Det komplexa talplanet

Om komplexa tal och funktioner

Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter

Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.

Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.

Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).

Om koordinatsystem i planet

Övning 1 I ett Cartesiskt koordinatsystem har vi två vektorer~u = (1, 2)och~v = (3, 1). Åskådliggör dessa i en figur och rita även ut deras summa.

Övning 2 Ange punkterna(1, 1)och(√

3,−₁)(i ett Cartesiskt koor- dinatsystem) i polära koordinater.

Övning 3 Vilken rät linje beskrivs av den polära ekvationen

r cos(θ+^π

4) +1=0?

Övning 4 Skissera den kurva vars polära ekvation är

r=1+ ^θ

2π, 0≤_θ≤_8π

Det komplexa talplanet

Övning 5 Bestäm Re z och Im z om

a) 2+3i, b) −₁−_i, c) 3, d) 2i, e) −_i.

Rita ut talen i det komplexa talplanet.

Övning 6 Skriv följande tal på formen a+bi där a och b är reella:

a) (₁+i) + (−₃−i) b) (₁+i) − (₃−_4i)_, c) (₁+i)(₃−_4i)_, d) (1−i)², e) (5−_2i)³, f) (1−i)⁴

Övning 7 Skriv på formen a+bi där a, b är reella de två komplexa talen e^iπ/6och e^iπ.

Övning 8 Vektorerna i det komplexa talplanet vrids vinkeln π/2 i positiv led. I vilka tal övergår då talen 1 och−3+2i?

Övning 9 Rita ut ett komplext tal i det komplexa talplanet. Rita där- efter ut de två talen z₁=iz och z₂= (1+i)z.

Övning 10 Argumentet för z är π/3 och arg w = π/4. Beräkna ar- gumentet till zw och z/w. Vad kan man säga om arg(z+w)_eller arg(z−w)?

Övning 11 Bestäm absolutbelopp och argument för följande tal a) −_13, b) i

√

3−_1, c)

√ 3+3i.

Ange också talen på polär form.

Övning 12 Rita i det komplexa talplanet ut de z som uppfyller a) z−z=0, b) |z+i| =3

Övning 13 Beräkna

a) 1+i, b) 3−_5i, c) −_7, d) (1+i)(1+i),

e) |₁+i|_, f) |i|_, g) |₃−_4i|_, h) | −_5i|_. Övning 14 Skriv följande tal på formen a+bi där a, b är reella

a) ¹

1+i, b) ¹

3−4i, c) ³−_4i

1+i, d) ¹−i 1+i,

e) (1+i)⁻², f) ¹ i.

Övning 15 En olikhet som inte nämns i huvudtexten men är väldigt viktig (och allmän) är triangelolikheten

|z+w| ≤ |z| + |w|_.

Geometriskt betyder den bara att det kortaste avståndet mellan två punkter är det räta avståndet. Men för komplexa tal har den ett illust- rativt bevis som bygger på att|z|²=zz. Genomför detta bevis.

Polynom i komplexa variabler

Övning 16 Om p(z)är ett komplext n:tegradspolynom, förklara hur Algebrans fundamentalsats medför att ekvationen p(z) = w har n lösningar (räknat med multiplicitet).

Övning 17 Lös ekvationerna

a) z²=5+12i, b) z²− (₂+2i)z−₅−_10i=0.

När det gäller a), beräkna den både analytiskt och geometriskt (se huvudtexten).

Övning 18 Lös följande ekvationer och rita ut rötterna i det kom- plexa talplanet:

a) z⁴=16, b) z³=i

√

3−_1, c) z⁴= −1.

Övning 19 Ekvationen

z⁴−_2z³+2z²−_10z+25=0

har rötterna z=2+i och z= −1−2i. Lös ekvationen fullständigt.

Övning 20 Ange ett sjättegradspolynom med reella koefficienter som har enkelt nollställe i z=2−i och dubbelt nollställe i z=i.

