ÖVN 14 - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM

KARL JONSSON

Nyckelord och inneh˚all

• Distributionsteori

Inofficiella ”m˚al”

Det ¨ar bra om du

(M1) vet att st¨odet av en funktion ϕ(x) definieras som supp(ϕ) = {x ∈ R : ϕ(x) 6= 0}, dvs (tillslut- ningen av) den m¨angd d¨ar funktionen ϕ ¨ar nollskild p˚a. ϕ har kompakt st¨od om supp(ϕ) ¨ar en kompakt m¨angd, eller med andra ord om ϕ(x) ¨ar identiskt lika med noll f¨or tillr¨ackligt stora v¨arden p˚a |x|, “identiskt noll l˚angt borta”.

(M2) vet att m¨angden E = C^∞(R), m¨angden av testfunktioner, inneh˚aller alla o¨andligt deriverbara funktioner ϕ : R → C.

(M3) vet att en funktion χ(x) kallas tempererad om den v¨axer l˚angsammare ¨an n˚agot polynom, allts˚a det finns heltal n och konstant C > 0 s˚a att

|χ(x)| ≤ C(1 + |x|)ⁿ f¨or alla x ∈ R. (1) (M4) vet att m¨angden med multiplikatorfunktioner M inneh˚aller alla o¨andligt deriverbara funktioner χ : R → C som ¨ar tempererade samt att godtycklig derivata χ^(k), k ≥ 0, ocks˚a ¨ar tempererad, dvs godtycklig derivata ska v¨axa l˚angsammare ¨an n˚agot polynom.

(M5) vet att m¨angden av testfunktioner med kompakt st¨od D = C₀^∞(R) inneh˚aller alla funktioner ϕ ∈ E som har kompakt st¨od.

(M6) vet att Schwartzklassen S inneh˚aller de funktioner ϕ : R → C som ¨ar o¨andligt deriverbara och som uppfyller att f¨or alla n, k ≥ 0 s˚a finns en konstant Cn,k s˚adan att,

(1 + |x|)ⁿ

| {z }

“godtyckligt polynom”

|ϕ^(k)(x)|

| {z }

“godtycklig derivata”

≤ C_n,k, ∀x ∈ R. (2)

“Intuitivt s˚a betyder detta att godtycklig derivata av ϕ (parametern k) kan multipliceras med god- tyckligt polynom (t¨ank p˚a (1 + |x|)ⁿ som ett polynom i detta fall) och resultatet ¨ar ¨and˚a begr¨ansat f¨or alla x. Eller: funktionerna i Schwartzklassen g˚ar mot 0 snabbare ¨an (1/polynom) f¨or godtyckligt polynom d˚a |x| → ∞. ”

(M7) vet att konvergens av Schwartzfunktioner i S av en f¨oljd av funktioner {ϕ_j}^∞_j=1till en funktion ψ ∈ S definieras som att f¨or alla heltal n, k ≥ 0 s˚a g¨aller

maxx∈R(1 + |x|)ⁿ|ϕ^(k)_j (x) − ψ^(k)(x)| → 0 d˚a j → ∞, (3)

“vilket man kan t¨anka p˚a som att godtycklig derivata ska konvergera likformigt mot gr¨ansfunk- tionens motsvarande derivata (parametern k) ¨aven efter multiplikation med godtyckligt polynom (parametern n)”.

(M8) vet att m¨angden av tempererade distributioner S⁰ ¨ar alla avbildningar f : S → C fr˚an Sch- wartzklassen S till de komplexa talen C som uppfyller f¨oljande villkor

(a) linearitet : f [c₁ϕ₁+ c₂ϕ₂] = c₁f [ϕ₁] + c₂f [ϕ₂];

Institutionen f¨or matematik, KTH, SE-100 44, Stockholm, Sweden E-mail address: karljo@kth.se.

Date: 10 december 2018.

