Artefakter - en väg mot bättre begreppsförståelse i matematik

1

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng

Artefakter - en väg mot bättre

begreppsförståelse i matematik

Artifacts - one path to improved understanding of concepts in

mathematics

Joakim Wede

Lärarexamen 270hp Handledare: Ange handledare

Matematik och lärande 2009-06-03

Examinator: Mats Areskoug

3

Sammanfattning

Arbetet beskriver arbetsgången från identifierat behov av hjälpmedel i undervisningen i matematik A till ett färdigt pedagogiskt hjälpmedel. Begreppsutveckling har en central roll i styrdokumenten och skolan. För att alla elever ska få likvärdiga förutsättningar att utvecklas i skolan bör undervisningen utformas så att den passar varje elevs sätt att lära sig. Genom att använda en mångfald av presentationsformer och arbetsformer kan man som lärare skapa goda förutsättningar för alla elever oavsett lärstil. Utifrån erfarenhetspedagogiken och lärstilsteorin utformas och konstrueras en artefakt som ska kunna användas i avsikten att bidra till en mångfacetterad undervisning.

Nyckelord: Matematik, Artefakt, Begreppsförståelse, Begreppsutveckling, Lärstil, Erfarenhetspedagogik.

5

Förord

Jag studerar 270-poängsutbildningen vid lärarutbildningen på Malmö högskola. Som mitt examensarbete har jag valt att fördjupa mig i hur man genom ett lärstilsperspektiv kan utnyttja artefakter för att förbättra elevernas begreppsutveckling i matematik samt hur man kan gå till väga för att utveckla lämpliga artefakter. Detta arbete svarar på flera av de frågor som jag kom att söka svar på under min utbildning. Jag vill rikta ett speciellt tack till min handledare Annica Andersson som har hjälpt mig att göra mitt arbete begripligt och alla de lärare på Malmö högskola som hjälpt mig i mitt sökande efter svaren. Dessutom vill jag tacka Björn "Nalle" Tordsson, min lärare i segling och friluftslivspedagogik och dr. scient, som under min tid vid högskolan i Telemark i Norge inspirerade mig och fick mig att utveckla min syn på pedagogik och undervisning till att innefatta, för mig, helt nya perspektiv. Jag vill också tacka min mamma Gertrud Wede för att hon ur en skolledares perspektiv gett mig konstruktiv kritik och mängder av givande diskussioner under våra långa löprundor, och min pappa Jan-Ola Wede som hjälpt mig att hålla mig kritisk till det jag läser och ständigt söka bättre motiveringar och fler perspektiv.

När man är snart 29 år och fortfarande bor hemma måste man vara välsignad med tålamodiga föräldrar.

7

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 9 1.1 Bakgrund ... 9 1.1.1 Definition av artefakt ... 10 1.2 Syfte ... 10 1.3 Frågeställningar ... 11 1.4 Disposition ... 11 2 Metod ... 12 2.1 Teoretisk fas ... 13 2.2 Pragmatisk fas ... 14 2.3 Aktiv fas ... 14 2.4 Reflekterande fas ... 14 3 Teoretisk del ... 15

3.1 Begreppsutveckling och förståelse av begrepp ... 15

3.1.1 Begrepp ... 15

3.1.2 Associativa nätverk ... 16

3.1.3 Förståelse ... 16

3.2 Lärstilar ... 18

3.2.1 Honey & Mumford lärstilsteori ... 18

3.2.2 Dunn & Dunns lärstilsteori ... 21

3.2.3 Att arbeta med lärstilar ... 24

3.2.4 Olika presentationsformer ... 24

3.3 Erfarenhetspedagogik ... 25

3.3.1 Att kunna och att veta ... 27

3.3.2 Traditionell folklig inlärning ... 28

3.4 Uteskole ... 29 3.5 Artefakter ... 30 4 Pragmatisk del ... 31 4.1 Teoretiskt underlag ... 31 4.1.1 Begreppsutveckling ... 31 4.1.2 Lärstilar ... 32

8 5 Aktiv del ... 35 5.1 Utformning av artefakten ... 35 5.2 Kravanalys ... 35 5.3 Konstruktion ... 36 6 Reflekterande del ... 40 6.1 Summering ... 42 7 Efterord ... 43 8 Litteraturförteckning ... 44 9 Bilagor ... 46

9

1 Inledning

Detta är mitt examensarbete vid lärarutbildningen på Malmö högskola, natur, miljö samhälle. Det är ett arbete som till största delen består av litteraturstudie men även en liten del praktisk konstruktion. På min praktikplats är det ett problem att en mycket låg andel av eleverna blir godkända efter A- respektive B-kursen i matematik. Enligt Löwing och Kilborn (2002), är andelen underkända elever högre än 60 % på det nationella provet i matematik A för sju av de nationella programmen. Det är mot denna bakgrund som jag har valt att fokusera mig på matematik A för gymnasieskolan med blicken riktad mot matematik B i mitt arbete.

1.1 Bakgrund

Jag, precis som de flesta andra lärare, har ett stort intresse av att få se mina elever lyckas med sina studier. Under min tid vid Malmö högskola har jag utvecklat ett intresse för hur elever lär sig, vilka skillnader som finns mellan hur olika elever lär sig och hur man som lärare kan anpassa undervisningen i enlighet med detta.

May Tandi Clausen (2005) gör i sin bok ett mycket viktig påpekande, nämligen att vägen fram till en lärarutbildning av tradition gallrar bort de personer som har starka taktila, kinestetiska och bildvisuella preferenser då dessa inte har så stor påverkan på den akademiska prestationen. Ofta är det endast de individer som har starka auditiva och textvisuella preferenser som klarar sig hela vägen till en lärarexamen. Detta innebär en överrepresentation av auditivt och textvisuella preferenser bland lärare. Enligt författaren medför detta att lärare generellt är sämre på att anpassa undervisningen till elever med spatiala preferenser. Detta tillsammans med det faktum att läromedlen är starkt dominerade av text medför att skolan är väl anpassad för de elever som delar de auditiva och textvisuella preferenserna och mindre anpassad för de elever som inte gör det. (Tandi Clausen, 2005) Detta fenomen omtalas också av Honey och Mumford (2006a), de skriver att man lätt favoriserar aktiviteter som tilltalar sin egen lärstil. För att motverka detta bör man göra sig medveten om sin egen lärstil och hur man arbetar med den.

Innan jag påbörjade mina studier på lärarhögskolan har jag arbetat som instruktör, bland annat inom dykindustrin och därifrån fått med mig en del erfarenheter av annat pedagogiskt arbete. I flera globala kommersiella utbildningsorgan finns tydliga krav på multimedial framställning i

10

undervisningen. Som instruktör inom PADI (Professional Association of Diving Instructors), SSI (Scuba Schools International) och EFR (Emergency First Respons) vet jag (författaren) att man inom dessa organisationer har krav på sig att använda ett minimum av tre olika medier, gärna fler, vid varje lektionstillfälle för att tillgodose alla deltagares behov av instruktion. De teoretiska lektionerna varvas med praktiska moment vilket ytterligare befäster de nya lärdomarna och fungerar som motivation för teoriavsnitten. Jag tror absolut att man kan ha glädje av detta i undervisning i allmänhet och matematikundervisning i synnerhet för att bättre anpassa undervisningen till fler elever och deras olika behov. Enligt till exempel Tandi Clausen (2005) är det elever med kinestetisk, taktil och bildvisuell lärstil som har svårast att tillgodogöra sin den auditiva och textbaserade undervisningen som dominerar skolan. Detta får också stöd av Andinger och Karlsson (2006) som menar att skolan, på grund av enformiga undervisningsmetoder, inte erbjuder alla elever lika goda förutsättningar. I forskningslitteraturen finns mycket som tyder på att fysiska hjälpmedel har mycket att tillföra elevernas tillägnande av erfarenhet och att detta har en starkt anknytning till begreppsutveckling. Mot denna bakgrund har jag tilltalats av, det ur lärstilssynpunkt mångsidiga, arbetet med artefakter som speciellt riktar sig mot elever med kinestetiska, taktila och bildvisuella preferenser för att göra undervisningen mer likvärdig och gynnsam för alla elever i en skola för alla.

