1
Examensarbete
för g
rundlärarexamen inriktning F–3
Avancerad nivå
Likhetstecknets betydelse
En läromedelsanalys av hur relationell förståelse kan
möjliggöras i läroboken för årskurs 1
Författare: Malin Blomberg
Handledare: Helén Sterner Examinator: Helena Eriksson
Ämne: Pedagogiskt arbete, matematik Kurskod: APG246
Poäng: 15 hp
Examinationsdatum: 2020-11-10
Vid Högskolan Dalarna finns möjlighet att publicera examensarbetet i fulltext i DiVA. Publiceringen sker open access, vilket innebär att arbetet blir fritt tillgängligt att läsa och ladda ned på nätet. Därmed ökar spridningen och synligheten av examensarbetet. Open access är på väg att bli norm för att sprida vetenskaplig information på nätet. Högskolan Dalarna rekommenderar såväl forskare som studenter att publicera sina arbeten open access.
Jag/vi medger publicering i fulltext (fritt tillgänglig på nätet, open access):
Ja x Nej ☐
2 Abstract:
Elevers matematiska förmåga kan delas in i instrumentell och relationell förståelse. Tidigt i skolåren vill man att elever ska nå den relationella förståelsen. En viktig del i matematikundervisningen är förståelsen för likhetstecknets innebörd. Att eleverna har förståelse för hur de kan använda likhetstecknet och varför det används som det gör påverkar deras vidare förståelse inom flera områden i matematiken. Det är av vikt att den introduceras tidigt men även att undervisningen av likhetstecknet inte slutar i de tidigare åren, elever behöver fortsatt undervisning om likhetstecknets innebörd i olika kontext. Lärare som gör valet att använda ett specifikt läromedel i sin matematikundervisning behöver vara medveten om hur en lärobok är uppbyggd och vilka förutsättningar den ger elever att utveckla relationell förståelse. I denna studie har uppgifter som rör likhetstecknets betydelse analyserats utifrån variationer av uppgifter som främjar den relationella förståelsen. Studien visar att eleverna tidigt i läroböckerna möter definitionen på likhetstecknet samt likheter och olikheter. Studien visar att elever som övar på och utmanas med alla uppgifter i läroboken får en god förutsättning för att utveckla förståelse för likhetstecknet i olika kontexter. Förutsättningarna blir mer begränsade för de elever som inte hinner eller av annan orsak inte får möjlighet att lösa alla uppgifter i böckerna.
Nyckelord:
Instrumentell förståelse, likhetstecknet, relationell förståelse, variationsmönster, variationsteorin,
3
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 4
2. Syfte & Frågeställning ... 5
2.1 Syfte ... 5
2.2 Frågeställning ... 5
2.3 Avgränsning ... 5
3. Bakgrund ... 6
3.1 Styrdokumentet ... 6
3.2 Definition av likhetstecknet och olikhetstecken ... 6
3.3 Ekvationer ... 7
3.4 Variation i matematikundervisningen ... 7
3.4.1 Aspekter ... 8
3.4.2 Urskiljning ... 8
3.4.3 Variationsmönster ... 8
3.4.4 Kritiska aspekter av likhetstecknet... 9
3.5 Olika sätt att möta likhetstecknet i matematikundervisningen ...10
3.6 Kritisk läromedelsanvändning ...11 4. Teori ...11 4.1 Förståelse ...11 5. Metod ...12 5.1 .1 Metodval ...12 5.1.2 Urval ...12 5.2 Forskningsetik ...14 5.3 Tillförlitlighet ...14 5.4 Analysmetod beskrivning ...15 6. Resultat ...18
6.1 Definition av likhetstecknet i läroboken ...18
6.2 Användning av olika tecknen för att utveckla relationell förståelse ...20
6.3 Olika typer av ekvationer för att utveckla relationell förståelse ...23
7. Diskussion ...26
7.1 Sammanfattning av resultat ...26
7.2 Resultatdiskussion ...27
7.2.1 Definition av likhet ...27
7.2.2 Olika tecken i läroboken ...27
7.2.3 Varierande uttryck ...29
7.2.4 Lärobok kopplat till lärarprofessionen ...29
7.3 Metoddiskussion ...30
7.4 Förslag på framtida forskning ...31
Referenser: ...32
Bilaga 1 ...34
4
1. Inledning
Förståelse för likhetstecknets betydelse som är en del av det centrala innehållet för åk 1–3 är en grundläggande och viktig förutsättning för att förstå aritmetik och algebra (Skolverket 2019, s.57). Likhetstecknet är en av de vanligaste symbolerna i matematikundervisningen, en symbol elever ofta känner igen redan när de börjar skolan, yngre elever kan ofta svara muntligt på uppgifter med låga tal där likhetstecknet förekommer. “Ett plus ett blir två” (1 + 1 = 2) är begrepp som elever oftast redan använder vid skolstart. Men det krävs mycket övning för att förstå symbolens betydelse. Denna tolkning har jag under min verksamhetsförlagda utbildning erfarit genom att möta elever under matematikundervisning. Detta stöds även av tidigare forskning inom området som visar att det inte är så enkelt att förstå likhetstecknets betydelse, att likhetstecknet symboliserar likhet tolkas inte alltid så av elever (Kieran 1981). Elever ser snarare symbolen som en process att lösa än en relation mellan vänster och högerled (Hattikudur, S & Alibali, M. W. 2010, s. 221). De elever som under mellanstadiet inte har utvecklat relationell förståelse och förstår hur och varför likhetstecknet används samt samband mellan vänster och högerled (Skemp 2006, s.92) har svårare att lösa ekvationer senare i skolåren. Detta beror ofta på enligt (Knuth 2006, s.309) att likhetstecknet introduceras tidigt medan elever senare förväntas ha tillräckliga kunskaper inom området. Under min verksamhetsförlagda utbildning konstaterades detta av lärare jag pratat med. Fokuset ligger ofta på att introducera symbolen för likhet tidigt, senare fokuserar man på annat matematiskt innehåll. Detta får mig att fundera över hur väl likhetstecknet introduceras i början av årskurs ett och ger det matematiska innehållet i läromedlen tillräckligt för att kunna växla mellan instrumentell- och relationell förståelse. Fler forskare är överens om att introduktionen av likhetstecknet är en viktig förutsättning för framtida förståelse av symbolen (Knuth 2006, s.309; Knuth, Alibali, Hattikudur, McNeil & Stephens 2008).
Läromedel är ofta designade efter den svenska läroplanen och skrivna av författare och/ eller av lärare inom ämnet. Innehållet i läromedlet väljs ut av författaren vilket gör att det ställs krav på undervisande lärare att kritiskt granska olika läromedel till sin undervisning. Det är därför av stor vikt att undervisande lärare är medveten om läromedlets innehåll och uppbyggnad samt dess styrkor och svagheter. Vid enbart användande av läromedel i matematikundervisningen finns risken att det saknas tillfällen när elever får möjlighet att utveckla relationell förståelse för likhetstecknet. Matematikundervisningen ska leda till att eleverna skapar förståelse för hur och varför de kan använda olika strategier och metoder. Denna typ av förståelse benämner Skemp (2006, s.92) som en relationell förståelse. Andra forskare delar in elevers förståelse i två kategorier, operationell och relationell förståelse (Knuth et. al 2008). Elever som fortsätter använda begreppen “svaret blir” eller “adderar” ger indikationer på att de tolkar likhetstecknet som en räkneoperation där svaret finns i högerled. Istället för att förstå likhetstecknet som ekvivalent, samma värde i vänster- och höger led (a = a). Elever som genom tidiga skolårens matematikundervisning har en operationell uppfattning av likhetstecknet kan i framtiden få problem då de ska lösa algebraiska uppgifter (Knuth et. al 2008, s. 515). Operationell förståelse
5
kan liknas med Skemps (2006, s.92) benämning instrumentell förståelse när elever enbart kan redogöra för hur de ska lösa en ekvation.
2. Syfte & Frågeställning
2.1 SyfteSyftet med studien är att undersöka hur elever möter likhetstecknet och dess innebörd i matematikläromedel samt synliggöra vilka variationsmönster man kan se för att växla mellan instrumentell och relationell förståelse.
2.2 Frågeställning
Hur representeras variationsmönstren kontrastering och generalisering i de olika läromedlen för att möjliggöra relationell förståelse för matematiska likheter?
2.3 Avgränsning
En avgränsning av två matematikläromedel som är grundat på läroplanen Lgr11(Skolverket 2019) har gjorts. Läromedlen presenteras under rubriken Urval.
