ÖREBRO UNIVERSITET Grundlärarprogrammet Matematik MA616G, Grundnivå, 15hp Hösttermin 2020
Fördelaktiga undervisningsmetoder
för elever i matematiksvårigheter vid lä-rande av tal i bråkform
Adam Wiklund
Handledare: Abdel Seidouvy2
Abstrakt
Tal i bråkform är en viktig del av den svenska läroplanen, ett räknesätt som många elever har svårt att förstå. Lärare behöver vara insatta i olika undervisningsmetoder för tal i bråk-form, för att skapa bra undervisningstillfällen för elever. Detta behövs speciellt för elever i matematiksvårigheter. Undervisning ska anpassas utifrån elevers behov, vilket sker bäst när lärare känner till undervisningsmetoder som är fördelaktiga för elevers inlärning. Denna litte-raturstudie presenterar därför 15 undervisningsmetoder som forskning konstaterar som fördel-aktiga för undervisning om tal i bråkform för elever i matematiksvårigheter. Undervisnings-metoderna skiljer sig åt och är fördelaktiga på olika sätt. UndervisningsUndervisnings-metoderna passar också olika bra beroende på elevers tidigare kunskaper. Samtliga undervisningsmetoder för-klaras för att ge en tydlig bild av hur de kan bidra till fördelaktiga inlärningstillfällen för ele-ver i matematiksvårigheter.
Nyckelord: matematik, tal i bråkform, undervisningsmetoder, matematiksvårigheter, års-kurs 1–6.
Advantageous teaching methods for students with mathematic
difficulties when learning fractions
Abstract
Fractions is an important part of the Swedish curriculum, which many students have diffi-culties understanding. Teachers need to be familiar with different teaching methods for frac-tions to create good teaching opportunities for students. Especially for students with mathe-matic difficulties. Teaching should be adapted based on students’ needs, which happens best when teachers know which teaching methods that are beneficial for students’ learning. This literature study therefore presents 15 teaching methods that research finds to be advantageous for teaching fractions to students in mathematical difficulties. The teaching methods differ and are advantageous in different ways. The teaching methods also suit the students differ-ently depending on the students’ previous knowledge. All 15 teaching methods are explained to give a clear picture of how they can contribute to advantageous learning opportunities for students with mathematical difficulties.
Keywords: mathematics, fractions, teaching methods, mathematical difficulties, grades 1-6.
3
Innehållsförteckning
Inledning ... 5
Syfte och frågeställning ... 6
Teoretisk bakgrund ... 6
Tal i bråkform ... 6
Undervisningsmetoder ... 6
Matematiksvårigheter ... 7
Metod ... 7
Val av databas och hur sökningen fungerar i databasen ... 8
Sökprocessen i databasen ... 8 Manuellt urval ... 10 Metod för kartläggning ... 10 Metod för fördjupning ... 11 Validitet ... 11 Reliabilitet ... 12 Etiska överväganden ... 12
Resultat och analys ... 12
Översikt ... 13
Metoder med fokus på representationsformer ... 13
Planeringspåverkande metoder ... 16
Metakognitiva metoder ... 17
Språkliga metoder ... 18
Metoder för utveckling av resonemangsförmåga ... 19
Fördjupande syntes ... 19
Metoder med fokus på representationsformer ... 19
Planeringspåverkande metoder ... 22
4
Språkliga metoder ... 26
Metoder för utveckling av resonemangsförmåga ... 26
Diskussion ... 27
Kort sammanfattning av huvudresultaten ... 27
Resultatdiskussion ... 28 Metoddiskussion ... 29 Konsekvenser för undervisning ... 30 Fortsatta studier ... 30 Referenser ... 31 Bilagor ... 34 Bilaga 1 ... 34 Bilaga 2 ... 35
5
Inledning
Tal i bråkform är en central del i den svenska läroplanen för grundskolan, under ”talupp-fattning och tals användning” (Skolverket, 2018, s. 55 & 56). Det är även en viktig del av andra länders undervisning. Exempelvis konstaterar Siegler et al. (2012) att tal i bråkform är en viktig del av den amerikanska läroplanen.
Shin och Bryant (2015) konstaterar att elevers förståelse för tal i bråkform och proport-ioner är viktiga för att kunna utveckla sin förståelse för avancerade metoder inom matemati-ken. Den förståelsen är essentiell för att eleverna ska kunna avancera i matematiken i grund-skola och högstadiet. Exempelvis bidrar tal i bråkform till att skapa en förståelse för proport-ioner. Femteklassare i USA och England har testats, där elevernas förståelse för tal i bråkform varit i fokus (Siegler et al., 2012). Utifrån testerna kunde forskarna förutspå hur väl eleverna lyckades inom matematiken för de nästkommande fem åren. Det innebär att elevernas förstå-else för tal i bråkform får en stor påverkan på elevernas inlärningsmöjligheter för matematik. Utvecklingen är även viktig för att eleverna ska kunna nå en högre utbildning, eftersom gym-nasie- och universitetsutbildningar ofta kräver en förståelse för matematik (Shin & Bryant, 2015).
Skolverket (2018) konstaterar att alla elever har rätt till att få den undervisning de behö-ver och utifrån elebehö-vernas egna behov. I undervisningen av tal i bråkform blir detta svårt för läraren att uppfylla, eftersom de flesta eleverna har svårt att förstå vad tal i bråkform innebär (Shin & Bryant, 2015). Undervisningen måste därför anpassas så att alla elever får möjlig-heten att utveckla sin förståelse för tal i bråkform. Det innebär att lärare behöver vara med-vetna om undervisningsmetoder som är fördelaktiga för elevers förståelse för tal i bråkform.
Den här litteraturstudien fokuserar på bråkformsundervisningen i matematik. Studien fo-kuserar på forskning kopplad till årskurs 1–6, eftersom tal i bråkform är ett nytt och svårt be-grepp som introduceras för eleverna i de årskurserna. Litteraturstudien behandlar undervis-ningsmetoder som forskning lyfter fram som relevanta för att hjälpa lärare undervisa elever på ett fördelaktigt sätt om tal i bråkform. Genom att lärare använder sig av bra och effektiv undervisning, som byggs på forskning, kan elever få den möjlighet till utveckling som Skol-verket (2018) konstaterar att de har rätt till. Den här litteraturstudien kan därmed bidra till lä-rares förståelse för hur tal i bråkform kan undervisas på ett fördelaktigt sätt, för att hjälpa ele-ver i matematiksvårigheter att skapa en förståelse för tal i bråkform i årskurserna 1–6.
6
Syfte och frågeställning
Den här litteraturstudiens syfte är att sammanställa fördelaktiga undervisningsmetoder för att undervisa tal i bråkform i årskurserna 1–6 för elever i matematiksvårigheter. För att alla elever ska kunna få samma möjligheter att utvecklas i skolan måste läraren besitta kunskaper i olika undervisningsmetoder, så att alla elever kan få den individuella hjälp de behöver, utefter ett arbetssätt som passar eleverna.
För att uppnå detta syfte letar studien svar på frågeställningen:
Vilka undervisningsmetoder visar forskning vara fördelaktiga för att undervisa tal i bråk-form för elever i matematiksvårigheter i årskurserna 1–6?
Teoretisk bakgrund
I teoretisk bakgrund presenteras de grundläggande begrepp som litteraturstudien grundar sig på. Tal i bråkform, undervisningsmetoder och matematiksvårigheter diskuteras kort och varför de är viktiga för den här litteraturstudien.
Tal i bråkform
Enligt kursplanen i matematik ska elever lära sig om tal i bråkform (Skolverket, 2018). Men tal i bråkform uppfattas oftast som svårt för elever att lära sig om (Shin & Bryant, 2015). För att det ska vara möjligt måste lärare därmed besitta kunskaper i hur tal i bråkform ska lä-ras ut. Elever i matematiksvårigheter kan ha extra svårt att förstå vad tal i bråkform innebär, eftersom det kan uppfattas som abstrakt. Undervisningsmetoder som har fokus på att hjälpa elever i matematiksvårigheter kan därmed vara till fördel för undervisande lärare för att kunna ge alla elever de anpassningar de har rätt till.
Hur tal i bråkform representeras i matematik varierar. Sollervall (2007) förklarar bland annat hur tal i bråkform kan representeras av täljare och nämnare (exempel: 1/2, 1/4, 1/8), el-ler i skrift (halv, fjärdedel, åttondel). Han konstaterar även att representationer kan ske genom bilder, där olika stora delar är ifyllda (som en halv cirkel). Oavsett hur de representeras går det att omvandla representationerna mellan varandra. Det innebär att om ett tal representeras av 1/2 så kan det omvandlas till en halvt ifylld cirkel och ändå ha samma innebörd, eftersom den centrala innebörden är att det är hälften av en hel.
