra och vad de ska lära sig i matematik.

Vid matematiklektioner ger Sofie eleverna tid och möjlighet att fundera över

´+XUJMRUGHMDJI|UDWWNRPPDIUDPWLOOGHQQDO|VQLQJ".DQPDQJ|UDSnDQGUDVlWW"´6RILH

Hon menar att eleverna måste förstå och reflektera över vad de gjort, för att de ska kunna utvecklas vidare och befästa sina kunskaper. Sofie ger eleverna möjlighet att reflektera över det de gör, dra slutsatser och se mönster, genom att utmana dem med frågor. Frågorna ställer hon vid olika tillfällen, så som vid genomgångar, när eleverna arbetar i grupp eller individuellt.

34

Åsa ger eleverna möjlighet att reflektera i matematik genom att ge dem ansvar för ett helt kapitel i matematikboken, där de själva får uppskatta hur mycket de behöver göra under vilka veckor. Innan varje kapitel får eleverna fundera över vad det är de redan kan och vad de behöver träna mer på, med anknytning till kommande område. Detta sker kontinuerligt i

fyraveckorsperioder, därmed är det inget som sker dagligen. Efter varje kapitel får eleverna möjlighet att fundera över hur de har lyckats med kapitlet och vad de ska tänka på inför nästa. Genom detta arbetssätt menar Åsa att eleverna drar nytta av den nya kunskapen i kommande kapitel.

Metakognitiv nivå

(PPDVWlOOHURIWDIUnJDQ´)|UNODUDKXUGXWlQNHU"´WLOOHOHYHUQDHIWHUVRPKRQDQVHUDWWGHWlU betydelsefullt att eleverna kan förklara hur de tänker. Emma menar att om eleverna kan förklara hur de tänker på olika sätt, reflekterar de över sin kunskap och därigenom befäster de sin

kunskap.

9LGJHPHQVDPPDJHQRPJnQJDULPDWHPDWLNVWlOOHU6RILHIUnJDQ´+XUWlQNHUGX"´WLOO eleverna, som får förklara sina tankesätt och hur de tänker när de kommer fram till lösningar. Hon låter dem beskriva på olika sätt hur de tänker och utmanar dem med frågor som ´.DQPDQ O|VDXSSJLIWHQSnPHUlQHWWVlWW")|UNODUDSnVnPnQJDVlWWGXNDQ"´. Även vid grupparbete får eleverna tydliggöra sina tankar för varandra samt ställa frågor till varandra.

Uppgiftsnivå

Emma låter eleverna visa sin kunskap genom att de får göra egna matematikuppgifter, vilket kan vara läxa i slutet av ett område i matematik då eleverna har fått kunskap om räknesättet och ska nu kunna använda det. Eleverna får sedan lösa och ge feedback på varandras uppgifter, för att träna på att ta emot och ge feedback. När eleverna ger feedback till varandra ska de tänka på att de ska hjälpa sin kamrat att utveckla uppgiften framåt och göra den bättre, alltså ge konstruktiv

35

kritik. Emma berättar att det är något alla inte kan, men att de tränar på detta. Hon ger även själv feedback till eleverna kontinuerligt, till exempel efter att eleverna utvärderat hur det gått med läxan.

1lUHOHYHUQDInUDUEHWDHQVNLOWVWlOOHU6RILHIUnJDQ´+XUYHWGXDWWO|VQLQJHQVWlPPHU"´I|U att få eleverna att fundera och förklara. Hon tycker att det är viktigt att eleverna kan motivera sina tankar och genom att ställa denna fråga måste eleverna argumentera för sitt tankesätt och kunna förklara sina metoder.

36

Analys

I denna del har intervjuerna analyserats och vi har utgått ifrån vad lärarna sagt om de centrala begreppen och hur de ger eleverna möjlighet att reflektera, använda metakognition och kunskap. Fokus har legat på kommunikation, språk och de centrala begreppen.

Man kan urskilja en skillnad mellan Emma, Sofie och Susanna som ger eleverna möjlighet att reflektera, respektive Marie och Åsa som inte lika uttalat eller ofta låter eleverna reflektera. Utifrån de svar från lärarna som använder reflektion, kan man tyda att de vet vad de talar om och har goda kunskaper om det. Deras svar är beskrivande och ger en god bild av hur de arbetar. De är generellt sett intresserade av matematik och ser fördelarna med reflektion då den gynnar elevens lärande. Lärarna som inte lika tydligt använder reflektion ger korta beskrivningar av hur de arbetar för att ge eleverna möjlighet till reflektion. Detta tyder på att de inte har lika mycket kunskap inom området och ser inte riktigt meningen med varför man ska använda reflektion. Då de inte använt reflektion har de inte heller sett fördelarna med det, utan ser det endast som ett tidskrävande moment, vilket kan vara en anledning till att de inte använder det.