6
3. Bakgrund
I bakgrunden presenteras en översikt av den tidigare forskning kring likhetstecknet som denna studie baseras på. Först redogörs vad styrdokumentet säger att undervisning av likhetstecknet ska syfta till. Vidare definieras begreppen likhetstecknet och olikhetstecken, samt olika typer av ekvationer. Slutligen tydliggörs hur variation i undervisningen kan möjliggöra till att utveckla förståelse för likhetstecknet samt hur likhetstecknet kan behandlas i undervisning genom läromedel.
3.1 Styrdokumentet
Matematikundervisningen i svensk skola ska bidra till att elever utvecklar kunskaper inom matematiken samt om och hur matematiken kan användas i vardagen. Kunskaper i matematik ger förutsättningar för att i framtiden kunna fatta välgrundade beslut i vardagen och delta i samhället. Matematikundervisningen ska bidra till att elever känner tilltro till sin egen förmåga att kunna använda matematik vid olika situationer. Undervisningen ska även bidra till elevers intresse för matematik. Eleverna ska ges förutsättningar för att utveckla kunskaper om grundläggande matematiska begrepp, metoder och när de kan användas. I kunskapskraven i årskurs 3 står att eleven ska kunna hantera enkla matematiska likheter och använda likhetstecknet på ett fungerande sätt (Skolverket 2019, s.56,62). Elever behöver tidigt i undervisningen få utveckla kunskaper inom algebra (Skolverket 2017). Grundläggande algebraiska kunskaper behövs för att kunna föra generella resonemang vid problemlösning. Algebraiska kunskaper är även nödvändiga för att i äldre åldrar kunna använda matematiska modeller. Vidare är algebraiska kunskaper också viktigt vid läran om geometri, ekvationer, funktioner, formler och grafer samt vid programmering. Elever som får förutsättningar för att utveckla förståelse för matematiska likheter och likhetstecknets betydelse och förstår att ett tomrum i matematiska likheter kan ersättas med en bokstav utvecklar förståelse för obekanta tal (Skolverket 2017, s.15).
3.2 Definition av likhetstecknet och olikhetstecken
När barn börjar skolan har de ofta erfarenhet av att göra enklare beräkningar med addition och subtraktion och många elever lär sig relativt snabbt i skolan att läsa och skriva enkel aritmetik där likhetstecknet finns med (Kieran 1981 s.318). Likhetstecknet symboliseras med två parallella streck (=) och används när två uttryck betecknar samma sak, exempelvis 3 = 3, 1 + 2 = 3, 3 = 1 + 2. Uttrycken i vänsterled och högerled har samma värde, är ekvivalenta. Tecknet läses som “är lika med” eller ”är”. Likhetstecknet används även efter beräkningar (Kieselman & Mouwitz 2008, s.16). Det kan tecknas som att a = a vilket betyder att a är värt lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Ett annat exempel med en beräkning är a + b = c då a adderat med b har samma värde som c (Fischer et al. 2018). I samband med likhetstecknet benämns även begreppet likhet som ekvivalens. Enligt Kieselman och Mouwitz (2008) används följande tecken för att symbolisera olikheter, olikhetstecknet (≠), större än (>) och mindre än (<). Olikhetstecknet (≠) kan användas vid alla typer av uttryck, medan > och < används för att definiera en
7
viss ordning. Vid användandet av ”större än” > finns det högre uttrycket till vänster exempel 2 > 1, 1 + 2 > 2, 3 > 1 + 1. Tecknet ”mindre än” < används när det lägre uttrycket finns till vänster om tecknet < exempelvis 1 < 2, 1 + 2 < 4, 4 < 1 + 2 (Kieselman & Mouwitz 2008, s.60).
3.3 Ekvationer
Ekvationer delas in i olika typer av standardekvation och icke standardekvation. För att lösa olika typer av ekvationer behöver elever ha förståelse för likhetstecknets betydelse (Powell 2012, s.628). En ekvation är en matematisk utsaga som innehåller en likhet. En lösning till en ekvation är när ett obekant tal bildar en likhet i vänster- och högerled (Kieselman & Mouwitz 2008, s.94) En ekvation har alltid två sidor vänsterled, högerled och däremellan finns ett likhetstecken. En ekvation är ett sätt att ställa upp ett tal med flera matematiska uttryck. Värdet av uttrycket ska vara ekvivalent i vänsterled samt högerled. Ett matematiskt uttryck är en sammanställning av symboler för tal, variabler och olika räknesätt (Kieselman & Mouwitz 2008, s.21). Exempel på uttryck kan vara en kombination av siffror och operationer utan likhetstecken till exempel 9 / 3; 1 + 1 + 4; y * 6. Standardekvation består av en operation i vänsterled och svaret i högerled till exempel 2 + 4 = 6; 2 + 2 + 2 = 6. Standardekvationer kan även bestå av öppna utsagor där det finns variabler eller saknade siffror som ska lösas. I ekvationer med öppna utsagor ersätts exempelvis ett tal med en bokstav 2 + x = 6 eller med tom plats 2 + _ = 6. Icke standardekvationer består av andra former än standardekvationer, exempelvis finns svaret i högerled och operationen i vänsterled 9 = 6 + 3 eller med operationer i vänsterled och högerled 2 + 7 = 6 + 3. Icke standardekvationer med öppna utsagor kan skrivas till exempel 9 = 6 + 3; 9 = 6 + __; 9 = x - 3 (Powell 2012, s.628). Enligt Blanton (2019) används variationer av ekvationer med öppna utsagor för att skapa olika sätt att tänka kring likhetstecknet. Matematikuppgifter för att främja en relationell förståelse för likhetstecknet bör innehålla variation av ekvationer som representeras med både standard- och icke- standardekvationer (Blanton 2019, s.10). I Blantons studie visar elever ett operationellt tänkande om de vid icke standardekvationer, med saknade värdet i högerled exempelvis 4 + 2 = _ + 1 först adderar 4 med 2 och räknar ut att de saknade värdet tillsammans med 1 är lika med 6 (Blanton 2019, s.14).
3.4 Variation i matematikundervisningen
Vid läran om likhetstecknets betydelse är variation i undervisningen en viktig del. Inom det variationsteoretiska perspektivet består ett lärandeobjekt av tre delar: lärandeobjekt, möjligheten att lära sig och förmågan att tillämpa objektet. Lärandeobjektet är det innehåll som ska behandlas i undervisningen. Det antagna objektet är det som är möjligt att lära sig i lärandemiljö. Objektet innehåller även elevernas förmåga att tillämpa lärandeobjektet (Olteanu & Olteanu 2013, s.514).
8 3.4.1 Aspekter
Enligt Pang och Ling (2012) innebär ett lärande en förändring av en tidigare uppfattning om hur vi uppfattar ett visst fenomen. Alla fenomen har ett antal aspekter, storlek, form och funktion. Hur ett visst fenomen uppfattas skiljer sig åt beroende på vad en person fokuserar på. Två personer som upplever samma fenomen uppfattar fenomenet olika beroende på vilken aspekt som är i fokus. För att en person ska uppfatta ett fenomen på ett visst sätt behöver den urskilja olika kritiska aspekter samtidigt. Lärande är ett resultat av att kritiska aspekter urskiljs från ett visst fenomen. Efter ett lärande har eleven förmågan att urskilja de kritiska aspekter som den inte tidigare klarade (Pang & Ling 2012, s.591).
Inom variationsteorin behöver de olika aspekterna upplevas av elever för att kunna urskilja en kritisk aspekt. Urskiljning är inte möjlig om eleven inte fått möjlighet att uppleva variation av fenomenet (Kullberg, Runesson, & Marton 2017, s.560).
3.4.2 Urskiljning
I en lärsituation har läraren i uppgift att presentera lärandeobjekt på ett sätt så att eleverna kan urskilja de aspekter som förväntas (Wernberg 2006). Att urskilja aspekter i ett sammanhang handlar om att se ett visst objekt med nya ögon, den nya upptäckten ska kunna kopplas till tidigare kunskaper kring objektet och förstå dess helhet. Att tänka på vid lärsituationer är att elevers intressen och erfarenheter påverkar vilka olika aspekter de urskiljer samt fokuserar på olika saker samtidigt (Wernberg 2005, s.326).
3.4.3 Variationsmönster
Elever behöver förstå sambandet mellan lärandeobjektets kritiska aspekter. Elever når förväntad kunskap och progression inom matematiken när undervisningen består av att finna de kritiska aspekterna i lärandeobjektet samt mötas av variation i form av kontrast, separation, generalisering och fusion i undervisningen (Olteanu & Olteanu 2013, s. 520).
