1
Linköpings universitet | Matematiska institutionen Examenarbete grundnivå, 15 hp | Utbildning - Matematikdidaktik Höstterminen 2020 | LiU-LÄR-MA-G--2021/04--SE
Hur gymnasieelevers
förståelse av statistik
påverkas av uppgifter i
läroböcker
How Upper Secondary School Students´ Understanding
of Statistics is Affected by Problems in Textbooks
Mohamad Hadi Mohammadi
Handledare: Björn Textorius
Examinator: Jonas Bergman Ärlebäck
Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden 013-28 10 00, www.liu.se
2
Institutionen för (ange institution) 581 83 LINKÖPING
Seminariedatum 2021-01-13
Språk (sätt kryss före) Rapporttyp ISRN-nummer (fyll i löpnr) X Svenska/Swedish
Engelska/English
Examensarbete grundnivå LIU-LÄR-MA-G--2021/04--SE
Titel
Hur gymnasieelevers förståelse av matematik påverkas av uppgifter i läroböcker Title
How high school students understanding of statistics is affected by problems in textbooks Författare
Mohamad Hadi Mohammadi
Sammanfattning
Statistik används alltmer i både vardagen och inom olika vetenskapsområden. Detta gör det viktigt att skolans matematik ge eleverna möjlighet till att utveckla sin kunskap om statistik. Men det finns undersökningar som visar
svårigheter hos elever och studenter i att förstå olika statistikområden, bland annat standardavvikelse samt studier om att problemlösning spelar en stor roll i elevernas matematikförståelse speciellt i svenska skolor där läroböcker har blivit någon form av styrinstrument. Därför studeras i denna studie hur gymnasieelevers förståelse av olika
statistikområde påverkas av uppgifter i läroböcker.
Nyckelord
3
Innehållsförteckning
1. Inledning och teoretisk bakgrund ... 1
2. Bakgrund ... 4
2.1 Statistik ... 4
2.2 Statistik i gymnasiets kursplaner ... 5
2.2.1 Lägesmått ... 5 2.2.2 Spridningsmått ... 6 2.2.5 Regressionsanalys ... 8 2.2.6 Korrelation ... 8 2.2.7 Kausalitet ... 8 2.2.8 Normalfördelning ... 9 2.2.9 Urval ... 9 2.2.10 Svarsbortfall ... 10
2.3 Procedur- och problemlösningsförmåga ... 11
2.3.1 Procedurförmåga ... 11
2.3.2 Problemlösningsförmåga... 11
3. Syfte och frågeställningar ... 12
4. Metod ... 13 4.1 Innehållsanalys ... 13 4.2 Genomförande ... 14 4.2.1 Avgränsning ... 14 4.2.2 Val av litteratur ... 14 4.2.3 Kategorisering av uppgifterna ... 15 5. Resultat ... 18 5.1 Matematik origo 1b/1c ... 18 5.2 Matematik origo 2b ... 19 5.3 Matematik origo 2c ... 20 5.4 Beskrivning av resultaten ... 21 6. Diskussion ... 22 6.1 Metoddiskussion ... 22 6.2 Resultatdiskussion ... 22 7. Vidare forskning ... 22 8. Referenser ... 23 9. Bilaga ... 25
1. Inledning och teoretisk bakgrund
I forskningslitteraturen har observerats att amerikanska nybörjarstudenter i statistik har svårigheter att hantera statistiska grundbegrepp i andra än algoritmiska sammanhang (Liu & delMas, 2005). Det finns även studier genomförda av svenska forskare som visar att både lärare och elever har problem med att förstå statistiska procedurer och tolka graf samt dra slutsatser från statistiska data (Ärlebäck et al., 2020). Dessa resultat ledde till funderingar om en av orsakerna kunde vara att uppgifterna i läromedlen på föregående stadium inte gav tillräckligt stöd för eleverna att utveckla sina begreppsbilder från operationella till strukturella och att statistikstudenterna därför hade svårigheter med icke-algoritmiska uppgifter.
Jag fann det därför intressant att undersöka vilka uppgiftstyper i statistik, som förekommer i svenska gymnasieläroböcker. Finns det kanske en översikt av uppgifter av rutinkaraktär inom vissa statistikområden, som kan leda eleverna till att begränsa sig till en operationell förståelse av vissa grundbegrepp? Nedan beskrivs lärobokens funktion och de teoretiska ramverk som är grunden till denna studie, dvs teorin om didaktiska situationer och Sfards teoretiska ramverk. Läroböckernas funktion är att ge stöd och stimulans i undervisning. De ska vara källor för kunskapsinhämtning för elever samt spegla kursplaner och detaljerat omsätta kursmålen. Vidare ska läroböcker vara hjälpmedel och redskap för elevernas inlärning genom att bland annat innehålla tillräcklig omfattning av uppgifter med olika svårighetsgrad. En bra lärobok kan övertala läraren att låta boken styra undervisningen, vilket kan bero på bland annat kunskapsbrist hos läraren eller tidsbrist. Läroböcker har inte officiellt status som styrdokument men dessa har blivit inofficiella styrinstrument (Wyndhamn, n.d.). Även Johansson påpekar i sin studie om textböckers roll i matematikundervisning att läromedel har en dominerande roll i matematikundervisning i både Sverige och flera andra länder. Enligt Johansson har läromedlen blivit det viktigaste verktyget i
matematikundervisning i skolor och har en avgörande roll i beskrivningen av matematik och skolans matematik, lärarnas val av undervisningsinnehåll och lektionsplanering (Johansson, 2003).
2
Brousseaus teori om didaktiska situationer, TDS, förklarar varför det är attraktivt att bygga undervisningar på tillämpning av algoritmer och varför en sådan undervisning inte är effektivt. Enligt Brousseau kan elevers svårigheter med matematik bero på elevernas icke utvecklade förståelse av matematiken. Ett enklare och tidseffektivt men riskfullt sätt att överbygga elevernas svårigheter är att försöka presentera algoritmer för att eleverna ska kunna lösa uppgifter utan att utveckla sin matematiska förståelse. Brousseau hävdar att denna tidseffektivitet och det faktum att algoritmer är tillförlitliga vid lösning av uppgifter gör att en förenkling av undervisningen blir attraktiv för både läraren och eleverna (Brousseau, 1997). Brousseau skriver vidare att vissa läroböcker är designade så att de kan lätt omvandla matematiklärandet till elevernas sökning efter nyckelord för att kunna lösa uppgifter med hjälp av givna algoritmer, vilket inte utvecklar deras matematiska förståelse. Eleven kan t.ex tolka begreppet ”mindre än” som subtraktionsalgoritm, vilket intealltidstämmer.
