Minimering av driftstopp med linjär multipel regressionsanalys

(1)

INOM

EXAMENSARBETE TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP

STOCKHOLM SVERIGE 2021,

Minimering av driftstopp med linjär multipel regressionsanalys

AGNES ÖIJAR JANSSON

EMMA ÖIJAR JANSSON

(2)

(3)

Abstract

This Bachelor Thesis in mathematical statistics has been implemented at Bulten AB, who produces fastening devices, such as nails, nuts and bolts. By using Multiple Li- near Regression, the causes of a specific machine’s non-productive time and how the production can be more efficient, were investigated.

Data related to the machine was received from Bulten and was thereafter carefully ex- amined and sorted. By using the method of ordinary least squares, a regression model was created. Its adequacy was controlled by the five fundamental assumptions for linear multiple regression. Thereafter, it was adjusted as regards the assumptions, multicollinearity and statistical significance. This enabled an analysis of the non-productive time.

It appeared that the eight hour morning shift has a downtime of 38.5%, which is slightly higher than the other shifts. Among the products, article 17202204000 has the highest downtime of 76.2%. Furthermore, The article 1770001000, which was clearly observed the most, has the lowest downtime of 28.2%. Set up time, Change of material and Small stops contribute the most to the total non-productive time. By using the method SMED, Set up time can possibly decrease to under 10 minutes per shift. Additionally, Change of material and Small stops are likely to decrease to some extent. These reductions would contribute to a decrease of the average percentage downtime per shift with more than 4% points. Consequently, the future production would be more efficient.

(4)

(5)

Sammanfattning

Detta kandidatexamensarbete i matematisk statistik har gjorts p˚a Bulten AB som tillverkar olika typer av fästelement s˚asom spikar, muttrar och bultar. Med hjälp av multipel linjär regression undersöktes vad som bidrar till en specifik maskins icke produktiva tid samt hur produktionen kan effektiviseras.

Stillest˚andsdata erh¨olls fr˚an Bulten som sedan granskades och sorterades noggrannt.

Därefter skapades en regressionsmodell med hjälp av minstakvadratmetoden. Model- lens lämplighet kontrollerades enligt de fem grundläggande antagandena som gäller vid linjär multipel regression, varefter den justerades med avseende p˚a antaganden, multikolinjäritet och statistisk signifikans.

Med hj¨alp av den framtagna modellen kunde maskinens icke-produktiva tid analyseras.

Det framgick att f¨ormiddagsskiftet p˚a 8 timmar har en n˚agot h¨ogre stopptid p˚a 38.5%

jämfört med övriga skift. Bland artiklarna har artikel 1702204000 den högsta stopptiden p˚a 76.2%. Artikel 1770001000 som observerades i särklass flest g˚anger har en stopptid p˚a endast 28.8%. De variabler som bidrog mest till den totala stopptiden var F aktisk ställtid, Sm˚astopp samt M aterialbyte. F aktisk ställtid kan eventuellt minskas till under 10 minuter per skift med metoden SMED och även Sm˚astopp och M aterialbyte bör kunna minskas n˚agot. Dessa reduceringar skulle minska den genomsnittliga procentuella stopptiden per skift med över 4%-enheter, vilket skulle effektivisera framtida produktion.

(6)

(7)

Inneh˚ all

1 Introduktion 1

1.1 Bakgrund . . . 1

1.2 Syfte . . . 1

1.3 Fr˚agest¨allningar . . . 1

2 Teori 2 2.1 Multipel linj¨ar regression . . . 2

2.1.1 Antaganden . . . 3

2.1.2 Minstakvadratmetoden . . . 3

2.1.3 Kontinuerliga och Kategoriska variabler . . . 4

2.2 Modellens l¨amplighet . . . 4

2.2.1 Antagande 1 - Linj¨aritet . . . 5

2.2.2 Antagande 2 - Exogenitet . . . 6

2.2.3 Antagande 3 - Homoskedasticitet . . . 6

2.2.4 Antagande 4 - Felen ¨ar okorrelerade . . . 7

2.2.5 Antagande 5 - Normalf¨ordelning . . . 7

2.2.6 R² och R²_adj . . . 9

2.3 Reducering av modellen . . . 10

2.3.1 Multikolinj¨aritet . . . 10

2.3.2 Signifikans . . . 11

3 Metod 12 3.1 Datainsamling . . . 12

3.2 Avgr¨ansningar . . . 13

3.3 Variabler . . . 13

3.3.1 Beroende variabel . . . 13

3.3.2 Oberoende variabler . . . 14

(8)

3.4 Grundmodell . . . 16

3.5 Analys av grundmodell . . . 16

3.5.1 Antagande 1 . . . 16

3.5.2 Antagande 2 . . . 17

3.5.3 Antagande 3 . . . 17

3.5.4 Antagande 4 . . . 17

3.5.5 Antagande 5 . . . 18

3.6 Reducering av grundmodell . . . 18

3.6.1 ˚Atg¨arder av icke-verifierade antaganden . . . 19

3.6.2 Multikolinj¨aritet . . . 20

3.6.3 Signifikans . . . 23

4 Resultat 23 4.1 Slutgiltig modell . . . 23

4.2 Vad orsakar mest stillest˚and hos maskinen? . . . 24

4.3 Vilken typ av skift/artikel ger h¨ogst procentuell stopptid? . . . 24

4.4 Hur kan stopptiden minskas i framtiden? . . . 25

5 Diskussion 26

6 Slutsats 27

Referenser 28

Bilagor 30

(9)

1 Introduktion

1.1 Bakgrund

Bulten AB grundades 1873 i Hallstahammar och är idag en av de största leverantörerna av fästelement till den internationella fordonsindustrin [1]. Fästelement är skruvar, muttrar och andra mindre delar som h˚aller ihop större konstruktioner. Audi, BMW, Ford, Tesla, Volvo och Scania är n˚agra av de företag som köper Bultens produkter.

De erbjuder ett brett sortiment av fästelement; fr˚an standardprodukter till tekniska specialprodukter. Företaget har ca 1600 anställda världen över med produktion i bland annat Sverige, Tyskland, USA och Ryssland.

För att kunna tillverka alla produkter krävs ett antal olika maskiner och det är sv˚art att ständigt ha en effektiv produktion. Ofta uppkommer m˚anga fel och störningsmoment som leder till tillfälliga produktionsstopp. Genom att analysera orsakerna bakom detta kan driftstoppen minimeras och produktionen effektiviseras.

1.2 Syfte

Detta kandidatexamensarbete inom matematisk statistik är främst relevant för företaget Bulten AB. Syftet är att ge en utförlig beskrivning p˚a vilka parametrar som bidrar till en specifik maskins icke produktiva tid, samt undersöka hur framtida produktion kan effektiviseras. Analysen möjliggörs med hjälp av en linjär multipel regressionsanalys.

1.3 Fr˚ agest¨ allningar

Genom analys av regressionsmodellen som tas fram kan f¨oljande fr˚agor besvaras:

1. Vad orsakar mest stillest˚and hos maskinen?

2. Vilken typ av skift/artikel ger h¨ogst procentuell stopptid?

3. Hur kan stopptiden minskas i framtiden?

(10)

2 Teori

2.1 Multipel linj¨ ar regression

Multipel linjär regression används för att undersöka samband mellan en beroende variabel (responsvariabel) och flera oberoende variabler (kovariater) [2]. Modellen kan beskrivas enligt följande:

y_i = β₀+

k

X

j=1

β_jx_ij + ε_i i = 1, 2, . . . , n (1)

I modellen är y den beroende variabeln och x de oberoende variablerna. Antalet observationer är n och antalet kovariater är k. Regressionskoefficienterna β är okända och skattas med hjälp av minstakvadratmetoden, som beskrivs i avsnitt 2.1.2. Den sista termen ε är en felterm.

