Tals additiva
del-helhetsrelationer
En litteraturstudie om elevers förståelse av tals additiva
del-helhetsrelationer
KURS: Självständigt arbete för grundlärare F-3 och 4-6, 15hp
PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 FÖRFATTARE:Caroline Stern & Sophie Texén
EXAMINATOR:Pernilla Mårtensson TERMIN:VT20
JÖNKÖPING UNIVERSITY Kurs: Självständigt arbete, 15 hp
School of Education and Communication Program: Grundlärarprogrammet F-3
Termin: 6
SAMMANFATTNING
___________________________________________________________________________ Caroline Stern & Sophie Texén
Tals additiva del-helhetsrelationer – Additive part-whole relations of numbers En litteraturstudie om elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer
Antal sidor: 25 ___________________________________________________________________________ Aritmetik är den del inom matematiken som behandlar räknande och innefattar tals egenskaper och hur räknesätten fungerar och kan sättas i relation till varandra, däribland räknesätten addition och subtraktion. Förståelsen av tals egenskaper benämns vanligtvis som taluppfattning vilket innefattar olika aspekter av tal såsom bland annat tals del-helhetsrelationer. Tals additiva del-helhetsrelationer syftar till relationen där kvantiteten, helheten kan delas upp i två eller flera delar. Till exempel kan talet 7 delas upp i följande sammansättningar 6│1│7, 5│2│7 och 4│3│7 där 7 ses som helheten och där sammansättningarna visar de olika delarna. Syftet med denna litteraturstudie är att lyfta fram hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer. Arbetet är en litteraturstudie där vetenskapliga publikationer inom matematikdidaktisk forskning har lästs och analyserats.
Litteraturstudien visar på hur elevers förståelse av de första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att lösa addition- och subtraktionsproblem. Det har framkommit att förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att se samband mellan addition och subtraktion, att se additionens kommutativa egenskap samt att använda de tio första naturliga talens additiva del-helhetsrelationer även för additions- och subtraktionsproblem med tiotalsövergång genom att använda tio som referenspunkt. Det har även framkommit faktorer i undervisningen som främjar elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer däribland aktiviteter där eleverna ges möjlighet att utforska och kommunicera om deras förståelse.
Litteraturstudien visar även att läraren har en viktig roll för att skapa en undervisning som främjar elevers förståelse. Med hjälp av strukturella representationer kan läraren synliggöra relationen mellan delarna samt mellan delarna och helheten. Vidare belyser litteraturstudien vikten av att läraren använder gester och tal för att rikta elevernas uppmärksamhet på det som undervisningen avser att lära.
___________________________________________________________________________ Sökord: aritmetik, del-helhet, del-helhetsrelationer, additiva, addition och subtraktion. ___________________________________________________________________________
Innehållsförteckning
1
Inledning
... 12
Syfte
och frågeställning
... 33
Bakgrund
... 43.1 Aritmetik ... 4
3.2 Grundläggande taluppfattning ... 4
3.3 Tals additiva del-helhetsrelationer ... 4
3.4 Styrdokument ... 6
4 Metod
... 74.1 Litteratursökning ... 7
4.2 Materialanalys ... 9
5 Resultat
... 115.1 Elevers förståelse för de första naturliga talens del-helhetsrelationer ... 11
5.1.1 Se delarna och helheten samtidigt ... 11
5.1.2 Använda konkreta representationer för att se del-helhetsrelationer ... 12
5.1.3 Se samband mellan addition och subtraktion ... 13
5.1.4Se additionens kommutativa egenskap ... 14
5.1.5Använda tio som referenspunkt ... 15
5.2 Faktorer som främjar elevers förståelser för del-helhetsrelationer ... 15
5.2.1 Elevers förkunskaper ... 15
5.2.2 Representationer av betydelse för undervisningen ... 16
6 Diskussion
... 196.1 Metoddiskussion ... 19
6.2 Resultatdiskussion ... 20
6.2.1 Vidare forskning ... 24
7 Referenser
... 261
1 Inledning
Har elever som hamnat i matematiksvårigheter bristande intelligens, oförmåga att tänka logiskt eller grundar det sig istället i vilken utsträckning eleven har fått möjlighet att tillägna sig kunskap om grundläggande aritmetik?
Vi har under vår verksamhetsförlagda utbildning mött elever som visar stora skillnader i hur de löser additions- och subtraktionsproblem. En del elever använder fingrarna när de räknar medan andra inte gör det. Vi har även som föräldrar uppmärksammat barn i vår närhet som visar på skillnader, däribland en femårig pojke som med hjälp av huvudräkning löste uppgifter av karaktären 257 + 433 på bara några få sekunder. Vad är det denna pojke har fått syn på som gör att han löser uppgiften så snabbt medan andra tycks kämpa med att lösa uppgifter av enklare karaktär? På liknande sätt ställer sig Neuman (1989, s. 42, 45–46; Neuman, 2013, s.14) frågan; ”Varför lär sig en del elever aldrig att räkna?”. Hon tar upp exemplet med en 17-årig elev som efter sex sekunder på frågan 2+_=9 svarar: ”Det måste bli sex…”. Därefter ger eleven följande redogörelse:
-Två plus sex är nio.
-Hur tänker du när du vet det?
-(fem sekunders paus). Jag tänker sex…nej, det är de´ inte…fem…nej de´ e´ fel…sju plus två ska det va´ i nian… (Neuman, 2013, s.14).
Hon ger även exempel på när elever hade klara begrepp om hur de tio första naturliga talen är uppdelade. På så sätt tycks de ha funnit en strategi där de väljer att gå den enklaste vägen för att lösa samma uppgift och därmed bara se att det är talet 7 som hör ihop med talen 2 och 9.
Neumans (2013, s. 14) exempel och de individuella skillnader som vi uppmärksammat har gjort oss intresserade av elevers tidiga förståelse av att lösa additions- och subtraktionsproblem. Som blivande lärare vill vi öka vår medvetenhet om vad dessa skillnader grundar sig i. Detta för att kunna ge våra blivande elever en undervisning där alla ges möjlighet att tillägna sig grunderna inom aritmetik. Vi tror inte att det är på grund av bristande intelligens eller oförmåga att tänka logiskt som elever hamnar i svårigheter. Istället tror vi det beror på i vilken utsträckning eleven i undervisningen har fått möjlighet att tillägna sig kunskap om grundläggande aritmetik. Därav vill vi i denna litteraturstudie lyfta fram hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers förståelse av att lösa additions- och subtraktionsproblem med hjälp av tals additiva
del-2
helhetsrelationer, vilket syftar till relationen där kvantiteten, helheten kan delas upp i två eller flera delar.
I vår litteraturstudie kommer vi analysera ett flertal vetenskapliga publikationer för att se om forskare är eniga om betydelsen av att tillägna sig tals additiva del-helhetsrelationer. Avgränsningar har gjorts då del-helhetsrelationer även kan syfta på tal i bråkform och multiplikativa samband. Detta eftersom vår litteraturstudie syftar till att undersöka hur elevers förståelse av additiva del-helhetsrelationer kan underlätta för dem att lära sig att lösa additions- och subtraktionsproblem samt vilka faktorer i undervisningen som främjar detta.
3
2 Syfte och frågeställning
Syftet med denna studie är att lyfta fram hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer.
Detta syfte vill vi uppfylla genom att svara på följande frågor:
• Hur kan förståelse av de första naturliga talens del-helhetsrelationer underlätta för elever att lära sig att lösa additions- och subtraktionsproblem?
• Vilka faktorer i undervisningen menar forskning främjar elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer?
4
3 Bakgrund
Bakgrunden innefattar en definition av aritmetik (3.1), därefter redogörs grundläggande taluppfattning (3.2) och tals additiva del-helhetsrelationer (3.3). Avslutningsvis behandlas styrdokumenten (3.4).
3.1 Aritmetik
Ordet aritmetik betyder räknelära eller räknekonst och är den del inom matematiken som behandlar räknande. Den innefattar det mest grundläggande inom matematiken såsom tals egenskaper och hur de fyra räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och division fungerar samt hur de kan sättas i relation till varandra (Unenge, Sandahl & Wyndhamn, 1994, s. 25–28).
