Simulering av pneumatisk sänkborrhammare

(1)

(2)

Datum 2003-02-27 Date 02/27/2003 Avdelning, institution

Division, Department

Institutionen för konstruktions- och produktionsteknik Maskinkonstruktion och Fluid och mekanisk systemteknik

Department of Mechanical Engineering

Machine Design and Fluid and Mechanical Engineering Systems

URL för elektronisk version

ISBN ISRN

LiTH-IKP-Ex-2030

Serietitel och serienummer ISSN

Title of series, numbering Språk Language X Svenska/Swedish Engelska/English ________________ Rapporttyp Report category Licentiatavhandling X Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport _____________ Titel Title

Simulering av pneumatisk sänkborrmaskin Simulation of pneumatic down the hole hammer

Författare

Author Fredrik Ek

Sammanfattning

Abstract

Denna rapport utgör dokumentationen av ett examensarbete utfört på Atlas Copco Secoroc i Fagersta under handledning av Maskinkonstruktions före detta universitetslektor Håkan Wettergren och Fluid & Mekaniksystems professor Karl-Erik Rydberg och på Atlas Copco Secoroc konstruktör Risto Wisakanto, avdelningschef Thomas Greijer, båda avdelning DTH, samt Secorocs utvecklingschef Lars Holmgren. Arbetet syftar till att utveckla en simuleringsmodell vilken ska användas vid utveckling av pneumatiska sänkborrmaskiner. Målsättningen var att göra en så bra modell som möjligt, en modell som skulle kunna användas vid utveckling av nya sänkborrmaskiner, och att stegvis förfina en i grunden enkel modell. Första modellen var dock lite för enkel och baserad på teori för slutna system så den gick inte bygga vidare på utan det var enklare att göra en helt ny modell baserad på teori för öppna system. Det var dock inte förgäves att bygga den första modellen utan de geometriska villkoren som använts i den enkla modellen kunde återanvändas i den mer avancerade som tack vare detta relativt snabbt kunde skapas. Den mer avancerade modellen ger värden som stämmer mycket bra överens med mätresultat vid höga tryck, i detta fall 16 bar. Att modellen inte stämmer överens så bra vid låga tryck kan bero på flera saker, naturligtvis på att faktorer som försummats kanske har stor inverkan vid låga tryck eller att mätvärdena helt enkelt är fel. Maskinen går inte stabilt 6 respektive 10,5 bar utan gör det först vid 16 bar vilket gör att det är relevant att jämföra simulerade värden med mätvärden först vid 16 bar, en annan felkälla kan vara att givarna inte hänger med i det snabba förloppet samt att de inte är helt exakta (Greijer, 2002). Kartläggning av en befintlig maskins geometrier, studier av termodynamiska lagar samt provborrningsresultat har legat till grund för modellen.

This report constitutes the documentation of a master thesis performed at Atlas Copco Secoroc in Fagersta under supervision by the division of Machine Design’s former lecturer (PhD) Håkan Wettergren and the division of Fluid & Mechanical Engineering System’s professor (PhD) Karl-Erik Rydberg and at Atlas Copco Secoroc design engineer Risto Wisakanto, head of department Thomas Greijer, both department DTH, and Secorocs head of research and development Lars Holmgren. The purpose with this work is to develop a simulation model which will be used at development of pneumatic down-the-hole hammers. Mapping of an existing machines geometry, studies of thermodynamic laws and test results is the basic sources used during development of this model.

(3)

Sammanfattning

Denna rapport utgör dokumentationen av ett examensarbete utfört på Atlas Copco Secoroc i Fagersta under handledning av Maskinkonstruktions före detta universitetslektor Håkan Wettergren och Fluid & Mekaniksystems professor Karl-Erik Rydberg och på Atlas Copco Secoroc konstruktör Risto Wisakanto, avdelningschef Thomas Greijer, båda avdelning DTH, samt Secorocs utvecklingschef Lars Holmgren.

Arbetet syftar till att utveckla en simuleringsmodell vilken ska användas vid utveckling av pneumatiska sänkborrmaskiner.

Målsättningen var att göra en så bra modell som möjligt, en modell som skulle kunna användas vid utveckling av nya sänkborrmaskiner, och att stegvis förfina en i grunden enkel modell. Första modellen var dock lite för enkel och baserad på teori för slutna system så den gick inte bygga vidare på utan det var enklare att göra en helt ny modell baserad på teori för öppna system. Det var dock inte förgäves att bygga den första modellen utan de geometriska villkoren som använts i den enkla modellen kunde återanvändas i den mer avancerade som tack vare detta relativt snabbt kunde skapas.

Den mer avancerade modellen ger värden som stämmer mycket bra överens med mätresultat vid höga tryck, i detta fall 16 bar. Att modellen inte stämmer överens så bra vid låga tryck kan bero på flera saker, naturligtvis på att faktorer som försummats kanske har stor inverkan vid låga tryck eller att mätvärdena helt enkelt är fel. Maskinen går inte stabilt 6 respektive 10,5 bar utan gör det först vid 16 bar vilket gör att det är relevant att jämföra simulerade värden med mätvärden först vid 16 bar, en annan felkälla kan vara att givarna inte hänger med i det snabba förloppet samt att de inte är helt exakta (Greijer, 2002).

Kartläggning av en befintlig maskins geometrier, studier av termodynamiska lagar samt provborrningsresultat har legat till grund för modellen.

(4)

(5)

Abstract

This report constitutes the documentation of a master thesis performed at Atlas Copco Secoroc in Fagersta under supervision by the division of Machine Design’s former lecturer (PhD) Håkan Wettergren and the division of Fluid & Mechanical Engineering System’s professor (PhD) Karl-Erik Rydberg and at Atlas Copco Secoroc design engineer Risto

Wisakanto, head of department Thomas Greijer, both department DTH, and Secorocs head of research and development Lars Holmgren.

The purpose with this work is to develop a simulation model which will be used at development of pneumatic down-the-hole hammers.

Mapping of an existing machines geometry, studies of thermodynamic laws and test results is the basic sources used during development of this model.

(6)

(7)

Förord

Denna rapport utgör dokumentationen av ett examensarbete utfört vid Linköpings tekniska högskola, LiTH. Arbetet har utförts på uppdrag av Atlas Copco Secoroc i Fagersta under perioden mars 2002 till och med september 2002.

Ett flertal personer har under arbetets gång bidragit med material och kunskaper och bland dem finns det några personer utan vilkas hjälp detta arbete inte hade varit möjligt. Först och främst vill jag tacka min handledare på Fluid & Mekaniksystem professor Karl-Erik Rydberg och min förre handledare på maskinkonstruktion, Håkan Wettergren, och på Atlas Copco Secoroc, mina handledare Lars Holmgren, Thomas Greijer och Risto Wisakanto samt konstruktör Carl-Erik Jonsson för deras insatser.

Vill även rikta ett tack till MathCores Andreas Idebrant, Mats Jirstrand och Jan Brugård för deras stöd under arbetets gång.

Vidare vill jag tacka övrig personal på DTH, Atlas Copco Secoroc för deras goda sällskap och hjälp.