Kontrast är det variationsmönster inom variationsteorin där man i
matematiken ofta använder motexempel för att motivera antaganden. Vid kontrast upplever man skillnaden mellan två aspekter, jämförelse av två begrepp, man behöver förstå vad ett visst fenomen är och samtidigt vad det inte är (Kullberg, Runesson & Marton 2017, s.560; Wernberg 2009, s.30). Man behöver uppleva variation av en viss aspekt. För att förstå vad en liksidig triangel är behöver man förstå vad det inte är, exempelvis en triangel med en spetsig vinkel (Wernberg 2009, s.30). Vid lärande av likhetstecknet kan kontrast vara att uppleva likheter av två uttryck med likhetstecknet samtidigt som man upplever olikheter med olikhetstecken.
Generalisering innebär att ett lärandeobjekt behöver erfaras med olika
variationer. Ett exempel är vid lärande om den geometriska figuren triangel då krävs att flera olika typer av trianglar erfaras, liksidig, rätvinklig, trubbvinklig och spetsvinklig sedan identifieras egenskaper som är irrelevanta (Wernberg 2009, s.30). Kontrast ska efterföljas med generalisering. Utifrån det objekt som fokuseras
9
upplevs objektet i olika sammanhang utan att det förändras. De olika aspekterna urskiljs vid olika sammanhang. Vid lärande av likhetstecknet är det regeln likhet som är fokus medan sammanhanget, uttrycken varieras (Kullberg et.al 2017, s.560).
Separation handlar om att erfara ett särskilt perspektiv genom att
separera dessa från andra aspekter (Wernberg 2009). En aspekt måste vara konstant samtidigt som de andra varieras. Om två aspekter varieras samtidigt kan inte aspekterna urskiljas. Exempelvis om förståelse för omkrets och area, för att utveckla förståelse för skillnaden kan separationen vara att jämföra olika rektanglar med konstant area medan omkretsen varierar (Wernberg 2009, s.31).
Fusion innebär att flera kritiska aspekter används samtidigt vid
lärandet av ett visst lärobjekt. Innehåller lärobjektet flera aspekter behöver de erfaras tillsammans (Wernberg 2009, s.30).
3.4.4 Kritiska aspekter av likhetstecknet
Vid ett lärande behöver enligt Olteanu & Olteanu (2013) kritiska aspekter identifieras av ett visst lärandeobjekt. Kritiska aspekter i undervisning av ett lärobjekt är inte alltid ett kritiskt objekt genom hela lärandetillfället, det förändras och är olika för alla elever, det är därför viktigt att lärare undersöker vilka tidigare kunskaper eleverna har (Olteanu & Olteanu 2013, s. 517).
Likhetstecknet symboliserar likhet men det är inte alltid så den tolkas av elever (Kieran 1981). Unga elever lär sig snabbt att läsa och skriva enkla räkneuppgifter, det är däremot inte alltid så enkelt för elever att få förståelse för likhetstecknets betydelse, förståelse för likhet kommer varken enkelt eller snabbt (Kieran 1981, s.319). En möjlig orsak till missuppfattningar av likhetstecknet kan vara brist på exponering av olika typer av ekvationer (Powell 2012).
Elever ser ofta likhetstecknet som en operation = svar, liknande där tecknet (+) innebär att eleverna ska addera, lägga till ett tal (Fischer et.al 2018). Elever som ser likhetstecknet som en operation använder ofta “blir”, ett exempel på det är
3 + 4 = 7 som kan utläsas som “tre plus fyra blir sju”. Om eleverna ser likhetstecknet som en operation där de ska få fram en summa, skillnad, produkt eller kvot kan de få problem när de ska lösa icke standardekvationer när operationen finns i högerled (Powell, 2012, s.628). En studie i Danmark (Kieran 1981) visar att elever som undervisades med läran om symbolen (=) som likhet visade förståelse för variationer av ekvationer, icke standardoperationer (exempel 3 = 3, 3 + 2 = 4 + 1, 5 = 4 + 1). Däremot såg de symboler (=) som en operation snarare än ett samband (Kieran 2018, s.319). Knuth et.al (2006) menar att elever under låg- och mellanstadietiden bör exponeras för likhetstecknet genom icke traditionella räkneoperationer, med följande diskussioner av symbolens betydelse och användning. Mellanstadieelevers operationella förståelse av likhetstecknet beror ofta på att de tidigt på lågstadiet introduceras för likhetstecknets betydelse samt senare i skolåren förväntas ha har tillräcklig förståelse och undervisningen uteblir (Knuth et.al 2006, s.309).
Ekvationer med operationer endast i vänsterled om likhetstecknet och svaret i högerled (a + b = c) är lättare att förstå än ekvationer med operationer i högerled och svaret i vänsterled (a = b + c). Desto svårare är ekvationer med operationer i båda led (a + b = c + d) och ekvationer helt utan operationer (a = a). För att förstå matematiska förhållanden mellan olika ekvationer behövs en viss förförståelse för siffror, operationer och likhetstecknet. Elever i Blantons (2019) studie som gjordes
10
på barn i förskola hade vissa svårigheter med ekvationer eftersom deras förförståelse för att tolka de symboliska formerna var begränsad (Blanton 2019, s.10).
3.5 Olika sätt att möta likhetstecknet i matematikundervisningen
För att utveckla relationell förståelse för likhetstecknet och för att nå förståelse för symbolen menar Blanton (2019) att genom arbete med främst tre olika uppgifter: få fram definitioner av likhetstecknet, identifiera om en ekvation är sant eller falsk, samt hitta ett okänt värde i en ekvation (Blanton 2019, s.10).
Vid lärande om likhetstecknet är det ekvationens likhet som eleverna behöver utveckla förståelse för. Likhetstecknet är en matematisk symbol som representerar ett samband och en relation mellan vänsterled och högerled. Förståelsen för att värdet av ett uttryck eller ett tal är det samma i vänster- och högerled i en ekvation. Likheten i vänster- och högerled är det som behöver förstås snarare än att det är något som ska lösas vid uttryck med räkneoperationer (Alibali et.al 2010, s. 221). Knuth et.al (2006) menar att när elever tidigt utvecklar förståelse för likhetstecknets visar det sig ha en positiv effekt för att se samband mellan vänster- och högerled i högre skolåldern, (till exempel när man ska bedöma värdet av m, 2m + 15 = 31, har samma värde som 2m + 15 – 9 = 31 – 9) (Knuth et.al 2006, s.309).
Innan undervisningen av likhetstecknet bör undervisande lärare ta reda på elevernas tidigare erfarenhet av likhetstecknet genom att ställa frågor där elevernas förståelse framkommer. Diskussioner kring likhetstecknets betydelse bör introduceras tidigt i matematikundervisningen det gäller dock att inte stanna där utan fortsätta genom hela skoltiden (Knuth et. al 2008, s.519). En annan framgångsfaktor vid inlärningen av likhetstecknet är att likhetstecknet används vid olika kontexter och på olika sätt när man som pedagog förklarar tecknet (=). Ett annat sätt som med fördel introducerar likhetstecknet är med icke traditionella ekvationer (ibid, s.519). Elever kan genom att exponeras för olika typer av ekvationer (Powell 2012, s.628) i undervisningen få förståelse för likhetstecknets betydelse. Då elever exponeras för olika sätt att representera ekvationer med öppna utsagor får de större förståelse för algebraiska ekvationer (Kieran 1981, s.322). Olika sätt att representera detta kan vara genom att dölja ett tal med ett finger och sedan räkna ut vad som döljs eller genom att det dolda talet symboliseras med en symbol, till exempel 1 + # = 7 + 2, 1 + a = 7 + 2.
Förutom olika typer av ekvationer bör olikhetstecknet (≠) introduceras tidigt tillsammans med likhetstecknet. Det ger eleverna möjligheten att jämföra likhetstecknet (=) med olikhetstecknet (≠) och då få en större förståelse för likhetstecknet. I Hattikudur & Alibali (2010) studie har de kommit fram till att den relationella förståelsen främjas av att använda relations symbolerna större än (>) och mindre än (<) tillsammans med likhetstecknet (Hattikudur & Alibali 2010, s.221). Fler forskare (Duval 2006, s. 124) nämner fördelar med att använda relationssymboler då eleven ges möjlighet att jämföra likhetstecknet och urskilja vilka ekvationer med likhetstecknet som är sanna eller falska.
11 3.6 Kritisk läromedelsanvändning
Läroböckerna är enligt vad de själva uppger designade efter läroplanen vilket behöver granskas av pedagoger vid val av läromedel. Samtidigt ger det inte någon garanti för att undervisningen har den kvalité som krävs för att eleverna ska utveckla förståelsen för matematik (Brown & Edelson 2003). Matematikboken och tillhörande lärarhandledning bör ses som en inspirationskanal, med instruktioner och uppgifter som anpassas till de elever som skall undervisas (Brown & Edelson 2003, s. 1).