1.1.1 Definition av artefakt

Artefakt betyder enligt SAOL (2007) endast konstgjort föremål. För mitt arbete använder jag det med samma mening som laborativt material och pedagogiska hjälpmedel. Jag vill också förtydliga att jag menar föremål som går att ta på, vilket ur vissa aspekter exkluderar till exempel mjukvara i en dator. Denna avgränsning gör jag då jag inte funnit någon forskning som kan klargöra hur personer med taktila och kinestetiska preferenser, se kapitel 3.2.2, svarar till arbete med datorer.

1.2 Syfte

Mitt mål med detta arbete är att utveckla en artefakt som kan användas för att stötta begreppsutvecklingen hos eleverna i deras arbete med ekvationer. Dessutom vill jag skapa ett teoretiskt underlag för att kunna utveckla fler artefakter i framtiden.

11

1.3 Frågeställningar

För att uppnå detta syfte och även för att avgränsa arbetet har jag valt att utgå från följande frågeställningar:

1. Vad är begreppsutveckling och hur går det till?

2. Vilka krav ställer lärstilsteorin på undervisningssituationen för att den ska gynna alla elevers begreppsutveckling på ett likvärdigt sätt, och hur kan man med olika presentationsformer svara till dessa krav?

3. Vad kan erfarenhetspedagogiken bidra med när det gäller begreppsutveckling? 4. Vilka erfarenheter från uteskolan kan vara nyttiga för arbetet med artefakter? 5. Vilka fördelar finns det med att arbeta med artefakter?

6. Hur kan man gå till väga för att tillverka en artefakt som på ett meningsfullt sätt kan balansera upp undervisningen kring ekvationer och ekvationslösning ur ett lärstilsperspektiv?

1.4 Disposition

För dispositionen detta av arbete har jag valt att följa modellen av lärcykeln och lärstilarna från Honey & Mumford (2006a), se figur 2-1 och kapitel 3.2.1 för närmare beskrivning. Arbetet följer därmed den kronologiska dispositionsprincipen i Nivå 1, och den logiska dispositionsprincipen i de underliggande nivåerna, 1.1 - 1.1.1.1 (Svedner & Johansson, 2006). Jag inleder med den teoretiska delen där jag tar upp, för utvecklandet av artefakten, relevant teori. Jag presenterar begreppsutveckling och lärstilsteori följt av presentationsformer, erfarenhetspedagogik, uteskola och artefakter. I den efterföljande pragmatiska delen vill jag föra samman de olika teoriavsnitten till en helhet och dra slutsatser om utformandet av artefakten. I den aktiva delen konstruerar jag en artefakt som svarar till de olika behov som synliggörs i de föregående kapitlen. I den reflekterande delen, sammanfattar jag arbetet och vilka lärdomar jag gjort undertiden. Den reflekterande delen ersätter resultatavsnittet då detta är mer lämpligt i mitt arbete (Svedner & Johansson, 2006). I bilaga 1 har jag samlat tips på litteratur för den som vill läsa mer om lärstilar, utomhuspedagogik, erfarenhetspedagogik och undervisningsaktiviteter.

12

2 Metod

Ända sedan jag läste Honey och Mumfords bok (2006a)och gjorde deras lärstilstest (2006b) har jag följt arbetsgången i deras lärcykel, både för mina egna studier och för min verksamhetsförlagda tid. Att arbeta på detta sätt även i mitt examensarbete känns därför naturligt.

Arbetsgången är tydlig och strukturerad, samtidigt som man genom att arbeta med de olika faserna kontinuerligt får möjlighet att utveckla sina färdigheter inom varje fas. Genom detta arbete kan man förväntas lära känna sin egen lärstil bättre och då även bli öppnare för andras. Denna modell är accepterad i näringslivet och har visat sig ge positiva effekter i organisationer där ledaren aktivt arbetar efter denna. (Honey & Mumford, 2006a; Honey & Mumford, 2006b)

Detta arbetssätt har mycket gemensamt med den traditionella dispositionen av uppsatser (Svedner & Johansson, 2006) och därför anser jag att det är motiverat att använda detta även i dispositionen av mitt arbete. Här följer en beskrivning av de olika faserna och hur de kommer att användas i samband med detta arbete. Modellen bygger på cyklisk repetition så att man efter den reflekterande fasen åter går in i den teoretiska fasen i nästa cykel, se figur nedan. Detta arbete blir ett varv i en cykel och nästa steg blir den pragmatiska fasen inför en kommande undervisningssituation enligt figur 2-1 nedan.

13

Figur 2-1: Vägen genom de fyra delarna i arbetets lärcykel och vidare in i den lärcykel som kommer vara min följeslagare genom många år som yrkesverksam lärare.

2.1 Teoretisk fas

Den teoretiska fasen ska bestå av inhämtande av relevant teori (Honey & Mumford, 2006a). Denna del är gjord som en litteraturstudie där målsättningen är att sammanställa en kärna av vetenskapligt underbyggda riktlinjer för hur elevers begreppsutveckling kan faciliteras genom arbete med artefakter. Då elevernas begreppsutveckling är beroende av att begreppen introduceras genom flera olika presentationsformer (Niss, 2001; Ulin, 2001) har jag utgått från lärstilsteori för att få en struktur i vad "olika presentationsformer" innebär och hur artefakter kan vara en del i detta arbete. Eftersom elevernas erfarenheter, tidigare och nya, är centrala för deras begreppsutveckling (Tordsson, 2006; Nikolaisen Jordet, 2005; Rystedt & Trygg, 2005) har jag valt att inkludera det erfarenhetspedagogiska perspektivet för att ta vara på detta. Erfarenhetspedagogiken är av tradition bunden till friluftslivspedagogik och uteskola (Tordsson, 2008) och för att kunna ta lärdom från traditionellt arbete med erfarenhetspedagogik har jag valt att även inkludera uteskola i min studie.

Tillgången till litteratur som inriktar sig på begreppsutveckling inom matematik är relativt god. Jag har valt en del litteratur som jag blivit rekommenderad av eller kommit i kontakt med genom lärare på högskolan i Malmö och Bö (i Norge) där min utbildning varit förlagd. För att komplettera denna har jag bland annat använt mig av sökorden "Laborativ matematik", "Mathematics learning styles", "Lärstilar", "begreppsförståelse matematik" och "matematik" i bibliotekets databas, på MUEP och på sökmotorn www.google.com. Bland de resultat jag har fått vid mina sökningar har jag inriktat mig i första hand mot matematik på gymnasiet. Då

Teoretisk del: Litteraturstudie Pragmatisk del: Plan för artefakt Aktiv del: Tillverkning av artefakt Reflekterande del: Utvärdering av artefakt Teoretisk fas: Lärdomar från tidigare arbete och

litteratur

Pragmatisk fas: Plan för användning av artefakt i undervisningen Aktiv fas: Undervisning med artefakt Reflekterande fas: Utvärdering av undervisningen Start

14

detta fokus inte funnits för alla forskningsområdena har jag fått bredda sökningarna till att innefatta bland annat generell lärstilsteori, generell erfarenhetspedagogik och läsförståelse i matematik.

2.2 Pragmatisk fas

I den pragmatiska fasen planeras hur undervisningen ska genomföras för att nå önskat resultat. Detta bör göras utifrån vilka mål som ska nås och vilken metod som kan förväntas vara mest fördelaktig (Honey & Mumford, Lärstilar- Handledarguide, 2006a).

Den pragmatiska delen har för avsikt att sammanfatta innehållet i den teoretiska delen utifrån tre aspekter. Först och främst ska teorin användas för att med en vetenskaplig bakgrund utveckla en artefakt. Den ska också kunna motivera för både skolledare och elever varför artefakter ska ingå i undervisningen. Skolledarna är viktiga för både finansiering och organisering av arbetet med artefakter. Eleverna och deras motivation är nödvändiga för varje lektions framgång.

2.3 Aktiv fas

Tillverkningen av artefakten. Denna del av arbetet präglas av tekniskt resonemang och de mekaniska principer som krävs för att artefakten ska få de egenskaper som efterfrågas. Utifrån den kravprofil som presenteras i den pragmatiska delen konstrueras en artefakt som på ett lättförståeligt och meningsfullt sätt kan konkretisera de teoretiska begrepp som det valda undervisningsmomentet innehåller.

