Spelteori och auktionsmatematik

(1)

U.U.D.M. Project Report 2020:25

Examensarbete i matematik, 15 hp

Handledare: Erik Ekström

Examinator: Martin Herschend

Juni 2020

Department of Mathematics

Spelteori och auktionsmatematik

(2)

(3)

Sammanfattning

Den här uppsatsen behandlar spelteori och dess tillämpning p˚a auktioner, med fokus p˚a hur en budgivare som vill vinna auktioner till ett s˚a l˚agt pris som möjligt kan maximera sin nyttofunktion. Budstrategier med Nashjämvikt har härletts och modellerats med hjälp av nyttofunktioner som uppfyller Von Neumann Mor-gensterns kriterier. Tv˚a metoder för diskontering, additativ och multiplikativ diskontering, formulerades och undersöktes för att modellera en situation där det tillkommer en kostnad för deltagandet i varje ytterligare auktion.

(4)

Inneh˚

allsf¨

orteckning

1 F¨orord 4

2 Bakgrund: Spelteori 5

2.1 Definitionen av ett spel . . . 5

2.1.1 Von Neumann–Morgensterns nyttofunktion . . . 5

2.1.2 Spelteorins premisser . . . 6

2.1.3 Nashj¨amvikt . . . 6

2.2 Exempel p˚a spel . . . 6

2.2.1 F˚angarnas dilemma . . . 7

2.2.2 Matching Pennies . . . 7

3 Bakgrund: Spelteori applicerat p˚a auktioner 8 3.1 Auktionstyper . . . 8

3.1.1 Engelsk auktion . . . 8

3.1.2 Holl¨andsk auktion . . . 8

3.1.3 Japansk auktion . . . 8

3.1.4 F¨orstaprisauktion med f¨orseglade bud . . . 8

3.1.5 Andraprisauktion med f¨orseglade bud . . . 9

3.2 Matematisk formalisering av f¨orstaprisauktioner med f¨orseglade bud . . . 9

3.2.1 Budintervall . . . 9

3.2.2 Symmetrisk Nashj¨amvikt . . . 10

3.2.3 Exempel p˚a j¨amviktsstrategier . . . 11

4 En auktionsstrategi ¨over tid 13 4.1 Definition av problemet . . . 13

4.1.1 Definition av likv¨ardiga varor . . . 13

4.2 ˚Aterkommande auktioner av likv¨ardiga varor . . . 13

4.3 Diskontering . . . 14

4.3.1 Multiplikativ diskontering . . . 14

4.3.2 Additativ diskontering . . . 14

4.4 Budstrategi med multiplikativ diskontering . . . 14

4.4.1 Multiplikativ diskontering vid likformig f¨ordelning . . . . 16

4.4.1.1 Budstrategi vid Re(0,1) . . . 18

4.5 Budstrategi med additativ diskontering . . . 20

4.5.1 Additativ diskontering vid likformig f¨ordelning . . . 22

5 Slutsats 28

(5)

1 F¨

orord

Den här uppsatsen handlar om spelteori applicerat p˚a auktioner. Auktioner har funnits i m˚anga tusen ˚ar och troligtvis budgivares funderingar kring strategier likas˚a. Min personliga koppling till ämnet föddes ur hur jag över m˚anga ˚ar utvecklat och förfinat olika budstrategier för auktioner p˚a Tradera med m˚alet att buda hem varor jag vill ha och samtidigt betala s˚a lite som möjligt för dessa. Jag har dock aldrig tidigare försökt närma mig detta intressanta ämne p˚a ett teoretiskt plan.

Uppsatsen är uppdelad i olika delar. Jag g˚ar först igenom grundläggande spelteori och dess premisser. Jag gör sedan en genomg˚ang av auktioner och hur spelteori kan appliceras p˚a auktioner, mestadels baserat p˚a Vijay Krishnas verk Auction Theory [3]. Slutligen gör jag ett par försök att applicera Krish-nas matematiska teoretisering av auktionsstrategi p˚a fallet med ˚aterkommande strategier av likvärdiga varor för att härleda konkreta budfunktioner fr˚an nyt-tofunktioner.

(6)

2 Bakgrund: Spelteori

Spelteori är studiet av matematiska modeller över strategiska interaktioner mel-lan rationella beslutsfattare. Dessa matematiska modeller kallas spel och de delt-agande parterna kallas spelare. Varje spel g˚ar att klassificera utifr˚an olika kri-terier som avgör spelets karaktär och vilken sorts matematik som kan användas för att modellera spelet. Vi kommer i den här uppsatsen att fokusera p˚a den matematik och spelteori som berör auktioner.

2.1 Definitionen av ett spel

Sedan Drew Fudenberg och Jean Tiroles gemensamma verk Game Theory [1] utkom 1991 har den r˚adande matematiska definitionen av ett spel varit att ett spel best˚ar av tre delar: en m¨angd spelare i som tillsammans bildar den ¨

andliga mängden δ = {1, 2, ..., I}, ett strategirum Si som rymmer de möjliga strategierna s = (s1, ..., sI), samt och en nyttofunktion Πi. Tillsammans ger dessa tre delar oss Πi(s) vilket uppfyller Neumann–Morgensterns kriterier för en nyttofunktion.

2.1.1 Von Neumann–Morgensterns nyttofunktion

Enligt Von Neumann–Morgenstern finns det fyra axiom som definierar en ra-tionell beslutsfattare, eller med v˚ar terminologi: en spelare [4]. Dessa ¨ar:

Fullständighet. Varje individ anses ha väldefinierade preferenser och att alltid vara förmögen att välja mellan tv˚a olika alternativ. För varje alternativ A och B gäller antingen A B eller A B.