Norrköping i februari 2003 Fredrik Ek

(8)

(9)

Innehållsförteckning

1 INLEDNING... 9

2 SIMULERINGSMILJÖN... 11

3 ARBETSGÅNG ... 13

4 BESKRIVNING AV ARBETSCYKEL... 15

5 TANKEN BAKOM EKVATIONERNA... 19

6 NOMENKLATUR... 25

7 SYSTEMBESKRIVNING MER AVANCERAD MODELL... 27

8 TEORI ... 29

9 ANTAGANDEN ... 33

10 RESULTAT OCH SLUTSATSER... 35

11 ORDLISTA ... 45 12 REFERENSER ... 47 13 BILAGA 1: KÄNSLIGHETSANALYS... 49 14 BILAGA 2: VOLYMER ... 55 15 BILAGA 3: HÅLAREOR ... 61 16 BILAGA 4: SPALTAREOR... 63

17 BILAGA 5: MANUAL TILL SIMULERINGSMILJÖN ... 65

18 BILAGA 6: PROGRAMKOD... 67

(10)

Figurförteckning

FIGUR 1: KOLV LÄGE 1... 15

FIGUR 6: KOLV LÄGE 3 MED GEOMETRISKA BETECKNINGAR... 19

FIGUR 7: KOLVENS POSITION, ENKEL MODELL ... 35

FIGUR 8: KOLVENS HASTIGHET, ENKEL MODELL ... 36

FIGUR 9: TRYCKET I RESPEKTIVE VOLYM, ENKEL MODELL... 37

FIGUR 10: KOLVENS POSITION, MER AVANCERAD MODELL... 38

FIGUR 11: KOLVENS HASTIGHET, MER AVANCERAD MODELL... 39

FIGUR 12: TRYCKET I RESPEKTIVE VOLYM, MER AVANCERAD MODELL ... 40

FIGUR 13: TEMPERATUR I RESPEKTIVE VOLYM, MER AVANCERAD MODELL ... 41

Ekvationsförteckning

8.1.1 ADIABATISK KOMPRESSION/EXPANSION MELLAN TILLSTÅND I OCH F... 29

8.2.1 KONSERVERING AV ENERGI... 29

8.2.2 KONSERVERING AV MASSA... 29

8.2.3 SPECIFIK INRE ENERGI... 30

8.2.4 IDEALA GASLAGEN... 30

8.2.5 EFFEKT ... 30

8.2.6 RÖRELSEEKVATION... 30

(11)

1 Inledning

Det examensarbete som presenteras i denna rapport utgör ett delmoment i

civilingenjörsutbildningen i Maskinteknik som ges vid Linköpings Tekniska Högskola. Arbetet syftar till att befästa de kunskaper som införskaffats vid LiTH och är en träning i att självständigt inta och tillämpa ny kunskap.

1.1 Bakgrund

Man vill ha ett simuleringsverktyg för att utveckla sänkborrhammare på Atlas Copco Secoroc i Fagersta då man i dagsläget utvecklar produkten genom att göra dyrbara fysiska prototyper vilka sedan testas i laboratoriemiljö. Detta är en dyrbar och långsam procedur och man vill därför i datormiljö kunna simulera hur en förändring av viss parameter påverkar maskinens beteende och därmed få en billigare och snabbare utveckling av produkten.

1.2 Syfte

Syftet är att skapa en användbar simuleringsmodell och målet är att den skiljer sig med högst 5 % från verkligheten inom arbetstryckspannet 6-25 bar.

1.3 Företagsbeskrivning

Atlas Copco Secoroc tillverkar, utvecklar och marknadsför bergsborrningsutrustning. Antalet anställda uppgår till ca 1100 vilka är placerade i Sverige, Sydafrika och USA. Produkterna säljs sedan via säljbolag över hela världen.

(12)

(13)

2 Simuleringsmiljön

Det programspråk som används i den simuleringsmiljö som använts vid detta examensarbete kallas Modelica och utvecklas av en ideell organisation, Modelica Association, med säte i Linköping. Modelica är objektorienterat för modellering av stora, komplexa fysiska system och är anpassat för multidomänmodellering d v s simulering av t ex elektriska, hydrauliska och reglertekniska subsystem tillsammans är möjligt.

Simuleringsmiljön kallas MathModelica och utvecklas av Linköpingsföretaget MathCore. MathModelica integrerar och utökar flera professionella mjukvaruprodukter som inkluderas i tre subsystem. Modelleditorn, i vilken man kan skapa modeller av komponenter och simulera sin modell i en grafisk miljö, är en modifikation och utökning av diagram- och

visualiseringsverktyget Microsoft Visio, simuleringscentrat inkluderar simuleringsalgoritmer från Dynasim Dymola och notebookfaciliteten, i vilken man skriver sin simuleringskod, inkluderar det tekniska beräkningssystemet Mathematica från Wolfram Research.

Hela simuleringsmiljön består alltså av Microsoft Visio, Wolfram Research Mathematica och Dynasim Dymola. När man skapar en modell så kan man välja att skapa den rent textuellt eller bygga den av komponenter som skapats textuellt eller som redan finns i

standardbiblioteket. Möjligheten att kunna skapa komponenter är en stor finess då system ofta består av flera likadana enheter. I detta fall t ex så ingår i systemet tre kontrollvolymer med identiska egenskaper vilket man kan utnyttja genom att skapa en submodell som beskriver just hur en kontrollvolym beter sig och därefter skapa instanser av denna modell som blir de olika kontrollvolymskomponenterna. Komponenterna kan man sedan tilldela olika

parametervärden dvs. konstanter kan man ändra värde på fritt, det är bara de ekvationer som beskriver den enskilde komponentens beteende som är gemensamma.

Modelica är ekvationsbaserat så det spelar ingen roll hur ekvationen läses då simuleringsdata kan flöda i båda riktningar. Man behöver alltså inte trassla med att manuellt lösa ut de

variabler man vill simulera utan det räcker med att se till att man har ett system med lika många oberoende ekvationer som obekanta så sköter miljön om resten. Ett ekvationsbaserat språk leder till att komponenterna blir mer återanvändbara då data kan strömma i båda riktningar. Komponenterna blir helt enkelt mer generella och kan användas i olika applikationer.

Anledningen till att just MathModelica valdes är att det vid tidpunkten för valet var mer eller mindre unikt. Företaget Comsol som konkurrerar med MathCore kom precis vid tidpunkten för valet av programvara fram med en tilläggsmodul till Matlab som kallas SimMechanics vilken konkurrerar med MathModelica. Valet föll dock på MathModelica då det var mer inarbetat, verkade enklare att arbeta i samt att det rekommenderades av min dåvarande handledare Håkan Wettergren.

(14)

(15)

3 Arbetsgång

Allmänt

Arbetet började med att välja ut simuleringsmiljö då ingen befintlig fanns tillgänglig vid arbetets start. Valet stod mellan MathCores MathModelica och Comsols SimMechanics (tilläggsmodul till Matlab) och valet föll på MathModelica efter en tids utvärdering av de bådas för- och nackdelar. Arbetet fortsatte med studier av tidigare forskning kring

pneumatiska sänkborrhammare och därefter tecknades uttryck för hur maskinens olika volymer och areor varierar med kolvläget. En enkel modell baserad på teori för adiabatisk kompression och expansion av slutna volymer skapas, med antagandet att då nedre kammare och bromskammare sätts i förbindelse med övre kammare, så sker tryckstegringen momentant till övre kammares tryck i respektive kammare utan hänsyn till luftens tröghet. Den enkla modellen är dock otillräcklig då den ger orimliga värden gällande temperatur och tryck i maskinen. Därför skapas en mer avancerad modell där ekvationer för energi- och massflöde tecknas för att fånga upp luftens tröghet och få en mer realistisk modell, både vad det gäller kolvens rörelse samt tryck och temperatur i respektive kammare.

(16)

(17)

4 Beskrivning av arbetscykel

För alla positioner gäller att det konstant strömmar in luftmassa från kompressor till övre kammare.

FIGUR 1: KOLV LÄGE 1.

4.1 Läge 1 (

x= x₁ =25

)

: ) ( 0 arbetsslag v<

I denna position öppnas förbindelsen mellan övre och nedre kammare och luftmassa börjar strömma in i nedre kammare. Förbindelsen mellan bromskammare och omgivning är öppen och luftmassa strömmar ut ur bromskammaren.

: ) (

0 returslag

v> I denna position stängs luftmassflödet mellan övre och nedre kammare.

Förbindelsen mellan bromskammare och omgivningen är öppen och luftmassa strömmar ut ur bromskammaren.