1

(b) kontinuitet : om ϕj → ψ i S s˚a medf¨or detta f [ϕj] → f [ψ] i C d˚a j → ∞ (antar konvergens av input, dvs konvergens av Schwartzfunktioner och vill d˚a h¨arleda konvergens av output, dvs konvergens av komplexa tal).

(M9) vet att om g : R → C ¨ar en lokalt integrerbar funktion (´

K|g| dx ¨ar ¨andligt f¨or alla kompakta m¨angder K) som v¨axer l˚angsammare ¨an n˚agot polynom (dvs en tempererad funktion) s˚a defini- erar denna funktion g en tempererad distribution Tg enligt formeln

T_g[ϕ] :=

ˆ

R

g(x)ϕ(x) dx, (4)

“dvs m˚anga av v˚ara vanliga funktioner definierar tempererade distributioner.”

(M10) vet att alla tempererade distributioner ¨ar deriverbara och derivatan f⁰ av en distribution f ∈ S⁰ definieras enligt

f⁰[ϕ] := −f [ϕ⁰].

Derivatan f⁰ ¨ar ocks˚a en tempererad distribution, dvs f⁰ ∈ S⁰. Detta betyder allts˚a att alla tempererade distributioner ¨ar o¨andligt deriverbara.

(M11) vet att en muliplikatorfunktion χ ∈ M och en distribution f ∈ S⁰ kan multipliceras och ge en ny distribution enligt f¨oljande definition

(χf )[ϕ] := f [χϕ]. (5)

(M12) kan anv¨anda produktregeln, om χ ∈ M och f ∈ S⁰ s˚a g¨aller, precis som vi v¨antat oss, att

(χf )⁰ = χ⁰f + χf⁰. (6)

(M13) vet att Fouriertransformen ˆϕ av en Schwartzfunktion ϕ ocks˚a ¨ar en Schwartzfunktion, dvs ˆ

ϕ ∈ S om ϕ ∈ S.

(M14) vet att man kan Fouriertransformera en tempererad distribution f ∈ S⁰ enligt formeln

f [ϕ] = f [b ϕ],b (7)

vilket allts˚a betyder att alla tempererade distributioner kan Fouriertransformeras.

(M15) vet f¨oljande exempel p˚a tempererade distributioner

δ_a[ϕ] ≡ ϕ(a), (diracs delta distribution, modellera punktlast) (8) δ_a⁰[ϕ] ≡ −δ[ϕ⁰] = −ϕ⁰(a), (derivata av δ-funktionen, modellera punktmoment) (9) H[ϕ] ≡

ˆ ∞ 0

ϕ(t) dt, (Heavisides funktion, derivatan av denna ¨ar δ_a) (10) Tg[ϕ] ≡

ˆ

R

g(t)ϕ(t) dt, (distribution inducerad fr˚an lokalt integrerbar och tempererad funktion g) (11) (P.V.1

t)[ϕ] ≡ lim

→0⁺

ˆ

R\[−,]

1

tϕ(t) dt. (12)

Obs! Detta ¨ar ett f¨ors¨ok att bryta ned kursm˚alen i mindre och mer konkreta bitar. M˚alen ovan ¨ar inte officiella f¨or kursen, utan ett f¨orslag till hur man kan t¨anka.

Exempel och uppgifter

(U1) Vilka av f¨oljande funktioner tillh¨or Schwartzklassen S? Vilka tillh¨or M? Vilka tillh¨or D? Vilka tillh¨or E ?:

e^−x2, (13)

e^−|x|5, (14)

sin(x²), (15)

xⁿ(n positivt heltal), (16)

1/(1 + x²). (17)

F¨orsta ¨ar med i alla klasser f¨orutom D. Andra ¨ar inte med i n˚agon av klasserna ty ej o¨andligt deriverbar. Tredje, fj¨arde och femte ¨ar med i E och M men ej ¨ovriga.