Undervisningsmetoder
Med undervisningsmetoder menas de metoder som undervisningen grundar sig i hur undervisning ska ske. All undervisning utgår från någon undervisningsmetod, även om lärare inte alltid är medvetna om det. För att så bra undervisning som möjligt ska kunna ske är det bra om lärare är medvetna om vad det är för undervisningsmetod som följs och att det görs
7 medvetet. Det är även bra om det är en fördelaktig undervisningsmetod, som forskning kon-staterat fungerar för att lära ut till elever, för att undervisningen ska ge de resultat som strävas efter. För att förtydliga vad undervisningsmetoder kan innebära, förklarar Sollervall (2007) tal i bråkform med hjälp av tallinjer. Tallinjer är en undervisningsmetod som är menade att bidra till en förståelse för tal i bråkform. Om en lärare använder sig av tallinjer för att utveckla ele-vernas förståelse för bråkform, följer undervisningen därmed en undervisningsmetod som är representerad av tallinjer. Däremot kan forskare lyfta fram samma undervisningsmetod, där samtliga tar upp tallinje som undervisningsmetod, men att arbetet med tallinjer sker på olika tillvägagångssätt. Undervisningsmetoder är därmed de representationssätt och strategier som används i undervisningen för att underlätta inlärning för elever.
Matematiksvårigheter
Specialpedagogiska skolmyndigheten (2020) delar in matematiksvårigheter i två katego-rier. Den första är specifika räknesvårigheter och dyskalkyli, som innebär att elever har svårt för att ta till sig siffror, antal och tal och vad de ska göra med dem i matematiksammanhang. Den andra kategorin är generella matematiksvårigheter, som inrymmer alla andra faktorer för varför en elev kan vara i matematiksvårigheter. Exempelvis kan det bero på läs- och skrivsvå-righeter, koncentrationssvårigheter eller att undervisningen inte är tillräcklig utifrån de behov som eleven har. Specialpedagogiska skolmyndigheten (2020) konstaterar att alla elever har rätt till anpassningar oavsett om de har utredda svårigheter eller inte. Det innebär att elever kan vara i matematiksvårigheter utan att de fått det utrett, men ändå har rätt till anpassning i undervisningen. Detta ställer stora krav på den undervisande läraren, som måste känna till vilka anpassningar som går att göra och hela tiden försöka skapa så bra anpassningar som möjligt till elever.
Metod
Det här kapitlet behandlar sökprocessen för att hitta relevanta artiklar för studien. Sökpro-cessen är baserad på Eriksson Barajas, Forsbergs och Wengströms (2013) riktlinjer om hur en systematisk litteraturstudie kan genomföras genom 6 steg. Steg 1 innebär att bestämma ett område och välja ut sökord. Steg 2 innebär att välja vilka inkluderingskriterier som ska finnas för att sålla bland artiklarna. Steg 3 innebär att välja ut en lämplig databas att genomföra sök-ningen i. Steg 4 innebär att leta reda på andra artiklar som inte ännu är publicerade för att hitta pågående forskning om området. Steg 5 innebär att välja ut artiklar som är relevanta för stu-dien och läsa igenom abstrakten för att kunna sålla bland artiklarna. Steg 6 innebär att läsa de kvarstående artiklarna i sin helhet och sedan utföra en kvalitetsvärdering.
8
Val av databas och hur sökningen fungerar i databasen
För att påbörja litteraturstudien krävdes en databas med artiklar som behandlar undervis-ningsmetoder för tal i bråkform. De databaser som var relevanta för studien var
ERIC(EBSCO) och Web of Science. Mitt val var att använda ERIC(EBSCO), eftersom den är direkt riktad åt utbildning, pedagogik och lärande.
ERIC(EBSCO) gör det möjligt att använda olika block i sökningen, där varje block kan avgränsas med de booleska operatorerna: AND, OR eller NOT. De booleska operatorerna kan även användas i blocken, för att begränsa eller bredda varje block. Det är värt att notera att varje ny sökning som gjorts har bidragit med ett eget block.
Sökprocessen i ERIC(EBSCO) kan ske på två olika sätt. Det första alternativet är att göra fritextsökningar. Fritextsökningar hittar alla artiklar i databasen som innehåller sökorden i ti-tel och abstrakt. Genom att använda denna metod hittas en stor mängd artiklar, eftersom sökorden kan finnas med i titel eller abstrakt även om inte artikeln har ett fokus på sökordet. En fritextsökning riskerar därmed att hitta en stor mängd artiklar som saknar relevans utifrån det som eftersöks.
Den andra sökalternativet är att använda sig av beskrivare (descriptors) för att hitta artik-lar som innehåller specifika nyckelord. Den här metoden innebär att endast nyckelord söks igenom i artiklar, och därför endast ger sökträffar där nyckelord och sökord matchar varandra. Den här metoden preciserar sökningen till att hitta artiklar som utgör sig för att ta upp vissa ämnen. För att utföra en sökning av beskrivare (descriptors) ska ”DE” stå framför varje sökord. I dessa sökprocesser bör sökorden kontrolleras mot Thesaurus, för att kontrollera att sökorden matchar ord som ska användas som nyckelord i akademiska texter. Thesaurus ger även förslag på andra sökord som kan användas för att skapa en bredare eller snävare sökning.
Den här litteraturstudien har använt sig av sökalternativ två, där sökningen gjorts på be-skrivare (descriptors) för att hitta artiklar som innehåller nyckelord. Syftet är att hitta artiklar med ett fokus på de sökord som valts ut och därav bidra till att de artiklar som hittas i sökpro-cessen ska ha en hög relevans i litteraturstudien utifrån syfte och forskningsfråga.
Sökprocessen i databasen
De första sökorden, som är centrala för studien utifrån forskningsfrågan, är ”fraction*” och ”math*”. Syftet med de två sökorden är att rikta sökningen mot matematikämnet med or-det ”math*” och mer specifikt mot tal i bråkform med sökoror-det ”fraction*”. Jag slog ihop de två orden till en sökning, där jag använde mig av AND för att få resultat som använder båda orden. Jag använde mig av trunkeringsmetoden (*) för att få med alla ändelser på orden.
9 Exempelvis kan ”math*” ge resultat som mathematical och mathematics. Jag begränsade även området till referee-granskade skrifter (peer reviewed) och att de skulle vara utgivna mellan 2010 och 2020, för att endast ny forskning skulle hittas som är relevant utifrån dagens skola. Orden som använts i samtliga sökningar har kontrollerats mot Thesaurus, för att fastställa att rätt beskrivare (descriptors) använts i sökprocessen. Den här sökningen gav 425 artiklar.
För att begränsa och rikta in sökningen mot forskningsfrågan användes ytterligare sökord som byggde på den tidigare sökningen, där fokus varit att få fram artiklar riktade mot skolåld-rarna 1–6. Genom att slumpmässigt kolla igenom de olika sökorden för olika artiklar som re-dan sökts fram har jag konstaterat att många artiklar använder sig av ”primary*”, ”elemen-tary*” och ”young learner”, vilket är anledningen till att sökningen inte riktats mot varje års-kurs (grade). Nästa sökning fick därför sökorden ”fraction*”, ”math*”, ”primary*”, ”elemen-tary*” och ”young learner*”. Den nya sökningen använde sig av OR, för att endast ett av al-ternativen krävs för att komma upp som resultat. Jag använde mig av flera sökord för att inte enbart få resultat från vissa länder (exempelvis länder som bara skriver primary school i fra-serna). Efter den här sökningen hittades 267 artiklar.
Nästa begränsning riktade sökningen mot olika metoder för undervisning. De nya sökor-den var: ”Method*”, Teaching strateg*”, ”Classroom practise*”, ”Educat*” och ”instruct*”. Jag använde OR även här, för att endast ett av alternativen skulle behöva finnas med för att finnas med i resultatet. De här sökorden riktade sökningen mot att undervisningsmetoder skulle vara en del av artiklarna. Den här sökningen hittade 264 artiklar.
Eftersom sökningen ännu inte var inriktad mot elever i matematiksvårigheter begränsades sökningen ytterligare med syftet att hitta artiklar med elever i matematiksvårigheter. Jag an-vände mig av sökord för att få med undervisningsmetoder som hjälpte elever som har svårt att förstå tal i bråkform. Jag valde även att ta med ordet ”Disabi*” (disability), eftersom elever med konstaterade svårigheter är inkluderade i svenska klassrum. Det kan även finnas outredda svårigheter hos elever. Det kan därför vara till fördel om lärare är inlästa på undervisningsme-toder riktade till alla olika elever, för att kunna anpassa undervisningen efter varje elevs be-hov. Även här används OR för att endast ett av alternativen ska behöva finnas med i sökresul-taten. Sökorden blev: ”Disabi*”, ”Difficult*”, ”Low-perform*”, ”Problem*”, ”Learning pro-blem*” och “Barrier*”.
