Datastrukturer och algoritmer. Innehåll. Trie. Informell specifikation. Organisation av Trie. Föreläsning 13 Trie och Sökträd.

Datastrukturer och algoritmer

Föreläsning 13 Trie och Sökträd

Innehåll

• Trådar

• Trie

• Sökträd

3

Trie

• Ytterligare en variant av träd. Vi har tidigare sett:

– Oordnat träd där barnen till en nod bildar en mängd

– Ordnat träd där barnen till en nod bildar en lista

• I Trie är barnen till en nod organiserade som värden i en tabell som hör till noden

• Trie kallas också diskrimineringsträd, code-

4

Organisation av Trie

• Barnen (delträden) nås direkt genom ’namn’, dvs argument/nycklar i barnnodens tabell

– Nycklarna brukar skrivas direkt intill motsvarande båge

• I en Trie har tabellerna en och samma nyckeltyp, t.ex. tecken

• I många tillämpningar av Trie saknar de inre noderna etiketter, träden är lövträd

• Trie är normalt nedåtriktade

• Binära träd kan ses som ett specialfall av Trie där ntyckelvärdena är ’left’ och ’right’

5

Informell specifikation

• Två sätt:

– Utgå från Urträdets specifikation och låt typparametern sibling ha värdet Tabell.

• Då hanteras insättning, borttagning och värdekoll av Tabellen själv.

• I övrigt används de vanliga operationerna för att sätta in och ta bort barn etc.

– Sätt in lämpliga tabelloperationer direkt i specifikationen av Trie

• Insert-child blir tabellens insert, delete-child tabellens remove och Child tabellens lookup

6

Konstruktion av Trie

• De flesta konstruktioner av träd går bra att använda

– Om det går att byta ut de delar som hanterar barnen (t.ex som element i en lista) till att hantera dessa som tabellvärden

• En länkad lista med 2-celler byts till 3-celler

– Implementerar man tabellen som en vektor eller som en hashtabell får man effektiva

Trieimplementationer

7

Tillämpningar med Trie

• Används för att konstruera lexikon av sekvenser eller Tabeller där nycklarna är sekvenser

• För sekvenser med element av typ A väljer vi en Trie med tabellnycklar av typ A.

– En sekvens motsvaras då av en väg i trädet från roten till ett löv

– Man lägger en slutmarkör i slutet av varje sekvens om en sekvens kan vara början på en annan

• En annan variant är att ha etiketter i de inre noderna också

• Ett viktigt/vanligt specialfall är lexikon/Tabell av textsträng. En sträng kan ju ses som en lista eller vektor av tecken.

8

Forts ...

• Fördelar med att använda Trie för

Lexikon/Tabeller som lagrar sekvenser som startar med samma följd av elementvärden:

– Kompakt sätt att lagra lexikonet/tabellen – Sökningens tidskomplexitet proportionell mot

sekvenslängden (en jämförelse per tecken)

– Den relativa kompelxiteten är oberoenda av storleken på lexikonet/tabellen

• Det blir inte ”dyrare” att söka i ett stort lexikon jämfört med ett litet

9

Exempel

10

Bild från sidan 284 i Janlert L-E., Wiberg T., Datatyper och algoritmer, Studentlitteratur, 2000

Tillämpningar

• Stavningskontroll

– Skapa trie med alla ord som finns i språket

• Övesättningstabell

– Löven innehåller motsvarande ord i ett annat språk

• Filsystem på Unix/PC

• Datakomprimering

– LZ78-algoritmen - zip, gzip, png bland annat – Huffman-kodning

11

LZ78 eller Lempel-Ziv kodning

• Kodning:

– Låt frasen 0 vara den tomma strängen ””

– Gå igenom texten

• Om du stöter på en ’ny’ bokstav lägg till den på toppnivån i trien

• Om du stöter på en ’gammal’ bokstav gå nedåt i trien tills du inte kan matcha fler tecken, lägg till en nod i trien som representerar nya strängen

• Stoppa in paret (nodeindex, sistaBokstaven) i den komprimerade strängen

12

How now brown cow in town.

