3 Samplade system. 3. Samplade system. Vad är ett samplat system? I ett tidskontinuerligt system är alla variabler x (t), y (t)

(1)

3. Samplade system

Reglerteknik II – Tillståndsmetoder (419301) 3 – 1

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik II / KEH

3 Samplade system

Vad är ett samplat system?

I ett tidskontinuerligt system är alla variabler x

(t )

, y

(t )

och u

(t )

kontinuerliga (funktio- ner) i tiden i den meningen att de är definierade för alla t.

I ett tidsdiskret system är signalerna kända endast vid diskreta tidpunkter

t

₁,

t

₂,



^.

Ett samplat system är ett system där en eller flera (tidskontinuerliga)

signaler mäts vid diskreta tidpunkter

t

1,

t

₂,



(”sampel” = stickprov).

Ett samplat system är således en tidsdiskret beskrivning av ett

tidskontinuerligt system.

Vanligtvis är (eller antas) insignaler vara styckvis konstanta över

samplingsintervallen



^t_i

^,

^t_i_₁



^.

(2)

3. Samplade system

3. Samplade system 3 – 2

Varför sampling?

– Nuförtiden är så gott som alla reglersystem implementerade digitalt i en dator.

– En regleralgoritm i en dator arbetar sekventiellt med ändligt många mätdata. Den avläser mätdata vid diskreta tidpunkter och beräknar styrsignaler vid diskreta

tidpunkter baserade på dessa mätdata.

Nackdelar med samplande reglering

– I princip är det svårare att reglera ett system med en samplande regulator än med en tidskontinuerlig, eftersom en samplande regulator bara förfogar över en delmängd av de signaler som en kontinuerlig regulator kan använda. Samplande regulatorer kan således i princip inte ge bättre reglering än klassen av tidskontinuerliga regulatorer.

– Om samplingsintervallet är långt, kan betydande saker ske mellan samplings- ögonblicken vilket regulatorn inte får information om.

– Instabilitet i återkopplade system beror på att ”man litar för mycket på för gammal information”. Samplande regulatorer använder information som kan vara upp till ett samplingsintervall gammal.

(3)

3. Samplade system

Fördelar med samplande reglering

– Datorimplementering är enklare och billigare än analog implementering.

– Man har inga principiella begränsningar på karaktären av reglermekanismerna — komplexa och sofistikerade reglerlagar kan enkelt implementeras i ett program.

– Olinjäriteter och villkor av olika slag (t.ex. variabelbegränsningar) kan beaktas enklare än vid tidskontinuerlig reglering.

– System som innehåller tidsfördröjningar (dödtider) kan enklare behandlas med samplad reglering än med tidskontinuerlig reglering.

 Vid tidsfördröjningar syns effekten av insignaler inte genast i utsignalerna. För att veta den kommande effekten bör regulatorn ”minnas” vilka insignaler som påverkat systemet; detta är enklare vid samplad reglering, där insignalerna är konstanta över samplingsintervallet, än vid tidskontinuerlig reglering, där insignalerna varierar

”godtyckligt” och inte kan registreras för alla t.

(4)

3. Samplade system

Två typiska situationer för sampling

Det finns två typiska situationer då man vill beskriva ett tidskontinuerligt system med hjälp av ett tidsdiskret system:

– Vi har utgående från en tidskontinuerlig systembeskrivning ”designat” en tidskonti- nuerlig regulator, som vi vill implementera i en dator med hjälp av en tidsdiskret regleralgoritm. Den tidskontinuerliga regulatorn bör således samplas.

– Vi har en tidskontinuerlig beskrivning av ett system, som vi först samplar (diskre- tiserar) för att därefter använda tidsdiskret designteori för att direkt bestämma en tidsdiskret regulator.

Vi kommer att behandla båda fallen, dock mera ingående det tidsdiskreta design- problemet.

