TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

TSRT91 Reglerteknik:

Föreläsning 4

Martin Enqvist

Reglerteknik

Institutionen för systemteknik Linköpings universitet

Föreläsningar

1 Inledning, grundläggande begrepp.

2 Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering.

3 Specifikationer. Rotort.

4• Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning.

5 Tidsdiskreta system.

6 Specifikationer i frekvensplanet.

7 Kompensering i bodediagram.

8 Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet.

9 Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning.

10 Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet.

11 Återkoppling, polplacering, LQ-optimering.

12 Rekonstruktion av tillstånd, observatörer.

13 Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning.

2 / 16

Repetition: Rotort

• Plotta rötterna till ekvationen

P (s) + KQ(s) = 0 som funktion av K, 0 ≤ K < ∞.

• Använd rotorten för att hitta lämpliga värden på K eller för att förstå vilka olika egenskaper man får när man varierar K.

3 / 16

Repetition: Rotort

Plotta rötterna till ekvationen

P (s) + KQ(s) = 0

som funktion av K, 0 ≤ K < ∞. Ekvationen innehåller två polynom P (s) = (s− p1)(s− p2) . . . (s− pn), och

Q(s) = (s− q1)(s− q2) . . . (s− qm), n≥ m Resultat:

• ngrenar, med symmetri m.a.p. reella axeln

• K = 0: nollställena pi till P (s) (n st): startpunkter

• K =∞: nollställen qi till Q(s) (m st): ändpunkter

• n− m asymptoter i riktningarna

π/(n− m), 3π/(n − m), . . .

• Delar av reella axeln med udda antal reella start- och ändpunkter till höger tillhör rotorten.

• Stabilitetsgräns: Skärning med imaginäraxeln

4 / 16

Repetition: Rotort. . .

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1 0 1 2 3

Root Locus

Real Axis (seconds⁻¹) Imaginary Axis (seconds−1)

5 / 16

Vem var Nyquist?

Harry Nyquist (1889-1976)

• Född i Värmland 1889

• Emigrerade till USA 1907

• Doktorerade vid Yale 1917

• Presenterade sitt stabilitetskriterium 1932

• Många andra viktiga resultat:

samplingsteorem, termiskt brus, telekommunikation, television

Harry Nyquist

Foto: Wikipedia

6 / 16

Argumentvariationsprincipen

Ett matematiskt verktyg:

Argumentvariationsprincipen Antag att

• f (z)är en analytisk funktion i ett öppet område Ωså när som på ett ändligt antal poler

• γär en kurva i Ω som omsluter P poler och N nollställen enkelt

Då gäller att

N− P = 1

2πvar arg

γ f (z)

n1

n2

n3

n4

n5

p1

p2

γ

7 / 16

Nyquistkriteriet

Kurvan γ som används i nyquistkriteriet:

Re Im

γ

R

r

Nyquistkriteriet. . .

När s genomlöper γ kommer Go(s)att genomlöpa γ⁰:

Re Im

γ

−1 Re

Im

γ⁰= Go(γ)

ϕ

Nyquistkriteriet. . .

Nyquistkriteriet: Antalet poler i höger halvplan till det återkopplade systemet Go/(1 + G_o) är lika med antalet poler i höger halvplan hos Goplus antalet varv som kurvan γ⁰ omsluter punkten −1.

OBS: Antalet varv måste räknas med tecken, med moturs som positiv omloppsriktning.

Specialfall: Om Go saknar poler i höger halvplan blir stabilitetskriteriet att punkten −1 inte får omslutas av kurvan γ⁰.

10 / 16

Exempel: Stabil kretsförstärkning

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

−1

−0.5 0 0.5 1

Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

11 / 16

Nyquistkriteriet. . .

Nyquistkurvan: Kurvan som ges av Go(iω)när ω går från noll till oändligheten

Förenklat nyquistkriterium: Om Go saknar poler i hö- ger halvplan är det återkopplade systemet Go/(1 + G_o) insignal-utsignal-stabilt om och endast om punkten −1 lig- ger till vänster om nyquistkurvan.

12 / 16

Frekvenssvaret

Antag att insignalen till ett insignal-utsignal-stabilt system som beskrivs av G(s)är

u(t) = sin(ωt)

och att den har varit det oändligt länge (så att alla transienter har klingat ut). Då är utsignalen från systemet

y(t) =|G(iω)| sin(ωt + arg(G(iω))) Ettbodediagram är en plott av frekvenssvaret G(iω).

13 / 16

Vem var Bode?

Hendrik Wade Bode (1905-1982)

• Född i Wisconsin i USA 1905

• Doktorerade vid Colombia University 1935

• Utvecklade bodediagrammet 1938

• Många bidrag inom reglerteknik (bl.a.

målföljning) och telekommunikation

Hendrik Wade Bode

Foto: Wikipedia

14 / 16

Exempel: Bodediagram

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

−90

−45 0 45

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5 0

Magnitude (dB)

15 / 16

Exempel: Bodediagram. . .

−20

−10 0 10 20 30 40 50 60

Magnitude (dB)

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹

−180

−135

−90

−45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Sammanfattning

• Nyquistkriteriet: Ett verktyg för att analysera stabilitet för ett slutet system givet kretsförstärkningen Go(s).

• Nyquistdiagram, nyquistkurva: Plott av Go(iω)som kurva i det komplexa talplanet.

• Bodediagram: Plott av |Go(iω)| och arg(Go(iω))som funktioner av ω i varsitt diagram.

www.liu.se