Övning 21 Faktorisera följande reella polynom i första- och an- dragradsfaktorer:

a) x⁴−_1, b) x⁴+1, c) x⁵−x⁴+4x−_4.

Övning 22 Gör ett utförligare bevis för satsen om att när ett poly- nom med reella koefficienter har ett komplex nollställe, så är även komplex-konjugatet ett nollställe.

Den komplexa exponentialfunktionen

Övning 23 Skriv på formen a+bi där a, b är reella talen e^zför följan- de z:

a) 0, b) iπ

2, c) ¹

2ln 2+iπ

4, d) iπ, e) 3−_i.

Övning 24 Beräkna(¹ 2+i

√ 3 2 )¹⁰⁰. Övning 25 Om z=4e^iπ/6, beräkna|e^iz|_.

Övning 26 Bestäm alla lösningar till följande ekvationer:

a) e^z=2+2i, b) e^z=0.

Övning 27 Använd Eulers formler för att härleda ett uttryck för cos x sin y.

Övning 28 Visa att cos²z+sin²z=1 för alla komplexa tal z.

Övning 29 Visa att cosh²x−sinh²x=1 för alla x.

För nästa övning, titta inte i lösningarna innan du har funderat ige- nom den ordentligt. Den kan ge lite insikt i funktionsbegreppet.

Övning 30 I huvudtexten sägs att man kan se funktionen f(z) =e^z som en funktion frånR²→_R². Hur beskriver man den funktionen?

Interferens och stående vågor

Övning 31 Två sändare A och B sänder ut radiovågor med vågläng- den 2.0 km. Sändarna är synkroniserade, d.v.s. de svänger i fas med varandra. En båt som rör sig rätlinjigt mellan punkterna C och D har sin mottagare inställd på sändarnas frekvens. Bestäm antalet ampli- tudminima som båten mottagare registerar. Avstånden AC och BC är 19.5 km respektive 111.5 km. Avtånden AD och BD är 110,0 km re- spektive 32.0 km.

Övning 32 På avstånd kan man höra ett mullrande ljud när man när- mar sig ett stort vattenfall. Av alla ljudfrekvenser som skapas i vatten- fallet kan några stycken ge upphov till en stående våg och resonans- förstärkas. Hur beror ljudets lägsta frekvens på vattenfallets höjd?

Problemet med att definiera komplexa logaritmer

Vi börjar med en lite repetition av huvudmaterialet.

Övning 33 Förklara i dina egna ord varför uttrycket√

1+i inte har en entydig betydelse och därför inte ska användas. Följ sedan upp med att förklara samma sak för ln(−2). Vad är det man måste göra tydligt först, innan man kan ge mening åt dessa uttryck?

Nästa övning visar vad man kan göra för att råda bot på mångtydig- heten.

Övning 34 Om a är ett komplext tal kan man definiera√

a som den lösning z till ekvationen z²= a som uppfyller−^π

2 < arg z≤ ^π

2. Be- räkna√

i ochp√

3+i utifrån denna definition. Svara på polär form.

En ytterligare illustration av mångtydighet när man räknar med kom- plexa tal ges i nästa övning.

Övning 35 Vi vet att om x > 0 så kan vi beräkna x^xgenom att an- vända x^x=e^{x ln x}.Vad händer om vi på samma sätt försöker beräkna iⁱ?

Svar och anvisningar

Övning 1 Summan är den blå vektorn

−1 1 2 3 4 5

−1 1 2 3 4

~u

~v

~u + ~v

t y

Övning 2 Det polära koordinaterna(r, θ)för(1, 1)är(√

2,^π₄)och för (√

3,−1)är de(2,⁻₆^π).

Övning 3 Med hjälp av additionsformeln för cosinus samt det fak- tum att sin^π₄ =cos^π₄ =1/√

2 får vi att

r cos(θ+^π

4) =r(cos θ cosπ

4 −_{sin θ sin}^π 4) = √^x

2−√^y 2. I Cartesiska koordinater är därför ekvationen för den räta linjen

x−y+√

2=₀ ⇔ y=x+√ 2.

