Begreppsförståelse inom matematik
En kvantitativ studie om sambandet mellan begreppsförståelse inom
matematiken och betyg
Examensarbete 15 hp Examinator: Mikael Segolsson
Lärarutbildningen, VAL Författare: Johan Lind &
VT 21 Susanna Blad Röing
HÖGSKOLAN FÖR LÄRANDE OCH Examensarbete 15 hp
KOMMUNIKATION (HLK) inom VAL
Jönköping University Lärarutbildningen
Vårterminen 2021
SAMMANFATTNING
_________________________________________________________________________
Johan Lindh & Susanna Blad Röing
Begreppsförståelse inom matematiken – En kvantitativ undersökning om sambandet mellan begreppsförståelse inom matematiken och betyg.
Antal sidor: 22
__________________________________________________________________________ Syftet med denna studie är undersöka om det finns ett samband mellan begreppsförståelse och betyg inom ämnet matematik i högstadie- och gymnasieskolan.
För ämnet matematik menar Skolverket att det måste finnas ett större utrymme för begrepp som eleven inte beskriver och använder, men fortfarande krav på en viss bredd eftersom de grundläggande begreppen ska omfattas. För att undersöka hur det ser ut bland våra elever formulerades följande frågeställningar.
- I vilken grad förstår eleverna matematiska begrepp?
- Finns det ett samband mellan betyg och begreppsförståelse inom matematiken?
För att besvara frågeställningarna genomfördes en kvantitativ studie genom en enkätundersökning som besvarades av etthundrafemtio elever i årskurs nio samt i årskurs två på gymnasiet. Resultatet visade på en sjuttioprocentig begreppsförståelse inom matematik och att det fanns ett samband mellan begreppsförståelse och betyg. Denna undersökning visar tydligt att begreppsförståelse och betyg har ett samband för elever i högstadiet och gymnasiet. . _____________________________________________________________________
Nyckelord: begreppsförståelse, högstadiet, gymnasiet, betyg, samband
__________________________________________________________________________
Postadress Gatuadress Telefon Fax
Högskolan för lärande och Gjuterigatan 5 036-101000 036-162585 kommunikation (HLK)
Innehåll
1 Inledning 1
2 Bakgrund 2
2.1 Vad säger styrdokumenten 2
2.2 Det matematiska språket 3
2.3 Inlärningsteorier 5
2.3.1 Sociokulturell inlärningsteori 5
2.3.2 Konstruktivistisk inlärningsteori 7
3 Syfte och frågeställningar 8
4 Metod 9
4.1 Val av metod 9
4.2 Enkät som metod 10
4.3 Urval 10 4.4 Genomförande 11 4.5 Analys 12 4.6 Etiska överväganden 12 5 Resultat 13 5.1 Begreppsförståelse 13
5.2 Betyg och resultat 14
6 Diskussion 17
6.1 Metoddiskussion 17
6.2 Resultatdiskussion 19
6.3 Slutord och nya frågor 21
7 Referenser 22
1 Inledning
I denna studie kommer vi att undersöka sambandet mellan begreppsförståelse och betyg inom matematiken. Diskussionen om sambandet mellan språk och matematik har intensifierats under 2000-talet. I den internationella PISA undersökningen som genomfördes år 2000 undersöktes elevers resultat i matematik, läsförståelse och naturkunskap från ett nationellt perspektiv och den visar på ett starkt samband mellan läsning och matematik (Svensson, 2003).
Vid undervisning av matematik förekommer många begrepp som eleven behöver förstå för att kunna ta till sig den kunskap som läraren förmedlar. I många fall går läraren igenom uppgifter på tavlan under lektionen för att eleven ska få ökad förståelse för det område man jobbar med. Många elever tycker ändå att det är svårt att hänga med under genomgångar och upplever att det går för snabbt eller är för krångligt. Det som kommer att undersökas i denna studie är om det finns ett samband mellan begreppsförståelsen och det senaste betyget eleven fått. Det finns många utmaningar för eleverna att lära sig matematikens språk. Att kommunicera inom matematik kan var en utmaning även för den mest avancerade matematikeleven (Fries, Huges, Riccomini & Smith 2015).
Matematiken har ett eget språk där vanliga begrepp kan ha en annan innebörd än det vi är vana vid. Bråk betyder exempelvis inte att två personer är oense utan “delar av det hela”. I de fall eleven inte förstår de matematiska begreppen finns det en risk att eleven inte hänger med i genomgången. De kommer då ha svårt att ta till sig det läraren vill förmedla. I undervisningen använder läraren det matematiska språket vid genomgångar. Frågan är om elever har lärt sig språket och kan begreppen, eller är det något som tas för givet i och med att de läst matematik under alla sina år i skolan?
Studien kommer att genomföras på ungdomar som går i nian på högstadiet och tvåan på gymnasiet.
2
2 Bakgrund
I bakgrunden kommer först de styrdokument beskrivas som ligger till grund för undervisningen i matematik i skolan samt hur Skolverket mer vill fokusera på begreppsförståelse. Vidare presenteras forskning som genomförts med fokus på det matematiska språket från olika delar av världen. Avslutningsvis går vi in på lärandeteorier för hur man som lärare kan nå eleverna och få dem att ta till sig kunskap.
2.1 Vad säger styrdokumenten
Under sommaren 2021 kommer Skolverket med en ny reviderad ämnesplan för matematik för gymnasiet. I denna plan kommer de matematiska begreppen att lyftas fram och ta plats mer i ämnets syfte och centrala innehåll. I denna undersökning kommer därför undersökas hur begreppskunskapen inom matematiken korrelerar med betyget hos elever i årskurs nio och andra året på gymnasiet.
Syftet med ämnet matematik beskrivs i den nya reviderade ämnesplanen om matematik för gymnasiet som ska gälla från den 1 juli 2021:
Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar en förmåga att arbeta matematisk. Det innefattar att utveckla förståelse av matematikens begrepp och metoder samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa problem och använda matematik i samhälls- och yrkeslivet. I undervisningen ska eleverna ges möjlighet att fördjupa sig och bredda sina kunskaper i matematik samt utveckla sin kreativitet. Vidare ska undervisningen bidra till att eleverna utvecklar kunskaper om matematikens betydelse och användning inom andra ämnen samt i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang (Skolverket, 2020, sid. 1).
