Lecture_15_MVE606_585_Naturliga logaritmen och exponentialfunktionen..pdf: MVE605 Inledande matematik

Föreläsning 15 Inledande matematik för Z/TD. Naturliga

logaritmen och exponentialfunktionen.

Introduktion

Huvudmålet med föreläsningen är att introducera exponentiella funktionen ax

och ett logaritmbegrepp så att de funkar för alla reella exponenter x, inte bara för rationella x = m=n som tidigare elementära de…nitionen med

am=n = pn_a m

ax =??? _{för x 2 R}

0.1

Naturliga logaritmen.

Vi kommer att de…niera en funktion ln de…nierad för positiva argument x > 0 så att dess derivata blir lika med 1

x.

De…nition.

För x > 0, låt Ax betekna arean under kurvan

y = 1=x

t axeln och linjerna t = 1 och t = x.

Funktionen ln de…nieras av följande formler: ln(x) = Ax ; x > 1

Sats. Theorem 1, Sect 3.3, sid. 177 i Adams. (krävs på tentan) d dx(ln(x)) = 1 x för alla x > 0.

Vi kommer att beräkna derivatan enligt de…nitionen d

dxln(x) = limh!0

ln(x + h) ln(x) h

och kommer att beräkna gränsvärdet med hjälp av instängningssatsen och enkla geometriska observationer för Ax.

Vi observerar från bilden att arean mellan t - axeln, kurvan y = 1=x, och linjerna t = x och t = x + h är lika med

Arean = Ax+h Ax = ln(x + h) ln(x)

Vi ser att den arean be…nner sig inom rektangeln med basen av längden h och höjden 1=x.

Samma area innehåller mindre rektangeln med basen h och höjden 1= (x + h). Detta gör att följande olikheter gäller för motsvarande areor:

h x + h Arean h x eller h x + h ln(x + h) ln(x) h x Med att dela med h > 0 vi kommer till olikheter

1 x + h ln(x + h) ln(x) h 1 x

där det står kvoten som skulle ge önskade derivatan efter gränsövergången med h_{! 0+.}

Voi observerar att lim_{h!0+ x+h}1 = 1_x och lim_h!0+ 1_x = 1=x. Instängningssatsen medför att lim h!0+ ln(x + h) ln(x) h = 1 x Exakt likadant visas att

lim h!0 ln(x + h) ln(x) h = 1 x Detta ger att

d

dxln(x) = 1

x; x > 0

Sats. Egenskaper hos naturliga logaritmen. The. 2, sid. 177 i Adams. i) ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ii) ln 1_x = ln(x)

iii) ln x_y = ln (x) ln(y) iv) ln(xr) = r ln(x)

Lägg märke till att vi fortfarande inte vet vad är meningen med xr _{för irrationella}

r (!!!) Bevisför (i) Om y är konstant d dx(ln(xy) (ln(x) + ln(y))) = y xy 1 x = 0

Detta medför att funktionen

ln(xy) ln(x) = C

är konstant. Med att välja x = 1 vi får att C = ln(y).

ln är växande funktion. Det följer från dess geometriska de…nitionen. En ob-servation fås från iv), att ln(2n) = n ln(2) _{! 1 med n ! 1. På samma sätt} ln 1

2n = n ln(2)! 1, med n ! 1:

Exempel. Beräkna derivatan d dxln(jxj) = 1 x; x6= 0 Betrakta två fall separat: x > 0 och x < 0:

d dxln(x) = 1 x; f •or x > 0 d dxln(jxj) = d dxln( x) = 1 x ( 1) = 1 x; f •or x < 0 2 1 0 -1 -2 20 10 0 -10 -20 x y x y Exempel. Beräkna derivatan d dxln (jcos(x)j) = tan(x); x6= =2 + k d dxln (jcos(x)j) kedjeregeln = 1

cos(x) sin(x) = tan(x); x6= =2+k ; k = 0; 1; 2; ::: "Yttre" funktionen här är ln (jxj), "inre" funktionen är cos(x).

Exempel. sid. 178. Beräkna derivatan d dxln(x + p x2_{+ 1) = p} 1 x2_{+ 1}

0.2

Exponentfunktionen.

Naturliga logaritmen är en växande funktion för x > 0 och är då en - entydig och måste ha en infersfunktion.

De…nition. sid. 179 i Adams.

Inversfunktionen till naturliga logaritmen betecknas med exp(x) = ex _{för e =}

exp(1); och kallas för exponentiellfunktion.

Kancellationsrelationer för inversa funktioner medför att ln(exp(x)) = x; x_{2 R} exp(ln(x)) = x; x > 0

Sats om egenskaper hos exponentiella funktionen. Th. 3, sid. 179 i Adams.

i) (exp(x))r _{= exp(rx)}

ii) exp(x + y) = (exp(x))(exp(y)) iii) exp( x) = 1

exp(x)

iv) exp(x y) = exp(x)_exp(y)

Det blir följande uttryck med hjälp av ex _beteckning.

i) (ex)r = erx ii) ex+y _{= e}x_ey

iii) e x ₌ 1 ex

iv) ex y = e_exy

Just nu är i) de…nierad bara för rationella r (!!!). Vi har fortfarande ingen de…nition för ar _{för irrationella r (!!!)}

Bevis.