Genom att använda alla de tidigare nämnda sökorden så har sökningen riktats mot fråge-ställningen och syfte, vilket gett den slutgiltiga söksträngen som hittat 83 artiklar:
(DE "fraction*" AND DE "Math*") AND (DE "Primary*" OR DE "Elementary*" OR DE "young learner*")) AND (DE "Method*" OR DE "Teaching strateg*" OR DE "Classroom
10 practise*" OR "Educat*" OR DE "instruct*") AND (DE "Disabi*" OR DE "Difficult*" OR DE "Low-perform*" OR DE "Problem*" OR DE "Learning problem*" OR DE "Barrier*") En alternativ redovisning av sökprocessens olika steg redovisas i matris 1 som hittas i bi-lagor.
Manuellt urval
83 artiklar hittades i den tidigare sökprocessen. Däremot är inte alla 83 artiklar relevanta utifrån forskningsfrågan i den här litteraturstudien. Sökprocessen fortsätter genom en manuell genomsökning av de 83 artiklarna utifrån inkluderingskriterier, där titel och abstrakt granskas. Ytterligare inkluderingskriterier har därför skapats för att filtrera fram de artiklar som är rele-vanta utifrån litteraturstudiens syfte och frågeställning. De slutgiltiga inkluderingskriterierna för litteraturstudien presenteras i matris 2. Efter det manuella urvalet återstod 19 artiklar som uppfyllde inkluderingskriterierna.
Matris 2: inkluderingskriterier för litteraturstudien
Granskningsområde Avgränsning
Publiceringstid 2010–2020
Granskning Peer reviewed (referee-granskad)
Deltagare Forskning med inriktning mot elever i
mate-matiksvårigheter och deras utveckling av förståelse för tal i bråkform.
Innehåll Artikeln tar upp minst en
undervisningsme-tod och redogör för meundervisningsme-todens fördelar uti-från resultat.
Forskning Artikeln bidrar med egen forskning (inte
endast redogörelse av andras forskningsre-sultat).
Texttillgänglighet Artiklarna ska finnas tillgängliga i fulltext.
Metod för kartläggning
I samband med det manuella urvalet av artiklar kunde mönster ses i vad artiklarna be-handlade. Dessa mönster blev en första inblick i hur artiklarna kunde kategoriseras. En stor del artiklar hade fokus på olika representationsformer för tal i bråkform, vilket därmed blev den första kategorin för kartläggningen som kallas ”metoder med fokus på
11 representationsformer”. Dessa artiklars forskning utgår från att skapa bra inlärningstillfällen för elever genom att använda sig av olika representationssätt för tal i bråkform. Den andra ka-tegorin som kunde ses var ”planeringspåverkande metoder”. Artiklarna i denna kategori be-handlar lektionsupplägg för att skapa bra inlärningstillfällen för elever. Det innebär att lekt-ionens upplägg och hur elever arbetar under lektionen får konsekvenser för hur bra inlärnings-tillfället blir. Den tredje kategorin som skapades var ”metakognitiva metoder”. I kategorin de-las artiklar in som har fokus på de fördelar som finns i att hjälpa elever att utveckla sin meta-kognitiva förmåga, men även hur förmågan kan utvecklas med hjälp av lärare. Den fjärde ka-tegorin som skapades var ”språkliga metoder”. I denna kategori delas artiklar in som har fo-kus på språkets betydelse för att skapa bra inlärningstillfällen för elever. En ”övrigt” kategori skapas även ifall det finns artiklar som inte passar in i de 4 tidigare kategorierna.
Metod för fördjupning
Efter att kartläggningen var genomförd fortsatte indelningen för att skapa en fördjupning om undervisningsmetoderna, för att förtydliga vad undervisningsmetoderna verkligen innebär för undervisning. Varje artikel genomlästes för att ta reda på undervisningsmetoder som kan få fördelaktiga konsekvenser för undervisning. Fördjupningsdelens upplägg följer samma mönster som kartläggningen (indelning efter de tidigare nämnda fem kategorierna), men med ett fokus på de undervisningsmetoder som utlästs i artiklarna. Flera artiklar behandlar lik-nande undervisningsmetoder, vilket innebär att de sammanställts under samma rubrik.
Validitet
Validitet innebär hur väl studien mäter det som studien är tänkt att mäta (Eriksson Bara-jas, Forsberg & Wengström, 2013). Studien har utgått från att vara så utförlig i användningen av sökord som möjligt. Med det menas att jag försökt hitta så många ord som möjligt som kan anknytas till relevanta artiklar för studien. Genom att använda sökord som primary* och ele-mentary* ramar jag in forskning från fler länder, eftersom forskning från vissa länder oftast använder ett av alternativen. Skulle bara primary* eller elementary* användas, och inte båda, skulle sökningen bli vinklad mot länder som använder det specifikaordet. Konsekvenserna skulle exempelvis kunna bli att all forskning som hittas endast kommer från USA och eventu-ella andra länder som använder elementary school som beskrivare. Metoden har därmed un-dersökt den forskning som finns utan att begränsa vilka länder som gjort studierna. Det inne-bär att studien undersöker allt tillgängligt materiell som behandlar ämnet och därmed hittat de studier som är relevanta utifrån forskningsfrågan och därmed mäter artiklar som studien haft syfte att mäta.
12 Genom användningen av Thesaurus så har jag fastställt att orden som är med i sökproces-sen är relevanta i akademiska sammanhang. Det innebär att orden som är med som sökord, är fastställda som ord som ska användas som beskrivare (descriptors) för artiklar. Det gör att sökorden får fram de artiklar som är relevanta utifrån studien och därmed gör att orden ger goda möjligheter till att hitta artiklar som studien är tänkta att mäta.
ERIC(EBSCO) valdes som sökmotor för litteraturstudien, eftersom den är direkt riktad åt utbildning, pedagogik och lärande, vilket är exakt vad studien behandlar. Andra begräns-ningar, som peer reviewed, gör att endast artiklar som blivit referentgranskade hittas. Artik-larna begränsades även till åren 2010 till 2020, för att endast få fram forskning utifrån dagens skola, vilket innebär forskning som inte är utdaterad.
Reliabilitet
Reliabilitet innebär hur väl studien kan göras om igen, genom att följa metoden. För att hålla en hög reliabilitet bör resultaten från upprepade studier ge ungefär samma resultat (Er-iksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Den här litteraturstudien har beskrivits så noga i detalj som möjligt, med tydliga beskrivningar om hur besluten sett ut. Metodavsnittet beskrivs i kronologisk ordning för att förtydliga hur metoden arbetats fram. Det finns även be-skrivningar till hur sökmotorn fungerar för att förtydliga varför sökningen ser ut som den gör och vilka konsekvenser varje block i sökningen får, speciellt varför varje block preciserar ar-tiklarnas relevans utifrån studiens syfte och frågeställningar. Det finns även en matris, kallad ’Bilaga 1’, som visar en alternativ redovisning av metod för att underlätta förståelsen för varje steg i sökprocessen.
Etiska överväganden
Etiska överväganden i litteraturstudier ska undvika ohederligheter och fusk, som därmed leder till förvrängda resultat (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Litteraturstu-dien inkluderar alla de artiklar som kan ge svar på forskningsfrågan. Det innebär att alla artik-lar som hittats och varit relevanta utifrån studiens forskningsfråga inkluderats i litteraturstu-dien. De artiklar som presenteras i studien har inte medvetet förvrängts för att rikta studien åt en förutfattad tanke. Alla artiklar som kan svara på litteraturstudiens forskningsfråga har pre-senterats för att ta reda på alla olika resultat utifrån artiklarna hittade i sökningen.
Resultat och analys
I den här delen av litteraturstudien presenteras hur artiklar har kategoriserats samt en kor-tare redogörelse för dess resultat. Slutligen sammanställs de olika undervisningsmetoderna för att förtydliga vad varje undervisningsmetod innebär för undervisning i fördjupningsavsnittet.
13
Översikt
De 19 artiklarna delades in i fem kategorier. Artiklarnas indelning i de olika kategorierna presenteras kort i figur 1 nedan. En tydligare indelning, där varje artikel representeras genom referens i varje kategori, finns i slutet av arbetet som bilaga (bilaga 2).
Kartläggningen visar att forskningen har ett starkt fokus på representationsformers bety-delse för att skapa bra inlärningstillfällen för elever i matematiksvårigheter. Nio artiklar dela-des in i kategorin, vilket innebär nästan hälften av artiklarna (9 av 19). Följande blev ”plane-ringspåverkande metoder”, där fem artiklar delats in. Två artiklar har delats in i kategorin ”metakognitiva metoder”, en i ”språkliga metoder” och två i ”metoder för utveckling av reso-nemangsförmåga.
Först presenteras resultatet av kategorierna, med en översiktlig redogörelse av varje arti-kels resultat. Sedan följer en fördjupad syntes av de undervisningsmetoder som beskrivs i översikten.
