H 4 S V A N T E B O H M A N
Litet kåseri med anledning av ett studentproblem.
A v E m i l S e l a n d e r .
A n d r a uppgiften i senaste studentskrivningen i matematik för reallinjen lyder s å l u n d a : » B e s t ä m medelpunkten i en cirkel med given radie r, d å cirkeln i t v å punkter tangerar parabeln y2 — 2p x.» A v s y m m e t r i s k ä l m å s t e cirkelns medelpunkt ligga p å parabelns a x e l ; antag i punkten (a, o). Elimination mellan ekvationerna {x — a)2+y2—r2 och y2 — 2px ger eventuella gemensamma punkter. M a n får [x—a)2 4- 2/>x=7'2, eller efter hyfsning x2 — 2{a— p)x + a2 — r2 = o. Diskriminanten (a—p)2 — [a2 — r2) eller hyfsad —2ap +p2 + r2 m å s t e f ö r s v i n n a , o m t v å s k ä r n i n g s p u n k t e r skola sammanfalla, vilker ger a =
p r 2 o
— - H H ä r m e d är uppgiften formellt löst, men det ater-
2 2 / ' 1 &
s t å r att u n d e r s ö k a , vilka v ä r d e n a och r kunna antaga. D å diskriminanten är noll, får m a n direkt för tangeringspunkternas
r2 —p* - r koordinater x — a—p— > och s å l e d e s y = + 1 r2-—p*.
1 2p J •
H ä r a v ses, att l ö s n i n g e n f ö r u t s ä t t e r r>p, varmed följer a>r> p.
F ö r r=p{— a) sammanfalla tangeringspunkterna i vertcx, vilket naturligtvis s a m m a n h ä n g e r med — och u t g ö r ett bevis för — att parabelns k r ö k n i n g s r a d i e i vertex har v ä r d e t p. I detta sammanhang vill j a g p å p e k a , att a l l m ä n n a uttryck för parabelns k r ö k n i n g s c e n t r u m o c h k r ö k n i n g s r a d i e lätt kunna er- h å l l a s utan a n v ä n d n i n g av den generella teorin. E k v a t i o n e r n a för nonnalerna i punkterna {xly y.) o c h (x,, y._) k u n n a sam- manfattas i dubbelekvationen py — py, — y,(x—x,) = pya —
—yj\x — .t'2). F ö r s k ä r n i n g s p u n k t e n s .t'-kordinat fås därför, d å punkterna ligga p å parabeln: {y*~y^x— ~ —1 + p{j'r.—J'i),
2p
o o y\ Hr" y^y-t "f y\ o
och s å l e d e s , s ä l ä n g e y~=¥yt, x = + p. L å t e r 2p
man här y2—*j\ f å s .r-koord. för k r ö k n i n g s c e n t r u m i (x,,y,):
L I T E T K Å S E R I M E D A N L E D N I N G A V E T T S T U D E N T P R O B L E M I 15
x = — ! +P = 3*',+p, och genom i n s ä t t n i n g i första ekv.
2p
motsvarande y ^ — • K r ö k n i n g s r a d i e n o fås d ä r p å : P
eller efter enkla reduktioner:
allt eftersom man eliminerar j \ eller x,.
D e t vare l å n g t ifrån mig att vilja införa detta s o m nytt kursmoment, s å m y c k e t mindre som p å det yttersta av dessa dagar undervisningstiden i ä m n e t p å realgymnasiet u n d e r g å t t en n y och betydande minskning, men som ö v n i n g s r ä k n i n g för matematiskt intresserade elever k a n det j u försvara sin plats. K r ö k n i n g s r a d i e n i vertex kan b e h ö v a s i fysikunder- visningen, bl. a. vid r e d o g ö r e l s e för astronomiska reflektorn, men den kan man komma å t p å synnerligen enkelt s ä t t . F ö l - j a n d e resonemang torde vara t ä m l i g e n bekant. Parabelns subnormal är p. Normalerna i de t v ä punkterna (x\, m ä s t e därför s k ä r a varandra p å a x e l n p å a v s t å n d e t p + x, från vertex. L å t e r man b å d a punkterna med l i k a hastighet o b e g r ä n s a t n ä r m a sig vertex, m å s t e därför g r ä n s v ä r d e t för de sammanfallande normalernas s k ä r n i n g s p u n k t ligga p ä a v s t å n d e t p från vertex.
A n m ä l n i n g a r o c h r e c e n s i o n e r .
A n v i s n i n g a r o c h b e t y g s t a b e l l e r j ä m t e p r o v s a t s t i l l R o - s t a d s s t a n d a r d p r o v i m e k a n i s k r ä k n i n g . P r i s 6 0 ö r e .
I l i k h e t m e d e n del a n d r a l ä n d e r , s å s o m A m e r i k a , F . n g l a n d o c h D a n m a r k , h a r n u ä v e n v å r t l a n d fått s t a n d a r d p r o v i m e k a - n i s k r ä k n i n g . D e . h ä r f ö r n ö d v ä n d i g a u n d e r s ö k n i n g a r n a h a ut-