4.2 Läge 2 (

x= x₂ =31.55

)

I denna position öppnas förbindelsen mellan bromskammare och omgivning och luftmassa börjar strömma ut i omgivningen. I nedre kammare komprimeras luftmassan.

: ) (

0 returslag

v> I denna position stängs luftmassflödet mellan bromskammare och

(18)

Beskrivning av arbetscykel

4.3 Läge 3 (

x= x₅ =54

)

I denna position bryts förbindelsen mellan nedre kammare och omgivning och luftmassan i nedre kammare börjar komprimeras. I bromskammaren expanderar luftmassan.

: ) (

0 returslag

v> I denna position öppnas förbindelsen mellan nedre kammare och

omgivning och luftmassa börjar strömma ut i omgivningen. I bromskammaren komprimeras luftmassan.

4.4 Läge 4 (

x= x₃ =75.3

)

I denna position bryts förbindelsen mellan övre kammare och bromskammare och luftmassan i bromskammaren börjar expandera. Förbindelsen mellan nedre kammare och omgivning är öppen och luftmassa strömmar ut.

: ) (

0 returslag

v> I denna position öppnas förbindelsen mellan övre kammare och

bromskammare och luftmassa börjar strömma in i bromskammaren. Förbindelsen mellan nedre kammare och omgivning är öppen och luftmassa strömmar ut.

(19)

4.5 Läge 5 (

x= x₄ =89.3

)

I denna position öppnas förbindelsen mellan övre kammare och bromskammare och luftmassa strömmar in i bromskammaren. Förbindelsen mellan nedre kammare och omgivning är öppen och luftmassa strömmar ut.

: ) (

0 returslag

v> I denna position sluts förbindelsen mellan övre kammare och

bromskammare och luftmassan i bromskammaren börjar komprimeras. Förbindelsen mellan nedre kammare och omgivning är öppen och luftmassa strömmar ut.

(20)

(21)

5 Tanken bakom ekvationerna

FIGUR 6: KOLV LÄGE 3 MED GEOMETRISKA BETECKNINGAR.

5.1 Enkel modell

5.1.1 Trycket i övre kammare

syst p p then x x if = < 1 1

Det antas att trycket i övre kammare aldrig understiger systemtrycket, p_syst, så trycket i övre kammare, p₁, är lika med systemtrycket under sträckan då förbindelsen mellan övre och nedre kammare är öppen d v s då x<x₁.

ℵ       = 1 _ 1 1 V V p p else x ok syst

Polytrop expansion/kompression för slutna volymer antas då det inte existerar någon förbindelse mellan övre och nedre kammare. V_ok_{_ x}₁är volymen i övre kammare vid position

1 x d v s _{_} ₁( ₁) 1 V x V_ok _x = . if end

(22)

Tanken bakom ekvationerna 5.1.2 Kolvstuds )) ( * , ( 0 0 v pre ks v reinit then x and v when − < <

Villkoret att hastigheten ska vara negativ kommer av att den ska initieras då hastigheten är riktad mot borrkronan. Man skulle kunna tänka sig att bara ha x<0 men då finns risk för att kolven fastnar i det läget och man får numeriska bekymmer pga. detta och därför bör man även ha ett villkor på hastigheten.

5.1.3 Trycket i nedre kammare

1 3 1 0 p p then x x and x if = < >

Det antas att då övre kammare sätts i förbindelse med nedre kammare, så får den nedre kammaren, den övre kammarens tryck momentant.

ℵ       = < < > 3 _ 0 3 5 1 5 0 V V p p then v and x x and x x elseif x nk

Villkoret v<0 kommer av att ekvationen bara gäller åt ena hållet, i detta fall vid arbetsslaget. Initialtrycket, p , och initialvolymen, ₀

5

_ x

nk

V , gäller från x₅ i negativ led. Trycket i nedre kammare antas ha samma värde, p₀, som omgivningen i denna position vid arbetsslaget.

ℵ       = > < > 3 _ _ 3 3 5 1 1 1 0 V V p p then v and x x and x x elseif x nk x

Polytrop expansion/kompression antas då det inte existerar någon förbindelse mellan övre och nedre kammare dvs. volymen är sluten.

1

_ x

nk

V är volymen i nedre kammare vid position x₁ d v s V_nk_{_}_x₁ =V₃(x₁). Trycket p_{3 x}_{_} ₁ är trycket i nedre kammare vid x=x₁.

if end

(23)

5.1.4 Trycket i bromskammare 1 2 4 3 p p then x x and x x if = < >

Under hela sträckan som bromskammaren står i förbindelse med övre kammare antas det att bromskammaren har övre kammarens tryck

ℵ       = > 2 _ _ 2 2 4 4 4 V V p p then x x elseif x bk x

Här behövs inget accelerations-/retardationsspecifikt ty volymen är sluten hela denna sträcka.

ℵ       = > < > 2 _ 0 2 3 2 2 0 V V p p then v and x x and x x elseif x bk

Vid returslaget antas initialtrycket i bromskammaren vara omgivningstrycket, p , som en ₀

följd av antagandet att bromskammaren får omgivningstrycket momentant då förbindelsen mellan bromskammare och omgivning öppnas.

2

_ x

bk

V är bromskammarens volym vid position

2 x dvs. V_bk_{_}_x₂ =V₂(x₂) ℵ       = < < > 2 _ _ 2 2 3 2 3 3 0 V V p p then v and x x and x x elseif x bk x

Vid arbetsslaget fås initialtryck och initialvolym av i position x dvs. ₃ p₂_{_}_x₃ = p₂(x₃)

och )_{_} ₂( ₃ 3 V x V_bk _x = . 0 1 p p else =

För övrigt antas att bromskammare har trycket p₀ ≥ p_omg if

(24)

Tanken bakom ekvationerna

5.2 Mer avancerad modell

5.2.1 Kontrollvolym Ax

V V = ₀ +

Volymen varierar, från initialvolymen V , med kolvens positionskoordinat x. ₀ out in m m m dt dm & & & = − =

Håller reda på hur mycket massa volymen innehåller och hur den förändras med tiden beror på med vilken hastighet massa strömmar in, m& , minus med vilken hastighet massa strömmar _in

ut, m& . _out

W

Q

m

h

m

h

U

dt

dU

out out in

in

&

=

−

+

−

=

Håller reda på hur den inre energin varierar och den beror på med vilken hastighet energi strömmar in i volymen minus med vilken hastighet energi strömmar ut ur volymen.

pv u

h= + kallas entalpi är summan av den specifika inre energin och flödesarbetet. Q& betecknar hastigheten med vilken värmeutbytet med omgivningen sker.

W& betecknar hastigheten med vilken arbete utförs av volymen dvs. effekten.

)

( ₀

0 C T T

u

u = + _v −

Detta är en linjäriserad funktion som är relevant att använda då temperaturen varierar måttligt eftersom den specifika värmen, C , varierar ganska lite med temperaturen. Ett par hundra _v

graders skillnad ger ungefär tre procents skillnad i värde på C . _v

s W V p W& = &+ &

Tidsderivatan av arbetet, d v s effekten, är produkten av aktuellt tryck,p , och hastigheten

(25)

5.2.2 Villkor för massflödet, m& in d in T A C p m_& = KN Villkor för N : 1 0 = > ≤ N then p p and b p p if in out in out

I fall nedströmstrycket, p_out, dividerat med uppströmstrycket, p_in, är större än noll men mindre än kritiska tryckkvoten, b, så är N =1 dvs. termen ω hämmar inte massflödet.

then p p and b p p elseif in out in out _> _<₁ N = 1 1 1 2 1 2 2 1 ℵ− + ℵ ℵ + ℵ ℵ       + ℵ − ℵ       −       in out in out p p p p

Om kvoten mellan nedströmstrycket, p_out, och uppströmstrycket, p_in, är större än kritiska tryckkvoten, b, och mindre än 1 så påverkar N massflödet enligt ovanstående samband.

