Institutionen för systemteknik
Department of Electrical Engineering
Examensarbete
Utveckling av modellbaserad reglering i
kommersiella styrsystem
Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping
av
Oscar Carlsson
LITH-ISY-EX--09/4231--SE
Linköping 2009
Department of Electrical Engineering Linköpings tekniska högskola
Linköpings universitet Linköpings universitet
Utveckling av modellbaserad reglering i
kommersiella styrsystem
Examensarbete utfört i Reglerteknik
vid Tekniska högskolan i Linköping
av
Oscar Carlsson
LITH-ISY-EX--09/4231--SE
Handledare: Rikard Falkeborn
isy, Linköpings universitet
Fredrik Rosenqvist
ÅF Engineering
Joakim Gunnarsson
ÅF Engineering
Examinator: Anders Hansson
isy, Linköpings universitet
Avdelning, Institution
Division, Department
Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Linköpings universitet
SE-581 83 Linköping, Sweden
Datum Date 2009-04-20 Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport
URL för elektronisk version http://www.control.isy.liu.se http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-17943 ISBN — ISRN LITH-ISY-EX--09/4231--SE
Serietitel och serienummer
Title of series, numbering
ISSN
—
Titel
Title
Utveckling av modellbaserad reglering i kommersiella styrsystem Development of model based control in commercial control systems
Författare
Author
Oscar Carlsson
Sammanfattning
Abstract
In industrial control systems PID-control remains the prevalent strategy, also for processes that would benefit from model based control. The purpose of this thesis is to evaluate whether model based control can be readily implemented in an industrial control system. To this end a simulated surge tank with a simulated industrial control system is studied. For evaluation two scenarios with specified objectives are selected.
Following a review of LQR and versions of MPC, Predictive Functional Control (PFC) is considered the most suitable for implementation. PFC is a form of MPC developed with industrial applications in mind and therefore has several advanta-ges for implementation in an industrial control system. Controllers for the surge tank-system are developed and implemented in the control system.
Basic analysis of stability, sensitivity and robustness suggests that PFC has some advantages that might be important in a non-simulated implementation. Compared with PID-controllers adjusted for control performance, PFC does not show any notable improvements in performance.
In conclusion, it is possible to implement model based control in an industrial control system and with PFC the implementation is considered easy.
Nyckelord
Abstract
In industrial control systems PID-control remains the prevalent strategy, also for processes that would benefit from model based control. The purpose of this thesis is to evaluate whether model based control can be readily implemented in an industrial control system. To this end a simulated surge tank with a simulated industrial control system is studied. For evaluation two scenarios with specified objectives are selected.
Following a review of LQR and versions of MPC, Predictive Functional Control (PFC) is considered the most suitable for implementation. PFC is a form of MPC developed with industrial applications in mind and therefore has several advantages for implementation in an industrial control system. Controllers for the surge tank-system are developed and implemented in the control system.
Basic analysis of stability, sensitivity and robustness suggests that PFC has some advantages that might be important in a non-simulated implementation. Compared with PID-controllers adjusted for control performance, PFC does not show any notable improvements in performance.
In conclusion, it is possible to implement model based control in an industrial control system and with PFC the implementation is considered easy.
Sammanfattning
I industriella styrsystem används idag traditionell PID-reglering även för proces-ser där modellbaproces-serad reglering skulle kunna ge stora förbättringar. Målsättningen med detta arbete är att undersöka hur modellbaserad reglering kan implementeras i ett traditionellt styrsystem. För detta används ett system med en simulerad buf-ferttank och ett simulerat industriellt styrsystem. För utvärdering av regulatorer väljs två scenarion med specificerade prestandamål.
Efter en genomgång av LQR och varianter av MPC bedöms Predictive Fun-ctional Control (PFC) som bäst lämpad för implementering. PFC är en variant av MPC som utvecklats för industriella applikationer där enkelhet i programme-ring och användning är viktigt. För tanksystemet utvecklas två regulatorer, för reglering av koncentration och nivå, som implementeras i styrsystemet.
En grundläggande stabilitets-, känslighets- och robusthetsanalys antyder att PFC uppvisar fördelar som kan vara viktiga i ett verkligt system. Jämfört med PID-regulatorer inställda för hög prestanda uppvisar PFC däremot inga anmärk-ningsvärda prestandaförbättringar.
Sammanfattningsvis är det fullt möjligt att implementera modellbaserad regle-ring i ett industriellt styrsystem och för PFC är implementeregle-ringen mycket enkel.
Tack
Detta arbete har utförts vid automationssektionen på ÅF i Stockholm. Jag vill ta detta tillfälle i akt att tacka alla som bidragit till eller varit delaktiga i detta arbete.
Framför allt vill jag tacka mina handledare på ÅF; Dr Fredrik Rosenqvist för diskussioner, idéer, stöd och en positiv attityd och Joakim Gunnarsson för korrekturläsning och hjälp med alla små praktiska, organisatoriska och tekniska problem jag har stött på under arbetets gång.
Från Institutionen för Systemteknik vid Linköpings universitet vill jag tacka min handledare Rikard Falkeborn för hjälp med knepiga val, intressanta diskus-sioner och många givande kommentarer på rapportens utformning. Jag vill även tacka min examinator Professor Anders Hansson för många inspirerande idéer och alternativa synvinklar på problem.
Utöver dessa personer vill jag tacka min opponent Lena Persson för korrektur-läsning, opponering och många omfattande synpunkter på rapportens utformning. Dr Jacques Richalet förtjänar ett omnämnande för sin frikostiga hjälp med mate-rial om PFC och Marcus Åberg vill jag tacka för hjälp med datorer och mjukvara. Slutligen vill jag rikta ett tack till familj och vänner för stöd och uppmuntran samt ett stort tack till ÅF för ett trevligt mottagande, många sociala aktiviteter och en mycket hjälpsam attityd.
Oscar Carlsson
Stockholm, våren 2009.
Innehåll
1 Inledning 1 1.1 Bakgrund . . . 1 1.2 Tidigare arbeten . . . 2 1.3 Målsättning . . . 2 1.4 Avgränsningar . . . 2 1.5 Disposition . . . 3 2 Problembeskrivning 5 2.1 Systembeskrivning . . . 5 2.2 Fysikalisk beskrivning . . . 6 2.2.1 Tankens dynamik . . . 72.2.2 Dynamik för inflödande vätskor . . . 8
2.2.3 Dynamik för utflöde . . . 9 2.2.4 Systemets dynamik . . . 10 2.3 Tillståndsbeskrivning . . . 11 2.4 Utvärderingskriterier . . . 11 2.4.1 Scenario 1 . . . 11 2.4.2 Scenario 2 . . . 12 2.5 Referenssystem . . . 12 3 Design 15 3.1 Koppling mellan in- och utsignaler . . . 15
3.2 Linjärisering . . . 15
3.3 Reglerstrategier . . . 16
3.3.1 Linjär-kvadratisk reglering . . . 16
3.3.2 Modellbaserad prediktionsreglering . . . 17
4 Predictive Functional Control 19 4.1 Grundläggande exempel . . . 20
4.1.1 Relation mellan PFC och PID-regulatorn . . . 21
4.2 Utvidgningar . . . 22 4.3 Tillämpning på tanksystemet . . . 24 4.3.1 Nivåreglering . . . 24 4.3.2 Koncentrationsreglering . . . 26 4.4 Implementering i Dymola . . . 27 ix
4.5 Implementering i Siemens PCS7 . . . 27
4.6 Val av regulatorparametrar . . . 27
5 Analys 31 5.1 Predictive Functional Control . . . 31
5.2 PID . . . 32
5.3 Det slutna systemet . . . 32
5.3.1 Stabilitetsanalys . . . 33
5.3.2 Känslighets- och robusthetsanalys . . . 34
6 Simuleringar och resultat 41 6.1 Simuleringsmiljö och resultatpresentation . . . 41
6.2 Scenario 1 . . . 42 6.2.1 Resultat . . . 42 6.2.2 Utvärdering . . . 42 6.3 Scenario 2 . . . 42 6.3.1 Resultat . . . 43 6.3.2 Utvärdering . . . 43
7 Diskussion och slutsatser 47 7.1 Jämförelse mellan PID och PFC . . . 47
7.1.1 Koncentrationsreglering . . . 47
7.1.2 Nivåreglering . . . 48
7.1.3 Känslighet och robusthet . . . 48
7.1.4 Slutsats . . . 48
7.2 Rekommendationer för fortsatt arbete . . . 49
Litteraturförteckning 51 A Variabler 53 A.1 Matematisk modell . . . 53
Kapitel 1
Inledning
1.1
Bakgrund
För industriell styrning har olika tekniker utvecklats för att implementera regle-ring. Med början långt före James Watts mekaniska centrifugalregulator via pneu-matik, elektromekaniska reläer och grindlogikkretsar tog sig utvecklingen fram till reglering med mikroprocessorer på 70-talet [11] [8].