Övning 4 Samtidigt som vi roterar fyra varv runt origo ska vi öka radien med jämn fart. Resultatet blir en spiral.

x y

Övning 5 Vi har

a)Re(2+3i) =2, Im(2+3i) =3, b)Re(−1−i) = −1, Im(−1−i) = −1, c) Re(3) =3, Im(3) =0, d) Re(2i) =0, Im(2i) =2,

e) Re(−i) =0, Im(−i) = −1.

Vi ritar dem som vektorer i det komplexa talplanet

−2 −1 1 2 3 4

−2 2 4

2 + 3i

−1 − i

3 2i

−i

Re z Im z

Övning 6 Här behövs bara svar:

a) −2−_i, b) −2+5i, c)7−_i, d) −2i, e)65−_142i, f) −4 Övning 7 Vi har att

e^iπ/6=cosπ

6 +i sinπ 6 =

√ 3 2 + ⁱ

2, e^iπ=cos π+i sin π= −1 Övning 8 Om z är ett komplext tal så blir e^iθz det tal man får om man vrider (vektorn) z vinkeln θ radianer moturs. I uppgiften ska vi vrida vinkeln θ=π/2, vilket alltså svarar mot att multiplicera z med e^iπ/2=i. Alltså övergår 1 i i och−₃+2i i i(−3+2i) = −2−_3i.

Övning 9 Vi får z₁genom rotation ett kvarts varv moturs. Vad gäller z₂kan vi antingen se det som z2=z+z₁, eller så kan vi skriva

1+i=√ 2e^iπ/4,

så vi får z₂ur z genom att först rotera 45 grader moturs och sedan förlänga med en faktor√

2. Detta illusteras i figuren nedan

−4 −2 2 4

2 4 6

z

z₁

z2

Re z Im z

Övning 10 Vi har att

arg(zw) =arg z+arg w= ^π 3 +^π

4 = ^7π 12,

arg z

w =arg z−_{arg w}= ^π 3 −^π

4 = ^π 12

Däremot kan vi inte säga något om arg(z±w). Jämför med logaritm- lagarna!!

Övning 11 Det är här en bra idé att rita ut talen i det komplexa tal- planet (även om−13 inte är placerad på rätt ställe på axeln).

−4 −3 −2 −1 1 2 3

−4

−2 2 4

−1 + i√ 3

√ 3 + 3i

−13 Re z

Im z

Vi ser då direkt att| −₁₃| =_{13 och arg}(−13) = π. För de andra an- vänder vi Pytagoras sats för att beräkna längden och avläser vinkeln med hjälp av våra “standardtrianglar”.

| −₁+i

√ 3| =

q

(−1)²+ (

√ 3)²=

√ 4=2,

arg(−1+i

√

3) =π−^π 3 = ^2π

3 , medan

|√

3+3i| =√ 12=2

√ 3, arg(

√

3+3i) =π/3.

Ur dessa resultat kan vi sedan avläsa den polära formen för de olika talen:

−₁₃=13e^3πi/2, −₁+i√

3=2e^2πi/3, √

3+3i=2√ 3e^πi/3. Övning 12 a) Skriver vi z= x+iy så blir ekvationen z−z=

x+iy− (x−iy) =2iy=0, d.v.s z ska vara ett reellt tal. Detta kan också inses geometriskt:

1 2 3 4

−1

1 z

z

z + zRe z Im z

b) |z+i| = |z− (−i)|ska tolkas som avståndet från z till talet

−i. Villkoret är att detta avstånd ska vara 3, vilket betyder att z ska ligga på den cirkel som har medelpunkt i−i och radien 3:

−4 −2 2 4

−4

−2 2

Re z Im z

Övning 13 Detta ska vara lätt nu, så vi ger bara svaren:

a)1−_i, b)3+5i, c) −7, d)2, e)√

2, f)1, g)5, h)5.