Undervisning och läroböcker som baseras på presentation av algoritmer kräver inte av
eleverna ny kunskap, tolkning av uppgifter och matematisk förståelse, därför är de ineffektiva ur ett lärandeperspektiv (Brousseau, 1997).
Enligt Sfards teoretiska ramverk kan två olika bilder av abstrakta begrepp utvecklas hos individer vilka kompletterar varandra: den operationella begreppsbilden och den strukturella begreppsbilden. För de flesta är utveckling av den operationella begreppsbilden det första steget i att skaffa sig förståelse kring ett nytt matematiskt begrepp, medan den strukturella är mer abstrakt och utvecklas efter utveckling av den operationella begreppsbilden. En
operationell begreppsbild gör att individen tolkar begreppet som processer och algoritmer. Med en strukturell begreppsbild kan individen se begreppet som en helhet och självständigt objekt. Övergången från en operationell begreppsbild till en strukturell genomförs i tre steg: internalisering, kondensering och objektifiering. I det första steget tas nya begrepp upp vid genomförande av processer på de redan kända begreppen. I det andra steget lär man sig se helheten och slutligen i det sista steget kan individen se begreppen som integrerade objekt (Sfard, 1991).
Utveckling av operationell begreppsbild är nödvändig och ibland tillräckligt, men med bara den operationella begreppsbilden kan inte enheter behandlas som abstrakt objekt och det gör att det blir svårare att hantera mer komplicerade processer eftersom det blir svårt att dela dem i mindre hanterbara delar. Med utveckling av den strukturella begreppsbilden ökar kapaciteten för ny information och problemlösningsförmåga och på så sätt blir inlärningen mer effektiv. Operationellttänkande ger inte mer än instrumentell förståelse. (Sfard, 1991)
3
De konsekvenser för elevers lärarande, som fokus på algoritmer i läroböcker enligt Brousseau (1997) har, kan i Sfards ramverk tolkas som att deras begreppsbilder inte utvecklas från operationella till strukturella.
4
2. Bakgrund
I detta avsnitt ges en kort beskrivning av begreppet statistik och vissa andra begrepp inom statistik som ingår i det centrala innehållet för kurser i matematik på gymnasienivå och tas upp i en representativ läroboksserie för ämnet matematik på gymnasienivå. För att tydliggöra vad som menas med dessa begrepp anges ett exempel efter varje definition. I vissa exempel utgås ifrån datamängden A={23, 54, 16, 12, 13, 19, 33, 34, 57, 14, 112, 1, 33, 54, 33, 57, 23, 33, 16, 33}.
2.1 Statistik
Begreppet statistik kommer från det latinska ordet status som betyder ställning. Statistik, enligt Stukat (1991), innebär att sammanfatta sifferuppgifter i form av tabell eller figur med syftet att beskriva förändringar och förhållanden i ett fenomen. En annan betydelse av begreppet statistik är att statistik är ett verktyg som används inom forskning för att samla in, beskriva och bearbeta statistiska uppgifter och dra slutsatser utifrån dessa (Stukat, 1991). Nationalencyklopedin definierar statistik som ”dels uppgifter om omvärlden i numerisk form, vanligen presenterade i tabeller och diagram, dels vetenskapen om hur data med inslag av slumpmässig variation eller osäkerhet ska insamlas, utvärderas och presenteras” (NE b, u.d.). Tillämpad statistik, dvs insamling och tolkning av data, är en urgammal vetenskap som användes i den forntida Egypten för att beräkna folk och boskap. Först under 1900-talet blev statistik ett eget ämne. Utveckling av de metoder som används inom statistik har skett med utgångspunkt i problem inom andra vetenskapliga ämnen som biologi, medicin, teknik och samhällsvetenskap. Idag används statistik inom alla vetenskapliga ämnen där kvantitativa mätningar görs (NE, f, u.d.).
Beskrivande statistik, explorativ dataanalys och statistisk inferensteorin är några områden inom ämnet statistik. I den beskrivande statistiken används olika statistiks mått, exempelvis standardavvikelse, medelvärde och median för att beskriva data. Inom den explorativa dataanalysen används data och modeller för att hitta samband och testa hypoteser. Den statistiska inferensterorin som utvecklades på 1920-talet handlar om skattningar och
hypotesprövningar, där data hämtas från slumpmodeller och okända parametrar skattas utifrån data med en viss osäkerhet (NE, f, u.d.).
5 2.2 Statistik i gymnasiets kursplaner
Enligt Skolverket ska undervisning i matematik på gymnasiet ge eleverna förutsättningar att utveckla förmågan att:
• kunna använda matematiska begrepp och förstå sambandet mellan dem • kunna använda matematiska procedurer för att lösa standardiserade uppgifter
• kunna lösa och analysera matematiska problem samt värdera strategier och resultaten • tolka matematiska modeller och värdera deras egenskaper och begränsningar
• kunna föra matematiska resonemang och bedöma dem
• kommunicera matematiken både muntligt, skriftligt och i handling
• relatera och använda matematiken till andra ämnen och vardagen (Skolverket, u.d.). Beroende på val av program läser gymnasieelever olika spår i matematikämnet. Matematik 1a ingår i samtliga yrkesprogrammen, matematik 1b ingår i ekonomiprogrammet, estetiska programmet, humanistiska programmet och samhällsvetenskapsprogrammet och matematik 1c ingår i teknikprogrammet och naturvetenskapsprogrammet. Senare kurser i matematik byggs på dessa kurser, exempelvis matematik 2a kan byggas på matematik 1a, 1b eller 1c. Sannolikhet och statistik ingår i det centrala innehålleti kurserna matematik 1a, 1b, 1c, 2b och 2c enligt Skolverkets kursplan för matematik på gymnasienivå. När det gäller statistik ska statistiska metoder och resultat som används inom vetenskap och i samhället behandlas i kurserna matematik 1a, 1b och 1c. I det centrala innehållet för kurserna matematik 2b och 2c ingår analys av statistiska metoder för rapportering av undersökningar och mätdata,
resonemang kring korrelation och kausalitet, beräkningsmetoder för lägesmått och spridningsmått inklusive standardavvikelse samt beräkningar på normalfördelning (Skolverket, u.d.).