4. Teori
I följande avsnitt presenteras den teori som ligger till grund för att uppnå studiens syfte. Teorin används som redskap för att analysera och få en djupare förståelse för studiens problem (Dimenäs 2007, s.105). Elevers förståelse för likhetstecknet benämns med relationell förståelse respektive instrumentell förståelse Skemp (2006, s.89). Andra forskare benämner elevers förståelse för likhetstecknet som operationell och relationell förståelse (Knuth et.al 2008). I denna studie används Skemps benämning på förståelse för matematik.
För att besvara frågeställningen i denna studie används min tolkning av hur Skemp (2006) delar upp matematisk förståelse för likhetstecknet i relationell och
instrumentell förståelse.
4.1 Förståelse
I denna kontext har ordet förståelse två betydelser, relationell och instrumentell förståelse. Enligt Skemp (2006) innebär relationell förståelse att eleverna vet vad de ska göra och varför. Medan vid instrumentell förståelse finns ingen förståelse för vilka metoder som används inom matematik utan endast hur de löser uppgifter. Läraren har en viktig roll vid lärandet i matematik för att utveckla relationell förståelse. Matematikläraren ska ge eleverna den möjligheten oavsett om eleverna är mottagliga för relationell förståelse eller inte. För att utveckla en matematiskförståelse för ett visst objekt bör eleven ha utvecklat båda dessa förståelser. Det är även av vikt att ha kunskapen att växla mellan dessa två förståelser vid matematikinlärning (Skemp 2006, s.89).
Instrumentell förståelse innebär enligt Skemp (2006) att lärandet fokuserar på ”hur”
eleverna går tillväga genom olika metoder. Instrumentell matematik är oftast mycket lättare att förstå. Instrumentell matematik är ofta lättare att lära sig men också lättare att lära ut. Om endast svaret i en matematikuppgift är målet så är instrumentell matematik snabbare och lättare att använda. Exempelvis matematiska regler som att multiplikation och division kan kastas om utan att resultatet förändras är lättare att förstå instrumentellt än att räkna division med bråk och förstå ”hur” och ” varför” relationellt. Eleverna får snabbare och tydligare belöningar vid instrumentell matematik, det går fort fram i lösandet av uppgifter och belönas med snabba rätta svar. Elevernas känsla av framgång och självförtroende stärks genom snabba, rätta svar vilket nås snabbare med instrumentell förståelse än med relationell förståelse.
12
Mindre kunskap krävs samt ger snabbare rätt svar vid instrumentellt tänkande i jämförelse med relationellt tänkande. Elever lär sig en viss metod som enkelt ger svar vid matematikuppgifter, det snabba lösningarna bidrar till att instrumentella tänkandet även används vid relationell matematik (Skemp 2006, s.92).
Relationell förståelse innebär en förståelse för en viss vald metod, varför den
fungerar och hur den kan anpassas till en matematisk uppgift.
Enligt Skemp (2006) finns flera fördelar med en relationell förståelse för matematik. Med relationell förståelse är man mer anpassningsbar för nya uppgifter. Vilket i sin tur bidrar till att elever har lättare att välja olika metoder och förstå varför en viss metod fungerar. Dessutom kan man med relationell förståelse använda och anpassa metoder till nya problem. Relationell matematik är lättare att komma ihåg men det är svårare att lära sig och det tar längre tid. För att lära sig ett visst fenomen krävs att elever ser samband och kan koppla metoder till andra matematiska objekt. De olika matematiska objekt elever kan stöta på under undervisningen bör vara återkommande och läras tillsammans med andra objekt samtidigt (Skemp 2006, s.92).
5. Metod
I följande avsnitt presenteras vilka tillvägagångssätt som används för att besvara frågeställningen i studien. Studiens tillvägagångssätt, urval, datainsamling och genomförande beskrivs samt vilka etiska övervägande som gjorts. Insamling av data sker genom kvalitativ textanalys.
5.1 .1 Metodval
Vid matematikundervisning i lägre åldrar används ofta läromedel med färdiga uppgifter och ett anpassningsbart upplägg för pedagogen. Syftet med studien är att undersöka hur elever möter likhetstecknet och dess innebörd i matematikläromedel samt synliggöra vilka variationsmönster man kan se för att växla mellan instrumentell och relationell förståelse. Kvalitativ textanalys är den metod som används för att besvara frågeställningen i denna undersökning. Textanalys används enligt Widén (2015, s.178) när ett avgränsat problem ska analyseras i olika texter. Beroende på analysens syfte kan en textanalys göras i tre olika dimensioner. I den första dimensionen analyserar man vad författaren vill förmedla med texten. I den andra dimensionen fokuserar man på textens innehåll samt vilka språkliga begrepp som förekommer, det går även att analysera vad som inte förekommer i texten. I den tredje dimensionen tolkar man betydelsen av textens innehåll i förhållande till det omgivande samhället (Widén 2015, s. 179, 180).
5.1.2 Urval
Två matematikböcker som riktar sig till elever i årskurs 1 används vid datainsamlingen. De två böcker som har valts ut är Mera Favoritmatematik (Haapaniemi et.al. 2018) och Mitt i Prick (Rinne et.al 2016). Läromedlen som har valts ut för denna studie används på de VFU-skolor jag har varit på under
13
lärarutbildningen. De ska också används i verksamhet för matematisk undervisning vid aktuell tidpunkt därav valdes dessa två. Intresset för att analysera specifikt dessa två läromedel väcktes då jag reflekterat över om något av dem ger mer eller mindre förutsättningar för elever att utveckla matematiska förmågor. Elevers förståelse för hur och varför likhetstecknet används inom matematiken är viktig tidig i elevers matematikinlärning. Av den anledningen begränsas läromedelsanalysen till den första bok som eleverna möter i årskurs 1, vilket blir elevboken 1A i båda läromedlen. Till läromedlet Mera Favorit matematik finns ett digitalt läromedel med övningar, matteordlistor, begrepp, bilder och förklaringar, lärarhandledning.
Inför datainsamlingen kontaktades förlagen till de båda läromedlen, förlaget Studentlitteratur som tillhandahåller Mera Favoritmatematik samt Majema som ger ut Mitt i Prick. Ytterligare ett förlag kontaktades via mejl. Förlaget svarade inte på mejlet och uteslöts därför i denna studie. I mejlet gavs en presentation av mig samt en förklaring till studiens syfte. Jag förklarade att jag hade för avsikt att använda deras läromedel i studien och undrade om de hade några invändningar emot det. I mejlet fick de förfrågan om de kunde skicka ett referensexemplar vilket båda förlagen gjorde. Förlagen Majema och Studentlitteratur var tillmötesgående och svarade inom ett par dagar. Förlaget Majema meddelade att det är ok att jag använda deras läromedel i studien samt att det är ok att använda upp till 5 % av bilderna eller uppslagen i studien. Förlaget Studentlitteratur skriver att de tycker det är viktigt och intressant att deras material analyseras. De skriver även att de hoppas att jag tittar i Lärarhandledningen också där det finns mängder av tips och stöd för läraren. Studentlitteratur skriver i mejlet att jag kan stödja min analys på lagen:
” 2 kap 22 § (citat) och 2 kap 23 § (återgivning av konstverk i vetenskapliga och kritiska sammanhang). ”
Samt att de endast vid tydliga överträdelser har invändningar på användning av deras bilder och uppslag. De båda förlagen ville ta del av studien när den är klar. Jag skickar en kopia av studien till båda förlagen när studien är färdig.
Mera Favorit matematik elevbok innehåller basuppgifter, extra uppgifter och
utmaningar. Läromedlet kommer ursprungligen från Finland men har översatts och anpassats till den svenska läroplanen Lgr11. Boken Mera Favorit matematik 1a består av 5 kapitel, i varje kapitel berörs olika centrala delar. Kapitlen är uppdelade i lektioner. Varje lektion har 4 sidor, de två första sidorna berör det nya innehållet eleverna ska lära sig samt basuppgifter till det matematiska innehållet. Sida tre är en öva sida där eleverna övar in innehållet med extra uppgifter. Den fjärde sidan är en pröva sida med utmaningar för att stärka matematiska färdigheter. I slutet av varje kapitel arbetar eleverna med en diagnos, Vad har jag lärt mig? där elever och lärare utvärderar elevernas arbete formativt. I slutet finns Sally hinderbana där begrepp och moment till det centrala innehållet repeteras. Tillhörande lärarhandledning tryckt och digitalt finns att välja till. I dessa får lärarna inspiration och tips hur de kan använda läromedlet, dessutom finns ett digitalt läromedel att välja till. I denna studie har undersökningen begränsats till enbart elevboken.
Mitt i Prick är ett basläromedel i matematik som från grunden kommer från Finland.