3.2 Grundläggande taluppfattning
Taluppfattning kännetecknas bland annat av en förståelse för olika aspekter av tal såsom relationer inom tal, mellan tal samt mellan tal och omvärld. En förståelse för relationen inom tal innebär att se ett tal som en helhet samt att kunna dela upp talet i mindre delar. Relationer mellan tal innebär en förståelse av att till exempel talet 7 är ett mindre än 8 och ett mer än 6 medan relationen mellan tal och omvärld innebär att koppla samman ett tal med omvärlden, till exempel att veckan har sju dagar (Sterner & Johansson, 2008, s. 81). En god taluppfattning är som Heiberg Solem, Alseth och Norberg (2011, s. 52) benämner det ”grunden för räkning med tal”. God taluppfattning innebär en förståelse för samtliga aspekter av tal. Det i sin tur leder till en känsla för tal som kan användas för att bedöma tals storlek med hjälp av hållpunkter, se helheten i problem för att därefter gå in på detaljer och ta hänsyn till dess sammanhang (Häggblom 2013, s. 57).
3.3 Tals additiva del-helhetsrelationer
Tal kan delas upp i delar till exempel talet 7 kan delas upp i följande sammansättningar 6│1│7, 5│2│7 och 4│3│7 där 7 ses som helheten och där sammansättningarna visar de olika delarna (Ljungblad, 2001, s. 119). Dessa sammansättningar visar tals additiva del-helhetsrelationer vilket inte ska förväxlas med multiplikativa del-helhetsrelationer. Även multiplikation och division grundar sig i att se sambandet mellan delarna och helheten. Elevers förståelse av
5
multiplikation bygger på att de ska se ett visst antal grupper med lika många föremål i varje grupp. Till exempel ska: 3 × 8 = 24 ses som 8 grupper med 3 föremål i varje. Här behöver de lägga ihop alla dessa 8 grupper för att få fram produkten 24. I division är det istället helheten 24 som ska delas i 8 lika stora delar med 3 i varje grupp (McIntosh, 2018, s. 70, 73). Denna litteraturstudie kommer enbart rikta in sig på tals additiva del-helhetsrelationer1.
Neuman (1989, s. 52–54) delar upp de tio första naturliga talen2 i två delar på 25 olika sätt vilket hon benämner ”de 25 kombinationerna”. Figur 1 visar de 25 kombinationer som de första tio naturliga talen kan delas upp i.
Två Tre Fyra Fem Sex Sju Åtta Nio Tio
1│1│2 2│1│3 3│1│4 4│1│5 5│1│6 6│1│7 7│1│8 8│1│9 9│1│10 2│2│4 3│2│5 4│2│6 5│2│7 6│2│8 7│2│9 8│2│10 3│3│6 4│3│7 5│3│8 6│3│9 7│3│10 4│4│8 5│4│9 6│4│10 5│5│10
Figur 1: ”De 25 kombinationerna” (Neuman, 1989, s. 52).
Neuman menar att ”de 25 kombinationerna” är en av grunderna i den aritmetiska utvecklingen. Det finns dock annan litteratur som beskriver elevers utveckling av räknefärdigheter. Kilborn, Johansson och Dahlström (refererad i Sterner & Johansson, 2008, s. 82–83) menar att elever löser additions- och subtraktionsproblem genom att använda konkret material som till exempel klossar eller fingrar för att sammanbinda räkneramsan med det konkreta materialet ett-till-ett. En annan strategi som de beskriver bygger också på räkneramsan men att detta istället sker som en tankemässig process, till exempel kan elever lösa uppgiften 3 + 4 = _ genom att räkna alla, börja uppräkningen från det första talet eller genom att börja räkna på det största talet. Vidare lyfter de en strategi som bygger på att elever har tillägnat sig talfakta, här kan det till exempel handla om att eleven vet att 3 + 3 = 6 och läggs det till en till så är det 7 eller att de har lärt sig additionstabellen utantill och ”vet” att 3 + 4 = 7.
McIntosh (2018, s. 94) menar att en svårighet med att tillägna sig grundläggande strategier för att se del-helhetsrelationer är att inte komma ihåg dem tillräckligt snabbt och på så sätt inte kunna använda dem för att utföra beräkningar på ett effektivt sätt. Han lyfter därav vikten av
1 Fortsättningsvis kommer tals additiva del-helhetsrelationer endast benämnas ”del-helhetsrelationer”. 2 Dessa avser vårt talsystems tio första positiva heltal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 och 10 (Neuman, 1989, s.52).
6
en ökad undervisning av olika huvudräkningsstrategier där tals del-helhetsrelationer kan ses som en strategi. Vidare lyfter han att det är vanligt att elever endast använder strategin att räkna uppåt för addition och räkna nedåt för subtraktion samt att det är vanligt att ta hjälp av fingrarna. Detta anser han är arbetskrävande och att det vid uppgifter med större tal är lätt att tappa bort sig. Heiberg Solem et al. (2011, s. 54) menar att kunskapen om tals del-helhetsrelationer kan användas för att på ett snabbt och effektivt sätt lösa uppgifter som till exempel 66 + 7. Det går även att använda strategin att börja räkna från det första eller största talet men ett snabbare sätt är att via talkunskap dela upp talet 7 i 4 och 3 för att därefter beräkna uppgiften på följande sätt; 66 + 4 = 70, och 70 + 3 = 73 .
3.4 Styrdokument
Redan innan barn börjar skolan tillägnar de sig kunskap kring tal. Denna kunskap kommer sedan i ett livslångt lärande att utvecklas till en bättre och mer användbar taluppfattning. Förmågan att lära sig räkna på ett korrekt och effektivt sätt är något av det viktigaste som barn lär sig under skolans första år (Heiberg Solem et al., 2011, s. 25). Redan i förskolans läroplan lyfts vikten av att barn ges möjlighet att använda matematik för att undersöka och beskriva sin omvärld samt för att lösa vardagliga problem (Skolverket, 2019, s. 5). Vidare framgår det i kommentarmaterialet för förskoleklassen (Skolverket, 2016, s. 21) att elever i undervisningen ska möta naturliga tal och vad de har för egenskaper. Som en del av att utveckla förståelse för tal och dess relationer till varandra ska eleverna få utforska tal. Undervisningen bör därav utgå från de erfarenheter som barn tillägnat sig under lek och fysisk aktivitet innan de börjar skolan.
Vidare lyfts i kursplanen för årskurs F-3 (Skolverket, 2019, s.14) att eleverna i undervisningen ska utveckla förståelse för hur talen kan delas upp, det vill säga tals del-helhetsrelationer. Även här lyfts vikten av att eleverna i undervisningen ges möjlighet att utforska tal och relationen mellan tal. Enligt kunskapskraven i slutet av årskurs 3 avser godtagbara kunskaper inom området bland annat att ”Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal” (Skolverket, 2019, s. 59–
7
4 Metod
Litteraturstudien är gjord utifrån tillvägagångssättet SMART, som är framtaget av Nilholm (2017) och beskriver ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Tillvägagångssättet har som syfte att kartlägga och analysera forskning inom ett avgränsat område. Arbetet inleds med att definiera det forskningsområde som är intressant för studien för att därefter identifiera det som inte är av intresse. Genom att definiera vad studien ska innehålla samt vad som inte skall finnas med avgränsas sökningen. Detta gör det enklare att finna sådant som är relevant och av störst betydelse för studien. Nedan beskrivs hur litteratursökningen genomförts (4.1) och hur materialet har analyserats (4.2).
4.1 Litteratursökning
Flertalet databaser har använts vid litteratursökningen. Detta för att ge en översikt av forskningsområdet. Databasen ERIC har bidragit med vetenskapliga artiklar inom pedagogik, undervisning och lärande, databasen SwePub har gett en översikt över arbete som svenska forskare har publicerat medan databasen PsykINFO har bidragit med vetenskapliga artiklar inom psykologi. För att få ett material som var vetenskapligt granskat valdes Peer-Review vid sökningarna. Sökord som bidragit till relevant material är: part-whole relations, part-part-whole relations, addition and subtraction, arithmetic, och number combinations. En avgränsning av sökningarna har gjorts genom att sökorden har kombinerats med sökorden: understanding, mathematics skills och cognitive development. Ytterligare avgränsning har gjorts för att ringa in det åldersspann som är av störst intresse för studien, där kompletterande sökord har innefattats av: young children, elementary school, preschool och primary school. Vidare har sökorden trunkerats och sammanfogats med AND och/eller OR. Figur 2 nedan visar ett exempel på en sökning i databasen ERIC.