2.2.1 Lägesmått
Viss information om de värden en variabel antar i ett material kan anges med hjälp av så kallade lägesmått. Nedan beskrivs tre vanliga lägesmått som förekommer i läroböcker i matematik på gymnasienivå.
6
Typvärde
Typvärde, det vanligaste förekommande värdet i en datamängd, är ett enkelt centralmått som ger en snabb men ytlig information om data, enligt stukat (Stukat, 1991).I datamängden A förekommer värdet 33 fem gånger vilket är flest jämfört med andra värden i datamängden, därför är 33 typvärdet.
Median
Median i ett datamaterial är värdet för variabeln som delar datamaterialet på mitten när datamaterialet har rangordnats på något sätt. Om datamaterialet inte går att rangordna är det omöjligt att beräkna medianen. Om antal värden som variabeln antar är udda är medianen det mittersta värdet och om antal värden som variabeln antar är jämnt är medianen medelvärdet av de två mittersta värdena (Stukat, 1991). Om man rangordnar datamängden A får man A={1, 12, 13, 14, 16, 16, 19, 23, 23, 33, 33, 33, 33, 33, 34, 54, 54, 57, 57, 112}. Antal värden i datamängden är 20 vilket är ett jämnt tal, därför är medianen medelvärdet mellan de tionde och elfte värdena, dvs 33.
Aritmetiskt medelvärde
Aritmetiskt medelvärde är det mest kända bland centralmåtten. Det beräknas genom att dividera summan av värdena som variabeln antar med antalet värden.
𝑚 =∑ 𝑥 𝑛
Aritmetiska medelvärdet är känslig för extrema värden som variabeln antar (Stukat, 1991). Det aritmetiska medelvärdet för datamängden A blir:
𝑚 =23 + 54 + 16 + 12 + 13 + 19 + 33 + 34 + 57 + 14 + 112 + 1 + 33 + 54 + 33 + 57 + 23 + 33 + 16 + 33
20 = 33,5
2.2.2 Spridningsmått
Datamaterial kan presenteras exempelvis med hjälp av tabeller eller diagram. Typvärde, median och aritmetiskt medelvärde är olika centralmått som kan ge information om datamaterial. Dessa centralmått kan vara användbara i olika situationer beroende på bland annat vilken skaltyp som använts vid mätningar och undersökningar, men var och en av dem har sina nackdelar. Till exempel är det aritmetiska medelvärdet känsligt för extrema värden vilket kan orsaka en missvisande bild av datamaterialen. Dessutom ger det aritmetiska medelvärdet ingen information om hur ett observationsvärdes förhåller sig till medelvärdet. Två olika undersökningar kan ha likadana typvärde, aritmetiskt medelvärde och median
7
medan observationerna i dessa undersökningar inte har samma värden, därför behöver man exempelvis undersöka hur spridda eller samlade observationer är, det vill säga
observationernas fördelning vilket kallas för spridningsmått (Stukat, 1991).
De vanligaste spridningsmåtten är variationsbredd och standardavvikelse. Nedan ges en kort beskrivning av dessa samt andra spridningsmått som tas upp i ämnet matematik på gymnasiet.
Variationsbredd
Variationsbredd eller variationsvidd är den enklaste spridningsmåttet och fås fram genom att beräkna skillnaden mellan högsta och minsta observationsvärdena. Variationsbredd är ett grovt mått och påverkas av extrema observationsvärden (Rudberg, 1993). I datamängden A är 1 och 112 de minsta och högsta värdena, därför blir variationsbredden 112 − 1 = 111.
Standardavvikelse
Standardavvikelse är det mest använda spridningsmåttet och beskriver hur långt värden som en variabel antar i genomsnitt ligger från det aritmetiska medelvärdet. Om
observationsvärdena ligger samlade kring det aritmetiska medelvärdet kommer
standardavvikelsen att vara liten. En stor standardavvikelse innebär att observationsvärdena är långt utspridda från aritmetiskt medelvärde. Kvadraten till standardavvikelse kallas för
variansen och beräknas med hjälp av nedanstående formel:
𝑠2 = 1
𝑛 − 1∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)
2 𝑛
𝑖=1
I formeln är s standardavvikelse, n är antal observationsvärden, 𝑥𝑖 är observationsvärden och
𝑥̅ är aritmetiskt medelvärde. För att undvika kancellationsfel, dvs noggranhetsförlust som kan inträffa bland annat på grund av avrundningar, ska beräkningar genomföras med stor
noggrannhet vid användning av formeln (Vännman, 1990). Variansen för datamängden A blir:
𝑠2 = 1 20 − 1∑(𝑥𝑖− 33,5) 2 20 𝑖=1 = 603,74
Detta ger en standardavvikelse på 24,57.
Kvartiler och kvartilavstånd
Nationalencyklopedin definierar kvartil som ”värde som i ett statistiskt material avgränsar de 25% största eller minsta värdena”. Detta innebär att nedre kvartilen, övre kvartilen och medianen delar datamängden i fyra lika stora delar (NE, c, u.d.). För datamängden A är nedre kvartilen 16+16
2 = 16 och högre kvartilen är 34+54
8
Percentiler
Enligt Nationalencyklopedin är percentil ett värde som avgränsar en viss procentandel av observationerna. Exempelvis 95% av observationerna ligger under 95 procent-percentilen (NE, d, u.d.). För datamängden A ligger bara värdet 112 över 95 procent-percentilen och resten av värdena ligger under den.
2.2.5 Regressionsanalys
Enligt NE är regressionsanalys en ”statistisk metod för analys av sambandet mellan en responsvariabel (beroende variabel) y och en eller flera förklarande x-variabler”. Med andra ord används regressionsanalys för att förklara observerad variation i en variabel med hjälp av andra variabler genom att definiera en funktionssamband mellan dem. Detta
funktionssamband kan vara linjärt. Sambandet brukar inte vara perfekt utan det finns residual variation i beroende variabeln som orsakas av bland annat mätfel (NE, a, u.d.). Exempelvis om några mätvärden på skostorlek y och fotlängd x är y={23, 24, 27, 29} och
x={37,39,42,45}, kan man med hjälp av en grafritande räknare få ett linjärt samband mellan x och y. Den räta linjens ekvation, 𝑦 = 1,26𝑥 + 8,21, som man får är ekvationen till linjen som ligger så nära värdena på x och y som möjligt (Szabo, et al., 2012).
