Měření vibrací pomocí Michelsonova interferometru
Bakalářská práce
Studijní program: B1701 Fyzika
Studijní obory: Fyzika se zaměřením na vzdělávání Matematika se zaměřením na vzdělávání Autor práce: Vojtěch Konopa
Vedoucí práce: Ing. Štěpán Kunc, Ph.D. Katedra fyziky
2
Zadání bakalářské práce
Měření vibrací pomocí Michelsonova interferometru
Jméno a příjmení: Vojtěch Konopa Osobní číslo: P17000298 Studijní program: B1701 Fyzika
Studijní obory: Fyzika se zaměřením na vzdělávání Matematika se zaměřením na vzdělávání Zadávající katedra: Katedra fyziky
Akademický rok: 2018/2019
Zásady pro vypracování:
1. Interference světla 2. Polarizace světla
3. Optické vibrometry a jejich principy
4. Měření vibrací na Michelsonově interferometru v optické laboratoři KFY 5. Vyhodnocení naměřených vibrací
3 Rozsah grafických prací:
Rozsah pracovní zprávy:
Forma zpracování práce: tištěná/elektronická
Jazyk práce: Čeština
Seznam odborné literatury:
1. SALEH, Bahaa E. A. a Malvin Carl TEICH. Základy fotoniky: Fundamentals of photonics. Praha:
Matfyzpress, 1996. ISBN 80-85863-00-6.
2. MALÝ, Petr. Optika. Praha: Karolinum, 2008. ISBN 9788024613420
3. MALACARA, Daniel. Optical shop testing. 3rd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, c2007.
ISBN 0471484040.
4. Časopisecká literatura dle zadání vedoucího BP
Vedoucí práce: Ing. Štěpán Kunc, Ph.D.
Katedra fyziky Datum zadání práce: 7. června 2019 Předpokládaný termín odevzdání: 20. května 2020
L.S.
V Liberci dne 29. října 2019 prof. RNDr. Jan Picek, CSc.
děkan
prof. Mgr. Jiří Erhart, Ph.D.
vedoucí katedry
4
Prohlášení
Prohlašuji, že svou bakalářskou práci jsem vypracoval samostatně jako původní dílo s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím mé bakalářské práce a konzultantem.
Jsem si vědom toho, že na mou bakalářskou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.
Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci nezasahuje do mých autorských práv užitím mé bakalářské práce pro vnitřní potřebu Technické univerzity v Liberci.
Užiji-li bakalářskou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovat o této skutečnosti Technickou univerzitu v Liberci; v tomto případě má Technická univerzita v Liberci právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.
Současně čestně prohlašuji, že text elektronické podoby práce vložený do IS/STAG se shoduje s textem tištěné podoby práce.
Beru na vědomí, že má bakalářská práce bude zveřejněna Technickou univerzitou v Liberci v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozdějších předpisů.
Jsem si vědom následků, které podle zákona o vysokých školách mohou vyplývat z porušení tohoto prohlášení.
15. dubna 2020 Vojtěch Konopa
5
Poděkování
V první řadě bych chtěl poděkovat Ing. Štěpánu Kuncovi, Ph.D. za vedení této práce a za možnost se i přes moje primární zaměření, a to matematika a fyzika se zaměřením na vzdělávání, pustit do vědecké činnosti. Dále také za výborné vedení práce v době koronavirové krize, která znemožnila přímé konzultace. I přes to byl vedoucí maximálně ochotný konzultovat přes emaily, a hlavně telefonické spojení.
Díky této práci jsem si byl schopen osvojit přístroje se kterými jsem se dříve setkal jen letmo a napsat program v prostředí MATLAB, který snad bude mít dlouhodobé využití ve zpracování dat z podobných pokusů.
Chtěl bych také poděkovat Technické univerzitě v Liberci a zejména pak katedře fyziky za příležitost pracovat v její optické laboratoři, kde byla aparatura umístěna.
Na konec bych rád zmínil své přátele a rodinu, kteří mě v celém procesu psaní podporovali, podíleli se na korekturách a pomáhali s finální verzí této práce.
6
Anotace
Bakalářská práce se zaměřuje na problematiku měření vibrací pomocí Michelsonova interferometru. V práci je popsána matematická stránka interferometrie pro určení výchylky piezoelektrického elementu, historická a informativní stránka z hlediska vývoje interferometrie a praktická stránka, která se týká vibrací, metody počítání pruhů a problémů, se kterými se při měření setkáváme. Práce také obsahuje kapitolu o programu, který byl napsán za účelem zpracování dat. Pomocí známé metody, kterou jsme upravili pro naše potřeby a ověřili pak zaznamenáváme průběh měření harmonické výchylky piezoelektrického prvku. Na tomto prvku ukazujeme dynamičnost metody a její široké využití.
Klíčová slova
Optika, světlo, interferometrie, piezoelektřina, metoda počítání pruhů
7
Abstract
The bachelor thesis focuses on the problem of vibration measurement using Michelson interferometer. This work describes the mathematical aspect of interferometry for deflection determination of a piezoelectric element, historical and informative character in terms of the development of interferometry, and the practical part that focuses on the aspects concerning vibrations, the fringe counting method and problems encountered in measurements. The thesis also contains a chapter about a program that was written for data processing. Using a known method, which we have modified for our needs and verified, we then record the course of harmonic displacement of the piezoelectric element. On this element, we show the dynamics of the method and its extensive use.
Keywords
Optics, light, interferometry, piezoelectricity, fringe counting method
8
Obsah
Poděkování ... 5
Anotace ... 6
Klíčová slova ... 6
Abstract ... 7
Keywords ... 7
Obsah ... 8
Seznam obrázků, tabulek a grafů ... 10
Seznam symbolů a zkratek ... 11
Úvod ... 13
Teoretická část ... 14
2.1. Vlnová Optika ... 14
2.1.1. Vlnová rovnice ... 16
2.1.2. Monochromatická vlna ... 18
2.2. Interference ... 18
2.3. Interferometrie ... 21
2.3.1. Mach-Zehnderův interferometr ... 22
2.3.2. Sagnacův interferometr ... 23
2.3.3. Interferometrie v bílém světle ... 23
2.4. Michelsonův interferometr ... 25
2.5. Piezoelektrický jev ... 26
Praktická část ... 28
3.1. Metoda ... 28
3.2. Experiment ... 30
3.3. Použité přístroje ... 31
3.4. Ověření odečtu dat z aparatury ... 32
3.5. Ověření metody piezoelementem ... 34
9
3.6. Diskuze chyby ... 36
3.7. Problematika přenosu polarizace ... 38
3.8. Matlab parser ... 39
3.9. Naměřená data z testovaného vzorku ... 40
Závěr ... 42
Seznam použité literatury ... 43
Zdroje obrázků, tabulek a grafů ... 44
Seznam příloh ... 45
Přílohy ... 46
10
Seznam obrázků, tabulek a grafů
Obrázek 1:Vizualizace závislostí optických věd ... 14
Obrázek 2: Elektromagnetické spektrum ... 15
Obrázek 3: Vizualizace zdrojů vlnění Z1, Z2 ... 20
Obrázek 4: Hranolový polarizační dělič ... 21
Obrázek 5: Mach-Zehnderův interferometr ... 23
Obrázek 6: Sagnacův interferometr ... 23
Obrázek 7: Příklad interferometru v bílém světle ... 24
Obrázek 8: Příklad Michelsonova interferometru pro kalibraci akcelerometrů ... 25
Obrázek 9: Záznam interferenčních pruhů a budícího signálu ... 28
Obrázek 10: Nákres aparatury ... 31
Obrázek 11: Graf průběhu pro měření č. 2 ... 33
Obrázek 12: Graf průběhu pro měření č. 5 ... 34
Obrázek 13: Graf hodnot pro první výchylky ... 37
Obrázek 14: Graf hodnot pro výpočet druhé výchylky ... 37
Obrázek 15: Graf průběhu měření testovacího vzorku ... 41
Obrázek 16: Přiblížení chyby ... 41
11
Seznam symbolů a zkratek
𝐴 = orientovaná oblast smyčky
𝑎(𝑟) = amplituda elektomagnetického vlnění 𝐵⃗ = vektor magnetické indukce
𝑐 = rychlost světla
𝑐0 = rychlost světla ve vakuu 𝑑 = dráhový rozdíl vln
𝐷⃗⃗ = vektor elektrické indukce
𝐸⃗ = vektor intenzity elektrického pole 𝑓 = frekvence elektromagnetického vlění
|𝑔| = komplexní stupeň koherence 𝐻⃗⃗ = vektor intenzity magnetického pole 𝐼(𝑟) = optická intenzita vlny
𝐼(𝑟, 𝑡) = intenzita světla
𝐼𝑟 = intenzita interferující vlny 𝐼𝑝 = intenzita interferující vlny
𝑗 = vektor hustoty volných proudů 𝑗 = imaginární jednotka
𝑛 = optický index lomu
𝑅𝑒{… } = funkce vracející reálnou část 𝑅𝐹 = počet pruhů
𝑅𝐹𝐶 = počet pruhů z čítače 𝑅𝐹𝑆 = počet pruhů z osciloskopu
𝑇 = perioda 𝑢(𝑟, 𝑡) = vlnová funkce
𝑈(𝑟) = komplexní amplituda monochormatické vlny 𝑈𝑟 = interferující vlna
𝑈𝑝 = interferující vlna
𝑈𝐶1 = napětí odčítané z monitoru
𝑢𝑚 = amplituda vlny pro odečtení fázového posunu 𝑣 = fázová rychlost
𝑋 = absolutní chyba metody Δ = ∇2= Laplaceův operátor
𝛿 = počáteční rozdíl vzdálenosti mezi dvěma rameny 𝜀 = permitivita prostředí
𝜀0 = permitivita vakua 𝜆 = vlnová délka
𝜇 = permeabilita prostředí 𝜇0 = permeabilita vakua
𝜉(𝑡) = harmonická funkce popisující měřený posuv 𝜉0, 𝜉01, 𝜉02 = amplituda měřeného posunutí
𝜉𝑐 = předpokládáný posuv 𝜉𝑅𝐹 = naměřený posuv 𝜉1𝑉 = posuv rovný 1 V
𝜌 = objemová hustota volných nábojů 𝜎𝑥 = relativní chyba metody
12 𝜑(𝑟) = fáze
𝜑 = fázový posun 𝜔 = úhlová frekvence
13
Úvod
Bakalářská práce se zaměřuje na problematiku měření harmonicky buzených vibrací pomocí Michelsonova interferometru. Práce nejprve uvádí matematickou stránku elektromagnetických vln a odvození vlnové rovnice z Maxwellových rovnic. Dále je vysvětlena interference, a to jak z hlediska historického, tak z hlediska matematického popisu. V práci je popsán princip interference jako optického jevu, poté jsou uvedeny typy interferometrů a jejich historický vývoj. Je také vysvětlen piezoelektrický jev a jeho využití v této práci.