För att urskilja de mest betydelsefulla artiklarna och forskarna inom forskningsområdet har antalet gånger ett arbete refererats varit utgångspunkt och på så sätt bidragit till ett objektivt mått på arbetets betydelse. Genom att analysera de arbeten som forskare anser är av störst betydelse blir det lättare att närma sig kärnan för det forskningsfält som är av intresse för studien (Nilholm, 2017, s 37–44). Relevant material som funnits vid litteratursökningen har bidragit till nya sökord och andra forskare inom området. Utöver systematisk databassökning har kedjesökningar gjorts. Kedjesökningar har gjorts utifrån Anna-Lena Ekdahls
8
doktorsavhandling: Teaching for the Learning of Additive Part-Whole Relations: The Power of Variation and Connections som är publicerad år 2019 och innefattar många återkommande forskare inom området däribland Arthur J. Baroody, Zi-Juan Cheng, Myoungwhon Jung och Dagmar Neuman. Doktorsavhandlingen vi använde vid kedjesökningen har dock exkluderats från litteraturstudien. Istället har Ekdahl, Venkat och Runessons (2016) artikel: Coding teaching for simultaneity and connections och Ekdahls (2020) artikel: Different Learning Possibilities from the Same Activity – Swedish Prescool Teachers´Enactment of a Number Relation Activity inkluderats, detta eftersom Ekdahls (2019) doktorsavhandling avser en sammanfattning av de studier som artiklarna ovan behandlar.
Steg 1 Steg 2 Steg 3 Steg 4
Figur 2: Exempel på sökning i databasen ERIC
Litteratursökning: ”Part-whole relation*” 74 träffar Val för Inkludering av endast vetenskapligt granskat material: Peer- Review Avgränsning: AND ”mathematic*” Avgränsning: AND ”young children”
Relevansgranskning: Genomläsning av titel, sammanfattning, nyckelord
samt slutledning. Kriterier för inkludering: Elevers förståelse av additiva
del-helhetsrelationer. Kriterier för exkludering: Multiplikativa samband och
tal i bråkform. 44 träffar 29 träffar 4 träffar 2 träffar Exkluderade: 30 Exkluderade: 15 Exkluderade: 25 Exkluderade: 2
9
För att insamlat material skall vara relevant för litteraturstudiens syfte och frågeställning har kriterier för inkludering respektive exkludering tagits fram. Kriterier för inkludering är att materialet skall innehålla elevers förståelse och användning av del-helhetsrelationer för att lösa additions- och subtraktionsproblem. Material innehållande del-helhetsrelationer som syftar till tal i bråkform eller multiplikativa samband har exkluderats. Det analyserade materialet för studien består av tolv vetenskapliga publikationer varav en avhandling och elva tidskriftsartiklar. Översikt av inkluderat material återfinns i tabell 1 nedan (s. 10).
4.2 Materialanalys
En genomläsning och analys av den litteratur som anges i tabell 1ligger till grund för det resultat som lyfts i litteraturstudien. Materialet behandlar hur matematikdidaktisk forskning beskriver elevers förståelse av tals del-helhetsrelationer. För att få en bild över valda publikationer har en översikt (se bilaga) gjorts. I översikten har resultatet av de tolv valda publikationerna sammanfattats utifrån denna litteraturstudies frågor: Hur kan förståelse av de första naturliga talens del-helhetsrelationer underlätta för elever att lära sig att lösa additions- och subtraktionsproblem? och Vilka faktorer i undervisningen menar forskning främjar elevers förståelse av tals additiva del-helhetsrelationer? På så vis kunde vi se om och hur respektive studie relaterade till litteraturstudiens två frågor. Vissa studier besvarande den första av frågorna medan andra hade ett undervisningsperspektiv och därav besvarade den andra. I nästa steg söktes likheter och skillnader mellan de olika studierna.
10
Tabell 1: Översikt av inkluderat material
Författare Titel År Publikationstyp
1. Alibali, M. W., Nathan, M. J., Wolgram, M. S., Church, R. B., Jacobs, S. A., Martinez, C. J., & Knuth, E. J.
How Teachers Link Ideas in Mathematics
Instruction Using Speech and Gesture: A Corpus Analysis
2013 Tidskriftsartikel
2. Baroody, A.J. Does Mathematics Instruction for 3- to 5Year Old Really Make Sense
2000 Tidskriftsartikel
3. Berteletti, I. & Booth, J. R.
Perceiving fingers in single-digit arithmetic problems
2015 Tidskriftsartikel
4. Cheng, Z-J. Teaching young children decomposition strategies to solve addition problem: An experimental study
2011 Tidskriftsartikel
5. Ekdahl, A-L., Venkat, H. & Runesson U.
Coding teaching for simultaneity and connections
2016 Tidskriftsartikel
6. Ekdahl, A-L. Different Learning Possibilities from the Same Activity – Swedish Prescool
Teachers´Enactment of a Number Relation Activity
2020 Tidskriftsartikel
7. Fischer, F. E. A Part-Part-Whole Curriculum for Teaching Number in the Kindergarten 1990 Tidskriftsartikel 8. Kullberg, A. & Björklund, C. Pre-schoolers’ different
ways of structuring part-part-whole relations with
finger patterns when
solving an arithmetic task
2019 Tidskriftsartikel
9. Jung, M. Number Relationships in Preschool
2011 Tidskriftsartikel
10. Neuman, D. The Origin of Arithmetic Skills – A
Phenomenographic Approach
1987 Avhandling
11. Neuman, D. Att ändra arbetssätt och kultur inom den inledande matematikundervisningen
Tidskriftsartikel
12. Sophian, C. & McCorgray, P.
Whole Knowledge and Early Arithmetic Problem Solving
11
5 Resultat
Resultatet är indelat efter litteraturstudiens frågeställning. Under Elevers förståelse för de första naturliga talens del-helhetsrelationer (5.1) besvaras studiens första fråga och under Faktorer som främjar elevers förståelse för del-helhetsrelationer (5.2) studiens andra.
5.1 Elevers förståelse för de första naturliga talens
del-helhetsrelationer
I följande avsnitt under rubrikerna: Se delarna och helheten samtidigt (5.1.1), Använda fingrarna för att se del-helhetsrelationer (5.1.2), Se samband mellan addition och subtraktion (5.1.3), Se additionens kommutativa egenskap (5.1.4) samt Använda tio som referens (5.1.5) besvaras frågan: Hur kan förståelse av de första naturliga talens del-helhetsrelationer underlätta för elever att lära sig att lösa additions- och subtraktionsproblem?
5.1.1 Se delarna och helheten samtidigt
I Neumans (1987, s. 313–316) intervjustudie om elevers olika uppfattningar av att lösa addition- och subtraktionsproblem framkom två skilda sätt. De elever som intervjuades under deras första vecka i årskurs 1 och därav ännu inte fått formell undervisning3, oavsett hur utvecklad deras taluppfattning var hade uppfattningen att kunna se lösningen. De elever i årskurs 1–6 som fått formell undervisning, men som varit i behov av specialundervisning, hade uppfattningen att matematik handlar om räkning. De som hade uppfattningen att matematik handlar om räkning hade endast tillägnat sig strategin att med hjälp av fingrarna räkna ett-till-ett medan de elever vars uppfattning var att se lösningen använde sig av olika strategier där en strategi var att se tals del-helhetsrelationer.
Att besitta räknefärdigheter är […] att kunna laborera i tankarna med tal och delar av tal på ett flexibelt sätt; att direkt, utan långa uppräkningar och användande av fingrar eller annat konkret material, kunna relatera två givna tal till varandra så att ett tredje blir det självklara resultatet (Neuman, 1989, s. 42).
3 Förskoleklass, tidigare allmän förskola var fram till höstterminen 2018 en frivillig skolform. Idag är det en obligatorisk skolform vilket innebär att skolplikt gäller från höstterminen det kalenderår barnet fyller sex år (Utbildningsdepartementet, 2017).
12
Som framkommer av citatet ovan menar Neuman (1987, s. 313–316) att räknefärdigheter såsom att se tals del-helhetsrelationer är mer effektivt än att räkna ett-till-ett på fingrarna eller med hjälp av konkret material. Detta resultat styrker Cheng (2011. s. 37–45) i sin studie av 5–6 åringars användande av effektiva strategier för addition- och subtraktionsproblem. Att räkna ett-till-ett är inte alltid det effektivaste sättet utan elever behöver tillägna sig andra strategier för att kunna se lösningen. En effektivare strategi menar Cheng är ”make-a-ten decomposition strategy” som innebär att uppgiften 8 + 3 = _ beräknas genom att talet 3 delas till 2 och 1, därefter beräknas 8 + 2 = 10 och 10 + 1 = 11.
