TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 10 (2/5) Tidsdiskret implementering

TSIU61: Reglerteknik F¨ orel¨asning 11

— Tidsdiskret implementering

Gustaf Hendeby

gustaf.hendeby@liu.se

Inneh˚ all f¨ orel¨ asning 11

ˆ Sammanfattning av f¨orel¨asning 10

ˆ Lite mer om tillst˚ands˚aterkoppling

ˆ Datorimplementerade regulatorer

ˆ Sampling av insignaler

ˆ Samplingsteoremet

ˆ Tidsdiskret regleralgoritm

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 2 / 17

Sammanfattning fr˚ an f¨ orel¨ asning 10 (1/5)

Overf¨¨ oringsfunktion:

y⁽ⁿ⁾(t) + a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) + · · · + a_ny(t) = bu⁽ⁿ⁻¹⁾(t) + · · · + b_nu(t) Tillst˚andsbeskriving (styrbar kanonisk form):

˙ x(t) =















−a₁ −a₂ . . . −a_n

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

... ... . .. ... ...

0 0 . . . 1 0















| {z }

A

x(t) +













 1 0 0 ... 0















| {z }

B

u(t)

y(t) = b₁ b₂ . . . b_n

| {z }

C

x(t)

D¨ar x(t) ¨ar tillst˚andsvektorn.

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 3 / 17

Sammanfattning fr˚ an f¨ orel¨ asning 10 (2/5)

Overf¨¨ oringsfunktion till tillst˚andsbeskrivning

ˆ Diagonalform (om polerna ¨ar reella)

ˆ Styrbar kanonisk form

ˆ Observerbar kanonisk form

Tillst˚andsbeskriving till ¨overf¨oringsfunktion

G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D = C(sI − A)^∗B det(sI − A) + D Systemets poler ges av A-matrisens egenv¨arden, det(sI − A) = 0.

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 4 / 17

Sammanfattning fr˚ an f¨ orel¨ asning 10 (3/5)

Tillst˚ands˚aterkoppling Styrlag:

u(t) = −Lx(t) + ˜r(t) = −Lx(t) + l₀t(t)

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 5 / 17

Sammanfattning fr˚ an f¨ orel¨ asning 10 (4/5)

Hur v¨aljer man regulatorn L?

Antag h¨ar att dim(A) = 2 och L = (`1, `2), och poler ¨onskas i p1 och p2. 1. Det ¨onskade karakteristiska polynomet blir

(s − p1)(s − p2) = s²+ (−p1− p2)s + p1p2= 0 (1) 2. ˚Aterkopplingens (A − BL) karakteristiska polynom ges av:

det sI − (A − BL)
= 0 3. Skriv p˚a formen:

s²+ f1(`1, `2)s + f2(`1, `2) = 0 (2) 4. J¨amf¨or (1) och (2), kvationssystemet blir:

f1(`1, `2) = −(p1+ p2) f2(`1, `2) = p1p2

5. L¨os ut `1 och `2.

6. V¨alj `0f¨or att f˚a r¨att statisk f¨orst¨arkning.

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 6 / 17

Sammanfattning fr˚ an f¨ orel¨ asning 10 (5/5)

Var ska polerna placeras?

N˚agra faktorer som p˚averkar var polerna ska placeras:

ˆ Snabbhet

ˆ Sv¨angighet

ˆ Dominerande pol

ˆ Styrsignalstorlek

ˆ K¨anslighet f¨or m¨atbrus (observat¨or)

Tidsdiskret implementation

Fr˚ an f¨ orsta f¨ orel¨ asningen: Design av farth˚ allare Fr˚ an f¨ orsta f¨ orel¨ asningen: Vad ¨ ar en regulator?

Regulatorn ¨ar en dator i bilen, som m¨ater hastighet och ¨onskad fart, och skickar styrsignaler (¨onskat moment) till motorn.

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 10 / 17

Datorimplenterade regulatorer

Idag anv¨ands oftast datorer f¨or reglering ⇒ Samplad reglering:

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 11 / 17

Datorimplementerade regulatorer

Inmatning:

Avl¨asning vid samplings-

¨ogonblicken t = tk, k = 0, 1, . . .

Utmatning:

Styckvis konstant styrsignal:

u(t) = uk, tk≤ t < tk+1

Samplings- intervall:

T = tk+1− tk

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 12 / 17

Sampling av signaler

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 13 / 17

Aliaseffekten

ˆ Frekvenser som ¨ar snabbare ¨an halva samplingsfrekvensen, ω_s, kan inte skiljas fr˚an en l˚angsammare frekvens som tillh¨or intervallet [0, ω_s/2]

ˆ Alias eftersom de upptr¨ader under ”falskt namn”

ˆ Exempel (sampling sker i kameran)

https://youtu.be/UkotZy3lQqo https://youtu.be/jQDjJRYmeWg

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 14 / 17

Samplingsteoremet

Hur ska samplingsfrekvensen v¨aljas f¨or att inte n˚agon information ska g˚a f¨orlorad vid sampling?

Theorem (Samplingsteoremet)

En signal som inte inneh˚aller n˚agra signalkomponenter ¨over frekvensen ω₀ kan exakt rekonstrueras fr˚an samplade v¨arden om samplingsfrekvensen ω_s uppfyller olikheten ω₀ ≤ ¹₂ω_s.

Frekvensen ω_N = ω_s/2 brukar kallas nyquistfrekvensen.

TSIU61 F¨orel¨asning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 15 / 17

Samplade regulatorer

ˆ I reglersystem brukar man anv¨anda tumregeln att

samplingsfrekvensen ω_s ska vara 20 g˚anger snabbare ¨an den

¨onskade bandbredden ω_B, dvs 20 g˚anger den snabbaste frekvens som man vill att det slutna systemet ska kunna f¨olja.

ˆ Det kan dock finnas signalkomponenter (t ex m¨atbrus) som kan leda till aliaseffekter om man inte l˚agpassfiltrerar (med ett antialiasfilter) f¨or samplingen.

Sammanfattning

N˚ agra begrepp som f˚ ar summera f¨ orel¨ asning 11

Samplingsintervall: Tidsintervallet mellan samplings¨ogonblicken:

T = t_k+1− t_k

Aliaseffekten: Frekvenser som ¨ar snabbare ¨an halva

samplingsfrekvensen (nyquistfrekvensen, ω_N) kan uppfattas som en l˚angsammare frekvens.

Samplingsteoremet: En signal som inte inneh˚aller n˚agra

frekvensbidrag ¨over ω₀ kan exakt rekonstrueras fr˚an samplade v¨arden om ω_N ≥ ω₀.

Euler bak˚at Enkel approximation av derivata.

Tustins approximationsformel: B¨attre approximation av derivata.