Následuje praktická část, ve které je nejprve popsána metoda počítání pruhů, kterou jsme pro naše měření využili a její ověření pomocí piezoelektrického elementu. Následuje zapojení celé aparatury a jsou také představeny použité přístroje a jejich základní charakteristiky. Práce také poukazuje na chybu, se kterou se v rámci použité metody setkáváme a na problematiku přenosu kruhové polarizace. Je obsažena i kapitola věnovaná zpracování dat pomocí funkcí napsaných v prostředí MATLABu.
V rámci této práce jsem chtěl ověřit metodu, jejíž dynamika umožní proměřit piezoelektrický prvek s výchylku v řádu mikrometrů v celém jeho frekvenčním rozsahu. Ověřit správnost metody a určit s jakou chybou se setkáváme.
14
Teoretická část
2.1. Vlnová Optika
Optika jako taková má několik částí. Teorie kvantové optiky poskytuje vysvětlení všech optických jevů. Elektromagnetická teorie světla poskytuje nejúplnější popis světla v rámci klasické optiky. Paprsková optika je pak limitním případem pro velmi krátké vlnové délky.
Obrázek 1:Vizualizace závislostí optických věd
Světlo se šíří ve formě vln. V prostředí vakua se světelné vlny pohybují konstantní rychlostí, kterou označujeme jako rychlost šíření vln v prostoru, či rychlost světla ve vakuu.
Tuto konstantu označujeme jako c0 a její velikost je c0 = 3 ∙ 108 𝑚 ∙ 𝑠−1. Oblasti optických vlnových délek se dají rozdělit na tři části – ultrafialovou, viditelnou a infračervenou. Jednotlivé části zastupují určité rozložení vlnové délky a frekvence. Na Obrázek 2: Elektromagnetické spektrum lze vidět rozsah spektra, včetně zvýrazněné viditelné části. Pro rostoucí vlnovou délku frekvence klesá a obráceně. Tento fakt plyne jak ze slovního definičního vztahu, kde vlnovou délku definujeme jako vzdálenost dvou nejbližších bodů postupného periodického vlnění a frekvence udává počet opakování periodického děje za nějaký časový úsek. Tento princip také plyne ze vztahu pro vlnovou délku:
𝜆 = 𝑣𝑇 = 𝑣1
𝑓 = 2𝜋𝑣
𝜔, (1)
kde 𝑇 je perioda, 𝑓 frekvence vlnění, 𝜔 = 2𝜋𝑓 je úhlová frekvence a 𝑣 je fázová rychlost šíření vlnění, tuto konstantu často pokládáme rovnu rychlosti světla 𝑐.
Kvantová optika
E. m.
optika Vlnová
optika
Paprsková optika
15
Obrázek 2: Elektromagnetické spektrum
Vlnová teorie světla je nadřazená paprskové teorii světla. Přesněji, vlnová optika obsahuje paprskovou optiku, která je jejím mezním případem, blíží-li se vlnová délka nule. Pro její použití (paprskové) není však třeba aby se vlnová délka nule přímo rovnala. Pokud se světelné vlny šíří objekty, jejichž rozměry jsou mnohem větší než vlnová délka, a okolo těchto objektů, postačuje paprsková teorie pro popis mnohých jevů. Protože vlnová délka viditelného světla je mnohem kratší než rozměry viditelných předmětů, s nimiž se setkáváme v běžném životě, nejsou projevy vlnové podstaty světla zřejmé bez bližšího pozorování. Vlnová optika tvoří základ pro popis jevů, které se nacházejí za hranicemi paprskové optiky. Zejména jevů jako je interference a difrakce. Vlnová optika má určitá omezení, není například schopna poskytnout plné informace o odrazu a lomu světla [1]. Jak je předesláno v úvodní kapitole, vzhledem k cílům a principům této práce, tedy využití v interferometrii, se budeme zabývat právě vlnovou podstatou.
16 2.1.1. Vlnová rovnice
Vlnovou rovnici odvozujeme z Maxwellových rovnic v obecném tvaru. Primárně tedy z Ampérova zákona
𝑟𝑜𝑡 𝐻⃗⃗ −𝜕𝐷⃗⃗
𝜕𝑡 = 𝑗 (𝑟 , 𝑡) (2.1)
a zákona elektromagnetické indukce
𝑟𝑜𝑡 𝐸⃗ +𝜕𝐵⃗
𝜕𝑡 = 0. (2.2)
Dále platí Gaussův zákon
𝑑𝑖𝑣 𝐷⃗⃗ = 𝜌(𝑟 , 𝑡) (2.3)
a zákon o neexistenci magnetických nábojů
𝑑𝑖𝑣 𝐵⃗ = 0. (2.4)
Maxwellovy vztahy jsou také doplněny o materiálové vztahy 𝐷⃗⃗ = 𝜀𝐸⃗ a 𝐵⃗ = 𝜇𝐻⃗⃗ , kde 𝜀 je permitivita prostředí a 𝜇 je permeabilita vakua.
Po sestavení rovnic dostáváme přehled o fungování a závislostech mezi elektrickým a magnetickým polem. Tedy v zásadě časově proměnné pole 𝐸⃗ generuje pole 𝐵⃗ a obdobně časové proměnné pole 𝐵⃗ generuje pole 𝐸⃗ .