I kommentarmaterialet till ämnesplanen i matematik som tillämpas från den 1 juli 2021 för gymnasieskolan markeras en utökning inom tre områden inom matematiken. De tre är problemlösning i kursens olika ämnen, bredd i begrepp och procedurer samt värdeordet grundläggande:
Det finns även krav på att eleven använder och beskriver ett omfattande antal begrepp. Detta betyder att elever inte måste kunna använda och beskriva samtliga begrepp i kursen för att kraven för betygen A och C ska vara uppfyllda, men det ska inte heller finnas betydande luckor. För betyget E är kravet begränsat till att eleven ska kunna använda och beskriva grundläggande begrepp. Det betyder att det finns större utrymme för begrepp som eleven inte beskriver och
3
använder, men fortfarande krav på en viss bredd eftersom de grundläggande begreppen ska omfattas. Även för procedurer finns krav på att eleven hanterar ett omfattande antal respektive grundläggande procedurer. Betydelsen av detta överensstämmer med kraven som rör begrepp (Skolverket, 2021, sid 3).
Detta visar på att även Skolverket menar att begreppsförståelsen måste få en central roll inom det matematiska ämnet.
2.2 Det matematiska språket
Att det matematiska språket inte når fram till eleverna i klassrummen verkar vara ett globalt problem. Detta avsnitt beskriver forskning från olika delar av världen där den matematiska kunskapen inte kommer i fokus på grund av att eleven inte kan ta till sig det matematiska språket på en nivå som gör att kunskapsinhämtningen blir effektiv.
Riccomini et al (2015) problematiserar en utbredd uppfattning av att det matematiska språket lärs ut under matematiklektionerna i skolan. Han menar att språkutveckling ofta är förbisett av lärare i matematik och är ett moment som man inte fokuserar på under lektionstid. Många lärare tar för givet att eleverna kan och kommer ihåg språket från tidigare årskurser. Det förutsätts att eleven kommer in i klassrummet med adekvat språkkunskap, vilket inte alltid är fallet. Det finns ett sätt att tala i matematikundervisningen och som inte alltid överensstämmer med det eleven är van vid. Det är viktigt att lärare jobbar med det språkliga kontinuerligt inom matematiken, att begreppsförståelse finns med i undervisningen och att eleven får förutsättningar att hänga med under lektionen. I de fall läraren jobbar med utveckling och användning av det matematiska språket kommer det att förbättra inlärning och förståelse för eleverna och bättre resultat kommer uppnås.
Svensson (2013) har även hon undersökt betydelsen av att arbeta med det matematiska språket i undervisningen. Hon har valt att undersöka tre grupper, en grupp elever med dyslexi, en med svenska som andraspråk och en grupp utan något av dessa två. I sin forskning studerar hon benämnda tal, vilket innebär tal som förenar enhetens namn med talet, t.ex. tre dussin, fem kronor osv, i samband med renodlade matematiska tal. I många fall där språket i sig är en bristande faktor för eleven kan dessa benämnda tal utgöra hinder för dem att kunna lösa problem inom matematiken. I studien framkommer det tydligt att merparten av eleverna hade klarat testerna betydligt bättre utan att använda sig av de benämnda talen. Många elever där språket är ett hinder klarar inte av matematiken då de inte har tillräcklig förståelse för det matematiska språket som används i de benämnda talen. Frågan hon ställer sig är därför vad det är vi mäter,
4
läsförståelse eller matematiska kunskaper? I och med att inte fokus ligger på språket under matematiklektionerna men ofta använder det i en provsituation kommer flera elever inte att kunna visa de kunskaper de har i ämnet. Kanske är det så att det inte fokuseras på språket under matematiklektionerna, vilket ger utslag i bristande kunskaper hos eleven?
Enligt den kenyanska forskaren Mulwa (2014) är den primära funktionen av det matematiska språket att få läraren att kommunicera den matematiska kunskapen med så mycket precision som möjligt. För att läraren skall kunna göra detta på bästa sätt behöver läraren förstå språkets roll i undervisningen. Viktigt är också att det material som används såsom textböcker och andra instruktioner följer samma struktur, mening och uppbyggnad för elever i en viss årskurs eller ålder. Eleven bör förstå de ämnesspecifika begreppen för ett visst ämne och kan se, känna igen och ha förståelse för symboler och figurer som kan förekomma i undervisningen. All denna kommunikation är av yttersta vikt för att eleven ska få förståelse för det som läraren vill förmedla. Det är viktigt att eleven förstår och hänger med i undervisningen. När ett barn tolkar vad som sägs påverkas dess tolkningar av tre saker. Det första är det kunskap om språket, hur mycket kunskap finns och vilken begreppsförståelse har barnet. Det andra är hur vi säger det, alltså hur tolkar barnet det vi säger, hur beter läraren sig när de pratar och det tredje som är av betydelse när ett barn tolkar det som sägs är hur barnet ser sig självt i sin fysiska situation (Mulwa, 2014).
Valley (2018) från USA forskar om hur förståelsen för det matematiska språket ökar den konceptuella förståelsen. I sin studie visar hon att den allmänna kunskapen om det matematiska språket påverkar elevers resultat. Hon kunde också påvisa att efter att eleverna hade fått en genomgång av språket i sig kunde de klara av uppgifterna bättre. Det visade även att eleverna kunde tala om mattetalen bättre och kunde kommunicera runt matematiken på ett annat sätt vilket kunde öka förståelsen för hur lösningar skulle se ut. Detta medförde att eleverna kunde formulera sina frågor till läraren för att få mer korrekta svar. Hennes studie påvisar att om det matematiska språket lärs ut varje dag ökar det inlärningsprocessen hos eleven med en markant skillnad. Det står klart att frekvent användning av det matematiska språket i elevernas konversationer kommer av att det även sker i undervisningen, som i sin tur ökar förståelsen och elevens inlärningsprocess.
Tejkalova Prochazkova (2013) från Tjeckien har också skrivit om det matematiska språket och dess svårigheter i matematikundervisning. Hon undersökte hur man undervisar i matematik på engelska. Det som blev klart även i denna undersökning var att symboler och experiment är
5
viktiga för den matematiska utvecklingen hos eleven. Det är viktigt att eleven förstår vad läraren vill förmedla och även om det sker på ett annat språk än eleven är van vid behöver läraren jobba med det språkliga och hitta sätt att få eleven att förstå.
