Öppna vardagsanknutna problem inom Matematik A

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

Öppna vardagsanknutna problem inom

Matematik A

Open everyday problems in mathematics

Rebecka Helgesson

Veronika Hoischen

Lärarexamen 270 Högskolepoäng Matematik och lärande

Höstterminen 2007

Examinator: Mats Areskoug Handledare: Annica Andersson

Sammanfattning

Syftet med detta arbete är att undersöka vad två klasser som läser Matematik A anser om öppna vardagsanknutna problem. Det granskas ifall arbetssättet kan vara en tillgång i den svenska gymnasieskolan. Två uppgifter med lärarhandledning och tillhörande

bedömningsmall konstrueras. Forskning kring vardagsanknuten undervisning samt motivation hos elever belyses. De delaktiga eleverna har besvarat en enkät som behandlar attitydfrågor samt hur deras motivation i matematik är. Svaren har analyserats med dataprogrammet SPSS och det har framkommit att arbetssättet som undersöks anses som motiverande för eleverna. Dessutom har samtliga elever haft förmågan att arbeta med problemet. Ur elevernas

kommentarer kan det tolkas att det är varierad undervisning som är mest motiverande för matematiklärande.

Nyckelord

Attityder, motivation, gymnasiet, matematik, öppna problem, vardagsanknytning, varierad undervisning

Förord

Tack till vår handledare som har varit ett stort stöd genom denna process. Vi vill även tacka de två gymnasieskolor som gav oss möjligheten att utföra undersökningen av eleverna. Därutöver vill vi ge ett tack till de ordinarie matematiklärarna, som tillät oss att ta över deras lektionstimmar, samt de elever som varit delaktiga i undersökningen.

Malmö 2007-12-28 Rebecka Helgesson Veronika Hoischen

Innehållsförteckning

2.5VARDAGS/VERKLIGHETSANKNUTNA MATEMATIKPROBLEM... 15

2.6PRIVATEKONOMIPROBLEM... 15

2.7MATEMATISK MODELLERING... 15

3. LITTERATURGENOMGÅNG... 17

3.1STYRDOKUMENT... 17

3.2MOTIVATION OCH UPPFATTNINGAR I MATEMATIKUNDERVISNINGEN... 18

3.3VARDAGSANKNUTEN MATEMATIK... 22 3.4MODELLERINGSPROCESS... 25 4. METOD ... 27 4.1URVAL... 27 4.2PROBLEMEN... 27 4.3ENKÄT... 28 4.4ETISK HÄNSYN... 29 4.5GENOMFÖRANDE... 29 4.6RESULTATBEARBETNING... 30 5. RESULTAT ... 32 5.1ÖVERGRIPANDE RESULTAT... 32 5.2RESULTAT –MOBILUPPGIFT... 37 5.3RESULTAT –RUMUPPGIFT... 38 5.4KOMMENTARER... 39 6. DISKUSSION ... 42

6.1MOTIVATION OCH SJÄLVFÖRTROENDE... 42

6.2ÖPPNA VARDAGSANKNUTNA PROBLEM... 43

6.3ELEVERNAS ARBETEN... 44

6.4BORTFALL OCH ANNAN DISKUSSION AV ENKÄTUNDERSÖKNING... 45

6.5FÖRBÄTTRINGAR... 46

6.6SLUTSATS... 47

7. VIDARE FORSKNING... 48

8. REFERENSER... 49 BILAGOR

1. Inledning

Vi anser att elever är olika och att inte alla kan tillgodose sig matematiken på ett och samma sätt. Enligt oss finns det redan tillräckligt med katederundervisning (se kapitel 2.1) men alltför lite öppna problem (se kapitel 2.3 och 2.4). Under stora delar av vår utbildning har det

diskuterats ifall matematikundervisningen borde bli mer praktisk. Vi har dock inte upplevt att detta beaktats på de skolor vi har varit i kontakt med.

Matematikbiennalen i Jönköping år 1984 hade ”MATEMATIK – ETT ÄMNE I FÖRÄNDRING” som motto (Malmer, 1992). Under biennalen konstaterades att

undervisningen i matematik behöver förändras då det visat sig att ett stort antal ungdomar slutat skolan med en känsla av nederlag och misslyckande. Malmer (1992) pekar på att en av de väsentliga skillnaderna borde vara att matematikundervisningen skulle utgå från den verklighet som eleverna kände till. Detta för att föra elevernas vardag och skolmatematikens värld närmre varandra. Trots att detta konstaterades för 15 år sedan kan vi inte se att klyftan mellan vardagsmatematiken och skolmatematiken försvunnit. En förändring som däremot har skett är att vikten av vardagsanknuten matematik behandlas i styrdokumenten. Där redogörs hur undervisningen skall se ut i skolorna. Lpf 94 (Skolverket, 2006) kan tolkas som att ett vardagsnära undervisningsupplägg är önskvärt. I Skolverkets beskrivning av

matematikämnets karaktär och uppbyggnad skrivs att en viktig del i matematikundervisningen är att eleverna kan relatera den matematik de lär sig i skolan till vardagliga situationer.

En viktig del av problemlösningen är att utforma och använda matematiska modeller och på olika sätt kommunicera om de matematiska idéerna och tankegångarna. Både i vardagsliv och yrkesliv behöver allt fler kunna förstå innebörden av och kommunicera om frågor med matematiskt innehåll.

Matematikens kraft som verktyg för förståelse och modellering av verkligheten blir tydlig om ämnet tillämpas på områden som är välbekanta för eleverna. Gymnasieämnet matematik skall därför knytas till vald studieinriktning på sådant sätt att det berikar både matematikämnet och karaktärsämnena.

(Skolverket, 2007)

I kursen Matematik A, som är obligatorisk för alla elever på gymnasiet, anser Skolverket (2000) att eleverna skall utbildas till ”goda medborgare” och att kursen även skall anpassas till varje elevs valda studieinriktning och framtida yrkesliv. Några av

matematikundervisningens mål är att eleverna skall tänka matematiskt och kunna använda matematik i olika situationer; eleverna skall även kunna tolka en problemsituation samt välja metod och hjälpmedel för att lösa denna (Skolverket, 2000).

Matematikämnet syftar till att:

eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik.

(Skolverket, 2000)

Med detta som bakgrund vill vi, precis som Hagland et al. (2005) i boken Rika matematiska

problem – inspiration till variation, inspirera lärare att använda sig av en mer varierad matematikundervisning (se kapitel 2.2) där eleverna inte bara upplever matematiken som

1.1 Syfte

Med detta arbete vill vi uppmuntra lärare att använda sig av en mer vardagsanknuten undervisningsmetod, med vilket vi menar att icke tillrättalagda uppgifter från verkligheten behandlas under lektionerna. Även Utbildningsdepartementet (2004) förespråkar detta då det visat sig att elever motiveras till fortsatt lärande samt får ett mer positivt synsätt på

matematik. Vi anser även att detta arbetssätt naturligt kringgår frågor som ”varför lär vi oss detta?”. Om vi i skolan arbetar med verklighetsanknutna problem (se kapitel 2.5) synliggör vi syftet med matematikundervisningen för eleverna och klyftan mellan skolmatematik och vardagsmatematik minskar, som även Wyndhamn (1991) påpekar. I arbetet kommer därför vardagsanknutna problem med inriktning mot privatekonomi för Matematik A-kursen att utformas. Till problemen kommer även en tillhörande lärarhandledning (se bilaga) att skapas. Arbetet syftar också till att kartlägga hur de elever som medverkar i undersökningen ställer sig till det öppna och verklighetsbaserade arbetssätt som presenteras. Syftet med de uppgifter som konstruerats är att helt eller delvis uppfylla följande kursmål i Matematik A:

Eleven skall:

kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

med och utan tekniska hjälpmedel med omdöme kunna tillämpa sina kunskaper olika former av numerisk räkning med anknytning till vardagsliv och studieinriktning

ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer och i studieinriktningens övriga ämnen

kunna tolka och hantera algebraiska uttryck, formler och funktioner som krävs för problemlösning i vardagslivet och studieinriktningens övriga ämnen

kunna ställa upp, tolka, använda och åskådliggöra linjära funktioner (…) som modeller för verkliga förlopp inom privatekonomi och samhälle

kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

ha vana att vid problemlösning använda dator (…) för att utföra beräkningar och åskådliggöra grafer och diagram

Problemen skiljer sig något åt och kommer att behandla olika moment i matematikämnet. Dessutom kommer eleverna att utforma uppgifterna individuellt vilket

Utbildningsdepartementet (2004) anser att eleverna behöver tränas på och förberedas inför. Lärare kan inte i förväg känna till vad eleverna kommer att stöta på för matematik.