Övning 14 a) ₁¹_+i= ₍₁₊¹_i)(⁻₁ⁱ_−i) =¹₂−ⁱ

2, b) ₃₋¹_4i= ₂₅¹(3+4i) = ₂₅³ +₂₅⁴ⁱ, c) ³₁⁻₊⁴ⁱ_i = ⁽³⁻⁴ⁱ₂⁾⁽¹⁻ⁱ⁾= −¹₂−⁷ⁱ_2, d) ₁¹⁻₊ⁱ_i= ⁽¹⁻₂ⁱ⁾² = ¹⁻²ⁱ₂⁻¹= −i,

e) (1+i)⁻²= (₁₊¹_i)²= (¹⁻₂ⁱ)²= ⁽¹⁻₄ⁱ⁾² = −₂ⁱ, där vi använt a), f) ¹_i = −i.

Övning 15 Vi har att

|z+w|²= (z+w)z+w=zz+zw+zw+ww

= |z|²+ (zw+zw) + |w|²= |z| +_{2 Re}(zw) + |w|²

≤ |z|²+2|z||w| + |w|²= (|z| + |w|)²_.

Här har vi använt att Re(z) ≤ |z|_{och att}|zw| = |z||w|vid olikheten.

Övning 16 Algebrans fundamentalsats säger att ett polynom all- tid har (minst) ett nollställe. Om vi därför utgår ifrån ett n:te- gradspolynom p(z) så har det ett nollställe z₁. Enligt faktorsatsen kan vi då skriva p(z) = (z−z₁)q₀(z) där q1(z) är ett n−_1:te- gradspolynom. Men då använder vi algebrans fundamentalsats på q₁(z)och får ett z2sådant att q1(z₂) =0. Enligt faktorsatsen kan vi då skriva q₁(z) = (z−z₂)q₂(z) där q2(z) har grad n−_{2. Nu har} vi att p(z) = (z−z₁)(z−z₂)q₂(z). Sedan fortsätter vi på det sät- tet och varje gång får vi en kvot som är ett gradtal lägre än tidigare:

p(z) = (z−z₁)(z−z₂). . .(z−z_k)q_k(z)där qk(z)har grad n−_{k. Men} för k=n blir det ett polynom av grad noll, alltså en konstant. Alltså får vi att

p(z) =A(z−z₁)(z−z₂). . .(z−zn) där A är ett komplext tal.

Övning 17 a) Vi börjar med den analytiska lösningen. Sätt z= x+iy. Då får vi ekvationen

(x+iy)²=5+12i ⇔ x²−y²+2xyi=5+12i, vilket är två (reella) ekvationer:

x²−y²=₅ ⇔ _2xy=_12.

Detta kan lösas på olika sätt, men enklast blir det om man observerar att ekvationen z²=5+12i medför att

|z²| = |₅+12i| =^p₅²+12²=

√

169=13.

Samtidigt har vi att

|z²| = |z|²=x²+y²,

så det finns alltså en tredje ekvation: x²+y²=13. För att nu hitta x, y använder vi först två av ekvationerna:

(x²−y²=5 x²+y²=13 ⇔

(2x²=5+13=18 x²+y²=13 ⇔

(x²=9 y²=4 . Vi ser alltså att vi ska ha x= ±_{3, y}= ±2. Med detta ger oss fyra lösningar(3, 2), (3,−₂),(−3, 2),(−3,−₂), men bara två av dessa är korrekta.

För att se vilka använder vi den återstående ekvationen som är xy = 6. Vi ser då att x och y måste ha samma tecken. Så lösningen på uppgiften består av

z₁=3+2i och z₂= −3−_2i.

Den geometriska lösningen bygger på följande figur:

5 10 15 20

5 10 15 20

5 + 12i

13

18 + 12i

Re z Im z

Lösningarna är därför

z= ±√

13 18+12i

|₁₈+12i|= ±√

136(3+2i) 6√

12 = ±(3+2i)

b) Här börjar vi med att kvadratkomplettera vänsterledet:

z²−2(1+i)z−5−10i= (z− (1+i))²− (1+i)²−5−10i

= (z− (₁+i))²−₅−_12i.