2.4 Reflekterande fas

Detta kapitel ska utvärdera dels arbetsgången och dels resultatet. Vilka kompromisser har varit nödvändiga och vad kan jag göra bättre nästa gång, det vill säga nästa gång jag tillverkar en artefakt?

15

3 Teoretisk del

3.1 Begreppsutveckling och förståelse av begrepp

Elevernas begreppsutveckling är ett av de mest centrala målen för matematikundervisningen i gymnasieskolan, (Rystedt & Trygg, 2005; Ratkoceri, 2005; Niss, 2001). Begreppsutvecklingen är av stor vikt för att eleverna ska kunna nå en fördjupad kunskap om alla de samband mellan olika begrepp som matematiken är uppbyggd kring vilket också är förknippat med god förståelse i matematik (Rystedt & Trygg, 2005). Läromedel lägger generellt inte tillräckligt stor vikt på begreppsutvecklingen även om detta är en erkänt viktig del av matematikundervisningen (Ulin, 2001).

3.1.1 Begrepp

Begreppet "begrepp" brukar användas för att ange karaktäristiska drag hos en samling objekt (Rystedt & Trygg, 2005) eller domänspecifitet som Niss uttrycker det (Niss, 2001). Dessa objekt eller domäner kan i sin tur vara konkreta föremål eller fenomen men också andra begrepp. Vygotskij skiljer mellan spontana begrepp som uppstår i elevernas vardag och vetenskapliga begrepp som har sitt ursprung från någon vetenskap. Fortsättningsvis kommer jag istället för vetenskapliga begrepp begränsa mig till matematiska begrepp då det är en lämplig avgränsning för mitt arbete. Vygotskij säger också att när elever ska lära sig nya matematiska begrepp som inte har någon direkt länk till deras vardag är det nödvändigt med väl strukturerad undervisning och mycket är vunnet om eleverna redan tidigare har utvecklat egna, närliggande spontana begrepp som de kan bygga vidare på i undervisningen (Rystedt & Trygg, 2005). Niss (2001) menar att situationen eller "... den samling specifika domäner..." "... i vilka begreppet har exemplifierats och förankrats för just den studenten" (Niss, 2001, s. 36) är starkt knutet till vilken betydelse och vilket innehåll begreppet får hos studenten. För de flesta elever är det inte möjligt att greppa ett abstrakt begrepp enbart utifrån en definition. Oftast är det nödvändigt med ett flertal exempel för att möjliggöra någon form av förståelse. Forskning har också antytt att för att befästa matematiska begrepp hos eleverna måste dessa olika exempel även presenteras med olika representationsformer eller medier. Det har också visat sig att elevernas förståelse i de flesta fall är begränsad till just de exempel som presenterats till stöd för begreppsutvecklingen. (Niss, 2001; Ulin, 2001).

16 3.1.2 Associativa nätverk

En modell för att beskriva hur begrepp tilldelas ett innehåll i minnet ges av Österholm (2006). Han beskriver den mentala stukturen med ”associativa nätverk av propositioner” (Österholm, 2006, s. 15). De associativa nätverken hör hemma i långtidsminnet och byggs upp utifrån den information som kommer från korttidsminnet enligt bilden nedan.

Dessa propositioner eller noder kan till exempel vara begrepp och dessa begrepp får då sin mening eller sitt innehåll utav de noder det är sammanlänkat med. Det blir detta nätverk kring en nod som utgör förståelsen för begreppet. Att utveckla begreppsförståelsen kan göras antingen genom att knyta begreppet till fler noder eller stärka de befintliga kopplingarna. Till varje nod hör ett stort antal länkar, betydligt större än vad som får plats i korttidsminnet. Detta innebär att begreppets mening kommer variera beroende på vilka av dess länkar som vidarebefordras till korttidsminnet när det ska användas, vilket bland annat beror på i vilken situation det ska användas. Betydelsen av ett begrepp beror sålunda både på i vilken situation eleven lärt in begreppet och på situationen i vilken det sedan används. (Österholm, 2006)

3.1.3 Förståelse

Österholm (2006) delar upp textförståelsen i tre komponenter. Den ytliga textförståelsen som består av att kunna koda av text och förstå enskilda ord, den textbaserade läsförståelsen som innebär att kunna uppfatta betydelsen av texten som helhet samt den delen av förståelsen som

Figur 3-1: En modell av hur minnet fungerar. Pilarna visar hur information via olika sinnen kommer in till de olika delarna av minnet (Nilsson, 1997, s. 73).

17

baseras på läsarens förförståelse. Vid läsning av en matematisk text där det förekommer matematiska begrepp kommer elevens förståelse av texten vara starkt påverkad av vilken förförståelse eleven har för de matematiska begreppen. Denna modell är inte enbart aktuell för läsförståelse utan även i ett bredare perspektiv. Genom att utvidga denna teori till att omfatta förståelse av en situation, vilken som helst, som ger information in enligt bilden ovan blir de tre huvud komponenterna i förståelsen:

 Ytlig förståelse av en situation. Det innebär att kunna ta till sig vad som händer och innefattar i princip bara observation.

 Helhetlig förståelse av en situation. Detta betyder en helt objektiv förståelse av situationen.

 Förförståelsebaserad förståelse av en situation. Vilket avser den subjektiva tolkningen av det som händer.

Dessa tre komponenter kommer tillsammans att stå för den input som via det sensoriska minnet och korttidsminnet slutligen ska resultera i inlärning och utveckling av det associativa nätverket i långtidsminnet då situationen är en undervisningssituation. Korttidsminnets begränsade kapacitet utgör här något av en flaskhals. Denna gör det helt omöjligt att lagra en situation, med alla intryck från olika sinnen, i sin helhet. Behållningen av en situation kommer utgöras av det som lagrats i långtidsminnet vilket till stor del utgörs av det som länkas till befintliga noder. De länkar som sedan används kommer att förstärkas och de som inte används kommer att förtvina för att slutligen försvinna. (Österholm, 2006)

Enligt Jarring (Under publicering) kan man urskilja följande tendens, de elever som klarar av det nationella provet i årskurs nio med minst godkänt betyg har bättre förutsättningar att klara minst godkänt på matematik A på gymnasiet än de elever som inte når upp till godkänt på nationella provet. Författaren menar att detta beror på att den extra undervisning som ges till svagare elever både under ordinarie termin och under "sommarskola" ofta är starkt präglad av instrumentell förståelse och utantill kunskap som inte leder till förståelse och varaktig kunskap. (Jarring, Under publicering)

18

3.2 Lärstilar

Det finns över 20 års forskning från flera länder som både bekräftar att lärstilar existerar och visar på positiva effekter av att arbeta med undervisningsmetoder som grundar sig i lärstilsteori (Gersne, 2005; Honey & Mumford, Lärstilar- Handledarguide, 2006a; Lärstilscenter; Andinger & Karlsson, 2006). Det finns flera olika system för att kategorisera olika lärstilar och de positiva effekterna av att arbeta med dem gäller i stort sett alla. Lärstilar brukar definieras genom att olika individer lär sig på olika vis och baseras på olika parametrar som beskriver skillnader i hur denna inlärning sker bäst. Man kan dela upp teorierna i två huvudriktningar, den ena där man delar upp lärstilarna efter vilka sinnen som är aktiva under inlärningen och den andra efter i vilken situation man bäst lär sig (Gersne, 2005). Alla elever har förutsättningar att lära in stora mängder information och begränsningarna beror bara på hur inlärningen går till och hur väl informationen presenteras utifrån varje elevs inlärningspreferenser, Prashing(2001) i (Andinger & Karlsson, 2006).

3.2.1 Honey & Mumford lärstilsteori

Honey och Mumfords lärstilsmodell (2006a) är baserad på i vilken situation man har bäst förutsättningar för att lära sig och är en vidareutveckling av David Kolbs arbete som bygger på cyklisk utveckling. Varje cykel består av de fyra faserna teoretisk, pragmatisk, aktiv och reflekterande enligt figur 3-2 nedan. De olika lärstilarna representeras av att individen föredrar en eller flera faser framför de andra och dessa blir därmed fördelaktigare än de andra när det gäller undervisning.