Transitivitet. Detta axiom säger oss att en individ som tar beslut enligt ovan nämnda fullständighetsaxiom är konsekvent i sitt beslutsfattande. För varje A, B och C gäller att om A B och B C s˚a följer A C.

Oberoende fr˚an irrelevanta alternativ. Detta axiom s¨ager oss att om det tillkom-mer ett irrelevant alternativ till tv˚a stycken sedan innan existerande relevanta alternativ s˚a kommer individens preferens i valet mellan ett av de tv˚a relevanta alternativen och det nytillkomna ej relevanta alternativet alltid falla p˚a n˚agot av de relevanta alternativen. Om vi l˚ater A, B och C vara tre lotterier med egenskaperna A B samt l˚ater t vara sannolikheten att det tillkommer ett alternativ C, t ∈ [0, 1], s˚a g¨aller:

tA + (1 − t)C tB + (1 − t)C (1) Detta visar oss att relationen mellan A och B bibeh˚alls ¨aven n¨ar ett irrele-vant alternativ C presenteras.

(7)

preferenserna A B och B C s˚a existerar en m¨ojlig kombination av A och C som ur ett preferensperspektiv ej kan skiljas fr˚an B. Det existerar allts˚a en sannolikhet p s˚a att

B = pA + (1 − p)C (2)

2.1.2 Spelteorins premisser

Förutom de nyss nämnda fyra axiom som definierar en rationell spelare och som ligger till grund för att kunna definiera Von Neumann–Morgensters nytto-funktion existerar vissa antaganden som ligger till grund för den spelteoretiska matematiken:

i) Varje spelare känner till de olika möjliga strategierna och deras olika möjliga utfall.

ii) Varje spelare vet att de andra spelarna k¨anner till i).

iii) Varje spelare är rationell och har som m˚al att maximera sin egna nyttofunk-tion. Att maximera sin egna nyttofunktion kan i vissa sammanhang innebära att assistera sina motspelare medan det i andra sammanhang kan innebära mot-satsen.

iv) Varje spelare känner till att de andra spelarna känner till att dom andra spelarna känner till i), ii), iii) och iv) (och s˚a vidare) [6].

2.1.3 Nashj¨amvikt

När det i ett spel med tv˚a eller fler spelare uppst˚ar en situation där ingen spelare har n˚agonting att tjäna p˚a att ensam byta strategi s˚a säger man att dessa strate-gier tillsammans utgör en Nashjämvikt.

Mer formellt l˚ater vi (S, f ) vara ett spel där S är mängden strategier och f är mängden nyttofunktioner. Varje enskild spelare i ∈ {1, ..., n} väljer en strategi xi vilket resulterar i en strategiprofil x = (x1, ..., xn) vilket ska först˚as som mängden strategier som de olika spelarna valt. Varje spelare f˚ar d˚a nyttofunk-tionen fi(x) som beror p˚a mängden x, det vill säga mängden av strategierna som de olika spelarna valt.

Man säger att en strategiprofil x∗ är en Nashjämvikt om ingen enskild spelare har ett lönsammare val av strategi att byta till, det vill säga ifall det för alla i gäller att

fi(x∗) ≥ fi(x∗1, ..., x∗i−1, xi, x∗i+1, ..., x∗n) (3)

2.2 Exempel p˚

a spel

(8)

2.2.1 F˚angarnas dilemma

Detta är ett av de mest klassiska spelteoretiska exemplen. Tv˚a f˚angar, som vi här väljer att kalla för Leonhard Euler och Sophie Germain, har ˚akt fast för ett brott som de beg˚att tillsammans. De ställs var och en inför ett val: att vittna mot sin medbrottsling eller att tiga. Om Euler vittnar mot Germain medan Germain tiger s˚a f˚ar Euler g˚a fri medan Germain f˚ar tio ˚ars fängelse. Likväl om Germain vittnar mot Euler medan Euler tiger s˚a f˚ar Germain g˚a fri medan Euler f˚ar tio ˚ars fängelse. Om b˚ada tiger f˚ar de b˚ada sex m˚anaders fängelse. Och om de b˚ada vittnar mot varandra s˚a f˚ar de b˚ada tv˚a ˚ars fängelse var. Prisoners dilemma förutsätter att f˚angarnas enda m˚al är att minimera sin egna fängelsetid, samt att de inte har n˚agon möjlighet att kommunicera med varandra.

Germain vittnar Germain tiger

Euler vittnar B˚ada f˚ar tv˚a ˚ars f¨angelse Euler friges, Germain f˚ar tio ˚ar Euler tiger Germain friges, Euler f˚ar tio ˚ar B˚ada f˚ar sex m˚anaders f¨angelse

¨

Aven fast det kan verka som att det bästa alternativet vore om de b˚ada skulle tiga, s˚a har de tv˚a f˚angarna ingen möjlighet att bekräfta denna strategi med varandra.

Oavsett hur den andre f˚angen handlar s˚a är det rationellt att själv vittna för att f˚a n˚agot av de tv˚a utfallen noll eller tv˚a ˚ars fängelse, istället för n˚agot av utfallen sex m˚anader eller tio ˚ars fängelse. Vi ser med andra ord hur utfallet där b˚ada f˚angarna vittnar är en Nashjämvikt.