Svenska författare har anpassat materialet utifrån den svenska läroplanen Lgr 11. Läromedlet består av en grundbok där eleverna arbetar med ett kapitel per lektion, eleverna arbetar i grundboken och får färdighetsträning, matematiska begrepp och möjligheten till att kommunicera matematik. Ett uppslag, en lektion innehåller 3
14
sidor. De två första sidorna innehåller en samtalsbild där det matematiska innehållet kan diskuteras samt tillhörande elevuppgifter. Den tredje sidan innehåller fördjupning och klurigare uppgifter för elever som behöver mer utmaning. Förutom grundboken finns kopieringsunderlag med fördjupning i två nivåer till varje lektionsinnehåll samt lärarwebb och lärarhandledning med förslag och aktiviteter.
5.2 Forskningsetik
Ett gott forskningsetiskt förhållningssätt är viktigt vid en forskningsstudie, de fyra viktiga principerna är: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Larsen 2009, s.14). I denna studie är det inga personer som behöver skyddas enligt lag (Vetenskapsrådet 2017, s.15) det är ändå av vikt att följa etiska aspekter. De förlag som givit ut läromedlen som analyseras i denna studie har informerats om studien och dess syfte. Förlagen har fått ett mejl med förfrågan om läromedlets medverkan i studien. Kontakten med förlagen ger studien en viss transparens i form av öppenhet och insyn i studien genom att förlagen har erbjudits att ta del av resultatet när studien är klar (Vetenskapsrådet 2017, s.39). En kopia av den färdiga studien kommer att sändas när arbetet är klart. Analysen i denna studie kommer endast att publiceras i detta arbete och inte föras vidare.
5.3 Tillförlitlighet
Validitet och reliabilitet är begrepp som inom forskning redovisar kvalité och tillförlitlighet på en undersökning (Stukát 2011, s.133). Reliabiliteten i en mätning blir tillförlitligare beroende på vilka frågor som ställs, vilka yttre faktorer som påverkar resultatet och vem som ställer frågorna. Vid mätningar där man kan förvänta sig samma svar oavsett de yttre faktorerna är reliabiliteten hög. Validiteten i en undersökning handlar om vad man mäter, mäter man det som ska mätas är validiteten hög. Generaliserbarheten i studien undersöks, med det menas om resultatet kan generaliseras, eller om svaren endast representeras av de intervjuade (Stukát 2011, s.136).
Studiens reliabilitet visar hur tillförlitliga mätningarna är (Stukat 2005). Desto fler reliabilitetsbrister som förekommer i studien desto lägre tillförlitlighet har studien. Vid kvalitativa studier kan det förekomma brister då dessa mätningar ofta är tolkningar av en person. Brister i mätningen kan även påverkas av yttre faktorer, feltolkningar av frågor och svar, gissningseffekter eller felräkningar. För att nå en hög reliabilitet krävs en noggrann mätning. För att nå en högre reliabilitet bör mätningen göras om ytterligare en gång för att se om det visar samma resultat alternativt att låta någon annan göra samma mätning (Stukat 2005, s.134). I denna studie har jag reflekterat över de tolkningar som jag kan göra vid mätningarna. Dels beror den låga reliabiliteten på mina egna tolkningar av läromedlens uppgifter, även av mina egna erfarenheter av att använda läromedlet. Jag kan relatera till vad de elever jag mött skulle kunna tänkas urskilja i de olika uppgifterna. Dessa erfarenheter kan påverka resultatet på så sätt att om någon annan skulle göra om mätningen skulle inte de tolka uppgifterna lika. Detta har jag tagit hänsyn till och för att öka reliabiliteten ytterligare har läroböckerna analyserats och lästs ytterligare en gång efter första mätningen.
15
Validiteten i en studie handlar om det är rätt resultat som mäts och data som samlas in i studien ska vara relevant till studiens frågeställning. Vid mätningen måste rätt frågor ställas för att besvara studiens problemformulering (Larsen 2009, s.41). Studien måste avse att mäta det som ska mätas (Stukat 2005, s.134). I denna studie används frågor till texten som mätinstrument, frågorna avser att besvara studiens frågeställning. Frågorna är baserade på den tidigare forskning som jag har valt ut och tolkat. Analysen ses med min tolkning av hur Skemp framhåller elevers förståelse i matematik. Detta medför att studiens tillförlitlighet är begränsad. Men för att förstärka tillförlitligheten har tidigare forskning lästs om flera gånger.
5.4 Analysmetod beskrivning
Syftet med studien är att undersöka hur elever möter likhetstecknet och dess innebörd i matematikläromedel samt synliggöra vilka variationsmönster man kan se för att växla mellan instrumentell och relationell förståelse. För att uppnå syftet och besvara frågeställningen i denna studie analyseras uppgifter i matematikböcker. Analysen kommer ske genom textanalys med stöd i Skemps (2006) beskrivning om förståelse för matematik.
Denna studie utgår från den tredje textanalys dimensionen, intervjufrågor till texten används som redskap för att undersöka förhållandet mellan textens innehåll och sammanhanget (Widén 2015, s.184). I denna studie handlar det om hur textens innehåll, i detta fall uppgifterna i läroboken, bidrar till att elever utvecklar relationell förståelse för likhetstecknet.
För att möjliggöra en textanalys av matematikböckers uppgifter som syftar till att utveckla relationell förståelse för likhetstecknet används i studien intervjufrågor. Intervjufrågorna utgår från de kritiska aspekter som Blantons (2019) studie visar är viktiga för att nå relationell förståelse för likhetstecknet.
De aspekter som vid lärande om likhetstecknet ligger till grund för intervjufrågorna utgår från Blantons studie (2019, s.10). Den relationella förståelsen möjliggörs när elever; får fram definitioner av likhetstecknet; identifierar om en likhet är sann eller falsk; hittar ett okänt värde i olika typer av ekvationer. Följande intervjufrågor används för att synliggöra hur elever möter dessa vid lärande om likhetstecknets betydelse samt vilka variationer som synliggörs i lärobokens uppgifter:
Definition av likhetstecknet
1. Hur synliggörs begreppet likhet i samband med likhetstecknet? 2. Hur presenteras sambandet mellan vänster- och högerled?
Identifiera om en ekvation är sann eller falsk
3. Vilka relationssymboler möter elever i läroboken?
Hitta ett okänt värde i en ekvation
4. Hur ser ekvationer med öppna utsagor ut i boken?
16
Kontrastering sker när ett objekt förstås genom kontraster, ett
lärandeobjekt behöver förstås vad det är och samtidigt förstå vad det inte är (Kullberg, Runesson & Marton 2017, s.560). Likhetstecknet behöver förstås som ett tecken för likhet samtidigt behöver relationssymbolerna (>), (<), (≠) jämföras och förstås som olikhet.
Generalisering innebär att ett lärandeobjekt bör upplevas med
variation. Objekt är konstant medan sammanhanget varieras. Vid lärande av likhetstecknet är det regeln likhet som är fokus medan sammanhanget, uttrycken varieras (Kullberg et.al 2017, s.560).
.
Matematikböckerna är indelade i 5 kapitel, kapitlen är därefter indelade i ett antal lektioner. Varje lektion innehåller varierande antal numrerade uppgifter. Uppgifterna som de även benämns i denna studie räknar jag som de numrerade uppgifterna i boken. Uppgifterna är varje ny fråga/problem som eleverna möter i boken. Uppgifterna kan bestå av en eller flera deluppgifter. För att underlätta datainsamlingen gjordes tabeller och dokumentation med bilder. Analysen sker i följande steg:
Första analyssteget Alla lektioner i böckerna analyseras som ett första steg.
Lektionerna och tillhörande uppgifter granskas utifrån var i böckerna eleverna ges möjlighet att utveckla relationell förståelse för likhetstecknet. De uppgifter som valts ut är de uppgifter där elever möter likhetstecknet eller där lektionens centrala innehåll syftar till att elever utvecklar förståelse för likheter, olikheter, likhetstecknet och olikhetstecknets betydelse.
Andra analyssteget I det andra steget i analysen analyseras hur uppgifter
representeras och vilka variationer elever möter under de lektioner som valdes ut i steg 1. Relevanta uppgifter granskas och dokumenteras med hjälp av intervjufrågor. Ett protokoll har förts samt en tabell av hur många gånger, vilken typ av ekvationer samt när elever möter uppgifter för att utveckla relationell förståelse för likhetstecknet.
Tredje analyssteget Utifrån de analyserade och utvalda uppgifterna i steg 1 har ett
andra urval av dessa uppgifter gjorts och boken har analyserats ytterligare en gång. Dessa uppgifter har kategoriserats i 3 kategorier, definition, relationssymboler och olika ekvationer. Kategoriseringen är gjord utifrån Blantons (2019, s.10) kritiska aspekter som möjliggör en relationell förståelse för likhetstecknets innebörd.