19 3.2.1.1 Teoretisk

Personer med en teoretisk lärstil karaktäriseras av en stark förkärlek till teori och förkunskaper. De strävar efter logik och ordning och är ofta perfektionister. De vill ha en stabil teoretisk grund innan de omsätter teorin i handling. De vill gärna sammanfoga olika teorier till rationella helhetliga system. De arbetar systematiskt och logiskt och ny kunskap förvärvas lättast när den stämmer väl överens med befintlig kunskap.

Teoretiker reagerar positivt på:

 Analytisk undersökning

 Övningar med ett rätt svar

 Att lyssna på föreläsningar

 Självstyrt lärande/Självstudier

 Övningar på egen hand

 Att titta på video med en person som talar

REFLEKTERANDE Reflektera över upplevelsen Fas 2 TEORETISK Dra slutsatser och inhämta teori

Fas 3 PRAGMATISK Planering inför aktivitet Fas 4 AKTIV Uppleva Fas 1

20 3.2.1.2 Pragmatisk

Personer med en pragmatisk lärstil karaktäriseras av att de tycker om att testa nya idéer och teorier. De är snabba att acceptera nya tankar och idéer och omsätta dem i handling. De gillar att lösa problem och fatta praktiska beslut men ledsnar snabbt på monotont arbete så som underhåll och finputsning av färdigheter. Pragmatiker är utmärkta för att få igång ett grupparbete men de kan behöva hjälp med formalia och renskrivning.

Pragmatiker reagerar positivt på:

 Handlingsbaserat lärande

 Diskussion i smågrupper

 Grupparbeten med uppgifter med tillämpningar av lärande

 Workshops med problemlösning

 Projektarbete

3.2.1.3 Aktiv

Personer med en aktiv lärstil karaktäriseras av att de agerar först och tänker efter sedan. De lever för nuet och är öppna för nya saker och provar gärna allt en gång. De gillar nya aktiviteter och behöver omväxling för att inte bli uttråkade.

Aktiva reagerar positivt på:

 Handlingsbaserat lärande

 Rollspel

 Diskussion i smågrupper

 Utomhusaktiviteter

 Att lära andra

3.2.1.4 Reflekterande

Personer med en reflekterande lärstil karaktäriseras av att vara eftertänksamma. De vänder och vrider på saker för att försöka se det ur så många olika synvinklar som möjligt. De observerar andra och vill helst lära sig av deras misstag. När de väl gör något är det mycket väl genomtänkt och bygger på både egna och andras upplevelser och erfarenheter.

21 Reflekterande reagerar positivt på:

 Datorbaserat lärande

 Utvärderingar

 Att lyssna på föreläsningar och presentationer

 Att observera rollspel

 Att läsa

 Självstyrt lärande/självstudier

Statistiska undersökningar har visat att de flesta individer har en lärstil som domineras av en eller flera av stilarna ovan. Det är viktigt att påpeka att en stil inte utesluter en annan utan att man kan ha en, två tre eller till och med fyra starka lärstilar. Det finns också de som inte har någon vilket medför att personen känner sig otrygg och otillräcklig i alla faserna. De vanligaste kombinationerna är i nämnd ordning:

1. Reflekterande + Teoretisk 2. Teoretisk + Pragmatisk 3. Reflekterande + Pragmatisk 4. Aktiv + Pragmatisk

För att de olika lärstilarna ska tillgodoses behöver arbetet gå igenom alla faserna i lärcykeln i ungefär samma utsträckning. (Honey & Mumford, 2006a; Honey & Mumford, 2006b)

3.2.2 Dunn & Dunns lärstilsteori

Dunn & Dunn's modell är den mest omfattande modellen med 20 aspekter på element som påverkar inlärningsförmågan (Gersne, 2005). Makarna Dunn har under många år forskat på inlärning. De olika lärstilarna representeras av vilket sinne som dominerar vid inlärning (Andinger & Karlsson, 2006; Gersne, 2005). Gersne (2005) har valt att se de perceptuella preferenserna som överordnade. Detta styrks av att dessa är de viktigaste komponenterna i det sensoriska minnet (Nilsson, 1997). De olika perceptuella preferenserna beror på vilka sinnen som bäst förmedlar information till det sensoriska minnet. Ytterligheter i detta sammanhang torde vara synskadade, hörselskadade eller rörelsehindrade där en eller flera preferenser är blockerade (författarens anmärkning).

22

Figur 3-3: De 20 olika aspekterna i Dunn och Dunns lärstilsteori. För mitt arbete har jag valt att fokusera på de perceptuella preferenserna (Lärstilscenter).

3.2.2.1 Kinestetisk

Personer med en kinestetisk lärstil lär sig bäst när de kan vara med i läraktiviteten med hela kroppen. De tänker klarare och förstår bättre när rörelse och aktivitet är inblandat.

Kinestetiska reagerar positivt på:

 Rollspel

 Utomhusaktiviteter

 Handlingsbaserat lärande

 Rörelsebaserat lärande

3.2.2.2 Taktil

Personer med en taktil lärstil lär sig bäst genom att använda händerna. När de koncentrerar sig behöver de något att sysselsätta händerna med.

23 Taktila reagerar positivt på:

 Laborativt arbete

 Att arbeta med händerna

 Att konstruera

 Utomhusaktiviteter

 Taktila hjälpmedel t.ex. miniräknare och kulram

3.2.2.3 Auditiv

Personer med en auditiv lärstil lär sig bäst genom muntliga instruktioner, föreläsningar och diskussioner.

Auditiva reagerar positivt på:

 Att lyssna på föreläsningar

 Muntliga instruktioner

 Diskussion

 Grupparbete

3.2.2.4 Visuell

Personer med en visuell lärstil lär sig bäst genom att observera. Man skiljer på bildvisuella och textvisuella.

Visuella reagerar positivt på:

 Bilder

 Texter

 Att observera rollspel

 Film

 TV

24

Även i denna modell är det vanligt med multipla preferenser det vill säga att personer har flera starka lärstilar. Statistiska undersökningar visar att det bland elever i grundskolan är ungefär lika vanligt med alla de fyra perceptuella preferenserna ovan (Gersne, 2005).

3.2.3 Att arbeta med lärstilar

Det finns flera olika sätt att arbeta med lärstilar, man kan till exempel välja att arbeta på individ- eller gruppnivå. Detta kan gå ut på att man på individnivå anpassar undervisningen efter individens lärstil och utifrån om det är undervisningsstoffet eller utveckling av en lärstil som är målet. På gruppnivå kan man bygga antingen homogena grupper eller heterogena grupper, detta motiveras till exempel utifrån vilken uppgift man ska arbeta med och vad man har för mål med arbetet. Om man till exempel vill lösa ett problem kan det vara fördelaktigt att arbeta i heterogena grupper då man kan ha fördel av flera olika perspektiv och att personer med olika lärstilar är olika aktiva i olika faser av problemlösandet. Vill man däremot gå igenom ett nytt svårt område inom matematiken kan det vara bättre att ha en homogen grupp där alla föredrar liknande läraktiviteter (Honey & Mumford, Lärstilar- Handledarguide, 2006a). Andinger och Karlsson (2006) konstaterar också att den individanpassning som är resultatet av att utforma undervisningen efter elevernas lärstilar är mycket positiv för elevernas utveckling i skolan.

…våra sinnen är den bästa inkörsporten för att nå eleverna och för att den pratiska tillämpningen av lärstilsteorin ska kunna ge positiv respons hos den lärande individen (Andinger & Karlsson, 2006, s. 14).

