Örebro Universitet Handelshögskolan
Nationalekonomi, självständigt arbete, C-nivå Handledare: Anders Lunander
Examinator: Camilla Andersson VT/ 2014-06-15
Vann rätt låt?
- Om röstning och röstningsmekanismer
Mikkiz Koskijev 910102 Therese Vapper 881215
Sammanfattning
I den här studien beskrivs och analyseras olika metoder för aggregering av preferenser. Syftet är att undersöka hur analys på aggregerade preferenser kan göras på olika sätt och om olika utfall ges. Ett antal röstningsmekanismer appliceras på omröstningsstatistiken från tio finaler (2004-2013) i sångtävlingen Eurovision Song Contest. Resultatet visar att vinnarna under perioden aldrig fått majoriteten av 12:orna (de röstande ger tolv poäng till sitt favoritbidrag), i fyra av tio finaler har vinnaren inte fått flest 12:or. I tre finaler har de tre högst rankade bidragen fått en annorlunda rangordning när bidragen ställts i parvisa dueller mot varandra. När de tre högst rangordnade bidragen beaktas har vinnaren vunnit i dueller mot de två andra bidragen i nio av tio finaler. Slutligen visas att rangordningen av de tre högst prefererade bidragen i fyra finaler blir annorlunda när alla andra bidrag eliminerats från tävlingen.
Nyckelord: röstning, rangordning, röstningsmekanismer, preferensaggregering, Eurovision Song Contest
Innehållsförteckning
1. Inledning 1
2. Röstningsmekanismer 4
2.1 Majoritetsregeln 8
2.2 Sekventiell parvis röstning 10
2.3 Pluralitetsregeln 12
2.4 Bordaräkning 12
2.5 Alternativa röstningsmekanismer 16
3. Tidigare studier 18
4. Data 22
5. Resultat och analys 23
5.1 Test av majoritets- och pluralitetsvinnare 23 5.2 Rangordning av de tre högst prefererade alternativen 27
5.3 Test av oberoende 28 6. Diskussion 31 6.1 Slutsats 33 7. Referenslista 34 7.1 Tryckta källor 34 7.2 Internetkällor 34 8. Bilagor 35
8.1 Rangordning av de tre högst prefererade alternativen 36
1. Inledning
När en grupp individer ska fastslå gemensamma beslut tillämpas ofta olika omröstningsprocesser. Röstningsförfaranden är en del av vardagen, då det röstas om såväl stora som små frågor. Exempelvis röstas det om vem som ska bli ordförande i en förening, vem som ska utses till president i ett land eller vilken stad som är årets studentstad. Forskningen inom röstningsteori visade redan på 1800-talet att röstning kan vara en komplicerad process. Forskare påvisade att till synes okomplicerade omröstningsmetoder har brister som påverkar utfallet. Det utvecklades en konstitution av idéer kända som social choice-teorier, som bygger på modeller rörande röstning, rangordning och preferenser. Teorierna behandlar hur aggregering av preferenser fastställer ett gemensamt beslut.
I en omröstning med två alternativ uppstår sällan problem vid val av vilken röstningsmekanism som ska tillämpas. Vanligtvis appliceras en majoritetsregel där alternativet som får en majoritet av rösterna vinner. I en omröstning med fler än två alternativ finns däremot ett antal röstningsmekanismer som kan användas. Svårigheten för reglerna ligger i att korrekt aggregera preferenserna så att resultatet blir stabilt och speglar preferenserna. Reglerna har olika egenskaper och kan ge olika utfall. De olika mekanismerna styr således utfallet och det finns incitament att vara uppmärksam vid beslut av röstningsregler i en omröstningsprocess. Omröstningsprocesser är vanligt förekommande och de röstningsregler som används har olika egenskaper och brister, som inte alltid är helt uppenbara vid en första anblick. Det finns därför skäl att med hjälp av ett omfattande datamaterial analysera olika röstningsmekanismer och dess utfall.
I denna studie appliceras ett antal röstningsmekanismer på omröstningsstatistiken från finalerna i Eurovision Song Contest under åren 2004-2013. Syftet är att undersöka hur analys på aggregerade preferenser kan göras på olika sätt. Givet att utgångspunkten är så kallad modifierad bordaräkning ska vi undersöka hur utfallet blir om vi testar andra sätt att utvärdera samma röster.
Vi undersöker i) vad utfallet hade blivit vid en tillämpning av pluralitetsregel, (ii) om utfallet vid modifierad bordaräkning i denna studie är condorcetconsistent, samt (ii) om utfallet vid modifierade bordaräkning i denna studie är oberoende av irrelevanta alternativ. Resultatet i denna studie baseras på att modifierad bordaräkning ligger till grund i den faktiska omröstningen. Om röstningsprocessen i Eurovison Song Contest varit en annan hade utgångspunkten varit annorlunda och således eventuellt även resultatet.
Eurovision Song Contest är en årlig sångtävling där ungefär 25 bidrag tävlar. För att utse vinnaren sker en omröstning där ett antal länder tilldelar poäng till bidragen. De tio senaste åren har vinnaren i genomsnitt varit favorit bland cirka 25 procent av de röstande, alltså har ungefär 75 procent haft andra bidrag som sin favorit. Enligt rådande röstningssystem kan ett bidrag vinna utan att ha tilldelats en enda 12:a. Dessutom kan ett bidrag tilldelas flest 12:or utan att vinna. Frågorna som uppstår är: Vann rätt låt? Om andra röstningsmekanismer appliceras på materialet, vad händer då? Blir utfallet annorlunda?
Eurovision Song Contest har även varit föremål för andra studier som bland annat visat att de länder som bedriver internationell handel sinsemellan tenderar att rösta på varandra i tävlingen. Resultat visar också att grannländer har en viss tendens att rösta på varandra, vilket antas vara av politiska och kulturella skäl. (Ginsburgh & Noury, 2005). Vi känner inte till någon tidigare studie med samma ändamål som de vi belyser i denna studie.
Datamaterialet har samlats in från eschome.net, där alla de röstandes rangordningar och poängsättningar framgår. Med utgångspunkt i datamaterialet har fem olika mekanismer applicerats för att exemplifiera hur nya mönster växer fram och kan resultera i olika utfall. Datamaterialet i uppsatsen är begränsat till en period på tio år. Fyra röstningsmekanismer undersöks och i delar av studien beaktas endast de tre högst prefererade alternativen.
Studiens resultat visar att vinnarna under dessa år aldrig har tilldelats majoriteten av 12:orna. I fyra av tio finaler har vinnaren inte erhållit flest 12:or. I tre fall har de tre högst rankade bidragen fått en annorlunda rangordning när bidragen ställts i parvisa dueller mot varandra. När de tre högst prefererade bidragen beaktas har vinnaren vunnit i dueller mot alla andra bidrag i nio av tio år. Slutligen visas att rangordningen av de tre högst rankade bidragen i fyra finaler blir annorlunda när alla andra bidrag har eliminerats från tävlingen.
Uppsatsen är disponerad på följande sätt: I kapitel två beskrivs relevant teori. Kapitel tre belyser andra studier på området. Vidare beskrivs datamaterialet i avsnitt fyra. I kapitel fem åskådliggörs och analyseras studiens resultat. I det avslutande avsnittet diskuteras studiens resultat som mynnar ut i en slutsats och förslag på vidare forskning.
2. Röstningsmekanismer
Vardagen är fylld av val och valmöjligheter. Detta faktum aktualiserar att röstning och rangordning är ett viktigt redskap för individer och institutioner i beslutsfattandet. Dessa ämnen har länge studerats och viljan att definiera ett hållbart rangordningssystem är stort. Social Choice-teorier behandlar individers preferenser och kollektivets gemensamma beslut samt studerar kollektiva beslutsprocesser. Teorierna behandlar aggregering av individers preferenser och hur de resulterar i ett beslut. Det är inte alltid givet vilken omröstningsprocess som är den bästa. Olika egenskaper i en omröstning kan vara mer önskvärda än andra. I detta avsnitt förklaras en rad olika röstningsmekanismer och vad som styr utfallet i omröstningar. Dessa mekanismer härrör från ämnen som innefattar frågor kring röstning, rangordning och preferenser. Med vetskap om olika röstningsmekanismer förenklas beslutet om hur utformningen av en omröstning ska se ut, givet önskvärda egenskaper. Vilken mekanism som bör användas i en omröstning beror exempelvis på antalet alternativ och om de röstande ska avge en röst eller rangordna flera alternativ.