(5)

3.1 Linjära tidsinvarianta modeller

Sampling av ett tidskontinuerligt system

Tillståndsmodellen

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

t t

t

t t

t

Du Cx

y

Bu Ax

x     

_(3.1.1)

har enligt tidigare lösningen



d ) ( e

) 0 ( e

) (

0

) (

B u x

x ^t ^

^A^t

^ 

^t ^A ^t^ ^(3.1.2)

Eftersom

e

^^A^t

e

^A^t

 I

kan detta även skrivas



d ) ( e

) 0 ( )

( e

0

u B x

x

^A

A



^



 

t

(3.1.3)

För t



t_k_₁ resp. t



t_k fås då



d ) ( e

) 0 ( )

( e

1 1

0

1

x B u

x

^A

A ^ ^



^ ^

 ^k

 

^k

t k

t

och

e ( ) ( 0 ) e

^

(  ) d 

0

u B x

x

^A

A



^

 ^k

 

^k

t k

t

(6)

3.1 Linjära tidsinvarianta modeller

Subtraktion av ekvationen till höger från den till vänster ger



d ) ( e

e ) ( e

) (

1 ) 1

( 1

1

x B u

x

^

^

^A ^ ^

^

^A ^ ^k



^ ^^A

k k k

k

t

t t k

t t

k t

t (3.1.4)

Definitionen h



t_k_1



t_k och byte av integrationsvariabel (kallas dock fortfarande



^{) ger}

1

0

( ) e ( ) e ( ) d

h h

k k

t

_



^A

t  

^A^

 

x x Bu

(3.1.5)

Om

u (t )

är konstant

 u ( t

_k

)

över samplingsintervallet

 ^t

_k

^, ^t

_k_₁



^{, dvs}

^u ⁽  ⁾  ^u ⁽ ^t

_k

⁾

^,



h

 

0

, fås

) ( )

( )

( t

_k ₁

F x t

_k

G u t

_k

x

_

 

^(3.1.6)

där

F e 

^A^h^,

0

e d

h

t

 

    

^A

  

G B

(3.1.7)

(7)

3.1 Linjära tidsinvarianta modeller

 Om varje samplingsintervall har längden h, gäller

t

_k

 kh

,

k  0 , 1 , 2 , 

.

 Antag att

u ( ) t

är konst.

 u ( t

_k

)

över varje samplingsintervall

 ^t

_k

^, ^t

_k_₁



^,

^k ^ ⁰ ^, ¹ ^, ² ^, _

^.

Då gäller (3.1.6) för godtyckliga heltal k, och vi kan skriva

) ( )

( )

) 1

((

k h

F x

kh

G u

kh

x   

, k

 0 , 1 , 2 , 

(3.1.8)

eller kortare, med ”underförstått” samplingsintervall (eller tiden normerad så att h

 1

),

)

( )

(

) ( )

( )

1 (

k k

k

k k

k

u D x

C y

u G x

F

x     

(3.1.9) Numeriskt beräknas matriserna

F

och

G

enklast enligt

SB G

AS I

F   , 

(3.1.10)

där

h h

t

h

t





 



    



 

² ² ³ ³

^

0

4 !

1 ! 3

1 ! 2 d 1

e I A A A

S

^A (3.1.11)

Matrisen

F

, dvs systemmatrisen för ett tidsdiskret system, kallas vanligen övergångs- matrisen.

(8)

3.1 Linjära tidsinvarianta modeller

Exempel

Sampla den linjära kontinuerliga tillståndsmodellen

) ( )

(

) ( 2 ) ( 1 , 0 )

(

t x t

y

t u t

x t

x







 

med samplingsintervallet h

 1

tidsenhet.

Vi får

9516258 ,

120 0 0001 ,

0 24

001 , 0 6

01 , 0 2

1 , 1 0 d

e

1

0

1 ,

0

      

 

^ ^t ^t

^

S

och

F  I  AS  1  0 , 1  0 , 9516258  0 , 9048

,

G  SB  0 , 9516258  2  1 , 9033

dvs

) ( )

(

) ( 9033 ,

1 ) ( 9048 ,

0 ) 1 (

k x k

y

k u k

x k

x









Figuren tidigare visar utsignalen för detta system med den i figuren givna stegvist

varierande insignalen; heldragen signal = kont. modell, punkter = samplad modell. 