3.2.4 Olika presentationsformer

Det är av tidsmässiga skäl orimligt att försöka anpassa all undervisning efter varje elevs föredragna lärstil. Det är inte heller säkert att det är något att sträva efter då forskning har visat att man genom att arbeta med sina svagare lärstilspreferenser kan utveckla sin inlärningsförmåga (Honey & Mumford, 2006a; Gersne, 2005; Andinger & Karlsson, 2006). Dessutom finns det andra fördelar med att variera sina undervisningsaktiviteter, både att elever lär sig på olika sätt och lär sig att lära sig på olika sätt men också för att lära eleverna att bättre förstå varandra (Andinger & Karlsson, 2006; Enhager, 1999). Genom att använda olika kommunikativa plattformar eller medier kan man ge flera olika exempel i olika

25

representationsformer vilket är viktigt för att underlätta begreppsutvecklingen (Niss, 2001) samtidigt som det riktar undervisningen mot olika lärstilar. Dessutom har man också möjlighet att stärka länkarna mellan noderna i det aktuella associativa nätverket. En möjlig förklaring till detta är att man genom varierade former för kommunikation bättre knyter an till olika elevers väl befästa spontana begrepp. Detta genom att kommunicera i det media genom vilket det spontana begreppet först uppstod och därför närma situationen den ursprungliga (Rystedt & Trygg, 2005).

Genom att variera olika kommunikationskanaler och läraktiviteter samtidigt som man är lyhörd för den enskilda elevens behov säkerställer man en hög kvalitet på undervisningen och därmed också en god behållning av innehållet bland eleverna. Det är viktigt att poängtera att kvaliteten på aktiviteterna går före kvantiteten men för att nå bästa kvalitet på undervisningen bör ett minimum av tre olika presentationsformer användas. När undervisningen handlar om ett konkret föremål ska detta om möjligt finnas till hands för att elevernas förståelse ska bli så fullständig som möjligt (PADI, 2003; SSI, 2002).

3.3 Erfarenhetspedagogik

Vygotskij menar att en viktig del av människors tillägnande av nya erfarenheter sker i samspel med andra som kan och vet mer. Den proximala utvecklingszonen definierar han som skillnaden mellan det en person klarar av på egen hand och vad personen kan klara av med hjälp av någon annan som kan och vet mer. Den proximala utvecklingszonen är den nivån som Vygotskij menar lämpar sig bäst för undervisning. (Oddbjörn & Hallen, 2001)

Det blir sagt at samene har ”over tjue ulike ord for snø”. Yngve Ryd, kulturforsker, forfatter og friluftslivsmenneske, var interessert i å vite hvilke disse ordene er og hva de betyr. Han oppsøkte derfor en eldre reindriftsame og spurte – og fikk vite svært lite.

Yngve Ryd ga seg ikke. Etter flere år av felles turer, gjennom alle tider på året og i ulike føre- og værforhold med ulike ærender og sysler, samlet han inn over tre hundre ord knyttet til snø og is. Fra en eneste informant, Johan Rassa i Jokkmokk.

26

Det ble en svært leseverdig bok. Den formidler innsikter som er høgviktige for alle som liker å ferdes i vinterlandskapet. De kvaliteter i snøriket som den viser til kan vi neppe skjelne hvis vi ikke eier ordene.

Men leseren innser snart at den verden det gjelder er umulig å fange innenfor bokpermer. Nyansenes mangfold og presisjonen i iakttakelser og språk imponerer. Men i godstolen og i lyset fra bordslampen kan leseren neppe gjøre denne kunnskapen til sin egen (Tordsson, 2006).

Med detta exempel vill Tordsson visa vad som är karaktäristiskt för den handlingsburna kunskapen. Johan Rassa kunde inte räkna upp de olika orden för att beskriva snö utanför dess kontext. Ute i snön kunde han däremot fler än tre hundra. Ute i snön kunde också Yngve Ryd se och uppleva vad orden syftade till och därför också förstå dem och göra dem till sina egna (Tordsson, 2006).

Erfarenhetspedagogiken grundar sig i erfarenhetskunskapen, den kunskap som kommer från inlärning och utveckling som uppkommer i en situation. Tanken bakom erfarenhetspedagogiken är att i en situation där man konfronteras med ett problem eller en uppgift som man ska lösa tillägnar man sig erfarenhet under tiden man arbetar med lösningen. Istället för att enbart prova sig fram och uppfinna hjulet på nytt varje gång man stöter på ett problem, menar man inom erfarenhetspedagogiken att individen, utifrån sina erfarenheter och lärdomar tillsammans med någon som kan och vet mer, ska kunna agera kreativt och meningsfullt utifrån de krav som situationen ställer. För att detta ska fungera effektivt behöver situationen:

 Vara meningsfull för eleven.

 Vara utmanande men inte ohanterlig, det vill säga inom den närmaste utvecklingszonen.

 Erbjuda någon form av direkt feedback så att eleven genast uppmärksammas på vad som är rätt och vad som inte är det.

John Dewey som ligger bakom uttrycket "learning by doing" menade själv att härma och ta efter någon som kan och vet mer är en viktig del av inlärningen. Han är noga med att tydliggöra skillnaden mellan upplevelser och erfarenheter i en lärsituation. Detta var en

27

nödvändighet då dessa två ord delar samma ord i engelskan nämligen experience. Att en individ upplever någonting innebär inte att hon automatiskt lär sig något utan det är först när upplevelsen bearbetas som den ger upphov till erfarenhet och bidrar till utveckling av det associativa nätverket (Tordsson, 2008; Tordsson, 2006).

Feedback under lösningsprocessen ger eleven medel att förstärka det som är meningsfullt och leder till framkomliga vägar för att slutligen komma fram till lösningen. Detta i motsats till det som blivit allt för vanligt i undervisningen, att trycka ner eleverna i stövelskaften genom att peka ut alla fel och brister. Skillnaden ligger i att inte påpeka och korrigera det som är fel utan att förstärka det som är rätt vilket ger eleven större utrymme att framställa och utveckla sina egna lösningskonstruktioner. (Bauersfeld, 1998)

3.3.1 Att kunna och att veta

Jon Bojer Godal är en av frontfigurerna när det gäller handlingsburen traditionell kunskap i Norge. Han arbetar både med att dokumentera kunskapen och med att återskapa den. I detta har han även kommit i kontakt med pedagogiken inom utbildningssystemet.

Jon skiller mellom å kunne og å vite. Kunnskap, i denne forstand, er uoppløselig knyttet til handling, til det å kunne noe. Viten trenger ikke å være knyttet til handling men dreier seg om tankemessig erkjennelse av saksforhold (Tordsson, 2006).

Enligt Tordsson menar Godal att man i skolan, och då framförallt den senare delen, är allt för upptagen av att veta och därför förbiser kunskapen. Tordsson skriver att man med vetande definierar ord och begrepp i förhållande till varandra. För att orden och begreppen ska ge någon verklig mening behöver de också förstås och knytas an i förhållande till verkligheten och först då blir det till kunskap. (Tordsson, 2006)

Ett annat sätt att benämna dessa aspekter på förståelse är inom matematiken är med relationell och instrumentell förståelse. Den relationella förståelsen innebär att känna till hur olika begrepp hör samman och varför medan den instrumentella förståelsen består av att isolerade bitar av information (Skemp, 1976). Skillnaden mellan att kunna och veta kan också anas när

28

Tine Wedege med flera påpekar att det finns en klyfta mellan den matematiken som används i vardagslivet och skolmatematiken (Jablonka, 2003; Wedege, 2002). Även de fyra stegen i Melins trappa (Österholm, 2006) och framförallt de fyra f:en i lpf 94 (1994) tydliggör denna klyfta och påtalar behovet av att överbrygga den.

3.3.2 Traditionell folklig inlärning

Enligt den traditionella folkliga inlärningen sker inlärning genom upplevelse och erfarenhet av verkliga situationer. Man lär sig att bygga båtar genom att bygga båtar och man lär sig att segla genom att segla. Inlärningen sker genom deltagande och samspel i situationer där kunskapen behövs. Där blir situationen lärare och lärarens uppgift blir istället att uppsöka och utnyttja situationer samt att finnas som stöd. Inlärningen sker steg för steg tills hela processen behärskas.

Første oppgave for en blivende båtbygger var gjerne å tulle si, det vil si å ordne det mellomlegg av dyrehår som tetter mellom bordene. Neste oppgave var å høvle og felle tofte, altså å passe inn det tverrbord som en sitter på (en ganske vanskelig oppgave, men hvor en har råd å mislykkes uten å sløse med virke eller ødelegge byggeriet). Senere ble oppgaven å bygge babordsiden. Mesteren bygget styrbordsiden, og der ble selve formskapingen gjort. Disse målene ble siden overført til babordsiden og kopiert av lærlingen (Tordsson, 2006).