Kenneth Arrow utvecklade det så kallade omöjlighetsteoremet. Teoremet handlar om hur ett korrekt kollektivt beslut fastställs i en process där flera individer ska framföra sina preferenser genom rangordningar av alternativ. Teoremet utvecklades genom formulering av en beslutsregel om fyra kriterier som ska vara uppfyllda för att ett resultat ska spegla kollektivets gemensamma rangordning, 1) Det första kriteriet fastslår att beslutet ska vara möjligt att tillämpa oavsett hur individerna rangordnar alternativen. Det vill säga att oberoende av hur de röstande rangordnar alternativen ska ett resultat kunna ges. 2) I det andra kriteriet beskrivs att beslutet inte ska vara diktatoriskt. Ingen individ ska alltså ha större inflytande än någon annan, utan alla individers preferenser väger lika tungt i beslutsfattandet. 3) Det tredje kriteriet säger att om alla individer föredrar A framför B ska det kollektiva beslutet också ge denna rangordning. 4) Slutligen slår det fjärde kriteriet fast att resultatet ska vara oberoende av om en individ rangordnat andra, irrelevanta alternativ, i förhållande till de alternativ som är relevanta för beslutsprocessen. I en omröstning med exempelvis tre alternativ ska resultatet enbart bero av dessa alternativ. Har en röstande preferenser för ett fjärde alternativ är detta irrelevant. Arrow’s omöjlighetsteorem beskriver att dessa kriterier, i en beslutsprocess, inte kan vara uppfyllda samtidigt. Att designa en
beslutsprocess som uppfyller tre (1, 3 och 4) av fyra av dessa kriterier är fullt möjligt. Problem kring diktatur kan dock uppstå. Det kan handla om att slumpmässigt dra en individ ur en grupp (där alla individer har samma sannolikhet att dras) som ska representera hela urvalet. I denna process uppstår diktatur, trots att den som dragits hade lika stor chans att bli dragen som de andra. Ett annat exempel när diktatur uppstår är då alternativen ska ställas mot varandra i dueller, där den som sätter agendan får mer makt än andra och på så sätt kan rösta strategiskt.
Figur 1. Översikt av studiens röstningsmekanismer
m=antal alternativ
I en omröstning med två alternativ kan en enkel majoritetsregel tillämpas, där majoriteten av rösterna (> 50 procent) krävs för vinst. Under en kvalificerad majoritetsregel krävs en större majoritet, exempelvis 80 procent av rösterna. En vinnare som får majoritet i alla parvisa dueller mot de andra alternativen kallas condorcetvinnare. I fallet med två kandidater kommer röstningsmekanismen alltid välja en condorcetvinnare och mekanismen kallas då condorcetkonsistent.
Omröstning m=2 m≻2 Majoritet Kvalificerad Enkel Sekventiell röstning Pluralitetsregel Bordaräkning Med eliminering Utan eliminering
Val av ett alternativ Rangordning av alternativen
När en omröstning omfattar fler än två alternativ finns olika röstningsmekanismer som kan användas. Vilken mekanism som bör tillämpas i dessa omröstningar är ett problem som tas upp i forskningen och alla mekanismer har sina för- och nackdelar. I sekventiell parvis röstning ställs alternativen stegvis mot varandra i parvisa dueller. Vinnaren i första duellen ställs mot ett nytt alternativ i en ny duell. Proceduren fortsätter tills två alternativ kvarstår, och den som går segrande ur denna sista duell vinner. Under pluralitetsregeln avger varje röstande en röst och det alternativ med flest antal röster vinner. Ett annat tillvägagångssätt inom pluralitetsregeln är att kräva majoritet av rösterna, inte bara flest antal röster för att vinna. Om ett alternativ inte fått majoritet av rösterna kan eliminering göras av det alternativ som fått minst röster. Sedan genomförs en ny omröstning och proceduren fortsätter tills ett alternativ uppnått majoritet. Majoritet kan alltså tillämpas även under pluralitetsregeln. Under bordaräkning rangordnar de röstande alla alternativ och tilldelar högst poäng till det mest prefererade alternativet och i fallande ordning till resterande. Alternativet med flest poäng vinner.
En röstningsmekanism har i regel både för- och nackdelar. Ett sätt att utvärdera reglerna är att undersöka egenskaperna hos respektive mekanism. Det finns en samling egenskaper som en röstningsmekanism önskas uppfylla, 1) den första önskvärda egenskapen är att en mekanism ska vara tålig mot agendaeffekten. Agendan beskriver hur alternativ i olika ordning kan introduceras i en omröstning. Känslighet för agendaeffekten innebär att röstningsregeln ger olika resultat beroende på agendan. En röstningsmekanism bör ge samma resultat oberoende i vilken ordning alternativen sätts i parvisa dueller mot varandra. 2) För det andra ska en mekanism vara tålig mot strategisk röstning. Med strategisk röstning menas att de röstande (strategiskt) röstar i oenighet med sina egentliga preferenser för att uppnå ett önskat resultat. 3) En tredje egenskap är transitivitet, som innebär att om ett alternativ A föredras framför B och B föredras framför C medför det att A föredras framför C. 4) För det fjärde önskas Paretokriteriet vara uppfyllt. Kriteriet säger att om alla röstande föredrar ett alternativ X framför ett alternativ Y, ska en röstningsmekanism inte utse Y till vinnare.
5) Vidare är det önskvärt att monotonicity-kriteriet är uppfyllt. Anta att X är vinnare under en röstningsmekanism. Om en eller flera röstande ändrar sina preferenser till fördel för X, alltså att X nu föredras mer än tidigare (utan att ändra ordningen på några andra alternativ), ska X fortfarande vara vinnare.
Det finns ett antal paradoxer som röstningsmekanismerna önskas undvika, 1) den första kallas Paradoxen för condorcetvinnare och inträffar när en condorcetvinnare existerar men röstningsmekanismen väljer ett annat alternativ som vinnare. 2) Vidare önskas Paradoxen för condorcetförlorare undvikas. När ett alternativ Y förlorar alla parvisa dueller, alltså får minoritet (<50 procent), mot alla andra alternativ, kallas denne condorcetförlorare. Paradoxen inträffar när mekanismen trots detta väljer Y som vinnare. 3) För det tredje är det eftersträvansvärt att mekanismen inte är känslig för Paradoxen för absolut majoritet. Paradoxen beskriver att en kandidat är rangordnad som vinnare av majoriteten av de röstande. Trots detta vinner en annan kandidat. 4) Vidare bör tålighet mot Paradoxen för den absoluta förloraren uppfyllas. Detta innebär att om ett alternativ rangordnas sist av en majoritet av de röstande ska alternativet inte utses till vinnare. 5) För det femte bör Trunkeringsparadoxen undvikas. Den inträffar om en röstande strategiskt endast rangordnar en del av alternativen, därför att dennes högre prefererade alternativ vinner på detta. Alltså skulle ett annat alternativ, som av den röstande prefereras lägre, vinna om hela rangordningen synliggjordes. 6) Även Paradoxen för konsistent val inom delmängder bör undvikas. Kandidat A utses till vinnare. Paradoxen uppstår om en annan kandidat B elimineras från omröstningen och röstningen utvärderas igen och ger en annan vinnare. 7) Slutligen bör mekanismerna undvika ties. Ett exempel på ties är när en röstningsregel ger två eller flera lika “värdiga” vinnare och det behövs en typ av ”tie-breaking” för att kunna skilja dessa åt. Det anses otillfredsställande att det till en omröstning under en röstningsregel behövs ytterligare steg för att utse en vinnare.
2.1 Majoritetsregeln
En ofta använd tumregel är majoritetsregeln. Denna regel säger att om det finns två ömsesidigt uteslutande alternativ ska det som får majoritet efter en omröstning väljas. Kritik som uppstått mot giltigheten i denna princip är att den är kontradiktorisk med strävan att undvika tyrannisk majoritet, då en marginell majoritet permanent inordnar den marginella minoriteten. Genom att kräva en kvalificerad majoritet, på över 50 procent, blir minoriteten mindre och argumentet svagare.
2.2 Sekventiell parvis röstning
Sekventiell parvis röstning är en metod som tillämpar en parlamentarisk procedur. Mekanismen har till syfte att förenkla beslutet genom att stegvis ställa alternativen mot varandra i parvisa dueller. I tabell 2.1 betraktas ett fall där tre röstande; 1, 2 och 3 ska rangordna tre alternativ; A, B, och C1.
Tabell 2.1 Rangordning av tre alternativ
1 2 3
A C B
B A C
C B A
Röstande 1 har alternativ A som favorit, B som sitt andra val och C som sitt sista val. Resultatet kan vidare betraktas genom sekventiell röstning där majoritetsregeln appliceras på duellerna. Anta att alternativ A står i en parvis duell mot B. 1 och 2 kommer välja A och 3 kommer välja B. A vinner med 2-1. Om sedan alternativ A är i duell mot C kommer C vinna med 2-1. Ordningen i vilken alternativen ställs mot varandra följer agenda t i Tabell 2.2.