2.2.6 Korrelation
Ibland behöver man undersöka om det finns något samband mellan en variabel med annan variabel och i så fall vilket samband och hur starkt sambandet är. Samband på statistikens språk kallas för korrelation, enligt Rundberg. Korrelation mellan variablerna kan vara positiv, negativ eller nollkorrelation. Om höga värden i en variabel ger höga värden i den andra variabeln och låga värden i första variabeln ger låga värden i andra variabeln är sambandet en positiv korrelation. Ifall höga värden i ena variablerna ger låga värden i andra variabeln och vice versa är det en negativ korrelation mellan dessa variabler. Om det inte finns något samband mellan variablerna säger man att det är nollkorrelation. Sambandets styrka mellan variablerna kallas för korrelationskoefficient och kan vara mellan -1 och 1. En
korrelationskoefficient med värdet noll innebär nollkorrelation och ju närmare 1 och -1 är korrelationskoefficienten desto starkare samband finns mellan variablerna (Rudberg, 1993).
9
Korrelation kallas även för siffersamband och visar om det finns något samband mellan variabler. Ibland visar korrelation ett orsakssamband eller kausalitet vilket innebär att det ena företeelse orsakar det andra (Rudberg, 1993). Exempelvis är korrelationen mellan
elförbrukning och utomhustemperatur ett orsakssamband, lägre utomhustemperatur orsakar mer elförbrukning. Men i en undersökning kan man få värden på variabler så att det blir ett samband mellan variablerna men variablerna orsakar inte varandra, exempelvis om
variablerna visar tiden föräldrar lägger på sociala medier och hur många gånger barn till dessa föräldrar blir sjuka. Detta är en korrelation men inget orsakssamband.
2.2.8 Normalfördelning
Normalfördelning innebär en fördelning av observationer enligt Gausskurvan. I en perfekt normalfördelning sammanfaller typvärde, aritmetiskt medelvärde och median och
observationerna delas i två likadana delar. Om en företeelse är normalfördelad ligger cirka 34 procent av observationer mellan det aritmetiska medelvärdet och en standardavvikelse uppåt eller nedåt. Mellan en standardavvikelse och två standardavvikelser ligger cirka 14 procent och mellan två standardavvikelser och tre standardavvikelser ligger cirka 2 procent av observationerna (Stukat, 1991).
Figur 1, Gausskurva (källa: matteguiden)
2.2.9 Urval
Mätningar och undersökningar, beroende på bland annat begränsning av resurser och
populationens storlek, kan göras antingen på hela eller en grupp inom populationen. Baserad på detta kallas undersökningen för populationsundersökning respektive
stickprovsundersökning. Det finns olika urvalsmetoder som kan tillämpas vid
stickprovsundersökningar. Systematiskt urval, obundet slumpmässigt urval och stratifierat urval är några av dessa metoder. Vid tolkning av statistiskt material är det viktigt att ha
10
kunskap om urvalsmetoder för att kunna värdera resultaten rätt (Stukat, 1991). Exempelvis för att genomföra ett systematiskt urval kan man välja var femte person från en lista och för att genomföra ett obundet slumpmässigt urval kan man numrera personerna i listan och med hjälp av räknare välja ut några nummer.
2.2.10 Svarsbortfall
Bortfall förekommer i de flesta undersökningar när till exempel vissa inom gruppen inte svarar på undersökningsfrågor. Därför behövs en bortfallsanalys göras för att kunna resonera kring undersökningens tillförlitlighet (Stukat, 1991). Detta kan man göra exempelvis genom att genomföra en mätning eller undersökning bland personer som inte svarat på
undersökningsfrågor. Det innebär att man genomför en ny stickprovsundersökning för personer som inte svarat på undersökningsfrågor. Exempelvis om i en undersökning 30 procent av 1000 deltagande svarat ja till undersökningsfrågan och 40 procent svarat nej så har man ett stort svarsbortfall. För att genomföra bortfallsanalysen gör man en
stickprovsundersökning bland de som inte svarat på frågan. Om i den nya undersökningen svarar 25 procent ja kan man ange resultatet av undersökningen med hänsyn till svarsbortfall enligt nedan:
0,3 ∗ 700 + 0,25 ∗ 300 = 285 285
1000= 0,285 Vilket innebär att 28,5 procent svarat ja.
11 2.3 Procedur- och problemlösningsförmåga
Procedurförmåga och problemlösningsförmåga är två av de förmågorna, som Skolverket nämner som mål i matematikämnesplanen för gymnasiet. I detta avsnitt beskrivs kort dessa förmågor.
2.3.1 Procedurförmåga
Procedurförmåga innebär att kunna välja lämpliga matematiska procedurer och algoritmer och tillämpa dem för att lösa rutinuppgifter, dvs uppgifter av standardkaraktär, samt kunna hantera digitala verktyg. Det innebär att eleverna ska få förutsättningar att utveckla förmågan att identifiera vilka algoritmer som är lämpliga för vilka sorter av uppgifter och kunna tillämpa algoritmerna för lösning av uppgifterna (Skolverket b, u.d.).
2.3.2 Problemlösningsförmåga
Skolverket definierar ett problem som en uppgift som inte är av standardkaraktär och inte går att lösa på rutin. Det betyder att alla uppgifter, som inte kan lösas med en känd lösningsmetod, betraktas som problem. Undervisningen i matematik ska, enligt Skolverket, ge eleverna förutsättningar att kunna tolka, analysera och lösa matematiska problem. Det innebär att elevernas förmåga att använda lämpliga problemlösningsstrategier ska utvecklas samt att eleverna ska kunna resonera kring bland annat resultatens giltighet. Många nationer med framgångsrik matematikundervisning har en undervisning baserad på problemlösning där problem med olika kvalitativa nivåer ingår i undervisningen, vilket ger eleverna möjligheten att utmanas och utveckla sina matematikkunskaper, enligt Skolverket (Skolverket b, u.d.).
12
3. Syfte och frågeställningar
Syftet är att undersöka uppgifterna i kapitlen som handlar om statistik i en läroboksserie i matematik. Vilka typer av uppgifter förekommer inom varje statistikområde (se bilagan för att ta reda på hur statistiken delats upp i olika områden i denna studie)? Detta är intressant att veta eftersom svensk skolundervisning i hög grad är läroboksstyrd (Johansson, 2003) och studiens hypotes om att ett övervägande fokus på algoritmisk räkning inom ett visst statistikområde riskerar att inte ge gymnasieelever tillfälle att utveckla sina begreppsbilder från operationell till strukturell nivå. Därmed kan det försvåra för dem att uppnå målen för statistikundervisning i läroplanen i matematik.