Ve vakuu, kde nejsou přítomny elektrické náboje a proudy a kde platí 𝜀 = 𝜀0 a 𝜇 = 𝜇0
nabývají Maxwellovy rovnice tvaru
𝑟𝑜𝑡 𝐵⃗ = 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡 (3.1)
𝑟𝑜𝑡 𝐸⃗ = −𝜕𝐵⃗
𝜕𝑡 (3.2)
𝑑𝑖𝑣 𝐷⃗⃗ = 0 (3.3)
𝑑𝑖𝑣 𝐵⃗ = 0. (3.4)
17
Aplikujeme-li na obě strany rovnice (3.2) operaci 𝑟𝑜𝑡, dostáváme pro levou stranu užitím vzorce (𝑌⃗ je generický vektor pro ukázku rotace)
𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝑌⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑌⃗ − ∆𝑌⃗ , kde ∆= ∇⃗⃗ ∙ ∇⃗⃗ = 𝜕2
𝜕𝑥2+ 𝜕2
𝜕𝑦2+ 𝜕2
𝜕𝑧2
a vztahu
𝑟𝑜𝑡 𝑟𝑜𝑡 𝐸⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ − ∆𝐸⃗ = −∆𝐸⃗
a pro pravou stranu užitím rovnice (3.2) vztah:
𝑟𝑜𝑡 (−𝜕𝐵⃗
𝜕𝑡) = − 𝜕
𝜕𝑡(𝑟𝑜𝑡𝐵⃗ ) = 𝜀0𝜇0𝜕2𝐸⃗
𝜕𝑡2. Z těchto vztahů poté získáváme vlnovou rovnici pro 𝐸⃗
∆𝐸⃗ − 1 𝑐2
𝜕2𝐸⃗
𝜕𝑡2 = 0. (4)
Je tedy vidět, že šíření vln v prostředí popisují Maxwellovy rovnice s příslušnými materiálovými vztahy. Pokud je prostředí takové, že materiálové vztahy jsou lineární, jsou rovnice popisující šíření světla rovněž lineární a platí princip superpozice. To znamená, že pokud jsou elektrická pole 𝐸⃗ 1a 𝐸⃗ 2 řešením Maxwellových rovnic pro dané prostředí, je řešením také 𝐸⃗ = 𝐸⃗ 1+ 𝐸⃗ 2 . Například laserový svazek se nezmění, když se zapne druhý svazek, který se s prvním kříží. Tento princip platí pro libovolný počet polí. Princip superpozice však neplatí obecně, například v nelineárních prostředích.
Lze pozorovat, že světlo se šíří ve formě vln. Matematicky je optická vlna reprezentována funkcí polohy 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) a času 𝑡. Reálnou funkci 𝑢(𝑟, 𝑡) vyhovující vlnové rovnici označujeme jako vlnovou funkci. Obecně platí:
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2 = 𝑐2(𝜕2𝑢
𝜕𝑥12+ 𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝑛2+ ⋯ + 𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝑛2) . (5)
Řešení této vlnové rovnice může být poměrně komplikované, ale může být analyzováno jako lineární kombinace řešení jednoduchých. Tato jednotlivá řešení pak musí být sinusové rovinné vlny s různými vlnovými délkami a směry šíření, ale se stejnou rychlostí šíření 𝑐. Analýzu lze provést právě proto, že je vlnová rovnice lineární, a tedy v ní platí princip superpozice.
18 ∆𝑢 − 1
𝑐2
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2 = 0 (6)
je vlnová rovnice, kde ∆ nazýváme Laplaceovým operátorem. Dále pro rychlost světla 𝑐 v prostředí s indexem lomu 𝑛 platí:
𝑐 =𝑐0
𝑛 . (7)
Každá funkce vyhovující vlnové rovnici popisuje možnou optickou vlnu.
2.1.2. Monochromatická vlna
Monochromatická vlna označuje vlnu s jedinou vlnovou délkou a frekvencí. Vlnění dělíme na koherentní, částečně koherentní a nekoherentní. Koherentní vlnění je takové, které má stejnou frekvenci, stejný směr kmitání a stejnou fázi. Jinými slovy je to vlna s pouze jednou vlnovou délkou a jednou frekvencí. Monochromatická vlna je charakterizována speciální závislostí vlnové funkce na časové a prostorové proměnné.
𝑢(𝑟, 𝑡) = 𝑎(𝑟) 𝑐𝑜𝑠[2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑(𝑟)], (8)
kde
𝑢(𝑟, 𝑡) = vlnová funkce 𝑎(𝑟) = amplituda 𝜑(𝑟) = fáze
𝑓 = frekvence
𝜔 = 2𝜋𝑓 = úhlová frekvence.
Rovnici monochromatické vlny lze také vyjádřit v komplexním formátu
𝑈(𝑟, 𝑡) = 𝑎(𝑟)𝑒𝑥𝑝[𝑗𝜑(𝑟)] exp(𝑗2𝜋𝑓𝑡) , (9)
kde
𝑢(𝑟, 𝑡) = 𝑅𝑒{𝑈(𝑟, 𝑡)} =1
2[𝑈(𝑟, 𝑡) + 𝑈∗(𝑟, 𝑡)]
𝑅𝑒{… } je funkce, která vrací z daného vzorce jeho reálnou část.
2.2. Interference
Z principu superpozice vyplývá, že pokud se v prostoru setkávají například dvě elektromagnetické vlny, jejich výsledná vlnová funkce bude dána součtem jejich jednotlivých vlnových funkcí. Princip superpozice nelze využít pro optické intenzity. Intenzita superpozice
19
dvou nebo více vln nemusí být nutně součet jejich intenzit. Důvodem je právě interference mezi těmito vlnami [2].
Optická intenzita 𝐼(𝑟, 𝑡) je definována jako optický výkon na jednotku plochy. Je úměrná střední hodnotě druhé mocniny vlnové funkce
𝐼(𝑟, 𝑡) = 2〈𝑢2(𝑟, 𝑡)〉. (10)
Dále pro optickou intenzitu platí
2〈𝑢2(𝑟, 𝑡)〉 = 2𝑎2(𝑟) 𝑐𝑜𝑠2[2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑(𝑟)]
= |𝑈(𝑟)|2{1 + cos (2[2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑(𝑟)])}.
Středujeme přes časový interval delší, než je optická perioda 1
𝑓 a získáváme optickou intenzitu
𝐼(𝑟) = |𝑈(𝑟)|2. (11)
Tedy optická intenzita monochromatické vlny je čtverec modulu její komplexní amplitudy.
Intenzita monochromatické vlny se nemění s časem [1]. Pro začátek je potřebné poukázat na princip superpozice. Pro intenzitu světla platí:
𝐼(𝑟, 𝑡) ≈ 〈|𝑈(𝑟, 𝑡)|2〉. (12)
V rámci superpozice pak obdržíme:
𝐼 ≈ 〈|𝑈𝑟+ 𝑈𝑝|2〉 (13)
kde 𝑈𝑟 a 𝑈𝑝 jsou dvě interferující vlny.
Ze vzorce úpravou dostáváme:
𝐼 ≈ (𝑈𝑟∙ 𝑈𝑝)∗(𝑈𝑟∙ 𝑈𝑝) = 〈𝑈𝑟𝑈𝑟∗〉 + 〈𝑈𝑝𝑈𝑝∗〉 + 〈𝑈𝑝𝑈𝑟∗〉 + 〈𝑈𝑟𝑈𝑝∗〉 Pro středování1 platí:
〈𝑈𝑝𝑈𝑟∗〉 =1
𝑡∫ 𝑈𝑟exp(−𝑖 ∙ (𝜔𝑡 − 𝑘𝑟)) ∙
𝑡
0
𝑈𝑝exp(𝑖 ∙ (𝜔𝑡 − 𝑘𝑟 + 𝜑)) 𝑑𝑡
= 1
𝑡𝑈𝑟𝑈𝑝∫ exp(𝑖 ∙ 𝜑(𝑡)) 𝑑𝑡.
𝑡
0
1 Časové středování slouží k vystředování časové změny související s oscilacemi polí na nosné frekvenci.
20 Pro 𝜑 = konstantní platí:
〈𝑈𝑝𝑈𝑟∗〉 = 𝑈𝑝𝑈𝑟cos(𝜑).
Uvádí se jen reálná část ze vzorce exp(𝑖𝜑) = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜑. Obdobně pro druhý člen s komplexním elementem:
〈𝑈𝑝∗𝑈𝑟〉 = 𝑈𝑝𝑈𝑟cos(𝜑).
Po stanovení faktu, že 𝑈𝑟 ≈ √𝐼𝑟 a obdobně 𝑈𝑝 ≈ √𝐼𝑝 dostáváme finální vztah, který se nazývá rovnicí interference:
𝐼 ≈ 𝐼𝑟+ 𝐼𝑝+ 2√𝐼𝑟∙ 𝐼𝑝∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ |𝑔|. (14) Ve fázi, tedy v případě 𝜑 = 0, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1 dochází k zesílení. V opačném případě, kdy 𝜑 = 𝜋, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = −1 dochází k zeslabení. Dále uvádíme, že pro fázový posun 𝜑 platí vztah 𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1, který reprezentuje rozdíl mezi fázemi jednotlivých skládajících se vln. Rovnice také obsahuje komplexní stupeň koherence |𝑔|. Tato konstanta určuje, v jaké míře je frekvence záření konstantní a rozdíl fází paprsků je neměnný.