2.2.2 Matching Pennies

L˚at oss nu definiera ett nytt spel mellan Euler och Germain. De tv˚a spelarna har varsitt mynt där de var för sig ska välja ifall myntet ska ligga med krona eller klave upp˚at, för att sedan jämföra med varandra vad de valt. Om spelarna valde samma alternativ s˚a vinner Euler Germains mynt. Om de däremot valde olika alternativ s˚a vinner Germain Eulers mynt.

Germain: KRONA Germain: KLAVE Euler: KRONA (1,-1) (-1,1)

Euler: KLAVE (-1,1) (1,-1)

Här uppst˚ar en annorlunda dynamik än i det förra spelet. Till skillnad fr˚an Prisoner’s Dilemma s˚a är detta ett nollsummespel där den enas vinst alltid ¨

(9)

3 Bakgrund: Spelteori applicerat p˚

a auktioner

En auktion är en metod för köp och försäljning via budgivning där den som bjuder högst m˚aste köpa varan [2]. Vi kommer i den här uppsatsen att enbart att behandla auktioner av varor vars uppskattade värde är subjektivt för de olika budgivarna, s˚a kallade private value auctions. Detta till skillnad fr˚an s˚a kallade common value auctions. Ett illustrerande exempel p˚a en common value auction är en auktion av en giltig femhundrakronorssedel.

3.1 Auktionstyper

Det finns flera olika omr˚aden där auktioner kan skilja sig ˚at fr˚an varandra. Nedan följer ett par beskrivningar av vanligt förekommande auktionsformer. Vi kommer dock i den här uppsatsen att fokusera p˚a förstaprisauktioner med förseglade bud och dess tillhörande spelteori.

3.1.1 Engelsk auktion

En engelsk auktion g˚ar ut p˚a att en auktionsförrättare kommunicerar ett reserva-tionspris som är varans lägsta acceptabla priset. Auktionsförrättaren tar sedan emot högre och högre bud av de potentiella köparna fram tills att ingen längre vill höja sitt bud. Personen som gett högst bud vinner sedan auktionen.

3.1.2 Holl¨andsk auktion

En holländsk auktion, även kallad klockauktion, är en auktion som startar med ett högt utg˚angspris och där priset sedan gradvis sänks fram tills att en köpare accepterar budet.

3.1.3 Japansk auktion

En japansk auktion, även kallad ascending clock auction, är en variant av en engelska auktion där en auktionsförrättare deklarerar ett utg˚angspris för att sedan succesivt höja priset. Vid varje prishöjning m˚aste budgivarna bekräfta att de fortfarande är med i auktionen. Efter att auktionen startat f˚ar inga nya budare tillkomma, och en budare som lämnat auktionen f˚ar inte heller ˚atervända. Den budaren som är sist kvar i auktionen vinner och f˚ar betala

prissumman som den var ensam om att bekr¨afta [5].

3.1.4 F¨orstaprisauktion med f¨orseglade bud

(10)

3.1.5 Andraprisauktion med f¨orseglade bud

Andraprisauktioner med föresglade bud har m˚anga likheter med förstaprisauktion med förseglade bud. Den mest relevanta skillnaden är att vinnaren av auktionen enbart betalar vad budaren med det näst högsta maxbudet angav som maxbud.

3.2 Matematisk formalisering av f¨

orstaprisauktioner med

f¨

orseglade bud

För att kunna applicera spelteori p˚a auktioner kommer vi nu att formalisera och uttrycka vad vi känner till om förstaprisauktioner med förseglade bud i abstrakta matematiska termer.

Vid en auktion av en vara kan det finnas N stycken budgivare. Budgivare i värderar varan till xisom är ett värde ur den kontinuerliga stokastiska variabeln Xi. De N stycken olika slumpvariablerna Xibefinner sig p˚a intervallet [0, ω] som skapas av den kontinuerliga, monotont ökande och differentierbara funktionen F . Vi antar även att E[Xi] < ∞. Budgivaren i känner till sin egna värdering xi av varan och att de andra budgivarnas värdering av varan fördelas av funktionen F. Vi definierar även en budgivare i:s strategi vid en auktion som funktionen

βi :0, ω → R+ (4) Strategin βi avg¨or helt enkelt vilket bud som budgivare i ska buda f¨or varan.

Vidare f¨oreseglar varje budgivare i ett bud bi och vi kan med det formulera nyttofunktion Πi = ( xi− biom bi > maxj6=ibj 0 om bi < maxj6=ibj (5)

där ”nyttan” eller förtjänsten xi− bi innebär varans värde minus vad bud-givare i la för bud p˚a varan. Vi ser ocks˚a att xi är varje budgivare i:s maxbud p˚a auktionen, d˚a det enligt nyttofunktionen skulle innebära en förlust för i att betala ett pris högre än varans värde. Vi antar även att om bi= maxj6=ibj s˚a drar budgivarna med samma högsta maxbud lott om vem som f˚ar genomföra affären.

3.2.1 Budintervall

(11)

säker vinst av auktionen och en säker förlust i v˚ar nyttofunktion. Vi kommer därför bara att överväga bud som uppfyller b ≤ β(ω).

Vidare gäller att om en budare i värderar en vara till 0 s˚a skulle det innebära en förlust att vinna en auktion av varan med ett bud högre än 0. Vi kan därför dra slutsatsen att β(0) = 0 m˚aste gälla i v˚ar budgivningsstrategi.

Vi har nu definierat budintervallet 0 ≤ b ≤ β(ω) f¨or v˚art optimala bud b.