Avslutningsvis fann vi forskning om hur elever ska kunna lära sig det matematiska språket och hur det lättast blir begripligt för eleven. Även här ser man klart att det är viktigt att eleverna förstår det matematiska språket och att lärarens undervisning brister då eleven inte har förståelse eller behöver sitta och leta i sin skrivbok efter betydelser för att kunna förstå. För att eleven lättare skall förstå de matematiska uttrycken kan det underlätta att olika modeller som bygger på de elementära grunderna i matematiken används (Jamison, 2000).
2.3 Inlärningsteorier
Det finns många olika teorier om elevers lärande och hur de bäst tar till sig kunskap och hur olika lärprocesser ser ut. I klassrummet är det viktigt med ett samspel mellan elever och lärare för att få en lärandeprocess. Under lång tid har flera olika stora tänkare gett sina bilder av vad som är viktigt och hur man får en elev att ta till sig kunskap och omsätta den i praktiken (Imsen, 2005). Som tidigare noterats är det ett universellt problem att det matematiska språket inte finns med i matematikundervisningen. För att finna ett sätt där teorin kan hjälpa på vägen har vi valt att främst fokusera på sociokulturell inlärningsteori och konstruktivistisk inlärningsteori.
Imsen (2005) beskriver var inlärning sker. Hon menar att kunskapen som bildas i människan inte får någon mening om den inte tolkas av mottagaren. Inlärning sker där kunskap och erfarenhet blir till. Detta innebär att det inte spelar någon roll hur bra vi är på att förklara ett matematiskt tal om eleven inte har den grundläggande förståelsen att tolka det vi säger och därav kommer ingen inlärning ske.
2.3.1 Sociokulturell inlärningsteori
Jakobsson (2012) menar att enligt det sociokulturella perspektivet behöver eleven förstå innebörden och kunna relatera till undervisningen för att kunna ta till sig kunskap. Eleven bör se samband i informationen och hitta sätt att ta till sig kunskap. Detta är inte en envägskommunikation utan någon slags interaktion som måste ske mellan läraren och eleven.
6
Det måste finnas dynamik i relationen mellan lärare och elev för att kunskap ska uppstå. Det sociala står i fokus och driver eleven till en större förståelse. Läraren och eleven behöver både diskutera och undersöka möjligheter samt begränsningar av den nya kunskapen. Genom interaktion mellan lärare och elev, eller mellan elev och elev, får eleven en större förståelse och har lättare att se konsekvenser och få en helhet genom den nya kunskapen (Jakobsson, 2012).
Vygotskij är kanske den som förknippas mest med den sociokulturella lärandeteorin. I teorin finns flera olika delar men ofta nämner man att den går ut på sociala interaktioner, allt man lär av varandra. Det handlar om delade inlärningstillfällen och att en formulerad kunskap blir till en starkare kunskap. I diskussioner med andra kan kunskapen bli starkare och få större fäste framåt. En annan aspekt kan vara diskussionen av själva ämnet där man tillsammans ser olika aspekter och synvinklar av olika problem, vilket kan bidra till en större och mer komplett helhetsbild. Det är betydelsefullt att elever får lära sig att argumentera och se fördelar och nackdelar för ökad förståelse (Stensmo, 2007).
Enligt Imsen (2005) syftar Vygotskijs teori på att ett barns kognitiva utveckling tar fäste i individen samt påverkas av den kultur och det samhälle som barnet lever i. Från det ögonblick ett barn föds så kommer barnet leva i ett socialt sammanhang där både kulturen och språket har en viktig roll. Kulturen som barnet påverkas av kommer att uttrycka sig i det språk som barnet kommer att behärska. Språket är inte bara viktigt för att kommunicera utan även för tänkande och medvetenhet. Imsen fortsätter att förklara att kunskap är en del av kulturen som vuxit fram genom århundraden av människors arbete och engagemang. Vygotskijs teori fäster stor vikt vid det sociala samspelet och språkets betydelse för inlärning och utvecklingsprocessen (Imsen, 2005). För att eleven ska ta till sig kunskap i klassrummet är det därför viktigt att eleven förstår och känner sig bekväm med de begrepp som används.
Enligt Stensmo (2007) menar Vygotskij att barnet når ett komplext tänkande när det kan sammanfoga flera ting till egenskaper och relationer. Vid denna sammanfogning kommer barnet i efterhand använda sig av verbal kommunikation såsom tecken och begrepp. Det komplexa tänkandet innefattas av fem delfaser:
1) Sortering sker i barnet från objektiva saker så som färg, form och storlek.
2) Här sker sorteringen efter olikhet och komplement.
3) I det tredje steget kedjar barnet samman flera saker efter olika principer såsom tex. användning av färg eller form.
7
4) Barnet sorterar därefter saker i en mer diffus relation av orsak och verkan.
5) I det slutgiltiga steget sorterar barnet tingen och händelser i dess konkreta framträdelseformer.
Det är först vid puberteten som ett genuint begreppstänkande uppstår och blir naturligt. Det är därför viktigt i en lärandeprocess att dessa steg begrundas och tas i beaktning (Stensmo, 2007).
2.3.2 Konstruktivistisk inlärningsteori
En av de mest framstående inom konstruktivismen är filosofen och psykologen Jean Piaget. Grundidén till konstruktivismen är att inlärningen bygger på det som händer med individens mentala strukturer. För eleven är inlärningen individuell och något som utspelar sig i elevens egen mentala värld. Lärandet i sig är något som befinner sig i ett samspel mellan individ och omvärld. (Imsen, 2005).
Piaget menade att ett barn har bäst förutsättningar att ta till sig kunskap om undervisningen sker i barnets egen begrepps- och kunskapsvärld. Om ett barn inte förstår det grundläggande kommer barnet heller inte förstå det som läraren fortsätter med. Det grundläggande i all inlärning är att utveckling måste föregå lärande. Vart befinner sig eleven och hur ska den nå nästa nivå. Piagets mening var att barnet behöver undervisning för att utvecklas men det måste ske på den nivå barnet befinner sig för att kunna göra nytta (Lundgren, Säljö, Liberg 2010).