Det syftet har lett till följande frågeställningar:
1. Vilka typer av uppgifter i statistik förekommer i allmänt använda läroboksserier i matematik för elever i det svenska gymnasiet?
2. Vilka möjligheter ger uppgifterna att uppnå målen i Skolverkets målbeskrivning för matematikundervisningen, speciellt att utveckla de förmågor som kräver en
13
4. Metod
Studien genomförs genom en kvantitativ innehållsanalys av den valda läroboksserien. Nedan beskriv genomförandet av innehållsanalysen samt vad som legat till grund för genomförandet.
4.1 Innehållsanalys
Innehållsanalys definieras av Krippendorff som en typ av forskningsteknik för att dra replikerbara och giltiga slutsatser från texter. Krippendorff kallar de steg som analytiker genomför vid en innehållsanalys för forskningsdesign. I den enklaste formen av en
forskningsdesign litar analytiker på tillgängliga texter för att svara på frågeställningar, enligt Krippendorff. Denna forskningsdesign bryter Krippendorff ner i sex olika steg: Unitizing,
sampling, recording/ coding, reducing data to manageable representations, abductively inferring contextual phenomena och narrating the answer to the research question.
(Krippendorf, 2013) Nedan beskrivs kortfattat och kopplas dessa steg till genomförandet av denna studie.
I steg ett, Unitizing, dras systematisk åtskillnad mellan olika texter såsom exempelvis dokument, figurer, ljud osv som är intressanta för analysen. I detta steg utelämnasirrelevant material och texter som inte kan åtskiljas utan förlust av mening hålls ihop (Krippendorf, 2013). Unitizing tillämpas i denna studie genom att särskilja mellan olika områden inom statistik och beräkna antal uppgifter separat för varje statistiskt område. I andra steget,
sampling, får analytikern spara resurser genom att göra ett urval av observationer som
representerar hela observationsmängden (Krippendorf, 2013). Sampling har implementerats i studien genom att välja en viss läroboksserie som används i svenska skolor vid undervisning av matematik på gymnasienivå. Valet av läroboksserien presenteras i avsnitt 4.2.2.
Tredje steget, recording/ coding, överbrygger klyftan mellan separata observationer och sammanhang de befinner sig i för att bland annat skapa analysbara dokument som är möjliga att tillämpa olika metoder på dem. En skriven text är redan ett analysbart dokument enligt Krippendorff (Krippendorf, 2013). Eftersom uppgifterna som analyseras i denna studie redan är analysbara dokument är det möjligt att använda TDS och Sfards teroretiska ramverk för att analysera och dra slutsatser. I fjärde steget, reducing data to manageable representations, kan analytiker få effektiv representation av datamängden genom att till exempel använda listade statistiska data, speciellt vid hantering av stora volymer av data (Krippendorf, 2013). I denna
14
studie har fokuserats på uppgifter inom statistik vilket innebär undersökning av två kapitel i valda läroboksserien, därför har datamängden en lagom volym för omfattningen av en uppsats av denna typ. I det sista steget, abductively inferring contextual phenomena och narrating the
answer to the research question, besvaras frågeställningarna och svaren tillgängliggörs för
andra (Krippendorf, 2013). Detta genomförs i denna studie i avsnitt ”6. Diskussion” där svaren till frågeställningarna diskuteras och slutsatser dras utifrån resultaten.
4.2 Genomförande
Som tidigare nämnts är denna studie en innehållsanalys av en läroboksserie med fokus på området statistik som har genomförts enligt Krippendorffs forskningsdesign. Genomförandet av studien krävde val av läroboksserie, en del avgränsningar samt vissa beslut för att
säkerställa resultaten och andra detaljer vilka redovisas här.
4.2.1 Avgränsning
Studiens syfte är att undersöka hur uppgifterna inom området statistik i en läromedelserie är lämpliga för att uppnå målen som nämnts i Skolverkets styrdokument, därför avgränsas undersökning av uppgifterna till kapitlen i läromedelserien som handlar om statistik.
Dessutom kan matematiska uppgifter delas in i olika klasser på olika sätt. I denna studie har valts att undersökningen begränsas till indelning av uppgifter i rutinuppgifter och problem. Problemen kan vidare delas in i olika kategorier baserad på uppgifternas tema, exempelvis problem som beskriver en vardagssituation eller problem med kritisk information osv, men i studien nöjs med indelning i de två nämnda huvudkategorier, dvs rutinuppgifter och problem, eftersom vidare indelning inte anses ge nytta i besvarande av studiens frågeställningar. Vidare har studien avgränsats till att undersöka en läroboksserie på grund av tidsbrist.
4.2.2 Val av litteratur
Val av läroboksserien har gjorts genom att först undersöka vilka läroboksserien som används för kursen matematik på gymnasienivå i svenska skolor. Bland de tillgängliga
läroboksserierna på Linköpings Universitetsbibliotek valdes serieboken Origo eftersom serien anses vara allmänt använd i gymnasists matematikkurser i svenska skolor samt jag själv har använt serien när jag läste gymnasiet på KOMVUX och är bekant med böckernas upplägg och struktur. Som tidigare nämnts ingår statistik i det centrala innehållet i kurserna matematik 1a, 1b, 1c samt 2b och 2c, därför är det just dessa böcker från origoserien som studeras. Kapitlen
15
som behandlar statistik i Matematik origo 1a, 1b och 1c innehåller samma uppgifter trots att Matematik origo 1a är en separat bok. När det gäller Matematik origo 2b/2c så tillhör vissa sidor i boken spåret 2b och vissa andra sidor tillhör spåret 2c.
4.2.3 Kategorisering av uppgifterna
kapitelstruktur
Det femte kapitlet i Matematik origo 1b/1c och det sjätte kapitlet i Matematik origo 2b/2c handlar om statistik och undersökts i denna studie. Varje kapitel i origoserien börjar med en kort beskrivning av kapitlets innehåll, kapitlets relation till ämnesplan i matematik och kapitlets kunskapsmål. Därefter kommer olika avsnitt och i varje avsnitt ingår en kort
beskrivning med några exempel samt uppgifter som har delats in i tre olika svårighetsnivåer. I slutet av varje kapitel hittar man kopplingar mellan kapitlets innehåll och matematikens historia, en tankekarta över kapitlets innehåll, blandade uppgifter som är också delade in i tre olika svårighetsnivåer samt kapiteltest som består av två delar som kan lösas med och utan miniräknare.