Metoder med fokus på representationsformer
Artiklar placerade i denna kategori har ett fokus på att elever ska lära sig genom olika re-presentationsformer för tal i bråkform. Nio artiklar placerades i kategorin och redovisas följande. 9 5 2 1 2
Figur 1: Fördelning av artiklar bland kategorier
Metoder med fokus på repesentationsformer Planeringspåverkande metoder
Metakognitiva metoder Språkliga metoder
14
Improving Fraction Understanding in Sixth Graders With Mathematics Difficulties: Effects of a Number Line Approach Combined With Cognitive Learning Strategies.
Arti-kelns forskning fokuserar på tallinjer som representationsform för tal i bråkform. ArtiArti-kelns re-sultat visar att tallinjer är en fördelaktig undervisningsmetod för elever i matematiksvårigheter (Barbieri, Rodrigues, Dyson & Jordan, 2019). Studien gjordes på elever i årskurs 6, med syf-tet att tallinjer skulle kunna vara till hjälp för elever som redan fått undervisning om tal i bråk-form men som fortfarande hade svårt att förstå vad tal i bråkbråk-form är. Undervisningsmetoden ökade elevers förståelse för tal i bråkform, främst genom en ökning i förståelse för storleks-ordning av talen och i att placera tal i bråkform rätt på en tallinje.
Reconstructing the unit on the number line: Tasks to extend fourth graders’ fraction understandings. Artikeln utgår från en metod som kallas för ”reconstructing the unit”.
Meto-den innebär att elever ska försöka placera tal på en tallinje (exempelvis 1) när de inte har mer än 2 bråktal markerade på tallinjen. Resultaten från studien visar att elever utvecklar sin för-ståelse för tal i bråkform genom metoden (Cramer, Monson, Ahrendt, Wyberg, Pettis & Fa-gerlund, 2019). Metoden kräver en förförståelse för tal i bråkform och är en metod där elever får möjlighet att visa sina kunskaper för tal i bråkform och bygga vidare på sin förståelse för vad tal i bråkform är.
Representational Flexibility and Problem-Solving Ability in Fraction and Decimal Number Addition: A Structural Model. Artikelns forskning behandlar
representationsom-vandlingar som undervisningsmetod. Elever arbetade med addition av tal i bråkform och dec-imaltal, där representationsomvandlingar varit i fokus (Deliyianni, Gagatsis, Elia & Panaoura, 2016). Resultaten i studien skiljde sig åt beroende på hur komplexa uppgifter det var som in-troducerades. Uppgifter med flera olika representationsomvandlingar, och ordningen som re-presentationsomvandlingarna skedde i, påverkade elevers uppfattning om uppgiften. Metoden visade sig kräva en god förmåga i att omvandla representationssätt men även problemlös-ningsförmåga, vilket tränas genom denna undervisningsmetod.
The Effect of Using Storytelling Strategy on Students’ Performance in Fractions.
Arti-kelns syfte är att undersöka vilken roll som berättelser kan ha i att undervisa tal i bråkform. Berättelserna skapas med fokus på tal i bråkform, med syfte att skapa intresse för uppgiften men även för att de ska vara enkla att förstå för elever. Resultaten visar att låg- och mellan-presterande elever harhaft mest nytta av undervisningsmetoden (Lemonidis & Kaiafa, 2019). Forskarna konstaterar att tal i bråkform måste placeras i väluttänkta berättelser för att metoden ska vara till hjälp för elever.
15
Remediating Difficulty with Fractions for Students with Mathematics Learning Diffi-culties. Artikeln utgår från flera undervisningsmetoder för att lära ut tal i bråkform. Resultaten
visar att elever behöver förstå matematik med heltal innan de introduceras till tal i bråkform (Namkung & Fuchs, 2019). Resultaten visar även att det är fördelaktigt för elever i matema-tiksvårigheter med undervisning i små grupper med fokus på att skapa en förståelse för att storleksordna tal i bråkform och tydliga instruktioner för tillvägagångssätt i arbete med tal i bråkform.
Using the concrete representational abstract (CRA) instructional framework for math-ematics with students with emotional and behavioral disorders. Artikeln har fokus på elever
i matematiksvårigheter, speciellt elever i matematiksvårigheter som även har EBD (emotional and behavioral disorder). Resultaten i studien visar att konkreta representationer, aktiviteter, ordproblem, grupperingar och hur klassen är fördelad är viktiga delar för att elever i dessa problem ska lyckas (Peltier & Vannest, 2018). Vad som används och hur lektionen planeras är däremot upp till läraren, snarare än att forskningen ger en direkt inblick i hur lektioner ska se ut för att vara fördelaktiga för elever.
Preparing for Algebra by Building Fraction Sense. Artikeln är riktad mot
ningsmetoder med syfte att hjälpa elever i matematiksvårigheter som haft flera års undervis-ning med tal i bråkform. Artikeln konstaterar flera fördelaktiga undervisundervis-ningsmetoder där tall-linjer är en central del för att skapa förståelse. Tanken är att elever ska börja med att placera enkla bråk på en tallinje och sedan introduceras till svårare tal (Rodrigues et al., 2016). Syftet är att inte förvirra elever genom att introducera svåra eller krångliga tal tidigt, utan snarare presentera enkla tal tills elever skapat en ordentlig grundförståelse för vad tal i bråkform är.
Using the Number Line to Promote Understanding of Fractions for Struggling Fifth Graders: A Formative Pilot Study. Artikeln är riktad mot att hjälpa elever i
matematiksvårig-heter att skapa en förståelse för tal i bråkform genom användning av tallinjer (Schumacher et al., 2018). Studien använder sig av tallinjer som representationssätt, men med blandade upp-gifter som elever löst. Elever har använt tallinjerna i studien för att markera tal, storleksordna, resonera om varför ett svar är rätt eller fel och för att underlätta förståelsen för tal i bråkform med de fyra räknesätten. Resultaten visar att tallinjer kan användas för att underlätta elevers förståelse för tal i bråkform.
Model Drawing Strategy for Fraction Word Problem Solving of Fourth-Grade Stu-dents With Learning Disabilities. Artikeln har fokus på att hjälpa elever i
matematiksvårig-heter genom användning av stapeldiagram för att lösa ordproblem. Eleverna i studien fick träna på detta genom att följa sex steg (Sharp & Shih Dennis, 2017). Det första steget var att
16 läsa problemet högt. Det andra var att bestämma vad som är viktigt i ordproblemet. Det tredje var att rita ett stapeldiagram som markerar en hel och sedan talet i bråkform som är del av uppgiften. Det fjärde steget är att eleven ska läsa igenom uppgiften igen och markera varje del i diagrammet. Steg fem innebär att eleven ska hitta svaret på uppgiften genom att se över dia-grammet. Slutligen i steg sex ska eleven skriva ner svaret och se över uppgiften igen för att klargöra om svaret är rimligt. Resultaten i studien visar att deltagande elever presterat bättre efter att metoden introducerades, vilket tyder på att de sex stegen hjälpt eleverna att skapa en förståelse för tal i bråkform.
Planeringspåverkande metoder
I kategorin ”planeringspåverkande metoder” placerades fem artiklar. Artiklarna i katego-rin behandlar undervisningsmetoder som skapar goda inlärningsmöjligheter genom specifik planering och utförande av lektioner.
The implementation of problem-based learning in a Taiwanese primary mathematics classroom: lessons learned from the students’ side of the story. Artikeln utgår från
undervis-ningsmetoden PBL (problem-based learning). Metoden utgår ifrån att elever arbetar i grupp med problemlösningsaktiviteter (Li & Tsai, 2017). Syftet är att elever ska diskutera olika svar och resonera om varför det är rätt eller fel. Resultaten visar att elever skapar en bättre förstå-else när de förklarar sitt svar för andra elever, men även att de lär sig av varandra när de dis-kuterar och försöker komma fram till ett gemensamt svar.
Sequence Matters but How Exactly? A Method for Evaluating Activity Sequences from Data. Artikeln undersöker i vilken ordning elever bör introduceras för olika moment i arbetet
med tal i bråkform för att skapa bra inlärningsmöjligheter. Resultatet i studien visar att elever först ska introduceras till att jämföra tal i bråkform, sedan att skapa och markera tal i bråk-form på en tallinje och sist addition med tal i bråkbråk-form (Doroudi, Holstein, Aleven & Brun-skill, 2016). Resultaten visar även att elever ska träna på sin förståelse för tal i bråkform innan de tränar på att få flyt i arbetet.