13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0

2 3 4 5

6 7

8

9

10 11

12 13

14

15 1

h o w _ n r i t

w b c _

n _

. 0h 0o 0w 0_ 0n 2w 4b 0r 6n 4c 6_ 0i 5_ 0t 9.

how now brown cow in town.

LZ78 eller Lempel-Ziv kodning

• Avkodning:

– Varje gång du stöter på ”0” (noll) i den komprimerade strängen lägg nästa bokstav direkt efter den föregående i resultatsträngen

– För varje index != 0 stoppa in delsträngen som motsvaras av noden (med detta index) i resultatsträngen, följt av nästa tecken i den komprimerade strängen

– Notera att man inte behöver skicka med trädet om man bygger upp det allt eftersom i avkodningen

• Exempel:

0h 0o 0w 0_ 0n 2w 4b 0r 6n 4c 6_ 0i 5_ 0t 9.

14

h o w n ow b r own c ow i n t own.

Filkomprimering på ett annat sätt

• ASCII-filer är textfiler där varje bokstav representeras av en 8-bitars kod

– Det är alltås en fixlängdskodning

• Om man tittar på en textfil ser man att vissa bokstäver förkeommer oftare än andra

– E är vanligast i engelska – jm Morse-alfabetet

• Om man lagrar vanligt förekommande tecken med färre bitar så skulle vi kunna spara plats

15

Filkomprimering

• Kodningen måste ske så att att man enkelt kan avkoda strängen entydigt med

kännedom om hur de olika tecknen översätts

– Exempel: Antag att de tre tecknen a, b och c kodas som 0, 1, resp 01.

• Om en mottagare får strängen 001 vad betyder det ? aab eller ac ?

• Prefix-regeln: Ingen symbol kodas med en sträng som utgör prefix till en annan symbols kodsträng

16

Vi använder ett trie !

• Bokstäverna lagras i löven

• Den vänstra kanten betyder 0

• Den högra betyder 1

17

Vad betyder

01011011010000101001011011010 ? 010 11 011 010 00 010 10 010 11 011 010 A B R A C A D A B R A

Vi vill ha optimal komprimering

• Så kort sträng som möjligt. Strängen

001011000100001100101100 med trädet

• Bland annat har A fått kortare kod och C längre

18

Huffman-kodning

• Börja med en serie träd bestående av ett endal löv. Till varje löv associeras en symbol och en vikt = symbolens frekvens i texten som skall kodas

• Väl de två träd som har minst vikt i roten.

Bygg ihop dem till ett nytt träd där de blir barn till en ny nod. Den nya noden innehåller en vikt = summan av barnens vikter.

• Upprepa detta till vi har ett enda stort träd

• Jpeg, mp3

Huffman - ABRACADABRA

• ABRACADABRA

20

A 5/11 B

2/11 R 2/11 C

1/11 D 1/11

C 1/11 D

1/11 2/11 2/11 B R

2/11 4/11

6/11 5/11 A

11/11 ABRACADABRA blir nu 23 bitar 0 100 101 0 110 0 111 0 100 101 0

Tries för strängar

• Insättning

– Startar i roten och går nedåt i trädet så länge det finns en matchande väg

– När man hittar en skiljelinje, stanna och stoppa in resten av strängen som ett delträd

– Komprimerade tries:

• Liknande algoritm men där är löven strängar som kanske måste delas upp i två barn senare

• Borttagning

– I princip samma algoritm som insättning fast tvärtom. Sök upp strängen som ska tas bort och radera nerifrån i trädet upp till första förgreningen

21

Komprimerade tries

• Alla enbarnsnoder konverteras till att innehålla hela strängen/sekvensen som ligger under

22

o

t

ot

Binärt sökträd

• Används för sökning i linjära samlingar av dataobjekt, specifikt för att konstruera tabeller och lexikon

• Organisation:

– Ett binärt träd som är sorterat med avseende på en sorteringsordning R av etikett-typen så att

• I varje nod n gäller att alla etiketter i vänster delträd går före N som i sin tur går före alla etiketter i höger delträd

• Alla noder är definierade

23

Informell specifikation

• Skiljer sig från ett vanligt binärt träd:

– Alla noder måste ha etiketter

• Ta bort create, Has-Label och Set-label och inför Make som skapar rotnod med värde

• Insert-operationerna utökas med ett etikettvärde – Det skall gå att ta bort inre noder, inte bara löv

• Positionsparametern i delete-node behöver inte peka på ett löv

• När man tar bort en inre nod trasas trädet sönder. Hur lagar man det ?