Tabell 2.2 Dueller enligt tre olika agendor
Agenda t A – B =≻ A C – A =≻ C Agenda u A – C =≻ C B – C =≻ B Agenda v B – C =≻ B A – B =≻ A
1 De röstande röstar naivt. Detta innebär att de röstande röstar enligt egna preferenser oberoende av
Tabell 2.2 visar att alla tre alternativen kan väljas till vinnare, beroende på den ordning de ställs mot varandra i dueller. Sekventiell parvis röstning är således mycket känslig för agendan. Diktatur uppstår då agendan ska fastställas och de röstande har olika stort inflytande. Som tidigare nämnts är diktatur inte tillåtet i en beslutsprocess enligt Arrows omöjlighetsteorem. Det finns en tumregel som säger att ju senare ett alternativ förs in i en parvis röstning desto större är chansen till vinst. (Straffin, 1980) När många röstande resonerar på detta sätt kan det uppstå problem och konflikter när en agenda ska framföras. Sekventiell parvis röstning är känslig för strategisk röstning och mekanismen bryter mot paretokriteriet.
I exemplet ovan röstade de röstande naivt. Om det i stället råder fullständig information är det annorlunda. De röstande vet varandras rangordning och det uppstår möjligheter för personen som sätter agendan att rösta strategiskt eller ändra agendan. Nedan visas ett exempel med tre röstande: 1, 2 och 3 som röstar enligt tabell 2.3.
Tabell 2.1 Rangordning av tre alternativ
1 2 3
A C B
B A C
C B A
Säg att B och C möts i första duellen. Röstande 1 vill att A ska vinna och vill därför att B ska gå vinnande ur första duellen. Detta därför att A skulle förlora mot C. Röstande 1 rangordnar alternativen enligt A B C, så att B vinner första duellen och sedan förlorar mot A i andra. Röstande 1 vet att A skulle förlora i duell med C och ändrar antingen agendan eller sina preferenser för att A inte ska hamna i duell med C.
Eftersom sekventiell parvis röstning har vissa svagheter finns det incitament att analysera och designa andra röstningsmekanismer i val bland tre eller fler alternativ.
2.3 Pluralitetsregeln
Pluralitetsregeln är förmodligen den mest använda röstningsmekanismen. Regeln säger att varje röstande avger en röst och det alternativ med flest antal röster vinner. Mekanismen eliminerar agendaeffekten från sekventiell parvis röstning och uppfyller paretokriteriet, men har även brister. Följande exempel illustrerar två av dessa:
I tabell 2.4 betraktas ett fall där nio röstande väljer bland tre alternativ; A, B och C där de röstande har följande preferenser:
Tabell 2.4 De röstandes preferenser för tre alternativ
3 röstande 2 röstande 4 röstande
A B C
B A B
C C A
Alternativ C vinner med fyra förstavalsröster trots att en majoritet rangordnar C sist. Observera att de röstande endast avlägger en röst men att tabellen synliggör hela preferensordningen. Om alternativen istället hade ställts mot varandra i parvisa dueller skulle ett resultat kunna se ut som i tabell 2.5.
Tabell 2.5 Resultat efter parvisa dueller
A – B 3 – 6
B – C 5 – 4
A – C 5 – 4
B slår A med 6 - 3, B slår C med 5 - 4 och A slår C med 5 – 4. Således slår alternativ B ut båda de andra alternativen i en parvis tävling och är en condorcetvinnare. Tabell 2.5 visar att pluralitetsregeln är känslig för både Paradoxen för condorcetvinnare och
Paradoxen för condorcetförlorare, då C vinner trots att B är en condorcetvinnare och
att C dessutom är en condorcetförlorare. Detta tydliggör att pluralitetsregeln kan få ett svagt resultat. Betrakta vidare röstningen i tabell 2.6.
Tabell 2.6 Sjutton röstandes preferenser för fem alternativ
5 röstande 2 röstande 3 röstande 3 röstande 4 röstande
A B C D E
B C B B B
C D D C C
D E E E D
E A A A A
Alternativ A är pluralitetsvinnare trots att 12 av de 17 röstande rangordnat det sist, vilket innebär att regeln är känslig för Paradoxen för den absoluta förloraren. Alternativ B kommer sist under pluralitetsregeln trots att alla röstande har det som sitt första- eller andrahandsalternativ samt att det är en condorcetvinnare. Pluralitetsregeln tar inte hänsyn till de röstandes fullständiga preferenser, utan bara förstavalsalternativet, vilket kan leda till ett svagt resultat. Ett vanligt försök att undvika dessa brister är att kombinera pluralitetsregeln med en elimineringsprocess. Denna process kommer till stånd om ett alternativ inte har fått en majoritet av alla röster i en första omröstning. De två alternativ som fått flest röster under pluralitetsregeln ställs mot varandra i en parvis duell, där de röstande ska rösta på något av dessa alternativ i en andra omröstning. I detta fall skulle då alternativ E vinna. Pluralitetsregeln med eliminering är också känslig för Paradoxen för
condorcetvinnare, men känsligheten för Paradoxen för condorcetförlorare försvinner
eftersom det vinnande alternativet åtminstone måste vinna den sista duellen. Kombinationen av pluralitetsregeln och denna elimineringsprocess har andra brister vilka påvisas i tabell 2.7.
Tabell 2.7 Sjutton röstandes preferenser för tre alternativ
6 röstande 5 röstande 4 röstande 2 röstande
A C B B
B A C A
C B A C
Under pluralitetsregeln är alternativ A och B de med flest röster och A slår B med 11 – 6 efter eliminering av alternativ C. Anta nu att de två röstande med preferensordning B A C ändrar sig till fördel för alternativ A, så att de nu får en ny preferensordning; A B C.
Nu skulle alternativ A och C ha flest röster och C skulle slå A med 9 – 8 vid eliminering av alternativ B. Resultatet av detta är alltså att när två röstande beslutar sig för att ändra preferensordning för att de föredrar alternativ A bättre, så genererar det istället vinst för C. Exemplet uppfyller inte monotonicity-kriteriet. Pluralitetsregeln uppfyller monotonicity-kriteriet medan pluralitetsregeln med eliminering bryter (som tidigare visat) mot det. Som visat ovan placerar pluralitetsregeln, med eller utan eliminering av de sämsta alternativen, ofta röstare i ett strategiskt dilemma och ger incitament att ändra sin preferensordning. Om det favoriserade alternativet ser ut att ha en relativt liten chans att vinna eller vara ett av de två mest prefererade alternativen kan det ge incitament att rösta på ett mindre prefererat bidrag för att ha en större chans att vinna. Pluralitetsregeln är dessutom känslig för Paradoxen för konsistent val inom delmängder, vilket innebär att rangordningen, och även vinnare, kan förändras om alternativ i omröstningen plockas bort. Även ties förekommer under röstningsmekanismen (se vidare kap 3). (Plassmann & Tidemann, 2014)
2.4 Bordaräkning
Emerson (2011) beskriver att det redan år 1435 formades ett omröstningssystem som till stor del liknar system som används idag. De röstande skulle rangordna n alternativ efter egna preferenser och ge det mest föredragna n poäng, den näst högst prefererade n-1 poäng, och så vidare. Det alternativ som, när alla röstande rangordnat samtliga alternativ, fått högst poäng är vinnare. Vidare diskuteras bordaräkning, ett alternativt rangordningssystem där alternativen ordnats efter det minst föredragna som erhåller a poäng, den näst lägst prefererade a + b poäng, den därefter föredragna a + 2b poäng, och så vidare (där både a och b föreslås vara 1). Ett förslag är att modifiera den traditionella bordaräkningen (så kallad modifierad bordaräkning) för att kunna ta hänsyn till partiell röstning. Metoden går ut på att bland m alternativ rangordna enbart de s mest prefererade, detta blir således en partiell röstning. Det högst prefererade alternativet ges m poäng, det näst högst föredragna m-1 poäng, och så vidare.
Ett exempel åskådliggör skillnaden mellan bordaräkning och modifierad bordaräkning: sex alternativ A, B, C, D, E, och F ska rangordnas efter samlade preferenser från en grupp röstande enligt två mekanismer; bordaräkning och modifierad bordaräkning (där enbart de tre högst prefererade alternativen rangordnas).
Tabell 2.8 Resultat av två olika röstningsmekanismer
Bordaräkning Poängsättning Modifierad bordaräkning Poängsättning
A 6 A 6 B 5 B 5 C 4 C 4 D 3 - - E 2 - - F 1 - -
Båda mekanismerna ger samma rangordning av de tre högst prefererade alternativen. Under modifierad bordaräkning rangordnas däremot inte alla alternativ, vilket leder till ett informationsbortfall, då det inte går att säga någonting om preferenserna för D, E och F.
