Vertikalaasymptoter Derivatanavenkvot Grafritningavrationellafunktioner Snedaasymptoter Analysavrationellafunktioner

Analys av rationella funktioner

Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter

Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. Den tänkta gången är som följer:

a) Läs igenom huvudtextens kapitel en fösta gång.

b) Starta sedan en andra genomläsning av detta, där du efter varje avsnitt gör de övningar här som hör till det avsnittet.

De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråt- tom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.

c) När du på detta sätt läst igenom kapitlet en andra gång, av- sluta med en tredje genomläsning innan du börjar på de blan- dade övningarna.

Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.

Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).

Derivatan av en kvot

Övning 1 Använd definitionen av derivata för att beräkna derivatan av funktionen 1/x².

Övning 2 Beräkna derivatan av följande funktioner

a) ¹

xⁿ b) ^2x

2+1 (x+1)²

Övning 3 I exemplen i huvudtexten behöver vi följande funktioners derivator. Beräkna dem.

a) ^x

2

1−x³ b) ^x

3

x²−₁ ^c) ^x

2−₂|x| x−₁ Övning 4 Betrakta funktionen

f(x) = ¹ x(x−₁)^. Beräkna dess derivata på följande fyra sätt:

a) Derivera funktionen som en kvot.

b) Skriv funktionen som en produkt och derivera den med hjälp av produktformeln.

c) Skriv funktionen som en skillnad mellan två rationella funk- tioner och derivera.

d) Derivera ekvationen f(x)x(x−1) =1.

Vilken metod skulle du ska avgöra i vilka intervall funktionen är växande? Vilken metod skulle du använda om du ska beräkna n:te- derivatan av funktionen?

Vertikala asymptoter

Övning 5 Bestäm de vertikala asymptoterna till funktionen

f(x) = ¹

x−₁+ ¹ (x−₂)^2. Skissera hur grafen ser ut i närheten av dessa.

Sneda asymptoter

Övning 6 Bestäm alla (vertikala och sneda) asymptoter till följande kurvor

a) y=2x+¹

x b) y=1−x− ¹

x² c) y= ^2x

3+2x 3x²−₃

Grafritning av rationella funktioner

Övning 7 Rita grafen till följande funktioner i stora drag

a) ¹ 9

x³

x+2 b) x+¹ x

Svar och anvisningar

Övning 1 Vi har att 1 x²− ¹

a² = ¹

x²a²(a²−x²) = −^x+a x²a²(x−a) så kvotfunktionen är

A(x) = −^x+a x²a² → −^2a

a⁴ = −²

a³ då x→_a.

Derivatan i punkten a är därför−_2/a³

Övning 2 a) Vi ska derivera f(x) =1/g(x)då g(x) =xⁿ. En- ligt formeln för derivation av en kvot är derivatan

f⁰(x) = −^g

0(x) g(x)² = −^nx

n−₁

x²ⁿ = −nx⁻ⁿ⁻¹.

Notera att det är ett specialfall av den allmänna derivations- regeln(x^α)⁰=αx^α−1, nämligen då α= −n.

b) Vi får med derivationsformeln för en kvot att (2x²+1)⁰(x+1)²− (_2x²+1)((x+1)²)⁰

(x+1)⁴

= ^4x(x+1)²− (_2x²+1)2(x+1) (x+1)⁴ = ^4x

2+4x− (_4x²+2) (x+₁)³

= ^4x−₂ (x+1)³

Ett uttryck som det i b) är ofta enklare att hantera genom att man ser det som en produkt istället:

(2x²+1) · ¹

(x+1)² = (2x²+1)(x+1)⁻². Deriverar vi det som en produkt får vi

4x(x+1)⁻²+ (2x²+1)(−2)(x+1)⁻³. Men sedan ska ju detta ställas på gemensam nämnare:

4x(x+₁) −₂(_2x²+₁)

(x+1)³ = ^4x−₂ (x+1)^3.