Vid multipel linjär regression underlättar det att använda matrisnotation enligt följande [2]:

y = Xβ + ε, (2)

d¨ar

y =





 y₁ y₂ ... y_n







, X =







1 x₁₁ x₁₂ . . . x_1k 1 x₂₁ x₂₂ . . . x_2k ... ... ... ... 1 x_n1 x_n2 . . . x_nk







, β =





 β₀ β₁ ... β_k







, ε =





 ε₁ ε₂ ... ε_n





 .

(11)

2.1.1 Antaganden

För att kunna genomföra en multipel linjär regressionsanalys m˚aste ett antal antaganden göras [2]:

1. Den beroende variabeln och kovariaterna har ett linj¨art samband.

2. Feltermen har v¨antev¨ardet E(ε) = 0.

3. Feltermen har konstant varians, V (ε) = σ². 4. Felen ¨ar okorrelerade.

5. Felen ¨ar normalf¨ordelade.

2.1.2 Minstakvadratmetoden

Minstakvadratmetoden används för att skatta de okända regressionskoefficienterna β₀, β₁,..., β_k i ekvation (1) [2]. De skattade värdena betecknas ˆβ. För att kunna bestämma regressionskoefficienterna m˚aste det finnas fler observationer än regressionskoefficienter.

Syftet med denna metod är att ˆβ beräknas s˚a att summan av residualerna, e_i = y_i− ˆy_i, i kvadrat minimeras. Minstakvadratfunktionen som ska minimeras skrivs p˚a följande sätt:

S(β) =

n

X

i=1

ε²_i = ε⁰ε = (y − Xβ)⁰(y − Xβ) (3)

Skattningarna av de minsta kvadraterna m˚aste uppfylla f¨oljande:

∂S

∂β = −2X⁰y + 2X⁰Xˆβ = 0 (4)

vilket kan skrivas om till:

X⁰Xˆβ = X⁰y (5)

Minsta-kvadrat skattningarna av β blir d¨armed:

β = (Xˆ ⁰X)⁻¹X⁰y (6)

(12)

2.1.3 Kontinuerliga och Kategoriska variabler

För att skapa en regressionsmodell som kan användas för att förutsäga värdet p˚a en beroende variabel behövs oberoende variabler. Dessa kan antingen vara kontinuerliga eller kategoriska [3].

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler antar ett v¨arde p˚a en kontinuerlig skala, vilket exempelvis kan vara l¨angd, vikt och tid [4].

Kategoriska variabler

Kategoriska variabler har generellt inte n˚agon naturlig skala för mätning, vilket exempelvis kan vara kön, sjukdomstyp eller skift [2]. Till exempel kan en kategorisk variabel som skift ha följande kategorier:

(1) F¨ormiddagsskift 8h (2) Eftermiddagsskift 9h (3) Nattskift 7.2h

(4) Nattskift 10.2h

När en kategorisk variabel introduceras i en modell kommer en av kategorierna att vara referenskategori och övriga kategorier kommer att jämföras med den referensen [3].

L˚at (1) vara referenskategorin i detta exempel. Regressionskoefficienter skattas f¨or de

övriga kategorierna med hjälp av minstakvadratmetoden. Om (2) har regressionskoefficienten 1.5 innebär det att värdet p˚a responsvariabeln är 1.5 enheter högre jämfört med (1). S˚aledes är eftermiddagsskiftet p˚a 9h associerat med högre värde p˚a responsvariabeln jämfört med förmiddagsskiftet p˚a 8h.

2.2 Modellens l¨ amplighet

För att en regressionsmodell ska vara lämplig m˚aste alla antaganden som är listade i avsnitt 2.1.1 vara uppfyllda [2]. I detta avsnitt förklaras hur dessa kan verifieras, vilka orsakerna kan vara d˚a de ej uppfylls samt vilka ˚atgärder som kan göras. Dessutom introduceras tv˚a m˚att som mäter modellens generella lämplighet, R² och R²_adj.

(13)

2.2.1 Antagande 1 - Linj¨aritet

Ett grundläggande antagande vid linjär multipel regression är att det ska finnas ett linjärt samband mellan responsvariabeln och kovariaterna.

Verifiering

Linjäriteten hos en modell kan undersökas med en Residuals vs Fitted plot, där residualer (e = y − ˆy) plottas mot motsvarande fitted values (ˆy = X ˆβ) [2]. Figur 1 visar möjliga mönster för en s˚adan plot (här med extarnally studentized residuals, t_i, p˚a y-axeln, men principen är densamma).

Figur 1: Mönster för Residuals vs Fitted plots: (a) tillfredsställande; (b) tratt; (c) dubellb˚age; (d) icke linjär.

Mönster (a) tyder p˚a att modellen inte har n˚agra uppenbara fel och en kurvad plot som i (d) indikerar p˚a att modellen är icke-linjär [2]. D˚a medelvärdet av residualerna

¨

ar konstant samt d˚a punkterna ligger slumpvis runt denna linje kan modellen antas vara linj¨ar [5].

Orsak

Orsaker till icke-linjäritet kan vara att kovariater saknas i modellen eller att sambandet mellan responsvariabeln och kovariaterna inte är linjärt [2].

(14)

˚Atg¨ard

I vissa fall kan icke-linjära funktioner linjäriseras med hjälp av passande transformation [2]. Till exempel kan exponentialfunktioner linjäriseras med hjälp av logaritmisk transformation.

2.2.2 Antagande 2 - Exogenitet

Exogenitet innebär att feltermen har väntevärdet E(ε) = 0. Endogenitet är motsatsen, vid vilken antagande 2 ej uppfylls.

Verifiering

Att väntevärdet E(ε) = 0 kan inte verifieras genom residualerna eftersom de tvingas till väntevärdet noll när β tas fram genom minstakvadratmetoden [6]. S˚aledes m˚aste detta antagande antas vara uppfyllt.

Orsak

I denna analys antas exogenitet r˚ada, även d˚a endogenitet är n˚agot som kan förekomma i en regressionsmodell. Det är därför viktigt att situationerna som listas nedan undviks.

Förekomsten av endogenitet kan ske p˚a m˚anga olika sätt [7]. Nedan följer n˚agra vanliga situationer d˚a endogenitet kan uppst˚a:

? Datan har ej valts slumpm¨assigt.

? Den beroende variabeln p˚averkar en eller flera av kovariaterna och vice versa.

? Relevanta kovariater har utel¨amnats.

? M¨atfel i kovariaterna.

˚Atg¨ard

För att bli av med endogenitet kan möjligtvis Instrumental variables införas [7]. Detta

¨ar det absolut vanligaste s¨attet att hantera endogenitet p˚a.

2.2.3 Antagande 3 - Homoskedasticitet

Homoskedasticitet ¨ar d˚a feltermen har konstant varians [8]. Heteroskedasticitet ¨ar motsatsen, vid vilken antagande 3 ej uppfylls.

Verifiering

Huruvida feltermen har konstant varians kan unders¨okas med en Residuals vs Fitted

(15)

plot [2]. För att antagandet ska verifieras krävs att residualerna ligger inom ett hori- sontellt band längs den horisontella axeln [5]. Mönster (a) i figur 1 ovan indikerar p˚a homoskedasticitet, medan mönster (b) och (c) indikerar p˚a heteroskedasticitet [2].

˚Atg¨ard

Oftast används passande transformation p˚a responsvariablen för att stabilisera variansen [2]. D˚a responsvariabeln är en proportion mellan 0 och 1 samt d˚a plotten har mönster (c) fr˚an figur 1 är arcsin transformationen passande.

2.2.4 Antagande 4 - Felen ¨ar okorrelerade

Autokorrelation är när feltermer korrelerar med varandra, det vill säga när felterm i korrelerar med felterm i − 1 [2]. Detta innebär att antagande 4 ej uppfylls.