Skriver vi nu w=z− (₁+i)så är ekvationen ekvivalent med att w²=5+12i. Men den löste vi i a) och fick w= ±(3+2i). Det följer att

z− (₁+i) = ±(3+2i) ⇔ z= (1+i) ± (3+2i) d.v.s. lösningar är z=4+3i och z= −2−_i.

Övning 18 a) Det enklaste sättet att lösa den är att faktorisera z⁴−₁₆= (z²)²−₄²= (z²−₄)(z²+4)

= (z−2)(z+2)(z−2i)(z+2i),

men idén här är att vi ska lära oss lösa binomiska ekvationer.

Vi skriver därför z=re^iθ. Då blir ekvationen r⁴e^4iθ=16 ⇔ r⁴=16 och e^4iθ=1.

Men detta betyder att r=√⁴

16=2 och att 4θ=2πk för något heltal k. Det senare innebär att θ=kπ/2 för något heltal k, så vi har lösningarna

zk=2e^πi2, k=0,±_1,±_{2 . . . .}

Men här räknar vi upp samma lösning flera gånger. En fjärde- gradsekvation har fyra lösningar, så det är fyra lösningar vi ska ha. Vi tar de för k=0, 1, 2, 3 och får då

z₀=2e⁰=2, z₁=2e^πi/2=2i, z₂=2e^π= −2, z₃=2e^3πi/2= −2i.

b) Vi börjar med att skriva om högerledet på polär form:

i√

3−₁=2(−¹ 2+i

√ 3

2 ) =2e^2πi3 . Skriv sedan z=re^iθ. Då har vi alltså att

r³e^3iθ=2e^2πi3 ⇔

(r³=2 3θ=^2π₃ +2πk

för något heltal k. Lösningen på detta är r =2^1/3och vi ska välja k=0, 1, 2, så vinklarna vi får är

θ1= ^2πi

9 , θ2=^2π 9 +^2π

3 = ^8π

9 θ2= ^2π 9 +^4π

3 = ^14π 9 . Lösningarna är alltså

z₀=2^1/3e^2πi/9, z₁=2^1/3e^8πi/9, z₂=2^1/3e^14πi/9. Här kan vi inte de trigonometriska funktionerna för vinklar- na, så det finns ingen anledning att skriva svaret på cartesisk form.

c) Liksom i a) har vi två alternativ: antingen att lösa den som en binomisk ekvation eller utnyttja att z⁴+1= (z²−i)(z²+ i)och sedan lösa de två andragradsekvationerna genom att skriva x+iy. Vi håller oss till den första metoden, att använda metoden för hur man löser binomiska ekvationer. Vi börjar då

med att skriva−1=e^πi, och med z=re^iθbetyder det att vi ska lösa ekvationen

r⁴e^4iθ=e^iπ ⇔

(r=1

θ= ^π₂+k^π₂ . Vi får de fyra lösningarna

z₀=e^πi/4= √¹ 2+i√1

2, z₁=e^3πi/4= −√¹ 2+i√1

2

z₂=e^5πi/4= −√¹ 2−i√1

2, z₃=e^7πi/4= √¹ 2−i√1

2. Lägg märke till att här svarar vi på cartesisk form eftersom vi är väl förtrogna med vinkeln π/4.

Övning 19 Polynomet har reella koefficienter, så även talen 2−i och

−₁+2i är nollställen. Vi har alltså ett fjärdegradspolynom och fyra nollställen, och därmed, enligt algebrans fundamentalsats, alla noll- ställena:

2±_i, −₁±_2i.