Derivator av sin(x²) kommer att vara 2x cos(x²) sedan 2 cos(x²)−4x²sin(x²), sedan −4x sin(x²)−

8x sin(x²) − 8x³cos(x²) (tror jag), men m¨onstret ¨ar p(x) cos(x²) + q(x) sin(x²), d¨ar p och q ¨ar po- lynom, dvs dessa derivator v¨axer l˚angsammare ¨an n˚agot polynom. Allts˚a sin(x²) ∈ M.

Extra diskussion Funktionen e^x2 ¨ar med i E men ej i ¨ovriga. L˚at oss definiera g(x) = e^−1/x f¨or x > 0 och g(x) = 0 f¨or x ≤ 0. Denna funktion ¨ar C^∞, men har inte kompakt st¨od. Vi skapar en funktion med kompakt st¨od fr˚an denna. Ta nu och skjut g ˚at v¨anster ett steg, g(x + 1). G¨or en ny variant flippa denna funktion, g(−x), och skjut sedan ˚at h¨oger ett steg, g(−(x − 1)) = g(−x + 1).

Definiera nu h(x) = g(x + 1)g(−x + 1). Denna funktion f˚ar f¨oljande utseende:

h(x) =

(exp(−_x+1¹ ) exp_x−1¹ = exp(_1−x¹2) x ∈ (−1, 1)

0 annars. (18)

Detta ¨ar en funktion i D, dvs o¨andligt deriverbar med kompakt st¨od, supp(h) = [−1, 1].

(U2) Vilka av f¨oljande funktioner kan tolkas som tempererade distributioner i S⁰?:

e^2x, (19)

e^−2x, (20)

e^2xH(x), (21)

e^−2xH(x), (22)

e^sin(x), (23)

(x²− 1)³. (24)

De tre sista definierar tempererade distributioner, via formeln (kalla en s˚adan funktion f¨or g(x)), T_g[ϕ] ≡

ˆ

R

g(x)ϕ(x) dx. (25)

I (U4) nedan visar vi att s˚adan konstruktion av tempererade distributioner ¨ar ok. Notera att dessa funktioner g ej beh¨over vara C^∞, de beh¨over inte ens vara kontinuerliga, det r¨acker med att dem ¨ar lokalt integrerbara (vilket inneb¨ar att integralen ´

K|g(x)| dx finns f¨or varje sluten och begr¨ansad m¨angd K) och v¨axer l˚angsammare ¨an n˚agot polynom d˚a |x| → ∞, dvs lokalt integrerbara samt tempererade.

Alla funktioner ovan ¨ar lokalt integrerbara. ¨Ar funktionen 1/x lokalt integrerbar? (svar: nej).

De tre ¨oversta exemplena v¨axer f¨or snabbt ˚at n˚agot av h˚allen x → ∞ eller x → −∞. Notera att sista exemplet ¨ar en funktion som v¨axer mot obegr¨ansat d˚a x → ±∞, men definierar ¨and˚a en tempererad distribution (ty den v¨axer l˚angsammare ¨an n˚agot polynom).

(U3) Argumentera f¨or att D ⊂ S ⊂ M ⊂ E betraktat som m¨angder.

Detta borde vara klart. Alla funktioner i D och dess derivator avtar snabbare ¨an 1/polynom f¨or alla polynom, (eftersom de funktionerna faktiskt blir identiskt lika med 0 l˚angt bort), allts˚a D ⊂ S. Alla funktioner i S avtar ju mot 0 (v¨aldigt snabbt) d˚a |x| → ∞, allts˚a v¨axer de faktiskt l˚angsammare ¨an n˚agot polynom, allts˚a S ⊂ M. Och M ⊂ E per definition.

(U4) Vilka av f¨oljande avbildningar ¨ar linj¨ara? Vilka ¨ar kontinuerliga fr˚an S till C? Vilka definierar tempererade distributioner?

(a) f1[ϕ] =´

R(2x²+ 3)ϕ⁰⁰(x) dx, (b) f2[ϕ] =´

Re^xϕ(x) dx, (c) f3[ϕ] = (ϕ(0))².