1.2 Frågeställningar

Våra frågeställningar är följande:

• Vad har eleverna, som medverkar i denna undersökning, för uppfattningar om att arbeta med de öppna vardagsanknutna matematikproblem som vi testar? Finner eleverna detta arbetssätt motiverande? Kan det ses om en tillgång i

matematikundervisningen?

• Vad har elever som är delaktiga i undersökningen för uppfattningar om matematik?

1.3 Begränsningar

De problem som konstrueras kommer att begränsas till att endast omfatta den för gymnasiet obligatoriska Matematik A- kursen. Ett av målen med problemen är att eleverna ska kunna relatera till dem. Vi har därför valt att konstruera uppgifter till elevernas nuvarande vardag. Den nyvunna kunskapen kan även användas av eleverna i sitt senare vuxenliv. Eftersom vi vill skapa uppgifter som elever på alla gymnasieprogram kan arbeta med, inriktas arbetet på vardag/verklighet inom privatekonomiproblem (se kapitel 2.6).

2. Begreppsdefinitioner

I denna del kommer de olika begrepp som används i detta arbete att knytas an till forskning. Det tydliggörs vad vi avser med de olika begreppen.

2.1 Traditionell undervisning

Vi anser att traditionell undervisning är det Nämnaren Tema, Matematik – ett

kommunikationsämne kallar för ”enskild tyst räkning och gemensamma genomgångar”

(Nämnaren Tema, 2003:11). Nämnaren Tema (2003) skriver vidare att ”eleverna får god träning att räkna, men inte tillfälle att analysera och lösa problem, argumentera för sina lösningar eller befästa begrepp” (Nämnaren Tema, 2003:11). Detta kallas ibland även för katederundervisning där ett lektionsinnehåll är som följer: Läraren har under lektionens lopp en genomgång vid tavlan där denne visar nya och/eller gamla metoder som kan användas vid lösning av uppgifter. Elever får svara på frågor som läraren ställer men ingen eller mycket lite diskussion förekommer. Efter genomgången, av varierande längd, får eleverna tid att räkna i boken eller eventuellt övningsblad som läraren konstruerat. Läraren hjälper eleverna ifall de behöver vägledning på någon av uppgifterna.

2.2 Varierad undervisning

Med varierad undervisning menar vi att läraren använder sig av olika metoder då denne visar och förklarar olika områden i matematiken för eleverna. Varierad undervisning innehåller både den traditionella undervisningen men även laborationer och större arbeten där eleverna är delaktiga i utformningen. Det kan även vara grupparbete och enskilt arbete som ingår.

2.3 Problem - Uppgift

Grevholm (1991) skriver att vad som helst i vardagslivet kan vara problem. Författaren anser att problem i matematiken är ”uppgifter där eleven ska använda sitt förnuft och matematiska kunnande, men där det inte från början är uppenbart för eleven hur man ska gå tillväga.” (Grevholm, 1991:151). Enligt Hagland et. al (2005) är uppgift den övergripande benämningen på alla matematiska beräkningar som elever förväntas genomföra i skolan. Till begreppet uppgift finns tre undergrupper:

• rutin- eller standarduppgift

• text-, benämnd eller vardagsuppgift • problem

Med rutin- eller standarduppgift avser Hagland et. al (2005) uppgifter som innebär ren färdighetsträning för eleven. Med text-, benämnd och vardagsuppgift avser författarna uppgifter där det förutom matematiska symboler även förekommer text. För att en uppgift skall benämnas som problem måste den uppfylla tre kriterier. Uppgiften skall vara av en sådan karaktär att en person vill eller behöver lösa den. Dessutom skall det inte finnas en på förhand given procedur för att lösa uppgiften. Slutligen krävs det att personen anstränger sig för att lösa uppgiften. Det är dessa definitioner av uppgift och problem som vi använder oss av i detta arbete.

2.4 Öppna problem

För att definiera detta begrepp använder vi oss delvis av Hagland et. al (2005) definition av rika problem. Problemet skall:

• introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier

• vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det

• upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid

• kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer

• kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion

som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer

• kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden

• kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem

(Hagland et al. 2005; 28)

Med den andra punkten avser Hagland et al. (2005) att problemet skall kunna användas i alla stadier, från förskola till högskola. Detta kriterium uppfyller inte våra problem, men enligt Nämnaren Tema (2002) är ett rikt problem utformat på ett sådant sätt att det kan lösas med olika metoder. Vi benämner våra problem som öppna och uppnår alla Haglands et. al (2005) kriterier med begränsningen av den andra punkten. Denna kommer istället innehålla olika svårighetsgrader som kan väljas i uppgiften. Vidare anser vi att öppna problem är då eleverna själva finner och analyserar den information som behövs för att uppnå sina mål. Problemen är uppbyggda så att eleverna själva får gestalta och formulera frågorna inom ett av läraren valt område. De problem vi konstruerat i detta arbete kan sägas vara öppna i tre grader. Eleven väljer och konstruerar själv problemet, vidare är det eleven som väljer vilka metoder som skall användas. Eftersom problemen formuleras olika blir även resultaten olika eller öppna.

2.5 Vardags/verklighetsanknutna matematikproblem

Vi anser att verklighetsanknuten matematik är när eleven får undersöka den matematik som finns i ett verkligt problem, istället för att hitta ett verkligt problem till den matematik som skall räknas. Problemet skall inte vara tillrättalagt utan med enkelhet kunna påträffas utanför skolmatematikens värld. Det medför att problemet måste finnas i elevens nuvarande eller framtida vardag. Vi anser att uppgifter som behandlar vardagssituationer inte alltid medför att de är öppna problem.

2.6 Privatekonomiproblem

Med privatekonomiproblem menar vi uppgifter som på ett eller annat sätt behandlar något finansiellt där elever beräknar kostnader och förklarar hur de tänkt sig att lösa det

ekonomiska. Problemen kan behandla något som gör att eleven i vuxenlivet kan ta ansvar för sin egen ekonomi.

2.7 Matematisk modellering

Enligt Ljung & Glad (2004) efterliknar matematiska modeller systemet som observeras och där samband mellan storheter anges. De anser att alla modeller har limiterade

giltighetsområden och att modellering är ett viktigt komplement till experiment och observationer. Edwards och Hamson (1989) skriver att kärnan av modelleringen är att översätta ett verkligt problem till matematisk form. Författarna och Blomhøj (2006) anser att start och mål är det verkliga problemet och att man däremellan befinner sig i en abstrakt värld där modellen konstrueras. En modell ska dessutom, enligt Edwards & Hamson (1989), ha ett definierat skäl innan modellen börjar utvecklas.

Enligt Blomhøj (2006) består modelleringen av sex delprocesser. Den första är att formulera en uppgift för att få klarhet i det verkliga problemet som ska modelleras. Därefter ska relevanta objekt väljas ut och området som undersöks begränsas. Den tredje delen av processen är att översätta problemet till matematik. Det är just detta, samt förståelsen av det ursprungliga problemet, som är viktigast och samtidigt svårast för modellbyggandet (Edwards & Hamson, 1996). Detta följs av användandet av matematiska metoder för att frambringa resultat. Dessa tolkas och sist utvärderas modellen där användningsområdet utforskas.

Edwards & Hamson (1996) ser matematisk modellering som en cykel med fem delar som kan behöva genomlöpas flera gånger innan resultatet blir som önskat. Punkterna liknar den

föregående beskrivna men har en viktig skillnad i den sista delen. Denna är att skriva en rapport eller göra en annan presentation av resultaten.

3. Litteraturgenomgång

I det första stycket av denna del kommer läroplan och övriga styrdokument att behandlas. Detta följs av olika tidigare forskningar kring elevers motivation och uppfattningar. I efterföljande avsnitt skrivs det om forskning kring vardagsanknuten matematik och sist om modelleringsprocessen.