Inom processindustrin finns en lång tradition av reglerteknik och automation. Sedan andra världskriget har PID-reglering varit dominerande och kommer sanno-likt vara så länge till, men med utvecklingen av reglertekniken som vetenskap har även mer avancerade metoder som t.ex. artificiell intelligens, adaptiv styrning och modellbaserad prediktionsreglering börjat användas inom processindustrin [19].
Sedan 70-talet har utvecklingen av mikroprocessorer gått i takt med utveck-lingen av datorer i allmänhet. Som följd av detta är de PLC:er (Programmable Logic Controller) som idag används för industriell styrning mångdubbelt kraftful-lare än de första kretsar som användes för PID-reglering. Detta ger möjligheter att implementera andra former av reglering i beprövad och kostnadseffektiv hårdvara på ett sätt som tidigare inte varit möjligt.
Inom ÅF finns mångårig erfarenhet av automation och processtyrning och 2007 bildades en grupp kallad ÅF-APC, som arbetar med teknikområdet avancerad processreglering (APC, Advanced Process Control). Gruppens syfte är att erbjuda ett antal tjänster, främst till processbaserad industri. Bland dessa tjänster kan nämnas att utveckla och verifiera reglerstrategier samt att optimera reglering före och vid drifttagning.
I syfte att på ett enkelt sätt introducera nya lösningar i industriella styrsystem är man inom ÅF-APC intresserade av att utvärdera möjligheterna att implemente-ra mer avanceimplemente-rade metoder i en PLC. Genom att göimplemente-ra denna utvärdering på simu-lerade system illustreras samtidigt hur simuleringar kan användas för optimering före drifttagning. Några av de reglerstrategier som bedömts som mest intressanta är de metoder som ingår i begreppen MPC respektive LQ-reglering.
1.2
Tidigare arbeten
Att implementera modellbaserad reglering i industriella sammanhang har varit en vanlig målsättning sedan 60-talet, om inte tidigare. Richalet och O’Donovan näm-ner att industriella implementationäm-ner av prediktiv reglgering finns dokumenterade sedan tidigt 70-tal [15]. Många arbeten behandlar olika former av avancerad re-glering implementerad i mer avancerade styrsystem (DCS, Distributed Control System eller nätverk med persondatorer) [2][14][18].
Under de två senaste årtiondena har även PLC:er utvecklats till att hantera mer avancerade reglermetoder. Richalet m.fl. nämner att Modicon-Schneider Electric har haft med Predictive Functional Control (PFC) i sitt standardbibliotek för PLC:er sedan 1998 och Control Engineering Europe beskriver 2001 hur Schneider Electrics mjukvara förenklar användandet av PFC i PLC:er [6][16]. Hassapis be-skriver hur prediktiv reglering kan implementeras i en nätverksstruktur med ett flertal PLC:er [10].
Det arbete som påträffats med störst likheter med detta arbete är en studie av Changenet, Charvet, Géhin, Sicard och Charmel i användningen av PFC för reglering av överhättningsvärmen från en indunstare genom styrning av en expan-sionsventil. Changenet m.fl. implementerar framgångsrikt sin regulator i en PLC. En jämförelse av resultatet med en traditionell PID-regulator visar på stora för-bättringar. Den främsta skillnaden jämfört med detta arbete blir därför systemet som ska regleras vilket i Changenets fall är en mer komplicerad fysikalisk process som dock endast har en insignal och en utsignal [4].
1.3
Målsättning
Målsättningen med detta arbete är att utvärdera möjligheterna att implementera mer avancerade reglermetoder i ett modernt kommersiellt styrsystem. I första hand undersöks de varianter av LQ-reglering och modellbaserad prediktionsreglering (MPC) som tycks passa bäst för det modellerade systemet. Implementeringen görs i en simulerad PLC med hjälp av Siemens programpaket Simatic som reglerar en modell på samma sätt som ett verkligt system skulle regleras.
1.4
Avgränsningar
Detta arbete syftar till att göra en kvalitativ undersökning av vilka metoder som tycks vara mest lämpade för industriell implementering snarare än att göra någon kvantitativ jämförelse mellan olika reglermetoder. Arbetet ska därför främst ses som en redogörelse av möjligheterna för implementering med en redovisning av resultatet snarare än en utvärdering av prestandan för någon metod, vare sig enskilt eller i jämförelse med PID-reglering.
I syfte att fokusera på regleringen används kunskap om systemet från Dymola-modellen när Dymola-modellen för reglering ska konstrueras, istället för reglertekniska metoder för systemidentifiering.
1.5 Disposition 3
1.5
Disposition
Efter detta inledande kapitel kommer ett kapitel med en genomgång av reglerpro-blemet med fokus på en grundlig beskrivning av systemet som ska regleras. Kapitel 3 innehåller en kort beskrivning av vilka förenklingar som görs för att ta fram en modell för reglering av systemet, därefter en genomgång av reglerstrategier som har undersökts.
Kapitel 4 består av en genomgång av den reglerstrategi som valts, Predictive Functional Control, samt hur den implementeras för det aktuella systemet. Kapitel 5 beskriver en analys av det slutna systemet. Kapitel 6 presenterar resultat och kapitel 7 går igenom några viktiga slutsatser från arbetet och möjliga framtida utvecklingsområden.
Kapitel 2
Problembeskrivning
Detta arbete handlar om att ta fram och implementera en reglerstrategi för ett tanksystem som finns modellerat i simuleringsmiljön Dymola. Denna modell be-traktas under arbetets gång som det verkliga systemet som om det vore en process som stod i ett laboratorium eller en industrilokal. Denna modell refereras därför vanligen till som ”det ’verkliga’ systemet” eller ”systemet”. Under arbetets gång tas ytterligare modeller fram för att användas vid utveckling av olika reglerstrategier och benämns i första hand ”reglermodeller”.
För att visa hur regleringen kan implementeras i ett industriellt styrsystem görs implementeringen med hjälp av Siemens programpaket Simatic. För tester och utvärdering används Dymola för att simulera vad som betraktas som den verkliga processen. Denna simulerade process ges styrsignaler från en PLC som simuleras med programvara i Simatic och resultat från simuleringen presenteras i ett operatörsgränssnitt (Human-Machine Interface, HMI).
2.1
Systembeskrivning
Det verkliga systemet som simuleras i Dymola är uppbyggt med hjälp av bibliote-ket Modelica Fluid och består av en tank med två inflöden och ett utflöde enligt figur 2.1.
Av de två inflödena betraktas det vänstra i figuren som ett utflöde från ett annat system och flödet genom den vänstra ventilen styrs av systemet uppströms. Det högra inflödet kan styras med hjälp av en ventil och består av ett koncentrat som ska tillsättas för att uppnå önskad koncentration i tanken.
I tanken blandas vätskorna från de båda inflödena. Beroende på in och utflöden varierar koncentrationen och vätskenivån i tanken. Tanken är en idealt omrörd tank där utflödet har samma koncentration som vätskan i tanken. Flödet ut ur tanken går genom ett lodrätt rör till en styrbar ventil.
Vid in- och utflöden finns flödesindikatorer och i tanken finns koncentrations-och nivåindikator. Flödesindikatorerna markeras ”FI”, koncentrationsindikatorn ”CI” och nivåindikatorn ”LI” i figur 2.1, enligt praxis i industriella sammanhang.
Figur 2.1. Schematisk skiss över systemet med tillgängliga indikatorer.
Flödesindikato-rer markeras ”FI”, koncentrationsindikator ”CI” och nivåindikator ”LI”.
Vätskeflödet i modellen drivs av tryckskillnader över de ventiler som begränsar flödet. Den ventil som styr det vänstra flödet i figur 2.1 får ej användas för reglering men vid utvärdering av regulatorer kan den användas för att beskriva förändringar i uppströmsflödet.
Tryckskillnaderna är i huvudsak enkla. Källorna som levererar vätska till inflö-dena håller ett konstant högt tryck och tanken betraktas som öppen upptill vilket leder till atmosfärstryck vid inloppen. Trycket över utflödesventilen är lite mer komplicerat och beskrivs utförligt i avsnitt 2.2 Fysikalisk beskrivning.