Den f¨orsta ¨ar uppenbart linj¨ar, f₁[a₁ϕ₁+a₂ϕ₂] = a₁f₁[ϕ₁]+a₂f₁[ϕ₂]. F¨or att unders¨oka kontinuitet s˚a antar vi att vi har en f¨oljd av Schwartzfunktioner ϕj som konvergerar till ψ i S, allts˚a vi antar att vi har givet en f¨oljd av funktioner ϕ_j s˚adana att f¨or varje n och k s˚a g¨aller att

maxx∈R(1 + |x|)ⁿ|ϕ^(k)_j (x) − ψ^(k)(x)| → 0 d˚a j → ∞. (26) M¨ark h¨ar att antagandet ¨ar starkt, vi antar att vissa gr¨ansv¨arden blir 0 d˚a j → ∞ f¨or varje n och k. Detta ¨ar allts˚a n˚agot som vi antar och inte som vi beh¨over visa eller n¨odv¨andigtvis anv¨anda oss av.

Vi vill ju nu visa att f1[ϕj(x)] → f1[ψ(x)] d˚a j → ∞, dvs att vi har konvergens av output om input konvergerar. Vi betraktar nu absolutbeloppet av skillnaden: |f₁[ϕ_j(x)] − f₁[ψ(x)]| och visar att detta g˚ar mot 0 d˚a j → ∞.

F¨oljande omskrivning och syns¨att kan vara bra i fall (a) ovan:

|f₁[ϕ_j] − f₁[ψ]|

(1)

≤ ˆ

R

|2x²+ 3||ϕ⁰⁰_j(x) − ψ⁰⁰(x)| dx (27)

(2)= ˆ

R

|2x²+ 3|

(1 + |x|)¹⁰⁰(1 + |x|)¹⁰⁰|ϕ⁰⁰_j(x) − ψ⁰⁰(x)| dx (28)

(3)

≤ max

x∈R(|2x²+ 3|(1 + |x|)¹⁰⁰

| {z }

n˚agot polynom (typ)

|ϕ⁰⁰_j(x) − ψ⁰⁰(x)|)

| {z }

tal som g˚ar mot 0 d˚a j → ∞

ˆ

R

1 (1 + |x|)¹⁰⁰

| {z }

¨andligt tal

. (29)

Klart, eller om du f¨ors¨oker f¨orklara f¨or n˚agon varf¨or alla numrerade relationer ovan h˚aller s˚a ¨ar vi klara. Detta visar allts˚a att f1 definierar en tempererad distribution.

Varken f₂ eller f₃ definierar tempererade distributioner. F¨or f₃ s˚a g¨aller inte linjaritet. F¨or f2 s˚a ¨ar vi inte ens garanterade att f2[ϕ] ¨ar ett ¨andligt tal f¨or alla val av ϕ. Det visar sig dock att f₂ ¨ar en distribution (vilket ¨ar ett vidare begrepp j¨amf¨ort med vad en tempererad distribution

¨

ar: dvs om vi tar ϕ ∈ D ist¨allet f¨or ϕ ∈ S s˚a ser vi att f3 en distribution, t¨ank s˚a h¨ar: klassen av funktioner D ¨ar mindre (mer speciell) ¨an klassen S, detta inneb¨ar att testfunktioner p˚a denna klass kommer att vara fler).

(U5) Visa att x²δ⁰⁰⁰ = 6δ⁰.

(a) Hur definieras δ-distributionen, vad ¨ar δ[ϕ]?

(b) Hur definieras derivatan av en distribution? Vad ¨ar δ⁰[ϕ]?

(c) Hur definieras multiplikation av en tempererad funktion och en distribution? Vad ¨ar (x − 2)δ[ϕ]? (Svar: = −2δ[ϕ], varf¨or?)