0 =

N else

Om inget av ovanstående villkor är uppfyllda dvs. om kvoten

in out p p

är negativ eller större än 1 så är N lika med noll och massflödet är därmed noll då det antas att inget bakåtflöde

förekommer.

if end

(26)

Tanken bakom ekvationerna

5.2.3 Villkor för area V2_PSI

tube controle A V A then tube controle A A A if i PSI i = > + _ 2 2 1 ) (

Om A₁+A₂ är större än den begränsande area som tvärsnittet av centrumrörets innerdiameter utgör så tilldelas ventilens area centrumrörets tvärsnittsarea.

2 1 _ 2 2 1 ) 0 ( A A V A then A A elseif PSI = + > +

Om arean, A₁+A₂, är större än noll så tilldelas ventilens area arean A₁+A₂.

0 _ 2 PSI = V A else if end 5.2.4 Villkoren för A₁+A₂:         − − − − = <= − − < ) 2 ( ) 1 ( ) ) 2 ( arcsin( 1 _ 1 _ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x r x r x r x r x r r A then r x hr x and x hr x if

Om differensen mellan kolvpositionen, ,x och hålrandskoordinaten, x_ hr1, är större än noll och mindre än hålradien, r₁, gäller ovanstående ekvation.

        − − − − − − = <= − − < ) 2 ( )) 2 ( 1 ( ) ) 2 ( arcsin( 2 1 _ 1 _ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 x r x r x r r x r x r r r A then r x hr x and x hr x r elseif π

Om differensen mellan kolvpositionen, ,x och hålrandskoordinaten, x_ hr1,

är större än hålradien, r₁, och mindre än diametern, 2r₁, gäller ovanstående ekvation.

2 1 1 1 2 1 _ r A then r hr x x elseif π = − <

Om differensen mellan kolvpositionen, x, och hålrandskoordinaten, x_ hr1, är större än diametern, 2r₁, gäller ovanstående ekvation.

(27)

6 Nomenklatur

6.1

Kontrollvolym i V Volym kontrollvolym i 0 V Initialvolym kontrollvolym i i F Kraft på kolvyta i x Positionskoordinat kolv p Tryck kontrollvolym m Massa kontrollvolym 0 m Initialmassa kontrollvolym h Specifik entalpi H Entalpi

u Specifik inre energi

0

u Specifik inre energi vid starttemperatur

U Inre energi Q& Värmeflödeshastighet W& Effekt T Temperatur kontrollvolym 0 T Initialtemperatur kontrollvolym m& Massflöde v

C Specifik värme vid konstant volym

i

A Area kolvyta i

R Universella gaskonstanten

s

W& Extern effekt

6.2

Kolv

v Kolvhastighet

6.3

Flödesmodellerna

PSI V

A ₂_{_} Area ventil V _₂ PSI

PSI V

A ₃_{_} Area ventil PSIV₃ _

PSO V

A ₁_{_} Area ventil V _₁ PSO

2 _ 1 V

V

(28)

Nomenklatur i hr x_ Positionskoordinat centrumrörshål i i r Radie centrumrörshål i ℵ Polytropexponenten d C Flödeskoefficient 0

(29)

7 Systembeskrivning Mer Avancerad Modell

Bilden visar hur systemet i den mer avancerade modellen är uppbyggt.

Cut, Cut_2 och FlowConnector är s.k. konnektorer och överför information om kolvposition och kraft, kolvposition och massflöde respektive tryck, entalpi och temperatur.

Flödeskonnektorerna har lite olika utförande beroende på modellens komplexitet. De överför information om massflöde, tryck, entalpi och temperatur.

PSO Kompressor PSI Omgivning V1 Övre kammare V2 Bromskammare V3 Nedre kammare Piston Kolv

PSO_V1 Ventil mellan PSO och V1

V1_V2 Ventil mellan V1 och V2

V1_V3 Ventil mellan V1 och V3

V2_PSI Ventil mellan V2 och PSI

(30)

(31)

8 Teori

8.1 Enkel Modell

8.1.1 Adiabatisk kompression/expansion mellan tillstånd i och f

final f initial i V P V P_ji _ji _jf _jf = = = ℵ ℵ (1)

8.2 Mer avancerad modell

8.2.1 Konservering av energi W Q p u gz V m p u gz V m dt dU out out out out out out in in in in in

in & & &

& _+ −      + + − −       + + − = ρ ρ 2 2 (2) men ρ p u m pV u m pV U m H

h= = + = + = + och den potentiella energin antas vara noll dvs.

0 = z fås:

(

V h

)

m

(

V h

)

Q W m dt dU out out out in in

in & & &

& + − + + −

= 2 2 ₍₃₎

Om även den kinetiska energin antas vara försumbar fås:

W Q m h m h dt dU out out in

in & − & + &− &

= (4)

8.2.2 Konservering av massa dm

(32)

Teori

8.2.3 Specifik inre energi

Varierande: − =

∫

2 1 ) ( ) ( ) ( ₂ ₁ T T v T dT C T u T u (6) Konstant: )u(T₂)−u(T₁)=C_v(T₂ −T₁ (7)

Antar konstant ty inga stora temperaturförändringar ⇒ ) ( ₀ 0 C T T u u = + _v − (8) 8.2.4 Ideala gaslagen mRT pV = (9) 8.2.5 Effekt s W V p

W& = &+ & (10)

8.2.6 Rörelseekvation

∑

n = i i i x m A p _&& (11)

där m är massan och p är trycket och A är arean. n

(33)

8.2.7 Massflödesmodell för munstycke 1 1 T A C p m₌ d & KN (12) 1 1 1 2 ℵ− + ℵ       + ℵ ℵ = R K            > ≥       + ℵ − ℵ       −       ≤ = − ℵ + ℵ ℵ + ℵ ℵ b p p om p p p p b p p om N 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 * 1 2 1 2 ℵ− ℵ       + ℵ =       = p p b där 1

p Tryck i munstyckes inlopp

1

T Temperatur i munstyckes inlopp

K Pneumatisk konduktans

N Flödesfaktor

(34)

(35)

9 Antaganden

9.1 Allmänt

9.1.1 Initiala avgränsningar

Modellen tar inte någon noggrann hänsyn till det mycket komplicerade fenomenet kolvstuds och inte hänsyn till viskös friktion. Kolvstudsen simuleras med en koefficient, vilken beror på bergart, som har värdet ε där 0≤ε ≤1. Analys av kolvstudsen har dock visat att i den miljö i vilken sänkborrmaskinen utprovas så kan man anta att kolvstudsen ärε =0 (Wisakanto, 2002).

• Polytropt eller adiabatiskt förlopp

• Ingen friktion, varken strömnings- eller glidfriktion • Inget läckage förekommer

• Kolvstudsenergin antas vara 0 dvs. ingen studs alls • Inget tryckfall förekommer i tryckkälla

• Borrkronan antas vara en stel kropp

9.2 Enkel Modell

• En kammare som sätts i förbindelse med övre kammare får momentant dess tryck.

9.3 Mer avancerad modell

• En kontrollvolym är homogen m a p tryck, temperatur och entalpi • Inget bakåtflöde förekommer

(36)

(37)

10 Resultat och slutsatser

10.1 Enkel modell

Den enkla modellen har mindre omfattande teori och då den enklare teorin för slutna system har använts är det färre saker som kan gå snett. Vid en jämförelse med mätdata från

provborrning så skiljer sig modellens värden från mätdata med 17 % som mest vid 6 bar och vid 16 bar så skiljer den sig bara med några få procent, förutsatt att ingen kolvstuds

förekommer och kappa-värdet är 1.25, vilket får anses som ett mycket gott resultat med tanke på modellens enkelhet. Att korrigera detta på ett teoretiskt riktigt sätt är dock förmodligen inte möjligt i denna enkla modell. Problemet är att antagandet om att nedre kammare har övre kammares tryck när de står i förbindelse stämmer dåligt för låga tryck eftersom den dämpning av anslagshastigheten som antagandet om momentan trycköverföring utgör har större

inverkan vid lägre tryck och därmed lägre rörelseenergi hos kolven.