Verifiering

För att undersöka om felen är autokorrelerade kan Durbin-Watson testet utföras [2].

Testet ger värden, d, fr˚an 0 till 4, men för okorrelerade fel ska värdet vara approximativt 2. Formeln för testet är följande:

d = PT

t=2(e_t− e_t−1)² PT

t=1e²_t , (7)

d¨ar e_t, t = 1, 2, ..., T ¨ar residualerna fr˚an minstakvadratmetoden.

Orsak

Autokorrelation kan exempelvis förekomma d˚a antagandet om linjäritet inte uppfylls eller om relevanta variabler har utelämnats [9].

˚Atg¨ard

För att ˚atgärda autokorrelation kan variabler ses över och finjusteras [9].

2.2.5 Antagande 5 - Normalf¨ordelning

Det sista grundläggande antagandet vid linjär multipel regression är att felen ska vara normalfördelade.

Verifiering

För att undersöka om felen är normalfördelade kan en Normal Quantile-Quantile (Normal Q-Q) plot göras, där de standardiserade residualerna plottas mot de teoretiska kvantilerna [10]. Vid normalfördelning ska punkterna i grafen ligga approximativt

(16)

längs en rak linje. Om felen är normalfördelade kan ocks˚a undersökas med hjälp av ett histogram. I figur 2 nedan ˚ask˚adliggörs ett histogram samt en Normal Q-Q plot vid normalfördelning.

Figur 2: Histogram och Normal Q-Q plot vid normalf¨ordelning.

˚Atg¨ard

För att ˚atgärda icke normalfördelade fel kan Box-Cox-transformation p˚a responsvariabeln användas [2]. Denna transformation kan ocks˚a tillämpas d˚a variansen inte är konstant. Box-Cox-transformation p˚a responsvariabeln är allts˚a en lämplig metod för att rätta till antagande 3 och 5.

Vid Box-Cox-transformation transformeras responsvariabeln y enligt f¨oljande formel [11]:

y(λ) =

(_yλ−1

λ if λ 6= 0

log(y) if λ = 0 (8)

Parametern λ skattas med metoden maximum-likelihood:

L(λ) = −n

2log(SS_Res(λ) /n) + (λ − 1)X

log(y_i) (9)

.

Ett approximativt konfidensintervall för λ kan bestämmas, vilket underlättar det slutgiltiga valet av λ. Ett 100(1-α)% konfidensintervall för λ är [11]:

{λ : L(λ) > L(ˆλ) −1

2χ²_1,α}. (10)

(17)

D˚a felrisken α = 5% blir konfidensgraden 95% [12]. Detta inneb¨ar att ett optimalt ˆλ kommer finnas inom konfidensintervallet med 95% sannolikhet.

F¨or att best¨amma ett optimalt ˆλ kan L(λ) = plottas mot λ tillsammans med konfidensintervallet. I figur 2 visas ett exempel p˚a hur en s˚adan plot kan se ut.

Figur 3: Log-likelihood plot med konfidensintervall.

I detta fall kan ett optimalt värde väljas till ˆλ = 0.85. Om λ = 1 finns i konfidensintervallet är en transformation inte nödvändig [2].

2.2.6 R² och R²_adj

Coefficient of multiple determination, R², är ett ofta förekommande m˚att p˚a den generella lämpligheten hos en modell [2]. R² uppskattar styrkan p˚a det linjära sambandet mellan olika variabler och antar ett värde mellan 0 och 1 [13]. D˚a den antar värdet 0 finns inget samband och d˚a den antar värdet 1 finns ett perfekt linjärt samband, vilket indikerar p˚a en tillförlitlig modell för framtida prediktioner. R² beräknas enligt följande formel:

R² = 1 − SS_RES

SS_T (11)

Här är SS_RES residual sum of squares och SS_T total sum of squares, vilka beräknas enligt nedan:

SS_Res = y⁰y − ˆβX⁰y, (12)

(18)

SST = y⁰y − (Pn i=1y_i)²

n , (13)

d¨ar n ¨ar antalet observationer. Problematik kan dock uppst˚a vid tolkning av R² [2].

Denna minskar generellt aldrig när kovariater adderas till modellen, oavsett om variabeln är nödvändig för modellen eller ej. Det kan därför vara sv˚art att bedömma om en ökning av R² verkligen innebär en förbättring av modellen. För att undvika denna problematik används ofta ett justerat m˚att p˚a lämpligheten, R²_adj. Denna ökar nödvändigtvis inte d˚a kovariater läggs till, utan minskar istället när onödiga variabler adderas. R²_adj beräknas enligt följande:

R²_adj = 1 − SS_Res/(n − p)

SST/(n − 1) , (14)

där p är antalet kovariater. Med hjälp av R² och R²_adj kan s˚aledes lämpligheten hos olika modeller undersökas.

2.3 Reducering av modellen

F¨or att en regressionsmodellen ska bli adekvat reduceras den vid behov enligt f¨oljande steg:

1. ˚Atg¨arder av icke-verifierade antaganden.

2. Multikolinj¨aritet.

3. Signifikans.

2.3.1 Multikolinj¨aritet

Multikolinjäritet är ett ofta förekommande problem som uppst˚ar när kovariater är nära linjärt beroende [2]. Multikolinjäritet gör det problematiskt att bestämma regressionskoefficienterna β och det blir sv˚art att skilja p˚a kovariaternas respektive effekt p˚a responsvariabeln.

För att undvika multikolinjäritet bör m˚anga observationer göras där värdet p˚a variablerna varierar [2]. Om det änd˚a uppst˚ar kan en eller flera variabler uteslutas eller möjligen sammanfogas.

(19)

Det finns m˚anga olika tekniker för att upptäcka multikolinjäritet, men i denna analys används Variance Inflation factors (VIF) [14]. Om VIF överskrider 5 är det en indika- tion p˚a att motsvarande regressionskoefficient är d˚aligt skattad p˚a grund av multiko- linjäritet. VIF beräknas enligt följande formel [2]:

V IFj = 1

(1 − R_j²), (15)

där R_j² är Coefficient of Multiple Determination fr˚an regression av kovariat j p˚a övriga kovariater. Denna beskriver styrkan p˚a sambandet mellan kovariat j och övriga kovariat och antar ett värde mellan 0 och 1. Hur R² beräknas beskrivs utförligt i avsnitt 2.2.6

2.3.2 Signifikans

Statistiskt signifikant inneb¨ar att det finns ett samband mellan den beroende variabeln och den oberoende variabeln [3]. Om ett kovariat inte ¨ar statistiskt signifikant exkluderas det fr˚an modellen.

För att säkerställa om ett statistiskt signifikant samband finns mellan den beroende variabeln och den oberoende variablen m˚aste en hypotesprövning göras där nollhypotesen testas. För att kunna genomföra en hypotesprövning behöver en signifikansniv˚a, α_krit, specificeras [15]. Signifikansniv˚an är sannolikheten att H₀ avvisas givet att H₀ är sann. α_krit sätts vanligen till 0.10, 0.05 eller 0.01, men i denna analys används 0.05.

Nollhypotesen, H₀, kan formuleras p˚a olika sätt men den ska alltid vara enkel [15]. I denna analys kommer nollhypotesen att formuleras p˚a följande sätt:

H0 : βj = 0 (16)

Utöver nollhypotesen m˚aste även en mothypotes definieras, vilken betecknas H1. Denna hypotes är alltid det motsatta till H₀. Med H₀ definierat enligt ekvation (16) formuleras H₁ p˚a detta sätt:

H₁ : β_j 6= 0 (17)

t-testet som definieras enligt ekvation (18) kan anv¨andas f¨or att testa nollhypotesen:

t₀ = βˆ_j

se( ˆβ_j), (18)

(20)

där se( ˆβ_j) är standardfelet p˚a regressionskoefficienten [2]. D˚a regressionsmodellen ska- pas med hjälp av statistikprogrammet R översätts det aktuella t-värdet automatiskt till ett p-värde [3]. Nollhypotesen förkastas om α_krit ≥ p [15]. Med andra ord beh˚alls den oberoende variabeln d˚a p antar ett värde som är mindre än α_krit.