3.2.2 Symmetrisk Nashj¨amvikt

L˚at säga att vi har en budgivare nummer 1. Vi l˚ater den stokastiska variabeln Y1≡ Y₁(N −1)st˚a för det högsta budet fr˚an de övriga N − 1 budgivarna. Vi l˚ater G st˚a för fördelningsfunktionen av Y1. För alla y gäller d˚a att

G(y) = F (y)N −1 (6) Budgivare 1 vinner auktionen vid läggandet av det högsta budet, det vill säga när maxi6=1β(Xi) < b. Eftersom att β är ökande gäller att

maxi6=1β(Xi) = β( maxi6=1Xi) = β(Y1) (7) V˚ar budgivare 1 vinner allts˚a när β(Y1) < b som är ekvivalent med Y1 < β−1(b). Detta sammansatt med v˚ar tidigare definierade nyttofunktion ger v˚ar budgivare den möjliga vinsten

G β−1(b) × (x − b) (8) D˚a vi ¨onskar maximera nyttofunktionen med avseede p˚a b kan vi skriva

g β−1(b)

β0 _β−1_(b) (x − b) − G β

−1_{(b) = 0} ₍₉₎ där g är derivatan av G och β0 är derivatan av β. När b = β(x) uppst˚ar en Nashjämvikt som ger oss differentialekvationen

G(x)β0(x) + g(x)β(x) = xg(x) (10) som ¨ar ekvivalent med

d

dx G(x)β(x) = xg(x) (11) Vidare har vi tidigare definierat att β(0) = 0, vilket ger oss

β(x) = 1 G(x) Z x 0 yg(y)dy = EY1|Y1< x (12)

Symmetriska jämviktsstrategier vid förstaprisauktioner ges av βI_{(x) = E[Y} 1|Y1< x] där Y1är det högsta av N − 1 dragna värden.

(12)

EY1|Y1 < x. I denna situation menar Krishna att det f¨or budare 1 ocks˚a ¨

ar optimalt att följa strategi β. Eftersom att β är en kontinuerlig och ökande funktion innebär det att den budgivare med högst värdering av varan ocks˚a lägger högst bud och därmed vinner auktionen.

Vi l˚ater z = β−1_{(b) st˚}_{a f¨}_{or det v¨}_{arde d¨}_{ar b blir ett j¨}_{amviktsbud. Om} bud-givare 1 v¨arderar varan till x men budar β(z) = b f˚ar vi nyttofunktionen:

Π(b, x) = G(z)x − β(z) = G(z)x − G(z)EY1|Y1< z = G(z)x − Z z 0 yg(y)dy = G(z)x − G(z)z + Z z 0 G(y)dy = G(z)(x − z) Z z 0 G(y)dy (13) Vi f˚ar d˚a vidare att Π β(x), x − Π β(z), x = G(z)(x − z) Z z 0 G(y)dy ≥ 0 (14)

oavsett om z > x eller z < x. Hur vi ¨an v¨aljer z s˚a blir det antingen ett ¨

overbud eller ett underbud. Vi har därmed visat att om alla budgivare förutom budare 1 budar enligt strategin β s˚a maximerar budare 1 sin nyttofunktion genom att ocks˚a buda enligt β. Detta är ekvivalent med att β är en Nashjämvikt.

Vi kan skriva om j¨amviktsbudet som

βI(x) = x − Z x

0 G(y)

G(x)dy (15)

vilket visar att jämviktsbudet är mindre än x. Vi kan se p˚a sambandet

G(y) G(x)= F (y) F (x) N −1 (16)

att βI_{(x) r¨}_{or sig mot x n¨}_{ar antalet budare N ¨}_okar.

3.2.3 Exempel p˚a j¨amviktsstrategier

Här följer tv˚a exempel p˚a jämviktsstrategier där budgivarnas värdering av varan i ena fallet hämtas fr˚an en likformig fördelning och i det andra fallet fr˚an en exponentiell fördelning.

i)

(13)

βI(x) = N − 1

N x (17)

Denna jämviktsstrategi l˚ater budgivaren buda en konstant del av sin värdering av den vara som auktioneras ut. Om det är tv˚a budgivare som tävlar blir det optimala budet βI(x) = 2−1₂ x = x₂. Om det är tre budgivare blir det optimala budet 2x

3 och s˚a vidare. Vi ser tydligt hur det optimala budet rör sig mot x när antalet budare ökar.

ii)

Vi antar här en exponentiell fördelning [0, ∞) av budgivarnas värdering av varan. Vi l˚ater F (x) = 1 − e−λx för n˚agot λ > 0 och N = 2. Vidare l˚ater vi βI(x) = x − Z x 0 F (y) F (x)dy = 1 λ− xe−λx 1 − e−λx (18)

Om vi nu l˚ater λ = 2 f˚ar vi att E[X] = 1₂.

En intressant situation som uppst˚ar när vi väljer en exponentiell fördelning är att även budgivare med en anmärkningsvärd hög värdering av varan änd˚a inte kommer buda mer än 1₂. Detta kan förklaras av att budgivarens främsta in-tresse inte är att vinna budgivningen utan att optimera maximeringen av sin nyttofunktion.

(14)

4 En auktionsstrategi ¨

over tid

Vi har nu anlänt vid uppsatsens sista del, där vi i avstamp av vad vi hittills g˚att igenom ska försöka lösa ett nytt sorts problem.

4.1 Definition av problemet

I den matematik och de räkneexempel vi g˚att igenom hittills har vi studerat uppkomsten av Nashjämvikter för budstrategier vid enskilda auktioner gällande specifika varor. Vi ska nu lyfta blicken och försöka f˚a svar p˚a hur strategier och Nashjämvikter p˚averkas när vi introducerar iden om ˚aterkommande auktioner av likvärdiga varor.