Den sociala konstruktivismen börjar i att både lärande och kunskap måste ses i perspektiv av kultur, språk och all gemenskap som eleven tillhör. Lärandet börjar inte ”där ute” eller ” inne i huvudet” utan med språket som ett kulturellt fenomen. Det är själva språket som gör att vi förstår hur världen fungerar och kan rama in kunskapen. Detta är viktigt i skolsammanhang där språket är centralt och finns överallt, i klassrummet, i läroböckerna, i eleverna anteckningsböcker och kanske främst i den muntliga kommunikationen. Ett samspel av dessa teorier kan ge en väg till kunskap (Imsen, 2005).
8
3 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att undersöka om det finns ett samband mellan begreppsförståelse och betyg inom ämnet matematik i högstadie- och gymnasieskolan.
- I vilken grad förstår eleverna matematiska begrepp?
9
4 Metod
I detta avsnitt går vi igenom den metod som ligger till grund för vår studie. I studien undersöker vi elevernas förståelse för 15 matematiska begrepp genom en kvantitativ studie. En jämförde sker även mellan antalet rätta svar med det betyg som eleven senast fått.
4.1 Val av metod
Metoden som användes i denna studie är den kvantitativa metod, där ett antal begrepp blev till en enkät. Eleverna svarade på en enkät gjord i Microsoft Forms och i Google Formulär. Den bestod av femton begrepp från matematiken (bilaga 1). Begreppen var noga utvalda från olika delar inom matematiken som eleverna berört under flertalet gånger under matematikundervisningen i sin skolgång. Valet att använda enkät som metod bottnade i att ett brett spektrum i underlaget samt att eleverna som deltog kunde avidentifieras. Det var viktigt att elevernas resultat inte skulle kunna sammankopplas med eleverna som individer och att eleverna inte skulle känna sig träffade i de fall de inte kunde svara på ett begrepp eller få ett dåligt resultat. Elevskaran behövde behandlas som en helhet och inte individualiseras. I dessa fall föreligger en viss risk att eleven inte vill sammankopplas med ett dåligt resultat och inte vill svara på undersökningen jämfört med om vi hade valt en kvalitativ metod där vi intervjuat eleverna istället. Det hade varit svårt att kunna hantera det stora antal svar som vi kunde med detta val av metod.
Utmaningen blev precis som Dimenäs (2007) beskriver, att göra enkäten både tillräckligt intressant och relevant så vi dels fick många, dels relevanta svar. Ett frågeformulär i sig blir inte intressant förrän man kan koppla ihop syftet med själva undersökningen. Enkäten blir ett redskap för att samla in data till undersökningen (Dimenäs 2007). I och med detta arbetades enkäten igenom flera gånger innan den kördes i skarpt läge.
10
4.2 Enkät som metod
Dimenäs (2007) menar att enkäten kan vara ett lämpligt verktyg när man vill beskriva hur vanligt förekommande ett fenomen är. Enkäten ger möjlighet att utifrån olika bakgrundsfaktorer se vilka skillnader som finns i hur respondenterna besvarar frågor. Det är också ett bra verktyg när man vill jämföra olika grupper med varandra, till exempel kön eller olika åldersgrupper. Mycket tid och energi lades ner på själva konstruktionen av enkäten så att den passade vårt syfte med undersökningen. De begrepp och flervalsalternativ som valdes att användas i enkäten justerades tre gånger innan vi genomförde det underlag som ligger till grund för resultatet. Frågorna behövde vara enkla utformade så eleven snabbt skulle få en känsla för om de kunde begreppet eller inte. Frågan i sig skulle inte vara ett problem att förstå utan det var själva begreppsförståelsen som var viktig (bilaga 1).
Genom testkörningar försäkrades att det som skulle undersökas verkligen undersöktes, dvs att undersökningen har en god validitet. Enligt Dimenäs (2007) handlar validitet om studiens giltighet och att studera det man avser att undersöka.
I en enkät behöver frågorna vara så exakta som möjligt och det måste finnas en tydlighet som inte lämnar svarsfältet allt för öppet för tolkning, dvs har hög reliabilitet. Reliabilitet handlar enligt Dimenäs (2007) om att undersökningen måste ha en så hög trovärdighet och tillförlitlighet så att man kan tro på det som undersökningen visar. Att lyckas med detta var en förutsättning för att materialet skulle kunna bearbetas på ett bra sätt och utifrån den insamlade informationen en god analys skulle kunna göras.
4.3 Urval
I denna studie undersöktes om det finns en korrelation mellan begreppsförståelse inom matematiken och elevens senaste betyg.
Då en kvantitativ studie skulle genomföras behövde vi ett stort underlag. Vi valde att se på både högstadium och gymnasium för att se om detta samband fanns. För att få ett brett underlag genomförde vi undersökningen i sex olika klasser på högstadiet och på gymnasiet både i samhällsprogrammet och ekonomiprogrammet. I undersökningen ingick sex klasser i årskurs nio och klass EK19a, EK19b och SA19 med elever från en gymnasieskola.
11
Efter att eleverna hade genomför undersökningen sammanställdes vilka betyg de hade. Betygen som ligger till grund för denna undersökning erhölls med hjälp av administratörerna på respektive skola. Betygen som användes var de senaste betyg som eleven haft i ämnet matematik. I undersökningen deltog etthundrafemtio elever med betyg från A till F på högstadiet och gymnasiet.
4.4 Genomförande
Enkätundersökningen genomfördes i sex klasser på högstadiet i årskurs nio och tre klasser på gymnasiet på samhällsprogrammet och ekonomiprogrammet som detta år läser kursen Matematik 2b. Detta resulterade i 150 elever som deltog i undersökningen. Urvalet är tillräckligt stort för att kunna dra adekvata slutsatser om det finns något samband mellan begreppskunskap och betyg.
Betyget som användes var betyget från höstterminen 2020 för högstadiet och kursbetyget från våren 2020 för gymnasieeleverna, vilket var de senaste betygen för dessa elever.
Enkäten togs fram och testkördes tre gånger innan den genomfördes på det slutgiltiga urvalet. Det var viktigt att eleverna förstod frågorna och att de varken var för lätta eller för svåra. Under det första försöket fanns inte alternativet ”vet ej vad begreppet betyder” med och då inte påvisa om eleven chansade eller inte. Denna första gång skedde med tolv elever i årskurs tre på gymnasiets ekonomprogram och vi märkte att frågorna var okej men inga slutsatser kunde dras av detta, varken av urvalet eller genom att enkäten inte var fullständig.