En röstningsmekanism kallas condorcetkonsistent om en regel väljer condorcetvinnaren (när en sådan existerar) som vinnare. I tabell 2.9 visas ett exempel på när den modifierade bordaräkningen är condorcetkonsistent. Poängsättningen är som följer, den överst rankade får 6 poäng, nästa högst rankade får 5 poäng och det tredje alternativet 4 poäng.
Tabell 2.9 1 2 3 A F D E A A C B C - - - - - - - - -
A vinner med högst poängsumma och är en condorcetvinnare eftersom alternativet vinner duellerna med alla andra alternativ. Duellerna slutar A-B 3-0, A-C 3-0, A-D 2-1, A-E 3-0, A-F 2-1.
Baharad och Nitzan (2002) undersöker sambandet mellan bordaräkning och condorcet-q-majoritetsregeln. Under en q-majoritetsregel kommer A att slå B under förutsättning att åtminstone q röstande föredrar A framför B. En q-condorcetvinnare är en kandidat som i parvisa dueller, under majoritetsregeln, vinner mot alla andra alternativ.
Förutsättningarna för testet i studien är följande: • Antalet röstande n ≥ 3
• Antalet röstningsalternativ m ≥ 3
• Alla alternativ rangordnas, indifferens tillåts ej
• Alternativen rangordnas från lägst till högst enligt !!, !!, … , !!!!, !! och
tilldelas poängen 0, 1, … , ! − 2, ! − 1 • Låt !! ≤ ! ≤ 1.
Givet förutsättningarna visas att följande håller (Baharad & Nitzan, 2002):
Om ! ≥ (! − 1)/! kommer bordaräkning välja en condorce q-majoritetsvinnare.
Exempel b: för att säkerställa att en condorcet q-majoritetsvinnare utses vid röstning bland fyra alternativ under bordaräkning krävs ! ≥!!!! =!!!! =!! . Således måste minst ¾ av de röstande föredra A framför B, A framför C och A framför D för att A ska vara en condorcetvinnare. n=4 röstande, 1, 2, 3 och 4, ska rangordna alternativen A, B, C och D.
Tabell 2.10 Schematisk bild av exempel under q-regel
1 2 3 4
A A A X
X X X X
X X X X
X X X X
Under förutsättningarna i tabell 2.8 kommer A vara en condorcetvinnare oberoende av hur 4 har röstat, eftersom ¾ av de röstande håller A framför alla andra alternativ.
Skulle kravet på q inte vara uppfyllt, alltså att mindre än ¾ av de röstande rangordnar A framför de andra alternativen, garanteras inte en condorcet q-majoritetsvinnare. Ett potentiellt resultat är följande:
Tabell 2.11 Schematisk bild av exempel under q-regel
1 2 3 4
A A B B
X X X X
X X X X
X X X X
Oberoende av de andra rösterna kommer inte en condorcetvinnare väljas. Duellen mellan A och B kommer alltid bli oavgjord. Om C utses till vinnare och rangordnas framför A av 3 och 4 samt framför B av 1 och 2 kommer duellerna C-A och C-B också bli oavgjorda. En annorlunda rangordningen kan även resultera i att C förlorar dessa dueller. Detsamma gäller om D utses till vinnare. Då kommer duellerna mellan D-A och D-B antingen bli oavgjorda eller så förlorar D.
Figur 2.1 Sambandet mellan q-regeln och m alternativ
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 20 40 60 80 100 120 q m alternativ
Figur 2.1 visar sambandet mellan q och antalet alternativ m; q växer snabbt med antal alternativ. Tolkningen är att ju fler alternativ desto fler samstämmiga preferenser krävs för att kunna utse en condorcet q-majoritetsvinnare.
Straffin (1980) menar att bordaräkning ofta förespråkas för dess möjlighet att finna en rättvis kompromiss, då mer information om de röstande inkluderas jämfört med både pluralitets- och majoritetsregeln. Bordaräkning är avbildat som ett rangordningssystem, vilket innebär att individers transitivitet är bevarad.
Straffin (1980) beskriver att bordaräkningen fått kritik då den uppmuntrar till strategisk röstning, så att de egentliga preferenserna inte uppenbaras. Det är bevisat att ingen (deterministisk) röstningsregel kan designas så att känsligheten för strategisk röstning helt raderas. Under bordaräkning är de röstande mer benägna att rösta strategiskt än under andra regler, detta antingen genom förändring av rangordning eller introduktion av nya alternativ för att påverka ordningen på originalalternativen. För att (under bordaräkning) kunna rösta strategiskt krävs på förhand en fullständig information om alla de röstandes kompletta preferenser. När informationen inte är komplett kan de röstande inte utveckla en bättre strategi än att rösta enligt sina egna preferenser.
Bland många röstningsregler har det visat sig att bordaräkningen har störst sannolikhet att välja condorcetvinnaren (när antalet alternativ är stort). Bordaräkningen kan dock även misslyckas med att välja condorcetvinnaren om en sådan existerar. Bordaräkningen är även känslig för Paradoxen för absolut majoritet,
Trunkeringsparadoxen och Paradoxen för konsistent val inom delmängder. Dessutom
förekommer ties .(Plassmann & Tidemann, 2014) (se vidare kap 3)
2.5 Alternativa röstningsmekanismer
En omröstningsprocess med sekventiell eliminering av de lägst prefererade alternativen kallas Haresystemet. Processen eliminerar det lägst prefererade alternativet tills ett alternativ uppnått en majoritet av förstavalsröster. Metoden är designad för de fall där s alternativ ska väljas bland m alternativ (s<m).
Proceduren är komplicerad, men när s=1 reduceras processen till följande (som en metod av modifierad pluralitetsregel): Varje röstande skriver ner sin preferensrangordning av m alternativ och ett alternativ tillkännages som vinnare om en majoritet av de röstande rangordnar det först. Om inget alternativ rangordnas först av en majoritet kommer alternativet med minst förstavalsröster elimineras från alla preferensordningar. Alternativet som låg precis under den eliminerade kandidaten rangordnas nu upp en placering. Därefter räknas förstaplatsrösterna igen. Eliminering pågår tills ett alternativ uppnått majoriteten av förstaplaceringsrösterna. Haresystemet uppfyller inte kriteriet för condorcetvinnare och det kan till och med vara så att alternativet som elimineras först är en condorcetvinnare. Vidare uppfylls heller inte kriteriet för monotonicity. En annan process går ut på att alternativet som fått störst andel sistaplaceringar i röstningsproceduren elimineras först. Även denna procedur kan välja ett alternativ till vinnare som inte är condorcetvinnare. Under denna process är dock sannolikheten större att välja en condorcetvinnare än när alternativet med minst förstaplaceringsröster elimineras först. (Straffin, 1980)
3. Tidigare studier
Plassman och Tidemann (2014) undersöker med vilken frekvens olika röstningsparadoxer och ties förekommer. Sedermera med vilken sannolikhet dessa kan förväntas förekomma i omröstningar med tre alternativ, under olika röstningsregler. En statistisk modell som replikerar fördelningen i valsituationer med tre alternativ används, och det simuleras 16 miljoner omröstningar med tre alternativ. Paradoxerna som identifieras i samband med användning av pluralitetsregeln och bordaräkning synliggörs i tabell 3.1.
Tabell 3.1 Identifierade paradoxer vid användning av pluralitetsregeln och bordaräkning
Pluralitetsregeln Bordaräkning
Paradoxen för condorcetvinnare X X
Paradoxen för absolut majoritet X
Trunkeringsparadoxen X
Paradoxen för konsistent val inom delmängder X X
Ties X X
Paradoxen för condorcetförlorare X
Paradoxen för den absoluta förloraren X
Källa: Plassman & Tidemann, 2014
Bordaräkningen är till exempel känslig för Paradoxen för absolut majoritet vilket innebär att en kandidat, som av majoriteten av de röstande är rangordnad som vinnare, inte står som vinnare i omröstningen. Det poängteras dock att detta händer i en omröstning av 2 500 med 1 000 röstande, varför det anses att känsligheten inte är speciellt oroväckande. Att bordaräkningen är känslig för strategisk röstning är diskuterat ovan, och detta fångas även upp av känsligheten för Trunkeringsparadoxen där de röstande endast rangordnar en del av alternativen för att uppnå ett önskat resultat. Pluralitetsregeln och bordaräkning ger inte alltid samma rangordning och vinnare när kandidater elimineras från omröstningen enligt känsligheten för
Paradoxen för konsistenta val inom delmängder. (Övriga paradoxer diskuteras i
Även hur ofta reglerna stöter på paradoxer undersöks och en ytterligare omröstning simuleras, nu med olika antal röstande. Resultaten skiljer sig åt beroende på om de röstande är jämnt eller ojämnt till antalet. Såväl bordaräkning som pluralitetsregeln stöter på fler paradoxer vid jämnt antal röstande, men antalet konfrontationer minskar med ökat antal röstande. Bordaräkningen tenderar konsekvent att prestera över pluralitetsregeln och stöter på färre paradoxer. Liknande mönster ses även gällande ties, men skillnaderna mekanismerna emellan suddas ut när antalet röstande uppgår till 10 000 och antalet ties de olika metoderna stöter på går mot noll. Vidare poängteras att trots vetskapen om vilka paradoxer de olika röstningsreglerna är känsliga för ges inte en heltäckande bild vid jämförelse av röstningsmekanismerna. (Plassman & Tidemann, 2014)
García-Lapresta & Martínez-Panero (2002) utvecklar den traditionella bordaräkningen till att även ta hänsyn till med vilken intensitet de röstande föredrar ett alternativ framför ett annat. Bordaräkningen utvidgas till att godkänna icke-strikta rangordningar, där också indifferens mellan alternativ tillåts. Genom vad författarna kallar ”A fuzzy borda count” får de röstande numeriskt visa hur mycket de föredrar ett alternativ framför ett annat. Intensiteten i preferenserna ligger mellan 0 och 1. !!"!
