Metoda konečných prvků

(1)

Metoda konečných prvků

Martin Vrbka, Michal Vaverka

1. přednáška – Úvod

(2)

Metoda konečných prvků – MKP (Finite element method – FEM):

MKP je numerická metoda pro řešení rozsáhlé třídy inženýrských problémů.

• Vznikla zhruba v polovině 50. let minulého století, další rozvoj metody je spojen s rozvojem výpočetní techniky.

• Základy MKP jsou spojeny se jmény např. Clough, Turner, Martin a mnoho dalších, První knihu o MKP napsali Zienkiewicz a Cheung.

• Inženýři používali metodu dříve než vznikla její korektní matematická formulace Matematici si zpočátku neuvědomovali široké možnosti praktického využití metody.

Ke korektní matematické formulaci přispělo koncem 60. let i VUT (Zlámal, Ženíšek, Kolář..)

• Metoda vznikla pro potřeby výpočtů konstrukcí v leteckém (Boeing), kosmickém (Apollo), jaderném a vojenském průmyslu (ponorky, rakety), odtud se rozšířila do

akademického prostředí a do průmyslové praxe.

(3)

Metoda konečných prvků - úvod

• Dnes má MKP mezi numerickými metodami (metoda sítí, Ritzova netoda, Galerkinova metoda, metoda hraničních prvků, metoda konečných objemů..) zcela dominantní

postavení.

• Metoda se používá pro řešení problémů pružnosti a dynamiky, její variační formulace umožnila rozšíření na řešení proudění kapalin a plynů, vedení tepla, záření,

elektromagnetismus, akustiku, piozeelektrické děje, mechaniku hornin atd.

Metoda vychází z variačních principů.

• O MKP existuje obrovské množství publikací a koná se řada konferencí.

• Algoritmus metody se dá vysvětlit na jednoduché úloze.

• Dnes je MKP samostatným oborem obsahujícím část teoreticko-matematickou, počítačovou a inženýrsko-problémovou

• K dispozici je množství komerčních systémů (ANSYS, ABAQUS, Cosmos, MSC software – Adams, Nastran, Patran, Marc..).

(4)

• Název metody zdůrazňuje skutečnost, že základním stavebním kamenem je prvek konečných rozměrů narozdíl od infinitesimálního pohledu klasické pružnosti, která vychází z představy rovnováhy na nekonečně malém elementu.

(5)

• MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný počet podoblastí - prvků.

Je tedy třeba na modelu tělesa vytvořit síť konečných prvků. Pro každý typ prvku je kromě dimenze a tvaru charakteristický počet a poloha jeho uzlů.

Uzly sítě jsou body v nichž hledáme neznámé parametry řešení (např.

posuvy a natočení, z kterých dále počítáme napětí atd.). Hustota, a topologie prvků sítě zásadně ovlivňuje kvalitu výsledků a potřebnou kapacitu pro řešení.

x y

z a) b) c) d)

(6)

• Výhodou analytických metod je, že jako výsledek řešení dostaneme závislost mezi vstupními a výstupními veličinami a to v nekonečně mnoha bodech na rozdíl od MKP, kde dostáváme výsledek v konečném počtu bodů (uzlů sítě). V případě jakékoli změny vstupních parametrů (např. zatížení) je nutno úlohu vyřešit znovu.

• Výhodou numerických metod je, že umožňuje řešit i problémy na složitějších tělesech oproti analytickému přístupu, kdy lze řešit jen tělesa elementární, která se jako strojní součásti vyskytují zcela výjimečně.

(7)

• Faktickým omezením je pouze kapacita dostupného hardwaru a časové nároky na výpočet. Výsledky se ovšem vztahují jen ke konkrétně zadanému případu, jakékoli úpravy, optimalizace apod. vyžadují opakování celého náročného procesu řešení.

(8)

• Při řešení problému pomocí MKP je třeba kontinuum rozdělit na konečný počet podoblastí (prvků) - diskretizace.

• Neznámé funkce představující spojité řešení problému pak hledáme

přibližně ve formě lineární kombinace předem vhodně zvolených funkcí (tzv.

bázových funkcí) a neznámých parametrů řešení (např. posuvy u def.-nap.

analýzy nebo teploty u teplotní analýzy).

• Z posuvů jsme pak schopni dále vypočítat přetvoření a napětí. Od hledání spojitých funkcí tak přejdeme na hledání konečného počtu parametrů -

posuvů v uzlech sítě.

• Východiskem jsou přitom variační principy mechaniky.

• Algoritmus MKP vede na řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (!!) (SLR) a ta se pak řeší některou z metod pro řešení SLR (viz. příště)

(9)

Modelování

Řešení problémů modelováním::

•Analogové a podobnostní modelování

•Experimentální modelování

•Výpočtové modelování - analytický přístup - numerický přístup

(10)

Základní veličiny obecné pružnosti:

V obecné prostorové statické úloze představují:

celkem 15 neznámých funkcí proměnných x, y, z. Jedná se o:

ε ε ε γ γ γ

_x

, , ,

_y _z _xy

,

_yz

,

_zx

σ σ σ τ τ τ

_x

,

_y

,

_z

,

_xy

,

_yz

,

_zx

tři posuvy: u, v, w

šest napětí:

.

šest přetvoření:

Tyto funkce jsou navzájem vázány systémem obecných rovnic pružnosti, které musí být splněny uvnitř řešené oblasti. Jsou to rovnice rovnováhy, rovnice fyzikální neboli konstitutivní a rovnice geometrické. Na hranici řešené oblasti musí pak být splněny předepsané okrajové podmínky.