Andra gången genomfördes enkäten, nu efter justering, på tio elever i årskurs åtta. Det visade sig att några av begreppen var för lätta och de byttes ut dem till mer komplicerade men fortfarande vanligt förekommande begrepp inom matematiken.
Tredje gången vi testkörde enkäten hade vi gjort de slutgiltiga ändringarna och såg att vi fick bra differentierade resultat som med en större mängd respondenter kunde påvisa ett resultat.
12
4.5 Analys
Efter genomförd enkätundersökning fördes alla svar in i ett exceldokument. Elevernas namn fanns i detta skede med i mallen. Vidare matchades namn med elevens betyg. Efter detta raderades elevernas namn i dokumentet innan några slutsatser drogs av resultatet.
Dokumentet byggdes för att sorteringsfunktionen i excel kunde användas. Sorteringen kunde ge svar på antal rätt per fråga samt antal rätt per betyg. Utifrån detta dokument kunde resultat tas fram för att bygga de tabeller som återfinns i resultatet.
4.6 Etiska överväganden
Under en vetenskaplig studie är det viktigt att skydda deltagarna som medverkar i studien. I och med att vi i detta fall behövde veta vilka resultat som hörde till respektive elev kunde vi inte göra enkäten anonym. Efter genomförd undersökning togs betyg fram och sattes i relation till elevens svar. Men med detta i åtanke har denna studie utgått ifrån de fyra huvudkraven som är, informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2017).
Informerade gick ut till berörda klasser vad studien gick ut på och varför den skulle genomfördes. Vi var noga med att berätta att vi skulle jämföra resultatet med deras senaste betyg och att vi var tvungna att ha en öppen enkät som inte var anonymiserad. Vi var tydliga med att de individuella resultaten redovisas utan namn, deras resultat är bara en siffra i statistiken inte individbaserat.
Då denna studie valdes att utföras på elever i årskurs nio samt elever i årskurs två på gymnasiet behövdes inte vårdnadshavares godkännande i och med att samtliga respondenter var över 15 år. Vi var därför extra tydliga med att eleverna fick välja om de ville vara med i undersökningen och att de genom att svara på enkäten gav oss godkännande att använda resultatet som grund för vår analys.
Under informationen var det även noga med att tillstyrka att de svar som kommer fram var konfidentiella. Undersökning var inget som skulle visas på individnivå. Enkätens resultat är skyddat så det går ej för utomstående att se individuella resultat.
Informationen var tydlig att uppgifterna som insamlas endast kommer att presenteras anonymt i forskningsändamål.
13
5 Resultat
I denna del presenteras studiens resultat med hjälp av tabeller. Först presenteras antalet elever per klass som deltog i undersökningen. Därefter redovisas antal rätt svar, fel eller vet ej på de femton frågorna i enkätundersökningen. Vidare visas en sammanställning av antalet elever i varje årskurs med betygen från A till F. Slutligen görs en jämförelse mellan antal rätt svar per fråga och det betyg som eleverna har.
Studiens frågeställningar kommer att besvaras genom att i tabell 2 visa på den procentuella begreppsförståelsen för de för studien valda femton begreppen samt att i tabell 3 översiktligt visa korrelationen mellan antal rätt och elevens betyg.
5.1 Begreppsförståelse
I undersökningen deltog etthundrafemtio elever fördelade på sex klasser från högstadiet och tre klasser från gymnasiet
TABELL 1: Visar klass, totalt antal elever i klassen, antal svarande samt svarsfrekvens.
klass Totalt antal elever i klassen
Antal Svarande Svarsfrekvens
9A 20 7 35% 9B 22 19 86% 9C 18 13 72% 9D 23 4 17% 9E 20 15 75% 9F 21 14 67% Ek19a 32 25 79% Ek19b 32 24 75% Sa19 33 29 88% Totalt 221 150 68%
Resultatet av enkätundersökningen visade hur många elever som svarade rätt, fel eller vet ej på de femton frågorna i enkätundersökningen. I tabell två redovisas detta i procent.
14
Fråga Antal rätt i % Antal fel i % Antal vet ej i %
Vad betyder Hypotenusa? 87 6 7
Vad betyder radie? 91 7 1
Vad betyder procent? 90 9 1
Vad är kvadrattal? 63 19 18
Är -2, -3 och -4 hela tal? 62 28 10 Vilket räknesätt används när man ska
räkna ut differens? 70 21 9 Vad är ett medelvärde? 72 18 10
Vilket av följande är ett prefix? 67 13 21 Vad är en parallelltrapets? 67 15 17 Vad är en förändringsfaktor? 80 7 13 Vad betyder funktion? 79 11 10
Vad är talpar? 44 17 39
Vad betyder variabel? 72 17 11 Vad betyder potensform? 67 17 16 Vad betyder begränsningsarea? 37 36 27
Genomsnitt 70 16 14
Tabellen visar att i genomsnitt sjuttio procent av eleverna vet och förstår de begrepp som undersökts i denna enkätundersökning. Det innebär att cirka trettio procent inte av eleverna inte har kunskap om begreppsförståelse inom matematiken.
5.2 Betyg och resultat
Tabell 3 redovisar hur många elever som hade vardera betyg i högstadiet respektive gymnasiet samt totalen. Då denna undersökning inte särskiljer elever på högstadiet och gymnasiet i det slutgiltiga resultatet redovisas totalen av antal betyg från A till F.
TABELL 3: Visar betyg, antal svarande med respektive betyg på högstadiet, gymnasiet samt totalt. Betyg Högstadiet Gymnasiet Totalt
15 A 10 4 14 B 13 8 21 C 8 28 36 D 15 19 34 E 20 18 38 F 6 1 7 Totalt 72 78 150
I tabell 4 redovisas förståelsen eleverna med respektive betyg har för de utvalda begreppen.
TABELL 4: Visar frågan från enkätundersökningen samt antalet procent av eleverna med respektive betyg som svarade rätt.