beskriver intensiteten med vilken den röstande b prefererar !! framför !!. Den totala kapaciteten att preferera inom ett par antas vara 1. Således är sambandet; ju högre !!" med vilket !! prefereras framför !! desto lägre måste !!" med vilket !! prefereras framför !! vara. För alla par gäller något av följande:
!! ≻! !! !!"! ≻ ! , !
!~!!! 1 − ! ≤ !!"!≤ ! , !! ≻! !!(!!"! ≻ !)
Där 0 ≤ ! ≤ 1.
Vidare genomför García-Lapresta & Martínez-Panero (2002) ett test där ! sätts till 0,5. Under ”Fuzzy borda count” antar poängen värden inom intervallet 0, ! − 1 , där n är antalet alternativ. Under ! = 0,5 summeras alla värden över 0,5 för respektive alternativ för att få den slutgiltiga rangordningen.
Exempel: Två röstande A och B har följande preferenser för tre alternativ !!, !! !"ℎ !! i tabell 3.2:
Tabell 3.2 De röstandes preferenser enligt ”Fuzzy borda count”
A !! !! !! B !! !! !!
!! 0,5 0,9 1 !! 0,5 0,4 0,4
!! 0,1 0,5 0,6 !! 0,6 0,5 0,6
!! 0 0,4 0,5 !! 0,6 0,4 0,5
Källa: García-Lapresta & Martínez-Panero, 2002
García-Lapresta & Martínez-Panero (2002) beskriver att en siffra större än 0,5 tyder på att det ena alternativet föredras med en intensitet c framför det andra, medan en siffra på exakt 0,5 tyder på indifferens eller att preferenserna mellan alternativen inte går att skilja på. Därför blir exempelvis !! framför !! 0,5 eftersom det är samma alternativ. Under As preferenser föredras exempelvis !! framför !! med intensiteten
0,9. I den traditionella bordaräkningen tillåts endast intensiteten c=1 och alla värden över 0,5 skulle omvandlas till ettor, resultatet ses i tabell 3.3.
Tabell 3.3 De röstandes preferenser enligt bordaräkning
A !! !! !! B !! !! !!
!! 0 1 1 !! 0 0 0
!! 0 0 1 !! 1 0 1
!! 0 0 0 !! 1 0 0
Källa: García-Lapresta & Martínez-Panero, 2002
Under ”fuzzy borda count” skulle följande resultat erhållas; summera radvis alla värden över 0,5:
!!=1,9 !!=1,8 !!=0,6
Den traditionella bordaräkningen skulle ge ett annat resultat: !!=2 !!=3 !!=1
Fördelen med ”Fuzzy borda count” är således att den fångar upp nyanser av de röstandes preferenser. Om exempelvis !! föredras framför !! med en låg nivå av intensitet, till exempel 0,6, måste den röstande under traditionell bordaräkning rangordna enligt den maximala nivån 1, som om den röstande fullständigt föredrar !!
Heckelman (2003) beskriver att majoritetens tyranni kan, förutom genom bordaräkning, brytas genom en mekanism för sannolikhetslotteri. Probabilistisk bordaräkning är ett omröstningssystem där det vinnande alternativet väljs ut genom lotteri. Vikterna för respektive alternativ bestäms av de poäng som alternativen fått i en röstning under bordaräkning (som andel av alla bordapoäng). I detta sannolikhetslotteri har majoritetskoalitionen sannolikheten att vinna i proportion till gruppens storlek, men även minoriteten har chans att vinna, relativt dess storlek. På detta sätt kan ett lotterisystem, som tillåter grupper en möjlighet att vinna i proportion till deras storlek, ge ett rättvist utfall. I lotteriet kan varje alternativ som fått åtminstone en poäng vinna. Detta innebär att condorcetvinnaren, om den existerar, kanske inte blir vald, men också att en condorcetförlorare, om den existerar, kan bli vald. Eftersom bordaräkning alltid kommer att dela ut fler poäng till en condorcetvinnare än en condorcetförlorare, om de båda existerar, så kommer lotteriet mer sannolikt att välja condorcetvinnaren än condorcetförloraren. En nackdel med lotteriet är att det ökar incitament för strategisk introduktion av nya alternativ. Syftet är att ändra vikterna i lotteriet och således ökar sannolikheten att en condorcetförlorare väljs. Strategin handlar om att införa alternativ som liknar andra och då öka spridningen bland alternativen. Denna strategi är dock endast genomförbar om en exakt estimering av preferenserna för varje röstande är möjlig, vilket är osannolikt. En fördel med lotteriet är att det eliminerar strategisk röstning på de alternativ som är i beaktning, då rangordning av färre alternativ ökar sannolikheten att dessa alternativ vinner och att alla alternativ (förutom de som har rangordnats sist av alla) har en sannolikhet över noll att vinna. Metoden bryter tyrannen av majoritetskoalition (som nämnts ovan). (Heckelman 2003)
Utifrån de fakta som framkommit om röstning och röstningsmekanismer finns skäl att applicera dessa mekanismer på ett nytt omfattande datamaterial. I Eurovision Song Contest finns ett gediget datamaterial att tillgå, som inte tidigare varit föremål för kommande metodapplicering. Analysen på datamaterialet görs för att undersöka huruvida annorlunda resultat kan uppkomma om andra mekanismer används.
4. Data
I Eurovision Song Contest har antalet bidrag och antalet röstande länder varierat enligt tabell 4.1. Varje röstande land rangordnar de tio bidrag som de prefererar högst, tolv poäng (vidare benämnt 12:a) tilldelas favoritbidraget, tio poäng (vidare benämnt 10:a) till bidraget som är näst bäst och åtta till en poäng i fallande ordning till resterande. Bidraget med högst poängsumma vinner. Således tillämpas partiell bordaräkning som röstningsmekanism i tävlingen.
Studiens datamaterial har samlats in från en omfattande databas på Eschome.net. Materialet omfattar den fullständiga röstningsstatistiken, där rangordning och poängsättning framgår, från finalerna i Eurovision Song Contest mellan åren 2004-2013.
Tabell 4.1 Resultat från tävlingen
Antal bidrag Antal röstande Totalpoäng vinnaren Genomsnittspoäng vinnaren
2013 26 39 281 7,21 2012 26 42 372 8,86 2011 25 43 221 5,14 2010 25 39 246 6,31 2009 25 42 387 9,21 2008 25 43 272 6,33 2007 24 42 268 6,38 2006 24 38 292 7,68 2005 24 39 230 5,90 2004 24 36 280 7,78
5. Resultat och analys
På datamaterialet appliceras olika metoder och röstningsmekanismer i syfte att undersöka huruvida resultatet från tävlingen förändras om materialet tolkas på andra sätt.
5.1 Test av majoritets- och pluralitetsvinnare
I tävlingen rangordnar varje röstande land sina tio högst prefererade bidrag. Genom att endast ta hänsyn till 12:orna kan majoritetsregeln appliceras på materialet. Detta genom att betrakta vinnaren som det ena alternativet och alla andra bidrag som det andra. Då en 12:a ges till det högst prefererade bidraget skulle detta alternativ få rösten om bara en röst skulle avläggas. Om vinnaren har fått majoriteten av tolvorna är en vidare tolkning att bidraget även är en majoritetsvinnare.
Tabell 5.1 Utfall av test
År 2013 2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 Andel 12:or för
vinnaren
20,5% 42,8% 7,0% 23,1% 38,1% 16,3% 21,4% 21,1% 25,6% 22,2%
Tabell 5.1 visar hur stor andel av det totala antalet 12:or som vinnaren fått respektive år, det vill säga hur stor andel av de röstande länderna som haft det vinnande bidraget som sitt högst prefererade alternativ. Siffrorna i tabell 5.1 har framtagits genom att summera antalet 12:or för vinnaren respektive år och sedan dividera med det totala antalet röstande samma år.