Analysverktyg
Övningsuppgifterna i de kapitlen som undersökts har delats upp baserad på vilket statistiskt område uppgiften handlar om samt om uppgiften är ett problem eller rutinuppgift. Vid räkning av antalet uppgifter i studien har alla uppgifter i de aktuella kapitlen räknats, så väl exemplen, uppgifter med olika svårighetsnivåer, blandade uppgifter som kapiteltest delats in i olika grupper baserad på vilka statistiska områden de handlat om. Eftersom de flesta uppgifter har deluppgifter som i vissa fall handlat om olika statistiska områden så har varje deluppgift undersökts och räknats som en separat uppgift. I de fall där fler än ett statistiskt område ingår i en uppgift eller deluppgift har det kategoriserats i fler än en grupp, exempelvis om en uppgift handlar både om beräkning av mätfel och standardavvikelse har uppgiften kategoriserats i båda områdena.
Kategorisering av uppgifterna i problemlösning och rutinuppgifter har genomförts genom att varje uppgift eller deluppgift som inte var möjligt att lösas genom att följa en bestämd metod eller algoritm har klassificerats som problem. Uppgifter och deluppgifter som ska lösas utan beräkning, exempelvis uppgifter som kräver att analysera eller förklara något, har
klassificeratssom problem om de inte ska lösas genom att mananger olika steg i en metod för lösning av en viss typ av uppgifter. Vidare har de uppgifter som handlat om regressionsanalys och ska lösas med miniräknare klassificerats som rutinuppgifter eftersom dessa löses genom
16
att genomföra samma algoritm med miniräknare. Nedan visas några exempel på hur i denna studie skiljs mellan rutinuppgifter och problem. Exemplen hämtats från Matematik origo 2b/2c.
Exempel på kodning
Exempel 1.
Månadslönerna i ett företag med 6 anställda och en chef är 22600, 19800, 23100, 21700, 21300, 20300, 47200. Beräkna median och medelvärde för månadslönerna. Vilket lägesmått beskriver löneläget i företaget bäst? Motivera ditt svar (Szabo, et al., s. 218, 2012).
I detta exempel ska man först beräkna median och medelvärde, vilka kan beräknas genom att följa bestämda metoder, därför har dessa betraktats som två rutinuppgifter. Att svara på frågan vilket lägesmått beskriver löneläget bäst och att motivera svaret har betraktats som ett
problem, eftersom det inte finns någon bestämd metod utan uppgiften ska besvaras och motiveras på olika sätt baserad på givna observationsvärdena.
Exempel 2.
a) Beräkna medelvärde och median av följande tal: 7, 3, 12, 9 och 6.
b) Hur ändras medelvärde och median om man byter ut 9 mot talet 15? (Szabo, et al., uppgift 6102, s. 220, 2012). Första deluppgiften av detta exempel beräknats som två rutinuppgifter där man kan genom att följa metoder beräkna medelvärde och median. Andra deluppgiften kan tolkas både som problem och rutinuppgift eftersom eleven kan följa samma metoder och beräkna lägesmåtten igen men kan också genom att motivera hur ändring av talen kan påverka dessa lägesmått svara på frågan utan att räkna. I detta fall har lärobokensfacit angett ett nytt exakt värde för medelvärdet vilket visar att författarna vill att eleven löser uppgiften med det nya värdet en gång till, därför har deluppgiften ansetts som två nya rutinuppgifter.
Exempel 3.
Tre klasser tävlar i luftgevärsskytte med fem representanter från varje klass. Resultaten blev:
Klass A 62 94 95 98 98
Klass B 62 63 98 98 99
Klass C 58 62 95 99 99
17
Var och en av de tre klassernas mentorer ansåg att deras klass hade lyckats bäst. Hur kan de ha resonerat (Szabo, et al., uppgift 6109, s. 220, 2012)?
Lösning till detta exempel är tre motivationer gällande tre olika lägesmått därför har detta beräknats som tre problem om medelvärde, median och typvärde eftersom i resultatavsnitt för Matematik origo 2b/2c finns det tre kategorier för lägesmått (Szabo, Larson, Viklund,
Dufåker , & Marklund, 2012).
Slutligen för att säkerställa att kodningen har genomförts korrekt har uppgifterna undersökts, lösts och kodats tre gånger. Kategorisering av uppgifter i Matematik origo 1b/1c och
Matematik origo 2b/2c har genomförts baserad på de statistiska områden som definierats för dem. Exempelvis i Matematik origo 1b/1c finns fåtal uppgifter om lägesmått då detta inte är en huvuddel av kapitlet om statistik. Därför har alla uppgifter om lägesmått placeratsi statistikområdet Lägesmått, medan i Matematik origo 2b/2c behandlaslägesmåtten mer ingående med flera uppgifter. Därför har varje lägesmått ansetts som ettseparat
18
5. Resultat
I detta avsnitt presenteras resultaten av undersökning av läroboksserien. Tabell 2 och tabell 3 och 4 visar antal och andel av rutinuppgifter och problem i Matematik origo 1b/1c respektive 2b/2c. Resultaten för undersökning av Matematik origo 2b/2c presenteras i två separata tabeller eftersom kurserna har lika upplägg i läromedelserien.
5.1 Matematik origo 1b/1c Statistikområde Antal uppgifter Antal Rutinuppgifter Antal problem Andel rutinuppgifter Andel problem Frekvens 19 14 5 74% 26% Tolkning av diagram 66 24 42 36% 64% Lägesmått 18 7 11 39% 61% Urval 38 8 30 21% 79% Svarsbortfall 21 4 17 19% 81% Summa 162 57 105 35% 65%
Tabell 2. Antal och andel rutinuppgifter och problem i Matematik origo 1b/1c
Man ser att andel problem är större än andel rutinuppgifter i alla statistiska områden förutom i området frekvens, se figur nedan.
Figur 2. Jämförelse mellan andel rutinuppgifter och problem inom olika statistiska områden i Matematik origo 1b/1c 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% Frekvens Tolkning av diagram
Lägesmått Urval Svarsbortfall Summa
Matematik 1b/1c
19 5.2 Matematik origo 2b Statistikområde Antal uppgifter Antal Rutinuppgifter Antal problem Andel rutinuppgifter Andel problem Medelvärde 44 23 21 52% 48% Median 27 12 15 44% 56% Typvärde 8 4 4 50% 50% Variationsbredd 14 8 6 57% 43% Kvartiler och kvartilavstånd 16 12 4 75% 25% Lådagram 13 6 7 46% 54% Percentiler 10 5 5 50% 50% Standardavvikelse 24 12 12 50% 50% Normalfördelning 36 10 26 28% 72% Korrelation och kausalitet 32 17 15 53% 47% Regressionsanalys 15 7 8 47% 53% Summa 239 116 123 49% 51%
Tabell 3. Antal och andel rutinuppgifter och problem i Matematik 2b
Man ser att andel rutinuppgifter och problem är nästan lika förutom i det statistiska området kvartiler och kvartilavstånd. Se figur nedan.