(d) F¨orklara och fyll i kedjan

x²δ⁰⁰⁰[ϕ]⁽⁴⁾= δ⁰⁰⁰[x²ϕ]⁽⁵⁾= −δ⁰⁰[2xϕ + x²ϕ⁰] = . . .⁽⁶⁾= −6ϕ⁰(0)⁽⁷⁾= 6δ⁰[ϕ]. (30)

(U6) Bevisa f¨oljande formel, d¨ar f ∈ M,

f (x)δ⁰(x − a) = f (a)δ⁰(x − a) − f⁰(a)δ(x − a). (31)

(U7) Hitta ett enklare uttryck f¨or χ(t)δ_a(t), χ(t)δ⁰_a(t) samt χ(t)δ⁰⁰_a(t) d¨ar χ ¨ar en C²-funktion. (Vi definierar δa[ϕ] = ϕ(a))

Formeltrollande, bara anv¨anda definitionerna. Kom ih˚ag att s¨atta en testfunktion ϕ efter och sedan anv¨anda r¨aknereglerna. Vi g¨or f¨orsta och sista s˚a kan du g¨ora den mittersta sj¨alv.

χδ_a[ϕ] = δ_a[χϕ] = χ(a)ϕ(a) = χ(a)δ_a[ϕ], (32) allts˚a

χ(t)δ_a(t) = χ(a)δ_a(t). (33)

χδ_a⁰⁰[ϕ] = δ_a⁰⁰[χϕ] = −δ⁰_a[χ⁰ϕ + χϕ⁰] = δa[χ⁰⁰ϕ + 2χ⁰ϕ⁰+ χϕ⁰⁰] = (34) χ⁰⁰(a)ϕ(a) + 2χ⁰(a)ϕ⁰(a) + χ(a)ϕ⁰⁰(a) = χ⁰⁰(a)δ_a[ϕ] − 2χ⁰(a)δ⁰_a[ϕ] + χ(a)δ_a⁰⁰[ϕ] (35) allts˚a

χ(t)δ⁰⁰_a(t) = χ⁰⁰(a)δ_a(t) − 2χ⁰(a)δ_a⁰(t) + χ(a)δ_a⁰⁰(t). (36)

(U8) Visa att om ϕ ∈ S s˚a ¨ar ¨aven ϕ⁰ ∈ S. ¨Ar det ¨aven sant att en antiderivata av en testfunktion i Schwartzklassen S ocks˚a ligger i S?

(U9) Finn f¨orsta och andraderivatan av f (t) = |t|.

Vi har att |t| kan skrivas som −t (1 − H(t))

| {z }

“p˚a” till v¨anster om t = 0

+t H(t)

| {z }

“p˚a” d˚a t > 0

= 2tH(t)−t. Detta deriverar vi nu och anv¨ander att H⁰(t) = δ(t). Vi f˚ar

f⁰(t) = 2H(t) + 2tδ(t) − 1 = 2H(t) − 1, (37)

f⁰⁰(t) = 2δ(t) (38)

d¨ar vi anv¨ant r¨akneregeln att g(t)δ(t − a) = g(a)δ(t − a), vilken bevisades ovan i (U7).

(U10) Finn f¨orsta och andraderivatan av f (t) = |1 − t²| samt g(t) = e^−|t|, g₂(t) = |t|e^−|t| samt h(t) =

| sin(t)|. Rita graferna.

Tipset ¨ar att skriva om mha Heavisidefunktionen och anv¨anda att dess derivata ¨ar lika med δ.