3.1 Styrdokument

I FN:s konvention om Barnets Rättigheter skrivs att barn ”bör förberedas inför ett

självständigt liv i samhället” (Lärarnas Riksförbund, 2006:157). I Läroplanen för de frivilliga skolformerna poängteras att undervisningen skall vara omfattande och ”anpassas till varje elevs förutsättningar och behov” (Skolverket, 2006:4). Det skrivs även om olika vägar att nå de mål som finns. Detta kan tolkas som att undervisningen ska vara varierad så att alla elevers olika lärande bemöts och att eleverna får möjlighet att utvecklas på sin egen nivå. Dessutom ska skolan, enligt Lpf 94, förbereda eleverna på det som kommer efter gymnasiet såsom framtida studier, yrke och privatliv. Genom öppna problem får eleverna tillfälle att gestalta och arbeta med något som är relevant för dem samt ger dem en väg att utveckla förmågan att hitta och använda ny kunskap (Boaler, 1993). Elever ska efter färdig skolgång kunna

analysera fakta och avgöra vad som är väsentligt i en viss situation (Skolverket, 2006). Matematikläraren kan ge eleverna möjligheten att utveckla denna förmåga genom ett varierat arbetssätt som innehåller uppgifter där eleverna får ta ställning och själva hitta de fakta som behövs (Malmer, 1999). I Lpf 94 står även att eleverna ska få ”utveckla sin förmåga att ta initiativ och ansvar och att arbeta och lösa problem både självständigt och tillsammans med andra” (Skolverket, 2006:5). Ett annat mål i Läroplanen är att gymnasieskolan ska ge eleven förutsättningen att kunna ” lösa praktiska problem och arbetsuppgifter” samt att eleven ” utvecklar en analytisk förmåga” (Skolverket, 2006:9). Läroplanen framhäver att det är av betydelse att elever efter fullföljd skolgång kan formulera, analysera och lösa matematiska problem som kan tänkas komma i yrkes- och vardagsliv.

Lärarens roll för elevens lärande framhävs av Läroplanen (Skolverket, 2006). Läraren ska undervisa på ett sådant sätt att eleven uppfattar undervisningen som meningsfull.Genom att utgå från elevers intressen och låta dem utforska matematiken som finns kan detta mål

uppfyllas (Skolverket, 2006). Det kan även utläsas att läraren ska utgå från att eleverna kan ta eget ansvar. I Skolverkets rapport, Lust att lära (2003), beskrivs att alla elever är enskilda

individer och ingen lär sig på samma sätt. Även Läroplanen förespråkar att låta eleverna arbeta med olika metoder (Skolverket, 2006).

All undervisning utgår ifrån Läroplanen; därutöver finns till varje kurs speciellt framtagna mål som ska uppfyllas under kursens gång. I Gymnasial utbildning - matematik skrivs att skolan skall sträva efter att eleverna:

utvecklar sin tilltro till den egna förmågan att lära sig mera matematik, att tänka matematiskt och att använda matematik i olika situationer

utvecklar sin förmåga att tolka en problemsituation och att formulera den med matematiska begrepp och symboler samt välja metod och hjälpmedel för att lösa problemet

(Skolverket, 2007)

3.2 Motivation och uppfattningar i matematikundervisningen

Skolverket publicerade för några år sedan en rapport som ger riktlinjer till både de

obligatoriska och de frivilliga skolformerna som avser att motivera eleverna bättre. I Lusten

att lära (2003) efterfrågas mer variation för att väcka elevernas intresse för att lära och för att

engagera fler elever. Men det skrivs även att inga särskilda lärmiljöer skapar lust eller olust för matematiklärande. Dessutom beskrivs att i de fall undervisningen ger möjlighet till eftertanke, reflektion och diskussion har elever varit engagerade och givit uttryck för lust att lära sig mer matematik. I samband med dessa lektioner har bland annat variationen i

arbetsmetoder, såsom individuellt- och grupparbete, registrerats (Skolverket, 2005).

Pehkonen (2001) anser att elevers uppfattningar i matematikpåverkar deras lärande.

Inställningarna kan därigenom bli ett hinder för elevernas lärande. Det hävdas att elever kan bli passiva i undervisningen ifall de har en negativ inställning till matematik. Detta medför att elever lägger stor vikt vid utantillärning av metoder och formler istället för förståelsen. De huvudsakliga uppfattningar som elever har är:

- Matematik är räkning

- Matematiska problem bör lösas snabbt i bara några få steg - Målet för matematikstudiet är att få det ”rätta svaret”.

- Den matematikstuderandes roll är att skaffa sig matematisk kunskap och att kunna visa att eleven ifråga mottagit kunskapen

- Matematiklärarens roll är att överföra eller förmedla matematisk kunskap och att förvissa sig om att eleverna lärt sig denna kunskap

(Pehkonen, 2001:235)

Pehkonen (2001) skriver att elevers motivation inte alltid är beroende av de uppfattningar de har om matematik. I artikeln betonas dock att elevernas syn på matematik ger en bra indikator på deras tidigare erfarenheter av matematikundervisning, vilket ger läraren möjlighet till förändring. Persson (2005) beskriver att negativa attityder kan komma ifrån att elever lider under tidspress då de ska lösa matematiska problem. Skribenten anser att det därför är viktigt att ge elever gott om tid för att de ska få möjlighet till positivt och meningsfullt lärande. Även Malmer (1999) påpekar att elever inte fått den tid och stöd som behövs för befästande av grundläggande begrepp. Riesbeck (2000) anser att elevernas svårigheter vid problemlösning kan vara baserade i tysta antaganden, som t.ex. att alla matematikuppgifter har ett enda korrekt svar som kan lösas på endast ett lämpligt sätt samt att eleven redan besitter all information som behövs för att lösa uppgiften.

Lidén (2006) undersöker bland annat vad elever i årskurs ett på gymnasiet har för åsikter om att arbeta med ett undervisningssätt där flertalet laborationer ingår. I resultatet framkommer att de elever som varit delaktiga i undersökningen uppfattar arbetssättet som roligt och viktigt. Dessutom förmodade eleverna att detta kunde vara ett sätt att motivera fler till att använda matematik. Även Blomhøj (2006) och Boaler (1993) resonerar kring att verklighetsanknuten matematik kan motivera elever till fortsatta studier; att elever genom arbetssättet erhåller lusten att själva utforska matematiken vidare. Uppgifterna ska enligt Boaler (1993) vara så öppna att elever kan följa sina egna riktlinjer och uppleva att övningarna är personliga. Då aktiviteter väljs så att elever ser det lustfyllda och meningsfulla i olika situationer kommer de att engagera sig samt får tillit till sitt lärande (Wyndhamn, 1991). Det påpekas att

matematikundervisningen bör lägga stor vikt vid problemlösning och upptäckt av mönster och samband. Persson (2005) ser i sin studie att utfallet av undervisningen påverkas av attityder i klassrummet, hemma och ute i samhället. Pehkonen (2001) beskriver dessutom att elevers syn på matematik påverkas av samhälliga myter om matematik. Detta har i sin tur inverkan på elevers matematiska beteende. Även motivationen och elevens egna behov av matematik påverkar hur eleven agerar. Gran (1998) uttrycker att ett grundläggande villkor för elevers verkliga inlärning är att ge dem motiv för sitt lärande. Få elever intresserar sig för en mycket formell matematikundervisning och det skrivs att det är viktigt att uppgifterna har ett värde för eleven (Gran, 1998). Klyftan mellan elevers egna erfarenheter av verkligheten och

skolmatematik kan överbyggas genom matematiskt modelleringsarbete (Blomhøj, 2006). Utöver detta påpekas att elevers motivation till matematiklärande höjs. Blomhøj (2006) anser även att elever i allmänhet ser matematik som mer relevant då det finns

verklighetsanknytning. Malmer (1990) skriver att ifall elever vet varför de ska tillägna sig en viss färdighet inom matematik kan de känna motivation för lärande. I Lester & Lambdin (2006) samt Blomhøj (2006) beskrivs att eleverna behöver lösa problem som de stöter på i verkligheten för att utvecklas och finna matematiken underhållande. Dessutom utvecklar elever sin förståelse av matematiska begrepp då de tvingas att kommunicera om matematik (Littler & Jirotková, 2006). Även Utbildningsdepartementet (2004) ser diskussioner och samtal om och i matematik som en faktor som höjer viljan till mer lärande.

Matematik uppfattas fortfarande som ett svårt, torrt och tråkigt inövande av räknefärdigheter (Utbildningsdepartementet, 2004). I Att lyfta matematiken – intresse, lärande, kompetens skrivs:

innan en individ överhuvudtaget är mottaglig för lärande så krävs att informationen väcker uppmärksamhet och att individen kan identifiera sig med de som använder sig av den kommande kunskapen.