Susanna för en diskussion kring lärandemiljön. Hon menar att detta är grunden för att eleverna ska få en möjlighet att reflektera i matematik och menar att det inte är metoden som är allenarådande. Det gäller enligt Susanna att som lärare hitta lugnet i sig själv och ha en lugn klassrumsmiljö. Emma och Sofie är mer inne på tillvägagångssättet, och menar att samtalet är en viktig del i matematiken. De nämner även att det är viktigt att följa upp, för att få en uppfattning om var eleverna befinner sig i förhållande till målen.

Emma och Sofie ser samtalet som en möjlighet för eleverna att reflektera i matematik, men belyser det på olika sätt. Emma ställer utmanande frågor till eleverna, medan Sofie kombinerar samtalet med att utföra matematik praktiskt. Sofies elever får en praktisk dimension på

37

kunskapen då de i samband med samtal även får utföra matematik praktiskt. Emma och Sofie låter eleverna reflektera i samråd med lärare, medan Susanna och Åsa låter sina elever reflektera individuellt. Susannas och Åsas elever får därmed ingen möjlighet att sätta ord på sina tankar vid reflektion, då det inte sker något samtal.

Marie anser att eleverna reflekterar automatiskt, och därmed ger hon som lärare inte eleverna möjlighet för reflektion. Detta motsätter vad Susanna talar om. Hon menar att det beror på läraren som måste möjliggöra reflektion för eleverna, genom att exempelvis ge dem ansvar över sitt lärande. Även Åsa har uppfattningen att det beror på läraren, vilken personlighet man har, om man väljer att ge eleverna möjlighet att reflektera i matematik. Hon menar att hon själv snabbt påbörjar nya områden, utan att ha låtit eleverna reflektera över vad de har gjort och förstått. Detta beror på att hon känner en stress över att hinna med allt i det centrala innehållet i Lgr 11. Emma, Sofie, Susanna och Åsa använder reflektion på processnivå, vilket innebär enligt Hattie och Timperley (2007) att man genom en process stödjer elevens lärande. Åsa arbetar dock inte lika kontinuerligt med reflektion som Emma, Sofie och Susanna. Detta kan bero på att Åsa inte känner att tiden räcker till, då hon vill hinna gå runt och lyssna på elevernas reflektioner. Hon ser inte möjligheterna som till exempel Emma berättar om, som menar att man som lärare kan låta eleverna reflektera i grupp, vilket leder till att läraren hinner lyssna på fler elever. Åsa och hennes kollega reflekterar tillsammans över deras lektioner och hon berättar att de lär sig mycket vid dessa tillfällen. Det kan tyckas märkligt att hon inte ger eleverna möjlighet att reflektera, då hon inser fördelarna med det när hon själv reflekterar.

Emma och Susanna låter eleverna fundera över hur de lär, och genom detta blir de medvetna över sitt eget lärande. Det Emma och Susanna beskriver tillhör den metakognitiva teorin som Skolverkets (2003) kvalitetsgranskning förklarar som att man ser och blir medveten om sitt eget lärande, för att kunna utvecklas.

Genom att Sofie ställer IUnJDQ´+XUWlQNHUGX"´WLOOHOHYHUQDPHGYHWDQGHJ|UKRQGHPRPVLQD tankar, vilket kan kopplas till den metakognitiva nivån som Hattie och Timperley (2007) tar upp. Denna nivå på återkoppling innebär att eleven blir medveten om sitt lärande, vilket stärker tilltron till den egna förmågan.

Samtliga lärare menar att eleverna behöver språk och begreppslig kunskap för att kunna delta i diskussioner, där de reflekterar kring matematiska begrepp. Även då eleverna förklarar och beskriver sina tankesätt krävs detta.

38

Emma och Sofie använder båda återkoppling på uppgiftsnivå, men på olika sätt. Emma både ger feedback själv till eleverna, och låter dem ge feedback till varandra, medan Sofie endast själv ger feedback till eleverna. Hattie och Timperley (2007) beskriver återkoppling på uppgiftsnivå där återkopplingen är specifik på den enskilda uppgiften.

Emma, Sofie, Susanna och Åsa uttrycker att tid kan ses som en svårighet när de gäller

reflektion. De tycker att man istället ska se det som en del av undervisningen och våga ge det tid. Reflektion ska ingå i matematiken, då den påverkar lärandet positivt, och bör inte ses som ett extra betungande moment. Vidare pratar de om att det är viktigt att lärare hittar olika former för reflektion, som de kan använda på olika sätt i undervisningen. Marie däremot tycker, som nämnts tidigare, att reflektionen görs automatiskt. Detta gör att hon inte lägger någon tid på det och därmed inte ser det som en svårighet.

Sofie och Susanna ser reflektionen som en förmåga, vilket kan göra att en del elever har svårt för att lära sig det. De för även en diskussion kring att alla elever har olika personligheter och därmed har elever lättare eller svårare att uttrycka sig muntligt. Emma menar istället att det är upp till läraren att hitta olika former, som passar de olika personligheterna som finns i klassen.

39

Diskussion

I denna del diskuterar vi vårt resultat, och även här utgår vi från de centrala begreppen. Här kopplar vi intressanta resonemang till relevant litteratur. Vi för även en diskussion kring vår metod, där vi bland annat tar upp arbetets validitet och reliabilitet.