5.1.2 Använda konkreta representationer för att se del-helhetsrelationer
Barteletti och Booth (2015, s. 1–8) visar i sin studie av 8–13 åriga elever att det finns en koppling mellan deras användning av fingerrepresentationer och fingerbaserade strategier och deras förståelse för aritmetik. De menar att hur och i vilken utsträckning fingrarna används för att lösa addition- och subtraktionsproblem har betydelse för hur väl eleverna har tillägnat sig grunderna i aritmetik. Det finns olika sätt att använda sig av fingrarna vid räkning. En del elever tar hjälp av fingrarna för att räkna talen ett-till-ett vilket kan benämnas som fingerräkning medan andra använder sig av fingrarna för att representera tal som sammansatta enheter, så kallade fingertal (Ekdahl, 2020, s. 12; Kullberg & Björklund, 2019; Neuman, 1987, s. 178– 184). Fingertal bygger inledningsvis på den odelade handens princip. Handen utgör basen för helheten och fingrarna kan användas för att ändra storleken på delarna genom att ett eller flera fingrar flyttas (Neuman, 1987, s. 183–184).
Det har framkommit två grundläggande sätt att använda fingertal för att lösa additions- och subtraktionsproblem; att visa fingertal som uppsättningar där de direkt ser del-helhetsrelationen och fingertal där de ser den angivna delen men behöver räkna för att ta reda på den saknade delen. Att direkt se del-helhetsrelationen kan kännetecknas genom att barnen visar den kända delen för att därefter direkt se den saknade delen (Kullberg & Björklunds, 2019). I Kullberg och Björklunds (2019) intervjustudie av barn i 5–6 års åldern utgick de från följande uppgift: ”Du har tre glas, men ska duka bordet för 8 personer; hur många fler glas behöver du?” (3 + _ = 8). Resultatet visar att; när den kända delen 3 visas som ett fingertal ser vissa barn direkt att debehöver lägga till en hand alltså fem fingrar för att få helheten 8. De såg även att några barn direkt visar den kända delen 3 med fingrarna för att sedan räkna vidare på samma hand och därefter övergå till den andra handen tills de når helheten. Det gör att den okända delen är
13
uppdelad på två händer och därav svårare att se som ett fingertal. En kritisk aspekt med detta tillvägagångssätt är att urskilja den okända delen. Vidare visade några barn ännu ett sätt där den kända delen visas som ett fingertal och de tror att de fingrar som är kvar är den okända delen vilket inte är fallet om de utgår från uppgiften. Här tappar barnen bort helheten vilket de menar är en kritisk aspekt för att tillägna sig tals del-helhetsrelationer.
Det finns olika representationer för att visa tal som sammansatta enheter, till exempel fingertal och 10-orm (se figur 5, s. 17). Dessa har visat sig kunna fungera som ett verktyg för att på ett framgångsrikt sätt lösa additions- och subtraktionsproblem (Ekdahl, 2020, s. 5). Att använda sig av konkreta representationer vid räkning har även visat sig främja elevers förmåga att gå från det konkreta till det abstrakta, till exempel genom att gå från att använda fingertal till att använda muntliga strategier. En muntlig strategi kan vara att uppgiften 5 + 3 = 8 löses på följande sätt; räknar antalet som det första angivna talet anger, ”en, två, tre, fyra, fem” och sedan räkna vidare det antal gånger som det andra talet anger, ”sex, sju, åtta”. Många elever lär sig snart att de kan börja räkna på det tal som första siffran representerar, i detta fall fem. För att sedan räkna vidare, ”sex, sju, åtta” (Baroody, 2000, s. 5–7).
Till en början är elevers sätt att använda tal relativt konkreta, i den mening att de använder mentala representationer av tal vilket gör att det begränsas till små samlingar på fyra enheter eller färre. Allt eftersom de tillägnar sig strategier utvidgar de sin förmåga att använda talkunskap för mer abstrakta sammanhang och mer abstrakta tal, såsom tal större än fyra (Baroody, 2000, s. 5–7).Mycket tyder på att elevers förståelse av tals del-helhetsrelationer sker genom deras förståelse för hur grupper av konkreta föremål kan delas och sättas samman (Cheng, 2011, s. 43).
5.1.3 Se samband mellan addition och subtraktion
En förståelse av de första naturliga talens del-helhetsrelationer har visat sig underlätta för elever att se samband mellan räknesätten addition och subtraktion (Cheng, 2011, s. 37–39, Neuman, 2013, s. 15). Cheng (2011, s. 37–39) menar att elever ser sambandet mellan räknesätten när de arbetar med uppdelning av tal. Detta upptäcktes när eleverna med hjälp av konkret material delade upp antalet i två delar för att sedan skriva de olika kombinationerna med matematiska symboler på följande sätt:
14 1 + 9 = 10 2 + 8 = 10 3 + 7 = 10 4 + 6 = 10 5 + 5 = 10
När eleverna skrev de olika kombinationerna som matematiska uttryck på ett systematiskt sätt kunde de se att om den ena termen ökar med ett, minskar den andra med ett för att summan ska vara den samma. Det visar på att de elever som såg hur relationen mellan helheten och delarna förhåller sig på ett systematiskt sätt kunde beskriva del-helhetsrelationen av det konkreta materialet med hjälp av matematiska symboler och på så sätt visa sambandet mellan addition och subtraktion. När elever har befäst tals del-helhetsrelationer kan de direkt se de olika kombinationer som tal kan delas upp i, vilket i sin tur innebär en förståelse för sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion (Neuman, 2013, s. 15).
5.1.4 Se additionens kommutativa egenskap
En förståelse av de första naturliga talens del-helhetsrelationer har visat sig främja elevers förmåga att se additionens kommutativa egenskap (Cheng, 2011, s. 37–38; Ekdahl et al., 2016, s. 296; Neuman, 2013, s. 15). Cheng (2011, s. 37–38) visar i sin studie att de elever som på ett systematiskt sätt och med hjälp av matematiska symboler kan skriva de fem kombinationer som talet 10 kan delas upp i (se figur 1, s. 5)även förstod att om talet 10 kan delas upp i till exempel 2 + 8 gäller det även omvänt, 8 + 2 och har på så sett fått en förståelse för additionens kommutativa egenskap
.
Liknande resultat visar Ekdahl et al. (2016, s. 296) i deras studie där lärarna i undervisningen använt strukturella representationer4 för att synliggöra additionens kommutativa egenskap, alltså att 2 + 8 = 8 + 2. En förståelse för den kommutativa principen gör att det i uppgifter som till exempel 2 + 8 = _ går att välja att börja med den största delen för att finna helheten, vilket kan ses som en enklare och effektivare strategi. Vidare belyser Ekdahl et al. (2016, s. 296, 308) vikten av att bli medveten om additionens kommutativa egenskap då det ger grund för att lösa uppgifter som till exempel 5 + _ = 8, 8 = 5 + _, 3 + _ = 8. De lyfter även att medvetenhet om sambandet mellan delarna och helheten hjälper elever att se kommutativitet. Elever som har befäst ”de 25 kombinationerna”, som de tio första naturliga15
talen kan delas upp i ser additionens kommutativitet ”på ett självklart sätt” (Neuman, 2013, s. 15).
5.1.5 Använda tio som referenspunkt
Elevers förståelse av de tio första naturliga talens del-helhetsrelationer kan användas för att lösa additions- och subtraktionsproblem med tiotalsövergång, detta genom att använda talet 10 som referenspunkt (Cheng, 2011, s. 44, Neuman, 1987, s. 294–295). Cheng (2011, s. 44) menar att elever som tillägnat sig tals del-helhetsrelationer kan lösa uppgiften 8 + 7 = _ på följande sätt: Eleverna ser att de behöver lägga till 2 till 8 för att komma till 10. De delar upp talet 7 i delarna 2 och 5 och ser att 8 + 2 = 10, och 10 + 5 = 15. Denna strategi att använda 10 som referenspunkt samt förståelsen för del-helhetsrelationer mellan de tio första naturliga talen använde eleverna även vid uppgifter inom högre talområde. Till exempel löste de uppgiften 19 + 7 = _ genom att dela upp talen på följande sätt; 10 + 9 + 1 + 6 = 10 + 10 + 6 = 26.