(Utbildningsdepartementet, 2004:66)

Det formuleras att varierad undervisning är önskvärt (Utbildningsdepartementet, 2004). Det ska även tas hänsyn till samt ges stöd åt både intresserade elever med starka prestationer och de med svaga bedrifter i matematik. Utbildningsdepartementet (2004) anser att ett sådant arbetssätt skapar positiva uppfattningar hos elever, vilket väcker intresse för matematikämnet. Genom att ge elever variation i arbetsmetoder och relatera undervisningens innehåll till elevers vardag reduceras den upplevda meningslösheten med matematik (Gustafsson & Mouwitz, 2002).Ifall lärare i sin undervisning behandlar situationer från arbetsliv eller annan vardagsanknytning kommer eleverna, enligt Taylor (1998), uppleva matematiken mer

meningsfull. Utbildningsdepartementet (2004) betonar vikten av att eleverna själva får utöva, utforska och skapa i matematikundervisningen. Detta ska bidra till att elever anser att

matematik är viktig, både som ett användbart verktyg och sammanhängande

begreppsbyggnad. Malmer (1990) anser att det är ett bra arbetssätt att låta elever själva utforma uppgifter och med handledning av läraren välja svårighetsgrad. Därigenom kommer problemen vara utmanande men ändå kännas hanterbar för eleven så att de inte får

misslyckande vilket skulle medför negativa associationer till matematiken (Malmer, 1999). Författaren påpekar, att ifall elever praktiskt får lösa en uppgift kommer de att klara detta bättre än ifall de får samma situation förklarat i en matematisk text.

Ifall ett nära samarbete med näringsliv och samhälle byggs upp kan matematikämnet göras mer meningsfull och därigenom få ett förstärkt lärande hos eleverna

(Utbildningsdepartementet, 2004). Skolan skall sträva efter att utveckla aktiviteter som ökar intresset för matematik och synliggör ämnets värde och betydelse i vardag, samhälle och vuxenliv (Utbildningsdepartementet, 2004). Även Utbildnings- och kulturdepartementet (2006) skriver att positiva uppfattningar kan skapas inom matematik då undervisningen behandlar elevernas senare arbetsliv. Ett positivt förhållningssätt ger nya vägar till nytt lärande i skola och vuxenliv. Det konstateras att flertalet människor har ångest och blockeringar inför matematiken, bara få säger sig tycka om ämnet eller inser dess

användningsområden (Utbildningsdepartementet, 2004). Även Gustafsson & Mouwitz (2002) påpekar att flertalet vuxna tar avstånd från matematik då denna anses tillhöra skolvärlden och inte har någon större relevans för yrkes- eller privatliv.Författarna har i sin undersökning registrerat olika orsaker till dessa matematikblockeringar och negativa attityder, såsom att elever inte ser relevansen med ämnet, att innehållet är alltför abstrakt samt lärarens roll. Lärarens negativa attityd till elever och deras lärande anser Gustafsson & Mouwitz (2002) vara en bidragande faktor till den avvisande inställningen till matematik. Ifall läraren istället utgår från elevernas förkunskaper, förklarar på ett sådant sätt att eleverna förstår samt

engagerar dem i skolarbetet skulle elever känna sig mer delaktiga och därigenom skapa bättre förutsättningar för lärande (Gustafsson & Mouwitz, 2002).

I Utbildnings- och kulturdepartementet (2006) pekas det på att intresse för matematik skulle öka ifall användningen av ämnet synliggjordes bättre och rollen som klassificeringsämne avlägsnades. I rapporten skrivs även att negativa attityder som för närvarande finns bland elever behöver bearbetas för att matematikkunnandet ska tillta. Tilliten till den egna förmågan och ens självbild formas bland annat utav tidigare skolerfarenheter (Gustafsson & Mouwitz, 2002). Då dessa är negativa kan motivationen till fortsatta studier att sänkas drastiskt. På grund av att matematikkunnandet fortfarande anses vara ett mått på intelligens (Gustafsson & Mouwitz, 2002) kan detta begränsa elevers syn på möjligheter till yrkesval (Utbildnings- och kulturdepartementet, 2006).

3.3 Vardagsanknuten matematik

Det finns mycket forskning kring vardagsanknuten och verklighetsanpassad matematik, det mesta behandlar dock elever och/eller lärare i de tidiga skolåren. De efterforskningar som är relevanta för detta arbete säger i huvudsak att vardagsanknutna matematikuppgifter främjar elevernas förståelse. Bland annat resonerar Boaler (1993) att ifall elever uppmuntras att använda sina egna metoder och utforskar användbarheten av dessa, kommer elevernas allmänna matematiska kännedom fördjupas. Författaren skriver att då elever upptäcker att matematik är en del av deras omgivning, kan de tillägna sig en bättre förståelse. Två olika argument varför lärare borde använda sig av verklighetsbaserade uppgifter omnämns i artikeln. Det första är att motivationen hos eleverna höjs och intresset väcks för matematik. Den andra anledningen är att elevernas lärande ökar genom påvisandet av sambandet mellan skolmatematik och verkliga problem. I en forskningsartikel av Forman & Steen (1999) skrivs att realistiska problem, där matematik är ”gömd”, kan möjliggöra noggrant lärande för eleverna. Sådana problem skall enligt författarna kräva flera beräkningar och innehålla realistiska värden. Exempel på vardagsmatematik, såsom kartläsning, bygga föremål, tänka systematisk och avläsa kalkylblad, ges i artikeln. Problem som har genuina sammanhang som utgångspunkt imiterar komplext tänkande och därmed kan elevernas förståelse utvidgas. Forman & Steen (1999) hävdar, precis som Boaler (1993), att sådana uppgifter ger elever en bättre inblick i den logik som förenar de olika delar av matematiken.

Berggren & Lindroth (2004) anser att elever känner att matematik är spännande och utmanande då de får arbeta med ett problem under en längre tid. Författarna anser även att elevers lärande får ett djup genom detta arbetssätt. Bafumo (2004) skriver i sin artikel att nyckeln till fungerande matematikundervisningen är att från början reflektera över

matematiska tillämpningar i vardagen. För att på bästa sätt uppnå detta ska lärare och elever arbeta med material som känns igen och som påvisar matematikens praktiska aspekter. Genom ett sådant arbetssätt görs lärandet meningsfullt för eleverna och att elevernas förståelse samt deras resultat kommer att förbättras (Bafumo, 2004). I Hansen et. al (1999) beskiver examensförfattarna att elevernas intresse för matematiken har ökat efter att ha konkretiserat denna genom experiment. Vidare har elever i deras studie uppfattat

laborationerna som genomförts som roliga. Eleverna upplevde matematik på ett annorlunda sätt genom den nya arbetsmetoden. Enligt Taylor (1998) har utveckling och användning av datorer samt räknare ändrat matematikämnets roll i skolan. Författaren anser att det borde

vara förmågan att föra matematiska resonemang och avgöra ifall ett svar är rimligt som efterfrågas och behandlas i undervisningssammanhang.

Malmer (1990) skriver att praktisk och vardagsanknuten matematik berörs i både

undervisning och läroböcker men att det oftast finns facit med ett enda svar till uppgifterna. Det betonas att verkligheten ser annorlunda ut. Wedege (2002a) uppmärksammar att

matematik som återfinnes vid arbetsplatser kan anta många olika svar vilka dessutom ofta består av ”fula” siffror. Därutöver får de beräkningar och antaganden, som görs av de anställda, verkliga konsekvenser. I en annan artikel av författaren framkommer att det är matematiken som inte behärskas som definieras som matematik (Wedege, 2002b). Många av de delaktiga personerna anser att den matematik de använder sig utav i sitt vardagsliv inte är någon riktig matematik, utan sunt förnuft. Det är alltså först då det i någon beräkning används en standardalgoritm eller formel som personer anser sig använda matematik (Wedege, 2002b). Då det i skolan arbetas med någon verklighetsanknuten uppgift är syftet med denna att hitta det korrekta svaret genom beräkningar med de rätta algoritmer (Wedege, 2002b).