Learning Alone or Together? A Combination Can Be Best! Artikeln undersöker om
in-dividuellt arbete, kollaborativt arbete eller en kombination av båda är mest givande för elevers utveckling av förståelse för tal i bråkform (Olsen, Rummel & Aleven, 2017). Studien visar att en kombination av både individuellt och kollaborativt arbete är mest givande för elever. Däre-mot hade alla elevgrupper visat på ökad förståelse utifrån alla tre arbetssätt, men de grupper som kombinerade arbetsmetoderna visade på en större total höjning i förståelse utifrån tester. Elever i årskurs 4 presterade bättre utifrån den kombinerade metoden än vad elever i årskurs 5
17 gjorde. Det innebär att en kombination av de två arbetssätten kan vara mest gynnande för ele-ver som inte skapat en god förståelse för tal i bråkform.
Making connections among multiple graphical representations of fractions: sense-making competencies enhance perceptual fluency, but not vice versa. Artikelns syfte är att
utforska hur förståelse för tal i bråkform och flyt i arbetet med tal i bråkform ska kombineras (Rau, Aleven & Rummel, 2017). Ska det ena övas in före det andra? Studiens resultat visar att förståelse för tal i bråkform är viktigt att lära sig innan eleverna ska lära sig att få flyt i arbetet med tal i bråkform (Rau, Aleven & Rummel, 2017). Elever som försöker få flyt i arbetet in-nan de lärt sig förståelsen, har en tendens till att missa viktiga aspekter av talen. Det gör att även om de försöker lära sig förståelse efter flyt, så har de allmänt svårare att ta till sig in-formationen och presterar därmed sämre i längden gentemot om de skulle lärt sig förståelse före flyt. Att ha flyt i arbetet för tidigt hämmar därmed inlärningen av förståelsen för tal i bråktal.
Examining a Preteaching Framework to Improve Fraction Computation Outcomes Among Struggling Learners. Artikeln undersöker hur metoden ”preteaching” kan hjälpa
ele-ver i matematiksvårigheter. Främst går metoden ut på att lära eleele-ver vissa grundkunskaper som de behöver för att kunna lösa tal i bråkform, vilket görs utanför den vanliga undervis-ningen som extra stöd. Resultatet från studien visar att ”preteaching” fungerar som bäst för elever när de får lära sig tal i bråkform i tre olika faser (Watt & Therrien, 2016). Den första fasen har fokus på att använda sig av konkreta representationer i undervisningen med diskuss-ioner och mycket stöd av lärare. Den andra fasen fokuserade på andra representatdiskuss-ioner av tal i bråkform, som bilder. Läraren ger stöd genom återkoppling och strategier för att lösa talen. Den tredje fasen använder sig av de tidigare faserna men abstrakta tal, exempelvis 1/2, intro-duceras och jämförs med olika representationssätt. I slutet av varje fas löste elever fem upp-gifter själva, utan stöd av lärare innan de gick vidare till nästa fas. Resultaten visar att meto-den fungerar för att hjälpa elever i matematiksvårigheter.
Metakognitiva metoder
Två artiklar placerades i kategorin ”metakognitiva metoder”. Artiklarna behandlar under-visningsmetoder med syfte att utveckla elevers metakognition.
SRSD Fractions: Helping Students at Risk for Disabilities Add/Subtract Fractions With Unlike Denominators. Artikeln behandlar forskning kring en metod som kallas för
SRSD (self-regulated strategy development). Utgångstanken är att metoden ska hjälpa elever att skapa en bättre attityd till ämnet, få en ökad förståelse och bli självständiga i sitt arbete
18 (Ennis & Losinski, 2019). Eleverna tränades i att addera och subtrahera tal i bråkform, för-korta bråk och att göra representationskonverteringar. All träning utgick från minnesknep som eleverna fick träna på i flertalet lektioner innan de gick vidare till nästa steg. Studien visar att minnesknepen hjälper elever i matematiksvårigheter att utföra beräkningar av tal i bråkform. Minnesknepen hjälpte även eleverna i senare tillfällen när nya uppgifter som skiljde sig från de tidigare introducerades. Metoden kan därmed vara effektiv för att hjälpa elever, men är tidskrävande. Studien uppnådde resultatet i små grupper, vilket skulle kunna påverka hur väl metoden fungerar i vanliga klassrum med många elever.
A metacognitive intervention for teaching fractions to students with or at-risk
for learning disabilities in mathematics. Artikelns forskning är baserad på en metod som
kal-las för FACT+R2C2. FACT står för ”Figure out a plan, Act on it, Compare my mathematical reasoning with a peer, Tie it up in an argument” (Hacker, Kiuhara & Levin, 2019, s.3). R2C2 står för “Restate, Reasons, Counterclaim, Conclusion” (Hacker, Kiuhara & Levin, 2019, s.3). Tanken är att elever ska utgå från frågeställningar som de själva besvarar för att öka kvaliteten på svar och resonemang. Studien visar på blandade resultat, där vissa grupper presterat bättre. Forskarna diskuterar anledningen till att resultaten kan skilja sig och menar att det antagligen beror på hur väl lärarna följde metoden under lektionstiden. Det konstateras även att metoden är krävande för lärare eftersom elever måste ledas genom varje steg fram tills de lärt sig att bli självständiga i sitt arbete, vilket även kan vara tidskrävande (Hacker, Kiuhara & Levin, 2019). Det kan därmed tänkas att metoden passar bäst i små grupper, eftersom lärarens roll blir cen-tral för att metoden ska lyckas.
Språkliga metoder
I kategorin ”språkliga metoder” placeras de artiklar som har fokus på språkets använd-ning för att skapa bra inläranvänd-ningsmöjligheter.
Fallacious argumentation in student reasoning: Are there benefits? Artikeln
undersö-ker hur felaktiga och kontroversiella argument kan användas för att skapa diskussioner bland elever. Syftet är att elever ska lära sig genom att diskutera resonemang och argument om var-för ett svar är fel. Genom att diskutera fel och var-föra resonemang om varvar-för det är ett felaktigt svar kan eleverna skapa en bättre förståelse för tal i bråkform (Mueller & Yankelewitz, 2014). Det innebär att diskussioner om felaktiga svar kan ge elever möjligheter till att utveckla sin förståelse för tal i bråkform.
19
Metoder för utveckling av resonemangsförmåga
I kategorin ”metoder för utveckling av resonemangsförmåga” placerades två artiklar. Ar-tiklarna i den här kategorin har ett fokus på att utveckla elever i matematiksvårigheters reso-nemangsförmåga för tal i bråkform.
Teaching Benchmark Strategy for Fifth-Graders in Taiwan. Artikeln handlar om
forsk-ning kring en metod som kallas för ”benchmark strategy”. Metoden går ut på att lära elever att tänka utifrån specifika tal för att lättare kunna storleksordna andra tal i bråkform. Ett exempel är hur 1/2 är en bra utgångspunkt för att kunna storleksordna 3/5 och 4/9, eftersom 3/5 är större än en halv, medan 4/9 är mindre än en halv (Yang & Lai, 2013). Genom att använda denna strategi kan elever skapa en bättre förståelse och snabbare storleksordna tal i bråkform.
Challenging tasks lead to productive struggle! Artikeln presenterar metoden ”productive
struggle”. Metoden går ut på att skapa materiell där eleverna inte direkt kan se svaret utan måste skapa resonemang om varför svaret skulle kunna vara på ett visst sätt. Tanken är att ele-verna ska lära sig genom att försöka komma på metoder för att lösa uppgifter som de inte vet hur de ska lösa på förhand (Livy, Muir & Sullivan, 2018). Däremot konstateras det att meto-den inte har en tydlig struktur, utan snarare att det är upp till meto-den undervisande läraren att skapa eller hitta materiell som är utmanande för elever på ett sådant sätt att eleverna inte vet hur de ska gå tillväga från början.
Fördjupande syntes
I den här delen av litteraturstudien beskrivs de undervisningsmetoder som litteraturstu-dien kommit fram till. Undervisningsmetoderna beskrivs utifrån de sätt som forskning lyfter fram som fördelaktigt för att undervisa elever i matematiksvårigheter om tal i bråkform och de mönster som kan ses mellan artiklarna.
Metoder med fokus på representationsformer
Undervisningsmetoden med störst stöd från forskning var tallinjer, som behandlades av fem artiklar. Däremot hade forskarna olika syn på hur tallinjer kan användas för att vara till hjälp för elever i matematiksvårigheter.
Enligt Rodrigues et al. (2016) kan tallinjer användas på flera olika sätt, men de är främst ett stöd för att representera tal i bråkform för att talen ska bli enklare för elever att förstå och resonera om.
Rodrigues et al. (2016) beskriver hur användning av en tallinje kan hjälpa elever förstå tal i bråkform, speciellt de som har svårt att förstå vad tal i bråkform innebär. Genom att använda en tallinje markerad med 0 till 2, så kan enkla tal i bråkform presenteras och placeras på
20 tallinjen som representationer. Rodrigues et al. (2016) rekommenderar att endast använda enkla tal i början av inlärningen för elever, speciellt de som har svårt för förståelsen för vad tal i bråkform innebär. De menar att genom användningen av enkla tal förvirras inte eleverna lika mycket som om de blir utsatta för flera tal med olika nämnare. De rekommenderar istället att använda tal som 1/2, 2/2 och 3/2 till att börja med, då eleverna kan skapa en förståelse för bråkformen utifrån dem och speciellt i samband med att placera dem på en tallinje.