16 bar, kappa = 1,25

(38)

Resultat och slutsatser

16 bar, kappa = 1,25

FIGUR 8: KOLVENS HASTIGHET, ENKEL MODELL

10.1.2 Kolvens hastighet v och anslagshastighet v_0

Kolvens anslagshastighet v vid simulering av den enkla modellen 8,7 m/s vilket ska jämföras med 8,9 m/s enligt mätresultat.

(39)

16 bar, kappa = 1,25

FIGUR 9: TRYCKET I RESPEKTIVE VOLYM, ENKEL MODELL

10.1.3 Trycket i respektive volym

Att trycken i övre kammare och nedre kammare respektive övre kammare och bromskammare ser ut som de gör är helt i sin ordning med tanke på de antaganden som gjort. Bromskammare och nedre kammare får momentant övre kammares tryck då respektive kammare sätts i

förbindelse med övre kammare, ifrån detta härstammar de diskreta tryckförändringar man kan se i grafen. Övriga tryckförändringar fångas upp av teorin för adiabatisk

kompression/expansion för slutna volymer.

(40)

10.2 Mer avancerad modell

I ett försök att få till en noggrannare modell har tidsberoende massflöde, temperatur och entalpi införts i modellen. Teorin för öppna system är dock betydligt mer komplicerad och osäker än vad teorin för slutna volymer är då sambanden innehåller en del konstanter som beror på geometrin, temperatur etc. vilkas värde i regel är okänt och måste trimmas in mot tex. mätvärden. Vidare så finns det flera olika modeller för hur flödet sker och att använda enbart munstycken som i denna modell kanske inte är riktigt korrekt. Denna modell stämmer, likt den enklare modellen, mycket bra med verkligheten vid arbetstryck 16 bar och sämre vid lägre tryck vilket förmodligen beror på att vissa parametrars värde varierar med tryck och temperatur. Förtjänsten med denna modell är dock att man ur den får rimliga svar på vilka temperaturer och tryck som fås under olika delar av kolvens arbetscykel vilket inte är möjligt att få i den enklare modellen pga. de antaganden som görs i den.

16 bar, kappa = 1,25

FIGUR 10: KOLVENS POSITION, MER AVANCERAD MODELL

(41)

16 bar, kappa = 1,25

FIGUR 11: KOLVENS HASTIGHET, MER AVANCERAD MODELL

10.2.2 Kolvens hastighet v

Kolvens anslagshastighet v vid simulering av den mer avancerade modellen är 8,9 m/s vilket ska jämföras med 8,9 m/s enligt mätresultat vilket matchar perfekt.

Den diskreta hastighetsförändring som kan ses i grafen beror på den funktion i modellen som simulerar berget vilken vänder kolvens rörelseriktning och ger kolven en initialhastighet, i detta fall hastigheten noll vilket betyder att det antas att kolven inte studsar alls på berget dvs. fullt elastisk stöt antas. Att kolven inte träffar berget vid dess högsta hastighet beror på att under en viss sträcka innan anslaget så strömmar luftmassa från övre kammare till nedre kammare och höjer nedre kammares tryck och dämpar därmed kolvens hastighet.

(42)

16 bar, kappa = 1,25

FIGUR 12: TRYCKET I RESPEKTIVE VOLYM, MER AVANCERAD MODELL

10.2.3 Trycket i respektive volym

Trycket i övre kammare verkar rimligt med tanke på att det inte varierar särskilt mycket utan håller sig på en relativt konstant nivå, det faller en aning under den korta sträcka då kammaren sätts i förbindelse med antingen bromskammare eller nedre kammare och ökar en del då kolven retarderar och övre kammare inte står i förbindelse med någon annan kammare. Luften i övre kammare komprimeras från systemtryckets 16 bar till ca 20 bar pga. den luftkudde som bildas då luften inte hinner evakueras genom centrumröret då kolven går på returslag. Trycket i bromskammaren faller aldrig till atmosfärstryck, 1 bar, tack vare det snabba förloppet och den korta sträcka som den står i förbindelse med nedre kammare, utan är som lägst ca 3,5 bar. Trycket i den nedre kammaren är under en kort sträcka atmosfärstryck då den nedre kammaren står i förbindelse med omgivningen. Den olinjära tryckstegringen, omedelbart innan övre och nedre kammare sätts i förbindelse, beror på att luften i nedre kammaren komprimeras då kolven sluter tätt mot fotventilen och cylinderväggen under en

(43)

16 bar, kappa = 1,25

FIGUR 13: TEMPERATUR I RESPEKTIVE VOLYM, MER AVANCERAD MODELL

10.2.4 Temperaturen i respektive volym

Temperaturen i övre kammare varierar mellan 20°C och 50°C vilket är rimligt med tanke på att matningsluften antas hålla 20°C. Att övre kammare håller en högre temperatur än

matningsluften under större delen av tiden beror på dess förbindelse med övriga kammare i vilka en kraftig tryckökning och därmed temperaturstegring sker. Bromskammarens

temperatur varierar mellan -60°C och 110°C. Med tanke på grafens utseende så ligger

temperaturen i bromskammaren i de nedre regionerna under en större del av cykeln vilket ger att medeltemperaturen ligger under 25°C vilket skulle ha varit medeltemperaturen om grafen varit symmetrisk. Nedre kammarens temperatur varierar mellan -100°C och 130°C vilket ger med samma resonemang som för bromskammaren en medeltemperatur på 15°C.

(44)

10.3 Känslighetsanalys

10.3.1 Allmänt

Vid en jämförelse av returhastigheterna (se bilaga1) från provborrningsdata ser man att dessa är nära nog identiska utifrån vilket man kan dra slutsatsen att kolvstudsen är försumbar.

10.3.2 Mer avancerad modell

För att se hur den mer avancerade modellen reagerar på förändringar av flödeskoefficienten C så har en känslighetsanalys utförts. Ett antal varianter har testats (se bilaga 1) och resulterade i att en kombination, där C-värdet för ventilen mellan systemtryck och övre kammare lämnas oförändrat och övriga ventilers värden ökas med 50 % från 1 till 1.5, ger maskinen den högsta effekten (ca 20 kW).

Minskas däremot övriga ventilers värden med 50 % från 1.0 till 0.5 så ger maskinen den lägsta effekten i fallet då bromskammaren har förbindelse med övriga kammare (ca 14 kW). I fallet där bromskammaren inte har någon förbindelse med övriga kammare utan är en sluten volym (C-värde 0) samt C-värdet för ventilen mellan övre och nedre kammare ökas från 1.0 till 1.5, samt resterande ventiler oförändrade, ger maskinen den lägsta effekten av de

utprovade kombinationerna (ca 11,5 kW).

10.3.3 Enkel modell

Den enkla modellen stämmer, enligt den jämförelse som gjorts med mätvärden, bäst överens med mätvärdena vid 10,5 bar och fallet utan kolvstuds (se bilaga 1). I ett försök att trimma in modellen mot provborrningsdata så tecknades en linjär funktion beskrivande förhållandet mellan anslags- och returhastigheterna men detta gav sämre resultat än antagandet om ingen studs och det beror på att funktionen inte säger något om hur stor andel av returhastigheten som beror på studs och hur stor andel som beror av trycket i nedre kammare.