(11)

Základní rovnice obecné pružnosti:

1. Rovnice rovnováhy:

-rovnováha elementárního vnitřního prvku, na který kromě složek napětí

působí vnější objemová síla (např. gravitační) o složkách o o o N m_x, ,_y _z [ . ⁻³]

0 0

0

x xy xz

x

xy y yz

y

xz yz z

z

x y z o x y z o

x y z o

∂σ ∂τ ∂τ

∂ ∂ ∂

∂τ ∂σ ∂τ

∂ ∂ ∂

∂τ ∂τ ∂σ

∂ ∂ ∂

+ + + =

(12)

2. Geometrické rovnice:

-vazba mezi složkami posuvů a složkami přetvoření -pro malé deformace:

ε ∂

∂

γ ∂

∂

x

xy

u x u y

v x

=

= +

ε ∂

∂

γ ∂

∂

y

yz

v y v z

w y

=

= +

ε ∂

∂

γ ∂

∂

z

zx

w z

w x

u z

=

= +

(13)

3. Konstitutivní vztahy:

-vztah mezi deformací a napjatostí -pro Hookovský materiál:

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

ε σ µ σ σ γ τ

x x y z xy xy

y y x z yz yz

z z x y zx zx

E G

= − + =

1 1

(14)

Okrajové podmínky:

-sílové

-deformační Γ_v : u u v= , = v w, = w

častý je případ

u = =v w = 0 potom hovoříme o homogenních geometrických podmínkách.

na části povrchu, kde jsme nepředepsali nic, je v úlohách, řešených

deformační variantou MKP, implicitně zadána homogenní silová okrajová podmínka. Normálové i smykové napětí na tomto povrchu by mělo být nulové.

(15)

Přístupy k řešení přímé úlohy pružnosti: - 15 rovnic pro 15 neznámých, 1 řešení

Diferenciální formulace – řešení soustavy DR

Variační formulace – řešení problému hledáme jako stav, kdy určitá forma energie vyšetřovaného tělesa dosahuje stacionární hodnoty Hledisko matematické formulace problému

Hledisko výběru nezávislých funkcí

Deformační přístup – neznámé jsou složky posuvů Silový přístup – neznámé jsou složky napětí

Smíšený přístup – neznámé jsou složky posuvů i napětí

- dosazováním a vylučováním dostaneme nakonec jeden typ neznámých (např. posuvy)

(16)

Přístupy k řešení přímé úlohy pružnosti:

Analyticky – využití integrálního a diferenciálního počtu Numericky – převedení problému hledání spojitých funkcí

na problém hledání konečného počtu parametrů, pomocí nichž se hledané funkce aproximují - diskretizace

Hledisko realizace řešení

S rozvojem počítačů v budoucnu jednoznačně převáží při řešení praktických úloh numerické metody.

Znalost analytického řešení základních typů úloh pružnosti však přesto zůstane jedním ze základů odborných znalostí výpočtáře i konstruktéra.

Tvoří totiž základ „inženýrského citu“, nutného k racionálnímu posouzení numerických výsledků komplikovaných problémů praxe.

(17)

Přístupy k řešení přímé úlohy pružnosti:

U MKP jako variační numerické metody pak jednoznačně převládá deformační varianta

(18)

Typické kroky analytického řešení (ilustrace na 1D úloze):

rovnice rovnováhy:

Hookeův zákon:

geometrická rovnice:

d

dx

σ ρ

+ g = 0

ε

= du

dx

d u dx

g E

2

2 +

ρ

= 0

σ

= E.

ε

u( )0 = 0 du

dx _{x L}₌ = 0

u g

E Lx x

= ⎛ −

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

ρ

²

2

σ ρ

= g L x( − ) DR 2. řádu:

okrajové podmínky:

Řešení posuvů je dáno parabolou: Průběh napětí je lineární:

(19)

Základní řada produktů fy. ANSYS Inc., určených pro analýzy metodou konečných prvků. ANSYS je obecně nelineární, multifyzikální program, zahrnující strukturální analýzu (statika, dynamika, pružnost pevnost, deformační stabilita), rázové děje, vedení tepla, proudění, elektromagnetické pole, elektrostatiku, ale

také akustiku, lomovou mechaniku a kompozity.

ANSYS umožňuje provádět nejen kontrolní výpočty, ale na základě kontrolních výpočtů následně optimalizaci a to jak topologickou, tak i citlivostní analýzy. Nad výpočty je možné provést hodnocení únavy a životnosti.

Speciální řešič pro rychlé dynamické děje: ANSYS LS-DYNA™

(20)

ANSYS Workbench Environment - představuje nově koncipované uživatelské prostředí, zavedené v programech ANSYS od verze 7.0. Umožňuje obousměrné propojení libovolného programu ANSYS s CAD systémy.

Import geometrie modelu, generace sítě, jednoduché ovládání a možnost provádění kontrolních výpočtů, nebo optimalizačních analýz s využitím klasického ANSYSu

(21)

Ansys Main menu

Begin (FINI)

Preprocesor (/PREP7) Solution (/SOLU)

General Postprocesor (/POST1)

TimeHistoryPostprocesor – (/POST26)

Další: Optimalizace, odhady potřebných prostředků a výpočtového času…

(22)

(23)

Geometrické entity v Ansysu

•Volumes – Objemy

•Areas – Plochy

•Lines – Křivky

•Keypoints – Klíčové body Top -

Down

Bottom -Up

(24)

•Elements – Prvky

•Nodes – Uzly