Genom att härma och göra efter en som kan och vet mer gör eleven tillslut kunskapen till sin egen. Genom träning och repetition lärs fasta procedurer in, dessa skänker trygghet i genomförandet och ger utrymme för improvisation. (Tordsson, 2006)

29

3.4 Uteskole

Uteskole er en arbeitsmåte hvor man flytter deler av skolehverdagen ut i nærmiljøet. Uteskole innebærer dermed regelmessig aktivitet utenfor klasserommet. Arbeitsmåten gir eleverne anledning til å ta alle sansene i bruk slik at de får personlige og konkrete erfaringer i møte med virkeligheten. Arbeitsmåten gir rom for faglige aktiviteter, spontan utfoldelse og lek, nysgjerrig søken, fantasi opplevelse og sosialt samvær. Utskole handler om å aktivisere alle skolefagene i en integrert undervisning hvor ute- og inneaktiviteter har nær sammenheng, idet eleverne lærer om virkeligheten i virkeligheten; dvs. om naturen i naturen, om samfunnet i samfunnet og om nærmiljøet i nærmiljøet (Nikolaisen Jordet, 2005, s.

24).

Nikolaisen Jordet menar att man genom arbetssättet uteskole bör tillrättalägga undervisningen så att den blir uppdelad i tre steg; förarbete, uteupplevelse samt bearbetning och reflektion. Han skriver uttryckligen att det i förarbetet ska ingå planering och litteraturstudium. Vidare säger han att en förutsättning för att uteskolen ska nå sin fulla potential är att man knyter en nära förbindelse mellan uteaktiviteter och inneaktiviteter. En av de viktigaste slutsatserna han för fram i sin bok är att stoffets innehåll och betydelse blir tydligare för eleverna när det bygger på deras egna erfarenheter (Nikolaisen Jordet, 2005).

För att uteskola ska bli en framgångsrik undervisningsmetod måste eleverna, precis som med alla andra undervisningsmetoder, få tid att vänja sig vid den. Uteskola handlar både om att skapa och/eller finna bra lärsituationer och om att kunna gripa tillfället när det dyker upp. Detta ställer höga krav på lärarens förmågor. Många elever har svårt att lära sig utifrån sina upplevelser på grund av att de inte kommer ihåg dem, det innebär att dessa elever behöver stöd för att kunna reflektera över situationen, till exempel genom någon form av dokumentation. Att uppleva en situation och sedan komma ihåg tillräckligt mycket för att på ett givande sätt kunna reflektera över upplevelsen kräver träning och vana. Detta brukar ges mycket tid i uteskolan. Genom att diskutera och jämföra sina upplevelser med andras kan eleverna få en rikare förståelse och även möjlighet att utvärdera sina egna erfarenheter genom andras perspektiv (Tordsson, 2006).

30

Vi må stimulere til ikke kun å spørre hva og hvordan, men også hvorfor. Dermed bygger vi en bro mellom sanselig erfaring og tankemessig forståelse (Tordsson, 2006).

3.5 Artefakter

Rystedt och Trygg (2005) använder sig av begreppet laborativt material och delar upp detta i vardagliga föremål respektive pedagogiskt material. Vardagliga föremål är saker som eleverna upplever i sin vardag så som koppar, äpplen, stenar och tandpetare. Pedagogiskt material är tillverkat speciellt för matematikundervisning. En del vardagliga föremål passar utmärkt som pedagogisk material och att skilja de olika grupperna åt är inte helt enkelt.

En avgörande skillnad som jag menar finns är att vardagliga föremål är knutna till och beskrivna av elevernas spontana begrepp. Pedagogiskt material inte är det och måste därför knytas an och beskrivas innan det kan användas för att befästa matematiska begrepp hos eleverna (författarens anmärkning).

Att arbeta med artefakter i tillrättalagda pedagogiska situationer har visat sig mycket värdefullt för begreppsutveckling bland elever. Detta förklaras av att dessa situationer ofta innehåller problemlösning eller utforskande arbete och uppmuntrar samarbete och kommunikation vilket enligt Vygotskij är viktiga moment i begreppsutvecklingen. (Rystedt & Trygg, 2005)

Artefakter används ofta för att visa samband eller illustrera och konkretisera matematiska begrepp (Rystedt & Trygg, 2005). Artefakter erbjuder en kommunikationskanal som på ett enkelt och effektivt sätt kompletterar de som annars är standard i undervisningen, så som tal och skrift. Artefakter adresserar fler lärstilar och ger därmed fler elever bättre möjligheter att tillgodogöra sig undervisningen i större grad (Gersne, 2005; Andinger & Karlsson, 2006; Tandi Clausen, 2005).

31

4 Pragmatisk del

4.1 Teoretiskt underlag

I Kursplanen för matematik A är ett av målen att eleven efter avslutad kurs ska "kunna ställa upp och tolka linjära ekvationer och enkla potensekvationer samt lösa dem med för problemsituationen lämplig metod och med lämpliga hjälpmedel" (Utbildningsdepartementet, 1994).

Ulin (2001) menar att utifrån styrdokumenten är läromedlen, på grund av sitt bristfälliga innehåll när det gäller begreppsutveckling, inte tillräckligt för att tillgodose elevernas behov av begreppsutveckling. En slutsats jag drar utifrån detta är att varje lärare måste tillgodose detta behov på andra sätt. Detta vill jag uppnå, bland annat, genom att använda artefakter i undervisningen. Utifrån erfarenhetspedagogiken vill jag även förstärka fördelarna med artefakter i undervisningen genom att medvetet fokusera på direkt feedback. Som utgångspunkt för artefakten i detta arbete har jag valt att enbart fokusera på enkla ekvationer av grad ett. Målsättning för arbetet med artefakten är att eleverna ska ge de olika begreppen som är inblandade i ekvationslösningen ett innehåll som är meningsfullt för dem.

4.1.1 Begreppsutveckling

Artefakten är ämnad att göra eleverna mer bekanta med ekvationer och några där till knutna begrepp. Utifrån målet i kursplanen, se ovan, har jag valt ut elementen nedan. Det är viktigt att alla ingående begrepp klart och tydligt definieras eftersom det inte är säkert att alla eleverna har samma förförståelse för dem. De begrepp som eleverna ska fylla med innehåll är:

 Ekvation  Matematiska objekt  Variabler  Konstanter  Högerledet (HL)  Vänsterledet (VL)  Likhetstecknet (=)

32

 Prioriteringsregler

 Att göra samma sak på båda sidorna

 Mål med ekvationslösning: Lösning eller rot

Detta är matematiska begrepp men det kan mycket väl vara så att det finns elever som använder något eller några av dessa i sin vardag. Om så är fallet kan det vara en bra ingång för att börja arbete med begreppen. I annat fall kan det vara gynnsamt att se om man kan finna några närliggande vardagliga begrepp som man kan knyta an till. Eftersom förförståelsen är en viktig del i skapandet av förståelse (Österholm, 2006), är det slöseri med både tid och resurser att inte utnyttja den när den finns.

Artefakten har för avsikt att exemplifiera dessa begrepp och antingen komplettera tidigare innehåll alternativt påbörja utvecklingen av ett nytt. Då det inte räcker med ett eller ett fåtal exempel (Niss, 2001; Ulin, 2001) är det uppenbart att artefakten inte får ses som någon universell lösning utan endast som ett av många medier för exemplifiering.

En del av begreppsutvecklingen sker i kommunikationen mellan elev - elev och mellan elev - lärare. Språket spelar därmed viktig roll i begreppsutvecklingen. Åtminstone när man pratar om rätt saker (Engström, 1998a). Min avsikt är att artefakten ska kunna tjäna som katalysator i diskussioner genom att tjäna som utgångspunkt på denna och på så sätt stimulera kommunikationen i klassrummet.

Många matematiska begrepp har en mycket hög abstraktionsnivå och eftersom de inte har någon koppling till konkreta objekt är deras egentliga mening inte tillgänglig för elever i gymnasieskolan (Engström, 1998b). Detta innebär att elevernas förståelse för dessa måste skapas i en kontext av andra begrepp och objekt.

