2 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter.

2 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter.

Aktuella ekvationer: Se formelsamlingen och f¨orberedelseh¨aftet.

Effektivv¨arde vrms f¨or en periodisk signal v(t):

vrms = s

1 T

Z T /2+a

−T /2+a

v²(t)dt (1)

Antag att f (t) och g(t) ¨ar tv˚a periodiska funktioner. De ¨ar ortogonala mot varandra p˚a intervallet T deras skal¨arprodukt < f, g >= 0. Nedan ¨ar a en godtycklig konstant och ^∗ noterar konjugat:

< f, g >=

Z T /2+a

−T /2+a

f (t)g^∗(t)dt = 0 (2)

Speciellt g¨aller detta:

< sin(nω₀t), sin(mω₀t) > = 0 f ¨or heltal n 6= m (3)

< cos(nω0t), cos(mω0t) > = 0 f ¨or heltal n 6= m (4)

< sin(nω₀t), cos(mω₀t) > = 0 f ¨or alla heltal n, m (5) F¨or effektivv¨ardet av en summa av N ortogonala signaler g¨aller:

ν_rms = q

ν_rms1² + ν_rms2² + ... + ν_rmsN² (6) F¨or effektivv¨ardet av A sin(kt + φ), d¨ar φ ¨ar en godtycklig fasvinkel och k ¨ar ett nollskilt heltal g¨aller:

ν_rms = |A|/√

2 (7)

2.1. a) Extra-uppgift: Visa (7) ovan f¨or φ = 0.

b) ¨Ar 3 sin(20πt) och 5 cos(20πt) ortogonala? H¨anvisa till en ekvation ovan.

c) Extra-uppgift: Visa att 3 sin(20πt) och 5 cos(20πt) ortogonala.

d) ¨Ar 3 sin(20πt) och 23 ortogonala?

e) Best¨am effektivv¨ardet f¨or:

x(t) = 4 cos(100πt) − 3 sin(100πt) + 2 cos(300πt) − sin(300πt) (volt) f) Best¨am effektivv¨ardet f¨or:

x(t) = 10 + sin(100πt) + 0.1 sin(200πt) (volt)

2.2. Se figuren nedan med signalen x(t).

t A

−A

0

x(t)

T 2T0

a) Ge ett uttryck f¨or x(t) i intervallet −T₀/2 ≤ t ≤ T₀/2.

b) Best¨am fourierseriekoefficienterna A0, An, Bn. c) Best¨am fourierserien f¨or x(t).

2.3. Ett idealt l˚agpass-filter (LP-filter) nollst¨aller alla frekvenser ¨over gr¨ansfrekvensen.

Det kan ocks˚a ge en f¨orst¨arkning A, vilket inneb¨ar att signalen multipliceras med A.

Se figur. Signalen x(t) f˚ar passera ett idealt l˚agpassfilter (LP) med gr¨ansfrekvensen f_g = 10 kHz och f¨orst¨arkningen A = √

10. (Detta inneb¨ar att filtret stoppar alla frekvenser ¨over 10 kHz, samt multiplicerar signalen med √

10.)

x(t)

t[ms]

y(t)

x(t) LP

2 1

1

−1

a) Best¨am periodtiden T₀ f¨or x(t).

b) Ge ett uttryck f¨or x(t) i intervallet −T₀/2 ≤ t ≤ T₀/2.

c) Best¨am x(t):s fourierserie.

d) Best¨am grundvinkelfrekvensen ω₀ och gr¨ansvinkelfrekvensen ω_g och j¨amf¨or de- ras storlek.

e) Best¨am utsignalen y(t).

f) Best¨am utsignalens effektivv¨arde, y_rms.

2.4. Ett idealt h¨ogpass-filter (HP-filter) nollst¨aller alla frekvenser under gr¨ansfrekvensen.

Se figur. Signalen x(t) kommer f¨orst till cirkeln med × d¨ar den multipliceras med sig sj¨alv till x(t) · x(t). D¨arefter passerar den det ideala h¨ogpassfiltret med gr¨ansvinkel- frekvensen ω₁. Det g¨aller att:

x(t) = cos(ω₁t) + cos(ω₂t), ω₂ < ω₁ < 2ω₂ .

Idealt HP-filter x(t) y(t)

a) Best¨am signalen x(t) · x(t) och f¨orenkla svaret s˚a att det endast best˚ar av enkla cosinus-termer och en konstant. Anv¨and en trigonometrisk formel, tex fr˚an f¨orberedelseh¨aftet.

b) Best¨am utsignalen y(t).