Figur 3. Jämförelse mellan andel rutinuppgifter och problem inom olika statistiska områden i Matematik origo 2b 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
Matematik 2b
20 5.3 Matematik origo 2c Statistikområde Antal uppgifter Antal Rutinuppgifter Antal problem Andel rutinuppgifter Andel problem Medelvärde 44 23 21 52% 48% Median 27 12 15 44% 56% Typvärde 8 4 4 50% 50% Variationsbredd 14 8 6 57% 43% Kvartiler och kvartilavstånd 16 12 4 75% 25% Lådagram 13 6 7 46% 54% Precentiler 10 5 5 50% 50% Standardavvikelse 24 12 12 50% 50% Normalfördelning 36 10 26 28% 72% Korrelation och kausalitet 20 15 5 53% 47% Regressionsanalys 13 7 6 54% 46% Summa 225 114 111 51% 49%
Tabell 4. Antal och andel rutinuppgifter och problem i Matematik origo 2c
Även här ser man att i stort är andel rutinuppgifter och problem lika stora. Se figur nedan.
Figur 4. Jämförelse mellan andel rutinuppgifter och problem inom olika statistiska områden i Matematik origo 2c 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
Matematik 2c
21 5.4 Beskrivning av resultaten
Tabeller och grafen ovan besvarar den första forskningsfrågan:
Vilka uppgifter i statistik förekommer i allmänt använda läroboksserier i matematik för elever i det svenska gymnasiet?
Det man ska ha i åtanke när man undersöker dessa tabeller och grafer är att uppgifterna har delats upp dels baserat på vilket statistiskt område uppgifter handlar om och dels att
uppgifterna har klassificerats i problem och rutinuppgifter och det senare ska fokuseras på för att få svar på första forskningsfrågan.
För att besvara den andra forskningsfrågan
Vilka möjligheter ger uppgifterna att uppnå målen i Skolverkets målbeskrivning för
matematikundervisningen, speciellt att utveckla de förmågor som kräver en instrumentell begreppsbild av centrala statistiska begrepp?
Analysen visar att Matematik origo 1b/1c innehåller totalt 65% problemuppgifter och andelen av problemuppgifter i Matematik origo 2b och 2c är 51% respektive 49%. Om man studerar varje statistikområde separat så framgår att en stor andel av rutinuppgifter bara syns i området frekvens i Matematik origo 1b och i områden kvartiler och kvartilavstånd i Matematik origo 2b/2c. I de övriga områdena är rutinuppgifter och problem ganska jämnt fördelade.
Fördelningen på rutinuppgifter och problem inom alla statistikområden och det totala antalet uppgifter förefaller därför lämpliga (med hänsyn också till tillgänglig tid) för att ge elever möjlighet att uppnå läroplanens mål.
Resultatet bekräftar inte hypotesen att de elevsvårigheterna inom vissa statistikområden, t ex området standardavvikelse, som nämndes i avsnitt 2.6, kan förklaras med att läroboksseriens fördelning av uppgifter på rutinuppgifter och problem är olämplig, med alltför få problem. Undersöker man antal uppgifter i varje statistikområde istället för andelen märker man att exempelvis finns det sammanlagt 24 uppgifter, som behandlar standardavvikelse, varav 12 stycken är rutinuppgifter och 12 är problem. Samma observation kan man göra för nästan alla de statistikområden som böckerna i serien behandlar. Böckernas fördelning av uppgifter förefaller därför ge förutsättningar för att kunna utveckla elevers begreppsbilder av centrala statistiska begrepp från operationella till instrumentella.
22
6. Diskussion
6.1 Metoddiskussion
Som tidigare nämnts har jag i studien försökt välja en läroboksserie, som är representativ för de läromedel som används i svenska skolor, men eftersom olika lärare och skolor föredrar olika läroböcker ska man ha i åtanke att resultaten kan se annorlunda ut om jag hade valt andra läroboksserier. Vidare har övningsuppgifterna i studien delats in i kategorierna rutinuppgifter och problem. Med tanke på de använda teoretiska ramverken och
frågeställningen har jag bedömt den kategoriseringen som tillräcklig. Uppgifterna kunde struktureras vidare genom att exempelvis dela in problemen baserad på deras tema, exempelvis om dessa handlar om en vardagsituation eller innehåller fakta om till exempel samhället, men det skulle inte ge bättre svar på studiens frågor.
6.2 Resultatdiskussion
Att elever trots den jämna fördelningen av rutinuppgifter och problem har svårigheter med statistiska grundbegrepp kan ha en förklaring i att läroboken är bara en komponent i den didaktiska transpositionskedjan. Trots att läroböcker har en dominerande roll i
matematikundervisningen och har blivit icke-officiellt styrinstrument (Wyndhamn, n.d.), påverkas elevernas matematikförståelse i hög grad av andra komponenter såsom resurser i form av tid och personal med goda kunskaper och förmåga att välja uppgifter, lämpliga för att utveckla elevernas begreppsbilder. Studien av delMasoch Liu (2005) – se avsnitt 2.6 - kan ge en idé om hur man främjar en systematisk utveckling av studenters begreppsbilder genom successiva val av lämpliga uppgifter, vilket läroboken måste möjliggöra genom att inte bara innehålla tillräckligt många problem utan också att problemen är konstruerade på lämpligt sätt. Detta har jag inte analyserat i arbetet.
7. Vidare forskning
Resultaten leder till frågan om problemens skiftande karaktär är lämplig för att utveckla elevers begreppsbild från operationell över stegen internalisering, kondensering och objektifiering till instrumentell. Ett förslag till vidare forskning är att göra en empirisk undersökning av detta ur ett lärar- eller ett elevperspektiv. Ett annat förslag till vidare
23
forskning kan vara att studera andra läroboksserier på liknande sätt som denna studie för att granska om resultaten kan bekräfta denna studies hypotes.
8. Referenser
Brousseau, G. (1997). Theory of didactila situations in mathematics. Boston: Kluwer academic. Frejd, P., & Ärlebck, J. (2020), On pre-service secondary teachers’ mathematical content knowledge in statistics.