Det har även visat sig att elever som tillägnat sig ”de 25-kombinationerna” (se figur 1, s. 5) analyserade tal i en uppgift för att med hjälp av kunskapen om tals del-helhetsrelationer kunna göra om dem till ett eller flera jämna 10-tal och på så sätt använda 10 som referenspunkt för att enklare lösa additions- och subtraktionsuppgifter med tiotalsövergång (Neuman 1987, s. 294– 295). Det finns indikationer om att barn redan i förskolan tillägnar sig kunskap om del-helhetsrelationer för tal upp till tio samt att de även skulle kunna använda denna kunskap för att förstå tal som är större. Förståelse för del-helhetsrelationer ger även en gemensam grund för tolkning av både små och stora tal vilket kan göra det lättare att räkna uppgifter med tiotalsövergång (Fischer, 1990, s. 214).
5.2 Faktorer som främjar elevers förståelser för
del-helhetsrelationer
I följande avsnitt under rubrikerna: Elevers förkunskaper (5.2.1) samt Representationer av betydelse för undervisningen (5.2.2) besvaras frågan: Vilka faktorer i undervisningen menar forskningen främjar elevers förståelser för additiva del-helhetsrelationer?
5.2.1 Elevers förkunskaper
Sophian och McCorgrays (1994, s. 16–32) studie visar att barn i 5-års åldern kan bestämma den relativa storleken på två delar, varav den ena ingår i den andra. Studien visar också att barn kan
16
resonera om del-helhetsrelationer när de börjar skolan. Denna förmåga visade 5- och 6-åringarna medan barnen i 4-års åldern inte hade utvecklat detta. Baroody (2000, s. 3) menar dock att barn vid 3-års ålder, redan innan de lärt sig räkna kan känna igen samlingar av en till fyra enheter. Utifrån upptäckten att barn redan innan de börjar skolan tillägnar sig kunskap om grundläggande aritmetik bör undervisningen bygga vidare på elevernas förkunskaper om bland annat del-helhetsrelationer (Baroody, 2000, s. 8; Sophian & McCorgray, 1994, s.16–32). En tidig introduktion av del-helhetsrelationer bidrar till att utveckla grundläggande aritmetiska färdigheter såsom att ange antal och ordning på de naturliga talen. En tidig introduktion av del-helhetsrelationer har även visat sig ha en positiv inverkan på barns förmåga att lösa addition- och subtraktionsproblem (Fischers, 1990, s. 214).
Elever behöver i undervisningen möta många olika aktiviteter som främjar deras förståelse för del-helhetsrelationer. Aktiviteterna behöver vara av sådan karaktär att de uppmuntrar elevers utforskande och ger dem möjlighet att kommunicera om deras förståelse för antal och del-helhetsrelationer. Detta i olika situationer och under en längre tid (Cheng, 2011, s. 42–45; Ekdahl et al., 2016, s. 302–311; Jung, 2011, s. 554; Sophian & McCorgray, 1994, s. 30–32). En undervisning om tals del-helhetsrelationer behöver ge eleverna möjlighet att identifiera den saknade delen samt kunna sammanföra delarna med varandra så att de bildar helheten. Undervisningen behöver även synliggöra alla kombinationer av tals del-helhetsrelationer (Jung, 2011, s.554–556; Sophian & McCorgray, 1994, s. 4). Det finns skillnader på hur elever förstår del-helhetsrelationer utifrån lärarnas undervisning om dessa. De elever som fått se flera olika sätt att dela upp talen med hjälp av konkreta representationer, fått vägledning med hjälp av frågor samt koppla de olika konkreta representationerna till symboluttryck, har tillgodosett sig undervisningen bättre än de elever som inte fått se alla olika sätt att dela samma helhet (Ekdahl et al, 2016 s. 304–305, 312).
5.2.2 Representationer av betydelse för undervisningen
Konkreta representationer har visat sig främja elevers förståelse för abstrakta tal (Baroody, 2000, s. 5–7; Cheng, 2011, s. 43–44; Neuman, 2013, s. 28). Det har dock visat sig att det inte endast räcker med konkreta representationer för att undervisningen ska synliggöra del-helhetsrelationer. Sambandet som elever kan upptäcka med hjälp av konkreta representationer
17
behöver synliggöras på ett mer systematiskt sätt (Baroody, 2000, s. 5–7; Cheng, 2011, s. 43– 44; Neuman, 2013, s. 28).
I en studie av Ekdahl et al. (2016, s. 305) använde sig en av lärarna av konkret material, såsom sju apor uppdelade i träd. Eleverna fick ta del av en komplett uppsättning av de olika kombinationerna (se figur 1, s. 5) samtidigt som läraren förklarade, pekade och kopplade apornas delning till en tabell liknande ett talhus (se figur 4 nedan). Resultatet av detta tyder på att läraren därmed gav eleverna möjlighet att urskilja kommutativitet. Vidare belyser Ekdahl et al. (2016, s. 297) vikten av att använda strukturella representationer i undervisningen där del-helhetsrelationer diskuteras, dessa förtydligar sambanden mellan delarna och helheten.
Det har framkommit att introduktion av till exempel fingertal och 10-orm (se figur 5 nedan) som strukturerade representationer för att visa del-helhetsrelationer främjar barns förmåga att se tals relationer som sammansättningar där delarna är relaterade till varandra och till helheten (Ekdahl, 2020, s.12–13). Det har även framkommit att en undervisning där elever får ta del av aktiviteter där de självständigt klassificerar och grupperar konkreta objekt gynnas av detta. Genom att eleverna själva får utforska hur de konkreta objekten kunde delas upp i grupper främjades deras förståelse av del-helhetsrelationer (Cheng, 2011, s. 43–44).
Figur 3: Triaddiagram Figur 4: Talhus Figur 5: 10-orm
Strukturella representationer såsom triaddiagram (figur 3), talhus (figur 4) och 10-orm (figur 5) kan användas för att synliggöra sambandet mellan delarna och helheten. Det har dock visat sig att läraren har en betydande roll i hur sambanden mellan representationer visas (Cheng, 2011, s. 43–44; Ekdahl et al., 2016, s. 297). För att elever ska upptäcka sambanden mellan representationer behöver läraren förtydliga dessa genom tal och gester. Att använda tal och gester för att förtydliga sambanden kan till exempel vara att muntligt eller genom att peka rikta
18
elevers uppmärksamhet på det läraren vill synliggöra i undervisningen. Att använda gester kan vara att läraren gör arm- hand och fingerrörelser genom att peka (Alibali, Nathan, Wolgram, Church, Jacobs, Martinez, & Knuths, 2013, s.78, 92–93; Ekdahl, 2016, s. 300, 311). Läraren kan även använda gester för att förkroppsliga sambanden vilket till exempel kan ske genom att läraren använder fingertal samtidigt som hen gör kopplingar exempelvis till ett triaddiagram (Alibali et al., 2013, s. 78, 92–93). Det är alltså inte de strukturella representationerna i sig som främjar elevers förståelse för del-helhetsrelationer utan hur läraren riktar elevers uppmärksamhet på det innehåll som undervisningen ska synliggöra (Alibali et al. 2013, s.78, 92–93; Ekdahl, 2016, s. 300, 311).
19
6 Diskussion
Diskussionen är indelad i Metoddiskussion (6.1) där vald metod för litteraturstudien diskuteras och Resultatdiskussion (6.2) där resultatet i de studier som analyserats redogörs samt Vidare forskning (6.2.1) där idéer kring vidare forskning lyfts.
6.1 Metoddiskussion
Littereratursökningen tar sin utgångspunkt i de engelska begreppen: whole relations, part-part-whole relations, addition and subtraction, arithmetic, och number combinations. Vi har valt att använda de engelska begreppen då matematik som ämne inte är knutet till Sverige utan kan ses ur ett internationellt perspektiv. Vidare är engelska det språk som allt fler vetenskapliga publikationer, även från svenska universitet skrivs på vilket också gör att dessa publikationer kan finnas via de engelska begreppen. Därav resulterade valet att i huvudsak genomföra sökningen med hjälp av dessa. När vi samlat in relevant material visade det sig att övervägande av de vetenskapliga publikationer som funnits var gjorda i USA, så mycket som 6 av 12 publikationer. Vidare är 4 av 12 publikationer från Sverige medan en är från Kina och en är från Sydafrika. Denna aspekt av att materialet har en begränsad spridning kan innebära att vi gått miste om relevant material från andra delar av världen. Att de vetenskapliga publikationerna till stor del är gjorda i USA kan också innebär en minskad trovärdighet för att resultatet ska kunna ses ur ett fullkomligt internationellt perspektiv.