2.5. Se figuren nedan med den helv˚agslikriktade cosinussignalen x(t).

x(t) A

T₀ 2T

0 t

0 0

−2T −T

a) Ge ett uttryck f¨or x(t) i intervallet −T₀/2 ≤ t ≤ T₀/2.

b) Best¨am fourierseriekoefficienterna A₀, A_n, B_n. c) Best¨am fourierserien f¨or x(t).

2.6. Se figuren nedan med den halvv˚agslikriktade cosinussignalen x(t).

x(t) A

−T₀ T₀ t

a) Ge ett uttryck f¨or x(t) i intervallet −T₀/2 ≤ t ≤ T₀/2.

b) Best¨am fourierseriekoefficienterna A0, An, Bn. c) Best¨am fourierserien f¨or x(t).

Svar och l¨ osningsf¨ orslag

2.1 a) En liknande uppgift gjordes i slutet p˚a f¨orel¨asning 1.

b) Ja, se ekvation (5).

c) En liknande uppgift gjordes p˚a f¨orel¨asning 2.

d) Ja! T¨ank att 23 = 23 cos(0πt) och utnyttja ekvation (5).

e) x²_rms = 1

2(4²+ 3²+ 2²+ 1²) ⇒ x_rms = 3.87 volt f) x²_rms = 10²+ 1

2· 1²+ 1

2· 0.1² ⇒ x_rms = 10.0252 volt 2.2 a) x(t) = 2A

T₀ t, −T₀

2 ≤ t ≤ T₀ 2

b) A₀ = 0 och A_n = 0 ty signalen ¨ar udda. B_n = −2A

nπ cos(nπ).

c) x(t) = 2A

π sin(ω₀t) − ¹₂sin(2ω₀t) + ¹₃sin(3ω₀t) + ...

2.3 a) T₀ = 1 ms b) x(t) =

( −1, −T₀/2 ≤ t ≤ 0 1, 0 ≤ t ≤ T₀/2 c)

A0 = 0, An = 0 och Bn= _π² ·¹⁻⁽⁻¹⁾_n ⁿ enligt ovan insatta i fourierserie-formeln ger x(t) = 4

π



sin(ω₀t) + 1

3sin(3ω₀t) + 1

5sin(5ω₀t) + ...

 volt d) ω₀ = 2π/T₀ = 2π/0.001 = 2000π rad/s

ω_g = 2πf_g = 2π10000 = 20000π rad/s

ω_g = 10ω₀vilket ger att vinkelfrekvenser st¨orre ¨an 10ω₀kommer att nollst¨allas av LP-filtret.

d) y(t) =√ 10 4

π



sin(ω₀t) + 1

3sin(3ω₀t) + ... + 1

9sin(9ω₀t)

 volt

e) y_rms² = 1

2 · 10 · 4 π

2 1 + 1

3² + 1 5² + 1

7² + 1 9²



⇒ y_rms = 3.1 volt

2.4 a) x(t) · x(t) = 1 + 0.5 cos(2ω₁t) + cos((ω₁− ω₂)t) + cos((ω₁+ ω₂)t) + 0.5 cos(2ω₂t) b) y(t) = 0.5 cos(2ω t) + cos((ω + ω )t) + 0.5 cos(2ω t)

2.5 a) x(t) = A cos(πt/T₀), −T₀

2 ≤ t ≤ T₀ 2 b)

Svar: B_n= 0, A₀ = 2A π och A_n = 2A

π(1 + 2n)sinπ

2(1 + 2n)

+ 2A

π(1 − 2n)sinπ

2(1 − 2n) . c) x(t) = 4A

π

 1 2 +1

3cos(ω₀t) − 1

15cos(2ω₀t) + ...



2.6 a) x(t) =

( A cos(2πt/T0), |t| ≤ T0/4

0, T0/4 ≤ |t| ≤ T0/2 b)

A₀ = ... = A π

Svar: B_n= 0, A₀ = A π och A_n = A

π(1 + n)sinπ

2(1 + n)

+ A

π(1 − n) sinπ

2(1 − n) . c) x(t) = A

π +A

2 cos(ω₀t) + 2A

3π cos(2ω_ot) − 2A

15πcos(4ω₀t) + ...

Notera: Vid ber¨akning av den andra termen h¨ar m˚aste ett standardgr¨ansv¨arde anv¨andas.