Den f¨orsta funktionen har grunden 1 − t², denna ¨ar positiv p˚a intervallet (−1, 1) och icke-positiv p˚a (−∞, −1] och [1, ∞). Vi kan skriva den med hj¨alp av Heavisidefunktioner som

f (t) = (1 − H(t + 1))(t²− 1) + (H(t + 1) − H(t − 1))(1 − t²) + H(t + 1)(t²− 1) = (39) t²− 1 − 2H(t + 1)(t²− 1) + 2H(t − 1)(t²− 1). (40) med derivatan

f⁰(t) = 2t − 2δ(t + 1)(t²− 1) − 4tH(t + 1) + 2δ(t − 1)(t²− 1) + 4tH(t − 1) = (41) 2t − 4tH(t + 1) + 4tH(t − 1) (42)

d¨ar vi anv¨ant r¨akneregeln att δ(t − a)f (t) = δ(t − a)f (a). Vi deriverar igen och anv¨ander samma r¨akneregel som innan och f˚ar

f⁰⁰(t) = 2 − 4H(t + 1) − 4tδ(t + 1) + 4H(t − 1) + 4tδ(t − 1) (43)

= 2 − 4H(t + 1) + 4δ(t + 1) + 4H(t − 1) + 4δ(t − 1). (44) Vi r¨aknade p˚a ¨ovningen och det uppstod lite f¨orvirring fr˚an min sida. Ber¨akningen h¨ar ovan ¨ar korrekt. Samt s˚a tror jag att bilderna vi ritade blev korrekta. Derivatan ska vara funktionen 2t p˚a intervallen (−∞, −1) och (1, ∞) samt funktionen −2t p˚a (−1, 1). F¨orstaderivatan ¨ar en funktion i vanlig mening, m¨ojligtivs odefinierad i punkterna −1 och 1 d¨ar vi inte har n˚agon klassisk derivata definierad.

Andraderivatan ¨ar inte en funktion i vanlig mening, utan en distribution. Den ¨ar 2 p˚a v¨anstra och h¨ogra intervallet och -2 p˚a intervallet i mitten. I punkten t = −1 finns en dirac-puls placerad med styrkan 4. Likas˚a i punkten t = 1.

(U11) Finn f¨orsta och andraderivatan av f (t) = |t³− t|. Rita graferna.

(a) Anv¨and Heaviside funktionen och skriv om som: f (t) = t(t + 1)(t − 1)(2H(t − 1) − 2H(t) + 2H(t + 1) − 1).

(b) f⁰(t) = (3t²− 1)(2H(t − 1) − 2H(t) + 2H(t + 1) − 1).

(c) f⁰⁰(t) = 6t(2H(t − 1) − 2H(t) + 2H(t + 1) − 1) + 4δ(t − 1) + 2δ(t) + 4δ(t + 1).

(U12) L¨os ekvationerna y⁰+ 2ty = δ(t − a) samt y⁰⁰− y = tH(t + 1) samt y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y = tH(t) + δ⁰(t).

(U13) Finn en tempererad distribution f som l¨oser integralekvationen ˆ _∞

0

e^−uf (t − u) du = H(t), −∞ < t < ∞, t 6= 0. (45)

Anv¨and att Fouriertransformen av H(t) kan skrivas som πδ(ω)+1/iω. Vidare s˚a kan vi se uttrycket ovan som faltningen mellan g(t) = H(t)e^−t och f . Fouriertransformen av g ¨ar 1/(1 + iω). Eftersom en Fouriertransform av en faltning ¨ar samma sak som produkten av de ing˚aende funktionerna s˚a f˚ar vi att, efter Fouriertransformering av ekvationen ovan,

1

1 + iω f (ω) = πδ(ω) +ˆ 1

iω. (46)

vilket ¨ar ekvivalent med

f (ω) = π(1 + iω)δ(ω) + 1 +ˆ 1

iω. (47)

samma sak som (enligt r¨akneregel f¨or δ-distributionen, f (ω)δ(ω) = f (0)δ(ω)),

f (ω) = πδ(ω) + 1 +ˆ 1

iω. (48)

Vi ser att en bit av detta, efter inverstransform, ger H(t). Vidare s˚a g¨aller att Fouriertransformen av δ-distributionen ¨ar konstanten 1. Allts˚a svaret ¨ar f (t) = δ(t) + H(t). Vi s¨atter in detta i

ekvationen ovan och ser om det st¨ammer;

