Utv¨
ardering av DC-labben
Daniel Ankelhed
Division of Automatic Control
Department of Electrical Engineering
Link¨
opings universitet
, SE-581 83 Link¨
oping, Sweden
WWW:
http://www.control.isy.liu.se
E-mail:
ankelhed@isy.liu.se
19th January 2006
AUTOMATIC CONTROL
COMMUNICATION SYSTEMS
LINKÖPING
Report no.:
LiTH-ISY-R-2724
Technical reports from the Control & Communication group in Link¨oping are available athttp://www.control.isy.liu.se/publications.
Abstract
I denna rapport j¨amf¨ors tv˚a olika metoder f¨or att ta fram en modell f¨or att kunna reglera en DC-motor med lead-lag reglering. I den ena metoden identifieras tv˚a parametrar i en given modell av andra ordningen, medan i den andra metoden skattas ett antal punkter i ett bodediagram direkt med hj¨alp av frekvensanalys. Resultaten indikerar att de tv˚a metoderna ¨ar ungef¨ar likv¨ardiga f¨or den process som studerats.
Utv¨
ardering av DC-labben
Daniel Ankelhed
2006-01-19
1
Introduktion
I denna rapport behandlas f¨oljande punkter:
1. Unders¨okning av linj¨aritet f¨or alla servon med avseende p˚a statisk f¨orst¨ ark-ning.
2. Framtagning av modeller enligt anvisningar i labb-PM f¨or samtliga servon. (Tv˚aparametermodell)
3. Framtagning av frekvenssvar f¨or alla servon. (Frekvensanalys)
4. Genomf¨orande av design enligt labb-PM f¨or alla servon baserade p˚a dels modeller fr˚an punkt 2 dels f¨or modeller fr˚an punkt 3.
5. Verifiering f¨or samtliga designer huruvida specifikationerna i tidsplanet ¨ar uppfyllda.
6. Hur man gick tillv¨aga (f¨or varje servo) d˚a specifikationerna ej var upp-fyllda.
1.1
Matematisk beskrivning och beteckningar
I detta avsnitt beskrivs n˚agra formler och samband som anv¨ands senare i rap-porten. St¨orre delen ¨ar h¨amtad fr˚an labbkompendiet, men ¨ar f¨or enkelhets skull ¨
aven inkluderad h¨ar. 1.1.1 DC-motorn
En matematisk modell av DC-motorn (¨overf¨oringsfunktion) ges av G1(s) = k0γ
s(sτ + 1) = K1
s(sτ + 1). (1)
Sambandet mellan insignal och utsignal ges av
Y (s) = G1(s)U (s) (2)
d¨ar U (s) ¨ar styrsignalen till systemet och Y(s) ¨ar vinkell¨aget transformerat med Laplace-transform. ¨Aven sambandet mellan insignal och vinkelhastighet ¨
G2(s) = k0α
sτ + 1 (3)
och vinkell¨aget ges av
V (s) = G2(s)U (s) (4)
d¨ar V (s) betecknar Laplace-transformen av vinkell¨aget. Mer detaljer ges i labb-PM.
1.1.2 Lead-lag regulatorn Lead-lag regulatorn kan skrivas som
F (s) = KN s + b s + bN
s + a
s . (5)
Mer information ges i labb-PM. 1.1.3 Krav p˚a slutet system
Kraven som st¨alls p˚a det slutna systemet ¨ar de som presenteras p˚a sidan 3 i labb-PM:
1. Stigtid: TR≤ 0.2s 2. ¨Oversl¨ang: M ≤ 15%
3. Felundertryckning: Felet fr˚an en lastst¨orning skall helt regleras ut och med en lastst¨orning p˚a 1 V skall felet efter 4s vara mindre ¨an 0.1 V. Enligt tabell 5.16 och 5.17 kan krav 1 och 2 ¨overs¨attas till krav i frekvens-dom¨anen. TR≤ 0.2 s ⇒ ω0TR= 1.8 ⇒ ω0≥1.8 0.2 = 9 ωc ω0 = 0.8 ⇒ ωc= 7.2 ≈ 8 ζ = 0.6 ⇒ φm≈ 60◦
Krav 3 g˚ar inte att ¨overs¨atta p˚a ett enkelt s¨att. Dock kan man enkelt simulera det om man tar fram en tv˚aparametermodell. Det visar sig att krav 1 blir redundant. Krav 2 blir ett krav p˚a fasmarginalen och krav 3 blir ett krav p˚a sk¨arfrekvensen.