2.2
Fysikalisk beskrivning
Som tidigare nämnts består den modell som betraktas som det verkliga systemet av en modell i Dymola uppbyggd med det objektorienterade modelleringsspråket Modelica (http://www.modelica.org). Istället för att bygga en modell utifrån fysi-kalisk teori har koden för denna modell analyserats och de ekvationer som beskrivs här har hämtats därifrån. De fysikaliska samband som presenteras i detta avsnitt gäller exakt för det verkliga systemet och de modellfel som normal uppstår vid modellbygge förekommer därför inte förrän i senare kapitel där modellen förenklas
2.2 Fysikalisk beskrivning 7
och linjäriseras.
I figur 2.2 framgår de flöden (Φi) som är en central del i systemets dynamik.
Därtill är punkter utsatta i figuren för att beskriva positioner för öppningar till tanken (1, 2, 3) och ventiler (vin, vc, vut). I figuren återfinns även L som anger
vätskenivån i tanken och hp som anger höjdskillnad mellan utloppet från tanken,
3, och inloppet till ventilen för utflödet (vut), 4.
Figur 2.2. Schematisk skiss över systemet ur ett fysikaliskt perspektiv.
2.2.1
Tankens dynamik
Grunden för att beskriva dynamiken i tanken är massbalans.
dM
dt = Φ1+ Φ2− Φ3 (2.1)
Ekvation (2.1) beskriver massbalansen för all vätska i tanken medan (2.2) beskriver massbalans för koncentratet i tanken.
dMc
Den koncentration i tanken som kan mätas med en sensor definieras som förhållan-det mellan koncentratets massa och den totala massan. Flöförhållan-det genom 1 innehåller inget koncentrat medan flödet genom 2 består av enbart koncentrat.
C =Mc
M (2.3)
Φc,1=0 (2.4)
Φc,2=Φ2 (2.5)
Φc,3=CΦ3 (2.6)
Med hjälp av (2.3)-(2.6) kan (2.2) förenklas till:
dMc
dt = Φ2− CΦ3 (2.7)
Om (2.3) skrivs om till Mc= CM och deriveras kan vänsterledet i (2.7) utvecklas:
dMc dt = M dC dt + C dM dt (2.8)
Med hjälp av (2.1) kan en differentialekvation för koncentrationen tas fram och förenklas: MdC dt+C (Φ1+ Φ2− Φ3) = Φ2− CΦ3⇔ (2.9) ⇔ dC dt = −C M Φ1+ 1 − C M Φ2 (2.10)
2.2.2
Dynamik för inflödande vätskor
Storleken på massflöden i systemet beror på ventilerna och vilket tryck som ligger över dessa. Dynamiken är densamma för de båda flöden som går in i systemen, endast ett fåtal parametervärden skiljer mellan dem.
Flödet genom ventilen för koncentratflödet beskrivs av: Φ2= fvc(θvc) Avc
√
ρpPC− P2 (2.11)
Trycket över ventilen för koncentratet är konstant och ventilkaraktäristiken är lin-jär och kan beskrivas med fvc(θvc) = kvcθvc. Då även densiteten (ρ) och ventilens
flödeskoefficient (Avc) är konstanta införs en konstant avc = kvcAvc
√
ρ√PC− P2
som ger ett enklare uttryck för flödet:
Φ2= avcθvc (2.12)
Ventilens dynamik beskrivs av:
dθvc dt = −1 Tvc θvc+ 1 Tvc uvc (2.13)
2.2 Fysikalisk beskrivning 9
där uvc är styrsignalen till ventilen för koncentratflödet och θvc är ventilens
posi-tion. Med (2.12) kan ventilläget elimineras ur (2.13). Resultatet blir en differenti-alekvation i flödet genom öppning 2:
dΦ2 dt = −1 Tvc Φ2+ avc Tvc uvc (2.14)
På samma sätt kan en differentialekvation för flödet genom öppning 1 tas fram:
dΦ1 dt = −1 Tvin Φ1+ avin Tvin uvin (2.15)
2.2.3
Dynamik för utflöde
Flödet genom den nedre ventilen är mer komplicerat då trycket över denna ventil inte är konstant. Flödet beräknas med samma uttryck som användes för ventil vc.
Φ3= fvut(θvut) Avut
√
ρpP4− Put (2.16)
Ventil vuthar en karaktäristik som benämns ”equal percentage”, vilket innebär
att en förändring av ventilens läge med ett visst antal procentenheter ger en viss procentuell förändring i storleken på öppningen. För att garantera att ventilen går att stänga gäller detta endast ner till en gräns som sätts av tillverkaren, här kallad
θmin. Ofta är θmin mellan en och fem procent. k är en konstant som beräknas så
att fvut blir kontinuerlig. Beteendet kan beskrivas matematiskt enligt ekvationen
nedan [5]: fvut(θvut) = ( R(θvut−1) då θmin≤ θv ut≤ 1 kθvut då 0 ≤ θvut≤ θmin (2.17)
P4 i (2.16) är trycket före utventilen och beräknas som en summa av trycket
vid utloppet från tanken och trycket från vätskan i röret mellan tanken och ven-tilen. Därifrån subtraheras en term som approximerar tryckförlusterna på grund av friktion i röret, kf rΦ23, där kf r är konstant:
P4= P3+ hpρg − kf rΦ23 (2.18)
P3är trycket vid tankens nedre öppning som består av trycket från atmosfären
respektive vätskan över ventilen samt en komponent för det dynamiska trycket. Termen kdyΦ23 beskriver en approximation av det dynamiska trycket som gäller
med god noggrannhet så länge det finns vätska i tanken.
P3= Patm+ Lρg − kdyΦ23, kdy =
1
2ρA2 (2.19)
Trycket efter ventil vutantas vara atmosfärstryck vilket resulterar i att
tryckskill-naden över ventilen kan skrivas:
Genom att sätta in (2.20) i (2.16) och därefter kvadrera fås: Φ23= (fvut(θvut) Avut) 2 ρ Lρg − kdyΦ23+ hpρg − kf rΦ23 (2.21) Ur detta kan massflödet (Φ3) lösas ut:
Φ23= Lρg + hpρg
kf r+ kdy+ 1 ρ(fvut(θvut)Avut)2
(2.22)
Om M = LAtρ ⇔ Lρ = AMt sätts in i (2.22) kan massflödet skrivas som en
explicit funktion av ventilläge (θvut) och total massa i tanken (M ):
Φ3(θvut, M ) = v u u t g AtM + hpρg kf r+ kdy+ 1 ρ(fvut(θvut)Avut)2
(2.23)
Den nedre ventilen har samma dynamik som den övre och kan beskrivas med:
dθvut dt = −1 Tvut θvut+ 1 Tvut uvut (2.24)
2.2.4
Systemets dynamik
Systemets dynamik kan sammantaget beskrivas av fem differentialekvationer och tre algebraiska ekvationer:
dM dt =Φ1+ Φ2− Φ3(θvut, M ) (2.25) dC dt = −C M Φ1+ 1 − C M Φ2 (2.26) dΦ1 dt = −1 Tvin Φ1+ avin Tvin uvin (2.27) dΦ2 dt = −1 Tvc Φ2+ avc Tvc uvc (2.28) dθvut dt = −1 Tvut θvut+ 1 Tvut uvut (2.29) Φ3(θvut, M ) = v u u t g AtM + hpρg kf r+ kdy+ 1
ρ(fvut(θvut)Avut)2
(2.30) fvut(θvut) = ( R(θvut−1) då θmin≤ θv ut≤ 1 ∼ θvut då 0 ≤ θvut≤ θmin (2.31) L = M ρAt (2.32)
2.3 Tillståndsbeskrivning 11
2.3
Tillståndsbeskrivning
En grov beskrivning av målsättningen med regleringen är att vätskenivån och koncentrationen i tanken ska följa givna referensignaler. För att verkställa denna reglering får endast ventilerna vc och vutanvändas då ventil vin anses tillhöra ett
annat system uppströms.