En lärare som enbart använder traditionella och strikt teoretiska metoder får svårare att nå ut till samtliga elever (Malmer, 1999). Malmer (2002) håller före att lärare inom matematik borde tilldela mer tid av lektionen till muntlig matematik och handlingsmatematik. Till en början rekommenderas att låta eleverna använda sitt vardagsspråk vid diskussioner i

matematik för att senare ta till fler matematiska begrepp. I uppgifter är oftast texten mycket komprimerad och elever förstår inte uppgifterna på grund av det matematiska språket som används. Elever saknar de förkunskaper som krävs för att kunna tolka uppgiften rätt (Malmer, 1999). Då läraren ger elever en öppen uppgift, vilket bl. a. Boaler (1993) och Lerman (2006) förespråkar, är det inte garanterat att ny matematik behandlas. Genom att stor vikt läggs vid och mycket tid ges åt diskussion av lösningsmetoder, kan detta problem undvikas (Lester & Lambdin, 2006). Boaler (1993) anser att elever inte lär sig mer, eller blir mer motiverade, ifall ett verkligt problem skapas för att behandla den matematik som skall räknas. Istället ska elever få upptäcka vilken matematik som kan finnas i påtagliga situationer. Elever ska enligt Boaler (1993) lösa uppgifter genom att upptäcka, använda, utmana eller diskutera. Skovsmose (1990) indikerar att det är viktigt för elever att utveckla förmågan att lösa problem och att den bästa metoden för att uppfylla detta är att låta eleverna arbeta med modellering. Det är, enligt författaren, viktigt att ge elever möjligheten att undersöka olika detaljer i en modell, vilket har en viktig social innebörd. Det betonas att uppgifterna ska behandla en verklig matematisk

modell, viktiga sociala aktiviteter i samhället och dessutom utveckla en förståelse av det matematiska innehållet av modellen (Skovsmose, 1990). Svårigheter som framhålls vid ett sådant arbetssätt är t.ex. att kritisk kunskap kan vara svår att bygga upp, då elever och lärare är sysselsatta med den pågående uppgiften. Det uppges även problematiskt att undvika för mycket omstrukturering av problemsituationen för att göra det ”lättare” för eleverna. Tyngden av att ha verkligheten som utgångspunkt och låta eleverna inse behovet av matematik som redskap i olika sammanhang betonas (Skovsmose, 1990). Dessutom skriver Malmer (1990) att ifall problemsituationer hämtas nära elevernas egen erfarenhetsvärld har de lättare att

komplettera det praktiska hanterandet med ord som beskriver själva beräkningen. Wistedt (1991) påpekar att elever inte får någon bättre tillämpning av kunskaperna ifall den

begränsade kontexten i skolmatematiken byts ut mot en mer vardaglig men ändå snäv kontext. Författaren menar att eleverna behöver tid för att lära sig att röra sig mellan olika kontexter. Elevers svårigheter vid lösandet av öppna problem grundas i att eleverna inte vet hur ett problem skall förstås då det blir föremål för matematiska övningar (Wistedt, 2001). Riesbeck (2000) skriver vidare att elever lättare för realistiska och spontana resonemang då matematik lyfts ur skolsammanhanget. Wistedt (1991) menar dock att det finns vissa risker med

användandet av vardagsanknutna matematikuppgifter; att eleverna fastnar i vardagen och inte ser matematiken. Författaren framhåller att eleverna då kan gå miste om matematiklärandet, även om läraren försöker styra eleverna i rätt riktning. Även Boaler (1993) anser att

vardagsuppgifter ofta används för att motivera eleverna men att det istället resulterar i förvirring och hinder för lärande hos eleverna. Ifall eleverna inte har tydliga mål med en uppgift kan de inte heller upptäcka kopplingarna mellan praktik och de matematiska begreppen (Riesbeck, 2000). Elever har ofta dåliga resultat på öppna uppgifter då de inte förväntar sig att uppgiften ska innehålla denna typ av svårighet och resonemang. Däremot påpekar Riesbeck (2000) att elever har lättare för att förstå uppgifter ifall de är

vardagsanknutna. Detta på grund av att de kan identifierar sig med situationen. Eleverna i studien får däremot problem då de ska ta till matematiska verktyg (Riesbeck, 2000). Varierade arbetssätt och arbetsformer ger elever möjlighet att tillägna sig matematik på olika sätt och med olika metoder (Wyndhamn, 1991). Elevers varierande behov och tankar tas på allvar, ifall ett problem framtagits för att hjälpa eleven i lärandeprocessen (Wyndhamn, 1991).

Problemlösning utvecklar elevernas analysförmåga, kreativitet, tålamod samt förmågan att tänka logiskt (Ulin, 1991). Skribenten pekar på att utredande problem är värdefulla för en del elevers självförtroende. Det skrivs att rutinuppgifter är viktiga men att problem som utmanar

elevernas förmåga att resonera matematiskt inte får glömmas bort. Även enligt Nämnaren Tema (2003), Matematik – ett kommunikationsämne, är problemlösning väsentligt för utvecklandet av elevernas självförtroende och kreativitet. Det skrivs att problemlösning inte bara är ett syfte av den gymnasiala matematikundervisningen utan också en komponent för stimulerandet av elevers intresse och tänkande. Det nämns att eleverna, genom

problemlösning, ”lär sig att planera, upptäcka samband, förfina det logiska tänkandet och skaffa sig beredskap att klara situationer i livet”(Nämnaren Tema, 3003:69).

3.4 Modelleringsprocess

Att utarbeta modeller där verkligheten studeras och skildras är enligt Ljung & Glad (2004) vad all vetenskap går ut på. Alla elever är kapabla att göra realistiska överväganden av olika slag då de arbetar med verklighetsanknuten modellering (Wyndhamn & Säljö, 1997).

Förmågan att identifiera och ge det skrivna och det som sägs i diskussionen mening, är något som övas vid modellering, enligt författarna. I Edwards & Hamson (1989) beskrivs att lärandet av att använda matematik skiljer sig mycket från att lära sig matematik. Det svåra är att se var och hur matematiken kan appliceras. Skribenterna ser olika fördelar med

modellering, t.ex. att elever lär sig att planera i förväg. De anser även att det inte finns en enda korrekt modell för en viss situation, olikt skolmatematiken. Edwards & Hamson (1989) skriver att det ofta vid matematisk modellering är viktigt att arbeta i par eller grupp då olika personer har varierande förslag som kan leda arbetet framåt. Zbiek & Connor (2006) skriver att matematisk modellering ger möjligheten till varierande arbetssituationer och att detta möjliggör en djupare förståelse av matematik.

Blomhøj (2006) menar att undervisning i modellering kan vara en krävande uppgift av läraren då denne måste skapa en situation där bekanta företeelser från verkligheten, som elever känner igen, behandlas. Det påpekas att läraren inte får ge något konkret exempel på en verklig företeelse i en viss situation då elever kan ta efter denna. Enligt Edwards & Hamson (1996) är det mycket viktigt att både läraren och eleven har klarlagt problemet och vet exakt vad det är som ska modelleras. Författarna skriver att matematisk modellering lyckas då elever inte enbart ska formulera ekvationer utan även göra modellen väsentlig. Crouch & Haines (2004) skriver däremot att de personer som medverkat i deras studie inte har klarat att översätta verkligheten till matematik i modelleringsprocessen. Många av testpersonerna var inte kapabla till att samtidigt tänka på det verkliga problemet och den matematiska modellen. Skribenterna anser att denna svaghet kommer ifrån för lite erfarenhet av modellering. I

Wyndhamn & Säljö (1997) framkommer att eleverna i deras forskning är medvetna om både den matematiska och verklighetsanknutna delen. Dessutom för eleverna en innehållsrik diskussion där flera olika synvinklar av problemet lyfts fram. Elever kommer, enligt Zbiek & Connor (2006), att söka förståelse av den behövda matematiken som ingår i det aktuella problemet. Att matematiken är viktig kan inses av elever då de ser något som är av betydelse för en verklig situation (Zbiek & Connor, 2006).

Modellering påverkar elevers lärande genom att denna ger förändringar i motivation och förståelse (Zbiek & Connor, 2006). I studien skrivs att de olika delprocesserna i modellering ger eleverna möjligheten att bli teoretiker och praktiker av matematik samt stimulerar tre typer av motivation. Den första av dessa är att verklighetsanknutna situationer tilltalar vissa elever. Dessutom anser Zbiek & Connor (2006) att elever kommer att finna matematik användbar då de ser hur den kan relateras i problem i verkligheten. Den andra punkten för ökad motivation är att elever blir uppmärksamma på att matematik kan beskriva komplexa problem i verkligheten. Att lära sig ny matematik för att kunna göra en bra modell för det verkliga förloppet är den tredje faktorn. Elevernas motivation, engagemang och attityder kring modelleringsarbete påverkar elevers förmåga att modellera (Zbiek & Connor, 2006). Även kontexten elever ska arbeta i, vilka tidigare erfarenheter de har i både matematik och verklighet påverkar (Crouch & Haines, 2004). Blomhøj (2006) beskriver att arbetssättet är omtyckt, att eleverna är mycket aktiva samt att de stimulerar varandra i arbetet. Elever får upp ögonen för matematik i sina vardagsliv genom modellering (Blomhøj, 2006). Men för att få en användbar modell krävs entusiasm av eleverna (Edwards & Hamson, 1996).