4.1.2 Lärstilar

För att eleverna ska få så stor behållning av arbetet som möjligt fordras att de assimilerar de nya begreppen i deras associativa nätverk. Olika elever gör detta bäst vid olika faser av arbetet. För att ytterligare förbättra den långsiktiga behållningen av arbetet behövs ett visst

33

mått av repetition. Genom att arbeta med artefakten vid flera tillfällen, och där med flera varv i lärcykeln, vinner man bland annat:

 Behållning genom repetition.

 Återkommande arbete i den situation som dominerar varje elevs lärstil.

 Möjlighet att utveckla svagare lärstilar.

 Flera omgångar av reflektion vilket är en förutsättning för att upplevelser ska bli erfarenheter.

Genom att anpassa arbetet runt artefakten är det möjligt att ytterligare adressera de olika perceptuella preferenserna beroende på hur balansen ser ut i undervisningen i övrigt. Ett förslag på hur detta kan se ut ges av tabell 4-1 nedan där jag utifrån vilka aktiviteter som tilltalar de olika lärstilarna värderar vilka lärstilar som gynnas och i vilken grad.

Aktivitet \ Lärstil Te Pr Ak Re Au Vi Ta Ki 1 Artefakter 1 1 1 1 1 2 Muntliga instruktioner 1 1 1 3 Läsa texter 1 1 1 4 Skriva 1 1 1 1 1 5 Diskutera 1 1 1 6 Titta på bilder 1 Summa 3 3 2 3 2 4 2 1

Tabell 4-1: Några aktiviteter som kan vara aktuella i arbetet med artefakter. Teoretisk(Te), Pragmatisk(Pr), Aktiv(Ak), Reflekterande(Re), Auditiv(Au), Visuell(Vi), Taktil(Ta) och Kinestetisk(Ki). En "etta" betyder att aktiviteten är positiv för lärstilen och summan beskriver balansen i undervisningsmomentet.

4.1.3 Erfarenhetspedagogiskt perspektiv på artefakter

I en situation där begreppen används för att beskriva någonting får begreppen mening. Att eleverna är delaktiga i arbetet med artefakten skapar förutsättningar för kommunikation kring situationen och en rikare upplevelse av den. Enbart upplevelsen har lite med erfarenheter att göra, det är först när eleven reflekterar över situationen som upplevelsen bidrar i bildandet av erfarenheter. Detta är mycket viktigt och innebär att arbetet med artefakten utan efterföljande reflektion är ungefär som att se en film, trevligt men föga begreppsutvecklande. Ett visst mått av reflektion kommer förmodligen av sig självt men jag menar att det bör ges utrymme för den i planeringen så att läraren kan stötta eleverna även i denna fas.

34

En viktig erfarenhet hämtar jag från uteskolan. Elever måste ges tid att vänja sig vid nya arbetsmetoder för att de ska kunna koncentrera sig på något annat än bara den nya situationen. I arbetet med artefakten föreslår jag att detta sker genom tid avsatt för att bekanta sig med artefakten. Först efter att eleverna bekantat sig med artefakten kan man sedan successivt utveckla arbetet.

35

5 Aktiv del

5.1 Utformning av artefakten

Jag menar att en balansvåg på ett bra sätt illustrerar en ekvation eftersom de har några uppenbara likheter. Balansvågen är ett vardagsföremål enligt Rydstedt och Trygg (2005) och skulle därmed inte behöva någon närmare introduktion. Efter att ha läst en artikel där detta togs upp fick jag dock en tankeställare. Enligt läraren som intervjuas är ett vanligt sätt att konkretisera ekvationer, med just bilden av en balansvåg. Detta är en bra tanke men för att det ska ge någon mening måste eleverna vara bekanta med vad en balansvåg är och hur den fungerar vilket enligt den intervjuade, Cecilia Christiansen, ofta inte är fallet (Lagerlöf, 2008). På grund av detta har jag valt att utveckla min artefakt som pedagogiskt materiel med likheter med en balansvåg. Avsikten med detta är att de elever som är bekanta med balansvågen, gungbrädan eller liknande ska kunna knyta an till dessa. Jag har först ställt upp en kravanalys för artefakten utifrån kursplanen för matematik A (Utbildningsdepartementet, 1994).

5.2 Kravanalys

Artefakten ska ge ekvationsbegreppet fysisk form. Den måste därför i alla relevanta avseende ha samma egenskaper som en ekvation, begränsat till enkla ekvationer av första ordningen.

De matematiska objekt och funktioner som ska finnas inbyggda i artefakten är:

 Obekanta tal

 Bekanta Tal

 Högerledet (HL)

 Vänsterledet (VL)

 Likhetstecknet (=)

 Addition, subtraktion, division och multiplikation

 Prioriteringsregler

 Att göra samma sak på båda sidorna

 Att lösa enklare ekvationer

Utifrån de pedagogiska kraven på artefakten ska den kunna:

36

 Illustrera att ett objekt är lika med ett annat objekt utifrån någon aspekt.

 Inom varje objekt och mellan objekten hantera de fyra räknesätten och prioriteringsreglerna på ett matematiskt korrekt och lättbegripligt sätt.

 Användas för att lösa en ekvation i samma steg som när man använder papper och penna.

 Motivera och utmana eleverna.

 Erbjuda direkt feedback vid arbete med ekvationer.

 Fungera som en brygga mellan konkreta och abstrakta begrepp.

 Erbjuda en utgångspunkt för diskussion kring de olika begreppen.

5.3 Konstruktion

Med utgångspunkt i en balansvåg kommer artefakten att gestalta ekvationer som momentjämvikt där momentet medurs är lika stort som momentet moturs, ↻ 𝑀 = ↺ 𝑀. För att få ett stabilt läge där vågoket hänger vågrätt behöver vågokets tyngdpunkt vara under dess axel. Addition och subtraktion hanteras genom att hänga på eller av vikter. För att möjliggöra hantering av negativa tal konstruerades ett enarmsok som via två kugghjul ger ett moment som blir motriktat det naturliga på varje sida vågaxeln. För att möjliggöra en förenkling av artefakten konstrueras så att oken för hantering av negativa tal är löstagbara och kan monteras av och på vid behov. Multiplikation och division hanteras genom att med flyttbara krokar kunna variera avståndet till vågaxeln längs våglinjen enligt principen för beräkning av moment, momentet är lika med kraften multiplicerat med hävarmens längd, ↻ 𝑀 = 𝑙 ∗ 𝐹 där l är hävarmens längd i meter och F är kraften i Newton. Skalan på oken är en enhetsskala så att momentet stämmer men genom att bestämma vad som är "Ettan" kan den anpassas till olika ekvationer. En principskiss på artefakten finns i figur 5-1 nedan.

Artefaktens funktion blir sådan att eleverna under arbetet med den ska sträva efter att behålla jämvikten. Genom att vågoket tyngs ner på ena sidan visar det att balansen är rubbad och att likheten inte längre gäller. Denna feedback kommer direkt och eleverna kan därmed korrigera det som ledde till obalansen. På detta sätt förstärks de handlingar som är tillåtna medan de som inte är det kan korrigeras.

37

Kravprofilen uppfylls och exemplifieras enligt följande:

 Obekanta tal som obekanta vikter

 Bekanta Tal som kända vikter

 Högerledet (HL) som höger del av vågoket samt höger negativa vågok

 Vänsterledet (VL) som vänster del av vågoket samt vänster negativa vågok

 Likhetstecknet (=) representeras av vågaxeln

 Addition, subtraktion genom att hänga respektive hänga av vikter på positiva respektive negativa ok

 Division och multiplikation genom variabelt avstånd till vågaxeln

 Prioriteringsregler genom att t.ex. hänga flera vikter på samma krok

 Att göra samma sak på båda sidorna för att behålla balansen

Om läsaren är intresserad av en tankeställare kring vad det innebär att vara bildvisuell, taktil eller kinestetisk i en auditiv och textbaserad skola är det bara att fatta en penna och ett papper

innan du vänder på bladet. Försök utifrån texten ovan skissa upp artefakten. Sedan är det bara att vända blad och jämföra din skiss med figur 5-1.