(9)

3.1 Linjära tidsinvarianta modeller

Från samplat system till tidskontinuerligt system

Betrakta det tidsdiskreta systemet

) ( )

( )

1 (

k

F x

k

G u

k

x   

^(3.1.12)

Vi söker den tidskontinuerliga systembeskrivningen

) ( )

( )

(

t

Ax

t

Bu

t

x _  

(3.1.1)

som vid sampling med det konstanta samplingsintervallet h ger den tidsdiskreta systembeskrivningen.

Problemet är i princip enkelt att lösa. Vi löser först

A

ur

A^h

 F

e

(3.1.13)

och därefter

B

ur

G G

S

B

^A

1

0

1

e d



 





 



 

 

^h ^t

^t

^(3.1.14)

(10)

3.1 Linjära tidsinvarianta modeller

Förutom det rent matematiska/numeriska problemet att bestämma

A

finns två tänkbara komplikationer:



e

^A^h

 F

kan sakna lösning



e

^A^h

 F

kan ha flera lösningar

Exempel på ingen lösning Det tidsdiskreta systemet

) ( )

(

) ( )

( )

1 (

k x k

y

k u k

x k

x











har ingen kontinuerlig motsvarighet med ordningstalet 1 eftersom

e

^ah

  1

saknar reell lösning för

a

.



(11)

3.1 Linjära tidsinvarianta modeller

Exempel på flera lösningar

Det samplade systemet (”den harmoniska oscillatorn”)

) ) (

sin(

) cos(

) 1 ) (

cos(

) sin(

) ) cos(

1 (

u k

h k h

h h

h k h

 

  

 

 

 



  



 

 _x

x

med samplingsintervallet h ger en kontinuerlig systembeskrivning med

 

 





 

0 0



A 

,

 

 



 

 B 0

där

h



k



  

 ²

^,k

 0 ,  1 ,  2 , _

vilket enkelt kan verifieras genom sampling av det kontinuerliga systemet.

Det finns således oändligt många kontinuerliga system som i detta fall ger ett och

samma samplade system. 

(12)

2.3 Samplade system

3.2.1 Pulsöverföringsoperatorn 3 – 12

3.2 Insignal-utsignalsamband

3.2.1 Pulsöverföringsoperatorn H (q)

I analogi med överföringsoperatormatrisen

G ( p )

för en kontinuerlig systembeskrivning, där

p  d/d

t är deriveringsoperatorn så att

y (

t

)  G ( p ) u (

t

)

, kan vi även för en tidsdiskret systembeskrivning härleda en överföringsoperator

H ( q )

kallad pulsöverföringsoperatorn.

Definiera förskjutningsoperatorn (även kallad skiftoperatorn)

q

enligt

) 1 (

) ( q )

( )

(

q

f t



f t



h



f k



f k



(3.2.1)

där f

(

k

)

betecknar den k:te samplingen av signalen f

(

t

)

. Operatorn

q

förskjuter således en signal en sampling framåt i tiden.

För systemet

x (

k

 1 )  F x (

k

)  G u (

k

)

,

y (

k

)  C x (

k

)  D u (

k

)

, fås då

) ( )

q ( ) ( )

( q ) ( )

( )

1 (

) (

q x

k

 x

k

  F x

k

 G u

k

 I x

k

 x

k

 I  F

^¹

G u

k

 ⁽ ^q ⁾  ⁽ ⁾

) ( )

( )

(

k

C x

k

Du

k

C I F

¹

G D u

k

y    

^



dvs

) ( ) q ( )

(

k

H u

k

y 

där

H ( q )  C ( q I  F )

^1

G  D

(3.2.2)

(13)

3.2 Insignal-utsignalsamband

3.2.2 Differensekvationer 3 – 13

3.2.2 Differensekvationer

Varje element H

( q )

i matrisen

H ( q )