För att urskilja det mest betydelsefulla materialet har antalet gånger ett arbete är refererat tagits i beaktning. Det har resulterat i att flera av forskarna varit återkommande inom forskningsområdet. Det i sin tur bidrar till att studiens resultat närmar sig kärnan för det forskningsfält man är intresserad av (Nilholm, 2017, s. 37–44). Upptäckten av återkommande forskare har gjort att kedjesökning använts för att finna fler relevanta studier. Det finns dock en risk, vid användandet av kedjesökning att forskare av intresse för studien missas. För att minska denna risk har vi valt att endast använda nyligen tillagda publikationer för denna typ av sökning. Vi har även reflekterat över att forskarna i stort utsträckning refererar till varandra. Det kan tänkas att det faktum att de refererar till varandra har en påverkan på resultatet.
Av de vetenskapliga publikationer som lästs och analyserats i denna studie är endast en skriven på svenska, resterande är skrivna på engelska. Det kan ses som en svaghet då det finns en ökad
20
risk för feltolkning. För att säkerhetsställa att tolkningen av analyserat material hamnar så nära författarnas som möjligt har en närläsning av samtliga publikationer gjorts av båda skribenterna. Därefter har innehållet diskuterats och en gemensam sammanställning av publikationernas resultat gjorts (se bilaga). Sammanställningen bidrar till en översikt över de vetenskapliga publikationer som ligger till grund för denna litteraturstudies resultat. Det har vid analysen framkommit att flera studier visar på samma resultat vilket i sin tur ökar trovärdigheten för att innehållet är relevant. Sammanställningen har också bidragit till att synliggöra olika aspekter för att kunna ge ett så heltäckande svar som möjligt på litteraturstudiens frågeställning.
6.2 Resultatdiskussion
Vår litteraturstudie indikerar att tals del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att lösa additions- och subtraktionsproblem. Det är dock viktigt att ta i beaktning att vi i denna litteraturstudie endast har inkluderat studier innehållande del-helhetsrelationer för de tio första naturliga talen. Det gör att det även kan finnas andra strategier som matematikdidaktisk forskning lyfter som framgångsrika. Vi har dock funnit annan litteratur som lyfter andra strategier vid elevers utveckling av räknefärdigheter. En sådan strategi är att sammanbinda konkret material med räkneramsan för att räkna ett-till-ett (Kilborn et al., refererad i Sterner & Johansson, 2008, s. 82–83). Vidare lyfts att det är vanligt att elever endast ser addition som att räkna uppåt och subtraktion som att räkna nedåt (McIntosh, 2018, s. 94). Resultatet i denna litteraturstudie indikerar att det är en fungerande strategi men framhäver även att en undervisning där läraren med hjälp av strukturella representationer synliggör relationen mellan delarna och helheten samtidigt kan hjälpa elever att gå från att endast använda strategin att räkna ett-till-ett till att tillägna sig andra strategier såsom till exempel att se tals del-helhetsrelationer (Baroody, 2000; Cheng, 2011; Neuman, 1989).
De vetenskapliga publikationer som ligger till grund för resultatet i vår litteraturstudie avser ett innehåll där tals del-helhetsrelationer syftar till att ett tal delas upp i två delar. Man kan ställa sig frågan om uppdelning av ett tal i fler än två delar på ett liknade sätt skulle underlätta för elever att lösa addition- och subtraktionsproblem eller om detta istället skulle främja elevers förståelse av till exempel multiplikativa samband. I resultatet av denna litteraturstudie lyfts några exempel på hur elever löser uppgifter av karaktären 3 + _ = 8 och 19 + 7 = _ . Det resultatet indikerar är att elever för att lösa denna typ av uppgifter använder sig av att dela upp
21
ett tal i två delar. Vidare ställer vi oss därav frågan om en undervisning där läraren synliggör uppdelning av tal i fler än två delar skulle ge ett annat utfall.
Mycket tyder på att barn mellan 3 och 5 år tillägnar sig viktiga grundläggande matematiska begrepp och strategier i sina dagliga aktiviteter. Det kan vara ett bevis på att det finns en viss medfödd förmåga för tals egenskaper (Baroody, 2000, s. 1–2). I resultatet kring vilken ålder som barn kan utveckla förståelse för tals del-helhetsrelationer har vi upptäckt skillnader. Sophian och McCorgray (1994, s. 16–32) menar att det är först i 5–6-års åldern som barn kan se delarna och helheten samtidigt. Detta klarade inte de 4-åringar som deltog i studien. Baroody (2000, s. 1–2) hävdar däremot att barn redan i 3-års åldern klarar att se delarna och helheten samtidigt. Han refererar till Sophian och McCorgray (1994) i sin studie vilket gör att man skulle kunna fråga sig om det är för att problematisera det påstående att 4-åringar inte kan detta. Det som skiljde dessa studier var att Baroody (2000) använde sig av färre enheter vilket vi uppfattar skulle kunna vara en orsak till studiernas olika resultat.
Det faktum att barn tillägnar sig kunskap kring tal innan de börjar skolan kan ses som en grund att bygga vidare på (Baroody, 2000; Heiberg Solem et al., 2011; Sophian & McCorgray, 1994). Detta i sin tur indikerar att det är av stor vikt att undervisningen tar till vara på de kunskaper som barn tillägnar sig redan innan de börjar skolan. I förskoleklassens kommentarmaterial (Skolverket, 2016, s. 21) står att eleverna ska få ta del av naturliga tal och vilka egenskaper de har, bland annat som del av helhet och del av antal. Det ger även en indikation på att tals egenskaper samt räknesätten addition och subtraktion är några av grunderna i aritmetik.Vidare belyses att god taluppfattning, vilket innefattar en förståelse för olika aspekter om tal är ”grunden för räkning med tal” (Heiberg Solem et al., 2011, s. 52). Detta menar vi indikerar på vikten av att elever redan i förskoleklass ges möjlighet att tillägna sig tals del-helhetsrelationer. Vidare framkommer att barn i sina dagliga aktiviteter, så som i lek och andra fysiska aktiviteter tillägnar sig kunskaper av del av tal och del av antal (Skolverket, 2016, s.16). Detta anser vi talar för att elever ska få utforska del-helhetsrelationer både med hjälp av konkret material och med hjälp av tal.
Resultatet i denna litteraturstudie visar även på att kunskapen om tals del-helhetsrelationer främjar elevers förmåga att se samband mellan räknesätten addition och subtraktion och att de istället för att endast räkna uppåt för addition och nedåt för subtraktion kan välja den enklaste vägen. Till exempel för uppgiften 8 − 5 = _; här kan räkna uppåt ses som en enklare väg för
22
att lösa subtraktionsproblemet, detta genom attutgå från den kända delen 5 och antingen räkna vidare till helheten 8 eller använda sig av kunskap om de tio första naturliga talens del-helhetsrelationer och direkt se att det är 3 som är den saknade delen. Vidare tyder resultatet i denna litteraturstudie på att undervisning om del-helhetsrelationer kan synliggöra additionens kommutativa egenskap (Cheng, 2011, s. 37–38; Ekdahl et al, 2016 s.296; s. 72; Neuman, 2013, s. 15). Det kan tänkas att elever genom en undervisning av del-helhetsrelationer där additionens kommutativa egenskap synliggörs även tillgodoser sig strategin att börja räkna från det största talet vid additionsproblem.
Resultatet i denna litteraturstudie indikerar att elevers förståelse av tals del-helhetsrelationer kan underlätta för elever att lösa aritmetikuppgifter även inom högre talområde. Tänkvärt är om strategin tals del-helhetsrelationer fungerar på ett liknande sätt som den strategi där elever lärt sig additionstabellen eller talfakta i form av ”dubblor”. När de genom härledd tabell löser uppgiften 8 + 9 = 17 genom att de vet att 8 + 8 = 16 och om de sedan lägger till en så är det 17 (Ljungblad, 2001, s. 189–193).