Övning 20 Eftersom polynomet ska ha reella koefficienter ska det även ha ett enkelt nollställe i z=₂+i och ett dubbelt i z= −i. Ett sådant polynom är

(z− (₂−i))(z− (₂+i))(z−i)²(z+i)²= ((z−₂)²−i²)((z−i)(z+i))²

= (z²−_2z+3)(z²+1)²=z⁶−_4z⁵+7z⁴−_8z³+11z²−_4z+5 Övning 21 a) Det gör vi enklast med konjugatregeln:

x⁴−1= (x²)²−1= (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1). b) Ett trick för denna är följande:

x⁴+1=x⁴+2x²+1−_2x²= (x²+2)²− (√ 2x)²

= (x²+

√

2x+2)(x²−√ 2x+2),

men det behöver man inte se. Vad man gör är börja med att lösa den binomiska ekvationen z⁴= −1, vilket vi gjorde ovan.

Dessa fyra lösningar kommer i komplexa par och var av dem ger ett andragradspolynom:

(z− (√¹ 2+i 1

√

2)(z− (√¹ 2−i 1

√ 2)

= ((z−√¹ 2)²+¹

2 =z²−₂√ 2z+1 och

(z− (−√¹ 2+i√1

2)(z− (−√¹ 2−i√1

2)

= ((z+√¹ 2)²+¹

2 =z²+√ 2z+1

Detta ger oss faktoriseringen (nu byter vi z mot x eftersom vi talar om reella tal)

(x²−√

2x+1)(x²+

√ 2x+1).

c) Vi ser här att polynomet har nollstället x=1 och bryter vi ut (x−₁)får vi

x⁵−x⁴+4x−₄= (x−₁)(x⁴+4)

= (x−₁)(x²+2x+2)(x²−_2x+2) där sista likheten får som i b).

Övning 22 Låt polynomet vara

p(z) =

∑

a_kz^k.

Om vi konjugerar det får vi (lägg märke till hur vi använder räknereg- lerna för konjugering)

p(z) =

∑

a_kz^k=

∑

a_kz^k=

∑

a_kz^k.

Eftersom polynomet har reella koefficienter gäller här att ak =a_kför alla k och vi får att

p(z) =

∑

a_kz^k=p(z).

Så konjugatet av p(z)fås genom att vi räknar ut polynomet i konjuga- tet z. Det betyder att om p(α) =0 så gäller att p(α) = p(α) =₀=_0.

Detta bevisar påståendet.

Övning 23 a) e⁰ = 1, b) e^iπ/2 = i, c) e^{12ln 2}e^iπ/4 = (e^{ln 2})^1/2(^√1

2+^√i

2) =1+i, d) e^iπ= −1, e) e³⁻ⁱ =e³(cos(−1) + i sin(−1)) =e³(cos 1−_{sin 1}).

Övning 24 Vi börjar med att skriva om det vi ska upphöja till 100 på polär form:

1 2+i

√3 2 =e^iπ/3.

Enligt räknereglerna för exponentialfunktionen får vi då att

(¹ 2+i

√ 3

2 )¹⁰⁰=e^i100π/3.

Från detta måste vi ta bort så många hela perioder vi kan för att se vad det är för tal. Nu gäller att

100

3 =33+¹

3 =32+⁴

3 ⇒ ^100π

3 =16 2π+^4π 3 , så här finns 16 hela varv. Alltså gäller att

(¹ 2+i

√ 3

2 )¹⁰⁰=e^i4π/3= −¹ 2−i

√ 3 2 . Övning 25 Börja med att skriv z på cartesisk form:

z=4e^iπ/6=4(

√ 32+ ⁱ

2) =2

√ 3+2i.

Det betyder att

e^iz=eⁱ⁽²

√

3+2i=e⁻²eⁱ²

√ 3,

och alltså är

|e^iz| =e⁻².

Övning 26 a) Vi har att 2+2i = 2(1+i) = 2^3/2e^iπ/4 = e^{32ln 2+iπ4}. För att e^z =e^amåste z−a vara ett helt antal varv, så det vi får är att

z= ³

2ln 2+iπ 4 +k2π, där k är ett godtyckligt heltal.

b) Ekvationen e^z = 0 saknar lösningar. a = 0 är det enda hö- gerled som ekvationen e^z=a saknar lösning; i alla andra fall finns oändligt många lösningar.