1.2
Numrering av servon
Whiteboard-tavla DC1 DC2 DC3 DC4 DC5 DC6 DC7 DC8Ing˚ang till RT1.
2
Linj¨
aritet f¨
or statiska f¨
orst¨
arkningar
I detta avsnitt unders¨oks huruvida den statiska f¨orst¨arkningen f¨or DC-motor-erna ¨ar linj¨ar eller ej.
2.1
Genomf¨
orande
Genom att m¨ata v(t), dvs vinkelhastigheten, d˚a insignalen ¨ar ett steg och v¨anta till signalen har stabiliserat sig, kan den statiska f¨orst¨arkningen unders¨okas. Insignalen valdes som
U (s) = c
s (6)
d¨ar c ∈ {−1.5, −1.2, . . . , −0.3, −0.2, −0.1, 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 1.2, 1.5}. T¨atare punkter kring nollan valdes allts˚a.
I experimentet noterades utsignalen f¨or varje valt v¨arde p˚a c. Proceduren genomf¨ordes p˚a var och en av de ˚atta DC-motorerna.
2.2
Resultat
Genomg˚aende ¨ar DC-motorerna linj¨ara. Med ett undantag bildar punkterna en r¨at linje som g˚ar genom origo. Undantaget ¨ar DC8 som avviker n˚agot. Detta ¨
ar knappast n˚agot som kommer att m¨arkas i praktiken.
3
Tv˚
aparametermodell
I detta avsnitt best¨ams parametrarna i en tv˚aparametermodell. F¨orfarandet ¨ar v¨al beskrivet i labb-PM, varf¨or ingen utf¨orlig beskrivning tas med h¨ar. Resul-tatet kan ses i tabell1. Notera att DC6 avviker med ett mycket stort v¨arde p˚a K1j¨amf¨ort med ¨ovriga, medan DC8 har mycket l¨agre v¨arden p˚a alla konstanter ¨
an ¨ovriga DC-motorer.
4
Frekvensanalys
I detta avsnitt tas ett frekvenssvar fram f¨or ett begr¨ansat antal frekvenser. Dessa frekvenser ligger omkring den sk¨arfrekvens som ¨ar aktuell f¨or att genomf¨ora designen i laborationen.
Table 1: Identifierade parametrar, se ekvation (1) f¨or beskrivning av K1 och τ . I tabellen finns ¨aven vmax vilken anv¨ands i frekvensanalysen. V¨art att notera ¨
ar att DC6 har ett mycket stort v¨arde p˚a K1 medan DC8 har sm˚a v¨arden p˚a K1, τ och vmaxj¨amf¨ort med de ¨ovriga motorerna.
DC K1 τ vmax 1 39.2 0.26 6.5 2 45.5 0.26 6.4 3 40.0 0.25 6.4 4 37.7 0.26 6.2 5 40.0 0.26 6.0 6 54.1 0.25 6.3 7 48.8 0.25 6.2 8 33.9 0.18 4.8
4.1
Genomf¨
orande
Ett interface har utvecklats i Labview f¨or att kunna generera insignaler i form av sinusv˚agor d¨ar amplitud och frekvens kan varieras och d¨ar utsignalen sedan kan m¨atas. Eftersom systemet G1 inneh˚aller en integrator kommer utsignalen att driva iv¨ag, varf¨or systemet G2ist¨allet kommer att analyseras. Resultatet m˚aste d¨arefter modifieras f¨or att frekvenssvaret ska motsvara det som kommer fr˚an G1. Skillnaden ¨ar en faktor αsγ vilket i amplituddiagrammet motsvaras av |αωγ | och i fasdiagrammet av en f¨orskjutning motsvarande -90 grader. Den sk¨arfrekvens som designen brukar ligga kring ¨ar ω = 10rad/s varf¨or frekvensanalysen har genomf¨orts f¨or w ∈ {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} med amplituden 1.
F¨or varje frekvens som har unders¨okts har utsignalens fasf¨orskjutning och f¨orst¨arkning noterats. Proceduren har upprepats f¨or varje servo.