(45)

10.4 Fortsatt arbete

Strömningshastigheten kan bestämmas genom att införa följande ekvation i systemet: Allmänt: m_& = ρVA där V är hastigheten

I vår kontrollvolym bör alltså följande ekvationer införas för att räkna ut V och _in V : _out in

in in V A

m_& =ρ₀ och m_&_out =ρ₀V_outA_out

Dessa ska sedan införas i ekvationen för tidsderivatan av den inre energin:

(

V h

)

m

(

V h

)

Q W m dt dU out out out in in

in & & &

& + − + + −

= 2 2 ₍₃₎

Andra åtgärder

• Teckna om villkoren för flödesmodellerna så de gäller även för bakåtflöde. • Trimma in modellens parametrar mot en noggrann mätserie

• Bygga en ny modell baserad på alternativ teori, se bilaga 7 • Funktion som beräknar medeltemperatur

• Funktion som beräknar effekt

(46)

(47)

11 Ordlista

Adiabatisk process Process som sker utan värmeutbyte med omgivningen

Isoterm process Process som sker under konstant temperatur

Polytrop Mellanting mellan adiabatisk och isoterm process, om

polytropexponenten (detta gäller tvåatomiga gaser) är 1 så är det en isoterm och är den 1.4 så är det en adiabatisk process.

Slutet system System som inte tillförs eller förlorar massa.

Öppet system System vilket tillförs eller förlorar massa.

Kolvstuds Rekylen som uppkommer av att kolv, borrkrona och berg

deformeras elastiskt och ger fenomenet att kolven studsar tillbaka.

Entalpi Samlingsnamn för summan av inre energin, U, och flödesarbetet pV dvs. entalpin H = U + pV. Flödesarbetet är den energi som krävs för att pressa fluid in eller ut ur en kontrollvolym. Genom att använda entalpi istället för inre energi så behöver man inte bry sig om flödesarbetet och detta är den främsta orsaken till varför

entalpi används.

Momentant Sker något momentant så innebär det att det sker utan tidsfördröjning.

Borrkrona Den del av borrmaskinen som är i kontakt med berget dvs. den förmedlar kolvens slagenergi till berget.

(48)

(49)

12 Referenser

12.1

Litteratur

Karl-Erik Rydberg. Basic Theory for Pneumatic System Design. Linköping: LiTH, IKP, 1997. Mats Jirstrand. Basic Thermodynamic Examples. Linköping: MathCore, 2002.

Yunus A.Çengel, Michael A. Boles. An Engineering Approach, Second Edition .USA, McGraw-Hill, 1994. ISBN 0-07-113249-X.

William L. Haberman, James E. A. John. Engineering Thermodynamics .Boston, Allyn and Bacon, Inc, 1980. ISBN 0-205-06570-8.

Yunus A.Çengel, Robert H. Turner. Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences. New York: McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-07-118152-0.

Rayner Joel. Basic Engineering Thermodynamics, Fourth edition. New York, Longman Inc. ISBN 0-582-41626-4.

Y.Nakayama, R.F.Boucher. Introduction to Fluid Mechanics. New York: John Wiley&Sons Inc, 1999. ISBN 0-340-67649-3.

J.B. Jones, R.E. Dugan. Engineering Thermodynamics. New Jersey: Prentice Hall Inc, 1996. ISBN 0-02-361332-7.

12.2

Muntliga referenser

Mats Jirstrand, Mathcore AB, Linköping Karl-Erik Rydberg, IKP, LiTH, Linköping Thomas Greijer, Atlas Copco Secoroc, Fagersta Risto Wisakanto, Atlas Copco Secoroc, Fagersta

12.3

Internet

www.modelica.org www.mathcore.com

(50)

(51)

13 Bilaga 1: Känslighetsanalys

”DTHhammare_reinit_kolvstuds_0.nb” och varianter av den har använts vid analysen.

13.1 Enkel modell

13.1.1 Simuleringsvärden med linjärt förhållande mellan anslags- och returhastigheterna: ks = -7e-8*p_syst+0, 342.

Simulering Provborrning Sim/Provb

16 bar: f = 29.7 Hz f = 25.0 Hz 119 % v = 8.7 m/s v = 8.9 m/s 98 % slaglängd = 86 mm slaglängd = 89 97 % 10.5 bar: f = 24.1 Hz f = 21.5 Hz 112 % v = 7.1 m/s v = 6.7 m/s 106 % slaglängd = 86 mm slaglängd = 85 101 % 6 bar: f = 17.9 Hz f = 17.5 Hz 102 % v = 5.1 m/s v = 5.9 m/s 86 % slaglängd = 85 mm slaglängd = 96 mm 88 %

13.1.2 Simuleringsvärden med returhastighet = 0:

16 bar: f = 26.5 Hz f = 25.0 Hz 106 % v = 8.7 m/s v = 8.9 m/s 98 % slaglängd = 84 mm slaglängd = 89 94 % 10.5 bar: f = 21.8 Hz f = 21.5 Hz 101 % v = 6.9 m/s v = 6.7 m/s 103 % Slaglängd = 84 mm slaglängd = 85 98 % 6 bar: f = 15.5 Hz f = 17.5 Hz 88 % v = 4.9 m/s v = 5.9 m/s 83 % slaglängd = 82 mm slaglängd = 96 mm 85 %

(52)

Bilaga1: Känslighetsanalys

13.1.3 Simuleringsvärden med linjärt förhållande mellan anslags- och returhastigheterna: ks = -7e-8*p_syst+0, 342. Kappa ändras från kappa = 1.3 till kappa = 1.4

Simulering Provborrning Sim/Provb 16 bar: f = 30.0 Hz f = 25.0 Hz 120 % v = 8.7 m/s v = 8.9 m/s 98 % Slaglängd = 85 mm slaglängd = 89 96 % 10.5 bar: f = 24.3 Hz f = 21.5 Hz 113 % v = 7.1 m/s v = 6.7 m/s 106 % Slaglängd = 85 mm slaglängd = 85 100 % 6 bar: f = 18.0 Hz f = 17.5 Hz 103 % v = 5.1 m/s v = 5.9 m/s 89 % slaglängd = 84 mm slaglängd = 96 mm 88 %

13.1.4 Simuleringsvärden med linjärt förhållande mellan anslags- och returhastigheterna: ks = -7e-8*p_syst+0, 342. Kappa ändras från kappa = 1.3 till kappa = 1.2

Simulering Provborrning Sim/Provb 16 bar: f = 29.4 Hz f = 25.0 Hz 118 % v = 8.7 m/s v = 8.9 m/s 98 % Slaglängd = 87 mm slaglängd = 89 98 % 10.5 bar: f = 23.8 Hz f = 21.5 Hz 111 % v = 7.1 m/s v = 6.7 m/s 106 % Slaglängd = 87 mm slaglängd = 85 102 % 6 bar: f = 17.7 Hz f = 17.5 Hz 103 % v = 5.1 m/s v = 5.9 m/s 89 % slaglängd = 86 mm slaglängd = 96 mm 90 %

(53)

13.1.5 Simuleringsvärden med linjärt förhållande mellan anslags- och returhastigheter: ks = -7e-8*p_syst+0, 342. Kappa ändras från kappa = 1.3 till kappa = 1.0

Simulering Provborrning Sim/Provb

16 bar: f = 28.6 Hz f = 25.0 Hz 114 % v = 9.0 m/s v = 8.9 m/s 101 % slaglängd = 88 mm slaglängd = 89 99 % 10.5 bar: f = 23.2 Hz f = 21.5 Hz 108 % v = 7.2 m/s v = 6.7 m/s 107 % slaglängd = 88 mm slaglängd = 85 103 % 6 bar: f = 17.2 Hz f = 17.5 Hz 98 % v = 5.2 m/s v = 5.9 m/s 88 % slaglängd = 88 mm slaglängd = 96 mm 92 %

13.1.6 Hur påverkar mottrycket,p , hammarens rörelse? ₀

(studskoefficient etc. okänt, följande värden är bara för en inbördes jämförelse)

p0 f hastighet slaglängd (mm)

1 bar 30.3 Hz -9.8 < v < 6.2 0 < x < 84

2 bar 30.3 Hz -9.7 < v < 6.3 0 < x < 86

5 bar 27.0 Hz -8.2 < v < 5.3 0 < x < 82

(54)

13.2 Mer avancerad modell

” 09-25-20-06 entalpi alternativ massflödesmodell_känslighetsanalys.nb” har använts vid analysen.