Johansson, M. (2003). Textbooks in mathematics education. Hämtad från
https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:991466/FULLTEXT01.pdf%20Luettu%2014.11.2017 2020-12-05
Krippendorf, K. (2013). Content analysis: An introduction to its methodology. California: Sage publications.
Liu, Y., & delMas, R. (2005). Exploring students conceptions of the standard deviation. Hämtad från
https://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/serj/SERJ4(1)_delMas_Liu.pdf 2020-12-05
Matteguiden. Matte 2 statistik. Hämtad från
http://www.matteguiden.se/matte-2/statistik/normalfordelning/ 2021-01-28
Nationalencyklopedin a. Regressionsanalys. Hämtad från
https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/regressionsanalys 202-12-05 Nationalencyklopedin b. Statistik. Hämtad från
https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/statistik 2020-12-05
Nationalencyklopedin c. Kvartil. Hämtad från
https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/kvartil 2020-12-05
Nationalencyklopedin d. Percentil. Hämtad från
https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/percentil 2020-12-05
Nationalencyklopedin f. Statistikens historia. Hämtad från
https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/statistik#statistikens-historia 2020-12-05
Rudberg, B. (1993). Statistik-Att beskriva och analysera statistiska data. Lund: Studentlitteratur. Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflevtions on processes and objects as different sides av the same coin. Hämtad från
24
https://www.jstor.org/stable/pdf/3482237.pdf?refreqid=excelsior%3Addd1ad2f0503976314af1ff7d6
9a59ae 2020-12-05
Sidenvall, J. (2019). Lösa problem. Hämtad från
http://umu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1303310/FULLTEXT01.pdf 2020-12-05 Skolverket. (n.d.). Ämne- Matematik. Hämtad från
https://www.skolverket.se/undervisning/gymnasieskolan/laroplan-program-och-amnen-i-gymnasieskolan/gymnasieprogrammen/amne?url=1530314731%2Fsyllabuscw%2Fjsp%2Fsub
ject.htm%3FsubjectCode%3DMAT%26tos%3Dgy&sv.url=12.5dfee44715d35a5cdfa92a3
2020-12-05
Skolverket b. (n.d.). Om ämnet matematik. Hämtad från
https://www.skolverket.se/download/18.6011fe501629fd150a2893a/1530187438471/Kommentarm aterial_gymnasieskolan_matematik.pd 2020-12-05
Stukat, S. (1991). Grundkurs i statistik för lärare. Lund: Studentlitteratur.
Szabo, A., Larson, Viklund, G., Dufåker , D., & Marklund, M. (2012). Matematik origo 2b/2c. Stockholm: Sanoma utbildning.
Vännman, K. (1990). Matematisk statistik. Lund: Studentlitteratur.
Wyndhamn, J. (n.d.). Lärobok och ämnesprov som styrinstrument. Hämtad från
https://www.student.liu.se/program/amneslarare-i-arskurs-7-9-270-hp/student/om-
25
9. Bilaga
I detta avsnitt beskriv vad de nämnda statistikområdena innehåller. Eftersom spåren 2b och 2c har samma statistikområden med små skillnader i uppgifternas innehåll har bestämts att dessa presenteras i samma tabell.
Matematik 1b
Statistikområde Innehåll
Frekvens Att förstå begreppet frekvens, beräkning av relativ frekvens, att göra frekvenstabeller och läsa av och tolka data i en frekvenstabell Tolkning av diagram Att tolka olika diagramsorter, exempelvis
stapeldiagram, cirkeldiagram, histogram och linjediagram och förstå hur och när en viss diagramtyp används
Lägesmått Beräkning av medelvärde, median och
typvärde och förstå vilka för- och nackdelar olika lägesmått har samt under vilka
förutsättningar passar en viss typ av lägesmått att använda för tolkning av observationsvärden
Urval Att förstå begreppen population,
totalundersökning, stickprovsundersökning, urval (systematiskt urval, obundet
slumpmässigt urval och stratifierat urval), att använda miniräknare för att ta fram en grupp bland en viss population, beräkningar kring urvalsfel och att kommentera
genomförda undersökningar
Svarsbortfall Att genomföra enkla bortfallsanalys och beräkna resultatet av en undersökning med och utan hänsyn till svarsbortfall och jämföra dessa
Matematik 2b/2c
Statistikområde Innehåll
Medelvärde Beräkning av medelvärde utifrån givna
observationsdata i form av tal, tabell och diagram och förstå dess för- och nackdelar samt i vilka situationer är medelvärde ett fungerande lägesmått för tolkning av observationsdata
Median Beräkning av median utifrån givna
observationsdata i form av tal, tabell och diagram och förstå dess för- och nackdelar samt i vilka situationer är median ett
26
fungerande lägesmått för tolkning av observationsdata
Typvärde Beräkning av typvärde utifrån givna
observationsdata i form av tal, tabell och diagram och förstå dess för- och nackdelar samt i vilka situationer är typvärde ett fungerande lägesmått för tolkning av observationsdata
Variationsbredd Beräkning av variationsbredd och förståelse kring dess för- och nackdelar
Kvartiler och kvartilavstånd Att förstå begreppen kvartil och
kvartilavstånd, beräkning av kvartilavstånd
Lådagram Att använda kvartiler och median för att
göra lådagram, att tolka givna lådagram Percentiler Att förstå begreppet percentil, att avläsa percentiler utifrån givna lådagram samt genomföra beräkningar kring percentiler standardavvikelse Att förstå begreppet standardavvikelse,
beräkning av standardavvikelse både med hjälp av formeln och miniräknare och att tolka observationernas spridningsstorlek Normalfördelning Att förstå begreppet normalfördelning, dra
information kring standardavvikelse och medelvärde genom att tolka given
normalfördelningskurva, att bestämma hur stor andel av observationerna ligger i ett visst område i normalfördelningskurva samt hur utseendet av kurvan påverkas av
ändringar i observationsvärdena Korrelation och kausalitet Att förstå begreppen korrelation och
kausalitet och skillnaden mellan dem, att avgöra om ett samband är kausalt och om det finns statistiskt samband mellan givna variabler, att göra spridningsdiagram med och utan miniräknare och tolka givna spridningsdiagram
Regressionsanalys Att förstå begreppet regression, att finna linjära samband mellan variabelvärdena med hjälp av miniräknare eller avgöra om det finns ett linjärt samband mellan