Dále je třeba odvodit vztah pro fázový posun 𝜑.
Obrázek 3: Vizualizace zdrojů vlnění Z1, Z2
Zjednodušíme si postup tím, že budeme uvažovat dvě vlnění o stejné amplitudě, rychlosti vlnění a vlnové délce. Dále oba zdroje budou mít různou polohu a budou kmitat se stejnou počáteční
21
fází. Popis vlnění rovnicemi vzhledem k fázovému rozdílu, kde 𝑑 + 𝑥1 = 𝑥2 a 𝑑 je dráhový rozdíl dvou vln,
𝑢 = 𝑢𝑚sin 2𝜋 (𝑡 𝑇−𝑥1
𝜆) , 𝑢 = 𝑢𝑚sin 2𝜋 (𝑡
𝑇−𝑥2 𝜆).
Nyní pro fázový posun 𝜑:
𝜑 = 2𝜋 (𝑡 𝑇−𝑥1
𝜆) − 2𝜋 (𝑡 𝑇−𝑥2
𝜆) =2𝜋
𝜆 (𝑥2− 𝑥1) =2𝜋 𝜆 𝑑 𝜑 =2𝜋
𝜆 𝑑. (15)
Rovnice je zde odvozena pro použití v metodě v praktické části této práce.
2.3. Interferometrie
Interferenci jsme v minulé kapitole uvedli matematických aparátem. Nyní si uvedeme základní principy fyzikální části, vývoj a historii interferometrie. V této kapitole si také představíme více druhů interferometrů a metod měření fáze, přičemž na Michelsonův interferometr se zaměříme podrobněji v kapitole další.
Interferometr je optický přístroj, který použitím tzv. Beam-splitteru – děliče světla (dělicí hranol, dělící zrcadlo) dělí vlnu na dvě, které urazí různé vzdálenosti. Použitím zrcadel změní směr těchto vln tak, aby se po použití druhého či stejného děliče paprsky opět spojily.
Interferometr pak detekuje intenzitu jejich superpozice. Děliče mohou mít také polarizační
Obrázek 4: Hranolový polarizační dělič
22
funkci, tedy světlo v dané polarizace transmitují a v druhé polarizaci světlo reflektují. Na tomto dělení je založen princip interferometrie. Mezi součásti interferometru patří zdroj světla, a to většinou monochromatický zdroj světla – laser2. Výhodou takového zdroje je přesné určení frekvence světla, tedy jeho vlnové délky. Mezi další výhody pak patří vysoký stupeň koherence, tj. monochromatická vlna je podobna sama sobě v jakémkoliv úseku. Tento fakt se objevuje právě v rovnici interference, přesněji v komplexním stupni koherence |𝑔|. Dále může být světlo polarizované. Další nedílnou součástí je optický snímač, ať už se jedná o oko, CMOS3, CCD4 snímač (slouží k číselné reprezentaci intenzity dopadajícího signálu), či jiný detektor. V našem případě jsme použili silikonovou diodu.
2.3.1. Mach-Zehnderův interferometr
Mach-Zehnderův interferometr je zvláště jednoduché zařízení pro demonstraci interference dělením amplitudy. Světelný paprsek je nejprve rozdělen do dvou částí pomocí děliče a poté je rekombinován druhým děličem. V závislosti na relativní fázi získané paprskem podél obou drah bude druhý dělič odrážet paprsek s účinností mezi 0 % a 100 %. Činnost Mach-Zehnderova interferometru se často užívá jako příklad v kvantové mechanice, protože ukazuje jasný path/route choice problém. Na první pohled však není zřejmé, že interferometr funguje tak, jak je požadováno, dokud nejsou přesně určeny fázové posuny [3]. Tento interferometr vyniká svojí možností být miniaturizován. Využití najdeme pro přesnost digitálního signálu optickými kabely (elektrody v rozvětvení).
2 Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation – zesílení světla stimulovanou emisí
3 Complementary metal-oxide semiconductor – levnější na výrobu
4 Charge-coupled device – dražší na výrobu
23
Obrázek 5: Mach-Zehnderův interferometr
2.3.2. Sagnacův interferometr
Tento interferometr je založen na principu Sagnacova efektu. Obvykle se používají tři nebo více zrcadel tak, že protisměrné světelné paprsky mají uzavřenou cestu jako je trojúhelníková nebo čtvercová. Alternativně mohou být použita optická vlákna. Pokud se platforma, na které je prstencový interferometr namontován otáčí, jsou interferenční obrazce posunuty ve srovnání s jejich polohou, když se platforma neotáčí. Velikost posunu je úměrná úhlové rychlosti rotující plošiny. Osa otáčení nemusí být uvnitř uzavřené oblasti. Fázový posun interferenčních proužků je úměrný úhlové rychlosti platformy a je dán vzorcem původně odvozeným od Sagnaca:
∆𝜙 ≈8𝜋 𝜆𝑐𝜔 ∙ 𝐴 kde 𝐴 je orientovaná oblast smyčky a 𝜆 vlnová délka světla.
Tento efekt je důsledkem různých časů, kdy je zapotřebí paprsků pohybujících se vpravo a paprsků pohybujících se vlevo, aby dokončily celý kruhový výboj v prstenci interferometru.
Rozdíl v době cestování, vynásobený optickou frekvencí 𝑐/𝜆 určuje fázový rozdíl ∆𝜙. Využití nalezneme pro gyroskopy – drony, rakety s plochou dráhou doletu, …
Obrázek 6: Sagnacův interferometr
2.3.3. Interferometrie v bílém světle
Interferometrie bílého světla je bezkontaktní optická metoda pro měření výšky povrchu na tří- dimenzionálních strukturách s povrchovými profily měnícími se mezi desítkami nanometrů
24
a několika centimetry. Často se používá jako alternativní název pro koherenční skenovací interferometrii v souvislosti s plošným povrchovým topografickým vybavením, které se spoléhá na spektrálně širokopásmové viditelné vlnové délky (bílé světlo).
Interferometr bílého světla, používaný např. v kontextu interferometrie s nízkou koherencí je interferometr, typicky Michelsonův interferometr, který pracuje se zdrojem bílého světla, tj. se zdrojem světla se širokou optickou šířkou pásma. Světelný zdroj nemusí nutně fungovat ve viditelném spektrálním rozsahu. Jeho časová koherence musí být poměrně malá, zatímco obvykle je nutná vysoká prostorová koherence5. Vysoké prostorové koherence v kombinaci s velkou šířkou pásma lze nejsnadněji dosáhnout vypuštěním světla z klasického zdroje do optického vlákna, ale to vede k velmi malé energii. Zářivost (jas) může být zvýšena o mnoho řádů pomocí super luminiscenčního zdroje, jako je super luminiscenční dioda. V některých případech se používají lasery. Detektor v interferometru s bílým světlem může být buď fotodetektor, který integruje příspěvky různých vlnových délek a zaznamenává signál v časové oblasti, nebo spektrometr6.
Obrázek 7: Příklad interferometru v bílém světle
5 Prostorová koherence je statistická závislost mezi veličinami charakterizujícími optické záření v jistém časovém okamžiku v různých bodech prostoru.
6 Spektrometr je druh vědeckého přístroje umožňující měřit spektrum světla či elektromagnetického záření mimo viditelnou oblast. Rozlišuje tedy na jakých vlnových délkách je nesena jak velká část jeho celkové intenzity.
25 2.4. Michelsonův interferometr
Albert Abraham Michelson byl prvním občanem USA, který získal v roce 1907 Nobelovu cenu za jeho přesné optické přístroje a výzkum prováděný pomocí nich. Mnoho z předních fyziků 19. století podporovalo takzvanou teorii éteru i přes její nedostatky a počet otázek, které vyvolávala. Na základě experimentálních výsledků Maxwell v roce 1880 předpověděl, že pohyb planet etherem by měl vést ke změně rychlosti světla. Zatímco Maxwell si myslel, že tuto změnu nelze experimentálně detekovat, Michelson věřil, že ji lze pozorovat pomocí interferometru. Tato myšlenka vedla v roce 1881 ke slavnému experimentu, který měl demonstrovat Maxwellův předpoklad, tzv. „ether drift“. Nulový výsledek získaný experimentem vedl k odmítnutí pojmu i teorie éteru a položil základy ke zvláštní teorii
relativity. V roce 1896 provedl Michelson první měření délky Pt-Ir7 tyče, která byla mezinárodním prototypem měřiče (metru). Pro měření použil vlnovou délku červeného kadmia.