4.1.1 Definition av likv¨ardiga varor

För att kunna räkna p˚a detta specialfall m˚aste vi först definiera vad vi menar med begreppet ”likvärdiga varor”. L˚at oss därför definiera att tv˚a eller flera varor är likvärdiga om budgivaren upplever varorna som likvärdiga och därför värderar varorna till samma värde x. Det individuella värdet av varorna är oberoende slumpvariabler med samma fördelning. Likvärdiga varor skulle till exempel kunna vara en mängd böcker av samma eller olika utg˚avor eller en mängd svarta kavajer i samma storlek. Det väsentliga i v˚ar definition är att budgivaren är den som uppfattar varorna som lika och därför värderar dem lika.

4.2 ˚

Aterkommande auktioner av likv¨

ardiga varor

Vi har tidigare visat hur varje den m¨ojliga vinsten av varje enskild auktion ges av nyttofunktionen

Π(b, x) = G β−1(b) × (x − b) (19) Vad vi nu vill studera är vilka Nashjämvikter som uppst˚ar i en situation där en budgivare ej längre m˚aste vinna en enskild auktion för att f˚a köpa en vara, utan för varje förlorad auktion ges en ny chans att buda p˚a en likvärdig vara i en ny auktion. Det finns flera olika sätt att uttrycka detta matematiskt. Vi väljer att introducera V som f˚ar symbolisera värdet av att det för varje förlorad auktion ges en ny chans till v˚ar budgivare genom en ny auktion. V m˚aste därför inneh˚alla sig själv, d˚a det för varje förlorad auktion ges en ny chans. Värdet av V bör även vara beroende av β. Vi skriver därför att

V = E

X − β(X)1β(X)>β(Y ) + V E1β(X)<β(Y )

(15)

α ∈ Z+. V˚ar nyttofunktion Π vid räkning p˚a ˚aterkommande auktioner med likvärdiga varor blir därför

Π(b, x) = P β(Y ) < b(x − b) + P β(Y ) > bV (21) men det ¨ar fortfarande n˚agot som fattas.

4.3 Diskontering

Det är inte sv˚art att föreställa sig ett fall där n˚agon form av kostnad tillkommer vid deltagandet i flera auktioner jämfört med en enbart en auktion. Detta skulle kunna vara en kostnad i form av nedlagd tid, en ˚aterkommande kostnad för transportering till auktionerna eller kanske en kostnad för tiden utan varan, till exempel om det är minusgrader ute och varan är en vinterjacka. Men hur ska vi uttrycka detta matematiskt?

4.3.1 Multiplikativ diskontering

L˚at oss definiera en multiplikativ diskonteringsvariabel a < 1, där a ∈ R+. Insättning av denna diskonteringsvariabel i nyttofunktionen ger oss en nytto-funktion vars värde minskar för varje ny auktion v˚ar budgivare deltar i:

Π(b, x) = P β(Y ) < b(x − b) + P β(Y ) > bV a (22) Om v˚ar budgivare förlorar den första auktionen men vinner p˚a sitt andra försök belastas nu nyttofunktionen med diskonteringsvariabeln a. Om v˚ar bud-givare däremot förlorar de tv˚a första auktionerna men vinner den tredje belastas nyttofunktionen av a2_.

4.3.2 Additativ diskontering

Ett annat sätt att uttrycka diskontering är med hjälp av den additativa diskon-teringsvariabeln där ∈ R+. Vi definierar som en diskonteringskostnad för varje auktion vi deltar i förutom den första auktionen. V˚ar nyttofunktion med denna diskonteringskostnad inlagd blir

Π(b, x) = P β(Y ) < b(x − b) + P β(Y ) > b(V − ) (23) Om v˚ar budgivare vinner p˚a sitt första försök s˚a slipper budgivaren diskon-tering. Sedan diskonteras budgivaren med för varje efterföljande auktion. Den totala diskonteringskostnaden blir därför (α−1) där α sedan tidigare är antalet auktioner fram tills vinst.

4.4 Budstrategi med multiplikativ diskontering

(16)

en motspelare per auktion och att den personen hämtar sin värdering av varan ur slumpvariabeln Y . D˚a P (Y ≤ y) = G(y) kan vi nu uttrycka nyttofunktionen för deltagandet i en serie auktioneringar av likvärdiga varor med en motbjudare per auktion och multiplikativ diskontering som

G β−1(b)(x − b) + V a 1 − G β−1_(b)

(24) Om v˚ar budgivares bud b är större än motspelarens bud β(Y ) s˚a vinner v˚ar budgivare auktionen och nyttofunktionen ger oss vinsten x − b. Om däremot motspelarens bud är större än v˚ar budgivares bud ˚aterst˚ar (x − b)V a som ut-trycker att det kommer en ny likvärdig auktion för oss att delta i, där (x−b)aα−1 blir v˚ar budgivares eventuella vinst med det vinnande budet som sker vid den α:e auktionen. D˚a vi önskar finna en maximering av v˚ar nyttofunktion genomför vi en derivering med avseende p˚a b som vi sedan sätter lika med noll för att finna den punkt som maximerar nyttofunktionen:

som ¨ar lika med

G β−1(b)(x − b) + V a 1 − G β−1(b) (25) Vi deriverar nyttofunktionen med avseende p˚a b och s¨atter resultatet lika med noll f¨or att finna den punkt som maximerar nyttofunktionen:

0 = −G β−1(b) +(x−b)g β−1_(b) 1 β0 _β−1_(b) − V ag β −1_(b) 1 β0 _β−1_(b) (26) β0 β−1(b)G β−1_{(b) + V ag(β}−1_{(b)) = (x − b)g β}−1_(b) (27) d˚a b = β(x) f˚ar vi β0(x)G(x) + β(x)g(x) + V ag(x) = xg(x) (28) Fallet med en motbjudare ger oss

V = E

X − β(X)1β(X)>β(Y ) +a

2V (29)

Vi subtraherar a

2V p˚a b˚ada sidor av likhetstecknet och f˚ar d˚a

(17)

Insättning ger oss β0(x)G(x) + β(x)g(x) + a 1 −a₂g(x) Z ∞ x=0 x − β(x)g(x)G(x)dx = xg(x) (32) som är en integralekvation. Eftersom att integralen blir till en konstant vid uträkning kan vi ansätta

Γ = a 1 − a₂

Z

x − β(x)g(x)G(x)dx (33) vilket ger oss en ekvation som vi kan bearbeta som en differentialekvation:

β0G + βg + Γg = xg (34) β0G + βg = xg − Γg (35) Z β0G + βgdx = Z xg − Γgdx (36) βG = Z xgdx − ΓG + A (37)

d¨ar A ¨ar en konstant som uppstod vid integrering.

β = 1 G

Z

xgdx − Γ +A

G (38)

Vi har nu tagit fram en allmän form för budfunktionen β vid ˚aterkommande auktioner av likvärdiga varor och multiplikativ diskontering. L˚at oss nu ta fram hur budfunktionen ser ut om vi antar en allmän likformig fördelning.

4.4.1 Multiplikativ diskontering vid likformig f¨ordelning

L˚at oss anta en likformig f¨ordelning Re(c,d):

G(x) =        0 om x < c x − c d − c om c ≤ x ≤ d 1 om x > d (39)

Ins¨attning i budfunktionen ger oss

(18)

Vi s¨atter B = 2A(d − c) β = x 2_{− 2xΓ + 2cΓ + B} 2(x − c) = (x − c)(x − (2Γ − c)) + c 2_{+ B} 2(x − c) (41)

F¨or att f˚a en begr¨ansad budfunktion β l˚ater vi B = −c2_{. Genom att} kom-pensera bort c2 _f˚_{ar vi budstrategin}

β = x 2 − Γ +

c

2 (42)

L˚at oss nu ta fram v¨ardet p˚a Γ. Vi har sedan tidigare att

Γ = a 1 − a₂

Z

x − β(x)g(x)G(x)dx (43) Ins¨attning av v˚ar nyfunna β och den likformiga f¨ordelningen ger oss

Γ = a 1 −a₂ Z d c x − (x 2 − Γ + c 2) x − c (d − c)2dx = a 1 −a₂ Z d c x − c 2 + Γ x − c (d − c)2dx = a 1 −a₂ 1 6(d − c + 3Γ) = a(d − c + 3Γ) 6(1 −a₂) (44) 6Γ(1 −a 2) = ad − ac + 3aΓ (45) Γ(6(1 −a 2) − 3a) = ad − ac (46) Γ = a(d − c) 6(1 − a) (47)

Ins¨attning i β ger oss

β = x 2 − a(d − c) 6(1 − a)+ c 2 (48)

(19)

4.4.1.1 Budstrategi vid Re(0,1)

Om vi antar att v¨ardering av v˚ar vara ges ur Re(0, 1) f˚ar vi

G(x) =      0 om 0 > x x om 0 < x < 1 1 om x > 1 (49)

Ins¨attning av c = 0 och d = 1 ger oss budstrategin

β(x) = x 2 −

a

6(1 − a) (50)

som ¨ar en Nashj¨amvikt. Vi ser ocks˚a hur a

6(1−a) → ∞ n¨ar a → 1. Vi skriver ett par rader kod i Matlab f¨or att rita upp funktionen:

syms x a;

beta=(x/2)-(a/(6*(1-a)));

beta_med_villkor=piecewise((1>a>0)&(beta>-1), beta, NaN); fsurf(beta_med_villkor,[0 1 0 1]);

xlabel('a', 'FontSize', 20); ylabel('x', 'FontSize', 20);

zlabel('\beta(x,a)', 'FontSize', 20); Figur 1: β(x, a) = x₂ − a

(20)

Vi noterar i Figur 1 hur a = 0 ger oss budetx₂ vilket motsvarar jämviktsbudet i fallet med icke ˚aterkommande auktioner, och hur vi sedan med a → 1 f˚ar en gradvis minskande diskontering per auktion. Vi noterar även hur det uppst˚ar flera fall där det är en Nashjämvikt att buda negativt vilket strider med v˚ar tidigare definition att m˚almängden till v˚ar budfunktion β är R+. I fallet där a = 1 kostar det oss inte längre n˚agonting att delta i de ˚aterkommande auk-tionerna och det optimala budet för att maximera v˚ar nyttofunktion blir d˚a lima→1β(x, a) = −∞ för alla ändliga värden p˚a x. L˚at oss nu studera fallet x = 1 i detalj: syms a; x=1; beta=(x/2)-(a/(6*(1-a))); noll = 0*a; ezplot(beta,[0 1]); hold on; ezplot(noll,[0 1]);

xlabel('a', 'FontSize', 20);

ylabel('\beta(1,a)', 'FontSize', 20); title([]);

(21)

I figur 2 noterar vi hur fallet x = 1 och 1₂− a

6(1−a) = 0 f˚ar nollpunkten a = 3 4. Att v˚ar budstrategi med Nashjämvikt föresl˚ar negativa bud är problematiskt d˚a negativa bud ej vanligtvis förekommer vid auktioner. L˚at oss undersöka vad som händer om vi f˚ar v˚ar värdering x fr˚an en fördelning som befinner sig längre bort ifr˚an 0.