Fråga A B C D E F
1. Vad betyder Hypotenusa? 86% 100% 94% 85% 82% 57% 2. Vad betyder radie? 100% 95% 94% 100% 82% 29% 3. Vad betyder procent? 100% 100% 94% 85% 82% 71% 4. Vad är kvadrattal? 86% 86% 75% 59% 39% 29% 5. Är -2, -3 och -4 hela tal? 100% 90% 58% 65% 37% 57% 6. Vilket räknesätt används när
man ska räkna ut differens? 86% 95% 81% 65% 37% 57% 7. Vad är ett medelvärde? 93% 90% 81% 68% 61% 29% 8. Vilket av följande är ett prefix? 93% 90% 81% 56% 45% 57% 9. Vad är en parallelltrapets? 86% 86% 78% 59% 47% 57% 10. Vad är en förändringsfaktor? 93% 90% 81% 88% 63% 57% 11. Vad betyder funktion? 93% 81% 78% 74% 82% 57% 12. Vad är talpar? 79% 62% 44% 35% 37% 14% 13. Vad betyder variabel? 100% 81% 92% 65% 55% 29% 14. Vad betyder potensform? 86% 81% 83% 56% 50% 43%
15. Vad betyder begränsningsarea? 50% 48% 53% 26% 26% 14% Genomsnitt 89% 85% 78% 67% 56% 41%
16
Ovanstående resultat påvisar att de elever som har A i genomsnittligt betyg förstår 89 procent av de begrepp som fanns med i enkätundersökningen. Vidare har de elever med B i betyg i genomsnitt 85 procent rätt på de utvalda begreppen. Elever med C eller D i betyg ligger på 78 procent respektive 67 procent rätt i genomsnitt. De elever som har fått E i betyg svarar genomsnittligt rätt med 56 procent på undersökningen och eleverna med F i betyg hamnar på 41 procent i genomsnitt.
17
6 Diskussion
Diskussionen är uppdelad i två delar. Först diskuteras metoden. Vidare diskuteras de resultat som undersökningen påvisade, dels den generella förståelsen av begreppen som ingår i undersökningen, dels hur begreppsförståelsen korrelerar med elevernas tidigare betyg.
6.1 Metoddiskussion
Arbetet med att ta fram underlag för undersökningen hade två viktiga kriterier. De viktiga delarna var att få fram begrepp som kunde medföra ett resultat som var tolkningsbart utifrån våra kriterier samt utforma mätinstrument som kunde användas på båda skolformerna som ingick i undersökningen och kunde mäta det som eftersöktes. Innan undersökningen kunde genomföras i skarpt läge testkördes den tre gånger för att få ett så bra resultat som möjligt.
Utmaningen blev precis som Dimenäs (2007) beskriver, att göra enkäten såväl intressant som relevant så att vi fick in så stort datamaterial som möjligt. De begrepp som valdes skulle vara relativt enkla matematiska begrepp som lärare inte anser svåra. Arbetet började med att ta fram femton begrepp inom matematiken. I testrundorna ingick elever från årskurs tre på gymnasiet samt elever i årskurs åtta på högstadiet. Dessa elever valdes ut eftersom de inte skulle vara med i den slutgiltiga undersökningen. Detta var viktigt då vi inte ville att de elever som vi testkörde på skulle känna igen vissa av begreppen från tidigare. Under första testkörningen visade det sig att några av begreppen var för lätta och resultatet visade inte på några skillnader i resultat mellan elever med olika betyg. Inför andra testrundan byttes därför de begrepp ut mot vad vi trodde var lite svårare begrepp men som fortfarande används kontinuerligt i undervisning. Samtal skedde också med kollegor som arbetar som matematiklärare för att se vilka begrepp som de upplevde att eleverna inte kunde och inkluderade vissa av dessa i stället för de begrepp som valdes bort. Denna gång fick vi mer differentierade svar och upplevde att begreppen i undersökningen kunde ligga till grund för vårt resultat. Efter dessa två provomgångar tittade vi igenom svarsalternativen i undersökningen då vi fått vissa signaler på att vissa av olika svarsalternativen var svåra att förstå. Vi reviderade dessa och försökte förtydliga utifrån det vi fått till oss. Därefter kördes en tredje testomgång och vi ansåg efter detta att vi hade en enkätundersökning som kunde köras i skarpt läge.
18
I början fanns en intention att inkludera resultat på hur lång tid som eleverna behövde för att svara på de femton begreppen i vår undersökning. Anledningen till detta var för att se om tiden hade betydelse för det som vi ville undersöka. I en undervisningssituation där läraren går igenom ett exempel på tavlan behöver eleverna förstå begreppet snabbt för att förstå innebörden i det exempel som genomgången handlar om. Då vi var tvungna att använda oss av två olika undersökningsmoduler, i och med våra skolors olika system, blev det för svårt för oss att mäta då Google Formulär inte kunde mäta tiden för testet. Vi bestämde oss därför att i stället lägga testet i slutet av lektionen så eleverna fick sluta när testet var gjort. Vi kan se i resultaten att många har skrivit vet ej, vilket vi tror blir svaret då de inte vet och inte tar tid på sig att tänka efter så länge.
Efter genomförd studie var det två begrepp som generade relativ låg förståelse. Det var begränsningsarea och talpar. I dessa fall kan det finnas en fundering om de svarsalternativ som fanns i enkätformuläret var tillräckligt tydliga för att ge ett rättvist resultat. Det är möjligt att det inte bara var begreppen i sig som eleverna fann svåra utan också att det finns en viss otydlighet i de olika svarsalternativen.
Styrkan i en enkätundersökning med många respondenter är att resultaten kan visa på hur det ser ut rent statistiskt. Det kan sägas att en kvantitativ studie används att förklara något medan en kvalitativ används när man vill förstå. Med en kvantitativ metod kan man förklara något, man kan till exempel se samband mellan resultat på ett prov och respektive betyg. (Dimenäs, 2007). Då denna undersökning endast har skett genom en kvantitativ metod så kan det vara svårt för oss att förstå och tolka resultaten på ett korrekt sätt, vilket är en svaghet. Vi saknar den förståelse som vi fått om vi hade kompletterat denna undersökning med en kvalitativ del, med efterföljande intervjuer. Det skulle vara intressant att i framtiden utveckla denna studie för att se vilka faktorer som påverkar det resultat vi fått.