Zatímco myšlenka vlnové délky monochromatického zdroje jako přirozeného standardu délky byla navržena dříve Babinetem a Fizeauem, byla to Michelsonova práce, která prokázala jeho proveditelnost a v roce 1930 vedla k redefinici metru pomocí vlnové délky oranžového záření
86Kr 8. Michelson dále mimo jiné učinil několik dalších příspěvků v poli experimentálního výzkumu světla a optických přístrojů s vysokou přesností, zejména pak spektroskopu,
7 Slitina Platiny a Iridia
8 Isotop Kryptonu 86 byl používán pro definici metru v rozmezí let 1960-1983 Obrázek 8: Příklad Michelsonova interferometru pro kalibraci akcelerometrů
26
experimentálního přístupu k rychlosti světla, vlnové délce a frekvenci různých světelných zdrojů [4].
Obrázek 8: Příklad Michelsonova interferometru pro kalibraci akcelerometrů výše ukazuje Michelsonův laserový interferometr, který se používá k měření mechanických vibrací.
Vyznačuje se He-Ne9 laserový zdrojem, který má vlnovou délku přibližně 𝜆 = 632,815 𝑛𝑚. He-Ne laser se používá v interferometrii, protože je monochromatický, kolimovaný10, prostorově a časově koherentní. Posun a frekvence vyvíjeného signálu na měřicí ploše se měří pomocí interferometru.
Před analýzou základní teorie Michelsonova interferometru je třeba zvážit vlnovou povahu světla. Světlo je elektromagnetický jev, který popisujeme pomocí Maxwellových rovnic.
Jeho teorie zvažuje dvě funkce v prostoru závislé na čase a popisující elektrické a magnetické pole. V takových případech však stačí vzít v úvahu pouze elektrické pole. Toto ošetření se používá v případě omezené rovinné vlny a je dostatečně vhodné jako přístup pro experimentální účely této práce [5].
Svazek vycházející ze zdroje je děličem rozdělen na svazky dva. Tyto svazky dále postupují k zrcadlům (v našem případě zrcadlu a elementu), kde dochází k odrazu. Oba odražené paprsky poté putují zpátky a jsou děličem znovu sloučeny do jedné roviny, ve které následně interferují.
[6] Samotný svazek putuje ve formě vlnění, je proto možné kombinovat mnoho paprsků.
Intenzita výsledného signálu se pak může měnit mezi minimem a maximem v závislosti na relativní fázi paprsků. K přechodu ve fázi paprsků, a tedy i v intenzitě může dojít změnou fyzické délky dráhy jednoho paprsku vzhledem k dráze druhého. Jedná se vždy o relativní vzájemné posunutí dvou svazků.
2.5. Piezoelektrický jev
Teoretickou část piezoelektrického jevu zmiňuji z důvodu volby piezoelektrického elementu jako měřeného prvku i prvku pro ověření metody v zapojení Michelsonova interferometru.
Tímto jsme schopni v první řadě ověřit metodu a tím validovat následující měření podobného zařízení, u kterého ale neznáme jeho charakteristiky.
9 Helium – Neonový
10 Kolimovaný paprsek světla nebo jiného elektromagnetického záření má paralelní paprsky, a proto se bude šířit minimálně mimo oblast směru propagace. Dokonale kolimovaný světelný paprsek bez divergence by se nerozptýlil se vzdáleností. Takový paprsek ale nemůže být vytvořen kvůli difrakci.
27
Piezoelektřina je elektrický náboj, který se hromadí v určitých pevných materiálech (jako jsou krystaly, keramika a biologická hmota, např. kost, DNA a různé proteiny) v reakci na aplikované mechanické napětí. Znamená pak elektřinu, která je pozorována vyvíjením tlaku a latentního tepla. Francouzští fyzici Jacques a Pierre Curie objevili piezoelektriku v roce 1880 [7].
Piezoelektrický efekt je výsledkem lineární elektromechanické interakce mezi mechanickým a elektrickým stavem v krystalických materiálech bez inverzní symetrie11. Piezoelektrický efekt je reverzibilní proces: materiály vykazující piezoelektrický účinek (vnitřní generování elektrického náboje vyplývající z aplikované mechanické síly) také vykazují reverzní piezoelektrický efekt, vnitřní vytváření mechanického napětí vyplývajícího z aplikovaného elektrického pole. Například krystaly titaničitanu zirkoničitého olovnatého budou generovat měřitelnou piezoelektriku, pokud je jejich statická struktura deformována asi o 0,1 % původní dimenze. Naopak, stejné krystaly se změní o 0,1 % jejich statického rozměru, když je na materiál aplikováno vnější elektrické pole. Inverzní piezoelektrický efekt se používá při výrobě ultrazvukových zvukových vln [8].
11 Inverzní symetrie krystalu znamená, že pokud vybereme libovolné místo mřížky jako střed tím, že vezmeme souřadnice tohoto místa za 𝑟⃗⃗⃗ = (0,0,0), pak je celý krystal symetrický při operaci 𝑟 → −𝑟 . To lze zobecnit na 0
krystaly v libovolném počtu rozměrů.
28
Praktická část
3.1. Metoda
Metoda počítaní pruhů při známém harmonickém buzení spočívá v měření dvou různých frekvencí, které přímo souvisejí s dynamickým posunem 𝜉(𝑡), vyvíjený piezoelementem během jeho testování. První z těchto frekvencí je "excitační frekvence", která pochází z generátoru. V našem případě je buzen přímo vybraný piezoelektrický prvek. Pokud je harmonická excitace aplikována na měřenou plochu, je výstup popsán excitační frekvencí a posuvem měřeným interferometrem. Když se měřící povrch pohybuje dozadu nebo dopředu o vzdálenost 𝜆/4, interferenční pruhy se pohybují od tmavé strany ke světlé. Při uvedené frekvenci a úrovni posunutí bude během každého cyklu harmonických vibrací počet pruhů nebo optických pulzů konstantní. Jinými slovy, frekvence změny pruhů se rovná mechanické frekvenci krát počtu pruhů. Počet pruhů je tedy úměrný úrovni posunutí. Tento jev je přiblížen na Obrázek 9: Záznam interferenčních pruhů a budícího signálu.
Obrázek 9: Záznam interferenčních pruhů a budícího signálu
Nejprve je třeba se odkázat na rovnici interference (14)
𝐼 ≈ 𝐼𝑟+ 𝐼𝑝+ 2√𝐼𝑟∙ 𝐼𝑝∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ |𝑔|,
kterou zjednodušíme následující úvahou. Vzhledem k použitému zdroji vlnění, He-Ne laseru, jehož koherenční délka dosahuje desítek metrů, za komplexní stupeň koherence dosadíme konstantu 1. V rámci naší úlohy nás nezajímají jednotlivé hodnoty 𝐼𝑟+ 𝐼𝑝, ale pouze jejich
29
vzájemné působení, tj. jejich interference. Zaměním tedy nejprve jejich součet za konstantu 𝐴.
Jejich násobek pod odmocninou vynásobená konstantou dvě pak zaměníme za konstantu 𝐵 a podrobněji se podíváme na zbytek rovnice. Zatím jsme tedy obdrželi:
𝐼 ≈ 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑. (16.1)
Pro fázový posun 𝜑 z rovnice (15) platí:
𝜑 =2𝜋 𝜆 𝑑,
kde 𝑑 je dráhový rozdíl měřené a referenční vlny o který se zajímáme. Složením těchto vzorců a dosazením za 𝑑 = 𝛿 + 2 𝜉(𝑡) obdržíme:
𝐼 ≈ 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝐶𝑜𝑠 {2𝜋
𝜆 [𝛿 + 2 𝜉(𝑡)]} , (16.2)
kde 𝜆 je vlnová délka laseru a 𝛿 je počáteční rozdíl vzdálenosti mezi dvěma rameny. Posun způsoben budící frekvencí je popsán pomocí harmonické funkce 𝜉(𝑡) = 𝜉0 𝑐𝑜𝑠[2𝜋𝑓𝑡], kde 𝜉0 je amplituda měřeného posunutí a 𝑓 je frekvence budícího signálu. Díky generované frekvenci, se kterou piezoelement budíme, se intenzita světla 𝐼 měřená fotodiodou mění v určitém rozmezí, kde produkuje maximum a minimum, jak je blíže vidět v Obrázek 9. Tato minima a maxima nazýváme interferenčními pruhy.