F¨or att f˚a v¨ardet p˚a konstantenαsγ = K1
vmax kan man ber¨akna K1enligt labb-PM och vmaxgenom att m¨ata slutv¨ardet vid ett steg av h¨ojden ett som insignal till systemet G2. H¨ar antas att detta v¨arde ¨ar konstant oberoende av amplitud och frekvens. Sedan anv¨ands f¨oljande samband f¨or att ber¨akna f¨orst¨arkningen vid varje frekvens.
|G1(iω)| = |G2(iω)| γ
α|iω| (7)
d¨ar |G2(iω)| ¨ar den uppm¨atta amplituden f¨or utsignalen.
F¨or att ber¨akna argumentet g¨aller f¨oljande samband d¨ar d betecknar sys-temets fasf¨orskjutning i sekunder och T ¨ar periodtiden.
arg G2(iω) = d · 360
T =
d · 360 · ω
2π (8)
arg G1(iω) = arg G2(iω) − 90◦ (9)
4.2
Resultat
Amplitudf¨orst¨arkningarna och fasf¨orskjutningarna som erh¨olls vid frekvensana-lysen kan besk˚adas i tabell2 respektive tabell3.
Table 2: I tabellen visas amplitudf¨orst¨arkningar vid olika frekvenser f¨or de ˚atta olika DC-motorerna. F¨orst¨arkningarna skattades genom att ta medelv¨ardet av beloppen av min- och maxv¨ardet f¨or sinusv˚agen.
ω DC1 DC2 DC3 DC4 DC5 DC6 DC7 DC8 7 3.05 3.00 3.035 3.00 3.03 2.835 3.21 2.91 8 2.75 2.72 2.73 2.69 2.725 2.585 2.815 2.67 9 2.475 2.455 2.475 2.43 2.475 2.28 2.70 2.455 10 2.225 2.225 2.25 2.205 2.26 2.055 2.46 2.27 11 2.025 2.04 2.075 2.02 2.085 1.885 2.26 2.10 12 1.90 1.875 1.92 1.87 1.92 1.715 2.11 1.955 13 1.755 1.72 1.77 1.735 1.79 1.585 1.96 1.84
Table 3: I tabellen visas fasf¨orskjutningar uttryckt i grader vid olika frekvenser f¨or de ˚atta olika DC-motorerna. Tiden m¨attes med en noggrannhet av 0.01 sekunder. Notera att viss inkonsekvens i form av icke monotont avtagande fasf¨orskjutning finns bland de framr¨aknade v¨ardena, vilken kan h¨arledas till den begr¨ansade noggrannhet som fanns tillg¨anglig vid m¨atningen.
ω DC1 DC2 DC3 DC4 DC5 DC6 DC7 DC8 7 -156.2 -156.2 -154.2 -160.2 -152.2 -160.2 -154.2 -144.1 8 -158.8 -158.8 -158.8 -158.8 -154.2 -161.0 -158.8 -147.3 9 -162.2 -162.2 -162.2 -159.6 -159.6 -164.8 -162.2 -151.9 10 -164.5 -164.5 -161.6 -164.5 -161.6 -170.2 -167.3 -153.0 11 -165.6 -165.6 -165.6 -168.8 -162.5 -171.9 -168.8 -159.3 12 -165.6 -172.5 -172.5 -169.1 -165.6 -175.9 -172.5 -158.8 13 -171.9 -171.9 -168.2 -168.2 -168.2 -179.4 -171.9 -160.8
Table 4: Tabellen visar medelskillnaderna mellan de olika metoderna (tv˚aparametermodell − frekvensanalys) ¨over alla frekvenser som har unders¨okts.
DC ampl. skilln fasskilln.
1 0.107 6.1 2 0.054 6.3 3 0.081 5.8 4 0.006 5.9 5 -0.079 2.3 6 0.243 11.6 7 -0.108 7.6 8 0.047 3.4
Intressant kan vara att se hur mycket skillnad det ¨ar mellan de olika metod-erna att ta fram modell. I tabell 4 kan man se skillnaden mellan de olika metoderna f¨or frekvenserna kring sk¨arfrekvensen. I figur 1 och figur 2 visas amplituddiagram och fasdiagram f¨or frekvenser kring sk¨arfrekvensen f¨or de b˚ada modellerna.
5
Design av regulator baserad p˚
a tv˚
aparameter-modell
I detta avsnitt beskrivs hur regulatorn togs fram baserad p˚a tv˚ aparameter-modellen beskriven i labb-PM.