är pulsöverföringsoperatorn för sambandet mellan en given utsignal y

(

k

)

och en given insignal u

(

k

)

. Dessa element är rationella uttryck i

q

och kan allmänt skrivas

) q (

) q ) (

q

( A

H  B

där

n n

a a

a A

b b

B









 

q q

q ) q (

q q

q )

q (

1 1

1

1 1

1 0



(3.2.3)

Eftersom

y ( k )  H ( q ) u ( k )

fås

) ( ) q

q q

( ) ( ) q

q q

(

) ( ) q ( )

( ) q (

1 1

1 0

1 1

1

a a y k b b b b u k

a

k u B

k y A

n n

n

        



 



^(3.2.4)

som vid upprepad användning av definitionen på

q

ger differensekvationen

) ( )

1 (

) (

) ( )

1 (

)

(

k n a₁y k n a y k b₀u k n b₁u k n b u k

y

      

_n

       

_n

eller

) (

) 1 (

) ( )

( )

1 (

)

(

k a₁y k a y k n b₀u k b₁u k b u k n

y

    

_n

      

_n



^(3.2.5)

(14)

3.2 Insignal-utsignalsamband

Från differensekvation till tillståndsform

Precis som för kontinuerliga systembeskrivningar är det för tidsdiskreta beskrivningar möjligt att bestämma en tillståndsmodell utgående från ett insignal-utsignalsamband, i detta fall en differensekvation.

Exempel

Överför systemet

y ( k )  1 , 80 y ( k  1 )  1 , 05 y ( k  2 )  u ( k  1 )

på tillståndsform.

Systemets ordning bestäms av antalet tidsförskjutningar av utsignalen och är lika med gradtalet för polynomet

A ( q )

. I detta fall är systemet av andra ordningen.

Vi skriver systemet som

y ( k  1 )  1 , 80 y ( k )  1 , 05 y ( k  1 )  u ( k )

och väljer (t.ex.) tillståndsvariablerna

x

₁

( k )  k y (  1 )

och

x

₂

( k )  y ( k )

, vilket ger

) ( )

1 (

₂

1

k x k

x  

^,

x

₂

( k  1 )  y ( k  1 )  1 , 80 x

₂

( k )  1 , 05 x

₁

( k )  u ( k )

^,

y ( k )  x

₂

( k )

eller i matrisform

) 1 (

) 0 80 (

, 1 05 , 1

1 ) 0

1 ( k k u k

 

 

 

 

 



 x

x

,

y ( k )    0 1 x ( k )

_

(15)

3.2 Insignal-utsignalsamband

Exempel: En enkel diskret modell för ett curlingspel för en pekskärmsdator.

Positionen på fingret:

u

₁ och

u

₂

Positionen för stenen:

x

₁ och

x

₂

Vårt finger påverkar stenen med kraften k u_s

(

_i



x_i

)

Friktionskraften blir

 k x

_f



_i

Newtons lag:

mx 

_i

 k u

_s

(

_i

 x

_i

)  k x

_f



_i^.

Approximera x k

( )

x k

( 1)

x h

 

 

^, x k

( 1)

x k

( )

x k

( 1) 2 ( )

x k₂ x k

( 1)

x h h

     

   



Vilket ger

x k

i

⁽   ¹⁾  ²   a b x k 

i

^{( )}    b ¹  x k

i

⁽   ¹⁾ au k

i

^{( )}

,

2

k h

s

a  m k h

^f

b  m

Med definitionerna x k₃( )  x k₁( 1) och x k₄( )  x k₂( 1), fås

2 0 1 0 0

0 2 0 1 0

( 1) ( ) ( )

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

a b b a

k k k

  

   

      

   

  

   

   

x x u

(16)

3.2 Insignal-utsignalsamband

Anmärkningar:



k

_f och k_s är valbara parametrar, och man kan eventuellt påverka

k

_f genom att sopa på banan.

 För att modellera det att vi släppt taget om stenen (eller lyft upp fingret) så skall vi sätta

a  0

.