13.2.1 Ventilernas area ändras individuellt genom att man multiplicerar C-värdet med en faktor.

korrektionsfaktor f (Hz) v (m/s) Amp (mm) 1 _ V PSO C 1.0 23.5 8.9 92 1 _ V PSO C _{1.5 23.5}_{8.9 92} 1 _ V PSO C 0.5 22.7 8.9 92 PSI V C ₂_{_} 1.5 23.2 9.3 96 PSI V C ₂_{_} 0.5 23.8 8.3 83 PSI V C ₃_{_} _{1.5 23.5}_{8.8 89} PSI V C ₃_{_} 0.5 23.2 8.3 94 2 _ 1 V V C 1.5 23.2 8.9 92 2 _ 1 V V C 0.5 23.2 9.0 93 3 _ 1 V V C _{1.5 23.8}_{8.9 92} 3 _ 1 V V C 0.5 23.2 9.2 91

(Kolumnen under respektive C-värde innehåller dess korrektionsfaktor)

PSI V C ₂_{_} C_V_{1 V}_{_} ₂ _{f (Hz)} _{v(m/s) Amp (mm)} 1.5 1.5 23.2 9.4 95 1.5 0.5 22.7 9.4 98 0.5 1.5 24.4 8.2 82 0.5 0.5 23.8 8.3 82 PSI V C ₃_{_} C_V_{1 V}_{_} ₃ f (Hz) v(m/s) Amp (mm) 1.5 1.5 23.8 8.7 90 1.5 0.5 23.0 9.2 88 0.5 1.5 23.5 8.3 95 0.5 0.5 22.5 8.5 94

(55)

1 _ V

PSO

C C_V_{1 V}_{_} ₃ C_V₃_{_}_PSI C_V_{1 V}_{_} ₂ C_V₂_{_}_PSI f (Hz) v(m/s) Amp (mm)

1.0 1.5 1.5 1.5 1.5 24.1 9.1 94 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 22.7 7.8 83 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 23.8 9.1 93 1.0 1.5 1.0 1.5 1.0 23.5 8.8 92 1.0 1.5 0.5 1.5 1.0 23.8 8.2 95 1.0 1.5 0.5 1.5 0.5 23.8 7.5 85 1.0 1.5 1.0 0.0 0.0 20.0 7.5 108

13.2.2 ℵ varieras och ventilerna har oförändrat värde

ℵ f (Hz) v(m/s) Amp (mm)

1.4 23.2 8.9 92 1.1 23.8 9.0 92

1.25 23.5 8.9 92

13.3 Maskinens effekt

13.3.1 Med flöde mellan bromskammare och övriga kammare:

13.3.1.1 Högst effekt

f mv 20356J 20kW 2 1 . 9 * 4 . 20 * 1 . 24 2 2 2 ≈ = = 13.3.1.2 Lägst effekt

f mv 14086J 14kW 2 8 . 7 * 4 . 20 * 7 . 22 2 2 2 ≈ = =

13.3.2 Utan flöde mellan bromskammare och övriga kammare:

13.3.2.1 Effekt

f mv 11475J 11,5kW 2 5 . 7 * 4 . 20 * 0 . 20 2 2 2 ≈ = =

(56)

13.4 Provborrning

13.4.1 En jämförelse mellan de olika arbetstryckens anslagshastighet och returhastigheter:

Anslagshastighet Returhastighet

16.0 bar: 8.9 m/s 4.1 m/s 10.5 bar: 6.7 m/s 4.0 m/s 6.0 bar: 5.9 m/s 3.9 m/s

13.4.2 Tryck under kolv:

16 bar: 2 < p < 16 (bar) 10.5 bar: 1 < p < 10 (bar) 6 bar: 1 < p < 6.25 (bar) Tryck ovan kolv:

16 bar: 2 < p < 17 (bar) 10.5 bar: 1 < p < 12 (bar) 6 bar: 0 < p < 8 (bar)

(57)

Bilaga 2: Volymer

13.5 Kartläggning av maskinens volymer

Ett antal snitt har gjorts vid lämpliga punkter i CAD-sammanställningen och materialvolymerna har beräknats av CAD-verktyget.

13.5.1 Kolvläge 1 (x = 25):

13.5.1.1 Volym S1a-S3a

Homogena cylinderns volym ₂_,₆₄_⋅₁₀−3_m3

Materialvolym ₁_,₇₉_⋅₁₀−3_m3 Volym = 2 = ⋅ −3₎2⋅₃₅⋅₁₀−3 ≈ 2 10 39 ( π πr h V_A ₄_,₂₀_⋅₁₀−5_m3 Volym = 2 = ⋅ −3₎2⋅₍₆₀−₍₈₉_,₃−₃₂_,₃−₂₅₎₎⋅₁₀−3 ≈ 2 10 35 , 38 ( π πr h V_B ₃_,₂₀_⋅₁₀−5_m3 Volym = 2 = ⋅ −3₎2⋅₍₁₀₄_,₅−₄₀₎⋅₁₀−3 ≈ 2 10 1 , 30 ( π πr h V_C ₄_,₆₀_⋅₁₀−5_m3 Volym = 2 = ⋅ −3₎2 ⋅₄₀⋅₁₀−3 ≈ 2 10 75 , 31 ( π πr h V_D ₃_,₂₀_⋅₁₀−5_m3

Volym V_E är i realiteten så liten att den försummas. Detta ger att volymen som komprimeras är

3 3 10 64 , 2 _⋅ − m -(₁_,₇₉_⋅₁₀−3_m3₊₄_,₂₀_⋅₁₀−5_m3₊₃_,₂₀_⋅₁₀−5_m3₊₄_,₆₀_⋅₁₀−5_m3₊₃_,₂₀_⋅₁₀−5_m3_{) ≈}₇_⋅₁₀−4_m3

(58)

Bilaga 2: Volymer

13.5.1.2 Volym S2a-S2b

Homogena cylinderns volym ₁_,₇₀_⋅₁₀−3_m3

Materialvolym ₈_,₅₇_⋅₁₀−4_m3 Volym 2 = ⋅ −3₎2⋅₁₀₇_,₅₅⋅₁₀−3 ≈ 2 10 30 ( π πr h ₇_,₆₀_⋅₁₀−5_m3

Detta ger att volymen som komprimeras är 3 3 10 70 , 1 _⋅ − m _-₇_,₆₀_⋅₁₀−5_m3_-₈_,₅₇_⋅₁₀−4_m3_≈₇_,₇₀_⋅₁₀−4_m3

dvs. 0,77 liter. I detta läge strömmar luften genom det halvöppna hålet i centrumröret.