Samtliga lärare definierar kunskap i matematik där eleverna ska ha begreppslig förståelse och ett matematiskt språk. Lärarna menar att eleverna behöver detta för att förstå och kunna lösa

matematiska problem. Eleverna ska kunna föra matematiska diskussioner och använda begrepp för att bli förtrogna med det matematiska språket. Høines (2000) beskriver Lev Vygotskijs syn på begrepp och språk, där en viktig del av begreppsutvecklingen är att uttrycka sig. När man använder språket utvidgar och utvecklar man begreppsinnehåll. Det visar sig svårt att utveckla ett begreppsinnehåll utan att utveckla ett språk som täcker det.

I matematik ger Emma och Sofie eleverna möjlighet att reflektera genom samtalet, där eleverna får förklara och beskriva hur de tänker samt ställa frågor till varandra i grupp. De arbetar för att eleverna ska kunna föra resonemang kring matematik och både arbeta och

reflektera i grupp. Eleverna ska förstå och kunna se ett sammanhang med kunskapen. De har ofta genomgångar i helklass där de låter eleverna förklara sitt tankesätt. Skolverket (2009a) och Löwing (2006) har uppmärksammat att genomgångar i helklass sällan förekommer i matematik. Genom att låta eleverna arbeta enskilt i matematikboken blir undervisningsformen individuell, eftersom de får arbeta med samma innehåll. Många elever förstod inte sammanhanget med uppgifterna de fick, eftersom det är vid den gemensamma genomgången som detta skapas. Vi kan se att detta stämmer överens med Marie, Susanna och Åsas sätt att arbeta och ge möjlighet till reflektion, då de oftast låter eleverna arbeta och reflektera individuellt. Som nämnts tidigare ger Sofie eleverna möjlighet att reflektera genom samtalet. Hon använder samtalet i samband

40

med att utföra matematik praktiskt, för att eleverna ska få en praktisk dimension på kunskapen. 'HWWDNDQWRONDVVRPIlUGLJKHWVNXQVNDSVRPlUHWWDYGHI\UDI¶QLVW\UGRNXPHQWHQVRP0DOWpQ (2003) beskriver. Maltén förklarar det som att man utför något, då detta är en praktisk dimension. Den svarar SnIUnJDQ´KXU´QnJRWVNDJ|UDVSusanna och Åsa låter eleverna reflektera

individuellt, vilket leder till att det inte sker något samspel mellan eleverna och de får ingen möjlighet att sätta ord på sina tankar. Det kan tyckas märkligt att eleverna inte får någon möjlighet att reflektera i samtal med andra, då Skolverket (2011c) skriver att kunskap konstrueras språkligt och att språk fyller olika funktioner i olika sammanhang.

Susanna för ett resonemang kring vikten av att ha en god lärandemiljö. Hon menar att detta måste finnas för att eleverna ska kunna få möjlighet till att reflektera kring sina kunskaper i matematik. Att undervisningsmiljön är viktig visas i Skolverkets (2003) kvalitetsgranskning, som har kommit fram till att undervisning som präglas av variation i innehåll och arbetsformer, leder till en ökad lust att lära.

Emma och Susanna arbetar med att eleverna ska veta var de är på väg och medvetandegöra dem om sin kunskapsutveckling, genom att tydliggöra målen för eleverna och vara tydliga i vad de ska ha förståelse för i det centrala innehållet i Lgr 11 (Skolverket, 2011). Detta är även något som Skolverket (2003) uppmärksammat i sin kvalitetsgranskning, där de har kommit fram till att när målen blir tydliga och eleven förstår syftet med sitt lärande, får de en ökad tillit till sin förmåga att lära. Åsa däremot känner stress med att hinna med ett stort ämnesinnehåll.

Konsekvenserna blir att hon endast arbetar med målen i matematikboken och inte det centrala innehåll som finns i Lgr 11 (Skolverket, 2011). Därmed blir Lgr 11 inte synlig för eleverna och de vet inte syftet med sitt lärande eller vad de ska ha förståelse för. Emma betonar hur

betydelsHIXOOWGHWlUDWWSnPLQQDHOHYHUQDNRQWLQXHUOLJWRP,83¶QVnDWWGHQLQWHHQGDVWDQYlQGV YLGXWYHFNOLQJVVDPWDO+RQPHQDUDWWHOHYHUQDJHQRP,83¶QNDQIXQGHUD|YHUVLQXWYHFNOLQJRFK sträva framåt. Skolverket (2009b) för ett likande resonemang om att eleven ska föras framåt i sitt OlUDQGHJHQRP,83¶QRFKGHQVNDYLVDSnHOHYHQVNXQVNDSVXWYHFNOLQJ,83EHVNULYVVRPHWW redskap för att stödja elevens lärande och sociala utveckling. Ingen annan lärare i vår studie nämner IUP, vilket kan tolkas som att de inte ser den som ett redskap för reflektion eller använder den fortlöpande.

Emma ger eleverna en möjlighet att reflektera genom att låta dem själva se och bli medvetna om sin utveckling, så att det inte bara är hon som stämmer av om eleven uppnått målen. Jönsson