17 Exempel på analys i läromedlet Favorit Matematik
Första analyssteget
Alla sidor i boken läses igenom, lektion för lektion och sida för sida. Uppgifter som ger elever möjlighet till att utveckla förståelse för likhetstecknets innebörd dokumenteras.
Exempel på analys av en lektion (Mera Favorit matematik. 1A 2018, s.34-36). Haapaniemi, S., Mörsky, S., Tikkanen, A,. Vehmas, P., Voima, J. (2018). Mera Favorit matematik. 1A. Lund: Studentlitteratur AB.
Andra analyssteget
Representationer och uppgifter granskas och analyseras utifrån frågor till texten:
Definition av likhetstecknet
1. Hur synliggörs begreppet likhet i samband med likhetstecknet?
Svar: Likhetstecknet definieras med ”är lika med”. En informationsruta definierar och förklarar hur symbolen för ”är lika med” är symbolen =.
Hur presenteras sambandet mellan vänster- och högerled?
Svar: Med två lika tal i vänsterled och högerled 4 = 4 tillsammans med bilder på äpplen i påsar som representerar samma värde, 4 äpplen i en påse och 3 + 1 äpple i den andra påsen.
Identifiera om en ekvation är sann eller falsk
2. Vilka relationssymboler möter elever i läroboken?
Svar: Relationssymbolerna större än > och mindre än < används i uppgift 3, 4 och 5 samt i träna rutan.
Hitta ett okänt värde i en ekvation
3. Hur ser ekvationer med öppna utsagor ut i boken?
Svar: Uppgift 1 går ut på att rita rätt antal äpplen så att det är lika som i tillhörande uttryck.
Tredje analyssteget
De utvalda uppgifterna från steg ett analyseras och kategoriseras utifrån kritiska aspekter, definition, relationssymboler och olika ekvationer.
I samtalsbilden definieras likhetstecknet (=) med begreppet ”är lika med”. Detta kategoriseras under definition. Uppgift 1 och 2 går ut på att eleverna ska förstå definitionen ”är lika med”. Detta kategoriseras under definition. Uppgift 3 går ut på att skriva rätt tecken till uttrycken. Detta kategoriseras under relationssymboler.
Uppgift 4 och 5 syftar till att koppla ett antal figurer till rätt relationssymbol. Detta kategoriseras under relationssymboler.
18
6. Resultat
Uppgifterna valdes ut i de olika läromedlen som möjliga för relationell förståelse utifrån att de berör likheter och olikheter samt hur de definieras och används i olika typer av ekvationer. Den insamlade empirin utgår från de kritiska aspekter som presenteras i tidigare forskning. I denna studie används kritiska aspekter som främjar elevers relationella förståelse för likhetstecknets innebörd. Endast de lektioner i läromedlen där eleverna får likheter/olikheter presenterat, samt ges möjlighet att öva på tillhörande lektionsinnehåll används vid den empiriska insamlingen. I resultatet nämns och visas exempel på uppgifter elever möter vid de olika aspekterna vid läran om likhetstecknet. Uppgifterna är kategoriserade i 3 kategorier och representeras i detta avsnitt.
6.1 Definition av likhetstecknet i läroboken
I läroböckerna finns samtalsbilder med tillhörande informationsruta där lektionens nya innehåll förklaras, se exempel på en samtalsbild i Mitt i Prick (Figur 1) Favorit
matematik (Figur 3). Innan tecknet för likhet (=) eller tecknen för olikhet (>) och (<)
presenteras i de båda läroböckerna möter eleverna definitioner av likhet och olikhet med samtalsbilder, informationsruta och uppgifter. I
Mitt i Prick
Definitioner av likhetstecknet presenteras i en gul informationsruta. Begreppen ”lika många”, ”är lika med” och ”är” används i rubriker och uppgifter i läromedlet Mitt i
Prick. Nedan visas exempel som har framkommit i textanalysen.
Läromedlet Mitt i Prick presenterar likhetstecknet på lektion 2 Lika många- är lika
med genom en samtalsbild med tillhörande informationsruta (se figur 1). I
informationsrutan förklaras tecknet med definitionerna ”lika många” och ”är lika med”. Definitionen ”är lika med” används inför uppgift 2 i lektion 8 Talet 0 där olika tal ska jämföras med tecknen (>), (<) och (=). En för eleverna ny typ av uppgift möter de under lektion 12 Vi lär oss subtraktion, det centrala innehållet är att addera två tal utan något tecken eller symbol, endast begreppen ”och” och ”är” används (se figur 2). I de gula informationsrutorna som är återkommande till en del av nytt innehåll som presenteras används definitionen av likhetstecken tillsammans med en illustrerande bild och uttryck ett exempel på det finns i Figur 1 (se Figur 1).
19
Figur 1 Samtalsbild Lika många- är lika med, (Mitt i Prick 2016, s.9) Rinne, S. (2016). Mitt i Prick matematik. 1A. (1. uppl.) Nacka: Majema.
Figur 2 Uppgift 3 Vi lär oss addition, (Mitt i Prick 2016, s.38) Rinne, S. (2016). Mitt i Prick matematik. 1A. (1. uppl.) Nacka: Majema.
Mera Favorit matematik
Begreppen som definierar likhetstecknets betydelse presenteras genom att de återkommer i rubriker till lektioner och uppgifter. Begrepp som används i läromedlet
Mera Favorit matematik är ”lika många”, och ”är lika med”. Efter möjliga
lektionsgenomgångar med samtalsbilder och informationsrutor finns tillhörande övningar. Var i läromedlet samt hur de presenteras ges exempel på nedan.
Begreppen fler, färre och lika många presenteras redan i lektion 6 fler, färre, lika
många i läromedlet Mera Favoritmatematik. Under uppgift 1 ska eleverna måla
bilderna om det är lika många i båda rutorna (se figur 3). Innan uppgift 1 finns möjlighet att lyssna och samtala till samtalsbilden, bilden föreställer två nästan likadana bilder. Möjligheten finns att samtala om skillnader och likheter samt vilka föremål som är fler eller färre (se figur 4). Vid lektion 8 Är lika med används definitionen av likhetstecknet ”är lika med”, dels under lektionens rubrik, även i samtalsbilden som i en informationsruta. Eleverna får möjlighet att jämföra bilder där det är lika många äpplen i varje bild tillsammans med två lika tal 4 = 4 och definitionen 4 är lika med 4. Det centrala innehållet i lektion 10 Addition och 15
Subtraktion är räknesätten addition och subtraktion övningarna innehåller
räknesättens egenskaper och metoder för beräkningar. Tillhörande samtalsbilder innehåller återkommande informationsruta med exempel på matematiska uttryck och definitioner på likhetstecknet och räknesättet.
20
Figur 3 samtalsbild Lika många, (Mera Favorit matematik. 1A 2018, s.26). Haapaniemi, S., Mörsky, S.,
Tikkanen, A,. Vehmas, P., Voima, J. (2018). Mera Favorit matematik. 1A. Lund: Studentlitteratur AB.
Figur 4 uppgift 1 Lika många, (Mera Favorit matematik. 1A 2018, s.26). Haapaniemi, S., Mörsky, S., Tikkanen, A,. Vehmas, P., Voima, J. (2018). Mera Favorit matematik. 1A. Lund: Studentlitteratur AB.
6.2 Användning av olika tecknen för att utveckla relationell förståelse
Mitt i Prick
I läromedlet Mitt i Prick möter eleverna standardekvationer med uttryck utan operationer. De har tidigare i boken mött likhetstecknet ensamt utan relationssymboler eller operationer, där eleverna ska finna lika många, lika stort värde symboler, bilder och tal på båda sidor om likhetstecknet (=). De har även fått öva på olikhets symbolerna större än (>) och mindre än (<). I boken finns uppgifter där eleverna ska skriva rätt tecken till ett tal i vänsterled och ett tal i högerled. Uppgifterna går ut på att jämföra om tal eller uttryck är lika eller olika mycket värda i vänster- respektive högerled. Hur dessa presenteras och ger eleverna möjlighet att träna på skillnaden finns exempel på nedan.
Under lektion 8 Talet 0 i läromedlet finns två uppgifter där eleverna får möjlighet att öva på att jämföra olika tal och skriva i rätt symbol. Nio av dessa övningsuppgifter är med bilder, tal och olika tecken, tolv av uppgifterna på uppslaget är med siffror i vänsterled och högerled, däremellan ska eleverna jämföra och skriva rätt tecken (=), (>) eller (<) (se figur 5, Jämför. Skriv>, <eller =). Nästa tillfälle eleverna möter liknande uppgifter för att jämföra värdet i vänster- och högerled är under lektion 29 Addera 3 tal en uppgift med möjlighet att jämföra olika uttryck, här blandas standard- och icke standardekvationer. Ekvationerna eleverna ska skriva rätt tecken (=), (>) eller (<) till innehåller operationer i vänster eller högerled, operationerna innefattar additioner samt subtraktioner (se figur 6, Uppgift 4 Jämför. Skriv>, <eller =). Denna uppgift finns på övasidan till lektionstillfället.