4. Metod

För att uppnå syftet med arbetet används flera olika metoder. Undersökningen syftar till att kartlägga elevers uppfattningar och attityder kring matematik samt öppna verklighetsanknutna problem. Detta görs i en kvantitativ undersökning i form av enkät. För att se vad eleverna åstadkommer för resultat med öppna verklighetsanknutna problem konstruerades två uppgifter (se bilaga). Genom att studera relevant litteratur som finns inom tidigare och aktuell forskning samt styrdokument anser vi oss ha en bra utgångspunkt då de öppna vardagsanknutna problem skall formuleras och testas.

4.1 Urval

Val av klasser sker genom lämplighets och tillgänglighetsurval. Med lämpliga elever avses elever som läser eller nyligen läst Matematik A-kursen. Då vi inte har möjlighet att göra en större undersökning tillfrågas två lämpliga och tillgängliga klasser om de vill medverka. Kontakten med klasserna togs genom två lärare. Undersökningen genomförs i två

gymnasieklasser i södra Sverige. Den första klassen läser det Naturvetenskapliga programmet och 27 av klassens 28 elever var närvarande när undersökningen gjordes. Av det skribenterna sedan tidigare känner till är denna klass ovan med det öppna arbetssätt som presenteras. Den andra klassen som undersöks läser det Samhällsvetenskapliga programmet, här närvarade 23 av klassens 30 elever. Enligt den ansvariga läraren hade dessa elever en viss vana med det arbetssätt som skribenterna presenterade.

4.2 Problemen

Dessa konstruerades utifrån Matematik A kursens mål samt de kriterier vi formulerat i begreppsdefinitionerna för öppna verklighetsanknutna problem. Med uppgifterna vill vi undersöka ifall eleverna kan uppnå betyget Godkänt samt ge dem en referens till vår enkätundersökning där frågor om problemen samt arbetssättet ställs. Då det endast är två uppgifter som undersöks på ett begränsat antal elever, kan inga generella slutsatser dras. I resultatet måste hänsyn tas till elevernas vana att arbeta på detta sätt. För att eleverna inte ska känna att uppgiften påverkar deras betyg är inlämningen av dessa anonyma. Den ena

uppgiften behandlar mobiloperatörer. Denna uppgift görs i par. Eleverna ska jämföra olika bolag och redovisa sina resultat i diagram. I den andra uppgiften arbetar eleverna var för sig. De ska göra om sitt rum, välja ut vad de vill göra, göra en kostnadskalkyl och rita en skalenlig bild av rummet. I både uppgifterna ska eleverna lämna in en affisch där de redovisa sina

resultat. Dessa kommer sedan att bedömas efter den betygsmall som vi utformat med utgångspunkt i Matematik A kursmålen.

4.3 Enkät

För att kunna svara på frågeställningarna ” Vad hade eleverna, som medverkar i denna undersökning, för uppfattningar om att arbeta med de öppna vardagsanknutna

matematikproblem som vi testar?” samt ”Finner eleverna detta arbetssätt motiverande?” väljer vi att genomföra en attitydundersökning i enkätform. En pilotstudie med 17 elever

genomfördes. Därefter korrigerades enkätfrågorna för att underlätta för eleverna att förstå vad som menas med de olika frågorna. Genom att vi delar ut enkäten under lektionstid når enkäten alla medverkande elever och svarsfrekvensen förväntas därmed bli stor (Kylén, 2004).

Eftersom eleven förväntas fylla i enkäten direkt kan en negativ konsekvens dock vara att elevens svar inte blir fullt genomtänkta. I enkäten används ett enkelt och tydligt språk, detta för att inga missförstånd eller misstolkningar skall uppstå. Eftersom vi även är närvarande då eleverna fyller i enkäten kan vi, vid eventuellt behov, tydliggöra frågorna ännu mer och undersökningen antas därmed bli mer tillförlitlig (Kylén, 2004). För att kunna besvara båda frågeställningarna och få en djupare förståelse för vad det är som gör att eleverna känner sig mer, eller mindre, motiverade använder vi oss av både öppna och bundna svar. På detta sätt får vi både statistik över hur det förhåller sig i just de klasser som vi undersökt samt möjliga bakomliggande faktorer som kan förekomma hos elever även utom undersökningen. Då enkäten är begränsat i sitt antal kan inga generella slutsatser, utanför de klasser som undersöks, dras. För att se möjliga bakomliggande faktorer till elevers motivation eller omotivation, är några frågor i enkäten av mer kvalitativ karaktär, där eleven förväntas motivera eller förklara sitt svar. De första frågorna i enkäten är bakgrundsfrågor om eleven och kan användas för att kategorisera de medverkande eleverna senare i undersökningen. Dessa upplevs ofta som enkla att besvara och är därför bra att inleda en enkät med (Kylén, 2004). Då vi även vill undersöka vad eleverna har för inställning och tankar om matematik ställs frågor som ”Hur är ditt självförtroende i matematik?” och ”Skriv ner saker du sagt eller tänkt om matematikundervisning”. Senare undersöks hur eleverna uppfattar sina nuvarande matematiklektioner och vad de har för inställning till dessa. Det arbetssätt som vi introducerat undersöks på liknade sätt med frågor som ”I vilken grupp skulle du placera den sortens uppgift du precis arbetat med” här följer sex svarsalternativ vilka är ”enskild räkning i bok”, ”grupparbete”, ”experiment/laboration”, ”genomgång på tavlan”, ”varierad undervisning” eller ”annat”. I anslutning till denna fråga uppmanas även eleverna ange vilket arbetssätt de

finner mest motiverande. Eftersom vi valt att göra enkäten anonym kan inga följdfrågor ställas och risken för missförstånd eller misstolkningar kan öka.

4.4 Etisk hänsyn

Av hänsyn till eleverna har vi, som tidigare nämnts, valt att göra vår undersökning helt anonym. Vid undersökningens början lottas en kod ut till eleverna som de sedan använder sig av både vid inlämning av enkät samt arbete. Vilken kod eleven fått känner ingen till, förutom eleven själv. Eftersom arbetena även är anonyma för den ordinarie läraren kan

undersökningen och dess resultat inte påverka elevernas betyg vilket kan ge mer sanningsenliga svar. Därigenom kan det även ställas frågor som möjligen upplevs som känsliga av eleven.

4.5 Genomförande

De två undersökningar skiljer sig något åt i genomförandet. De största skillnaderna var att eleverna i den första undersökningen hade tillgång till datorer och möjlighet att skriva ut. De hade även tre skilda lektionstillfällen med sammanlagt tre timmar till sitt förfogande. I den andra undersökningen hade eleverna tillgång till datorer för informationssökningen men inte möjlighet att skriva ut. Tidsplanen kortades även och eleverna gjorde arbetet under ett sammanhängande tillfälle på knappt två timmar. För genomförandet av den första

undersökningen kontaktades handledaren på en av våra partnerskolor. Läraren tillfrågades via e- post där de konstruerade uppgifterna bifogades samt en tidsplan angavs. I e-posten

specificerades att vi önskade göra undersökningen i en gymnasieklass som läser eller nyligen har avslutat Matematik A- kursen. Genom en lärarkontakt kunde även en annan elevgrupp undersökas. Ansvarig lärare var även här införstådd i uppgifternas upplägg samt vilken tidsplan och typ av klass som önskades undersökas.

Vid genomförandet av undersökningarna var det skribenterna som agerade lärare, detta då vi var väl insatta i arbetsuppgifterna. Ordinarie lärare närvarade inte vid dessa tillfällen. Detta för att garantera anonymitet för eleverna och för att undvika att läraren påverkar eleverna på något sätt. Lektionerna började med att vi informerade eleverna om vilka vi var samt varför undersökningen gjordes. En kort presentation av uppgifternas upplägg samt tidsplan gjordes. Vi förklarade även att undersökningen var anonym och på inget sätt påverkade deras betyg. Detta garanterades både genom kodsystemet samt att de ordinarie lärarna inte fick tillgång till elevernas arbeten eller enkäter. Uppgifterna lottades ut genom att eleverna drog en lott med en

kod som angav vilken uppgift och eventuell grupp de skulle ingå i. Därefter fick eleverna arbeta fritt utifrån uppgiftens instruktioner; i den första undersökningen fick eleverna även tillgång till en datorsal för att leta information. Under lektionerna fanns vi tillgängliga för att ge tips och råd utan att påverka eleverna. För att förutsättningarna skulle vara lika och ingen elev skulle få mer hjälp än någon annan använde vi oss av den lärarhandledning (se bilaga) som utformats i undersökningen. När knappt en timme av undersökningstiden kvarstod delades den enkät som utformats ut och eleverna gavs möjlighet att tillverka sin affisch. Material till detta såsom sax, A3- papper klister och färgpennor tillhandahölls av oss. Eleverna uppmanades även att se över bedömningsmallen och instruktionerna för att säkerställa att de inte glömt något. Ingen elev fick avsluta lektionen förrän både arbetet och enkäten var inlämnad.