ˆ ∞ 0

e^−uf (t − u) du = ˆ ∞

0

e^−u(δ(t − u) + H(t − u)) du (49)

= ˆ ∞

0

e^−uδ(t − u) du + ˆ ∞

0

e^−uH(t − u) du (50)

= ˆ ∞

0

e^−uδ(u − t) du + ˆ _t

0

e^−udu (51)

= e^−t+ ˆ _t

0

e^−udu = e^−t− (e^−t+ 1) = 1. (52) f¨or t > 0. Och om t < 0 s˚a ser vi p˚a andra raden ovan att t − u alltid kommer att vara negativt och d¨armed δ(t − u) = 0 och H(t − u) = 0 vilket g¨or att uttrycket = 0 om t < 0. Allts˚a uttrycket

= H(t).

(U14) Ber¨akna f¨oljande integraler:

ˆ

R

(t²+ 3t)(δ(t) − δ(t + 2)) dt= 2 (53)

ˆ

R

e^2tδ⁰(t) dt= −2 (54)

(U15) Visa att distributionsderivatan av ln |x| ¨ar P.V.(1/x) d¨ar P.V.(1/x) definieras genom formeln P.V.(1/x)[ϕ] = lim

→0

ˆ

R\[,−]

ϕ(x)

x dx. (55)

Till att b¨orja med, definierar ln |x| en tempererad distribution? Vad vi menar ¨ar om uttrycket T [ϕ] =

ˆ

R

ln |x|ϕ(x) dx (56)

¨ar en tempererad distribution? Om vi f˚ar ett uttryck p˚a detta s¨att s˚a vill vi f¨orst veta om uttrycket

¨

ar v¨aldefinierat, dvs om ϕ ¨ar en Schwarz-funktion ¨ar d˚a T [ϕ] ett komplext tal? Det skulle kunna vara s˚a att T [ϕ] vore ∞ eftersom ln |x| har en singularitet d˚a x = 0. Vidare ¨ar ¨aven integrationsin- tervallet o¨andligt, vilket potentiellt ocks˚a skulle kunna bidra till att uttrycket inte ¨ar v¨aldefinerat.

F¨or att studera dessa tv˚a fenomen p˚a ett separat s¨att s˚a kan vi splitta integralen p˚a olika delar och unders¨oka uttrycken var och en f¨or sig.

T [ϕ] = ˆ

R

ln |x|ϕ(x) dx =

ˆ −1

−∞

+ ˆ ₁

−1

+ ˆ ∞

1



ln |x|ϕ(x) dx. (57)

Vi analyserar sista uttrycket f¨orst, ˆ _∞

1

ln |x|ϕ(x) dx. (58)

Ar detta ett ¨¨ andligt tal? Vi vet ju att ln |x| → ∞ d˚a t → ∞, s˚a om det ska vara ett ¨andligt tal s˚a m˚aste ϕ hj¨alpa till f¨or att f˚a svansintegralen att konvergera. Men eftersom ϕ ¨ar en Schwarzfunktion s˚a vet vi att den avtar snabbare ¨an ett ¨over godtyckligt polynom (dvs |ϕ(x)| ≤ Cn/(1 + |x|)ⁿ) f¨or alla n). S¨ag att vi v¨aljer polynomet som tredje graden (1 + |x|)³, d˚a finns en positiv konstant C₃ s˚a att

|ϕ(x)| ≤ C₃/(1 + |x|)³. (59)

f¨or alla x ≥ 1. Vi f˚ar nu att 

ˆ ∞ 1

ln |x|ϕ(x) dx    

≤ ˆ ∞

1

ln |x||ϕ(x)| dx ≤ ˆ ∞

1

C₃ln |x|

(1 + |x|)³dx (60)

= C3

ˆ _∞

1

ln |x|

(1 + |x|) 1

(1 + |x|)²dx (61)