Vid multipel regression är det möjligt att flera kovariater har ett p-värde som är över α_krit, men alla kan inte uteslutas samtidigt. För att avgöra vilka variabler som ska ing˚a i modellen används backward elimination, som beskrivs stegvis nedan [16]:

1. Starta med alla kovariater i modellen.

2. Ta bort den minst signifikanta variabeln: den med högst p-värde över α_krit. 3. Upprepa steg 2 tills alla p-värden är mindre än αkrit.

3 Metod

I detta avsnitt beskrivs genomförandet av arbetet. Vid framtagning av regressionsmo- deller samt vid beräkningar och analyser användes den tidigare beskrivna teorin samt statistikprogrammet R. Programkoden finns i Bilaga C.

3.1 Datainsamling

Stillest˚andsdata för en specifik maskin erhölls fr˚an företaget Bulten AB i Hallstaham- mar. Informationen i detta dokument har rapporterats in av den personal som har utfört sitt arbete vid maskinen och dokumentet inneh˚aller information fr˚an januari 2015 till mars 2021. Eftersom maskinens stopptider inte automatiskt blivit inrappor- terade finns risk för att en del information saknas.

För att redigera och sortera ursprungsdatan till den version som skulle analyseras genomfördes ett omfattande arbete i excel. För att s˚a smidigt som möjligt utföra denna reducering skapades pivottabeller och flera olika formler användes.

Ursprungsdatan inneh¨oll 1655 observationer samt 25 potentiella kovariater och en del

övrig information som datum och planerad skifttid. För att regressionsmodellen skulle bli rimlig behövdes dock n˚agra avgränsningar göras (se avsnitt 3.2). Avgränsningarna gjordes för att endast den data som var relevant för analysen skulle finnas med i den version som analyserades. Efter beaktning av dessa avgränsningar innehöll den komprimerade versionen 921 observationer och 13 kovariater.

(21)

3.2 Avgr¨ ansningar

F¨oljande avgr¨ansningar gjordes:

? D˚a syftet med regressionsmodellen ¨ar att se hur den procentuella stopptiden per skift beror av olika variabler tas endast de variabler som anses relevanta f¨or stopptiden med i analysen.

? Kontinuerliga variabler som ¨ar relevanta f¨or analysen, men som endast inneh˚aller information ett f˚atal g˚anger, exkluderas.

? De kategoriska variablerna skift, anställningsnummer och artikelnummer har flera kategorier varav n˚agra endast observeras enstaka g˚anger. De kategorier som observeras vid färre än 5 tillfällen utesluts fr˚an analysen.

? Observationer där mindre än 95% av stopptiden är dokumenterad samt mer än 105% av stopptiden är dokumenterad, tas bort.

? D˚a information om skift, anst¨allningsnummer eller artikelnummer saknas, exkluderas observationen.

? Observationer med 100% stopptid utesluts fr˚an analysen. Tanken ¨ar att modellen bygger p˚a att maskinen inte st˚ar stilla under ett helt skift.

3.3 Variabler

I detta avsnitt presenteras de variabler som ing˚ar i grundmodellen.

3.3.1 Beroende variabel

Den beroende variabeln i regressionsmodellen beskriver den procentuella stopptiden per skift och definieras enligt f¨oljande:

? P rocentuell stopptid per skif t = Skif ttid − P roduktiv tid

Skif ttid ,

Skif ttid = P laneradskif ttid + ¨overtid P roduktivtid = F aktisk kvantitet (st)

F aktisk hastighet (st/min) · ₁₆₀¹

De ing˚aende parametrarna ˚aterfinnns i den ursprungliga datan.

(22)

3.3.2 Oberoende variabler

De oberoende variablerna best˚ar dels av kontinuerliga variabler och dels av kategoriska variabler.

Kontinuerliga variabler

Alla kontinuerliga variabler beskriver tid i antal timmar som makinen st˚ar stilla p˚a grund av den variabeln.

? Faktisk ställtid : anger den tid det tar för maskinen att ställas i ordning, ställas av och ställas om. Ställtid är till exempel den tid det tar att göra en omställning fr˚an en artikel till en annan.

? Fr˚anvaro personal : beskriver den tid det saknas ¨onskad personal vid maskinen, till exempel d˚a n˚agon ¨ar sjuk eller VAB.

? Ingen personal : anger den tid maskinen st˚ar stilla p˚a grund av att det ¨ar obe- mannat.

? Operatörsunderh˚all : anger den tid maskinen st˚ar stilla p˚a grund av ope- ratörsunderh˚all, dvs rutinmässiga underh˚allsaktiviteter p˚a maskinen som rengöring, smörjning, m.m. som utförs av maskinoperatörer.

? Inga verktyg: anger tiden d˚a maskinen st˚ar stilla till följd av att önskade verktyg inte finns tillgängliga.

? Byte förslitningsverktyg: anger tiden d˚a maskinen st˚ar stilla p˚a grund av att förslitningsverktyg, exempelvis hylsa, stans och gängback, byts ut.

? Materialbyte: beskriver den tid maskinen st˚ar stilla till f¨oljd av att maskinens material (delar som till exempel tr˚adringar som skruven formas av) byts ut.

? Sm˚astopp: beskriver den tid maskinen st˚ar stilla p˚a grund av sm˚astopp. Till exempel när skruven matas i rännor mellan olika stationer i maskinen kan den fastna p˚a vägen och hindra flödet.

? Reparationsunderh˚all : anger den tid maskinen st˚ar stilla p˚a grund av reparation där akuta underh˚all eller förebyggande underh˚all är involverade.

? Övrigt : beskriver den tid d˚a maskinen st˚ar stilla till följd av s˚adant som inte hör till de andra kategorierna eller tid som inte kan specificeras, som till exempel kafferaster.

(23)

Kategoriska variabler

? Skift : De som arbetar vid maskinen jobbar olika skift som kan delas in i f¨oljande kategorier:

- F 8h: f¨ormiddagsskift 8h - E 9h: eftermiddagsskift 9h - N 10.9h: nattskift 10.9h - N 7.2h: nattskift 7.2h

? Anställningsnummer : De personer som jobbar vid maskinen har olika an- ställningsnummer. Ibland arbetar de själva och ibland tillsammans med andra.

F¨or att minska antalet kategorier har en egen kategori skapats f¨or de skift d˚a tv˚a personer arbetar tillsammans:

- 2: tv˚a personer jobbar tillsammans - 2290

- 3023 - 3045 - 3203 - 3209 - 3242 - 3395 - 3400 - 3418 - 3427 - 3461 - 3470 - 3471 - 6167

? Artikelnummer : Maskinen kan tillverka olika artiklar och det är därför intressant att analysera hur de olika artiklarna p˚averkar stillest˚andstiden. P˚a samma sätt som ovan har en egen kategori skapats för de fall d˚a flera artiklar tillverkas under samma skift:

- FLERA: flera artiklar tillverkas under skiftet - 1701600000

(24)

- 1701609000 - 1701876000 - 1702069000 - 1702091000 - 1702204000 - 1705495000 - 1708263000 - 1728012000 - 1758027000 - 1770001000 - 1770002000 - 1772101000 - 1772110000 - 2800314001

3.4 Grundmodell

Grundmodellen skapades med hjälp av 921 observationer och best˚ar av 13 kovariater, det vill säga alla variabler som är listade i föreg˚aende avsnitt. Regresssionskoeffici- enterna β skattades med minsta kvadratmetoden. I Bilaga A ˚aterfinns de skattade regressionskoefficienterna med konfidensintervall och p-värde. Signifikansniv˚an valdes till α_Krit = 5% och konfidensgraden blev s˚aledes 95%. Modellens generella lämplighet kan beskrivas av coefficient of multiple determination, R² = 0.938 och R²_adj = 0.935.