Tabell 5.1 visar att vinnaren aldrig fått majoriteten av 12:orna. Ett naturligt steg att ta, om en majoritetsvinnare inte existerar, är att istället applicera pluralitetsregeln på materialet. Således undersöks huruvida vinnaren erhållit flest 12:or.
Tabell 5.2 Utfall av test
År 2013 2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 Pluralitetsvinnare Nej Ja Nej Ja Ja Nej Ja Nej Ja Ja
I sex finaler kan det vinnande bidraget anses vara en pluralitetsvinnare. I fyra av tio finaler har vinnaren alltså inte fått flest 12:or. Det finns således ett eller flera andra bidrag som erhållit fler 12:or. Vinnarna dessa år måste alltså ha vunnit på något annat sätt än genom många 12:or. I tabell 5.3 visas korrelationen mellan poängen i vinnarnas poängsammansättning för perioden.
Tabell 5.3 Korrelationsmatris, vinnarnas poängsammasättning, hela perioden
12 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 1 10 0,26 1 8 -0,19 0,43 1 7 -0,05 -0,07 -0,32 1 6 -0,08 -0,38 -0,38 0,51 1 5 -0,40 0,07 0,19 0,20 0,48 1 4 -0,27 -0,58 -0,56 -0,25 -0,27 -0,34 1 3 0,18 -0,29 -0,10 -0,67 -0,21 -0,51 0,44 1 2 -0,08 -0,21 -0,35 -0,30 -0,47 -0,33 0,71 0,07 1 1 -0,43 -0,49 -0,46 -0,25 0,15 0,13 0,70 0,47 0,36 1 0 -0,70 -0,43 0,25 -0,27 0,06 -0,01 0,24 0,29 0,02 0,41 1
I matrisen kan det utläsas att poängen på den övre halvan av poängskalan tenderar att korrelera med poängen närmast ovanför. Exempelvis korrelerar en åtta relativt starkt med tiorna. Tolkningen av tabellen är exempelvis att vinnaren som fått många 12:or även tenderar att ha fått fler 10:or. De fem högsta poängen tenderar att korrelera negativt med de lägre poängen. Ett bidrag kan vinna tävlingen med enbart 7 procent av 12:orna, enligt tabell 5.1, vilket innebär att bidraget måste ha vunnit därför att flera av de andra poängen tilldelades bidraget. Till exempel har 12:orna negativ korrelation med 8, 5 och 4, vilket kan tyda på att en vinnare som erhållit få 12:or har fått fler 8:or, 5:or och 4:or. För att undersöka detta åskådliggörs vinnarens poängsammansättning under de år då vinnaren inte fått flest 12:or i tabell 5.4.
Tabell 5.4 Sammansättningen av icke-pluralitetsvinnarnas poäng, frekvens 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Totalt Antal röstande 2013 8 7 3 5 4 3 2 1 2 2 1 281 39 2011 3 5 10 2 3 2 1 2 1 1 12 221 43 2008 7 5 5 4 6 5 1 1 0 2 6 272 43 2006 8 6 6 8 3 2 1 0 0 0 3 292 38 Genomsnitt 6,5 5,75 6 4,75 4 3 1,25 1,3 2 1,25 5,5
Som väntat erhåller vinnaren generellt poängen på den övre poängskalan (≥5) med högre frekvens än de lägre poängen.
Tabell 5.5 Ackumulerade poäng för icke-pluralitetsvinnare, i procent av totalpoängen
Ackumulerade poäng 12 12+10 12+10+8 12+10+8+7 2013 34,2 59,1 67,6 80 2011 16,3 38,9 75,1 81,4 2008 30,9 49,3 64 74,3 2006 32,9 53,4 70 89 Genomsnitt 28,6 50,2 69,2 81,2
Icke-pluralitetsvinnarna får enligt tabell 5.5 en relativt hög andel av sina totalpoäng från de fyra högsta poängen. Enligt korrelationsmatrisen ovan skulle antal 12:or korrelera negativt med bland annat 8:or, 5:or och 4:or. Av dessa torde antal 8:or vara det som har störst inverkan på slutpoängen (med bakgrund av tabell 5.5). När 8:orna inkluderas i tabell 5.5 ökar den ackumulerade poängsumman med 8,5 - 36,2 procent. Alltså varierar vikten av 8:orna. Generellt verkar de lägre poängen ≤ 6 ha mindre betydelse för slutsumman, då vinnarna i genomsnitt redan ackumulerat 81,2 procent av sina totalpoäng innan dessa poäng beaktas. För att jämföra om skillnad kan urskönjas mot de år då vinnaren fick flest 12:or görs en sammanställning av dessa år i tabell 5.6.
Tabell 5.6 Sammansättningen av pluralitetsvinnarnas poäng, frekvens 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0 !"#$%# Antal röstande 2012 18 5 3 5 6 1 0 2 0 0 1 372 42 2010 9 5 4 1 2 1 4 4 1 2 5 246 39 2009 16 9 10 1 0 2 0 2 1 0 0 387 42 2007 9 2 6 4 5 3 2 3 0 2 5 268 42 2005 10 2 2 3 2 1 5 2 4 2 5 230 39 2004 8 5 7 4 4 4 1 0 1 0 1 280 36 Genomsnitt 11,6 4,6 5,3 3 3,17 2 2 2,17 1,17 1 2,83
För att jämförelse ska kunna göras sammanställs vinnarnas ackumulerade poäng i tabell 5.7.
Tabell 5.7 Ackumulerade poäng för pluralitetsvinnare, i procent av totalpoängen
Ackumulerad poäng 12 12+10 12+10+8 12+10+8+7 2012 58,1 71,5 78 87,4 2010 44 64,2 77,2 80,1 2009 49,6 72,9 93,5 95,3 2007 40,3 47,8 65,7 76,1 2005 52,2 60,9 67,8 77 2004 34,3 52,1 72,1 82,1 Genomsnitt 46,4 61,6 75,7 83
Pluralitetsvinnarna har som väntat fått en större andel av sina poäng från 12:orna. Pluralitetsvinnarna har även generellt fått en större andel av det totala antalet 12:or jämfört med icke-pluralitetsvinnarna enligt tabell 5.1. Generellt jämnas skillnaderna mellan tabell 5.4 och 5.7 ut när de fyra högsta poängen inkluderas. Det går inte att dra slutsatsen att icke-pluralitetsvinnare fått lägre totalpoäng vilket innebär, med bakgrund av att poängen 6 ≥ inte har lika stor betydelse, att de vunnit tack vare fler 10:or, 8:or och 7:or. Icke-pluralitetsvinnare erhåller i genomsnitt 1,15st fler 10:or, 0,7st fler 8:or och 1,75st fler 7:or än pluralitetsvinnare.
5.2 Rangordning av de tre högst prefererade alternativen
Resultatet i tävlingen bestäms som nämnts av bordaräkning, en röstningsregel som inte är condorcetkonsistent. För att undersöka huruvida denna slutsats även går att applicera på de tre högst prefererade bidragen i tävlingen ställs dessa i parvisa dueller mot varandra. Vidare undersöks om rangordningen av bidragen kvarstår efter dessa dueller. Tillvägagångssättet har varit att vinnaren respektive år ställts i en duell mot det bidrag som kommit tvåa respektive trea samma år samt att tvåan och trean har ställts i en duell. Hänsyn har tagits till hur många av de röstande länderna som prefererat ettan framför tvåan eller tvåan framför ettan, och så vidare. Ingen hänsyn har således tagits till hur många fler poäng ett alternativ fått i en duell mot ett annat alternativ. Metoden visas med ett exempel från finalen 2009.
Exempel år 2009
Respektive lands preferenser resulterar i en av rangordningarna i tabell 5.8.
Tabell 5.8 Rangordning av de tre högst prefererade alternativen, frekvens
1≻2≻3 1≻3≻2 1≻2=3 2≻1≻3 2≻3≻1 2≻1=3 3≻1≻2 3≻2≻1 3≻1=2
14 14 1 5 0 0 4 1 0
Ettan, tvåan och trean dueller med varandra, det vill säga antalet gånger ettan rangordnats högre än tvåan summeras, de gånger ettan prefererats före trean, och så vidare. ≻ symboliserar att det är skillnad mellan bidragen, där exempelvis 1≻2 betyder att ettan rangordnats högre än tvåan. Likhetstecken symboliserar att två länder har prefererats lika när det gäller rangordning, vilket betyder att de båda bidragen fått noll poäng.
Tabell 5.9 Dueller mellan de tre högst prefererade alternativen
1 vs 2 33 vs 6 1:an vinner
1 vs 3 34 vs 5 1:an vinner
2 vs 3 19 vs 19 Lika
Tabell 5.9 visar att alternativ 1 prefererats framför tvåan 33 gånger, medan tvåan rangordnas framför ettan i sex fall. De gånger bidrag rangordnats på samma plats, det vill säga erhållit noll poäng, har observationen tagits bort.