V rámci rovnice (17) nás nejvíce zajímá změna intenzity světla měřená fotodiodou, která se, jak je víše uvedeno, mění v závislosti na frekvenci generátoru. Světelná intenzita se mění harmonicky. Vzhledem k tomu, že hodnoty funkce cosinus se pohybují od -1 do 1, maximální intenzitu světla naměříme v momentě kdy
𝐶𝑜𝑠 {2𝜋
𝜆 [𝛿 + 2 𝜉(𝑡)]} ≅ ±1, (16.3)
po úpravě
2𝜋
𝜆 [𝛿 + 2 𝜉(𝑡)] = 2𝜋𝑛, (16.4)
kde 𝑛 je přirozené číslo. Při posouzení dvou sousedních maxim vzhledem ke dvěma sousedním hodnotám přirozeného čísla 𝑛 a 𝑛 + 1, obdržíme i vztahy určující přesun mezi 𝜉𝑛 a 𝜉𝑛+1, respektive. Z těchto principů plyne, že dvě sousední maxima intenzity světla jsou vytvořena ve chvíli, kdy pro výchylku platí
30 2𝜋
𝜆 [𝛿 + 2 𝜉(𝑡)] = 2𝜋𝑛 (16.5)
a
2𝜋
𝜆 [𝛿 + 2 𝜉(𝑡)] = 2𝜋(𝑛 + 1). (16.6)
Z těchto rovnic lze získat vzdálenost mezi dvěma sousedními maximy (𝜉𝑛− 𝜉𝑛+1) = 𝜆/2.
Pokud má generovaný signál konstantní frekvenci a amplitudu, počet pruhů je také konstantní.
Abychom mohli spočítat počet pruhů pomocí čítače nebo osciloskopu, musíme nalézt hodnotu amplitudy měřeného vzorku 𝜉0 použitím následující rovnice
𝑅𝐹 =𝜉0× 2(vpřed − vzad) × 2(vrchol − vrcho𝑙) × 2(celý cyklus)
𝜆 =8 𝜉0
𝜆 (17)
a
𝑅𝐹 = frekvence pruhů
frekvence generátoru, (18)
tedy
𝜉0 =𝜆 𝑅𝐹
8 , (19)
kde 𝑅𝐹 je průměrný počet pruhů mezi několika cykly generované frekvence.
3.2. Experiment
Pro naše účely bylo použito upravené polarizační zapojení Michelsonova interferometru. Tento interferometr se vyznačuje dvěma, na sebe kolmými rameny. Pro měření je použita metoda počítání pruhů z předchozí kapitoly. V zapojení je využito fotodiody, která měří intenzitu dvou interferujících rovnoběžných paprsků, které na ni dopadají. Pro nejlepší splnění této podmínky je třeba polarizovaného světla a jeho netknutý přenos skrze aparaturu. Pokud se vlny nenacházejí v jedné polarizační rovině, nedochází k interferenci. Dalším důvodem je možnost regulace intenzity svazků v jednotlivých ramenech, zejména pak dosažení co největší intenzity na měřené ploše (element má malou odrazivost) a stejné intenzity po odrazu od referenčního zrcadla. V kapitole 3.7. Problematika přenosu polarizace je zmíněna problematické situace přenosu kruhové polarizace a její řešení. V metodě je ověřen jak sběr dat, tak samotný princip měření. Nejprve je testována správnost dat z čítače, který je zodpovědný za odečet dat
31
ze systému. Poté je ověřena metoda měřením na piezoelementu se známými hodnotami posuvu.
Na závěr experimentu je diskutována a stanovena chyba s jakou se metoda potýká.
Z generátoru je vyslána harmonická excitace o daných parametrech frekvence a napětí. Signál je rozdělen a v jedné větvi zesílen, zatímco v druhé je monitorován osciloskopem a odeslán do čítače. Tento signál slouží jako referenční. Zesílený signál putuje do vzorku, který je buzen.
Vzorek je excitován a dochází k vibracím. Vibrace jsou sledovány pomocí interference fotodiodou, ze které naměřenou intenzitu záření měříme čítačem jako frekvenci a kontrolujeme osciloskopem, který zaznamenává intenzitu v čase. V zapojení je také počítač, na kterém probíhá analýza dat a další výše zmíněné části.
Obrázek 10: Nákres aparatury
3.3. Použité přístroje
Mezi hlavní součásti aparatury patří silikonová fotodioda PDA10A-EC od firmy Thorlabs.
Fotodioda má detekční plochu o velikosti 0,8 𝑚𝑚2. Silikon je zvolen z důvodu rozsáhlého spektra pro účely interferometrie, kde naše zařízení zvládne snímat vlnové délky v rozsahu 200 − 1100 𝑛𝑚. Ostatní materiály, jako je germanium (400 − 1700 𝑛𝑚) či sulfid olovnatý (1000 − 3500 𝑛𝑚) nemají pro naše účely ideální rozpětí. Mezi další možnosti patří Tellurid rtuti kadmia, který má rozsáhlé spektrum, ale vysokou pořizovací cenu.
Když foton s dostatečnou energií zasáhne diodu, vytvoří pár elektronových děr. Tento mechanismus je také známý jako vnitřní fotoelektrický efekt. Celkový proud fotodiodou je součtem temného proudu (proudu, který je generován v nepřítomnosti světla) a fotoproudu, takže temný proud musí být minimalizován, aby se maximalizovala citlivost zařízení.
32
Fotodioda je osazena BNC Female 0 𝑉 − 10 𝑉 výstupním konektorem k připojení koaxiálního kabelu.
V našem zapojení jsme použili osciloskop od firmy Rohde & Schwarz RTB 2004. Jedná se o sérii 2000, která je osazena 4 kanály. Jeden byl použit pro sledování měřeného signálu vycházejícího z fotodiody, druhý byl využit pro kontrolu budícího signálu z generátoru a třetím jsme monitorovali zesilovač. Systém v osciloskopu jsme také využili pro vyfocení grafů a zkopírování několika průběhů funkcí pro diskuzi chyby. Osciloskop disponuje možnostmi zaznamenat až 300 000 forem za sekundu.
Pro světlený zdroj byl použit červený He-Ne Laserový systém HNL050L od firmy Thorlabs.
Vlnová délka laseru je 𝜆 = 632,8 𝑛𝑚 s výkonem 5,0 𝑚𝑊. Průměr paprsku je 0,81 𝑚𝑚. Laser dosáhne 95 % výkonu přibližně po 10 minutách.
Použitý zesilovač od značky NF Wave Factory HSA 4052 má frekvenční rozsah DC až 10 𝑀𝐻𝑧 a maximální výstupní napětí 300𝑉 𝑃𝑃 (Peak-to-peak). Výrobce uvádí také velmi nízké zkreslení signálu a sledovací rychlost 5000 𝑉/𝜇𝑠. Je zde také možnost přidat k signálu DC offset a možnost nastavení impedance výstupu. Samotné zesílení nedosahuje takové velikosti, zesilovač má maximální zisk 200 ×. V našem případě jsme se zaměřili u zesilovače právě na frekvenční rozsah, který byl pro naši analýzu potřebný, nikoliv na zisk.
Mezi další přístroje patří notebook pro odečet dat z univerzálního čítače od firmy Metex skrze USB rozhraní. Z těchto čítačů lze zasílat data do notebooku dle jejich nastavení gate, a to s frekvencí 10 𝑠−1, 1 𝑠−1 nebo 0,1 𝑠−1. Na notebooku je instalováno prostředí Labwiev, s běžícím skriptem pro odečet dat z přístrojů do textového souboru.
Signál je v našem zapojení tvořen generátorem syntetizovaných funkcí laboratorního stupně se širokým frekvenčním rozsahem až 120 MHz. Přístroj podporuje AM, FM, FSK, PSK a pulzní modulaci a lineární a logaritmické rozmítání. Modulační parametry mohou být nastaveny přesně a jsou nastavitelné v širokém rozsahu.
3.4. Ověření odečtu dat z aparatury
Ověření odečtu dat je provedeno porovnáním hodnoty počtu pruhů z měření 𝑅𝐹𝐶 a tím i hodnoty 𝜉0𝐶 obdržené z čítače a hodnot 𝑅𝐹𝑆 a 𝜉0𝑆 obdržených z osciloskopu. Osciloskopem je změřen průběh signálu v čase z fotodiody. Z grafu je poté vybrán jeden celý cyklus funkce (funkce je goniometrického charakteru) generátoru a k němu je přiřazen signál z fotodiody. Dále je odečtena hodnota 𝑅𝐹𝑆, reprezentována celým číslem, kterou lze pozorovat jako počet Peak-
33
to-Peak průběhů v grafu. Tyto průběhy jsou vidět na Obrázek 11: Graf průběhu pro měření č. 2 a obrázku následujícím.