Övning 27 Vi skriver

cos x sin y= ¹

2(e^ix+e^−ix)¹

2i(e^iy−e^−iy)

= ¹

4i(e^i(x+y)+e^i(−x+y)−e^i(x−y)−e^−i(x+y))

= ¹ 2

e^i(x+y)−e^−i(x+y)

2i −^e

i(x−y)−e^−i(x−y) 2i

!

=¹

2(sin(x+y) −sin(x−y)). Övning 28 Enligt definitionen är

cos²z+sin²z=^{ e}

iz+e^−iz 2

2

+^{ e}

iz−e^−iz 2i

2

= ¹

4((e^2iz+2+e^−2iz) − (e^2iz−₂+e^−2iz)) =1

Övning 29 Om vi sätter z=ix i föregående uppgift och använder att cosh x=cos(ix), sinh x=i sin(ix)

så följer resultatet, eftersom vi får att

cos²(ix) +sin²(ix) =cosh²x−_sinh²_x.

Övning 30 Avbildningen z→e^zbetyder

x+iy→e^x+iy=e^x(cos y+i sin y).

Detta är den komplexa versionen. I det reella talplanet skrivs exakt samma avbildning

(x, y) → (e^xcos y, e^xsin y).

Övning 31 Vägskillnaden mellan vågorna i punkten C är x1−x₂= 92 km=46λ där λ=2 är våglängden. Det betyder att båten startar i ett maximum. När båten rör sig mot D minskar vägskillnaden hela tiden: i punkten D är den x₁−x₂= −78 km= −39λ. Även i punkten D finns ett maximum. När båten rör sig mellan C och D passerar den maximum när vägskillnaderna är kλ, där k börjar i 46 och slutar i−_39.

Det finns 46+39+1 sådana k. Eftersom det finns ett minimum mellan varje maximum finns det 85 minima.

Övning 32 Den stående vågen i vattnet (i vattenfallet) reflekteras mot tunnare material (vatten mot luft) upptill och mot tätare mate- rial nertill (vatten mot marken). Den stående vågen begränsas därför av en buk och en nod. För den lägsta frekvensen gäller då att det λ/4=h, höjden på vattenfallet. Frekvensen blir därför

f= ^v λ = ^v

4h

där v≈1.5 km/s är ljudets fart i vatten. Ett 10 m högt vattenfall ger alltså upphov till en lägsta resonansfrekvens på ungefär 40 Hz.

Övning 33 Denna övning överlåtes åt dig själv och huvudtexten, i samarbete.

Övning 34 För att bestämma√

i ska vi först lösa z²=i=e^iπ/2. Lös- ningarna (på polär form) är z0 = e^iπ/4och z₁ = e^iπ/4+iπ = e^5π/4. Vidare har vi kravet att−π/2<arg z≤π/2, och det är z₀som upp- fyller det villkoret. Alltså (med detta val av rotfunktion)

√

i=e^iπ/4= ¹+i

√2 .

I det andra fallet ska vi lösa z²=√

3+i=2e^iπ/6 vars lösningar är

z₀=√

2e^iπ/12 och z₁=√ 2e^i13π/12, och även nu ska vi ta den första roten.

Anmärkning Notera i exemplet att √

z blev definierad genom att vi la till ett villkor med vars hjälp vi kunde välja en av de två rötterna och därmed får entydighet. Man säger att man väljer gren av (den mångtydiga) kvadratrotsfunktionen.

Övning 35 Med i=e^iπ/2får vi

iⁱ= (e^iπ/2)ⁱ=e^i2π/2=e^−π/2

(vilket är ett reellt tal). Men vi kan också skriva e=e^iπ/2+k2πför ett godtyckligt helta k, vilket ger oss att

iⁱ=e^{−π/2−2πk}.

iⁱsvarar alltså mot oändligt många reella tal! Vilket ska vi välja? För det måste vi bestämma vilken gren av logaritmen vi ska välja, d.v.s.

vilket k vi ska ta ovan.