Utifrån detta kan systemet ställas upp som en olinjär tillståndsmodell. Som till-stånd väljs vätskenivån i tanken (L), koncentration (C), massflöde av koncentratet (Φ2) och ventilläge för utventilen (θvut). Insignaler blir styrsignalerna till ventilerna
(uvc och uvut). Som utsignaler väljs nivån (L) och koncentration (C). För att göra
modellen överskådlig införs en olinjär funktion f (x1, x4), enligt (2.30) och (2.31). Eftersom Φ1 är mätbar medan uvin inte är det utelämnas här den
differentia-lekvation som skulle beskriva dynamiken i vinoch Φ1betraktas som en störning,
v1. ˙ x1= 1 ρAt x3− 1 ρAt f (x1, x4) + 1 ρAt v1 ˙ x2= x3 x1 −x2x3 x1 −x2v1 x1 ˙ x3= −1 Tvc x3+ avc Tvc u1 ˙ x4= −1 Tvut x4+ 1 Tvut u2 y1= x1 y2= x2
2.4
Utvärderingskriterier
Två scenarion har designats utifrån ett tänkt scenario där tankens nivå ska regleras enbart för att garantera att tanken inte blir tom eller svämmar över. Koncentra-tionsregleringen syftar till att hålla koncentrationen vid en specificerad nivå och om den specificerade nivån ändras ska regleringen se till att koncentrationen ligger vid den nya nivån så snart som möjligt utan överdrivet aggressiv reglering. För att åskådliggöra metodernas kvalitet genomförs tester enligt dessa två scenarion som bedöms utifrån specificerade värden.
2.4.1
Scenario 1
Scenario 1 behandlar en situation där systemet har stabiliserats i ett stationärt tillstånd med ett lågt produktionsflöde (Φ1 = 50kgs). I detta läge ökas
produk-tionsflödet kraftigt. Det enda krav som ställs på systemet är att nivån i tanken ska ligga mellan två och åtta meter under hela förloppet. Regleringens prestanda värderas utifrån hur väl referensnivån för koncentrationen följs vid denna typ av störning.
För bedömning av hur väl referensnivån följs används kriterierna maximal av-vikelse och insvängningstid. Den maximala avav-vikelsen specificeras som det största
Variabel Beskrivning Enhet L 5 [m] Φ1 50 → 175 hkg s i Φ2 12.5 hkg s i Φ3 62.5 h kg s i C 0.2 [1]
Tabell 2.1. Förutsättningar för Scenario 1.
Variabel Värde Enhet
L 5 [m] Φ1 100 hkg s i Φ2 11.11 hkg s i Φ3 111.11 hkg s i C 0.1 [1] Cref 0.1 → 0.2 [1]
Tabell 2.2. Förutsättningar för Scenario 2.
värdet på |C − Cref| där C är uppmätt koncentration och Cref är referensvärdet för koncentrationen. Insvängningstiden beräknas som tiden från steget i produk-tionsflöde till sista mätning där |C − Cref| är större än 0.5% av Cref. Båda värdena ska vara så små som möjligt.
2.4.2
Scenario 2
Scenario 2 behandlar börvärdesändring för koncentrationsregleringen från ett sta-tionärt läge. Som i Scenario 1 ställs kravet att nivån i tanken ska ligga mellan två och åtta meter under hela förloppet. För detta scenario ställs även ett krav på liten eller obefintlig översläng, som mest 2% av stegets höjd. Konkret innebär det att koncentrationen aldrig får överstiga 0.202.
Bedömningen baseras på insvängningstiden för koncentrationen. Denna beräk-nas i detta fall som tiden från att ändringen i referensvärde görs till den sista mätningen där |C − Cref| är större än 0.5% av steget, dvs C ∈ 0.2 ± 0.0005.
2.5
Referenssystem
Sedan tidigare finns ett reglersystem implementerat med två PI-regulatorer. Dessa är installerade så att en regulator reglerar nivån utifrån nivåindikatorn i tanken ge-nom att styra ventilen för utflödet vut. Den andra regulatorn styr koncentrationen
2.5 Referenssystem 13
utifrån koncentrationsindikatorn i tanken genom att reglera flödet av koncentrat in i tanken genom ventil vc.
Kapitel 3
Design
Den fysikaliska modell som utreds i avsnitt 2.2 är en sammanställning av de ek-vationer som bygger upp det ”verkliga” systemet och kan ur ett reglertekniskt perspektiv ses som fysikaliskt modellbygge under ideala omständigheter. Model-len innehåller dock olinjäriteter som bör studeras innan en regulator kan designas.
3.1
Koppling mellan in- och utsignaler
Hela systemets dynamik beskrivs av (2.25)-(2.32). För denna diskussion betraktas nivån (L) och koncentrationen (C) som utsignaler och styrsignalerna (uvcoch uvut)
till ventil vc respektive vut betraktas som insignaler. Nivån i tanken är kopplad
till massan i tanken enligt det statiska sambandet i (2.32). I följande resonemang behandlas därför nivån och massan i tanken som synonyma.
Nivån i tanken påverkas av båda styrsignalerna genom att både Φ2och Φ3ingår
i (2.25). Koncentrationen påverkas sedan i sin tur av nivån i tanken enligt (2.26). Eftersom massan står i nämnaren i hela högerledet i ekvationen kommer dock nivån endast påverka koncentrationen då systemet inte befinner sig i ett stationärt läge. Eftersom en linjärisering normalt görs vid ett stationärt läge innebär detta att kopplingen från nivå till koncentration inte representeras i en linjäriserad modell. Detta kan ses i (3.2) där sista termen är noll för alla stationära arbetspunkter eftersom Φ2= C (Φ1+ Φ2) i stationärt läge.
Bortsett från denna koppling mellan nivå och koncentration kommer inte ut-flödet påverka koncentrationen medan koncentratut-flödet och ut-flödet som inte styrs kommer ha stor inverkan.
3.2
Linjärisering
I avsnitt 2.2 framgår att systemet innehåller två viktiga olinjäriteter, utöver de som uppkommer på grund av begränsningar för insignaler och tillstånd. Den ena är sambandet mellan ventilläget för utventilen (θvut) och flödet ut ur tanken (Φ3).
Det andra är dynamiken mellan koncentrationen och den totala massan i tanken som beskrivs i (2.26).
Experiment i Dymola visar att nivån i tanken endast har en mindre inverkan på flödet ut ur tanken. Däremot har storleken på det totala flödet genom tan-ken en betydande inverkan på sambandet mellan ventilläget för utventilen (θvut)
och flödet ut ur tanken (Φ3). Approximativt tycks kvadraten av flödet bero
lin-järt av ventilläget. Då nivåregleringens prestanda inte är kritisk för något scena-rio väljs här experimentellt en linjäriseringspunkt i mitten av arbetsområdet där (2.29), (2.30) och (2.31) approximeras med:
Φ3≈ −1 Tvut θvut+ Km Tvut uvut (3.1)
För koncentrationsregleringen består en olinjäritet i (2.26) där flera termer i ekvationen utgörs av en produkt av olika variabler. Denna ekvation linjäriseras analytiskt genom att derivera uttrycket och sätta in värden för en stationär ar-betspunkt (x0). Resultatet blir:
dC dt = " ∂dCdt ∂C # x0 C + " ∂dCdt ∂Φ1 # x0 Φ1+ " ∂dCdt ∂Φ2 # x0 Φ2+ " ∂dCdt ∂M # x0 M = = − Φ1+ Φ2 M x0 C + 1 − C M x0 Φ1+ −C M x0 Φ2+ Φ1C + Φ2C − Φ2 M2 x0 M (3.2) Dessa två modifieringar innebär att en linjär tillståndsmodell finns som kan användas för design av regulator och tester i Matlab.
3.3
Reglerstrategier
En del av målsättningen med arbetet är att hitta en mer avancerad reglermetod som fortfarande kan implementeras i en PLC. Utifrån detta har tidigare arbeten undersökts och vissa metoder har testats i Matlab för att hitta en bra balans mellan reglerprestanda och komplexitet i implementering.
3.3.1
Linjär-kvadratisk reglering
1960 presenterade Kalman en teori där han visar hur ett flervariabelt system (Multiple-Input Multiple-Output, MIMO) kan styras optimalt, med avseende på en kvadratisk kostnadsfunktion, genom linjär återkoppling från tillståndvariab-ler. Metoden var ett viktigt bidrag till reglertekniken eftersom flervariabla system tidigare reglerats med upprepade återkopplingar vilket kan ge mycket varierade resultat beroende på tillämpningssituation.