V následující tabulce je vidět ověření sběru dat. Frekvence ve sloupci measure a ref byly
vypočítány jako průměry ze sad dat o velikosti 𝑛 > 100. Toho bylo docíleno sběrem dat po určitou dobu při stejné budící frekvenci a amplitudě.
𝑖 𝑅𝐹𝑆 𝑅𝐹𝐶 𝜉0𝑆(𝑡) (𝜇𝑚) 𝜉0𝐶(𝑡) (𝜇𝑚) rozdíl %
1 2 1,844619 0,31640750 0,292129630 2,427786965
2 3 1,948743 0,47461125 0,308864005 16,57472455
3 3 2,854245 0,47461125 0,452449491 2,216175910
4 4 3,796313 0,63281500 0,601888023 3,092697713
5 5 4,733459 0,79101875 0,750414992 4,060375775
6 7 6,682399 1,10742625 1,059581229 4,784502054
7 9 8,556522 1,42383375 1,356331129 6,750262099
Tabulka 1: Tabulka ověření dat 1
V tabulce je vidět porovnání výpočtu 𝑅𝐹𝐶 pomocí vzorce (18) a hodnoty 𝑅𝐹𝑆 odečtené z grafu.
Nejprve se ukázalo, že data přibližně korespondují, avšak nejistoty se pohybují ve vyšších procentech. Tento jev je důsledkem vibrací celého systému, což je při vyšších frekvencích zanedbatelné. Přesnost samotného ověření také snižuje nemožnosti přesně odečíst počet Peak- to-Peak pruhů z grafu.
Hodnoty u měření 2 označené červenou barvou reprezentují skok mezi hladinami odečtu čítače.
Tento jev je popsán v kapitole 3.6. Diskuze chyby. Na obrázku níže je vidět problematika s odečtem v momentě skoku mezi hladinami v druhém měření. Čítač vidí buď dva nebo tři peaky, a to v závislosti na intenzitě měřeného signálu prostředního peaku.
Obrázek 11: Graf průběhu pro měření č. 2
34
Na obrázku níže je vidět průběh pro páté měření. Zde je vidět poměrně přesný počet peaků v jednom cyklu. V tomto případě jich bylo 5.
Obrázek 12: Graf průběhu pro měření č. 5
3.5. Ověření metody piezoelementem
Ověření piezoelementem probíhalo záměnou měřeného piezoelementu za prvek se známými hodnotami posuvu. Tento prvek byl zapojen stejně jako prvek měřený, s tím rozdílem, že po testovacím měření jsme byly schopni zpětně dopočítat předpokládanou hodnotu posuvu, jakou by měl interferometr vykázat. Jednalo se Power Piezo Actuator od firmy Physik Instrumente s označením P-212.10. U tohoto produktu výrobce uvádí posun (travel range, closed loop) 15 𝜇𝑚 s rozlišovací schopností 0,3 𝑛𝑚. V datech výrobce také uvádí operační rozsah 0 − 1000 𝑉. V případě, že je metoda korektní bude na každý volt aplikovaný na piezo pozorován posuv rovný:
𝜉1𝑉= 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒
𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑔𝑒 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 = 15 𝜇𝑚 1000 𝑉 𝜉1𝑉 = 0,015 𝜇𝑚
𝑉 . (20.1)
Do osciloskopu je zapojen monitorovací výstup ze zesilovače, jehož napětí je 1/100 napětí přivedené do pieza. Jakmile je toto napětí zaznamenáno a vynásobeno převráceným koeficientem monitoru je obdržena reálná hodnota napětí, která budí piezo. Hodnota je poté vynásobena posuvem 𝜉1𝑉. Tímto je získán předpokládaný posuv. Pro ověření musí platit:
𝜉𝑐 = 𝜉𝑅𝐹
35 𝑈𝐶1∙ 𝜉1𝑉∙ 100 =𝜆 𝑅𝐹
4 𝑈𝐶1∙ 𝜉1𝑉∙ 100 =𝜆
4 ∙𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒
𝑟𝑒𝑓 , (20.2)
kde
𝜉𝑐 = předpokládáný posuv 𝜉𝑅𝐹 = naměřený posuv
𝑈𝐶1 = napětí odčítané z monitoru 𝜉1𝑉 = posuv rovný 1 V
𝜆 = vlnová délka laseru 𝑅𝐹 =𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒
𝑟𝑒𝑓 = podíl pozorované a budící frekvence.
V tabulce níže lze pozorovat porovnání naměřených hodnot. Předpokládaný posuv byl stanoven násobkem napětí vstupujícího do elementu a posuvu pro jeden volt. Naměřený posuv je převzat z Tabulka 1: Tabulka ověření dat 1. Referenční frekvence pro všechna měření byla ≅ 10 𝐻𝑧.
Z tabulky je patrné, že rozdíl v hodnotách pro první měření je přibližně 5,3 %, což je pro naše účely vyhovující. V dalších měřeních je však vidět, že hodnota roste a pohybuje se kolem 18 % a nakonec stoupá až k polovině předpokládané hodnoty. Tento jev není způsoben chybnou metodikou, ale nedostatkem v piezoelementu. Prvek nestíhá na dané frekvenci dosáhnout maximálního posuvu, a tak roste i rozdíl oproti posuvu předpokládanému. Element je určen zejména pro DC aplikace při velmi nízkých frekvencích, jinak vykazuje hysterezi12.
C1 V PTP (𝑚𝑉)
monitor zesílení 100 × (𝑉) předpokládaný posuv 𝜉𝑐(𝜇𝑚)
naměřený posuv 𝜉𝑅
𝐹(𝜇𝑚) rozdíl (%)
230 23 0,345 0,29212963 5,287036965
320 32 0,48 0,308864005 17,11359955
410 41 0,615 0,452449491 16,25505091
520 52 0,78 0,601888023 17,81119771
760 76 1,14 0,750414992 38,95850078
1010 101 1,515 1,059581229 45,54187705
1260 126 1,89 1,356331129 53,36688710
Tabulka 2:Tabulka ověření metody piezoelementem
Je důležitě upozornit, že v hodnotách měřeného posuvu 𝜉𝑅𝐹 se objevuje chyba spojená s použitou metodou. Chyba je tedy součástí procentuálního rozdílu.
12 Hystereze je závislost stavu systému na jeho předchozím stavu (stavech).
36 3.6. Diskuze chyby
Chyba systematická se projevuje v momentě přeskoku počtu pruhů z jedné hodnoty na další.
Čítač není schopen rozpoznat, zda došlo k přesunu na jinou další (vyšší, či nižší) hodnotu.
Ve chvíli, kdy se objevuje chyba, lze pozorovat změnu v počtu peaků, které vykazuje čítač, zatímco na osciloskopu vidíme pomalý nástup zmíněného peaku.
Vzhledem k faktu, že počet pruhů je vždy odečten v celočíselném tvaru jako násobek budící frekvence, tak dostáváme představu o maximální velikosti chyby v měření. V krajním případě nezvládne systém zaznamenat přechod z jedné hladiny do druhé. Hodnota 𝑅𝐹 se tedy bude lišit od svojí skutečné hodnoty maximálně o 1. Nyní formulujeme vzorec založený na předchozích úvahách. Rozdíl mezi sousedními hodnotami 𝜉0 je roven
Δ𝜉0 = 𝜉0𝑛+1− 𝜉0𝑛 =𝜆 𝑅𝐹(𝑛+1)
8 −𝜆 𝑅𝐹(𝑛) 8 = 𝜆
8(𝑅𝐹(𝑛+1)− 𝑅𝐹(𝑛)) (21.1) Nyní dosadíme za rozdíl vedlejších hodnot 𝑅𝐹 jejich maximální celočíselný rozdíl 1 a dostáváme
Δ𝜉0 = 𝜆
8(𝑅𝐹(𝑛+1)− 𝑅𝐹(𝑛)) =𝜆
8(1) =𝜆
8. (21.2)
Z úvahy tedy plyne, že největší chyba, kterou může systém vykázat se rovná jedné osmině vlnové délky laseru. Tento předpoklad nyní ověříme na vzorcích dat změřených v moment, kdy předpokládáme výskyt chyby.