4.6 Resultatbearbetning

För att kontrollera om de inlämnade elevarbetena uppnådde de kursmål som var tänkta utformades en bedömningsmall som ses nedan. Med hjälp av dessa analyserades elevernas resultat samt betygsgrad.

Betygsmall mobiluppgift

G >G Jämför tre bolag på ett

matematiskt godtagbart sätt.

Ställer upp två funktioner för kostnaderna.

Inser att det finns och/eller ställer upp funktioner med två eller fler variabler. Visar två av bolagen i samma

graf eller diagram med lämpliga skalor.

Beräkningar och tankegång som presenteras är möjliga att följa, förstå och pröva

Ser och redovisar för- och nackdelar med två av de valda bolagen

Resonerar kring för- och nackdelar som finns med de olika bolagen

Deltar aktivt i arbetet

Betygsmall rumuppgift

G >G

Ritning med mått Skalenlig ritning

Kostnadskalkyl där det kan avläsas vilka varor som köpts, pris på dessa samt den totala kostnaden

Förslag på finansiering

Beräkningar och tankegång som presenteras är möjliga att följa, förstå och pröva Visar kostnaderna i diagram

Tagit hänsyn till och/eller resonerar kring att t.ex. mönsteranpassa tapeten, tillräckligt avstånd till tv, dörrar kan öppnas osv

För att säkerställa enkätresultatens statistiska riktighet analyseras de med dataprogrammet SPSS. De frågor som är av flervalstyp och elevernas motiveringar till sina svar presenteras i bilaga.

5. Resultat

I detta kapitel kommer de svar som elever lämnat på enkäten att presenteras. I det första avsnittet presenteras enkätsvaren i tur och ordning. Här visas även på intressanta kopplingar mellan de olika faktorer som undersökts. I den andra och tredje delen kommer relevanta ingångsvinklar belysas, uppdelat i de olika uppgifterna.

5.1 Övergripande resultat

I undersökningen medverkade totalt 50 elever varav 27 läser det Naturvetenskapliga programmet och 23 det Samhällsvetenskapliga. Av eleverna som deltog i

enkätundersökningen var 27 kvinnor och 23 män. Av de 50 medverkande eleverna hade tolv elever slutbetyget Godkänt från årskurs 9, 24 elever hade betyget Väl godkänt och elva elever hade betyget Mycket väl godkänt. Det var tre elever som inte angav något slutbetyg.

Figur 1: Elevernas självförtroende i matematik Figur 2: Hur motiverande eleverna brukar uppleva sina matematiklektioner

I Figur 1 kan det ses att 36 av de medverkande eleverna anser sig ha ett bra eller mycket bra självförtroende i matematik, 14 av eleverna har ett dåligt eller mycket dåligt självförtroende. Av de 49 elever som besvarade frågan ”Hur brukar du uppleva matematiklektionerna?” kan det i Figur 2 utläsas att 42 elever upplevde matematiklektionerna som motiverande eller ganska motiverande. Dåligt Inte så bra Bra Mycket bra 30 25 20 15 10 5 0 Co unt Omotiverande Ganska omotiverande Ganska motiverande Motiverande 30 20 10 0 Count

Figur 3: Hur eleven vanligtvis känner sig på väg till en matematiklektion

Ur Figur 3 kan läsas att 18 av eleverna har en negativ känsla som orolig, uttråkad eller ointressad på väg till matematiklektionen. Det är 15 elever som uttalar en positiv känsla med uttrycken glad eller förväntansfull, elva elever har en annan, positiv eller negativ, känsla och sex elever har valt att inte besvara frågan. Av de 49 elever som besvarade frågan ”Vad tycker du själv om dina kunskaper i matematik?” var det sju elever som ansåg sig ha mycket goda kunskaper och 33 elever goda kunskaper. Det var sju elever som ansåg sig ha inte så goda kunskaper och två elever ansåg sig ha dåliga kunskaper. Att eleverna ofta använder sig av den matematik de lärt sig i skolan höll fyra elever med om. Skolmatematiken ansåg 22 elever att de använda sig ganska ofta av i sitt vardagsliv och 19 ansåg att de sällan använde sig av skolmatematiken. Ingen av eleverna uttryckte att de aldrig använde sig av den matematik de lärt sig i skolan i sitt vardagsliv. Det var fem elever som valde att inte svara på denna fråga.

Ingen alls Lite Ganska lite Ganska mycket Mycket 20 15 10 5 0 Co unt

Figur 4: Hur mycket eleven anser att man kan lära sig med de två uppgifter som testats

Med de matematikuppgifter som konstruerats och testats på eleverna ansåg två elever att man kunde lära sig mycket matematik och 18 elever tycke att man kunde lära sig ganska mycket (se Figur 4). Ur Figur 4 kan utläsas att det var 20 elever som ansåg att man kunde lära sig ganska lite, sex elever ansåg att man kunde lära sig lite samt en elev som ansåg att man inte kunde lära sig något med uppgiften. Av de elever som besvarade frågan var det knappt hälften som ansåg att man kan lära sig något med de uppgifter som testades. Arbetssättet som

undersöktes ansåg 38 elever vara motiverande, fyra elever ansåg inte arbetssättet vara motiverande och åtta elever svarade inte på denna fråga.

Annat Varierad undervisning Genomång på tavlan Experiment/ laboration Grupparbete Enskild räkning i bok 25 20 15 10 5 0 Cou n t

Som kan utläsas ur Figur 5 anser den största delen av de tillfrågade eleverna att de oftast räknar enskilt i sina matematikböcker under matematiklektionerna. För delningen mellan de andra alternativen är ganska jämn.

Dåligt Inte så bra Bra Mycket bra Själ fö t d i t tik 20 15 10 5 0 Cou n t Samhällsvetenskapligt Naturvetenskapligt Gymnasieprogram

Figur 6: Vilket självförtroende eleverna har i matematik relaterat till gymnasieprogram

Som det kan utläsas ur Figur 6 var självförtroendet i matematik större i den klass som går det Naturvetenskapliga programmet. Där var det 24 av de 27 eleverna som hade ett bra eller mycket bra självförtroende. I den Samhällsvetenskapliga klassen var det 12 av 23 som hade ett bra eller mycket bra självförtroende.

Självförtroende i matematik

Mycket bra Bra Inte så bra Dåligt

Vad tycker du själv om dina kunskaper i matematik Mycket goda 6 1 0 0 Goda _{3 25 4 1} Inte så goda 0 1 5 1 Dåliga _{0 0 0 2}

Tabell 1: Elevernas självförtroende i matematik relaterat till vilka kunskaper eleverna själva anser sig inneha

De elever som anser sig själva ha goda kunskaper i matematik tenderar även att ha ett gott självförtroende i matematik, se Tabell 1.

Betyg i matematik i 9:an Godkänt Väl godkänt Mycket väl godkänt Självförtroende i matematik Mycket bra 0 3 6 Bra _{5 16 4} Inte så bra 6 3 1 Dåligt 1 2 0

Tabell 2: Elevens självförtroende kopplat till dennes betyg i matematik

I Tabell 2 ses att det var 16 elever med betyget Väl godkänt i årskurs 9 som ansåg sig ha ett bra självförtroende. Det var sex elever som ansåg sig ha ett mycket bra självförtroende i matematik samt hade erhållit slutbetyget Mycket väl godkänt från högstadiet. Figur 7 visar även att elever med ett mindre bra självförtroende hade övervägande Godkänt i betyg.

Av de arbeten som lämnades in fick 28 betyget Godkänt; tre av de 33 arbeten uppnådde högre betyg än Godkänt. Det var två arbeten som inte uppnådde de mål som krävdes för betyget Godkänt.

5.2 Resultat – Mobiluppgift

Det var totalt 34 elever som arbetade med denna uppgift.

>G G IG 14 12 10 8 6 4 2 0 C oun t

Figur 7: Totalbetygen för de inlämnade arbetena i mobiluppgiften

Som det kan utläsas i Figur 7 var det en elevgrupp som inte nådde kraven för Godkänt. Två elevgrupper fick ett högre betyg än Godkänt i denna uppgift. Av de elever som arbetade med mobiluppgiften var det 23 elever som ansåg att de lärde sig något. Det var tio elever som inte tyckte att de lärt sig något nytt och en elev valde att inte besvara frågan.