 Rotationsrörelse för stenen kan även enkelt modelleras, som även inför nya krafter i systemet (en roterande sten rör sig inte rakt, därför att man får mera friktion på den sida som rotationsrörelsen går i mot stenens rörelse).

 För numeriska beräkningar så är differensekvationerna sannolikt effektivare denna gång.

 Differensapproximationerna av derivatorna är lämpligare denna gång än antagandet om att insignalen är konstant mellan samplingstiderna (vilket den nu knappast är), som vi gjorde tidigare. Mera om detta i kapitel 4.1 i samband med diskretisering av regulatorer.

 Om vi skulle ha använt bakåtdifferens i båda derivata-approximationerna så skulle vi få x(k 1) att bero på u(k 1), vilket skulle kräva att vi i tillståndsekvationen skulle behöva införa en D-matris. Antagligen mindre realistiskt så. 

(17)

3.2 Insignal-utsignalsamband

3.2.3 Pulsöverföringsfunktionen 3 – 17

3.2.3 Pulsöverföringsfunktionen H ( ) z

Analogt med Laplacetransformen för tidskontinuerliga systembeskrivningar kan man för tidsdiskreta beskrivningar använda en s.k. Z-transform, som för en tidsdiskret signal

) (k

f

definieras



^



 0

) ( )

(

k

z

k

k f z

F

(3.2.6)

där

z

är en komplex variabel.

Med hjälp av Z-transformen kan insignal-utsignalsambandet för ett tidsdiskret MIMO- system skrivas

) ( ) ( )

( z H z U z

Y 

(3.2.7)

där

Y ( z )

och

U ( z )

är Z-transformerna av utsignalen

y (k )

resp. insignalen

u (k )

och

) ( z

H

är systemets pulsöverföringsmatris (pulsöverföringsfunktion).

Pulsöverföringsfunktionen kan erhållas från en tillståndsbeskrivning för systemet enligt

D G

F I C

H ( z )  ( z  )

^1



(3.2.8)

(18)

3.2 Insignal-utsignalsamband

3.2.3 Pulsöverföringsfunktionen 3 – 18

Av ovanstående följer att pulsöverföringsfunktionen

H ( z )

(eller matrisen

H ( z )

) enklast erhålles genom att ersätta operatorn

q

i pulsöverföringsoperatorn

H ( q )

(eller matrisen

) q

H (

) med den komplexa variabeln

z

.

Observera analogin med överföringsfunktionen

G (s )

och överföringsoperatorn

G ( p )

för kontinuerliga system.

Övning 3.2.1

Bestäm Z-transformens pulsöverföringsfunktion för systemet

) 1 (

) 0 80 (

, 1 05 , 1

1 ) 0

1 ( k k u k

 

 

 

 

 



 x

x

,

y ( k )    0 1 x ( k )

.

(19)

3.2 Insignal-utsignalsamband

3.2.4 Bakåtskiftoperatorn 3 – 19

3.2.4 Bakåtskiftoperatorn q

^-1

Operatorn

q

förskjuter en signal en sampling framåt i tiden. Analogt kan vi definiera en förskjutningsoperator q^¹ som verkar bakåt i tiden enligt

) 1 (

) (

q

^¹

f k  f k 

(3.2.9)

Allmänt gäller

) (

q

ⁿ

f k  f k  n

(3.2.10)

där

n

är ett godtyckligt heltal.

(20)

3.2 Insignal-utsignalsamband

3.2.5 Frekvenssvar 3 – 20

3.2.5 Frekvenssvar

I analogi med det kontinuerliga fallet så kan man även utnyttja överföringsfunktionen för ett diskret system för att beräkna frekvenssvaret för systemet.

I det kontinuerliga fallet gjorde vi det genom att ersätta

s

med

j 

, där j

  1

och



är frekvens.

I det diskreta fallet ersätter man z med e^{j h}^ , eller ekvivalent ersätta

q

^¹ med e^^{j h}^ , där h är samplingstid.