Po ověření byla provedena dvě měření. Frekvence byly vypočteny jako průměry ze sady dat o velikosti 𝑛 > 100. Pro měření byly použity následující hodnoty: vstup 20 𝐻𝑧, 2 𝑉 𝑃𝑃, offset 1,2 𝑉 𝐷𝐶. Nepřesnost jsme v systému vytvořili posunutím referenční větvě systému do bodu, kdy čítač pro stejné nastavení amplitudy a frekvence generátoru zaznamenal přeskok na jinou hladinu. Posunutím referenční větve docílíme stejného efektu, jaký by se objevil při malém nárůstu amplitudy v měřené větvi. Zda se jedná o chybné měření, nebo měření korektní, lze určit pozorováním funkce na osciloskopu.
V grafu níže je vidět úsek naměřených dat pro výpočet hodnoty amplitudy 𝜉01 . Odečíst počet peaků pro pozorovatele je poměrně snadné. Z grafu lze v jednom cyklu odečíst 24 pruhů.
37
Obrázek 13: Graf hodnot pro první výchylky
V Obrázek 14: Graf hodnot pro výpočet druhé výchylky lze pozorovat problematiku odečtu počtu pruhů pro fotodiodu. Peak, který se nachází ve středu reprezentuje jinou hodnotu výchylky a stává se dvacátým pátým peakem. Mezi těmito dvěma měřeními nelze přímo rozeznat korektní a chybný odečet. Avšak lze pozorovat, že při stejném vstupním napětí a frekvenci lze po posunutí referenční větve docílit jiných výstupů pro amplitudu a výchylku.
Obrázek 14: Graf hodnot pro výpočet druhé výchylky
Pro první měření, kde 𝜉01 je první naměřená hodnota amplitudy platí:
38 𝜉01 =𝜆 𝑅𝐹
8 =𝜆
8 ∙𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒
𝑟𝑒𝑓 =0,632815
8 ∙484,355295
20,632107 = 1,77590 𝜇𝑚. (22.1) Pro druhé měření, kde 𝜉02 je jiná hodnota amplitudy pro stejnou frekvenci a napětí, platí:
𝜉02 =𝜆 𝑅𝐹 8 = 𝜆
8 ∙𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒
𝑟𝑒𝑓 = 0,632815
8 ∙459,981533
20,488372 = 1,85698 𝜇𝑚. (22.2) Pro určení absolutní chyby platí:
∆𝑋 = ∆𝜉0 = | 𝜉01− 𝜉02| = 1,77590 − 1,85698 = 0,0811 𝜇𝑚. (23) Nyní pro určení relativní chyby vůči vlnové délce:
𝛿𝑋 =∆𝑋
𝜆 = 0,0811
0,632815 = 0,128 (24)
Relativní chyba tvoří 0,128 vlnové délky. Jedná se tedy přibližně 1
8𝜆. Tato hodnota odpovídá hodnotě vypočítané teoretickou úvahou. Jev, který tato chyba generuje lze pozorovat v datech při měření vzorků.
3.7. Problematika přenosu polarizace
Optická měření často vyžadují polarizované světlo. I pro naše účely byl využit polarizovaný Michelsonův interferometr. V mnoha případech je třeba celkový polarizační stav (stupeň polarizace) světla analyzovat. U těchto experimentů je pak nutné světlo přepravovat beze změny jeho polarizačního stavu, a to zejména od generační fáze ke vzorku a poté od vzorku k analýze. Obvykle se snažíme generovat kruhově polarizované světlo, aby dopadlo podél stejné hlavní osy, v jaké bylo vzniklo. Důvodem je právě nebezpečí změny polarizace při přenášení paprsku do jiných směrů. Uspořádání takovýchto experimentů proto může být poměrně obtížné.
V případě našeho experimentu jsme narazili na problém změny polarizačního stavu dvojitého odrazu světla od zrcadla pod úhlem 45°. V případě umístění elementu horizontálně nedocházelo k interferenci, byli jsme tedy nuceni prvek umístit svisle. O tomto problému hovoří práce, ve které autoři popisují uspořádání periskopu s dvojitým zrcadlem pro přenos polarizovaného světla ve vzduchu, přičemž celkový eliptický polarizační stav světla je zachováván ve všech vlnových délkách. Experimentálně je prokázáno, že v rozsahu vlnových délek 400 − 1000 𝑛𝑚 toto uspořádání zachovává polarizační stav poměrně dobře při použití kovových nebo dielektrických zrcadel. [9]
39 3.8. Matlab parser
Pro zpracování dat byl užit program MATLAB (matrix laboratory) od společnosti MathWorks.
Skript, který jsem napsal se staral postupně o přijmutí dat do vnitřní části programu, dále o seřazení dat do dvojic pro výsledný export do programu Excel. V následující části programu jsou data předvedena do vědeckého zápisu včetně vynásobení příslušnou konstantou plynoucí z příslušné předpony. V posledním kroku jsou data exportována.
Data zaslaná čítačem do počítače mají formu, kterou lze vidět níže. String (řetězec dat) je plný údajů, které jsou pro naše použití nadbytečné. Chceme tedy z těchto informací vypreparovat frekvenci, a to nejlépe jen v číselném zápise. Dále je třeba jednotlivé dvojice údajů k sobě připojit a zarovnat je do dvou sloupců pro další práci v tabulkovém procesoru. Výsledek zpracování pak dostává formu, kterou můžeme pozorovat na výstupu vpravo.
Tento proces byl zapotřebí primárně z množství dat, s jakým jsme se v rámci měření setkali.
Ručně by bylo zapotřebí nad daty strávit měsíce. Dále se v datech nacházejí nesrovnalosti jako vynechaná desetinná čárka, které musí být i po zpracování dat parserem opravena, jinak dochází k nesrovnalostem ve finálním grafu.
Samotná funkce parseru najde v zaslané buňce vybraný znak, či vybranou soustavu znaků.
Poté se podívá o jednu pozici vlevo. Na tomto místě najde funkce buď prázdné místo nebo znak ve formátu malého či velkého písmena reprezentujícího předponu před jednotkou (k, K, g, G, m, M, aj.). Parser vymaže všechny znaky před a za číslem, a právě toto číslo vynásobí příslušnou konstantou. Kde pro prázdné místo je konstanta rovna jedné a pro další znaky jejich příslušná fyzikální hodnota. Na konci funkce vrací právě číslo ve vědeckém zápisu zpět na jeho místo v systému buněk.
40
Kód včetně příslušného komentáře se nachází v přílohách.
3.9. Naměřená data z testovaného vzorku
Metoda byla primárně navržena pro měření vzorku dodaného z firemní sféry. Jednalo se o piezoelektrický prvek většího rozměru buzený známým harmonickým signálem. Tedy signálem se známými hodnotami frekvence a napětí. Byl vyžadován vysoce dynamický rozsah měření v rámci několika mikrometrů a možnost záznamu průběhu celého měření ve vysokých frekvencích. Na vzorku byly pozorovány resonanční frekvence, při kterých byla amplituda a výchylka prvku maximální. Na záznamu měření lze pozorovat prudký nástup výchylky v resonančních frekvencích. Při bližším pohledu na části grafu je vidět grafické vyjádření chyby, kterou s sebou metoda přináší.
V grafu níže je vidět průběh měření na frekvencích 8 − 400 𝑘𝐻𝑧 během 262 sekund, tedy přibližně se změnou 1500 𝐻𝑧/𝑠, kde na prvek bylo přivedeno napětí 50 𝑉 Peak-to-peak (po zesílení). Byla provedena tři měření, mezi kterými byl dostatečný časový interval ke vrácení prvku do původního stavu, tedy aby byl prvek teplotně stabilizován. V grafu lze pozorovat, že prvek prochází několika resonancemi na různých frekvencích. Obrázek je ve formátu A4 zařazen mezi přílohami.
data
•po zadání jména souboru skript načítá data
•prázdé buňky reprezentující prázdné řádky jsou vymazány
•do buňek o velikosti 2 sloupce na jeden řádek jsou vepsána data systémem lichý sudý
parser
•do parseru jsou načítány jednotlivé buňky
•začíná proces hledání vybraného znaku a zpracování
export
•data jsou exportována do vybraného programu (txt, Excel)
•program je ukončen
41
Obrázek 15: Graf průběhu měření testovacího vzorku
V grafu níže lze pozorovat chybu měření, která způsobuje skoky mezi naměřenými hladinami a tím je i v grafu zachycena jako grafický skok mezi hodnotami.
Obrázek 16: Přiblížení chyby