G(x) =      0 om 10 > x x − 10 om 10 < x < 11 1 om x > 11 (51)

Ins¨attning av c = 10 och d = 11 i v˚ar budstrategi ger oss

β = x 2 −

a

6(1 − a)+ 5 (52) Vi skriver n˚agra rader kod i Matlab f¨or att rita funktionen

syms x a;

beta=(((x)/2)+5-(a/(6*(1-a))));

beta_med_villkor=piecewise((beta>0), beta, NaN); fsurf(beta_med_villkor,[0 1 10 11]);

xlabel('a', 'FontSize', 20); ylabel('x', 'FontSize', 20);

zlabel('\beta(x,a)', 'FontSize', 20);

I Figur 3 noterar vi att diskonteringsvariabeln a har en stor p˚averkan p˚a vilket bud som är optimalt. Ett sätt att tolka detta resultat är att ett a nära 1 ger oss en l˚ag kostnad att delta i auktioner. Denna l˚aga kostnad betyder att vi har r˚ad att vänta och ger oss därför ett optimalt bud som är mycket lägre än när vi har en mer märkbar kostnad.

4.5 Budstrategi med additativ diskontering

Vi ska nu unders¨oka om vi hittar n˚agon j¨amviktsstrategi med nyttofunktionen inneh˚allandes additativ diskontering:

Π(b, x) = P β(Y ) < b(x − b) + P β(Y ) > b(V − ) (53) som vi kan skriva om till

(22)

Figur 3: β(x, a) =x 2 + 5 −

a 6(1−a)

D˚a vi önskar finna en maximering av v˚ar nyttofunktion genomför vi en de-rivering med avseende p˚a b som vi sedan sätter lika med noll för att finna den punkt som maximerar nyttofunktionen:

0 = −G β−1(b) + (x − b)g β−1_(b) 1 β0 _β−1_(b) − (V − )g β −1_(b) 1 β0 _β−1_(b) (55) β0 β−1(b)G β−1_{(b) + (V − )g(β}−1_{(b)) = (x − b)g β}−1_(b) (56) d˚a b = β(x) f˚ar vi β0(x)G(x) + β(x)g(x) + (V − )g(x) = xg(x) (57) Fallet med en motbjudare ger oss

V = E

X − β(X)1β(X)>β(Y ) + (V − )E1β(X)≤β(Y ) V = E X − β(X)1β(X)>β(Y ) +(V − )

2

(58)

Vi subtraherar (V −)₂ fr˚an b˚ada sidor av likhetstecknet och f˚ar d˚a

(23)

Vi f˚ar vidare att V = 2 Z ∞ y=0 Z ∞ x=y x − β(x)g(x)g(y)dx dy − = 2 Z ∞ x=0 Z x y=0 g(y)dy x − β(x)g(x)dx − = 2 Z ∞ x=0 x − β(x)g(x)G(x)dx − (60)

Ins¨attning ger oss

β0(x)G(x) + β(x)g(x) + 2g(x) Z ∞ x=0 x − β(x)g(x)G(x)dx − 2 = xg(x) (61) vilket är en integralekvation. Vi gör ansättningen Γ = 2 Z ∞ x=0 x − β(x)g(x)G(x)dx − 2 (62) Vi f˚ar d˚a ekvationen β0(x)G(x) + β(x)g(x) + Γg(x) = xg(x) (63) som är p˚a samma form som v˚ar differentialekvation i fallet med multiplikativ diskontering. Vid bearbetning av den differentialekvationen kom vi fram till den allmäna formen

β = 1 G

Z

xgdx − Γ +A

G (64)

4.5.1 Additativ diskontering vid likformig f¨ordelning

L˚at oss nu även i fallet med additativ diskontering anta den allmäna formen av en likformig fördelning Re(c,d):

G(x) =        0 om x < c x − c d − c om c ≤ x ≤ d 1 om x > d (65)

(24)

β = d − c x − c Z _x d − cdx − Γ + A(d − c) x − c = x 2 2(x − c)− Γ + A(d − c) x − c = x 2_{− 2(x − c)Γ + 2A(d − c)} 2(x − c) (66)

Precis som fallet med multiplikativ diskontering s¨atter vi B = 2A(d − c)

β = x 2_{− 2xΓ + 2cΓ + B} 2(x − c) = (x − c)(x − (2Γ − c)) + c 2_{+ B} 2(x − c) (67) ¨

Aven h¨ar s¨atter vi B = −c2_f¨_{or att f˚}_{a en begr¨}_{ansad budfunktion. Detta ger} oss

β = x 2 − Γ +

c

2 (68)

L˚at oss nu ta fram v¨ardet p˚a Γ. Vi har sedan tidigare att

Γ = 2 Z ∞

x=0

x − β(x)g(x)G(x)dx − 2 (69) Ins¨attning av β och den likformiga f¨ordelningen ger oss

Γ = 2 Z ∞ x=0 x − (x 2 − Γ + c 2) x − c (d − c)2dx − 2 =1 6 d − c + 3Γ − 2 =d − c 6 + Γ 2 − 2 (70) Γ 2 = d − c 6 − 2 (71) Γ = d − c 3 − 4 (72)

Ins¨attning i budfunktionen ger oss

β = x 2 − d − c 3 + 4 + c 2 (73)

(25)