Men vi vet att den kontinuerliga funktionen _1+|x|^{ln |x|} g˚ar mot 0 d˚a x → ∞ samt inte har n˚agra singulariteter p˚a (1, ∞), d˚a m˚aste denna funktion vara begr¨ansad p˚a (1, ∞) av n˚agon konstant B (ett annat s¨att att s¨aga detta p˚a ¨ar att ln |x| ¨ar tempererad p˚a (1, ∞)) , vi f˚ar

ˆ _∞

1

ln |x|ϕ(x) dx    

≤ BC₃ ˆ _∞

1

1

(1 + |x|)² dx = BC3[−(1 + x)⁻¹]^∞₁ = 0.5BC3. (62) Detta visar att tredje integralen ¨ar v¨aldefinierad. F¨orsta integralen p˚a (−∞, −1) behandlas p˚a samma s¨att. Kvar ¨ar integralen p˚a intervallet (−1, 1). Vi tittar p˚a integralen p˚a intervallet (0, 1), denna har utseendet

ˆ ₁

0

ϕ(x) ln x dx, (63)

ln(x) har en singularitet d˚a x = 0 vilket skulle kunna inneb¨ara att integralen blir o¨andlig. Vi g¨or f¨oljande skattningar

ˆ ₁

0

ϕ(x) ln x dx    

≤ ˆ ₁

0

|ϕ(x)|| ln x| dx ≤ −C ˆ ₁

0

ln x dx = −C[x ln x − x]¹₀ = C. (64) Detta visar att integralen ¨ar absolut-integrerbar och d¨armed s˚a finns sj¨alva integralen. Vi kan g¨ora p˚a samma s¨att med integralen mellan (−1, 0). Allt detta visar att T [ϕ] ¨ar ett v¨aldefinierat komplext tal f¨or godtyckligt ϕ i Schwarzklassen.

Nu ¨over till representationen av distributionsderivatan. Enligt definition s˚a finns alltid distri- butionsderivatan och denna definieras genom relationen T⁰[ϕ] = −T [ϕ⁰]. S˚a enligt definitionen s˚a har vi allts˚a att

T⁰[ϕ] = − ˆ

ln |x|ϕ⁰(x) dx. (65)

Vi vill visa att denna formeln ¨aven kan skrivas som formeln f¨or P.V.(1/x). Vi skriver om integralen ovan som

T⁰[ϕ] = − ˆ

ln |x|ϕ⁰(x) dx = − lim

→0⁺

ˆ

R\[−,]

ln |x|ϕ⁰(x) dx (66)

och betraktar f¨or fixerat  och anv¨ander partiell integration ˆ

R\[−,]

ln |x|ϕ⁰(x) dx (67)

= ˆ −

−∞

ln |x|ϕ⁰(x) dx + ˆ ∞



ln |x|ϕ⁰(x) dxx (68)

= [ln |x|ϕ⁰(x)]^−_−∞+ [ln |x|ϕ⁰(x)]^∞_ + ˆ

R\[−,]

1

xϕ⁰(x) dx (69)

= (ϕ⁰(−) − ϕ⁰()) ln  + ˆ

R\[−,]

1

xϕ⁰(x) dx (70)

(71) Vi ser att vi ¨ar klara om vi kan bevisa att (ϕ⁰(−) − ϕ⁰()) ln  → 0 d˚a  → 0. Men detta g¨aller!

Eftersom... f¨ors¨ok komma p˚a ett argument h¨ar som g¨aller.

Observera att det ¨ar viktigt att i formel f¨or uttrycket f¨or P.V.(1/x) att det ¨ar ett symmetriskt uttryck kring orgio, i termer av . Var anv¨ands detta i beviset?

(U16) Visa att distributionsderivatan P.V.(1/x) kan uttryckas genom formeln P.V.(1/x)⁰[ϕ] = − lim

→0

ˆ

R\[,−]

ϕ(x) − ϕ(0)

x² dx. (72)

Borde g˚a att g¨ora p˚a liknande s¨att som uppgiften ovan.