39

Den lilla detalj som sitter ovanför vågaxeln är en extra detalj när eleverna blivit lite mer säkra Den lilla detaljen på ritningen som sitter ovanför vågaxeln är en liten vattenkopp som stjälper ut om balansen rubbas. Om den används måste alla ändringar göras på båda sidorna samtidigt. Detta är avsett som en lite feedback för att roa eleverna. I det givna exemplet skulle det till exempel kunna vara att hänga på en "Etta" i samma Krok som "Femman" samtidigt som man hänger av "Ettan" från den negativa kroken i VL.

Figur 5-1: En principskiss av artefakten med ekvationen 2x-1 = 5

Lika med ( = ) Högerled (HL) Vänsterled (VL) Negativa tal för VL Positiva tal för VL Negativa tal för HL * 1 * 2 ÷2 Positiva tal för HL * 1 _{* 2} ÷2 5 1 = Flyttbar krok 1 = "Talet 1"

40

6 Reflekterande del

Under arbetet har jag strävat efter att svara på frågorna som presenterades under syfte. Dessa frågor svarar den teoretiska och pragmatiska delen på i god utsträckning. I vilken utsträckning artefakten själv svarar till den kravprofil jag har ställt upp är svårt att gissa och kommer i stor utsträckning bero på hur arbetet med den genomförs (Tordsson, 2006). Eller som Rystedt och Trygg konstaterar: "Det som avgör i vilken mån ett material är bra, är alltså hur det används i förhållande till vad som ska läras" (Rystedt & Trygg, 2005, s. 34). Jag har ännu inte byggt artefakten så den är i skrivande stund begränsad till en teoretisk konstruktion och en ritning.

För att sätta artefakten i en, för elevernas begreppsutveckling, meningsfull situation menar jag att det är viktigt eller till och med nödvändigt att strukturera upp arbetet med och kring den. Genom att arbeta med artefakten på lektionstid kan man där skapa en situation där begreppen bearbetas och länkas till andra objekt som är relevanta i den situationen. På detta sätt kan man genom styrning av klassrumssituationen skapa starka kopplingar mellan flera begrepp och knyta dessa till en konkret upplevelse i klassrummet. Detta är helt i linje med det erfarenhetspedagogiska arbetssättet och en utmärkt början för att tillägna sig kunskap (Tordsson, 2008). För att alla elever ska ges möjlighet att tillägna sig nya erfarenheter i den situation som passar dem bäst kan arbetsgången till exempel följa Honey och Mumfords lärcykel (2006a) och bestå av de olika faserna; teori, planering, genomförande och reflektion.

Jag har valt att inte presentera någon närmare beskrivning över hur arbetet med artefakten kan eller bör genomföras då detta bör utgå ifrån elevernas utgångsläge och förförståelse vilket naturligtvis kan variera stort från klass till klass. Dessutom beror arbetet mycket på läraren och dennes erfarenhet och vana av att arbeta med liknande hjälpmedel. Artefakten i sig själv bidrar inte till någon begreppsutveckling och tilltalar inte heller någon lärstil. Det är i arbetet med artefakten som dess fördelar blir tillgängliga och hur arbetet genomförs är avgörande för om det blir givande för eleverna. Jag ser det som en förutsättning att läraren har en mycket klar och tydlig planering för hur arbetet ska genomföras och vilka moment som ska ingå, bland annat för att tilltala olika elevers lärstilar och förförståelse. Läraren bör samtidigt vara medveten om att en viss flexibilitet och lyhördhet för elevernas respons kan tillföra mycket när det gäller avkastningen från den i arbetet investerade tiden.

41

Reflektionen är enligt Tordsson (2006) en förutsättning för att utifrån en upplevelse tillägna sig erfarenhet och där med även begreppsutveckling. Detta skulle innebära att den reflekterande fasen var nödvändig för alla, vilket inte påtalas i någon av den övriga forskning jag tagit del av. Min tolkning av detta utifrån lärstilsteorin är att upplevelsen som Tordsson talar om inte bör ses som begränsad till den aktiva fasens upplevelse utan istället att den av eleven föredragna fasen är den som ger eleven bäst upplevelse och därmed underlag för reflektion i den efterföljande fasen. Detta resonemang betyder, som exempel, att för en teoretiskt präglad elev sker upplevelsen i den teoretiska fasen. Det skulle i sin tur betyda att eleven reflekterar och tillägnar sig erfarenheter, i huvudsak i den pragmatiska fasen. Om detta resonemang stämmer skulle det innebära ytterligare motivering till att arbeta i alla faserna kontinuerligt och kanske speciellt i fasen som följer efter respektive elevs föredragna.

Frågan om ifall artefakten kommer tillföra något för eleverna är också frågan om meningen med detta arbete. Om min artefakt förbättrar elevernas begreppsutveckling är detta arbete meningsfullt. Om detta arbete har medfört att jag på ett bättre sätt kan stötta mina elever i deras utbildning har det också varit meningsfullt. Utifrån teorin i kapitel 3.2 och resonemanget i kapitel 3.6 har jag visat att artefakter i allmänhet kan vara gynnsamma för elevernas begreppsutveckling i matematik. Däremot kan jag ännu inte svara på om min artefakt kommer stötta eleverna i deras begreppsutveckling. Utvecklingsbaserade projekt är svåra att utvärdera innan man kan se vilken effekt de haft på utvecklingsobjektet och i vilken utsträckning det leder till ökad måluppfyllelse (Wede, Bringedal Tveit, & Lepikko, 2008).

En viktig kritisk synpunkt när det gäller användandet av pedagogiska hjälpmedel är att åskådliggörandet sällan stöder matematiken utan att det istället är matematiken som ger åskådliggörandet mening (Bauersfeld, 1998). Detta är en mycket viktig aspekt. En risk med artefakter kan vara att de, i sig självt, är så svåra att förstå att de tillför nya svårigheter och därigenom gör undervisningen mer komplicerad. Detta menar jag att man kan undvika genom att dels göra artefakten så enkel som möjligt och dels genom att låta eleverna bekanta sig med artefakten innan den knyts an till matematiken. I mitt fall skulle en empirisk studie där elever arbetar med ekvationer, en grupp med en vanlig balansvåg, en grupp helt utan artefakt, och en grupp med min artefakt kunna svara på om artefakten fyller sin avsedda funktion och om den gör det i större utsträckning än den som vanligen används i sammanhanget. Jag kommer istället utvärdera artefakten genom kontinuerlig utvärdering i den reflekterande fasen enligt

42

modellen i figur 2-1 på sidan 13. Så här långt kan jag endast konstatera att jag efter bästa förmåga försökt tillägna mig relevant teori och utifrån den och styrdokumenten göra det som jag tror är bäst för att mina blivande elever ska lyckas med sina studier.

6.1 Summering

Det enda jag kan se som något nytt inom teorin i detta arbete är kopplingen mellan

erfarenhetspedagogiken och begreppsutvecklingen samt vilken betydelse denna kan få inom matematikundervisningen. Även om teorierna bakom Erfarenhetspedagogiken har mycket gemensamt med den konstruktivistiska synen på kunskap tror jag att detta är en meningsfull koppling framförallt när det gäller den direkta feedbacken under lösningen av problem och uppgifter.

Genom lärstilsteorin har jag visat att man genom att arbeta med artefakter kan tilltala fler lärstilar och därmed fler elever i undervisningen. Jag har också visat att artefakten inte automatiskt gör att eleverna förbättrar sin begreppsutveckling utan att det är i strukturerade undervisningssammanhang dess fördelar blir tillgängliga.

Artefakten som jag har konstruerat kan säkert tillföra något för en del elever men jag tror att jag saknar den erfarenhet som behövs för att på ett meningsfullt sätt värdera dess funktion, utan att först använda den i en undervisningssituation. Lärcykeln är av denna anledning en motiverad modell för fortsatt utveckling av den.

43

7 Efterord

Detta arbete har varit en intressant resa. Den har varit mycket lärorik och utmanande och innebär en vändning i mitt liv där jag går från att vara elev till att vara lärare. Under arbetets gång har jag dessutom haft glädjen att bli sambo med mitt livs kärlek, i ett litet radhus. Även om själva flytten kom mitt i arbetet och tog ganska mycket tid. Så sist men absolut inte minst vill jag tacka min sambo och blivande fru Anna-Maria för allt stöd och all hjälp du har gett mig så att jag kunnat och orkat skriva mitt arbete. MTD