13.5.1.3 Volym S1a-S1b

Luftvolym =₂_,₃₃_⋅₁₀−3_m3

13.5.1.4 Inneslutna volymer centrumrör

Grova delen: 117,5 mm uppskattad längd → ≈ ⋅ ⋅ ⋅ = = 2 −3 2 −3 , ) 117,5 10 2 10 42 ( π πr h V_C_grov ₁_,₆₀_⋅₁₀−4_m3

Denna volym har förbindelse med eller rättare sagt ingår i den komprimerade volymen med storlek ₇_,₇₀_⋅₁₀−4_m3_. Smala delen: ≈ ⋅ ⋅ ⋅ = = 2 −3 2 −3 , ) 200 10 2 10 30 ( π πr h V_C _fin ₁_,₄₀_⋅₁₀−4_m3 ≈ ⋅ ⋅ ⋅ = = 2 −3₎2 ₇₄ ₁₀−3 2 10 39 ( π πr h V_F ₈_,₈₃_⋅₁₀−5_m3

Detta ger att ₂_,₃₃_⋅₁₀−3_m3_{- (}₁_,₄₀_⋅₁₀−4_m3₊₈_,₈₃_⋅₁₀−5_m3₊₇_,₇₀_⋅₁₀−4_m3_{) luft komprimeras i} denna volym i detta läge dvs. ₁_,₃₃_⋅₁₀−3_m3

13.5.2 Kolvläge 2 (x = 31,55):

13.5.2.1 Volym S1a-S3a

Kolvens läge har förändrats 6,55 mm i x-led från läge 1 och skillnaden i komprimerad volym

i detta läge är ∆ = − = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ≈ − − 3 3 2 3 2 2 ₎ ₍₍119,9 10 ₎ ₍39 10 ₎₎ ₆_,₅₅ ₁₀ ( π π r r h V ₆_,₆₀_⋅₁₀−5_m3

(59)

13.5.2.2 Volym S2a-S2b ≈ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − = ∆ 2 2 −3 2 −3₎₎ ₆_,₅₅ ₁₀−3 2 10 38 ( ) 2 10 95 (( ) ( π π r r h V _y _i ₃_,₉₀_⋅₁₀−5_m3

Detta ger ₇_,₇₀_⋅₁₀−4_m3_-₃_,₉₀_⋅₁₀−5_m3₌₇_,₃₁_⋅₁₀−4_m3_{luft. I detta läge börjar trycket att stiga i} kammaren då centrumrörshålen är helt stängda i detta läge.

13.5.2.3 Volym S1a-S1b

Den komprimerade volymen minskar lika mycket som volymen ökar i volym S3a-S1a. Det ger att den komprimerade volymen blir ₁_,₃₃_⋅₁₀−3_m3_-₆_,₆₀_⋅₁₀−5_m3 _≈₁_,₂₆_⋅₁₀−3_m3_{Trycket i} volymen ökar.

13.5.3 Kolvläge 3 (x = 54):

13.5.3.1 Volym S1a-S3a

I detta läge börjar luften i nedre kammaren att strömma ut genom fotventilen. Kolven har nu förflyttat sig ca 29 mm från läge 1.

≈ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − = ∆ 2 2 −3 2 −3₎₎ ₂₉ ₁₀−3 2 10 39 ( ) 2 10 119 (( ) ( π π r r h V _y _i ₂_,₉₂_⋅₁₀−4_m3

Volymen i den nedre kammaren är nu ₇_⋅₁₀−4_m3₊₂_,₉₂_⋅₁₀−4_m3 _≈₉_,₉₂_⋅₁₀−4_m3

13.5.3.2 Volym S2a-S2b ≈ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − = ∆ 2 2 −3 2 −3₎₎ ₂₉ ₁₀−3 2 10 38 ( ) 2 10 95 (( ) ( π π r r h V _y _i ₁_,₇₃_⋅₁₀−4_m3_→ volymen i kammaren är nu ₇_,₇₀_⋅₁₀−4_m3_-₁_,₇₃_⋅₁₀−4_m3 _≈₆_⋅₁₀−4_m3 13.5.3.3 Volym S1a-S1b

Volymen minskar i motsvarande mån som nedre volymen ökar. Det ger ₁_,₃₃_⋅₁₀−3_m3 -3 4 10 92 , 2 ⋅ − m ≈₁_,₀₄_⋅₁₀−3_m3_{komprimerad volym.}

(60)

Bilaga 2: Volymer 13.5.4 Kolvläge 4 (x = 75,3): 13.5.4.1 Volym S1a-S3a ≈ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − = ∆ 2 2 −3 2 −3₎₎ ₅₀_,₃ ₁₀−3 2 10 39 ( ) 2 10 119 (( ) ( π π r r h V _y _i ₅_,₀₇_⋅₁₀−4_m3

Volymen i den nedre kammaren är nu ₇_⋅₁₀−4_m3₊₅_,₀₇_⋅₁₀−4_m3 _≈₁_,₂₁_⋅₁₀−3_m3

13.5.4.2 Volym S2a-S2b Volymen i kammaren är nu ≈ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − = ∆ 2 2 −3 2 −3₎₎ ₂₁_,₃ ₁₀−3 2 10 38 ( ) 2 10 95 (( ) ( π π r r h V _y _i ₁_,₂₇_⋅₁₀−4_m3

Komprimerad volym blir ₆_⋅₁₀−4_m3_-₁_,₂₇_⋅₁₀−4_m3_≈₄_,₇₀_⋅₁₀−4_m3 I detta läge börjar systemtryck att flöda in eller ut ur kammaren.

13.5.4.3 Volym S1a-S1b

Komprimerad volym är nu ₁_,₃₃_⋅₁₀−3_m3_-₅_,₀₇_⋅₁₀−4_m3 _≈₈_,₂₀_⋅₁₀−4_m3

13.5.5 Kolvläge 5 (x = 89,3):

13.5.5.1 Volym S1a-S3a

Volymen i nedre kammaren har nu ökat till = ∆V ₇_⋅₁₀−4_m3₊ 3 , 50 3 , 64 10 07 , 5 _⋅ −4_m3_⋅ _≈₁_,₃₅_⋅₁₀−3_m3 13.5.5.2 Volym S2a-S2b 3 , 21 14 = ∆V _⋅₁_,₂₇_⋅₁₀−4_m3 _≈₈_,₃₃_⋅₁₀−5_m3

Volymen som nu är vid systemtryck börjar att komprimeras och är 3 4 10 70 , 4 _⋅ − m _-₈_,₃₃_⋅₁₀−5_m3 _≈₃_,₈₆_⋅₁₀−4_m3 13.5.5.3 Volym S1a-S1b

(61)

13.5.5.4 Volymer som funktion av kolvläget x

Övre kammarens volym som funktion av x (V_ok(x)):

3 3 3 3 2 3 2 3 3 10 44 , 1 0 10 20 . 4 10 44 , 1 ) ) 2 10 95 ( ) 2 10 9 , 119 (( 10 44 , 1 ) ( m volymen är x vid x x x V_ok − − − − − − ⋅ ≈ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = π

Bromskammarens volym som funktion av x (V_bk(x)):

3 4 3 4 2 3 2 3 4 10 19 , 9 0 10 95 , 5 10 19 , 9 ) ) 2 10 38 ( ) 2 10 95 (( 10 19 , 9 ) ( m volymen är x vid x x x V_bk − − − − − − ⋅ ≈ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = π

Nedre kammarens volym som funktion av x(V_nk(x)):

3 4 2 4 2 3 2 3 4 10 5 , 4 0 10 0096 , 1 10 5 . 4 ) ) 2 10 39 ( ) 2 10 9 , 119 (( 10 5 . 4 ) ( m volymen är x vid x x x V_nk − − − − − − ⋅ ≈ = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = π

(62)

(63)

14 Bilaga 3: Hålareor

14.1

Grundsamband : 0≤ x≤r         − − − − = arcsin( (2 )) (1 ) (2 ) ) ( x r x r x r x r x r r x A : 2r x r< ≤         − − − − − − = arcsin( (2 )) (1 (2 )) (2 ) ) ( 2 _x _r _x r x r r x r x r r r x A π r r x A(x)

(64)

Bilaga 3: Hålareor

14.2

Anpassad till lägeskoordinat

(Index hri avser hålrand i på hål nummer i)

Om man vill ha n st hål i=1, 2, 3..n

: ) ( 0≤ x_hri −x ≤r_i         − − −       − − − − − − ∑ = arcsin( ( )(2 ( ))) (1 ) ( )(2 ( )) ) ( x x r x x r x x r x x r x x r r x A _hri _i _hri i hri i hri hri i i n i i : 2 ) ( _hri _i i x x r r < − ≤         − − −       − − − − − − − − ∑ = )) ( 2 )( ( ) ) ( 2 1 ( ) )) ( 2 )( ( arcsin( ) ( 2 x x r x x r x x r r x x r x x r r r x A hri i hri i hri i i hri i hri i i i n i i π