3.5 Analys av grundmodell

För att kontrollera modellens lämplighet genomfördes en full residualanalys, dvs en analys av feltermerna. Detta gjordes genom att kontrollera antagandena som är listade i avsnitt 2.2.1. Om inte alla antaganden uppfylldes justerades modellen (se avsnitt 3.6).

3.5.1 Antagande 1

Enligt det första antagandet ska det r˚ada ett linjärt samband mellan den beroende variabeln och kovariaterna. Med hjälp av en Residuals vs Fitted plot kunde denna

(25)

linjäritet undersökas. Mönster (a) i figur 1 i teoriavsnitt 2.2.1 visar hur en s˚adan plot ser ut d˚a inga uppenbara modellfel existerar och figur 3 visar motsvarande plot för grundmodellen.

Figur 4: Residuals vs Fitted plot f¨or grundmodellen.

Fr˚an figur 4 kan utläsas att medelvärdet av residualerna (den röda linjen) nästan är konstant samt att de ligger slumpvis runt denna linje. Det g˚ar därför att konstatera att det finns ett relativt linjärt samband mellan kovariaterna och den beroende variabeln.

Antagande 1 kan d¨armed verifieras.

3.5.2 Antagande 2

Enligt teorin i avsnitt 2.2.2 m˚aste grundmodellen uppfylla detta antagande, det vill säga att feltermen har väntevärdet E(ε) = 0.

3.5.3 Antagande 3

Enligt antagande 3 ska feltermen ha konstant varians, vilket unders¨oktes med en Re- siduals vs Fitted plot (se figur 4 ovan). I detta fall finns en antydan till att variansen

ökar n˚agot efter 0.5. Detta bör dock kunna ˚atgärdas med Box-Cox-transformation p˚a responsvariabeln.

3.5.4 Antagande 4

För att kontrollera om antagande 4 uppfylls, användes Durbin-Watson testet som be- skrevs i avsnitt 2.2.4. Ett värde p˚a 1.97948 erhölls, vilket enligt teorin innebär att felen

¨ar okorrelerade. S˚aledes kan antagande 4 verifieras.

(26)

3.5.5 Antagande 5

Enligt antagande 5 ska felen i modellen vara normalfördelade. Detta undersöktes genom att göra en Normal Q-Q plot samt ett histogram, vilka visas i figur 5 och 6.

Figur 5: Normal Q-Q plot f¨or grundmodellen.

Figur 6: Histogram f¨or grundmodellen.

Fr˚an figur 5 framg˚ar det att felen i grundmodellen inte är normalfördelade. Mönstret tyder p˚a att fördelningen är heavy-tailed, vilket innebär att modellen har m˚anga fler extremvärden jämfört med om residualerna var normalfördelade [10]. Problemet bör dock g˚a att ˚atgärda med Box-Cox-transformation p˚a responsvariabeln.

3.6 Reducering av grundmodell

Grundmodellen reducerades enligt stegen listade i teoriavsnitt 2.3.

(27)

3.6.1 ˚Atg¨arder av icke-verifierade antaganden

Genom analys av grundmodellen uppt¨acktes att tv˚a av fem antaganden ej ¨ar uppfyllda.

Feltermen har inte helt konstant varians och felen är inte fullt normalfördelade. Detta kan eventuellt ˚atgärdas med Box-Cox-transformation.

Funktionen Boxcox() i R användes för att ta fram den bästa transformationen. Enligt figur 7 nedan och teorin ska λ = 0, 85 ge den bästa transformationen.

Figur 7: Log-likelihood plot f¨or best¨amning av optimalt λ.

Box-Cox-transformationen p˚a responsvariabeln blev d¨armed f¨oljande:

y(0.85) = y^0,85− 1 0, 85

En ny Residuals vs Fitted plot samt Normal Q-Q plot gjordes f¨or modellen med den framtagna transformationen. Dessa visas i figur 8 och 9.

Figur 8: Residuals vs Fitted plot efter Box-Cox transformation.

(28)

Figur 9: Normal Q-Q plot efter Box-Cox transformation.

Genom granskning av de nya figurerna konstaterades att antagandena, trots transformationen, inte uppfylls. Regressionsmodellen blir allt˚a inte bättre efter Box-Cox- transformation. Detta kan möjligen förklaras av att det verkliga värdet p˚a responsvariabeln y maximalt kan vara 1, men eftersom modellen är linjär kan fitted values, ˆy,

överstiga 1, vilket automatisk gör residualerna negativa [6]. S˚aledes blir det sv˚art att f˚a en perfekt modell eftersom det alltid kommer finnas residualer i den nedre högra delen.

D˚a modellen inte blev bättre av transformationen, utan snarare sämre, behölls den ursprungliga modellen. Modellen kan trots allt anses vara tillräckligt linjär, homoske- dastisk, normalfördelad och s˚a vidare för att kunna applicera linjär regression.

3.6.2 Multikolinj¨aritet

Multikolinjäriteten hos modellen kontrollerades med hjälp av VIF. I tabell 1 presenteras VIF-värdena för alla kovariater.

(29)

Kovariat VIF

Skift 6.378601

Anställningsnummer 17.483685 Artikelnummer 4.752340 Faktisk ställtid 1.606214 Fr˚anvaro personal 1.038647 Ingen personal 1.081609 Operatörsunderh˚all 1.322380 Inga verktyg 1.157151 Byte förslitningsverktyg 1.315243 Materialbyte 1.853594 Sm˚astopp 1.226362 Reparationsunderh˚all 1.292484 Ovrigt¨ 1.219180 Tabell 1: VIFs för grundmodellen.

Det framg˚ar att b˚ade anställningsnummer och skif t har ett VIF-värde som överstiger 5, vilket klassas som för högt. Anledningen kan vara att korrelation r˚ader mellan anställningsnummer och skif t. En undersökning av datan visar att m˚anga anställda endast arbetar vissa skift. En del arbetar till exempel bara nattskift och somliga endast förmiddagsskift eller eftermiddagsskift. Med andra ord beror anställningsnummer och skif t i hög grad av varandra, vilket kan vara anledningen till de höga VIF-värdena.

Detta problem skulle kunna ˚atgärdas genom att utesluta antingen antällningsnummer eller skif t fr˚an modellen. B˚ada alternativen testas och de nya VIF-värdena fr˚an respektive fall redovisas i tabell 2 och 3.

(30)

Kovariat VIF

Skift 1.369221

Artikelnummer 2.697781 Faktiskt st¨alltid 1.52551 Fr˚anvaro personal 1.030244

Ingen personal 1.156638 Operat¨orsunderh˚all 1.156638 Inga verktyg 1.113951 Byte f¨orslitningsverktyg 1.168969 Materialbyte 1.691767 Sm˚astopp 1.172917 Reparationsunderh˚all 1.234505 Ovrigt¨ 1.152397

Tabell 2: VIFs f¨or modellen utan anst¨allningnummer.

Kovariat VIF

Anställningsnummer 3.753022 Artikelnummer 4.435723 Faktiskt ställtid 1.543683 Fr˚anvaro personal 1.036955 Ingen personal 1.078075 Operatörsunderh˚all 1.301236 Inga verktyg 1.143492 Byte förslitningsverktyg 1.274790 Materialbyte 1.740657 Sm˚astopp 1.188125 Reparationsunderh˚all 1.263476 Ovrigt¨ 1.202766 Tabell 3: VIFs för modellen utan Skift.

Det framg˚ar att b˚ada alternativen genererar VIF-värden som tydligt undesrkrider värdet 5. Detta innebär att b˚ada alternativen genererar bra modeller. Eftersom det

är av intresse att undersöka hur b˚ade skift samt anställningsnummer p˚averkar den procentuella stopptiden beh˚alls b˚ada modellerna.