McIntosh (2018, s. 94) lyfter att använda fingrarna vid större tal kan vara arbetskrävande samt att det är lätt att tappa bort sig vilket skulle tala för att fingrar inte är ett lämpligt verktyg. Resultatet i den här studien ger däremot en indikation på att fingrarna kan användas på olika sätt samt hur och i vilken utsträckning som fingrarna används är av betydelse (Barteletti & Booth, 2015, s. 1–8; Ekdahl, 2020; Kullberg, 2019; Neuman, 1989). Som belyses i resultatet är användandet av fingrarna för att räkna ett-till-ett, så kallad fingerräkning troligtvis det McIntosh (2011) syftar till. Han menar att de elever som endast tillägnat sig denna strategi behöver få möta en undervisning som främjar deras förståelse för att det finns andra mer effektiva strategier att välja mellan. Att använda fingrarna som representationer för tal, så kallade fingertal, ger studiens resultat en indikation på är en mer effektiv strategi och därav också mindre arbetskrävande. Dessutom indikerar resultatet att använda fingrarna som verktyg för att se tals del-helhetsrelationer kan hjälpa elever att gå från det konkreta till det abstrakta.
Vidare visar resultatet i denna litteraturstudie att kunskapen om tals del-helhetsrelationer främjar elevers förmåga att lösa additions- och subtraktionsproblem med tiotalsövergång. Detta genom att använda 10 som referenspunkt samt kunskapen om de tio första naturliga talens ”25 kombinationer”. Detta står dock i kontrast med ett pågående projekt av Kullberg, Björklund, Maunula och Runesson (u.å, s. 10) vars studie tar sin utgångspunkt i att lärare i årskurs 1–3
23
upplever att elever har svårt med tiotalsövergång, detta trots en undervisning om att urskilja del-helhetsrelationer för de tio första naturliga talen. Eleverna tycks inte använda sig av detta när de gör beräkningar av uppgifter innehållande större tal som till exempel 15 − 7 = _ utan istället återgå till att använda enklare och mer tidskrävande strategier såsom att räkna ett-till-ett. Vi ställer oss därav frågan om och i så fall vad undervisningen behöver synliggöra för att elever ska använda den kunskap om de tio första naturliga talens del-helhetsrelationer som de uppvisar när de löser additions- och subtraktionsproblem inom talområde 0–10.
För att återkomma till den inledande frågan: Har elever som hamnat i matematiksvårigheter bristande intelligens, oförmåga att tänka logiskt eller grundar det sig istället i vilken utsträckning eleven har fått möjlighet att tillägna sig kunskap om grundläggande aritmetik? Neuman (1989, s. 45,46, 53) tar upp exemplet med en 17-årig elev som efter 6 sekunder på frågan 2+_=9 svarar: ”Det måste bli sex ...” Eleven i nämnda exemplet ser inte delarna och helheten samtidigt utan måste uppskatta eller dubbelräkna5 men tappar bort sig. Vidare menar hon att de matematiksvårigheter som en del elever påvisar i de tidiga årskurserna tenderar således att kvarstå även efter de gått ur grundskolan.
Sammanfattningsvis indikerar resultatet i vår litteraturstudie att undervisningen är av betydelse för hur och i vilken utsträckning som elever tillägnar sig kunskap om aritmetikens grunder. Studien framhåller att undervisningen behöver vara utformad så att delarna och helheten blir synliggjorda samtidigt på mer än ett sätt vilket kan ske genom att använda olika representationer (Cheng, 2011; Ekdahl et al. 2016; Ekdahl, 2020; Jung, 2011; Kullberg et al. 2019). För att alla elever ska ges möjlighet att se relationen mellan delarna och helheten indikerar resultatet på vikten av att läraren på ett tydligt sätt förklarar de olika sambanden och kopplingarna mellan de olika representationerna. Det är alltså inte representationerna i sig som främjar elevers förståelse utan hur läraren riktar elevers uppmärksamhet mot det som de ska lära sig. Detta kan ske genom att läraren använder strukturella representationer samtidigt som hen muntligt
5 Dubbelräkna innebär att man för att lösa till exempel uppgift 2+_=9 börjar att räkna på 2, vartefter man räknar upp talen i den okända delen: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Talet 9 som är det sist uppräknade berättar inte om antalet i den okända delen vilket gör att talen behöver räknas på något vis. En del tar hjälp av andra räkneord, alltså att koppla tre <-> 1, fyra <-> 2, fem <-> 3 osv. Sekvenserna går i olika riktning vilket gör det svårt vid räkning framåt och ännu svårare vid räkning bakåt. En del som dubbelräknar tar därav hjälp av till exempel fingrarna; tar upp ett finger för varje uppräknat ord och avläser sedan den ”modellmängden” (Neuman, 1989, s. 156–157)
24
förklarar sambanden, ställer öppna frågor och förkroppsligar sambanden med hjälp av gester (Alibali et al. 2013; Cheng, 2011; Ekdahl et al. 2016).
Avslutningsvis vill vi med denna litteraturstudie belysa vikten av att läraren har ett tydligt syfte med vad eleverna ska lära sig samt att läraren riktar elevers uppmärksamhet mot detta. För att elever inte ska hamna i matematiksvårigheter vill vi lyfta vikten av att alla elever ges möjlighet att utveckla en god taluppfattning där del-helhetsrelationer kan ses som en av grunderna.
Att besitta räknefärdigheter är […] att kunna laborera i tankarna med tal och delar av tal på ett flexibelt sätt; att direkt, utan långa uppräkningar och användande av fingrar eller annat konkret material, kunna relatera två givna tal till varandra så att ett tredje blir det självklara resultatet (Neuman, 1989, s. 42).
6.2.1 Vidare forskning
Denna litteraturstudie har väckt idéer till vidare forskning bland annat om en undervisning där eleverna själva förkroppsligar helhetsrelationer främjar deras förståelse av tals del-helhetsrelationer. Detta genom att en grupp elever representerar helheten som sedan delas upp i mindre grupper. Till exempel kan talet 7 delas upp i följande sammansättningar 6│1│7, 5│2│7 och 4│3│7 där 7 ses som helheten och där sammansättningarna visar de olika delarna. Kan en undervisning där eleverna själva förkroppsligar de olika sammansättningarna främja deras förståelse av hur delarna relaterar till varandra och till helheten?
Heiberg Solem et al. (2011, s. 333–334, 348) lyfter att elever genom att utforska till exempel mätning av längd och area med hjälp av kroppen kan skapa förståelse för begreppen. Vi har även under vår grundlärarutbildning fått till oss att ”det som lärs med kroppen fastnar i knoppen”. Vi har inte sett någon studie där man i undervisningen av del-helhetsrelationer använder sig av detta och det vore därav intressant att undersöka om det skulle göra någon skillnad för elevers lärande. Detta skulle kunna undersökas genom att elever intervjuas före och efter en undervisning innehållande denna aktivitet.
Frågeställning:
• Kan en undervisning där eleverna själva förkroppsligar de olika sammansättningarna främja deras förståelse av hur delarna relaterar till varandra och till helheten?
25
Vidare forskning skulle även kunna vara hur elever i tidiga årskurser möter räknesätten addition och subtraktion. Möter elever en undervisning där sambanden mellan räknesätten blir synliga eller en undervisning av räknesätten separat? Samt hur detta i så fall görs i undervisningen, sker det via tals del-helhetsrelationer vilket denna studie ger en indikation på synliggör sambanden mellan räknesätten? Eller används i undervisningen andra sätt för att främja elevers förståelse av hur räknesätten fungerar och relaterar till varandra? Detta skulle kunna undersökas genom klassrumsobservationer eller genom att intervjua lärare kring deras undervisning av räknesätten addition och subtraktion.
Frågeställning:
• Hur undervisar lärare om sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion? • Hur kan en undervisning av sambanden mellan räknesätten addition och subtraktion
26
7 Referenser
Alibali, M. W., Nathan, M. J., Wolgram, M. S., Church, R. B., Jacobs, S. A., Martinez, C. J., & Knuth, E. J. (2013). How teachers link ideas in mathematics instruction using speech and gesture: A corpus analysis. Cognition and Instruction, 32(1), 65–100.
https://doi.org/10.1080/07370008.2013.858161
Baroody, A. J. (2000). Does Mathematics Instruction for 3- to 5-Year Olds Really Make sense? Young Children, 55(4), 61-67.
Berteletti, I., & Booth, J. (2015). Perceiving fingers in single-digit arithmetic problems. Frontiers in Psychology, 6(226), 1-10. https://doi.org/10.3389/fpsyg.2015.00226
Cheng, Z-J. (2011). Teaching young children decomposition strategies to solve addition problems: An experimental study. The Journal of Mathematical Behavior. 31(1), 29-47. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2011.09.002
Ekdahl, A-L. (2019). Teaching for the Learning of Additive Part-Whole Relations: The Power of Variation and Connections (Doktorsavhandling). School of Education and Communication, Jönköping University, Sweden.