21
Den fjärde och sista gången eleverna möter de olika tecknen och kan jämföra likhet med olikhet i ekvationer sker under lektion 31 Subtrahera med 3 tal.
Figur 5 Jämför. Skriv >,< och = , (Mitt i Prick 2016, s.27) Rinne, S. (2016). Mitt i Prick matematik. 1A. (1. uppl.) Nacka: Majema.
Figur 6 Uppgift 4 Jämför. Skriv >,< eller =, (Mitt i Prick 2016, s.87) Rinne, S. (2016). Mitt i Prick matematik. 1A. (1. uppl.) Nacka: Majema.
Mera Favoritmatematik
I Läromedlet finns 24 uppgifter där likhetstecknet tillsammans med likhetstecknet presenteras och ges möjlighet till att jämföra skillnader. Skillnader mellan om en ekvation är sann eller falsk, om det är en likhet eller inte. Presentationerna och övningarna består av bilder och tal i olika ekvationer. På pröva sidorna återkommer liknande uppgifter med tillhörande lektionsinnehåll. Flera exempel på hur och var det presenteras i läromedlet presenteras nedan.
Läromedlet Mera Favorit matematik, lektion 7 Är mindre än och är större än är den första lektionen eleverna möter olikhetstecknen, lektionen innehåller 5 uppgifter där eleverna ska öva på att jämföra och se skillnaden mellan ett större värde respektive ett mindre i vänster- och högerled. Lektionen efter Är lika med innehåller likhetstecknet och begreppet är lika med, första uppgiften är att elever ska rita rätt antal frukter till uppgiftens uttryck (se figur 7, Rita frukter). Nästa uppgift är att skriva rätt tecken (=), (>), (<) mellan olika uttryck. På tillhörande ÖVA- sida finns ytterligare övningar med ett antal bollar i två fält som eleverna ska välja rätt tecken (=), (>), (<) till. Under kapitel 2 är det centrala innehållet, addition och subtraktion, räknesättets egenskaper och metoder för beräkning, under lektion 11 Talet 4 möter eleverna standardekvationer samt icke standardekvationer under PRÖVA- sidan där en uppgift går ut på att skriva rätt tecken mellan olika uttryck. Uppgifterna består av
22
operation = svar (a + b = c), svar = operation (a = b + c) samt operation = operation a + b = c + d). Denna typ av uppgift för att jämföra och skriva rätt tecken till olika uttryck återkommer på PRÖVA- sidorna till lektion 12 och 13. Kapitel 3 innehåller 5 uppgifter på PRÖVA- sidorna och 2 uppgifter på basuppgiftsidorna liknande tidigare uppgifter, skillnaden är att det nya innehållet till lektionen återfinns i de mer utmanande uppgifterna att skriva rätt tecken mellan uttrycken. Sista kapitlet i boken möter eleverna 3 uppgifter på PRÖVA- sidorna. 2 av 5 uppslag Sallys hinderbana s.40, 160 tränar eleverna extra på att använda rätt tecken till ekvationer (se figur 8,
Sallys hinderbana). Under sidorna VAD HAR JAG LÄRT MIG? S. 39 och 126
finns uppgifter där likhet, likhetstecknet och relationssymbolerna ska skrivas.
Figur 7 Rita äpplen, (Mera Favorit matematik. 1A 2018, s.35). Haapaniemi, S., Mörsky, S., Tikkanen, A,.
Vehmas, P., Voima, J. (2018). Mera Favorit matematik. 1A. Lund: Studentlitteratur AB.
Figur 8, Sallys hinderbana, (Mera Favorit matematik. 1A 2018, s.40). Haapaniemi, S., Mörsky, S., Tikkanen,
A,. Vehmas, P., Voima, J. (2018). Mera Favorit matematik. 1A. Lund: Studentlitteratur AB.
I tabellerna 1 och 2 nedan presenteras hur många uppgifter eleverna har möjlighet att arbeta med i respektive bok när de jämför likheter och olikheter med olika tecken. Tecken som eleverna ska använda är likhetstecknet (=), större än (<) och mindre än (>). De olika tecknen ska sedan eleverna skriva in i den tomma rutan i ekvationerna. Tabellen är indelad i olika uttryck samt under vilken typ av sidor i de analyserade läromedlen.
23
Bas-uppgifter
Öva Pröva Vad har
jag lärt mig? a ⎕ a 4 3 2 2 a + b ⎕ c 1 a + b ⎕ c, a ⎕ b + c, a + b ⎕ c + d 3 a - b ⎕ c, a ⎕ b + c 2 a – b ⎕c, a ⎕ b – c, a – b ⎕ c - d 1 Aa+ b ⎕ c, a - b ⎕ c, a - b ⎕ c + d, a + b ⎕ c - d 4 a - b ⎕ c, a ⎕ b - c 1 a + b ⎕ c, a + b + c ⎕ d, a ⎕ b + c 1 A + b ⎕ c, a - b ⎕ c, a - b ⎕ c - d, a + b ⎕ c + d + e, a - b ⎕ c - d - e, a - b - c ⎕ d - e 4 2
Sammanlagt antal uppgifter 5 7 10 2
Tabell 1, Antal uppgifter där i likheter och olikheter jämförs, Mera Favorit
matematik 1A Basuppgifter Öva a ⎕ a 3 a + b ⎕ c, a – b ⎕ c, a ⎕ b + c, a ⎕ b - c 1 a + b ⎕ c, a – b ⎕ c, a ⎕ b + c, a ⎕ b - c, a – b ⎕ c - d, a + b ⎕ c - d 1
Sammanlagt antal uppgifter 3 2
Tabell 2 Antal uppgifter där i likheter och olikheter jämförs, Mitt I Prick 1A
6.3 Olika typer av ekvationer för att utveckla relationell förståelse
Mitt i Prick
Ekvationer finns i olika former i läromedlet och möts i samband med olika räknesätt. I början presenteras standardekvationer med addition i vänsterled och svar i högerled. De olika ekvationerna ser senare ut på olika sätt. Några standarduppgifter med uttryck i tal och några med mer utmaning där bilder står för ett visst värde. Icke standardekvationer med svar i vänsterled och operation i högerled samt ekvationer med öppna utsagor.
I Mitt i Prick (Rinne et.al 2016) möter eleverna standardekvationer för första gången på lektion 13 Vi skriver addition 4 uppgifter med innehållet att kunna skriva och lösa additionsuppgifter med talen 0–6. Uppgifterna finns på båda uppslagen, basuppgifter samt övauppgifter. Lika uppgifter återkommer som basuppgifter under nästa lektion 14 Öva addition (se figur 9, Vi skriver addition). Standard ekvationer med subtraktion som operation i vänsterled (a – b = c) är de uppgifter eleverna möter under lektion 17 Vi skriver subtraktion och 18 Vi övar subtraktion. De elever som arbetar med uppgift 5 på övasidan utmanas med ekvationer med öppna utsagor,
24
innehållande symboler (svampar) som har ett visst värde, eleverna ska lösa vad de olika symbolerna (svampar) är värda (ibid, s.56). Lektion 19 Talet 6 uppslag 2 möter eleverna standardekvationer med blandade räknesätt, 8 av övningarna består av operationer med subtraktion i vänsterled (a – b = c), 4 av övningarna består av operationer med addition i vänsterled (a + b = c). Icke standardekvationer möter eleverna under lektion 22 Ett tal saknas, uppgiften går ut på att lösa det saknade värdet i en ekvation (se figur 10, Vad är svamparna värda). Lektion 25
Likhetstecknet övar eleverna på icke standardekvationer med operation i högerled
och svar i vänsterled med öppna utsagor, dessa uppgifter ska lösas med hjälp av bilder på ett visst antal bollar eller hundben Rikligt med icke standardekvationer med öppna utsagor möter eleverna under lektion 36 Talkamrater de 2 uppgifterna på första uppslaget innehåller 59 övningar.
Figur 9, Vi skriver addition, (Mitt i Prick 2016, s.40) Rinne, S. (2016). Mitt i Prick matematik. 1A. (1. uppl.) Nacka: Majema.
Figur 10, Vad är svamparna värda, (Mitt i Prick 2016, s.56) Rinne, S. (2016). Mitt i Prick matematik. 1A. (1. uppl.) Nacka: Majema.
Favoritmatematik
Mera Favoritmatematik innehåller uppgifter med standardekvationer samt icke
standardekvationer. Uppgifter som har syftet att utmana innehåller bland annat ekvationer med öppna utsagor. Exempel på dessa olika ekvationer presenteras nedan.