19
6.2 Resultatdiskussion
Denna studie visar ett samband mellan antalet rätt på de begrepp som valdes ut i enkätundersökningen och elevernas betyg. Studier från flera olika länder påvisar att arbetet med det matematiska språket i klassrummet inte bara är viktigt i vårt land utan något som problematiseras världen över. Den kenyanska forskaren Mulwa (2014) menar att all kommunikation är av yttersta vikt för att eleven ska förstå det läraren vill förmedla. Även Valley (2018) menar att förståelsen för det matematiska språket ökar den konceptuella förståelsen i ämnet.
I resultatet ser vi att det saknas en viss grundläggande förståelse för de matematiska begreppens betydelse. Det genomsnittliga värdet på begreppsförståelsen för våra utvalda begrepp ligger på sjuttio procent av de etthundrafemtio medverkande eleverna. Om detta gäller för alla begrepp inom matematiken kan vi inte svara på men det gäller för våra utvalda begrepp. Men faran med detta kan bli att om eleverna inte förstår alla begrepp kan det vara svårt för dem att tillgodogöra sig undervisningen på bästa sätt.
Vidare visar resultatet att cirka 16 procent av eleverna bär på en felaktig förståelse av begreppets betydelse. Eleven kommer med stor säkerhet inte kunna följa lärarens genomgång då dennes tankar i många fall redan har tagit en fel riktning. Om eleven redan har fel begreppsförståelse kommer det med stor sannolikhet vara svårt för eleven att vidare kunna följa genomgången med full förståelse. Den felaktiga förståelsen kommer komplicera saker i eleven och kanske göra det ännu mer oklart efter genomgången.
De procent av eleverna som har uppgett att de inte vet vad begreppets betyder är kanske lättare att få med i en fortsatt genomgång. De är troligtvis mer öppna för att ta till sig den förklaring som läraren ger till begreppets under sin genomgång
Enligt Vygotskij handlar det om att man som lärare och elev ska delta i ett inlärningstillfälle och genom formulerad kunskap som eleven förstår och bygger starkare kunskap. I diskussioner med andra blir kunskapen starkare och får större fäste framåt (Stensmo, 2007). Läraren måste finna ett sätt att dela varje inlärningstillfälle med eleven och finna en gemensam grund för detta. Om inte eleverna förstår kan det vara svårt för läraren att dela ett inlärningstillfälle. Läraren och eleven befinner sig på två olika nivåer och kan ha svårt att nå varandra på en gemensam plattform. Vygotskijs teori fäster stor vikt vid det sociala samspelet och språkets betydelse för
20
inlärning och utvecklingsprocessen (Imsen, 2005) och det är därför det är viktigt att läraren och eleven hittar ett sätt att nå varandra i inlärningssituationen.
I undersökningen har de femton begreppen valts ut från olika områden inom matematiken. Under processen att ta fram dessa begrepp valde vi att mellan försöken byta ut begrepp för att se en vidare bredd, vi valde därför bort vissa begrepp som ansågs för lätta och bytte ut dem mot begrepp som fler elever svarade fel på eller inte förstod deras betydelse. Det som blev tydligt var att det inte handlade om de svåraste begreppen. Även grundläggande begrepp som kvot och differens kunde vissa elever ta fel på eller missförstå.
En annan aspekt kan vara diskussionen av själva ämnet där man tillsammans ser olika aspekter och synvinklar av olika problem, vilket kan bidra till en större och mer komplett helhetsbild. Det är betydelsefullt att elever får lära sig att argumentera och se fördelar och nackdelar för ökad förståelse (Stensmo, 2007). Här kommer också begreppsförståelsen in som en viktig del i kunskapsutvecklingen. Då eleven inte känner att den kan ta del av en diskussion så kommer eleven inte kunna ta till sig kunskap. Det är viktigt att läraren betonar innebörden i begreppen som den använder även om man som lärare många gånger tror att full förståelse finns för det språk man använder sig av i klassrummet. Det är viktigt att finna en interaktion med eleverna och försöka läsa av om förståelse finns innan man går vidare från ett exempel till ett annat. Eleven behöver förstå det grundläggande annars kommer eleven inte förstå nästa steg i undervisningen (Lundgren et al, 2010).
I resultatet blev det tydligt att ju högre begreppsförståelse eleven hade desto högre betyg hade eleven. Det visade sig att begreppsförståelse följde betyget i alla steg. Hos de elever som hade A i betyg låg begreppsförståelsen på 89 procent, tätt följt av de elever som hade B där begreppsförståelsen låg på 85 procent. Dessa elever har goda förutsättningar att kunna följa med i undervisningen och de förstår det matematiska språket och kan följa med under genomgångar och kan ta till sig det som läraren försöker förmedla.
Av de elever som fick betyget C låg begreppsförståelsen på 78 procent, vilket innebär att de förstod cirka fyra femtedelar av de begrepp som valts ut.
Då vi betraktar betyget D och E visar resultatet på en begreppsförståelse på 67 procent respektive 56 procent. Av de utvalda begreppen medför detta en begreppsförståelse där eleven förstår de flesta av begreppen men har vissa luckor. De kan fortfarande tillräckligt många begrepp för att förstå matematiken för att nå godkänt betyg.
21
Slutligen ser vi att begreppsförståelsen ligger på 41 procent för de elever som har F. Vilket är ett tecken på att det finns en tydlig koppling mellan elevernas begreppsförståelse och deras prestationer i form av betyg.
6.3 Slutord och nya frågor
De resultat vi har fått fram genom denna kvantitativa undersökning bygger på statistik baserat på antal rätt svar och betyg. Det vi frågar oss är vad detta betyder? Vad säger dessa siffror oss och hur ska vi kunna ta med oss denna kunskap in i klassrummet och försöka göra undervisningen mer anpassad för eleven och framför allt, hur ska vi göra oss som lärare till bra förmedlare av kunskap. Hur ska vi då få eleverna att lära sig och ta till sig kunskap om vi inte pratar samma språk? Hur ska vi få eleverna att förstå en genomgång på ett språk man inte behärskar?
Under tiden som vi har jobbat med denna uppsats har det blivit klart för oss att det finns ett samband mellan begreppsförståelse och betyg. Vi kan inte dra slutsatsen utifrån våra resultat att fler elever skulle gå från ett E till ett C i betyg om begreppsförståelse skulle vara mer i fokus i matematikundervisningen. Det skulle behövas att detta arbetades med under ett läsår och sedan göra denna undersökning igen samt att komplettera med en kvalitativ studie. Men vi kan genom denna undersökning se att begreppsförståelsen är bristfällig för många elever och att detta har ett samband med det betyg de fått.