– Är nedåtriktat

• Parent kan utelämnas

– Eftersom trädet är sorterat kan man inte stoppa in ett nytt element var som helst

• Måste uppfylla sorteringsordningen ₂₄

Varför sorterat träd ?

• Det går snabbare att söka i strukturen

• För binärt sökträd:

– Kolla om det sökta värdet finns i den aktuella noden

– Om inte sök nedåt rekursivt i vänster eller höger delträd beroende på sorteringsordningen

• Om det binära trädet är komplett:

– Värstafallskomplexiteten för sökning är O(log(n)) för ett träd med n noder – Hur ser man till att trädet blir komplett vid

insättning ? (vi tittar på det senare)

25

Borttagning av nod i binärt sökträd

• Hur lagar man ett träd när man tagit bort en inre nod ?

– Om den inre noden bara hade ett delträd

• Lyft upp det ett steg

– Om den borttagna noden hade två delträd:

• Välj noden med det minsta värdet i höger delträd som ersättning (alternativt noden med största värdet i vänster delträd)

• Detta är standardkonstruktionen, det är upp till den som implementerar att välja

– De vanligaste tillämpningarna är inte beroende av denna detalj

– Viktigt att man visar sitt beslut i specifikation och

dokumentation 26

Exempel

• Vi har trädet

27

R B

N

T

S Y

C U

Exempel

• Ta bort element B. Det har bara ett delträd, lyft upp det:

28

R

N T

S Y

U C

Exempel

• Ta bort R, alternativ 1

29

S B

N

T Y C U

Exempel

• Ta bort R, alternativ 2

30

N B

C

T

S Y

U

Varför inte ändra gränsytan ?

• Eftersom man inte får sätta in ett nytt element vart som helst så kanske man lika gärna kan ersätta insert-left och insert-right med en metod place som automatiskt placerar det rätt?

• På samma sätt ersätta delete-node(pos, bt) med remove(val, bt)?

• Bägge dessa metoder ligger på en högre abstraktionsnivå än övriga metoder i gränsytan.

– Placa implementerar man i huvudsak med hjälp av andra metoder i gränsytan vilker är lite märkligt

– Strukturen döljs (för oss) och blir mer lik en mängd

31

Tillämpningar av Binärt sökträd

• Framförallt till konstruktioner av lexikon och tabell

• Notera att inorder-traversering av binärt sökträd ger en sorterad sekvens av de ingående elementen

– Kan alltså sortera element genom att stoppa in dem ett och ett i ett tomt binärt sökträd och sedan traversera det

32

Generaliseringar

• Ett binärt sökträd underlättar sökning i en- dimensionell datamängd

• Lätt att generalisera detta till sökning i en 2-dimensionell datamängd (quadtree) eller så hög dimension man önskar (t.ex octtree)

33

Quadtree (fyrträd)

• Organiserat som ett binärt träd med förgreningsfaktor 4 i stället för 2

• Tolkning (vanligast):

– Rotnoden delar in den givna ytan (oftast en kvadrat) i fyra lika stora kvadrater. Vart och ett av de fyra barnen delar i sin tur sin kvadrat i 4 osv. Inga koordinater behöver lagras i inre noder

• Kan användas för att lagra lägesinformation för punktformiga grafiska objekt

34

Quadtree – forts.

• Man kan också använda det för att representera kurvor och ytor

– Svarta kvadranter – fylls helt av objektet – Grå kvadranter – fylls delvis

– Vita kvadranter – innehåller inte objektet

• Exempel på tilläpning

– Grafik – för att representera många små objekt som är ojämt spridda. Inga delträd för de kvadranter som är tomma sparar minne

35