Delmålsbetyg för mobiluppgiften enligt bedömningsmall 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Mål 1 Mål 2 Mål 3 Mål 4 Mål 5 Mål 6 Antal elever >G G IG

Figur 8: Delmålsbetyg för de inlämnade arbetena på mobiluppgiften.

Som det i Figur 8 visas erhöll alla elever betyget Godkänt för Mål 1 och Mål 6. I det andra delmålet fick elva inlämnade arbeten betyget Icke godkänt.

5.3 Resultat – Rumuppgift

Det var sammanlagt 16 elever som arbetade med Rumuppgiften vid undersökningstillfället.

>G G IG 14 12 10 8 6 4 2 0 C ount

Figur 9: Totalbetygen för de inlämnade arbetena i rumuppgiften

Av de inlämnade arbetena på rumuppgiften var det en elev som fick mer än Godkänt och en elev som inte erhöll betyget Godkänt. Som det ses i Figur 9 fick resterande 14 arbeten Godkänt. Totalt var det 16 elever som arbetade med denna uppgift och av dessa tyckte nio elever att de lärde sig något. De resterande sju elever tyckte inte att de lärde sig något.

Delmålsbetyg för rumuppgiften utifrån bedömningsmall 0 5 10 15 20 Mål 1 Mål 2 Mål 3 Mål 4 Mål 5 A n ta l el ev er >G G IG

Figur 10: Delmålsbetygen för de inlämnade arbetena på rumuppgiften.

I Figur 10 ses att det var i Mål 1 och Mål 4 som alla elever inte uppnådde betyget Godkänt. I Mål 5 fanns endast betyget ”mer än Godkänt” och det uppnådde tre elever. För resterande av målen uppnådde alla inlämnade arbetena minst betyget Godkänt.

5.4 Kommentarer

Nedan listas elevkommentarer från enkäten som vi ansett varit speciellt intressanta eller värdefulla för undersökningen. Det är även dessa kommentarer som används i arbetets resultat och diskussionsdel. Samtliga kommentarer som getts vid enkäten finns som bilaga.

Kommentarer som är i normal stil är skrivna av den första undersökta klassen. Kommentarer i kursivt är skrivna av den andra klassen som undersökts.

Mobiluppgift

Fråga 4. Hur är ditt självförtroende i matematik - Varför

• Det går bra, MVG på båda proven än så länge (Mycket bra självförtroende)

• Jag har aldrig fått något riktigt stöd och fått dåliga lärare så det har blivit knasigt

från grunden (Dåligt självförtroende)

• Pga dålig erfarenhet av tidigare mattelärare. + allmänt svårt för matte (Dåligt

självförtroende)

• Jag har förut klarat det mesta jag tagit mig för och sen spelar nog betyget från 9:an in

också (Bra självförtroende)

• För matte aldrig har varit min starka sida och inte alltid på högstadiet fått all hjälp

jag behövt (Inte så bra självförtroende)

• Har fått en dålig lärare med usla genomgångar(Inte så bra självförtroende) Fråga 5. Lärde du dig något med uppgiften du precis arbetat med - Vad

• Inte något jag inte visste

• Att det är stor skillnad på vilka abonnemang som passar olika personer beroende på hur mycket man använder mobilen

• Lite om programmet exel och hur man kan göra diagram

• Läsa och jämföra priset, rita tabeller och diagram, dra slutsatser av olika uppgifter • Repetition, vilken abonent som var dyrast

• Det var sånt jag kunde innan

Fråga 6. Vilka tre ord eller uttryck tänker du på när du hör ordet matematik • Hårt arbete

• Segt • Jobbigt • Svårt • Tråkigt

• Onödigt • Klurigt

• Logiskt - finns bara ett rätt svar • Smart tänkande

Fråga 10. Skriv ner sådant du sagt eller tänkt om matematikundervisning • Vill känna att man duger

• Kul när man känner att man kan ta till sig sin erfarenhet för att lösa tal

• Roligt, men egentligen inte särskilt verklighetsanknutet. Det mesta lär man sig för

skolan känns det som

Fråga 16. Tyckte du att detta arbetssätt var motiverande - Varför • Annorlunda och man fick veta saker som man kan påverka själv • Man fick fantisera själv och bestämma hur man vill göra

• Uppgiften var ganska tråkig, men en roligare uppgift och samma arbetssätt hade varit roligare

• Kul grej, det berör människor i vår ålder • Det är ju något som är intressant på riktigt • Kul att ta in verkligheten i matematiken

• Det behövs varierande arbetssätt för att kunna behålla intresset för ämnet Fråga 17. Skriv ner vad du tyckte om detta arbetssätt/uppgifterna

• Bra, annorlunda och om man berörs av uppgiften blir den roligare och mer motiverande

• Arbetssättet var bra, men uppgifterna var lite tråkiga

• Ganska kul. Det blev lite variation av lektionerna. Inte bara räkna, räkna och räkna • Roligt och verklighetsbaserat. Bra uppgift! Bra uppgifter, roliga lagom svåra. Lite

vanliga dock

Rumuppgift

Fråga 5. Lärde du dig något med uppgiften du precis arbetat med – Vad • Hur dyrt renoveringar kan vara

• Alltså jag lärde mig något man kan ha nytta av senare i livet om man t.ex. ska

renovera

Fråga 6. Vilka tre ord eller uttryck tänker du på när du hör ordet matematik • Förstörda eftermiddagar

Fråga 10. Skriv ner sådant du sagt eller tänkt om matematikundervisning • Man bör använda det så praktisk och mångsidigt som möjligt

Fråga 17. Skriv ner vad du tyckte om detta arbetssätt/uppgifterna

6. Diskussion

I denna del kommer vi, utifrån de resultat och den forskning som presenterats, föra en diskussion. Det kommer att resoneras kring elevers motivation, bedömningen av elevernas inlämnade arbeten och förbättringar till uppgifterna. Därutöver kommer vardagsanknuten matematik och bortfall att diskuteras.

6.1 Motivation och självförtroende

Vi ser att de öppna problem som undersökts är något som alla elever kan arbeta med och anses som motiverande. Elevers kommentarer på arbetssättet är t.ex. ”Man fick fantisera själv och bestämma hur man vill göra” samt ”det behövs varierande arbetssätt för att kunna behålla intresset för ämnet”. Även Nämnaren Tema, Matematik – ett kommunikationsämne (2003), framhäver att problemlösning är viktig för elevernas självförtroende och kreativitet. Ur kommentarerna som givits på enkäten utlästes stora skillnader mellan vad eleverna i de två klasserna tänker på då de hör ordet matematik. Endast två elever på det Naturvetenskapliga programmet skrev ord som är känsloladdade (”segt” och ”hårt arbete”); de andra skrev olika räknesätt. I den klass som går Samhällsvetenskapliga programmet var det desto fler som använde känsloladdade ord såsom ”tråkigt”, ”svårt”, ”onödigt”, ”klurigt” och ”förstörda eftermiddagar”. Pehkonen (2001) anser att negativa uppfattningar påverkar elevers lärande som i vår undersökning skulle betyda att de elever, som har en negativ inställning till matematiken, har hinder för matematiklärande.

Vid en annan enkätfråga fick eleverna kommentera varför de har bra/dåligt självförtroende inom matematik. Då elever anser sig ha bra självförtroende skrevs kommentarer såsom ”Det går bra, MVG på båda proven än så länge” eller ”jag har förut klarat det mesta jag tagit mig för och sen spelar nog betyget från 9:an in”. De elever som angivit alternativet Inte så bra eller Dåligt vid frågan om självförtroende i matematik, har ofta angett att läraren är skälet till detta. Även ämnet i sig upplevs som tråkigt. ”Har fått en dålig lärare med usla genomgångar”, ”jag har aldrig fått något riktigt stöd och fått dåliga lärare” samt ”dålig erfarenhet av tidigare mattelärare” är några av kommentarerna. En annan elev skrev att denne ”inte alltid på högstadiet fått all hjälp jag behövt”. Detta styrker det resultat vi utläser från Figur 6, att självförtroende och betyg kan bero av varandra. Vi förmodar att det i många fall kan vara ett bra betyg som medför ett gott självförtroende. Vi anser att det är en del av läraruppdraget att stärka elever genom positiv feedback så att även svaga elever kan få ett gott självförtroende.