Tekniken döptes senare till Linear Quadratic Regulator (LQR) och i dess fotspår har sedan tekniker utvecklats för tillståndsskattning (Linear Quadratic Estimator, LQE) och återkoppling av signaler med störningar (Linear Quadratic
3.3 Reglerstrategier 17
Gaussian compensator, LQG). Dessa metoder benämns idag ofta som LQ-reglering eller LQ-teknik och återfinns inom många av reglerteknikens områden. [3]
LQ-reglering har en styrka i att hantera flervariabla linjära system och att implementera en styrlag som beräknats offline för reglering i en PLC bedöms som ett hanterbart problem. Denna lösning innebär dock att metoden blir ansträngande att trimma in då det inte kan göras online. Metoden är dessutom inte särskilt intuitiv för operatörer utan teoretiska kunskaper i reglerteknik.
Metodens styrka i att hantera flervariabla system bedöms inte vara av den vikt att nackdelarna övervägs då systemets korskopplingar inte är särskilt starka. För denna implementering bedöms fördelarna med metodens hantering av flervariabla system inte vägas upp av nackdelarna med komplexiteten i implementering och trimning. Vidare arbete fokuseras därför inte på denna metod.
3.3.2
Modellbaserad prediktionsreglering
De reglermetoder som med ett samlingsnamn idag kallas modellbaserad predik-tionsreglering (MPC, Model Predictive Control eller MBPC, Model Based Pre-dictive Control) utvecklades under 60-, 70- och 80-talet parallellt på flera olika företag och institutioner under olika namn, se [13] sida 25-26 för en kort genom-gång.
Modellbaserad prediktionsreglering slog igenom inom försvars- och oljeindu-strin på 70-talet och har sedan dess visat sig användbar inom en mängd olika områden. De flesta MPC-metoder är kraftfulla och flexibla men i grundutförande är många av dem mycket beräkningskrävande och därmed komplicerade att im-plementera i standardiserade industriella styrsystem. Den onlineoptimering som krävs är troligtvis mer beräkningskrävande än vad en ensam PLC klarar av och metoden lämpar sig bättre att implementeras i ett större nätverk av PLC:er eller andra enheter. Exempel på hur detta kan göras ges i [10], [14] och [18].
Explicit MPC
Explicit MPC är en form av MPC som har många likheter med traditionell MPC och vissa likheter med LQR. Metoden bygger som andra MPC-metoder på att en modell används för att beräkna vilka styrsignaler som ska användas för att på bästa sätt följa en referens utan att överträda villkor på styrsignaler eller tillstånd. Skill-naden är att istället för att detta görs med en optimeringsalgoritm online beräknas en styrlag (liknande den för LQR) för varje kombination av tillåtna tillstånd och referenssignaler offline. Online beräknas sedan var, i ett flerdimensionellt rum av tillstånd och referenssignaler, systemet befinner sig och styrlagen för denna punkt tillämpas därefter. En variant av explicit MPC beskrivs av Bemporad, Morari, Dua och Pistikopoulos [1].
Metoden har potential att implementeras i en PLC eftersom optimeringen kan göras offline och med detta i åtanke undersöktes Multi-Parametric Toolbox (MPT) [12]. Experiment i Matlab visar att de regulatorer som genereras för ett 2x2-system med referensföljning får väldigt många områden med olika styrlagar. Även om detta förmodligen går att implementera i en PLC kommer det bli svårt att
utforma någon metod som gör denna strategi användbar i praktiken. Det faktum att metoden kräver en reglerteknisk förståelse för att kunna trimma regulatorn är en nackdel metoden delar med både MPC och LQR.
Predictive Functional Control
Predictive Functional Control (PFC) är en modellbaserad reglerstrategi som ut-vecklats i syfte att kunna implementeras i PLC:er som ett komplement till PID-regulatorer. Metodens styrka jämfört med PID-reglering ligger framför allt i förmå-gan att förutse systemets respons. Detta har gett metoden stora framgångar inom petrokemiska processindustrier där regulatorns förmåga att hantera begränsningar av signaler och inre tillstånd efterfrågades. Stort intresse visades tidigt även av för-svarsindustin där förmågan att följa en rörlig referenspunkt utan eftersläpningar värderades högt [15].
Metodens främsta fördelar är att ett grundläggande intuitivt resonemang ut-trycks på ett sätt som går att implementera i en PLC. Den är flexibel och klarar av många olika system utan att bli allt för beräkningskrävande. Den av meto-dens nackdelar som märks mest i detta arbete är att det inte finns någon generell strategi för att hantera flervariabla system.
Utifrån dessa resonemang framstår PFC som den metod som har bäst potential att kunna implementeras i en PLC på ett sätt som är tillräckligt avancerat för att ge förbättrad prestanda jämfört med PID-reglering men samtidigt tillräckligt enkel för att kunna implementeras och användas i verkliga industriella system liknande det som modellen föreställer. Av dessa anledningar är PFC den metod som arbetet härefter fokuseras på.
Kapitel 4
Predictive Functional
Control
Det grundläggande tillvägagångssättet för en PFC-regulator bygger på ett fåtal enkla principer. Hela regulatorn beskrivs i diskret form och en ny styrsignal be-räknas vid varje tidpunkt. Styrsignalen bebe-räknas med målsättning att den styrda variabeln successivt ska närma sig referensnivån. För att åstadkomma detta be-stäms en prediktionshorisont och en bana längs vilken den styrda variabeln ska närma sig referensnivån. Dessa parametrar används för att beräkna hur mycket den styrda variabeln ska ha förändrats till en eller flera tidpunkter där den styrda variabelns värde ska överensstämma med referensbanans.
En grundtanke är att betrakta processen som en tidsdiskret differensekvation och dela in dess lösning i en homogen och en partikulär del. Den homogena delen av lösningen beskriver hur systemet uppför sig om ingen framtida styrsignal ges och den partikulära beskriver hur systemet påverkas av styrsignalen.
yp(k) = yphom(k) + yppart(k) (4.1)
Benämningen med homogen och partikulär del av lösningen kan jämföras med lösningsgången för en första ordningens kontinuerlig differentialekvation:
dy
dt + λy = κu (4.2)
För att beräkna en homogen lösning sätts vänsterledet till noll (dvs ingen styrsig-nal). För systemet ovan blir den homogena lösningen:
yhom(t) = Ce−λt (4.3)
där C beror på initialvärdet.
Ett tidsdiskret (samplat) system som motsvarar (4.2) kan beskrivas med en differensekvation:
y(k + 1) = ay(k) + bu(k) (4.4) 19
Om samplingen görs med styckvis konstanta signaler (Zero-Order Hold) fås över-ensstämmelse vid samplingstillfällena mellan det kontinuerliga och det diskreta systemet genom att parametrarna väljs [17]:
a = −e−λTs b = Ts Z 0 e−λτκdτ = κ λ 1 − e −λTs
Benämningen av de parametrar som används varierar beroende på tillämpning men mer generellt kan den del av lösningen som beror av tidigare värden kallas homogen och den del som beror av styrsignalen kallas partikulär.
Generellt sett är det (4.1) som utgör grunden för beräkningen av styrsigna-len. Tankegången kan illustreras med ett exempel på hur en regulator för ett första ordningens system, med de traditionella reglertekniska parametrarna krets-förstärkning och tidskonstant, tas fram:
4.1
Grundläggande exempel
Ett första ordningens system med kretsförstärkning Kp och tidskostant Tp kan
beskrivas med hjälp av en faktor αp= e
−Ts Tp , där T
s är samplingstiden:
yp(k) = αpyp(k − 1) + (1 − αp)Kpu (k − 1) (4.5)
Systemet modelleras som ym(k) med kretsförstärkning Kmoch tidskostant Tm
som ger faktorn αm = e
−Ts
Tm . Under antagandet att styrsignalen (u) är konstant
under hela prediktionshorisonten kan processens utsignal vid tidpunkten för över-ensstämmelse yp(k0+ h) modelleras med ekvation (4.6). För en mer komplicerad regulator kan andra antaganden om styrsignalen göras. Generellt kan sägas att varje frihetsgrad i styrsignalens antagna utseende under prediktionshorisonten ger en ekvation som ska lösas för beräkning av styrsignalen, ett generellt tillvägagångs-sätt beskrivs i avsnitt 4.2. ymhom(k0+ h) = α h mym(k0) (4.6a) ympart(k0+ h) = (1 − α h m)Kmu (k0) (4.6b) ym(k0+ h) = αhmym(k0) + (1 − αhm)Kmu (k0) (4.6c) För att beräkna styrsignaler bestäms en referensbana (yref) mot referensnivån r (k). För att förenkla beskrivningen införs δ (k) = r (k) − yref(k).