Standardekvationer möter eleverna för första gången i kapitel 2 i Mera
Favoritmatematik (Rinne et.al 2018). Basuppgifterna i lektion 10 Addition består av
25
ÖVA sidan för de elever som behöver ytterligare övning får öva på ytterligare en uppgift med 6 övningar där de ska addera och skriva rätt uttryck till bilder på blommor. Eleverna som arbetar med PRÖVA sidan möter ekvationer med öppna utsagor, bilder på blommor representerar ett tal som eleverna ska lösa värdet på (Se figur 11, Varje bild motsvarar ett tal). De tre följande lektionerna har samma upplägg som tidigare. Under lektion 15 subtraktion innehåller lektionerna och följande operationer subtraktion, upplägget är det samma som ovan, basuppgifter samt extra övningar för att befästa innehållet för de som behöver på ÖVA sidan och extra utmaning på PRÖVA sidan med öppnautsagor. Icke traditionella ekvationer möter eleverna under lektion 18 Subtraktion med pengar uppgift 3 innebär att eleverna ska skriva vilket tecken (=), (>), (<) som ska finnas mellan två uttryck, i denna uppgift varvas traditionella med icke traditionella ekvationer. PRÖVA sidorna till lektion 20 och 21 Talet 6 och Talet 7 innehåller olika typer av ekvationer standard (a + b = c), icke standard (a – b = c), (a = b + c), (a – b = c - d), (a + b = c - d). Vi övar lektion 30, uppgift 3 innehåller bilder på bilar där ett visst antal är överstrukna, elevernas uppgift blir att skriva rätt ekvation samt fylla i det missade värdet i standardekvationer med öppna utsagor.
Figur 11, Varje bild motsvarar ett tal (Mera Favorit matematik. 1A 2018, s.45). Haapaniemi, S., Mörsky, S.,
Tikkanen, A,. Vehmas, P., Voima, J. (2018). Mera Favorit matematik. 1A. Lund: Studentlitteratur AB.
Figur 12, Vilken term fattas (Mera Favorit matematik. 1A 2018, s.146). Haapaniemi, S., Mörsky, S.,
26
7. Diskussion
I följande avsnitt presenteras en sammanfattning av studiens resultat och efterföljs av ett diskussionsavsnitt där resultatet problematiseras utifrån relationell förståelse. Vidare diskuteras vilka variationer som synliggörs och hur dessa används i lärobokens uppgifter för att utveckla relationell förståelse. Därefter diskuteras lärarens roll vid val av läromedel samt metoden för denna studie. Avslutningsvis diskuteras framtida förslag till fortsatt forskning.
7.1 Sammanfattning av resultat
Relationell förståelse möjliggörs när det matematiska lektionsinnehållet bidrar till att elever får förståelse för hur och varför likhetstecknet används. Eleverna möter tecknen för likhet (=) och olikhet (>), (<) tidigt i de båda läroböckerna genom samtalsbilder och tillhörande informationsruta. I Mera Favoritmatematik presenteras definitionen av likhetstecknet i lektion 6 där begreppet “lika många” används vid uppgifter där elever ska måla lika många i två närliggande rutor. I Mitt
i Prick presenteras “lika många” och “är lika med” redan i lektion 2. I de båda
läromedlen presenteras definitionen av likhetstecknet och likhet som “lika många”, “är lika med” och “är”. Presentationerna finns i informationsrutor samt i rubriker till lektioner och uppgifter.
I de båda läromedlen Mitt i Prick och Mera favoritmatematik får eleverna möjlighet att använda relationssymbolerna större än (>) och mindre än (<) tillsammans med likhetstecknet (=). Detta sker med olika typer av ekvationer både standard och icke- standardekvationer. En sammanställning av hur de olika ekvationerna kan se ut när eleverna ska jämföra de olika tecknen har gjorts i två tabeller. I tabellerna kan man även urskilja på vilken typ av sida de olika uppgifterna finns. Skillnaden är relativt stor emellan de olika läromedlen. Pröva-sidorna i Mera Favoritmatematik har fler uppgifter än på övasidorna. Detsamma i Mitt i Prick, fem uppgifter finns där eleverna möter uppgifter för att jämföra likheter och olikheter, varav två av dessa finns på övasidan. I Mera favoritmatematik finns tjugofyra uppgifter varav tolv av dessa finns på öva- och prövasidorna. En stor del av uppgifter som återfinns på prövasidorna ser likadan ut, det som skiljer dem åt är att ekvationer och uttryck ser annorlunda ut utifrån vilket innehåll som presenteras tidigare under lektionen. I läromedlet Mitt i Prick Under kapitel två lektion tretton möter eleverna för första gången ekvationer med addition i vänsterled och svar i högerled (a + b = c), standardekvationer. Öva-sidan till lektion tretton innehåller uppgifter där elever ska lösa vad olika bilder har för värde i en standardekvation. Lektion nitton möter de standardekvationer med blandade räknesätt. Icke standardekvationer representeras tidigast i lektion tjugotvå Ett tal saknas här finns flera uppgifter som behandlar ekvationer öppna utsagor. Lektion tjugofem möter eleverna icke standardekvationer med operation i högerled. Lektion trettiosex Talkamrater behandlar femtionio övningar med ekvationer med öppna utsagor. Även läromedlet Mera
Favoritmatematik har uppgifter med standardekvationer i kapitel två när det centrala
innehållet är addition. Under prövasidan finns en uppgift med öppna utsagor där olika bilder på blommor representerar ett visst värde. Under lektion aderton finns
27
icke traditionella ekvationer med basuppgifter. under lektion tjugo och tjugoett finns på prövasidorna finns blandat standard och icke standardekvationer.
7.2 Resultatdiskussion
Här nedan diskuteras det resultat som textanalysen har gett i förhållande till Skemps definition av relationell förståelse. Vidare används variation i matematiken för att förklara hur elever ges möjlighet att nå relationell förståelse vid de analyserade uppgifterna i denna studie. En tolkning av variation i matematikundervisning presenteras under avsnittet Bakgrund.
7.2.1 Definition av likhet
För att utveckla relationell förståelse för likhetstecknet bör eleverna tidigt presenteras för och definiera begreppet likhetstecken. I läromedlen får eleverna möjlighet att utveckla deras relationella förståelse genom att generalisera definitionen ”är” och ”är lika många ” (Blanton 2019; Skemp 2006; Duval 2006). Definitionen av likhetstecknet (Kieselman & Mouwitz 2008, s.16) används i de flesta fall i samtalsbilden eller som rubrik till lektionsavsnittet eller till en uppgift. Vid läran om aritmetik introduceras eleverna för addition och subtraktion. Vid denna typ av lektioner används även här definitionen är lika med i samband med likhetstecknet. I läromedlet Mitt i Prick presenteras begreppen tidigt i boken, redan under andra lektionen. Eleverna möter sedan definitionerna i olika kontexter. Definitionen av likhetstecknet representeras med ord och bilder i ett sammanhang. Eleverna får i Mitt i Prick öva på att läsa de olika definitionerna i en uppgift. Eleverna som tidigt möter definitionen av likhetstecknet i matematikundervisningen minskar risken för att använda verbet ”blir” som enligt Kieselman och Mouwitz kan missuppfattas som att något förändras (Kieselman & Mouwitz 2008, s.16). Blanton menar att uppgifter där eleverna får möjlighet att definiera och förstå vad likhetstecknet betyder tidigt i undervisningen främjar den relationella förståelsen för likhetstecknet (Blanton 2019, s.10). Vidare menar Borensson (2013, s.94) att steget innan likhetstecknet introduceras för eleverna bör de få förståelse för likhet och balans vilket elever som använder Mera Favorit matematik får under lektion 6 Lika
många. Endast definitionen ” lika många” av likhetstecknet nämns, visserligen är
det endast en uppgift där eleverna ska öva på lika många vilket kan begränsa deras möjlighet till att skapa en säkerhet i att benämna och förstå att det är lika många.
7.2.2 Olika tecken i läroboken
I tidigare forskning framkommer att användandet av relations symbolerna större än (>) och mindre än (<) samt olikhetstecknet (≠) främjar den relationella förståelsen för likhetstecknets innebörd (Hattikudur & Alibali 2010; Duval 2006). De nämner samtidigt att de olika symbolerna bör introduceras tidigt i matematik-undervisningen. I läromedlet Mitt i Prick introduceras dessa symboler tidigt och eleverna får öva på att jämföra och se vad som är likheter och vad som inte är likheter i en ekvation. Uppgifterna är få och frågan är om uppgifterna ger tillräckligt med övning för att befästa kunskapen och nå en relationell förståelse redan i årskurs 1.