Vi kan bevisa ii): Egenskaper hos naturliga logaritmen medför att ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x)) + ln(exp(y)) = x + y

Beräkna exponetiella funktionen av vänster och höger: exp(x) exp(y) = exp(x + y) ii) och iv) bevisas på ett liknande sätt.

i) kan bevisas just nu bara för rationella r.

ln(exp(x))r) = r ln(exp(x)) = rx Beräkning av exponenten av vänster och höger ger att

(exp(x))r= exp(rx) De…nition. Lår e = exp(1) Talet e är irrationellt e = 2; 718281828459045::: Beteckning.

ex = exp(x); x_{2 R}

Vi ser att beteckningen är meningsfulld och känd för rationella x = r: exp(r) = exp(r1) = er

Men nu …nns möjligheten att beräkna exponent med basen e för godtyckliga reella argument x.

Vi kan nu skriva om Theorem 3 i nya beteckningar: i) (ex₎r _{= e}rx ii) ex+y = exey iii) e x ₌ 1 ex iv) ex y ₌ ex ey

Grafer för y = exp(x) och för y = ln(x) är spegelbilder av varandra med avseende på linjen y = x.

lim_x!1exp(x) =_{1; limx! 1}exp(x) = 0:

Derivatan av exponentiella funktionen beräknas med hjälp av implicit derivering. y(x) = ex

; =) x = ln(y(x)): =) Derivera vänster och höger med hjälp av kedjeregeln: 1 = 1 y(x) dy(x) dx d dxexp(x) = exp(x) d dxe x _{= e}x

Derivatan av exponentiella funktionen är lika med den själva. Exempel. d dx e x2 _3x = d dxexp x 2 _3x d dx e x2 _3x = d dxexp x 2 _{3x =} = exp x2 3x (2x 3) Exempel. d dx p 1 + e2x ₌ d dx 1 + e 2x 1=2₌ 1 2 1 + e 2x 1=2 _e2x ₍₂₎ = e 2x p 1 + e2x Exempel. d dx ex _e x ex_{+ e} x = d dx g(x) f (x) där g(x) = ex _e x _{och f (x) = e}x_{+ e} x_.

Allmänna exponetiella funktioner och logartimer med

godty-cklig bas.

De…nition.

Vi använder kancellationsrelation för exp och ln: a = exp(ln(a)) = eln(a)

ax de…nition= eln(a) x = ex ln(a) = exp(x ln(a)) d

dxa

x ₌ d

dxexp(x ln(a)) = exp(x ln(a)) ln(a) = a

x_ln(a)

Allmänna potensregeln följer från den de…nitionen: d dxx r per de…nition = d dxexp(r ln(x)) = exp(r ln(x)) r 1 x = r xr x = rx r 1 Exempel.

Bestäm kritiska punkter av funktionen f (x) = xx:

Vi måste skriva om funktionen som exponentiella funktionen för att beräknar derivatan. f (x) = xx de…nition= exp(x ln x) = ex ln x d dx(x x_{) =} d dxexp(x ln x) = exp(x ln x) ln x + x 1 x = xx(1 + ln(x))

Hur snabbt växer exponentiella funktionen och naturliga

log-aritmen?

Sats. för x > 0 det gäller att

ln(x) x 1 Bevis. Låt g(x) = ln x (x 1). g(1) = 0. g0(x) = 1 x 1 > 0 0 < x < 1 < 0 1 < x

Detta medför att g är växande på (0; 1) och är avtagande på (1; 1). Detta gör att g(x) g(1) = 0 för alla x.

Sats. Th. 5, sid, 185 Adams. Om a > 0 lim x!1 xa ex = 0 lim x! 1jxj a ex = 0 lim x!1 ln(x) xa = 0 lim x!0+x a_{ln(x) = 0} Bevis.

lim_x!1ln(x)_xa = 0. Detta följer från föregående satsen. Betrakta x > 1; a > 0 ,

s = a=2 s ln x = ln(xs) xs 1 xs ln x x s s ; dividera_med_x 2s = xa 0 ln x xa 1 sxs ! 0; x! 1

lim_x!0+xaln(x) = 0 följer från redan bevisade gräns genom att välja x = 1=t.

Ett märkligt gränsvärde:

lim n!1 1 + x n n = ex Låt h = x=n. h_{! 0 då n ! 1} Betrakta gränsvärdet av ln 1 + x_n n

lim n!1ln 1 + x n n = lim n!1n ln 1 + x n = x lim n!1 ln 1 + x_n x n = x lim n!1 ln 1 + x_n x n = x lim n!1 ln (1 + h) ln(1) h = x d dtln(t) _t=1= x 1 t _t=1= x

Exp är en kontinuerlig funktion, eftersom den är deriverbar. Detta medför att lim n!1 1 + x n n = exp( lim n!1ln 1 + x n n ) = exp(x) = ex

Extra övningar med derivering.

Beräkna derivator av följande funktioner med ln

Beräkna derivator av följande funktioner med ex Facit