Rodrigues et al. (2016) beskriver sedan undervisningssätt som kan vidareutveckla elever-nas förståelse. Först kan eleverna få lära sig att placera andra tal i bråkform på tallinjen, som markeringar av fjärdedelar. Det kan sedan kombineras med markering av halvor, för att för-tydliga att 2/4 är samma som 1/2, och 4/4 är samma som 2/2. Vidare kan eleverna träna på att addera och subtrahera tal i bråkform med hjälp av tallinjen.
Rodrigues et al. (2016) rekommenderar att använda 3 till 5 minuter av varje lektion för att lära ut om strategier och generellt om vad tal i bråkform innebär. Det kan göras genom att ele-verna snabbt får bestämma hur stort ett tal i bråkform är i jämförelse med en hel. Vidare kan eleverna träna på att snabbt beräkna tal som: hur många fjärdedelar får plats i två hela? Detta kan göras i form av kortspel som är enkla att tillverka. Syftet är att utveckla elevernas flyt i att använda multiplikation för att effektivt hitta svaret. När eleverna börjar få en bra förståelse för tal som halvor, fjärdedelar och åttondelar kan fler nämnare introduceras.
Genom att gradvis introducera svårare uppgifter för elever att lösa med hjälp av tallinjer utvecklas deras förståelse för tal i bråkform och hur de kan använda tallinjen. Det skapar även möjligheter till att skapa diskussioner om att alla reella tal kan representeras med en tallinje. Barbieri et al. (2019) och Schumacher et al. (2018) konstaterar att det är viktigt för elever att skapa den förståelsen. De menar att den förståelsen är viktig för att elever i matematiksvårig-heter ska kunna skapa en god förståelse för vad tal i bråkform är. Att arbeta med att skapa en förståelse för hur reella tal kan representeras med en tallinje är därmed något som två artiklar är överens om.
För att ytterligare ge elever möjligheter att utveckla sin förståelse för tal i bråkform med hjälp av tallinjer går det att använda sig av metoden ”reconstructing the unit”. Syftet är att ele-ver ska placera ett tal på en tallinje när de endast har två andra tal att utgå ifrån (Cramer et al., 2019). Tanken är att elever ska utmanas i att förstå vilka tal i bråkform som är lika stora men även att skapa en förståelse för storleken av tal i bråkform. Genom att exempelvis utgå från punkterna 1/4 och 3/4 ska elever kunna komma fram till vart 1/2 är på tallinjen.
Hur tallinjer används kan därmed skilja sig åt, men de fem artiklarna lyfter fram fördel-aktiga undervisningsmetoder som utgår från att tallinjer är ett fördelaktigt representationssätt
21 för att lära ut till elever i matematiksvårigheter. Tallinjer visar sig därmed vara en flexibel undervisningsmetod som kan användas på flera olika sätt.
En annan undervisningsmetod har fokus på att elever ska lära sig att storleksordna tal i bråkform (Namkung & Fuchs, 2019). I den undervisningsmetoden lyfter de fram tallinjer som ett möjligt verktyg i träningen av att storleksordna tal, där tallinjer konstateras vara en fördel-aktig metod för att träna storleksordning. Däremot är det storleksordningen som är i fokus, där de lyfter fram storleksordningen som den centrala delen för elever att lära sig, men att tallinjer är en metod att ta hjälp av för att skapa en förståelse. Undervisningsmetoden tar därmed hjälp av tallinjer och stödjer de andra artiklarna om tallinjers resultat om att tallinjer är fördelaktiga för undervisning av tal i bråkform för elever i matematiksvårigheter.
Tallinjer kan däremot uppfattas som abstrakta för elever. Att använda konkreta represen-tationer kan därför vara fördelaktigt för elever. Konkreta represenrepresen-tationer är användbara för att underlätta förståelsen för tal i bråkform (Peltier & Vannest, 2018). Det innebär att använda fysiska objekt som representationer av tal i bråkform. Exempelvis kan stavar eller kulor mot-svara delar av en helhet. Genom användningen av konkreta representationer blir talen mindre abstrakta för elever, vilket underlättar förståelsen med tanke på att tal i bråkform kan uppfatt-tas som abstrakta. För att de konkreta representationerna ska vara till hjälp behöver lärare bi-dra med tydliga instruktioner om hur de ska användas och varför de konkreta representation-erna fungerar att använda i beräkningarna (Peltier & Vannest, 2018). Konkreta representat-ioner kan implementeras i den vanliga undervisningen som stöd för elever i matematiksvårig-heter, för att de lättare ska kunna förstå vad tal i bråkform är. Peltier och Vannest (2018) me-nar därmed att elever i matematiksvårigheter kan behöva använda konkreta representationer tillsammans med den vanliga undervisningen för att skapa så goda förutsättningar som möjligt för att kunna skapa en förståelse för tal i bråkform. De konstaterar att eleverna behöver kon-kreta representationer för att inte uppgifterna ska bli abstrakta och svåra att förstå.
Lemonidis och Kaiafa (2019) utgår också från att konkretisera undervisningen, för att undvika att undervisningen blir abstrakt. Den undervisningsmetod som de presenterar innebär att implementera matematik i berättelser, för att skapa en koppling till vardagen och att kon-kretisera matematiken. När uppgiften presenteras i form av en berättelse underlättas elevernas förståelse för uppgiften. Enligt Peltier och Vannest (2018) och Lemonidis och Kaiafa (2019) innebär detta att elever i matematiksvårigheter främst behöver få hjälp att skapa en förståelse för tal i bråkform genom att göra undervisningen mer konkret och enkel att förstå.
Deliyianni et al. (2016) och Sharp och Shih Dennis (2017) tar upp två undervisningsme-toder som kan vara svåra för elever. Den första undervisningsmetoden handlar om
22 representationsomvandlingar. Elevers kunskaper i att omvandla tal i bråkform mellan olika representationssätt har visat sig viktigt för elevers färdigheter i att lösa och förstå sig på tal i bråkform (Deliyianni, Gagatsis, Elia & Panaoura, 2016). Genom att träna på att omvandla re-presentationer skapar elever en djupare förståelse för vad tal i bråkform är. Det finns flera olika representationssätt där träningen kan ske. Exempelvis är det möjligt att träna omvand-ling mellan olika bilder, symboler, diagram eller textform. Det går även att omvandla tal i bråkform till procent och decimaltal. Genom att omvandla mellan olika representationssätt fördjupas elevers förståelse för vad talen står för. Det innebär att representationsomvandlingar är en viktig undervisningsmetod för att hjälpa elever i matematiksvårigheter att förstå tal i bråkform.
Den andra undervisningsmetoden, som är skriven av Sharp och Shih Dennis (2017), lyf-ter fram stapeldiagram som representationssätt för tal i bråkform. För elever i matematiksvå-righeter kan problemlösningsuppgifter vara svåra att förstå sig på. Speciellt att hitta vilka de-lar i problemlösningsuppgifter som är relevanta och viktiga för att kunna lösa uppgiften. Ge-nom att leta reda på alla olika delar i uppgiften som går och skriva in dem i ett stapeldiagram kan elever lättare skapa en förståelse för vad som är viktigt i uppgiften (Sharp & Shih Dennis, 2017). Tanken är att det är enklare att lösa uppgifter när alla delar är inskrivna i ett stapeldia-gram eftersom all information är sammanställt bredvid varandra.
Undervisningsmetoderna representationsomvandlingar och stapeldiagram kräver en god förståelse för tal i bråkform av elever gentemot de sju tidigare artiklar som nämnts. De två undervisningsmetoderna kräver att elever redan har en förståelse för vad tal i bråkform är för att de ska kunna följa metoderna. Det innebär att sju artiklar har fokus på att skapa en grund-läggande förståelse för elever i matematiksvårigheter, medan två artiklar har ett fokus på att vidareutveckla elevers förståelse för tal i bråkform.
Planeringspåverkande metoder
Planeringspåverkande metoder innebär undervisningsmetoder som har en övergripande påverkan på hur lektioner planeras och utförs. Hur lärare planerar och utför lektioner kan få en stor påverkan på hur bra lektioner blir för elevers inlärningsmöjligheter. De fem undervis-ningsmetoderna presenteras och slutligen jämförs de mot varandra.