Resultatet visar att ettan vinner över både tvåan och trean i duellerna, medan duellen mellan tvåan och trean visar på att de rangordnats lika högt. Den slutgiltiga rangordningen blir således 1≻2=3. Metoden har applicerats på datamaterialet för respektive år. Resultatet visas i tabell 5.10.
Tabell 5.10 Utfall av test, sammanställning
År 2013 2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 Rangordning 1≻2≻3 1≻2≻3 1=3≻2 1≻3≻2 1≻2=3 1≻2≻3 1≻2≻3 1≻2≻3 1≻2≻3 1≻2≻3 Utfallen som är markerade skiljer sig åt från tävlingens resultat respektive år.
Genom resultaten i tabell 5.10 kan slutsatser dras om huruvida vinnaren är en condorcetvinnaren. I alla fall utom år 2011 vinner 1:an sina parvisa dueller mot 2:an och 3:an under majoritetsregeln och är således en condorcetvinnare. År 2011 kan inte preferenserna skilja 1:an och 3:an åt, vilket således betyder att vinnaren inte är en condorcetvinnare.
5.3 Test av oberoende
Ett av kriterierna bakom Arrows omöjlighetsteorem säger att resultatet av en omröstning ska förbli detsamma även om de röstande har preferenser för andra, för omröstningen irrelevanta, alternativ. Detta testas genom att i datamaterialet eliminera bidrag, som blir irrelevanta, för att undersöka huruvida rangordningen av de tre högst prefererade bidragen står sig.
Testet har sin utgångspunkt i den fullständiga statistiken från omröstningarna, där det som nämnts ovan framgår hur respektive röstande land rangordnat bidragen och den resulterande poängsättningen. Vidare har applicerats en variant av metoden för Haresystemet där första steget är att bidraget med lägst poängsumma elimineras från resultatet. Bidragets poäng tilldelas nu i stället de andra länderna, som rangordnats inom topp tio av respektive röstande land vars poäng uppgraderas. Illustration av metoden sker via ett exempel: En tävling har ägt rum, n (n> 2) antal röstande har rangordnat sina tio mest prefererade bland tolv alternativ och resultatet är följande:
Tabell 5.11 Resultat efter rangordning
Rangordning A B C D E F G H I J K L
Totalpoäng 200 180 160 140 120 100 80 60 50 40 30 20
Således är L det lägst prefererade av kollektivet med n röstande. Tabell 5.12 illustrerar hur två av länderna 1 och 2 rangordnat sina tio mest prefererade bland de tolv alternativen.
Tabell 5.12 1:ans och 2:ans rangordning
Kollektivets rangordning → A B C D E F G H I J K L 1:ans rangordning → 10 12 2 3 7 4 5 6 1 0 0 8 2:ans rangordning → 12 4 6 8 5 0 7 2 10 1 3 0 Land 1 har tilldelat L åtta poäng, medan land 2 har tilldelat noll poäng. Alternativ L elimineras (eftersom det av kollektivet fått lägst poängsumma, se tabell 5.11) och de bidrag som fått lägre än åtta poäng av land 1 uppgraderas, vilket resulterar i en ny poängtilldelning enligt tabell 5.13.
Tabell 5.13 Poängsättning efter första elimineringen
Kollektivets rangordning → A B C D E F G H I J K L 1:ans rangordning → 10 12 3 4 8 5 6 7 2 0 0 - 2:ans rangordning → 12 4 6 8 5 0 7 2 10 1 3 -
De markerade siffrorna indikerar att alternativets poäng uppgraderats ett steg. Eftersom land 2 inte tilldelat L någon poäng uppgraderas inte heller deras andra röster.Nästa steg är att eliminera det av kollektivet näst lägst prefererade alternativet, nämligen K (se tabell 5.11). Således ska alternativ som av land 2 erhållit mindre än tre poäng uppgraderas, medan poängsättningen från land 1 inte påverkas i detta steg, då de givit K noll poäng. Resultatet av denna förändring kan ses i tabell 5.14.
Tabell 5.14 Poängsättning efter andra elimineringen
Kollektivets rangordning → A B C D E F G H I J K L 1:ans rangordning → 10 12 3 4 8 5 6 7 2 0 - - 2:ans rangordning → 12 4 6 8 5 0 7 3 10 2 - -
H och J får sina poäng uppgraderade ett steg. Här aktualiseras en viktig sak, nämligen att F som fått noll poäng av land 2 aldrig heller kommer få sin poäng uppgraderad genom eliminering. Detta är ett faktum då land 2 givit både F och L noll poäng, vilket gör att rangordningen mellan dessa bidrag inte går att skilja på. Exemplet åskådliggör som nämnts hur testet har gått till. Eliminering av de lägst prefererade bidragen har skett stegvis tills dess att endast de tre högst rangordnade bidragen återstått. Resultatet visas i tabell 5.15.
Tabell 5.15 Utfall av test
År 2013 2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 Rangordning 1≻2≻3 1≻2≻3 3≻1≻2 1≻3≻2 1≻2≻3 1≻3≻2 2≻1≻3 1≻2≻3 1≻2≻3 1≻2≻3
Utfallen som är markerade skiljer sig åt från tävlingens resultat respektive år
Tabellerna 5.16 och 5.17 visar en sammanfattning över alla testresultat. Under de år där vinnaren kan anses vara en pluralitetsvinnare har vinnaren konstant fått en högre andel av 12:orna än under de år när vinnaren inte varit en pluralitetsvinnare.
Tabell 5.16 Sammanfattande tabell över alla test, 2013-2009
2013 2012 2011 2010 2009
Andelen 12:or för vinnaren 20,5 % 42,8 % 7,0 % 23,1 % 38,1 %
Pluralitetsvinnare Nej Ja Nej Ja Ja
Rangordning av de tre högst prefererade alternativen
1≻2≻3 1≻2≻3 1=3≻2 1≻3≻2 1≻2=3
Condorcetvinnare Ja Ja Nej Ja Ja
Test av oberoende 1≻2≻3 1≻2≻3 3≻1≻2 1≻3≻2 1≻2≻3
Tabell 5.17 Sammanfattande tabell över alla test 2008-2004
2008 2007 2006 2005 2004
Andelen 12:or för vinnaren 16,3 % 21,4 % 21,1 % 25,6 % 22,2 %
Pluralitetsvinnare Nej Ja Nej Ja Ja
Rangordning av de tre högst prefererade alternativen
1≻2≻3 1≻2≻3 1≻2≻3 1≻2≻3 1≻2≻3
Condorcetvinnare Ja Ja Ja Ja Ja
Test av oberoende 1≻3≻2 2≻1≻3 1≻2≻3 1≻2≻3 1≻2≻3
6. Diskussion
Under bordaräkning rangordnas alla alternativ i en omröstning. Resultatet i denna studie påverkas av att modifierad bordaräkning har använts då endast tio alternativ rangordnas. Ett visst informationsbortfall har uppstått då det inte går att säga någonting om hur de “ickerangordnade” bidragen prefererats i förhållande till varandra. I de parvisa duellerna har detta bidragit till att det inte går att avgöra huruvida ett bidrag föredragits framför ett annat. Detta kallas ties och dessa utfall har i denna studie raderats. Vi är medvetna om att studiens resultat beror av att de röstande är medvetna om att de röstat enligt bordaräkning. Hade en annan röstningsmekanism använts kunde resultatet blivit ett annat.
Studiens test av majoritetsvinnare visar att vinnaren inte är en majoritetsvinnare i någon av finalerna. Vidare analyseras om vinnaren är en pluralitetsvinnare, vilket skett i sex av tio finaler. En pluralitetsvinnare kan anses ha ett stöd även om, som visas ovan, majoriteten faktiskt har andra alternativ som vinnare. Anledningen till dessa resultat, som speglar ett relativt svagt stöd för vinnaren, kan tänkas vara att de röstande har helt olika preferenser för bidragen, vilket leder till en bred spridning av 12:orna.
Stödet (andelen 12:or) för vinnaren har varierat under den undersökta perioden från 7 procent i finalen 2011 till 42,3 procent 2012. I finalen 2011 hade vinnaren i genomsnitt 5,14 poäng (det lägsta genomsnittet under perioden), medan motsvarande siffra 2012 är 8,86 (det näst högsta genomsnittet under perioden). Detta kan tyda på att en låg andel 12:or samvarierar med ett lågt genomsnitt, det vill säga att vinnaren med få 12:or har haft ett lägre genomsnitt än vinnaren med en högre andel 12:or. En hög andel 12:or samvarierar med att vinnaren är en pluralitetsvinnare.