5.1
Genomf¨
orande
Utifr˚an de givna kraven ¨oversattes dessa i avsnitt1.1.3till krav i frekvensplanet. Stegstorleken som anv¨andes f¨or att verifiera krav 1 och 2 hade storleken 3, medan stegstorleken som anv¨andes f¨or att verifiera krav 3 var 1 (enligt labb-PM). Generellt sett gick designen till p˚a f¨oljande s¨att.
1. Krav p˚a sk¨arfrekvens och fasmarginal togs fram enligt ber¨akningar i avs-nitt1.1.3och enligt grundkursboken.
2. Eftersom en tv˚aparametermodell tagits fram kunde ett stegsvar simuleras och en stegst¨ornings effekt unders¨okas. Krav 1 och 2 var uppfyllda, men inte krav 3. N¨ar den ¨onskade sk¨arfrekvensen ¨okats till 10 rad/s och ¨aven N justerats eftersom fasmarginalen f¨ors¨amrats d˚a sk¨arfrekvensen ¨okats, uppfylldes alla kraven i simuleringen.
3. Regulatorn utv¨arderades mot verkligheten och parametrarna modifier-ades.
Eftersom designen f¨or alla DC-motorerna ¨ar identiska f¨or steg 1 och 2 presenteras endast steg 3 f¨or varje DC-motor.
DC1. Pga f¨or stor ¨oversl¨ang (20%) fick fasmarginalen justeras. N ¨okades fr˚an 7 till 9.
Table 5: Tabellen visar v¨arden f¨or lead-lag parametrar vid design baserad p˚a tv˚aparametermodell. DC K N b a M 1 0.23 9 3.33 1 ∞ 2 0.23 7 3.78 1 ∞ 3 0.25 7 3.78 1 ∞ 4 0.25 9 3.33 1 ∞ 5 0.26 7 3.78 1 ∞ 6 0.19 7 3.78 1 ∞ 7 0.21 7 3.78 1 ∞ 8 0.27 5 4.47 1 ∞ DC2. Kraven uppfylldes. DC3. Kraven uppfylldes.
DC4. Lite f¨or stor ¨oversl¨ang (17%) erh¨olls vilket gjorde att N ¨okades fr˚an 7 till 9.
DC5. Kraven uppfylldes. DC6. Kraven uppfylldes. DC7. Kraven uppfylldes.
DC8. Systemet var f¨or l˚angsamt (TR ≥ 0.2s). Den ¨onskade sk¨arfrekvensen ¨
okades fr˚an 9 till 10.
5.2
Resultat
De parametrar som erh¨olls kan ses i tabell5.
6
Design av regulator baserad p˚
a frekvensanalys
I detta avsnitt presenteras hur designen av lead-lag regulatorn utf¨ordes d˚a mod-ellen av processen tagits fram med frekvensanalys.
6.1
Genomf¨
orande
Utifr˚an kraven som givits ¨oversattes i avsnitt 1.1.3 detta till krav i frekvens-planet. Stegstorleken som anv¨andes f¨or att verifiera krav 1 och 2 hade storleken 3, medan stegstorleken som anv¨andes f¨or att verifiera krav 3 var 1 (enligt labb-PM). Generellt sett gick designen till p˚a f¨oljande s¨att.
1. Krav p˚a sk¨arfrekvens och fasmarginal togs fram enligt ber¨akningar i avs-nitt1.1.3och enligt grundkursboken.
2. Efter utv¨ardering mot verkligheten ins˚ags att det beh¨ovdes st¨orre sk¨ ar-frekvens f¨or att uppfylla krav 3.
Table 6: V¨arden f¨or lead-lag parametrar vid design baserad p˚a frekvensanalys. DC K N b a M 1 0.26 8 3.54 1 ∞ 2 0.22 8 3.54 1 ∞ 3 0.25 8 3.54 1 ∞ 4 0.24 10 3.16 1 ∞ 5 0.25 7 3.78 1 ∞ 6 0.20 12 3.18 1.1 ∞ 7 0.18 8 3.54 1 ∞ 8 0.28 5 4.47 1 ∞
3. Den ¨onskade sk¨arfrekvensen ¨okades och fasmarginal bibeh¨olls s˚a att kraven uppfylldes. Onskad sk¨¨ arfrekvens ¨okades fr˚an 8 till 10. Parametern N ¨
okades fr˚an 7 till 8.