Ett vanligt val av referensbana är en där δ minskar exponentiellt med tidskon-stant Tref:
δ (k0+ i) = e
−Ts
Trefiδ (k0) = λiδ (k0) (4.7)
Referensbanan används för att avgöra vilken förändring av processvärdet (yp) som
önskas från beräkningstillfället (k0) till punkten för överensstämmelse (k0+ h): ∆yp(k0+ h) = 1 − λh (r (k) − yp(k0)) (4.8)
4.1 Grundläggande exempel 21
Figur 4.1. Generell skiss över referensbanans och processvärdets väg mot referensnivån.
Om denna förändring jämförs med förändringen av modellens utsignal ∆ym(k0+ h) = ym(k0+ h) − ym(k0) med en önskan om att uppfylla
∆ym(k0+ h) = ∆yp(k0+ h) fås en ekvation där enbart styrsignalen (u (k0)) är obekant:
1 − λh (r (k) − yp(k0)) = αhmym(k0) + (1 − αhm)Kmu (k0) − ym(k0) (4.9) Om styrsignalen löses ut fås ett uttryck som explicit uttrycker vilken styrsignal som ska användas:
u (k0) =
1 − λh (r (k) − yp(k0)) + 1 − αhm ym(k0)) (1 − αh
m) Km
(4.10) Detta är en mycket enkel regulator men PFC erbjuder många möjligheter till utökade regulatorer. En karaktäristisk egenskap är att styrsignalen i de flesta fall beräknas utifrån en ekvation på ungefär samma form:
u (k) = Önskad förändring − Förändring pga homogenlösning
Inverkan av partikulärlösning (4.11)
4.1.1
Relation mellan PFC och PID-regulatorn
Regulatorn som fås då styrsignalen beräknas enligt ekvation (4.10) är en PI-regulator för ett samplat system. Z-transformen för PI-regulatorn kan skrivas:
u(z) = kpe(z) +
ki
1 − z−1e(z), (4.12)
där u(z) är styrsignal och e(z) är uppmätt reglerfel. kp och ki beskrivs enligt:
kp= αm 1 − λh Km(1 − αhm) (4.13a) ki= (1 − αm) 1 − λh Km(1 − αhm) (4.13b)
Detta beskriver väl den nära relationen mellan PID-regulatorn och PFC där den senare uppvisar betydligt större flexibilitet, i utbyte mot ett krav på utökad för-ståelse för processen [15].
En närmare granskning av kp och ki visar att kvoten mellan dem endast
på-verkas av tidskonstanten för modellen (Tm) medan val av referensbana (yref) och prediktionshorisont (h) påverkar både kp och ki på samma sätt. En tydligare bild
av innebörden av detta kan fås med PI-regulatorn som kontinuerlig överförings-funktion: U (s) = K 1 + 1 Tis E(s) (4.14)
En diskretisering av denna regulator ger regulatorn i (4.12) med parametrarna:
K = kp= αm 1 − λh Km(1 − αhm) (4.15a) Ti= kp ki = αm (1 − αm) (4.15b) Denna formulering visar att regulatorns integrationstid bestäms av modellen och trimmning av regulatorn genom ändringar av referensbana och prediktionshorisont endast påverkar förstärkningen. Ur denna synvinkel kan en enkel PFC-regulator betraktas som en inställningsmetod för en PI-regulator. PFC som metod har dock många andra varianter och ändrar struktur beroende på hur det reglerade systemet är uppbyggt.
4.2
Utvidgningar
Några av de modifieringar som är vanliga i PFC beskrivs här, dock bör det un-derstrykas att PFC kan modifieras även på många andra sätt beroende på hur tillämpningen ser ut.
För alla former av additiva systemstörningar som kan modelleras i regulatorn beräknas en förväntad förändring som adderas till förändringen från den homogena lösningen. Exempel på detta ses i avsnitt 4.3.
I de fall ett system av högre ordning kan partialbråkuppdelas till termer av första ordningen med reella poler kan dessa behandlas helt analogt med ett ensamt system av första ordningen för att sedan summera de respektive homogen- och partikulärdelarna för delsystemen.
För system som är integrerande eller instabila används ofta en form av ned-brytning där det instabila systemet modelleras av två asymptotiskt stabila system enligt figur 4.2. M0 är den instabila modellen som ersätts av M1 och M2 där de stabila systemen väljs så att de uppfyller:
M0=
M1 1 + M2
(4.16) En vanlig variant på strukturen i figur 4.2 är att processvärdet som ska modelle-ras används som insignal till M2 istället för att modellvärdet återkopplas. Denna metod används i avsnitt 4.3.1.
4.2 Utvidgningar 23
Figur 4.2. Nedbrytningsprincipen.
En vanlig generalisering är att styrsignalen antas kunna beskrivas som en sum-ma av en bestämd mängd basfunktioner: u(k + n) = nb X i=0 µi(k)Fi(n) (4.17)
Basfunktionerna Fi(k) väljs så att varje funktion har ett systemsvar Gi(k) som
antingen är beräknat på förhand och lagrat i regulatorn eller kan beräknas on-line. (Vanligt är att styrsignalen väljs som ett polynom i tidsvariabeln). Genom begränsning av styrsignalens karaktär kan beräkningen av styrsignalen reduceras till att beräkna vikterna µi. Detta medför att partikulärlösningen kan beskrivas
av basfunktionernas systemsvar: ympart(k + n) = nb X i=0 µi(k)Gi(n) (4.18)
Med denna utvidgning fås istället för en utsignal nbstycken vikter som ska
beräk-nas vid varje tidpunkt. För att beräkna dessa väljs fler överensstämmelsepunkter (hj) där varje punkt ger upphov till en ekvation där den önskade förändringen ska
överenstämma med den modellerade förändringen [7].
En naturlig utvidgning för system med varierande referenssignaler är att ut-nyttja framtida referensvärden. Detta görs genom att referenssignalens (r (k)) vär-de vid vär-den (framtida) överensstämmelspunkten används vid beräkningen av vär-den önskade förändringen enligt (4.8). I de fall där referenssignalens framtida värden inte är känd kan en approximation göras genom att anta att refenssignalen kan beskrivas av ett polynom där framtida referensvärden extrapoleras från tidigare signaler.
Utöver dessa förändringar kan en mängd regulatorstrukturer konstrueras med PFC-regulatorer i kombination eller med andra regulatorer. Några exempel på vanliga strukturer är zonreglering, kaskadreglering, split-range-reglering, styrning av en utsignal med hjälp av två insignaler och styrning av två utsignaler med gemensam insignal [15].
4.3
Tillämpning på tanksystemet
PFC är inte menat att konkurrera med flervariabla regulatorer utan inriktar sig i första hand på mer flexibel reglering av mindre system, ofta med enbart en insignal och en utsignal (SISO-system). Däremot finns naturliga utvidgningar av metoden för att motverka mätbara störningar genom att modellera deras inverkan. Detta, tillsammans med resonemanget i avsnitt 3.1, motiverar en struktur på regleringen av tanksystemet på ett sätt som påminner mycket om PID-reglering med två separata regulatorer.
Med detta i åtanke struktureras den matematiska modellen om till att be-traktas som två separata delsystem som orsakar störningar hos varandra när de reglerade flödena ändras.
Det ena delsystemet används för nivåreglering och beskriver dynamiken för hur nivån i tanken påverkas av flöden in och ut ur tanken. Insignal till detta delsystem är den signal som styr ventilen för flödet ut ur tanken och utsignal är nivån i tanken. Modellen för detta system domineras av (2.25) och (3.1).
Det andra delsystemet används för koncentrationsreglering och utgår från den linjäriserade modellen (3.2) kompletterat med ventildynamik (2.28).
4.3.1
Nivåreglering
Ekvation (4.19) utgör en modell av hur tanknivån (y) påverkas av inflöden till tanken (v1och v2) och styrsignalen till utventilen (u).
˙ x1= Kv1v1+ Kv2v2+ Kx2x2 (4.19a) ˙ x2= −1 Tm x2+ Km Tm u (4.19b) y = x1 (4.19c)
Richalet och O’Donovan [15] beskriver utförligt hur en integrerande process med en första ordningens överföringsfunktion kan modelleras med en enkel block-struktur. Applicering av metoden på dynamiken för nivån i tanksystemet ledde fram till en struktur enligt figur 4.3 som beskriver en integrerande process enligt tillståndsmodellen (4.19).
I figur 4.3 byggs modellen upp av fem första ordningens överföringsfunktioner med sammanlagt sex parametrar (K1, K2, K31, K32, Tm och Td) där Td är en
tidskonstant som elimineras analytiskt om modellen är perfekt. Praktiskt rekom-menderas att Td sätts till en tredjedel av den önskade stigtiden för det slutna
systemet. I bilaga B visas att om yp(k) = ym(k) beskriver Figur 4.3 ett system
motsvarande (4.19).