Övning 3 a) ^2x(1−₍^x₁³₋⁾⁻_x^x2²)^2(−3x2)= ₍₁^2x₋⁺_x^x₃⁴₎₂, b) ^3x2(₍^x2_x2⁻₋¹₁⁾⁻₎₂^x32x= ₍^x_x⁴₂⁻₋^3x2

1)² c) När x>0 har vi derivatan

(2x−₂)(x−₁) − (x²−_2x) (x−₁)² = ^x

2−_2x+2 (x−₁)² medan vi för x<0 har derivatan

(2x+2)(x−₁) − (x²+2x) (x−₁)² = ^x

2−_2x−₂ (x−₁)^{2 .}

Övning 4 a) D(1/(x²−x)) = −(2x−1)/(x²−x)² b) D(¹_xx−¹₁) = −_x¹_2x−¹₁+¹_x(−_(x−¹

1)²) = −⁻⁽_x2^x₍⁻_x−^1)−x

1)²

= −(2x−₁)/(x²−x)² c) D(_x−¹₁−¹_x) = −_(x−¹

1)²+_x¹₂ = ^x_x²₂⁻⁽_(x^x₋⁻¹⁾²

1)²

= −(2x−₁)/(x²−x)²

d) Deriverar vi ekvationen får vi f⁰(x)(x²−x) +f(x)(2x−1) = 0 vilket är detsamma som f⁰(x) = −f(x)(2x−₁)/(x²−x) =

−(_2x−₁)/(x²−x)²

För att avgöra över vilka intervall funktionen är växande behöver vi derivatan faktoriserad både i täljare och nämnare, men för att be- räkna en hög derivata torde den tredje metoden vara överlägsen.

N:tederivatan blir

f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ⁺¹n!(x−₁)⁻ⁿ⁻¹+ (−1)ⁿn!x⁻ⁿ⁻¹.

Övning 5 Hela grafen är ritad nedan i en omgivning av asymptoter- na. Uppgiften är endast de delar som är närmast asymptoterna.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

−20 20 40

x y

Övning 6 a) Eftersom 1/x→_{0 då x}→ ±∞, så ser vi direkt att vi har den sneda asymptoten y = 2x i båda oändligheterna (funktionen är f.ö. en rationell funktion, så det ska bara finnas en sned asymptot). Vertikal asymptot i x=0.

b) Samma argument visar att den sneda asymptoten är y=₁−x och att x=0 är den enda vertikala asymptoten.

c) Vi börjar med en polynomdivision:

2x³+2x 3x²−₃ = ¹

3(2x+ ^4x x²−₁).

Från det ser vi att vi har den sneda asymptoten y = 2x/3.

Vidare har vi vertikala asymptoter i x= ±1.

Övning 7 a) En polynomdivision ger att funktionen är lika med

f(x) = ¹

9(x²−_2x+4− ⁸ x+2),

så vi ser att det inte finns någon sned asymptot (däremot när- mar sig grafen asymptotiskt kurvan y= ¹₉(x²−_2x+4)), men vi ser att f(x) →_{∞ då x}→ ±∞. Vertikal asymptot i x= −2.

Funktionens derivata är

f⁰(x) = ² 9

x²(x+3 (x+2)²

som är noll då x=0 och x= −3. Teckentabellen

x : −3 −2 0

f⁰(x): − ₀ + † + 0 +

f(x): & ₃ % _† % ₀ %

Vi ser alltså att x= −3 är ett lokalt minimum och x= 0 en terrasspunkt. I grafen nedan är också kurvan y=x²−_2x+4 inritad som en sträckad kurva.

−15 −10 −5 5 10

−20 20 40

x y

b) Här ser vi direkt att den sneda asymptoten är y=x och att vi har en vertikal asymptot i x=0. Derivatan är

f⁰(x) =1− ¹ x² som är noll då x= ±1. Teckentabell blir

x : −_{1 0 1}

f⁰(x): + 0 − † − 0 + f(x): % −₂ & _† & ₂ %

Vi ser att x= −1 är ett lokalt maximum medan x =2 är ett lokalt minimum.

−4 −2 2 4

−10

−5 5 10

x y