(31)

3.6.3 Signifikans

För att avgöra vilka variabler som är statistiskt signifikanta i de tv˚a modellerna användes backward elimination. Niv˚aerna i de kategoriska variablerna undersöktes inte var för sig, utan de slogs samman. Eftersom inget kovariat hade ett p-värde över signifikansniv˚an, α_krit= 0.05, kunde alla beh˚allas i modellerna.

4 Resultat

4.1 Slutgiltig modell

De slutgiltiga modellernas regressionskoefficienter β, konfidensintervall och p-v¨arden

˚aterfinns i Bilaga B. Precis som i grundmodellen ¨ar signifikansniv˚an α_Krit = 5% och konfidensgraden 95%.

Modell utan anst¨allningsnummer

? Samma kovariat som i grundmodellen fast utan Anst¨allningsnummer

? Alla antaganden ¨ar uppfyllda

? Ingen multikolinj¨aritet

? Alla variabler ¨ar statistiskt signifikanta

? R² = 0.934 och R²_adj = 0.932

Modell utan skift

? Samma kovariat som i grundmodellen fast utan Skif t

? Alla antaganden ¨ar uppfyllda

? Ingen multikolinj¨aritet

? Alla variabler ¨ar statistiskt signifikanta

? R² = 0.914 och R²_adj = 0.911

(32)

4.2 Vad orsakar mest stillest˚ and hos maskinen?

För att ta reda p˚a vad som orsakar mest stillest˚and hos maskinen användes den komprimerade datan. Stopptiden för alla observationer summerades för respektive variabel (kontinuerlig variabel). Resultatet redovisas i tabell 4.

Kovariat Stopptid [h]

Faktisk st¨alltid 502.8 Fr˚anvaro personal 34.9

Ingen personal 29.2

Operat¨orsunderh˚all 141.3

Inga verktyg 83.4

Byte f¨orslitningsverktyg 377.3

Materialbyte 654.9

Sm˚astopp 524.3

Reparationsunderh˚all 273.3

Ovrigt¨ 205.8

Tabell 4: Totala stopptider f¨or olika kovariat.

Fr˚an tabell 4 kan utläsas att M aterialbyte, Sm˚astopp och F aktisk ställtid är de kovariater som orsakar mest stillest˚and hos maskinen.

4.3 Vilken typ av skift/artikel ger h¨ ogst procentuell stopptid?

För att ta reda p˚a vilket skift samt vilken artikel som orsakar mest stillest˚and hos maskinen användes den komprimerade datan. Den genomsnittliga procentuella stopptiden för alla observationer inom de olika kategorierna beräknades. Resultatet redovisas i tabell 5 och 6 nedan.

Skift Antal observationer Genomsnittlig procentuell stopptid [%]

F 8h 301 38.5

E 9h 249 36.3

N 10,9h 91 35.3

N 7,2h 280 34.1

Tabell 5: Genomsnittlig procentuell stopptid f¨or olika skift.

(33)

Artikelnummer Antal observationer Genomsnittlig procentuell stopptid [%]

1701600000 23 36.6

1701609000 20 36.7

1701876000 28 60.4

1702069000 26 51.5

1702091000 14 46.7

1702204000 8 76.2

1705495000 7 58.3

1708263000 5 40.2

1728012000 43 36.1

1758027000 8 41.8

1770001000 447 28.8

1770002000 87 38.1

1772101000 54 41.4

1772110000 70 39.7

2800314001 36 33.4

FLERA 45 58.5

Tabell 6: Genomsnittlig procentuell stopptid f¨or olika artiklar

Fr˚an tabell 5 framg˚ar det att förmiddagsskiftet p˚a 8 timmar, F 8h, är det skift som har den högsta stopptiden p˚a 38.5%. Fr˚an tabell 6 kan utläsas att artikel 1702204000 ger den högsta stopptiden p˚a 76.2%.

4.4 Hur kan stopptiden minskas i framtiden?

Tre kovariater bidrog särskillt mycket till den totala stopptiden, M aterialbyte, Sm˚astopp och F aktisk ställtid. Dessa variabler reducerades enligt A, B och C och nya genomsnittliga procentuella stopptider beräknades. Dessa presenteras i tabell 7.

A: F aktisk st¨alltid s¨atts till 9 minuter per skift.

B: A + Sm˚astopp minskas med totalt 50%, varefter tiden f¨ordelas lika mellan alla observaitoner.

C: A + B + M aterialbyte minskas med totalt 50%, varefter tiden f¨ordelas lika mellan alla observationer.

(34)

Reducering Modell utan Anst¨allningsnummer Modell utan Skift

Ursprunglig 36.2% 36.2%

A 32.3% 32.5%

B 29.6% 30.1%

C 27.7% 29.0%

Tabell 7: Genomsnittlig procentuell stopptid per skift (genomsnittligt y) vid prediktion med modellerna efter olika reduceringar.

5 Diskussion

Eftersom stillest˚andsdata för maskinen infördes manuellt av personal kan olika typer av fel förekomma, vilket upptäcktes genom en noggrann granskning av datan. Summan av den produktiva tiden och den totala stopptiden, vilken borde vara lika stor som skifttiden, kontrollerades för varje skift. För flera skift var det dock m˚anga timmar som inte hade rapporterats in. S˚aledes exkluderades dessa observationer. Optimalt för regressionsanalysen hade varit om all data var korrekt inrapporterad eftersom det hade

¨

okat noggrannheten samt antalet observationer.

Tv˚a slutgiltiga modeller togs fram, en utan Anst¨allningsnummer och en utan Skif t.

Dessa uppfyller alla antaganden som gäller vid linjär multipel regression, har ingen mul- tikolinjäritet mellan kovariater och alla variabler är statistiskt signifikanta. B˚ada modellerna är s˚aledes relativt lämpliga att använda. Modellen utan anställningsnummer skulle dock kunna anses vara lite bättre eftersom den har högre värden p˚a R² och R²_adj. Genom gransning av resultaten kan det noteras att olika typer av skift har ungefär samma genomsnittliga procentuella stopptid. Däremot är variationen betydligt större mellan olika artiklar. Den artikel som observerades i särklass flest g˚anger ger den tydligt lägsta procentuella stopptiden. Orsaken till detta kan vara att det är en standardiserad produkt som är lätt att tillverka samt att anställda är mer vana vid att producera just den artikeln.

Att maskinen st˚ar stilla är oundvikligt, men genom att se över vad stoppen beror p˚a kan denna tid eventuellt minskas. Av resultatet framg˚ar att M aterialbyte, Sm˚astopp och F aktisk ställtid är de kovariater som orsakar mest stillest˚and hos maskinen. Därför skulle en minskning av dessa stopptider resultera i en mer effektiv produktion. Ställtider

¨ar n˚agot som inte g˚ar att undvika, men Bulten jobbar aktivt med att minska dessa med metoden SMED (Single Minute Exchange of Die).

SMED är en metod som utvecklades i Japan p˚a 1970-talet och används för att reducera ställtider [17]. Syftet med SMED är att minska ställtiden hos en maskin till under

(35)

10 minuter [18]. I denna metod används uttrycken intern ställtid och extern ställtid.

Intern ställtid är de saker som m˚aste utföras när maskinen st˚ar stilla och extern ställtid

är saker som kan göras när maskinen är i drift. SMED fokuserar p˚a att göra s˚a m˚anga element som möjligt till externa s˚a att den totala ställtiden hos maskinen minskar.

Med detta i beaktande reducerades F aktisk ställtid till 9 minuter per skift för att un- dersöka vilken inverkan metoden kan ha p˚a den genomsnittliga procentuella stopptiden.

Resultatet blev en minskning med cirka 4%-enheter.