Om varje första ordningens system i figur 4.3 beskrivs av en diskret modell enligt (4.6) fås ett uttryck motsvarande (4.9):
1 − λh (r (k) − yp(k)) = bh31K31u (k) + bh32K32u (k)
+ bh1K1v1(k) + bh2K2v2(k) + bhrymr(k)
4.3 Tillämpning på tanksystemet 25
Figur 4.3. Modell av ett integrerande system mha första ordningens
överföringsfunktio-ner. Om styrsignalen (u (k)) löses ut fås: u (k) = 1 − λ h (r (k) − y p(k)) + bh1ym1(k) + bh2ym2(k) + bh31ym31(k) bh31K31+ bh32K32 +bh32ym32(k) − bhrymr(k) − bh1K1v1(k) − bh2K2v2(k) + bhrKryp(k) bh31K31+ bh32K32 (4.21)
där parametrar ges av följande uttryck:
K1= Kv1Td K2= Kv2Td K31= KmTmTd Tm− Td K32= KmTd2 Td− Tm Kr= −1 αm1= αm2 = αm32 = αmr = e −Ts Td αm31= e −Ts Tm bhi= 1 − α h mi
4.3.2
Koncentrationsreglering
Koncentrationsregulatorn bygger på den linjäriserade modellen (3.2) och (2.28). Uttryckt i Laplacetransformer: C (s) = −C M x0 s +Φ1+Φ2 M x0 Φ1(s) + 1−C M x0 s +Φ1+Φ2 M x0 Φ2(s) (4.22) Φ2(s) = avc Tvcs + 1 uvc(s) (4.23)
Om (4.23) sätts in i (4.22) fås en beskrivning av koncentrationen som ger en första ordningens överföringsfunktion från det mätbara flödet Φ1och en andra ordningens
överföringsfunktion från styrsignalen till ventilen för Φ2.
C (s) = −C M x0 s +Φ1+Φ2 M x0 Φ1(s) + 1−C M x0avc s +Φ1+Φ2 M x0 (Tvcs + 1) uvc(s) (4.24)
System av högre ordning kan partialbråkuppdelas och därefter betraktas som pa-rallella system med gemensamma in- och utsignaler. För detta system innebär detta följande uttryck:
C (s) = −C M x0 s +Φ1+Φ2 M x0 Φ1(s) + avc[1−C M ]x0 1−TvcΦ1+Φ2M x0 s +Φ1+Φ2 M x0 uvc(s) + − Tvcavc[ 1−C M ]x0 1−TvcΦ1+Φ2M x0 Tvcs + 1 uvc(s) (4.25) Eftersom det är linjära system kan de separata termerna modelleras var för sig som ett första ordningens system enligt (4.5) och en diskret modell för hela systemet kan beskrivas som summan av de tre modellerna.
ym(k) = ymΦ1(k) + ym1(k) + ym2(k) (4.26a)
ymΦ1(k) = αmΦ1ymΦ1(k − 1) + (1 − αmΦ1)KmΦ1Φ1(k − 1) (4.26b)
ym1(k) = αm1ym1(k − 1) + (1 − αm1)Km1u (k − 1) (4.26c)
ym2(k) = αm2ym2(k − 1) + (1 − αm2)Km2u (k − 1) (4.26d)
På samma sätt som för ett första ordningens system i avsnitt 4.1 kan sedan en ekvation ställas upp med önskad förändring i vänsterledet och enligt modellen förväntad förändring i högerledet. Ur denna löses styrsignalen ut:
u (k) = 1 − λ h (r (k) − y p(k)) + bh1ym1(k) + bh2ym2(k) bh1Km1+ bh2Km2 + +bhΦ1ymΦ1(k) − bhΦ1KΦ1Φ1(k) bh1Km1+ bh2Km2 (4.27)
4.4 Implementering i Dymola 27
4.4
Implementering i Dymola
Innan regulatorn implementeras i PCS7 testas och trimmas regulatorn i Dymola. Programmering i Dymola bygger på enkla block för beräkning som kopplas ihop med signaler. Det finns även stora möjligheter att konstruera egna block genom att kombinera block eller skriva kod i språket Modelica, som Dymola bygger på.
Första delen som implementeras i Dymola är en modell av ett första ordning-ens system enligt (4.5). Detta görs med ett block kallat ”Zero Order Hold” för sampling, ett block för addering och två block för förstärkning av signaler. Imple-menteringen ses i figur 4.4.
Nivåregulatorn byggs sedan upp av första ordningens modeller, addition och förstärkningar enligt (4.21). Den implementerade regulatorn presenteras i figur 4.5. Koncentrationsregulatorn byggs upp på samma sätt enligt (4.27) och presen-teras i figur 4.6.
4.5
Implementering i Siemens PCS7
I PCS7 kan PLC:er programmeras med ett CFC-schema (Continuous Function Chart) där funktionsblock kopplas samman på ett sätt som påminner något om Dymola. Nya block kan konstrueras med kod i SCL (Structured Control Langu-age). Detta innebär att (4.27) respektive (4.21) kan skrivas in som kod. Efter att det nya blocket har kompilerats kan det användas i ett CFC-schema och kopplas in för att ersätta PID-regulatorerna.
4.6
Val av regulatorparametrar
Utöver parametrar för den interna modell som används vid PFC finns en möjlighet att justera regulatorprestanda genom att ange önskad stigtid för det slutna syste-met (CLRT, Closed Loop Rise Time). Denna parasyste-meter bestämmer tidskonstanten för den referensbana som regulatorn har till uppgift att följa. Även punkten för överensstämmelse (h) kan väljas men en tumregel är att denna väljs till en tredjedel av CLRT för system med en överensstämmelsepunkt.
För justering av prestanda hos PI-regulatorerna används regulatorförstärkning-en K och integraltidregulatorförstärkning-en Ti. Allmänna tester i Scenario 1 med olika
parameterkom-binationer för koncentrationsregulatorn tyder på att en höjning av K ger generellt en mindre maximal avvikelse till kostnaden av större känslighet för det mätbrus som adderats till signalen från koncentrationsindikatorn. Den högsta regulator-förstärkning där regulator-förstärkningen av mätbruset är tillräckligt liten för att bruset i styrsignalen ska filtreras bort av trögheten i systemet bestäms experimentellt till
K = 150.
Tester med olika integraltid visar att ett högre Ti ger längre insvängningstid
men att en för kort integraltid kan ge upphov till självsvängningar. Med val av förstärkningen enligt ovan begränsas integraltiden nedåt av kravet på översläng i Scenario 2. För att uppnå en kort insvängningstid och fortfarande uppfylla kraven för Scenario 2 väljs Ti= 50s.
Figur 4.4. Första ordningens modell i diskret tid implementerad i Dymola.
4.6 Val av regulatorparametrar 29
Tester med olika val av CLRT och h visar att justeringarna har motsvarande effekt för denna PFC-regulator som justering av K har för PID-regulatorn. För att få jämförbara resultat valdes parametrar som gav lika stor känslighet för mätbrus för båda systemen.
Kapitel 5
Analys
Många metoder för analys av regulatoregenskaper utgår från att regulatorn kan uttryckas som en tillståndsåterkoppling, överföringsfunktion eller differentialekva-tion. För PFC kan detta göras genom att ekvationen för beräkning av styrsignalen samt de interna modellerna Z-transformeras. För PID-regulatorerna antas en ideal regulator med samma parametrar som används för regulatorblocken i Dymola och PCS7.