Avvikelser fr˚an denna arbetsg˚ang presenteras nedan. DC1. Kraven uppfylldes.
DC2. Kraven uppfylldes. DC3. Kraven uppfylldes.
DC4. ¨Oversl¨angen var f¨or stor. Parametern N ¨okades fr˚an 8 till 10. DC5. Parametern N beh¨ovde inte ¨okas fr˚an 7 f¨or att uppfylla kraven.
DC6. Parametern N ¨okades till 11 f¨or att uppfylla kraven d˚a ¨oversl¨angen var f¨or stor.
DC7. Kraven uppfylldes.
DC8. Parametern N best¨amdes till 4 och den ¨onskade sk¨arfrekvensen till 9 rad/s. Efter utv¨ardering mot verkligheten ¨okades N till 5 f¨or att krav 2 skulle uppfyllas.
6.2
Resultat
De parametrar som erh¨olls kan ses i tabell6.
7
Behov av underh˚
all
N˚agra servon ¨ar inte i lika bra form som ¨ovriga och beh¨over antingen en service eller bytas ut.
DC4 beter sig lite konstigt, man kan f˚a lite olika stor ¨oversl¨ang fr˚an g˚ang till g˚ang.
DC5 beter sig v¨aldigt ryckigt.
DC6 verkar g˚a tr¨ogt, men l˚ater inget speciellt. DC7 ger ifr˚an sig ett konstigt skrapande ljud.
8
Sammanfattning
De tv˚a olika typer av modelleringar av processen (tv˚aparametermodell och frekvenssvarsmodell) som tagits fram ger en viss olikhet i den modell kring den ¨onskade sk¨arfrekvens som anv¨ands vid design av lead-lag regulator. Efter-som modellen Efter-som tagits fram med frekvensanalys har fokus p˚a att beskriva vad som h¨ander kring sk¨arfrekvensen och lead-lag designen baseras p˚a DC-motorns beteende kring sk¨arfrekvensen, b¨or denna design ge b¨attre resultat. De exper-imentella resultaten verifierar dock inte detta, utan det g˚ar lika bra att basera designen p˚a tv˚aparametermodellen.
6 8 10 12 14 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 Amplituddiagram DC1 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 −175 −170 −165 −160 −155 −150 Fasdiagram DC1 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Amplituddiagram DC2 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 −175 −170 −165 −160 −155 −150 Fasdiagram DC2 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Amplituddiagram DC3 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 −175 −170 −165 −160 −155 −150 Fasdiagram DC3 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 Amplituddiagram DC4 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 −170 −168 −166 −164 −162 −160 −158 −156 −154 −152 −150 Fasdiagram DC4 2p−mod Frekv.
6 8 10 12 14 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Amplituddiagram DC5 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 −170 −168 −166 −164 −162 −160 −158 −156 −154 −152 −150 Fasdiagram DC5 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Amplituddiagram DC6 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 −180 −175 −170 −165 −160 −155 −150 Fasdiagram DC6 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Amplituddiagram DC7 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 −175 −170 −165 −160 −155 −150 Fasdiagram DC7 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Amplituddiagram DC8 2p−mod Frekv. 6 8 10 12 14 −165 −160 −155 −150 −145 −140 Fasdiagram DC8 2p−mod Frekv.
Avdelning, Institution Division, Department
Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering
Datum Date 2006-01-19 Spr˚ak Language Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats ¨Ovrig rapport
URL f¨or elektronisk version http://www.control.isy.liu.se
ISBN — ISRN
—
Serietitel och serienummer Title of series, numbering
ISSN 1400-3902
LiTH-ISY-R-2724
Titel Title
Utv¨ardering av DC-labben
F¨orfattare Author
Daniel Ankelhed
Sammanfattning Abstract
I denna rapport j¨amf¨ors tv˚a olika metoder f¨or att ta fram en modell f¨or att kunna reglera en DC-motor med lead-lag reglering. I den ena metoden identifieras tv˚a parametrar i en given modell av andra ordningen, medan i den andra metoden skattas ett antal punkter i ett bodediagram direkt med hj¨alp av frekvensanalys. Resultaten indikerar att de tv˚a metoderna ¨