Genom att förbättra utrustningen kan även Sm˚astopp minskas. Om det är möjligt att reducera denna stopptid med 50% i framtida produktion g˚ar inte att veta i nuläget, men som resultatet indikerar skulle det innebära en tydligt effektivare produktion. Om dessutom M aterialbyte som är det kovariat med högst stopptid minskas med 50%

skulle produktionen bli ¨annu effektivare.

6 Slutsats

Att alltid ha en effektiv produktion är sv˚art eftersom det finns m˚anga faktorerer som kan orsaka produktionsstopp. Genom att ta reda p˚a orsaker och dess omfattning samt se över vilka stopporsaker som är möjliga att reducera kan produktionen effektiviseras.

En noggran analys av stillest˚anden hos en av Bultens maskiner gav betydande resultat.

Genom att minska F aktisk St¨alltid enligt SMED samt reducera tiden f¨or Sm˚astopp och M aterialbyte med cirka 50% kan den totala stopptiden minskas fr˚an 36.2% till under 30%.

(36)

Referenser

1. Bulten. Om Bulten. Bulten; 2020.

https://www.bulten.com/sv-SE/About-Bulten (H¨amtad 2021-04-20).

2. Montgomery, Douglas och Peck, Elisabeth A och Geoffrey Vining, G. Introduction to Linear Regression Analysis. 5.uppl. New Jersey: John Wiley Sons, 2012.

3. Science. Multipel regression (linj¨ar regressionsanalys): teori, genomf¨orande, tolkning, exempel. Science; 2019.

https://science.nu/lektion/multipel-regression-linjar-regressionsanalys-teori- genomforande-tolkning-exempel/ (H¨amtad 2021-05-03).

4. Frost, Jim. Continuous variables. Statistics By Jim.

https://statisticsbyjim.com/glossary/continuous-variables/ (H¨amtad 2021-06- 03).

5. The Pennsylvania State University. 4.2 - Residuals vs. Fits Plot.

https://online.stat.psu.edu/stat462/node/117/ (H¨amtad 2021-05-05).

6. E-mail. Agerberg, Jens. 2021.

7. Lang, Harald. Elements of Regression Analysis. Stockholm: KTH, 2016.

8. Broms, Rasmus. Guide: Regressionsdiagnostik – heteroskedasticitet, del 1.

SPSS-AKUTEN; 2013.

https://spssakuten.com/2013/02/04/guide-regressionsdiagnostik- heteroskedasticitet-del-1/more-572 (H¨amtad 2021-05-14).

9. Miraoui, Ilias. Verifying and Tackling the Assumptions of Linear Regression.

Towards data science; 2020.

https://towardsdatascience.com/verifying-and-tackling-the-assumptions-of- linear-regression-32126acea67b (H¨amtad 2021-05-10).

10. Ford, Clay. Understanding Q-Q Plots. University of Virginia Library; 2015 https://data.library.virginia.edu/understanding-q-q-plots/ (H¨amtad 2021-06- 03).

11. daviddalpiaz.github.io. Chapter 14 Transformations.

https://daviddalpiaz.github.io/appliedstats/transformations.html (H¨amtad ).

12. Abdelmassih, Christian. Konfidensintervall. Ludu; 2019.

https://www.ludu.co/course/sanstat/konfidensintervall?fbclid=IwAR1pj6XN5OKgIhz9PmFuizQoDdSeKSECn3LOf- iAbzp8iOkNDre81fB0jjc (H¨amtad 2021-06-07).

(37)

13. Bloomenthal, Andrew, Coefficient of Determination. Investopedia; 2020.

https://www.investopedia.com/terms/c/coefficient-of-determination.asp (H¨amtad 2021-06-07).

14. Ayuya, Collins. How to Detect and Correct Multicollinearity in Regression Mo- dels. Section; 2021.

https://www.section.io/engineering-education/multicollinearity/ (H¨amtad 2021- 06-08).

15. Uriel, Ezequiel. 4 Hypothesis testing in the multiple regression model. University of Valencia, 2013.

16. Chapter 10 Variable Selection.

http://www.biostat.jhsph.edu/ iruczins/teaching/jf/ch10.pdf (H¨amtad 2021-05- 15).

17. Olofsson, Oskar. St¨alltidsreduktion. World class manufacturing.

https://world-class-manufacturing.com/svenska/smed.html (H¨amtad 2021-06- 08).

18. LeanProduction. SMED (Single-Minute Exchange of Dies).

https://www.leanproduction.com/smed.html (H¨amtad 2021-06-08).

(38)

Bilagor

Bilaga A: Grundmodell

(39)

(40)

Bilaga B: Slutgiltiga modeller

B1: Utan anst¨allningsnummer

(41)

B2: Utan skift

(42)

Bilaga C: Programkod fr˚ an R

#### A k t i v e r a r −−−−−

l i b r a r y ( d p l y r ) l i b r a r y ( r e a d x l ) l i b r a r y ( c a r ) l i b r a r y ( s j P l o t ) l i b r a r y ( g g p l o t 2 )

(43)

l i b r a r y ( l e a p s ) l i b r a r y (MASS) l i b r a r y ( f a r a w a y ) l i b r a r y ( o l s r r )

#### L¨a s e r i n maskindata f r ˚an e x c e l−−−−−−−−−−−−

Maskindata <− read e x c e l ( ” slutDATA95till105 . x l s x ” )

#### I n s p e k t e r a r f i l e n −−−−−−−−−−−−−

View ( Maskindata ) summary( Maskindata )

s t r ( Maskindata )

#### G¨o r t i l l k a t e g o r i s k a v a r i a b l e r −−−−−−−−−−−

Maskindata$ S k i f t <− as . factor ( Maskindata$ S k i f t )

Maskindata$anst ¨a l l n i n g s nr <− as . factor ( Maskindata$anst ¨a l l n i n g s nr )

Maskindata$ a r t i k e l nr <− as . factor ( Maskindata$ a r t i k e l nr ) s t r ( Maskindata )

c l a s s ( Maskindata$ S k i f t )

l e v e l s ( Maskindata$ S k i f t ) #k o l l a r k a t e g o r i e r l e v e l s ( Maskindata$anst ¨a l l n i n g s nr )

l e v e l s ( Maskindata$ a r t i k e l nr )

Maskindata$anst ¨a l l n i n g s nr <− relevel ( Maskindata$anst ¨a l l n i n g s nr , ” 2 ” ) #r e f e r e n s k a t e g o r i

Maskindata$ a r t i k e l nr <− relevel ( Maskindata$ a r t i k e l nr , ”FLERA

” )

#### K o n t r o l l e r a r a n t a l e t o b s e r v a t i o n e r av o l i k a k a t e g o r i e r my summary data <− Maskindata %>%

group by ( a r t i k e l nr ) %>%

summarise ( Count = n ( ) )

my summary data <− Maskindata %>%

group by ( a n s t ¨a l l n i n g s nr ) %>%

summarise ( Count = n ( ) )

#### L i n j ¨a r r e g r e s s i o n −−−−−−−−−−−−−−

m o d e l l <− lm( proc stopptid ˜ S k i f t + anst ¨a l l n i n g s nr + a r t i k e l nr +

+ f a k t i s k s t ¨a l l t i d + f r ˚a nvaro p e r s o n a l + i n g e n p e r s o n a l

(44)

+ o p e r a t ¨o r s UH + i n g a v e r k t y g + b y t e f ¨o r s l i t n i n g s v e r k t y g

+ m a t e r i a l b y t e + sm˚a s t o p p + r e p a r a t i o n UH + ¨o v r i g t ,

data = Maskindata )

#### S k r i v ut en snygg m o d e l l −−−−−−−−−−

summary( m o d e l l ) tab model ( m o d e l l )

#### P l o t t a r −−−−−−−−−−−−

plot ( m o d e l l )