Skolverket menar att det måste finnas ett större utrymme för begrepp som eleven inte beskriver och använder, men fortfarande krav på en viss bredd eftersom de grundläggande begreppen ska omfattas (Skolverket, 2021). Genom denna undersökning kan vi bara förstärka hur viktigt det är att lärare jobbar med dessa grundläggande begrepp för att eleven ska nå ökad förståelse och att kunskapsnivån ska höjas med undervisning.
22
7 Referenser
Dimenäs, J. (red.) (2007). Lära till lärare: att utveckla läraryrket – vetenskapligt förhållningssätt och vetenskaplig metodik. Liber.
Fries, K,, Huges, E,, Riccomini,, & Smith, G (2015). The Language of mathematics: The importance of teaching and Learning Vocabulary, Reading and writing Quarterly 31(3): 235-254. Pennsylvania State University
Gustavsson, B. (2019). Algebrasvårigheter ur elev- och lärarperspektiv: Om hinder i lärandesituationer och utmaningar i undervisningssituationer, Doktorsavhandling. Mittuniversitetet.
Imsen, G. (2005). Elevens värld, introduktion i pedagogisk psykologi. Studentlitteratur. Jakobsson, A. (2012). Sociokulturella perspektiv på lärande och utveckling. Pedagogisk forskning i Sverige 2012 årg 17 nr 3-4 s 152-170.
Jamison, R.E. (2000). Learning the language of Mathematics, Journal of Language and Learning Across the Disciplines. Vol 4, number 1:Maj 2000. South Carolina.
Kornhall P. (2014). Alla i mål, skolutveckling på evidensbaserad grund. Natur & kultur. Lundgren, U, Säljö, R, Liberg, C, (2010). Lärande skola bildning, Grundbok för lärare. Natur & Kultur.
Mulwa, C E. (2014). The Role of the Language of Mathematics in Students’ Understanding of Number Concepts in Eldoret Municipality, International Journal of Humanities and Social Science Vol. 4 No. 3; February 2014 264. Kenya Ednah Chebet Mulwa Eldoret Polytechnic Eldoret, Kenya.
Skolverket. (2020). Styrdokument som revideras. Stockholm, Sverige: Skolverket.
Skolverket. (2021). Ämnesplan Matematik. SKOLFS 2010:261. Stockholm, Sverige: Skolverket.
Stensmo, C. (2013). Pedagogisk filosofi. Studentlitteratur.
Svensson, G. (2003). Språk och matematik. I L-O Delsing….(Red), Grammatik i fokus : Festskrift till Christer Platzack den 18 nov 2003 = Grammar in focus : festskrift for Christer Platzack 18 November 2003. Vol. 1 Institutionen för nordiska språk, Lunds universitet.
Tejlalova Prochazkova. L. (2014). Mathematics for language, language for mathematics, European Journal of Science and Mathematics Education Vol. 1, No. 1, 2013.
Valley, V. (2019). The impact of math vocabulary on Conseptual understanding for EELs, “ Networks: An Online Journal for teacher research: Vol 21: Iss. 2.
Vetenskapsrådet. (2017). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm, Sverige: Vetenskapsrådet.
23
Bilaga 1
1. Vad betyder hypotenusa? *
o [ ] Den minsta vinkeln i en triangel o [ ] En av sidorna i en kub
o [ ] Långa sidan i en rätvinklig triangel o [ ] Vet ej
o
2. Vad betyder radie? *
o [ ] Avståndet från cirkelns mitt till kanten på cirkeln o [ ] Sträckan tvärs igenom en cirkel
o [ ] Cirkelns mittpunkt o [ ] vet ej
o
3. Vad betyder procent? *
o [ ] Tusendel o [ ] Hundradel o [ ] Tiondel o [ ] Vet ej o 4. Vad är kvadrattal? *
o [ ] Ett tal multiplicerat med 2 o [ ] ett tal adderat med sig självt o [ ] Ett tal multiplicerat med sig självt o [ ] Vet ej o 5. Är -2, -3, -4 hela tal? * o [ ] Ja o [ ] Nej o [ ] Vet ej o
6. Vilket räknesätt används när man skall räkna ut en differens? *
o [ ] Multiplikation o [ ] Division o [ ] Subtraktion o [ ] Addition o [ ] Vet ej o 7. Vad är medelvärde? *
o [ ] Summan av ett antal värden delat med samma antal o [ ] Differensen mellan högsta och minsta värde
o [ ] Hälften av de två mittersta värdena av ett antal värden o [ ] Vet ej
o
8. Vilket av följande är ett prefix? *
o [ ] Mega o [ ] Kvot
24
o [ ] Nämnare o [ ] Vet ej o
9. Vad är en parallelltrapets? *
o [ ] En fyrhörning där alla sidor är lika långa o [ ] En fyrhörning där minst två sidor är parallella o [ ] En triangel med minst 1 spetsig vinkel o [ ] vet ej
o
10. Vad är förändringsfaktor? *
o [ ] Ett tal multiplicerat med sig självt o [ ] Ett tal dividerat med sig självt
o [ ] Ett tal som bestämmer förändringen mellan nytt och gammalt värde o [ ] vet ej
o
11. Vad betyder funktion? *
o [ ] Samband o [ ] Summa o [ ] Siffra o [ ] vet ej o 12. Vad är talpar? *
o ( ) Vinkeln i en likbent triangel o ( ) Två tal i bestämd ordning o ( ) Summan av två tal o ( ) Vet ej
o
13. Vad betyder variabel? *
o ( ) räkning med förändringsfaktor
o ( ) En bokstav som kan bytas ut i ett uttryck o ( ) ett tal med flera olika lösningar
o ( ) vet ej o
14. Vad betyder potensform? *
o [ ] Att ett tal är negativt
o [ ] Att ett tal multipliceras med sig själv flera gånger o [ ] Att ett tal adderas med sig själv flera gånger o [ ] vet ej
o
15. Vad är begränsningsarea *
o [ ] Bottenarean i en geometrisk figur o [ ] Arean på en cylinder
o [ ] Volymen på ett klot