Undervisningsmetoden PBL (problem-based learning) utgår ifrån problemlösningsaktivi-teter som är tänkta att utmana och bidra till elevers utvecklade förståelse för tal i bråkform (Li & Tsai, 2017). För att elever ska kunna utvecklas tränas flera färdigheter utifrån PBL. Den första färdigheten är att förstå täljare och nämnare, den andra är att förstå lika stora tal i
23 bråkform, den tredje är att räkna med tal i bråkform med de fyra räknesätten och det fjärde att omvandla från tal i bråkform till decimaltal och procent. Undervisningsmetoden kan utföras på olika sätt där den undervisande läraren ska skapa och anpassa materialet som elever ska an-vända. Däremot är det tänkt det ska vara fördelaktigt att följa de fyra färdigheterna beskrivna ovan i ordning för att ge en bra struktur på lektionsinnehållet med problemlösningsaktiviteter.
Lärare väljer när elever ska introduceras till nya delar av undervisningen. Däremot är det viktigt att inte introducera nytt för snabbt, eftersom det kan få konsekvenser för elevers inlär-ning. I arbetet med tal i bråkform är det viktigt att se till att alla elever skapar en bra förståelse för vad tal i bråkform är och innebär innan elever tränas i att skapa flyt i arbetet. Om inte ele-ver skapar en förståelse för vad tal i bråkform innebär innan de försöker mängdträna in upp-gifter för att få ett bra flyt i arbetet kan det bli svårare för elever att skapa förståelsen i efter-hand (Rau, Aleven & Rummel, 2017). Elever som försöker få flyt i arbetet innan de lärt sig förståelsen, har en tendens till att missa viktiga aspekter av talen. Det innebär att även om de försöker lära sig förståelse efter flyt, så har de allmänt svårare att ta till sig informationen och presterar därmed sämre i längden gentemot om de skulle lärt sig förståelse före flyt från bör-jan. Att ha flyt i arbetet för tidigt hämmar därmed inlärningen av förståelsen för tal i bråktal.
På ett liknande sätt förklarar Doroudi et al. (2016) att elever bör tränas i att jämföra tal i bråkform och sedan att placera dem på en tallinje. Det innebär att elever ska träna sin förstå-else innan de går vidare till andra moment. Efter elever tränat på detta kan de gå vidare till svårare uppgifter, som att addera med tal i bråkform.
Olsen et al. (2017) konstaterar att det finns fördelar både med individuella och kollabora-tiva arbetssätt. Det kollaborakollabora-tiva arbetssättet ger eleverna möjligheten att diskutera och bilda en uppfattning om ämnet tillsammans med andra elever. Det ger även eleverna möjligheten till att vara sociala med andra elever, vilket kan öka elevernas intresse för att arbeta vidare. Ett kollaborativt arbetssätt kan därmed vara mer givande för att utveckla elevernas begreppsför-ståelse. Det individuella arbetssättet kan däremot vara mer givande då eleverna får träna själva på att lösa uppgifter, vilket kan skapa mer flyt i arbetet för elever, då de inte behöver förklara vad de gör för andra.
Olsen et al. (2017) konstaterar att en kombination av både individuellt och kollaborativt arbete är fördelaktigt för elever. Speciellt har kombinationen varit fördelaktig i fasen där ele-ver ska skapa en grundläggande förståelse för tal i bråkform. Undervisningsmetoden har inte visat lika bra resultat i klasser där elever redan skapat en grundläggande förståelse, men den har fortfarande bidragit till en förbättring i elevers förståelse. Undervisningsmetoden kan
24 därför bidra till elevers lärande, men den passar bäst för klasser där elever ska skapa en grund-läggande förståelse för tal i bråkform.
Undervisningsmetoden ’förinlärning’ går ut på att elever i matematiksvårigheter ska få extratillfällen på sig att lära in de förkunskaper som behövs för kommande undervisning. Undervisningsmetoden utgår även från CRA (concrete-representational-abstract) som är en metod där elever först får träna med hjälp av konkreta representationer, sedan andra represen-tationer och slutligen arbeta med abstrakta tal som representeras av symboler (Watt & Ther-rien, 2016). Kombinationen av förinlärning och CRA innebär att elever får en god chans till att förbättra sina förmågor i beräkningar och förståelse för tal i bråkform.
Gemensamt för undervisningsmetoderna är att lektioners upplägg kan få en stor betydelse för att skapa goda förutsättningar till lärande. Däremot skiljer sig metoderna i tillvägagångs-sätt för att skapa föruttillvägagångs-sättningar. Rau, Aleven och Rummel (2017) och Doroudi et al. (2016) konstaterar att elever behöver skapa en grundläggande förståelse innan de arbetar med mängdträning av uppgifter. Samtliga metoder i kategorin utgår främst ifrån att elever ska skapa en grundläggande förståelse.
Metakognitiva metoder
De två undervisningsmetoderna för metakognitiva metoder som hittats i litteraturstudien skiljer sig åt. Därför presenteras båda skilt från varandra, eftersom de presenterar tydliga in-struktioner om utförandet för att undervisningsmetoden ska fungera att använda i skola. Däre-mot har metoderna det gemensamma syftet att elever ska skapa en förståelse och reflektera över sitt eget lärande. Båda metoderna fokuserar på att elever i matematiksvårigheter ska kunna använda olika strategier för att reflektera över det egna arbetssättets gång och därmed bli mer medvetna om sitt eget lärande.
Hacker, Kiuhara och Levin (2019) presenterar sin metod kallad FACT+R2C2. FACT står för ”figure out a plan, Act on it, Compare my mathematical reasoning with a peer, Tie it up in an argument” (Hacker et al., 2019, s.3). R2C2 står för “Restate, Reasons, Counterclaim, Con-clusion” (Hacker et al., 2019, s.3).
Varje del i FACT+R2C2 kan motsvaras av en frågeställning, som bör tränas med lärare, för att nå resultat. För att förtydliga detta följs här en beskrivning av det Hacker et al. (2019) tar upp som arbetssätt för FACT+R2C2.
F kan besvaras av ’vad är problemet?’. Genom att konstatera vilka arbetssätt som finns för att lösa problemet så uppfylls A. C uppnås genom att överväga skillnad och likheter mel-lan sitt eget resultat och andras och genom övervägningen förbättra sitt resonemang. När
25 eleverna gjort de tre delarna F, A och C knyter de ihop det som de kommit fram till som en motivering för sitt resultat, för att uppfylla T. Eftersom samtliga delar ska skrivas ner av ele-verna, kan eleverna se över sina tidigare tankar, vilket leder till metakognition. För att för-bättra sin motivering till hur en uppgift ska lösas fortsätter eleverna sedan till Restate, som in-nebär att eleverna ser över sin motivering och funderar över hur precist de skrivit sitt tillväga-gångssätt. Reasons är nästa steg, då eleverna ska se över ifall de har en tydlig anledning till att deras resonemang kan stämma. Finns det bevis utifrån uppgiften som tyder på att elevens mo-tivering till tillvägagångssätt stämmer och om det verkar rimligt? Nästa steg är Counterclaims, som innebär att försöka falsifiera sitt resultat genom att ifrågasätta vad som kan göra att resul-tatet inte stämmer. Sist kommer Conclusion, som innebär att se över sin motivering så att allt verkar genomtänkt. Vilka ord som använts i motiveringen ses även över för att se till att kor-rekta ord och begrepp använts.
Ennis och Losinski (2019) presenterar en annan metakognitiv metod som utgår från SRSD (Self-Regulated Strategy Development). Metoden utförs genom 6 steg: utveckla bak-grundskunskap, diskutera strategier, strategimodellering, memorera strategier, motivera strate-gier och självständig träning (Ennis & Losinski, 2019). Först tränas elever i att utveckla bak-grundskunskap. Med det menas att elever ska få möjligheten att repetera och diskutera vad tal i bråkform är. Lärare behöver även gå igenom och förklara vad varje del i ett tal i bråkform innebär för att elever ska kunna ta till sig bakgrundskunskaper (som vad täljare och nämnare är). Den andra delen är att diskutera strategier. Läraren diskuterar tillsammans med elever hur de ska gå tillväga för att lösa uppgifter med tal i bråkform. Läraren kan introducera en viss strategi som eleverna då ska ta till sig och senare använda sig av. Det tredje steget är att ele-ven använder sig av strategin och stämmer av med en lista för att se att strategin följs på rätt sätt. Målet är att elever ska utföra tio uppgifter per dag genom strategin de lärt sig. Det fjärde steget innebär att elever ska träna på att använda strategin på ett liknande sätt som innan, men att de nu ska lösa uppgifterna utan att ta hjälp av listan som de tidigare haft som hjälp. Det femte steget utgår ifrån att elever som lärt sig strategin ska hjälpa andra elever att använda sig av samma strategi. Elever måste därmed förklara strategin på ett så bra sätt att andra elever kan förstå och använda sig av den. Vid det här tillfället finns även lärare med för att se till och stötta att det går rätt till. Det sjätte steget går ut på att elever ska mängdträna strategin. De ska även skriva ner strategin på ett papper utifrån hur de kommer ihåg de olika stegen som besk-revs i listan, för att de ska kunna använda sig av listan de själva skapat när de löser uppgifter.