# C r e a t e h i s t o g r a m o f r e s i d u a l s

g g p l o t ( data = Maskindata , a e s ( x = m o d e l l$residuals ) ) + geom h i s t o g r a m ( f i l l = ’ s t e e l b l u e ’ , c o l o r = ’ b l a c k ’ ) +

l a b s ( t i t l e = ’ Histogram o f R e s i d u a l s ’ , x = ’ R e s i d u a l s ’ , y

= ’ Frequency ’ )

#### Box−Cox transformation −−−−−−−−−−−−−−−

boxcox ( modell , p l o t i t = TRUE)

boxcox ( modell , p l o t i t = TRUE, lambda = seq ( 0 . 7 , 1 , by = 0 . 1 ) ) m o d e l l cox = lm ( ( ( ( proc s t o p p t i d ˆ 0 . 8 5 ) − 1) / 0 . 8 5 ) ˜ S k i f t

+ a n s t ä l l n i n g s nr + a r t i k e l nr + f a k t i s k s t ä l l t i d + f r ˚a nvaro p e r s o n a l + i n g e n p e r s o n a l + o p e r a t ö r s UH + i n g a v e r k t y g + b y t e f ö r s l i t n i n g s v e r k t y g + m a t e r i a l b y t e + sm˚a s t o p p + r e p a r a t i o n UH + ö v r i g t ,

data = Maskindata )

plot ( f i t t e d ( m o d e l l cox ) , r e s i d ( m o d e l l cox ) , c o l = ” d o d g e r b l u e ” ,

pch = 2 0 , c e x = 1 . 5 , x l a b = ” F i t t e d ” , y l a b = ” R e s i d u a l s ” ) abline ( h = 0 , l t y = 2 , c o l = ” d a r k o r a n g e ” , lwd = 2 )

plot ( m o d e l l cox )

tab model ( ( m o d e l l cox ) )

#### M u l t i k o l i n j ¨a r i t e t −−−−−−−−−−−−−−−−−−

t a b e l l <− v i f ( modell ) #VIF

#### Backward e l i m i n a t i o n −−−−−−−−−−−−−−−−

o l s step backward p ( modell , prem = 0 . 0 5 ,

p r o g r e s s = TRUE, d e t a i l s = TRUE)

(45)

#### Auto−c o r r e l a t i o n −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

durbinWatsonTest ( m o d e l l )

#### V i l k e n typ av s k i f t har p r o c e n t u e l l t mest s t o p p t i d ?

−−−−−−−−−−−−

# Addera y ( p r o c e n t u e l l s t o p p t i d ) f ¨o r a l l a s k i f t som ¨a r av samma typ

# D i v i d e r a med a n t a l e t av denna typ av s k i f t

E9h <− subset ( Maskindata , S k i f t==’E 9h ’ , s e l e c t=c ( proc s t o p p t i d ) )

p r o c S t o p p t i d E9h = colSums ( E9h ) /249

N72h <− subset ( Maskindata , S k i f t==’N 7 ,2h ’ , s e l e c t=c ( proc s t o p p t i d ) )

p r o c S t o p p t i d N72h = colSums ( N72h ) /280

N109h <− subset ( Maskindata , S k i f t==’N 10 ,9h ’ , s e l e c t=c ( proc s t o p p t i d ) )

p r o c S t o p p t i d N109h = colSums ( N109h ) /91

F8h <− subset ( Maskindata , S k i f t==’F 8h ’ , s e l e c t=c ( proc s t o p p t i d ) )

p r o c S t o p p t i d F8h = colSums ( F8h ) /301

#### V i l k e t a r t i k e l n u m m e r g e r p r o c e n t u e l l t mest s t o p p t i d ?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

FLERA <− subset ( Maskindata , a r t i k e l nr==’FLERA ’ , s e l e c t=c ( proc s t o p p t i d ) )

p r o c S t o p p t i d FLERA = colSums (FLERA) /45

a r t i k e l 1 7 0 1 6 0 0 0 0 0 <− subset ( Maskindata , a r t i k e l nr==’

1 7 0 1 6 0 0 0 0 0 ’ , s e l e c t=c ( proc s t o p p t i d ) )

p r o c S t o p p t i d 1 7 0 1 6 0 0 0 0 0 = colSums ( a r t i k e l 1 7 0 1 6 0 0 0 0 0 ) /23 a r t i k e l 1 7 0 1 6 0 9 0 0 0 <− subset ( Maskindata , a r t i k e l nr==’

p r o c S t o p p t i d 1 7 0 1 8 7 6 0 0 0 = colSums ( a r t i k e l 1 7 0 1 8 7 6 0 0 0 ) /28

(46)

p r o c S t o p p t i d 1 7 0 2 0 6 9 0 0 0 = colSums ( a r t i k e l 1 7 0 2 0 6 9 0 0 0 ) /26 1 7 0 2 0 6 9 0 0 0

(47)

#### Anv¨a ndning av m o d e l l e n −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

# G e n o m s n i t t l i g t nuvarande y

a l l a y <− subset ( Maskindata , s e l e c t=c ( proc stopptid ) ) Genomsnitt y = colSums ( a l l a y ) /921

# Modell utan a n s t ¨a l l n i n g s n u m m e r

MaskindataANST <− subset ( Maskindata , s e l e c t = −c ( anst ¨a l l n i n g s nr ) )

modellutanANST <− lm( proc stopptid ˜ S k i f t + a r t i k e l nr + f a k t i s k s t ¨a l l t i d + f r ˚a nvaro p e r s o n a l + i n g e n

p e r s o n a l

data = MaskindataANST )

y . hatANST <− modellutanANST$ fitted . values Genomsnitt y ANST = sum( y . hatANST ) /921

# V a r i a b l e r r e d u c e r a s

MaskindataANST$ f a k t i s k s t ¨a l l t i d <− 0.15 MaskindataANST$sm˚a stopp <− 0.2846363 MaskindataANST$ ma terial byte <− 0.3555375 View ( MaskindataANST )

predict ANST <− predict ( modellutanANST , newdata = MaskindataANST )

Genomsnitt y a n s t s t ¨a l l = sum( predict ANST) /921 #

(48)

G e n o m s n i t t l i g t y d˚a v a r i a b l e r r e d u c e r a s

# Modell utan s k i f t

MaskindataSKIFT <− subset ( Maskindata , s e l e c t = −c ( S k i f t ) ) modellutanSKIFT <− lm( proc stopptid ˜ anst ¨a l l n i n g s nr +

a r t i k e l nr

+ f a k t i s k s t ¨a l l t i d + f r ˚a nvaro p e r s o n a l + i n g e n p e r s o n a l

data = MaskindataSKIFT ) y . hatSKIFT <− modellutanSKIFT$ fitted . values Genomsnitt y SKIFT = sum( y . hatSKIFT ) /921 MaskindataSKIFT$ f a k t i s k s t ¨a l l t i d <− 0.15 MaskindataSKIFT$sm˚a stopp <− 0.2846363 MaskindataSKIFT$ mater ial byte <− 0.3555375 View ( MaskindataSKIFT )

predict S k i f t <− predict ( modellutanSKIFT , newdata = MaskindataSKIFT )

Genomsnitt y s k i f t s t ¨a l l = sum( predict S k i f t ) /921

# Mest s t o p p t i d [ h ] ?

sum( Maskindata$ f a k t i s k s t ¨a l l t i d ) sum( Maskindata$ f r˚anvaro personal ) sum( Maskindata$ingen personal ) sum( Maskindata$operat ¨o r s UH) sum( Maskindata$inga verktyg )

sum( Maskindata$byte f ¨o r s l i t n i n g s v e r k t y g ) sum( Maskindata$ ma terial byte )

sum( Maskindata$sm˚a stopp ) sum( Maskindata$ r e p a r a t i o n UH) sum( Maskindata$¨o v r i g t )

(49)