Ekdahl, A-L. (2020). Different Learning Possibilities from the Same Activity—Swedish Preschool Teachers’ Enactment of a Number Relation Activity. Manuskript inlämnat för publicering. School of Education and Communication, Jönköping University, Sweden and University of the Witwatersrand, Johannesburg, South Africa.
Ekdahl, A-L., Vekat, H., & Runesson, U. (2016). Coding teaching for simultaneity and connections. Educational Studies in Mathematics 93, 293-313. https://doi-org.proxy.library.ju.se/10.1007/s10649-016-9700-0
Fischer, F. E. (1990). A Part-Part-Whole Curriculum for Teaching Number in the Kindergarten. Journal for Research in Mathematics Education, 21 (3), 207-215. http//doi.org/10.2307/749374 Heiberg Solem, I., Alseth, B., & Nordberg, G. (2011). Tal och Tanke – matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3. Lund: Studentlitteratur.
Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass. Lund: Studentlitteratur. Jung, M. (2011). Number relationships in preschool. Teaching Children Mathematics 17(9), 550-557.
Kullberg, A., & Björklund, C. (2019). Preschoolers´ different ways of structuring part-part-whole relations with finger patterns when solving an arithmetic task. ZDM Mathematics Education, 51 (7). https://doi.org/10.1007/s11858-019-01119-8.
Kullberg, A., Björklund, C., Maunula, T., & Runesson, U. (u.å). Se eller räkna? Elevers räknestrategier i addition och subtraktion med tiotalsövergång / Seeing or counting? Students' counting strategies in addition and subtraction carrying over ten. Manuskript under arbete. Göteborgs Universitet, Partille Kommun och Jönköpings Universitet.
27
Ljungblad, A-L. (2001) Matematisk Medvetenhet. Lund: Studentlitteratur.
McIntosh, A. (2011). Förstå och använda tal - en handbok. Göteborg: Nationellt centrum för Matematikutbildning.
Neuman, D. (2013). Att ändra arbetssätt och kultur inom den inledande
matematikundervisningen. Nordic Studies in Mathematics Education, 18(2), 3-46.
Neuman, D. (1987). The origin of arithmetic skills: A phenomenographic approach. Gothenburg: Acta Universitatis Gothoburgensis.
Neuman, D. (1989). Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Utbildningsförlaget.
Nilholm, C. (2016). SMART-Ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Lund: Studentlitteratur.
Sophian, C., & McCorgray, P. (1994). Part-Whole Knowledge and Early Arithmetic Problem Solving. Cognition and Instruction 12 (1), 3–33. https://doi.org/10.1207/s1532690xci1201_1 Skolverket. (2016). Förskoleklassen - Ett kommentarmaterial till läroplanens tredje del. https://www.skolverket.se/publikationer?id=3719
Skolverket (2019). Läroplan för förskolan.
https://www.skolverket.se/undervisning/forskolan/laroplan-for-forskolan/laroplan-lpfo-18-for-forskolan
Skolverket. (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet.
https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-grundskolan/laroplan-lgr11-for-grundskolan-samt-for-forskoleklassen-och-fritidshemmet Sterner, G., & Johansson, B. (2008). Räkneord, uppräkning och taluppfattning. I Emanuelsson, G., & Wallby, A. (Red.), Små barns matematik (s. 71–88). Göteborg: NCM Göteborgs universitet.
Unenge, J., Sandahl, A., & Wyndhamn, J. (1994). Lära matematik. Lund: Studentlitteratur.
Utbildningsdepartementet (2017). Skolplikt från sex år.
Bilaga
Tabell 2: Översikt av analyserad litteratur
Författare Titel/Publikationsår Syfte Metod Elevers förståelse för de första talens del-helhetsrelationer
Faktorer som främjar elevers förståelse för del-helhetsrelationer 1. Alibali, M. W Nathan, M. J, Wolgram, M. S Church, R. B Jacobs, S. A Martinez, C. J Knuth, E. J
How Teachers Link Ideas in Mathematics Instruction Using Speech and Gesture: A Corpus Analysis
2013
Undersöka hur lärare
undervisar med gester och tal för att visa kopplingar i olika matematiska sammanhang 6 lärare i årskurs 4-6 United States
Studien visar att gester förtydligar samband mellan olika representationer och förkroppsligar dem för eleverna. Studien visar även att gester förtydligar det som lärare pratar om och blir en kroppslig representation. Samt att gester spelar en viktig roll i elevers förståelse.
2. Baroody, A. J.
Does Mathematics
Instruction for 3- to 5-Year Old Really Make Sense? 2000 Granska en del av den senaste forskningen om småbarns antal och aritmetiska begrepp och färdigheter. Litteraturstudie United States
Studien visar att barn i 3-5 års åldern tillägnas sig kunskap om matematiska begrepp och strategier genom lek och aktiviteter i deras vardag.
Resultat av en studie tyder på att 5- och 6-åringar kan resonera (kvalitativt) om saknade tilläggssituationer och därmed ha en grundläggande förståelse för helhetsrelationer.
Ny forskning visar att förskolebarn har imponerande informella matematiska styrkor inom olika områden.
Studien visar att barn vid någon tidpunkt går från att använda konkreta föremål till att använda muntliga räkneprocedurer. Studien visar att 3-åringar kan
jämföra och visa
representationer av antal för små samlingar (1-4 enheter) och detta redan innan de ens lärt sig att räkna. 3. Berteletti, Ilaria Booth, James R Perceiving fingers in single-digit arithmetic problems Undersöka hur barn förstår fingerpresentati oner kopplade 39 elever i åldern 8–13 år
Studien visar att det finns en koppling mellan hur man använder sig av fingerrepresentationer samt
Studien visar att det finns en koppling mellan hur man använder sig av
2015 till aritmetiska problem utifrån neurovetenskapl ig forskning Experimentell studie United states
fingerbaserade strategier och elevers förståelse för aritmetikens grunder.
fingerbaserade strategier och elevers förståelse för aritmetikens grunder.
4. Cheng, Z-J. Teaching young children decomposition strategies to solve addition problem: An experimental study 2011
Studien syftar till att lära barn att använda en effe ktiv strategi för att lösa additiva räkneup pgifter. Detta med hjälp av förståelse för del-helhetsrelatione n mellan siffror. Barn i åldern 5-6 år Experimentell studie Kina
Studien visar att barnen kan lära sig att använda sönderdelningsstrategi och därmed minska deras beroende av att räkna för att lösa tilläggsproblem. Studien visar också att barns förmåga att anta effektiva strategier var relaterad till deras systematiska kunskaper om förhållandet mellan del och helhet mellan siffrorna 1–10 vilket pekar på att elevers förståelse för del-helhetsrelationer av abstrakta siffror går via deras förståelse för hur grupper av konkreta objekt kan tas isär och sättas ihop.
Studien visar att elever som aktivt utforskar konkret material genom att sortera dessa utifrån olika kategorier lär sig ”se” samtliga sätt som en grupp objekt kan delas upp i.
Studien visar också att de elever som läraren visade samtliga sätt som en siffra kan delas upp på men som inte själva
fick utforska delarna och dess relation till helheten inte i samma utsträckning tillägnade sig förståelse för begreppet. 5. Ekdahl, A-L
Venkat, H Runesson, U
Coding teaching for simultaneity and connections 2016 Undersöka skillnader i elevers förståelse av del-helhetsrelationer utifrån tre lärares olika sätt att undervisa om detta. 3 klasser med elever i årskurs 3 (varje klass bestod av ca 40 elever) Observation av 3 lärares undervisning Sydafrika
Studien visar på skillnader i elevers förståelse av del-helhetsrelationer utifrån lärarnas olika sätt att undervisa om detta.
Studien visar att elever som fick se fler sätt att dela upp tal på och vägledning av frågor samt skriva upp delarna och helheten med siffror i triaddiagram fick en större förståelse för del-helhets relationer.
Studien visar att strukturella representationen som till exempel fingertal, triaddiagram och tabeller tillsammans med lärarens sätt att via tal och gester visa på sambanden mellan delarna och helheten var den undervisning som var mest gynnsam för elevers förmåga att tillägna sig kunskap kring