De två metakognitiva metoderna utgår ifrån att elever ska bli medvetna om och reflektera över sitt arbete. Metoderna presenterar olika tillvägagångssätt men har ett liknande mål.
26 Gemensamt för båda metoderna är att elever ska följa strategier för att metodiskt reflektera över sitt lärande. De båda metoderna är krävande både för lärare och elever eftersom det är många steg att förstå. För att elever ska kunna använda metoderna måste de redan ha en grundläggande förståelse för tal i bråkform. Lärare måste även spendera mycket tid för att lära elever i matematiksvårigheter om hur de ska tänka och gå tillväga. Båda undervisningsme-toderna är därför svåra att implementera i undervisningen.
Språkliga metoder
I språkliga metoder kategoriserades endast en artikel. Artikeln behandlar en undervis-ningsmetod som kan vara användbar för att skapa diskussioner i klassrummet. Undervisnings-metoden innebär att elever får felaktiga argument presenterade för sig, som de sedan ska reso-nera kring och diskutera. Det sker främst genom att diskutera varför det är fel, vad som istället skulle varit rätt svar och hur det går att komma fram till det. Det här kan leda till rika diskuss-ioner i klassrummet där många elever kan bli delaktiga och där elever kan lära sig av varandra (Mueller & Yankelewitz, 2014). Undervisningsmetoden kräver att elever redan har en förstå-else för tal i bråkform för att kunna diskutera uppgifter. Det innebär att undervisningsmetoden endast är passande för att bygga vidare på elevers förståelse för tal i bråkform.
Metoder för utveckling av resonemangsförmåga
I kategorin ”metoder för utveckling av resonemangsförmåga” placerades två artiklar. Undervisningsmetoderna i den här kategorin har ett fokus på att utveckla elever i matematik-svårigheters resonemangsförmåga för tal i bråkform. Först presenteras undervisningsme-toderna och slutligen jämförs meundervisningsme-toderna och samband och skillnader konstateras.
Undervisningsmetoden ’benchmark strategy’ går ut på att lära elever om hur de kan reso-nera kring tal i bråkform. Syftet är att skapa en förståelse för elever om hur vissa tal kan fun-gera som bokmärken i jämförelser mellan två andra tal. Exempelvis får talet 1/2 en central roll i jämförelsen av 3/5 och 4/9. Det beror på att 3/5 är större än 1/2 medan 4/9 är mindre, vilket är fördelaktigt om elever lär sig (Yang & Lai, 2013). Genom att lära elever att resonera på det här sättet för att enklare storleksordna tal i bråkform får de även en förbättrad förståelse för vad talen i bråkform innebär. Lärares roll blir därmed att hitta på bra tal som går att jämföra där det finns ett bra tal i bråkform som går att använda som bokmärke för att lättare resonera kring dem. Det blir även lärares roll att leda elever genom processen för att de ska förstå hur de ska gå tillväga.
Undervisningsmetoden ‘productive struggle’ utgår från att elever ska utsättas för uppgif-ter som de inte klarar av att lösa direkt. Tanken är att elever ska få krångla med uppgifuppgif-ter för
27 att kunna komma fram till ett svar, vilket då är tänkt att bidra till elevers lärande på ett annat sätt än vad vanliga rutinuppgifter kan (Livy, Muir & Sullivan, 2018). Exempelvis kan elever presenteras för flera likadana figurer som är ihopsatta och tillsammans skapar en större figur (men att vissa linjer är borttagna för att det inte ska bli helt uppenbart att det är exakt likadana figurer). Sedan ska eleverna resonera om hur stor en viss del är av figuren och föra ett argu-ment för varför det är så. Vanligtvis ska uppgifterna ha flera olika sätt att lösas på, vilket gör att uppgifterna även kan diskuteras i efterhand i helklass för att bidra till ett gemensamt lä-rande. Hur svåra uppgifterna är och exakt vad uppgifterna tar upp beror på nivån elever ligger på, vilket därmed innebär att den undervisande läraren måste avgöra materialet.
De båda undervisningsmetoderna utgår ifrån att elever ska utveckla sin resonemangsför-måga. Däremot har de olika tillvägagångssätt och mål om vad elever ska resonera om. Det som kan ses som gemensamt för de två metoderna är att elever ska resonera om olika tal i bråkform och sedan komma fram till ett svar utifrån resonemanget. Exempelvis kan elever an-vända sig av ’benchmark strategy’ för att resonera om två tal i förhållande till ett tredje tal. Metoden ’productive struggle’ kan däremot innebära att elever ska jämföra figurer och däref-ter komma fram till ett resonemang och svara utifrån det (som i exempeluppgiften för pro-ductive stuggle ovan). Båda metoderna utgår därmed ifrån att resonemang kring uppgifter för att komma fram till ett svar är fördelaktigt för elever i matematiksvårigheter. ’Benchmark strategy’ kan tänkas passa bäst för att skapa en grundläggande förståelse för tal i bråkform. ’Productive struggle’ kan däremot tänkas kräva en förståelse för tal i bråkform för att elever ska kunna resonera kring uppgifterna. Det innebär att de två undervisningsmetoderna har olika introduktionstillfällen och passar för olika situationer även om båda har fokus på resone-mangsförmågan.
Diskussion
Först i diskussionsavsnittet av litteraturstudien sammanfattas de huvudresultat som stu-dien kommit fram till. Sedan diskuteras resultatet utifrån stustu-diens syfte, frågeställning och te-oretiska bakgrund. Efter det diskuteras metoden och dess konsekvenser på litteraturstudien och de resultat som studien kommit fram till. Avslutningsvis diskuteras litteraturstudiens kon-sekvenser för undervisning och vilka fortsatta studier som skulle kunna göras.
Kort sammanfattning av huvudresultaten
Denna litteraturstudies syfte är att presentera fördelaktiga undervisningsmetoder för tal i bråkform riktade mot elever i matematiksvårigheter. Användning av olika representationsme-toder för att skapa bra inlärningsmöjligheter är det resultat som litteraturstudien främst
28 kommit fram till. Den undervisningsmetod som har mest stöd av forskning är arbete med tall-linjer. Utöver tallinjer presenteras 14 andra undervisningsmetoder, som har mindre stöd av forskning, men som är fördelaktiga för undervisning av tal i bråkform till elever i matematik-svårigheter.
Resultatdiskussion
Som nämnt i början av litteraturstudien har alla elever rätt till att få den anpassning i undervisningen som de behöver utifrån sina behov (Skolverket, 2018; Specialpedagogiska skolmyndigheten, 2020). Det innebär att alla elever, oavsett om de har utredda matematiksvå-righeter eller inte, har rätt till att få en anpassad undervisning. Resultaten i den här litteratur-studien lyfter fram undervisningsmetoder med möjligheter till att hjälpa elever genom att ge dem den anpassning de behöver. 15 olika undervisningsmetoder presenteras men vilka som passar bäst för varje elev är däremot upp till den undervisande läraren att avgöra. Undervis-ningsmetoderna i denna litteraturstudie är därmed ett stöd och inspiration till anpassningsmöj-ligheter i undervisningen, snarare än ett facit på exakt hur undervisningen bäst anpassas för varje elev. Det är även värt att påpeka att alla elever är olika, vilket innebär att undervisnings-metoderna kan fungera olika bra beroende på vilken elev som undervisningen sker för. Under-visningsmetoderna som presenteras har däremot visat på fördelaktiga resultat i den forskning som litteraturstudien behandlar, vilket antyder att undervisningsmetoderna kan fungera för att hjälpa elever att utveckla sin förståelse för tal i bråkform. Litteraturstudiens resultat uppfyller därmed det syfte och den frågeställning som studien sökt att uppfylla, eftersom fördelaktiga undervisningsmetoder presenteras som kan vara till hjälp för elever i matematiksvårigheter. I de olika kategorierna kan en inriktning ses mot att elever i matematiksvårigheter främst behöver stöd för att skapa en förståelse för tal i bråkform från grunden. Tretton undervisnings-metoder har ett fokus på att det är ett grundläggande lärande som behöver ske för att hjälpa elever i matematiksvårigheter. Det är endast sex undervisningsmetoder med inriktning mot att vidareutveckla elever i matematiksvårigheters kunskaper. De undervisningsmetoder som har syftet att vidareutveckla kunskaper för tal i bråkform är därmed underrepresenterade. Det in-nebär att denna litteraturstudie främst kommit fram till undervisningsmetoder som är fördel-aktiga för att skapa en grundläggande förståelse för tal i bråkform för elever i matematiksvå-righeter.
De undervisningsmetoder som litteraturstudien presenterar är inte riktade direkt åt en viss matematiksvårighet. Som Specialpedagogiska skolmyndigheten (2020) konstaterar kan mate-matiksvårigheter skilja sig åt. Den här litteraturstudien undersöker inte exakt vilken