5.1
Predictive Functional Control
Transformering av styrsignalsberäkningen för nivåregulatorn i (4.21) (samt de däri ingående modellerna ym1, ym2, ym31, ym32 samt ymr) ger:
UL(z) = Fe,L(Fr,L(z)RL(z) − Fy,L(z)YL(z)) − FV1,L(z)V1(z) − FV2,L(z)V2(z)
(5.1a) Fe,L(z) = (bh31K31+ bh32K32) (z − αm31) z − 1 (5.1b) Fr,L(z) = lh(z − αm32) z −bh31K31αm32+bh32K32αm31 bh31K31+bh32K32 (5.1c) Fy,L(z) = z −lhαmr+bhr lh+bhr (lh+ bhr) z −bh31K31αm32+bh32K32αm31 bh31K31+bh32K32 (5.1d) FV1,L(z) = K1bh1(bh31K31+ bh32K32) (z − αm31) z −bh31K31αm32+bh32K32αm31 bh31K31+bh32K32 (5.1e) FV2,L(z) = K2bh2(bh31K31+ bh32K32) (z − αm31) z −bh31K31αm32+bh32K32αm31 bh31K31+bh32K32 (5.1f) 31
Koncentrationsregulatorns Z-transform kan på samma sätt beräknas ur (4.27): UC(z) = Fe,C(RC(z) − YC(z)) − FV1,C(z)V1(z) (5.2a) Fe,C(z) = lh(bh1K1+ bh2K2) (z − α1) (z − α2) (z − 1)z −bh1K1α2−bh2K2α1 bh1K1+bh2K2 (5.2b) FV1,C(z) = bhΦKΦαΦ(bh1K1+ bh2K2) (z − α1) (z − 1)z −bh1K1α2−bh2K2α1 bh1K1+bh2K2 (5.2c)
Dessa uttryck kan sedan användas i Matlab tillsammans med en linjäriserad modell av tanksystemet för att analysera det slutna systemets egenskaper.
5.2
PID
PI-regulatorerna antas för denna analys vara ideala regulatorer enligt:
U (s) = K 1 + 1 Tis (R(s) − Y (s)) (5.3)
5.3
Det slutna systemet
För analys av det slutna systemet används de uttryck för regulatorerna som be-skrivs i avsnitt 5.1 och avsnitt 5.2 tillsammans med en linjär modell av systemet. Eftersom det ursprungliga systemet är olinjärt vore det önskvärt att det slutna sy-stemets egenskaper analyserades vid ett flertal arbetspunkter över hela sysy-stemets förväntade arbetsområde.
Fokus för detta arbete ligger dock på utvärderingen av möjligheterna för im-plementering, snarare än på en jämförelse av regulatorprestanda. För att försöka ge en rättvis bild av det slutna systemets egenskaper används en linjär modell som genererats med funktionen Linearize i Dymola vid en annan arbetspunkt än den som använts för de linjäriseringar som gjorts för design av regulatorerna.
I syfte att kunna nyttja kunskapen om systemet och samtidigt dra nytta av de satser om stabilitet, känslighet och robusthet som Glad och Ljung presenterar [9] väljs för detta kapitel ett nytt perspektiv på systemet. Ur detta perspektiv betrak-tas alla mätbara signaler som används för reglering som utsignaler från systemet och alla signaler till systemet (oavsett om styrning är tillåten eller ej) betraktas som insignaler. Detta synsätt resulterar i ett MIMO-system med tre insignaler och fyra utsignaler, enligt figur 5.1.
För det flöde som inte kan styras innebär detta att styrsignalen (första kom-ponenten av u i figur 5.1) enbart består av en störning (första komkom-ponenten av wu
i figur 5.1).
Styrsignaler och mätsignaler ges av vektorerna nedan.
u = uΦ1 uC uL
5.3 Det slutna systemet 33
Figur 5.1. Det slutna systemet. Siffror inom parentes anger antalet parallella signaler.
y = L C Φ1 Φ2
T
Regulatormatriserna i figur 5.1 beskrivs nedan med element hämtade från (5.1) och (5.2). Fr= Fr,L 0 0 1 0 0 0 0 Fe= 0 0 0 0 0 Fe,C FV1,C 0 Fe,L 0 FV1,L FV2,L Fy= Fy,L 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
En linjär modell av systemet med tre ingångar och fyra utgångar tas fram med linjäriseringsfunktionen i Dymola. Denna modell förenklas genom att över-lappande poler och nollställen elimineras innan ett uttryck för det slutna systemet beräknas. Modellen diskretiseras med samma samplingsmetod (Zero-Order Hold) som används vid implementering i Dymola och PCS7. PID-regulatorn diskretiseras även den med Zero-Order Hold för analysen och därefter görs analysen i diskret tid.
5.3.1
Stabilitetsanalys
Tanksystemets konstruktion med en ventil vid utflödet har en viss stabiliserande effekt på vätskenivån. Konstruktionen där utflödet, genom det ökande trycket, ökar med vätskenivån i tanken innebär att så länge ventilen ut ur tanken inte är helt stängd kommer nivån att stabilisera sig. Är öppningen för liten kan den stabila nivån ligga över tankens maximala nivå, vilket innebär ett problem men inte
att systemet är instabilt i vanlig reglerteknisk mening. Likaså innebär en för stor öppning att tanken blir tom, vilket även detta skall undvikas. Koncentrationen kan i grunden beskrivas som ett stabilt första ordningens system (andra ordningens om ventildynamiken inkluderas).
För att få en uppfattning om systemets interna stabilitet analyseras fyra över-föringsfunktioner från störningar på in- och utsignaler till in- och utsignaler (från
w och wutill u och y, i figur 5.1).
Den definition av inre stabilitet som Glad och Ljung [9] presenterar beskriver en regulatorstruktur enligt systemet i figur 5.1 men utan Fe. Enligt denna beskrivning
blir framkopplingslänken (Fr) marginellt stabil för alla regulatorer där reglerfelet
integreras, därför uppfyller många vanliga regulatorer inte kraven för definitionen. Eftersom dessa regulatorer i praktiken integrerar skillnaden mellan två signaler, istället för att integrera signalerna först och beräkna skillnaden efteråt, ger detta en felaktig bild av systemets egenskaper. Med detta i åtanke modifieras definitionen av inre stabilitet för att passa systemet i figur 5.1, som i detta fall bättre beskriver systemets verkliga struktur.
Definition (Intern stabilitet hos slutna system.) Ett slutet system givet
enligt figur 5.1 sägs vara internt stabilt om följande överföringsfunktioner alla är stabila (efter alla möjliga förkortningar).
wu7→ u,Su= Gwuu= (I + FeFyG) −1 (5.4a) wu7→ y,Gwuy= (I + GFeFy) −1 G (5.4b) w 7→ u,Gwu= − (I + FeFyG)−1FeFy (5.4c) w 7→ y,S = Gwy= (I + GFeFy) −1 (5.4d)
och om dessutom Fr är stabil.
De fyra överföringsfunktionerna är samtliga stabila efter att överlappande poler och nollställen har eliminerats. Förkompenseringslänken Frär även den stabil och
detta innebär att det slutna systemet är internt stabilt.
Singulära värden för det slutna systemet presenteras i figur 5.2 och figur 5.3, här har dock endast systemet från referenssignaler till utsignalerna för nivå och kon-centration tagits med. Största skillnaderna är en markant topp för PID-systemet medan PFC-systemet har viss förstärkning över ett större frekvensintervall.
I en jämförelse mellan Bode-diagram för de individuella delsystemen, figur 5.4 och figur 5.5, ses att den kraftiga toppen hos PID-systemet har att göra med dynamiken från referenssignal för koncentrationen till mätvärdet för nivån. Den höga statiska förstärkningen för PFC-systemet kan härledas till nivåregleringen.
5.3.2
Känslighets- och robusthetsanalys
Känslighetsfunktionen och den komplementära känslighetsfunktionen beräknas i Matlab utifrån det system som beskrivs i figur 5.1. För analysen betraktas dock bara hur nivån och koncentrationen påverkas.
Singulära värden för de respektive känslighetsfunktionerna (S = (I + GFeFy)−1)
5.3 Det slutna systemet 35
Singulära värden för de respektive komplementära känslighetsfunktionerna (T = (I + GFeFy)
−1
GFeFy) presenteras i figur 5.8 och figur 5.9.
För samtliga grafer över singulära värden presenterade här (Gc, S, T ) för
syste-met reglerat med PID märks en tydlig topp runt frekvensen ω = 0.2 rad/s. Även för systemet reglerat med PFC återfinns en svag topp. I gengäld förefaller PFC-systemet något känsligare för ett större frekvensintervall. Sammantaget innebär det att båda systemen är känsliga för både störningar och modellfel, framför allt genom att den snabbare koncentrationsregleringen ger upphov till en förändring i flöde som påverkar nivån.
Figur 5.2. Singulära värden för det slutna systemet reglerat med PID.
5.3 Det slutna systemet 37
Figur 5.4. Bodediagram för det slutna systemet reglerat med PID.
Figur 5.6. Singulära värden för känslighetsfunktionen till systemet reglerat med PID.
5.3 Det slutna systemet 39
Figur 5.8. Singulära värden för komplementära känslighetsfunktionen till systemet
re-glerat med PID.
Figur 5.9. Singulära värden för komplementära känslighetsfunktionen till systemet