Ett högt genomsnitt kan erhållas på olika sätt. Om ett bidrag exempelvis får fem 12:or ger ju det samma poängsumma som om bidraget istället fått tio 6:or. Det vill säga att ett alternativ kan vinna genom att få tillräckligt höga poäng av färre röstande eller genom att fler röstande tilldelar alternativet ”mittenpoäng”. Därav undersöktes hur poängen korrelerar med varandra.
Resultatet visar att 12:or har negativ korrelation med alla lägre poäng, förutom 10, vilket kan tolkas såsom att om vinnaren fått en lägre andel 12:or torde denne fått flera 8:or och andra lägre poäng.
Vidare undersöktes vinnarnas poängsammansättning under perioden. Skillnad gjordes mellan år då pluralitetsvinnare utsetts och år då detta ej var fallet. Resultatet visar att under de år en pluralitetsvinnare utsetts har bidraget fått en större andel av sina poäng från 12:or, 10:or och 8:or, medan skillnaderna började suddas ut när även 7:orna inkluderades. Då har såväl pluralitetsvinnare som icke pluralitetsvinnare ackumulerat i genomsnitt över 80 procent av sina totalpoäng. En vidare slutsats av detta är att poängen sex och nedåt endast utgör i genomsnitt 20 procent av vinnarens totalpoäng. Om vinnaren fått få 12:or har denne i genomsnitt fått fler 10:or, 8:or och 7:or och på så vis vunnit.
I tre finaler ändras rangordningen av de tre högst prefererade bidragen när de ställs i dueller mot varandra. Testet syftar till att se bortom poängsättningen för att ge en ny infallsvinkel på resultatet. I 70 procent av finalerna lyckas röstningsmekanismen resultera i en rangordning som även står sig efter duellerna. 2011 går det inte att skilja på preferenserna för ettan och trean, i ett fall ändras rangordningen på tvåan och trean och i det sista fallet går det inte att skilja på preferenserna mellan tvåan och trean.
Vinnaren kan anses vara en condorcetvinnare med hänsyn tagen till de tre högst rankade alternativen i nio av tio finaler. Det är i finalen 2011 som vinnaren inte anses vara en condorcetvinnare.
Ett kriterium som Arrow utvecklade handlade om att resultatet från en omröstning ska vara oberoende av irrelevanta alternativ. I denna studie har hänsyn tagits till detta kriterium genom eliminering av det sämsta alternativet tills det att endast de tre högst prefererade bidragen återstår i tävlingen. Metoden har tagit hänsyn till totalpoängen som de olika alternativen fått i tävlingen.
I studiens test av oberoende är resultatet att rangordningen ändras i tre fall. Återigen ändras resultatet ifrån finalen 2011 och denna gång ges en ny vinnare.
Även 2007 ges en ny vinnare, trots att vinnaren både anses vara en pluralitetsvinnare och en condorcetvinnare till skillnad mot vinnaren 2011. Då kandidaterna skiljer sig åt på många punkter är det svårt att hitta ett mönster.
Resultaten tyder på att en låg andel 12:or ger ett instabilt utfall. Vinnaren 2011 fick 7 procent av 12:orna, anses inte vara en pluralitetsvinnare och är inte en condorcetvinnare. Rangordningen av de tre högst prefererade bidragen förändras efter duellerna och i studiens test av oberoende ges en annan vinnare detta år.
6.1 Slutsats
Resultatet i denna studie påvisar, i samstämmighet med tidigare studier, att det uppkommer problem när aggregering av preferenser ska göras i en omröstning med fler än två alternativ. Det finns ingen entydig omröstningsprocess som alltid är den bästa. Olika röstningsregler kan vara mer eller mindre önskvärda beroende på situationen. Omröstningar av varierande slag sker överallt i vardagen och det finns anledning att vara uppmärksam på hur olika mekanismer påverkar utfallet i en omröstning. Processen är komplicerad och det är inte alltid uppenbart vilka mekanismer som styr vad i en omröstning. Det står klart att olika röstningsmekanismer ger olika utfall trots att preferenserna är de samma.
Det finns möjligheter att utvidga de tester som gjorts för att se fler samband. Alla tester skulle kunna utvidgas genom att öka antalet observationer. Under avsnitt 5.2 har ett test gjorts med hänsyn till de tre högst prefererade alternativen. Genom att göra ett test med hänsyn tagen till rangordningen av alla alternativ skulle en mer djupgående analys kunna göras, däribland undersöka om vinnaren är en condorcetvinnare.
Även det test som visar sammansättningen mellan poängen för vinnarna varje år skulle kunna utvidgas genom en undersökning som inkluderar alla bidrag.
7. Referenslista
7.1 Tryckta källor
Baharad, Eyal, Nitzan, Shmuel, 2002, “The Borda rule, Condorcet consistency and
Condorcet stability”, Economic Theory (2003), volym 22, ss. 685-688.
Emerson, Peter, 2011, “The original Borda count and partial voting”, Social Choice and Welfare (2013), volym 40, ss. 353-358.
García-Lapresta, José Luis, Martínez-Panero, Miguel, 2001, ”Borda count versus
approval voting: A fuzzy approach”, Public Choice (2002), volym 112, ss. 167-184.
Ginsburgh, Victor; Noury, Abdul, 2005, ”Cultural voting: The Eurovision Song Contest” http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=884379
Heckelman, Jan C, 2002, ”Probabilistic Borda rule voting”, Soc Choice Welfare (2003), volym 21, ss. 455-468.
Straffin, Philip D., Jr, 1980, ”Topics of the Theory of Voting”, Education Development Center, Inc., Newton, MA.
7.2 Internetkällor
Eurovision Song Contests databas: http://eschome.net/index.html
8. Bilagor
Förklaring förkortningar:
Alba Albanien Lett Lettland
Ando Andorra Lita Litauen
Arme Armenien Lux Luxemburg
Öste Österrike Malt Malta
Azer Azerbaijan Mar Marocko
Vitr Vitryssland Mold Moldavien
Belg Belgien Mon Monaco
Bosn Bosnien Hercegovina Mont Montenegro
Bulg Bulgarien Ned Nederländerna
Kroa Kroatien Nor Norge
Cype Cypern Pol Polen
Tjec Tjeckien Port Portugal
Danm Danmark Rumä Rumänien
Est Estland Ryss Ryssland
Finl Finland SanM San Marino
Fran Frankrike Serb Serbien
Make Makedonien SerbM Serbien Montenegro
Geor Georgien Slova Slovakien
tysk Tyskland Slove Slovenien
Grek Grekland Spa Spanien
Ung Ungern Sve Sverige
Isl Island Sch Schweiz
Irl Irland Turk Turkiet
Isra Israel Ukr Ukraina
Ital Italien Stor Storbritannien
8.1 Rangordning av de tre högst prefererade alternativen 2013 1≻2≻3 1≻3≻2 1≻2=3 2≻1≻3 2≻3≻1 2≻1=3 3≻1≻2 3≻2≻1 3≻1=2 4 7 3 7 6 1 5 3 0 1 vs 2 19 vs 17 1 vinner 1 vs 3 21 vs 14 1 vinner 2 vs 3 18 vs 15 2 vinner Rangordning 1≻2≻3 2012 1≻2≻3 1≻3≻2 1≻2=3 2≻1≻3 2≻3≻1 2≻1=3 3≻1≻2 3≻2≻1 3≻1=2 15 9 0 4 3 0 8 0 0 1 vs 2 32 vs 7 1 vinner 1 vs 3 28 vs 11 1 vinner 2 vs 3 22 vs 17 2 vinner Rangordning 1≻2≻3 2011 1≻2≻3 1≻3≻2 1≻2=3 2≻1≻3 2≻3≻1 2≻1=3 3≻1≻2 3≻2≻1 3≻1=2 4 8 0 7 7 1 7 3 2 1 vs 2 19 vs 18 1 vinner 1 vs 3 19 vs 19 Lika 2 vs 3 19 vs 20 3 vinner Rangordning 1=3≻2 2010 1≻2≻3 1≻3≻2 1≻2=3 2≻1≻3 2≻3≻1 2≻1=3 3≻1≻2 3≻2≻1 3≻1=2 5 12 0 6 4 1 4 0 4 1 vs 2 21 vs 12 1 vinner 1 vs 3 23 vs 12 1 vinner 2 vs 3 16 vs 20 3 vinner Rangordning 1≻3≻2 2009 1≻2≻3 1≻3≻2 1≻2=3 2≻1≻3 2≻3≻1 2≻1=3 3≻1≻2 3≻2≻1 3≻1=2 14 14 1 5 0 0 4 1 0 1 vs 2 33 vs 6 1 vinner 1 vs 3 34 vs 5 1 vinner 2 vs 3 19 vs 19 Lika Rangordning 1≻2=3