G(x) =      0 om 0 > x x om 0 < x < 1 1 om x > 1 (74)

Ins¨attning av c = 0 och d = 1 ger oss budstrategin

β = x 2 −

1

3+ 4 (75)

som är en Nashjämvikt. Vi skriver ett par rader kod i Matlab för att rita upp funktionen:

syms x epsilon;

beta=(x/2)+4*epsilon-(1/3); fsurf(beta,[0 1 0 1]);

xlabel('\epsilon', 'FontSize', 20); ylabel('x', 'FontSize', 20);

zlabel('\beta(x,\epsilon)', 'FontSize', 20); Figur 4: β(x, ) = x₂ −1

3+ 4

(26)

fallet med x = 1 och = 1 f˚ar vi β(1, 1) = 25₆ ≈ 4.17. En möjlig förklaring till dessa resultat är att nyttofunktionens konstruktion tvingar budgivaren att fortsätta buda fram tills vunnen auktion. V˚ar budgivare sätts därmed i en orimlig situation; att buda p˚a en vara vars värde ocks˚a motsvarar kostnaden att delta i en auktion. Den optimala strategin för att komma ur denna sits, i fallet med en motbjudare som är i samma sitution, blir ett buda just 25

6. L˚at oss rita samma funktion en g˚ang till men med p˚a ett rimligare omr˚ade:

syms x epsilon;

beta=(x/2)+4*epsilon-(1/3); fsurf(beta,[0 0.25 0 1]);

zlabel('\beta(x,\epsilon)', 'FontSize', 20); Figur 5: β(x, ) = x₂ −1

3+ 4

Vi noterar i Figur 5 hur budfunktionen i detta fall med additativ diskontering för vissa x ger negativa optimala bud även när diskonteringskostnaden är 0. L˚at oss nu undersöka fallet när vi hämtar värderingen av varan ur en likformig funktion vars omr˚ade inte angränsar till 0.

(27)

G(x) =      1 om 10 > x x − 10 om 10 < x < 11 1 om x > 11 (76)

Ins¨attning av c = 10 och d = 11 i den allm¨ana likformiga formen av β ger oss budstrategin

β = x 2 +

14

3 + 4 (77)

som är en Nashjämvikt. Vi skriver ett par rader kod i Matlab för att rita upp funktionen:

syms x epsilon;

beta=(x/2)+4*epsilon+(14/3); fsurf(beta,[0 11 10 11]);

zlabel('\beta(x,\epsilon)', 'FontSize', 20); Figur 6: β(x, ) = x

2 + 14

3 + 4

(28)

(29)

5 Slutsats

Vi har utifr˚an olika diskonteringsmetoder formulerat tv˚a stycken nyttofunk-tioner. Fr˚an dessa nyttofunktioner har vi sedan h¨arlett budstrategier med Nashj¨amvikt.

För de budstrategier med Nashjämvikt som undersökts leder multiplikativ diskon-tering under vissa förutsättningar till bud under noll, vilket är anmärkningsvärt. Utan diskontering ger samma strategier upphov till bud p˚a −∞. Intuitivt kan detta först˚as som att −∞ vid ett oändligt antal chanser faktist är det optimala budet, men det är ocks˚a värt att notera att dessa budstrategier inte uppfyller hur vi tidigare definierat v˚ar budstrategi som just βi : [0, ω] → R+. Det är även ett rimligt antagande att de flesta auktionshus inte skulle acceptera ett negativt bud.

Additativ diskontering ledde samtidigt till bud b˚ade under 0 och över varans värdering. En möjlig förklaring till detta skulle kunna vara att vi i v˚ar nyt-tofunktion inte uttryckt n˚agon möjlighet för budgivaren att sluta delta i de ˚aterkommande auktionerna utan att ha vunnit. Budstrategierna optimerar därför vid vissa värderingar och diskonteringsniv˚aer för att budgivaren ska förlora s˚a lite pengar som möjligt genom att buda högt och därmed ”bli fri” fr˚an de ˚aterkommande auktionerna med fast kostnad per tillfälle.

Härledningarna av allmäna budstrategier genom differentialekvationer, b˚ade fallet med multiplikativ och additativ diskontering, genererade sv˚arhanterliga uttryck som justerades genom användning av konstanter. Vid ett tillfälle hade vi

β = (x − c)(x − (2Γ − c)) + c 2_{+ B}

2(x − c) (78)

Att vi sedan satte B = −c2_{gav oss den l¨}_{atthanterliga budstrategin}

β = x 2 − Γ +

c

2 (79)

Det är möjligt att det finns alternativa metoder för att hantera detta för att härleda sig fram till alternativa Nashjämvikter.

Innan vi applicerade diskonteringsmetoder p˚a i fallet med ˚aterkommande auk-tioner av likv¨ardiga varor definierade vi v˚ar nyttofunktion som

(30)

(31)

K¨

allf¨

orteckning

[1] _{Jean Tirole Drew Fudenberg. Game Theory. The MIT Press, 1991. isbn:} 0262061414.

[2] Paul Klemperer. Auctions: Theory and Practice. Princeton University Press, 2004. isbn: 0691114269.

[3] _{Vijay Krishna. Auction Theory. Academic Press, 2009. isbn: 0123745071.} [4] John Von Neumann Oskar Morgenstern. Theory of Games and Economic

Behavior. Princeton University Press, 1980. isbn: 0691003629.

[5] Ilya Segal Paul Milgrom. “Deferred-Acceptance Auctions and Radio Spec-trum Reallocation”. In: (2017). doi: https://web.stanford.edu/~isegal/ heuristic.pdf.