Man kan även direkt använda en tillståndsmodell

( , , , ) F G C D

för att beräkna frekvenssvar, genom att ersätta z med e^{j h}^ i (3.2.8).

Frekvenssvaret för diskreta system blir som väntat bara för frekvensintervallet

 ^{0, / h} 

  

, mera om det i nästa kapitel.

(21)

3. Samplade system

3.3 Val av samplingsintervall 3 – 21

3.3 Val av samplingsintervall

Vad påverkar valet av samplingsintervall?

Den samplade systembeskrivningen

) ( )

( )

1 (

k

F x

k

G u

k

x   

(3.1.12)

ger den exakta lösningen till det kontinuerliga systemet

) ( )

( )

(

t

Ax

t

Bu

t

x   

^(3.1.1)

i samplingstidpunkterna t



kh, k

 0,1, 2, 

ifall insignalerna är konstanta i varje enskilt samplingsintervall

 ^kh ^, ⁽ ^k ^ ¹ ⁾ ^h 

^.

Spelar det då någon roll hur vi väljer samplingsintervallet under förutsättning att kravet på konstanta insignaler alltid kan uppfyllas?

Svar: Ja!

För att det samplade systemet skall ge rätt bild av det kontinuerliga systemets egenskaper krävs att ”inget väsentligt” hinner ske i systemet mellan samplingspunkterna.

Samplingsintervallet bör således vara ”tillräckligt litet”, men hur litet?

(22)

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.1 Aliaseffekten 3 – 22

En avvägning av olika aspekter som borde beaktas vid valet av samplingsintervall i ett reglersystem inbegriper

 det öppna (dvs oreglerade) systemets egenskaper

 det slutna (dvs reglerade) systemets önskade egenskaper

 metoder för design av samplande regulatorer

 mätnoggrannhet

I princip vill man sampla så sällan som möjligt eftersom ett onödigt litet samplings- intervall kan ge problem med datorimplementering, slitage på ställdon samt ev.

numeriska problem pga stor datamängd med redundant information.

Kravet att uppnå önskade reglerprestanda (t.ex. i form av stabilitetsmarginaler) kräver dock att man samplar tillräckligt ofta (dvs tillräckligt snabbt).

Dessa motstridiga krav kräver kompromisser och kvalitativa avvägningar.

Två mättekniska faktorer, som har betydelse för valet av samplingsintervall och som kan analyseras mera konkret, är den s.k. aliaseffekten och behovet av mätvärdesfiltrering.

(23)

3.3 Val av samplingsintervall

Aliaseffekten

Ett problem vid sampling är att höga frekvenser kan uppträda i form av ”falska”

lägre frekvenser.

I illustrationen till höger har man genom sampling (mellersta figuren) fått fram ett

”sannolikt” beteende (nedersta figuren) som inte alls existerar (översta figuren).

Omvänt kan man genom sampling med det använda samplingsintervallet inte skilja på frekvenserna i översta och nedersta figuren — samplingsresultatet blir i båda fallen det i den mellersta

figuren.

(24)

3.3 Val av samplingsintervall

Vad göra åt aliaseffekten?

Orsaken till aliaseffekten är att vi samplar för långsamt i förhållande till en (relevant) frekvens i den samplade signalen. Vi bör således sampla snabbare. Men hur snabbt?

Några definitioner

 Samplingsfrekvensen f_s

 1 /

h [Hz], där h är samplingsintervallet [sek]

 Samplings(vinkel)frekvensen



_s

 2  /

h [rad/sek]

 Nyquistfrekvensen



_N

 

_s

/ 2   /

h [rad/sek]

Samplingsteoremet

En kontinuerlig signal som inte innehåller någon frekvens högre än Nyquistfrekvensen



N kan exakt rekonstrueras från samplade data.

Omvänt gäller att ingen frekvens som är högre än Nyquistfrekvensen



_N kan efter sampling skiljas från en lägre frekvens i intervallet

 ⁰ ^, 

_N



. Frekvenser

  

_N^som samplas så uppträder i den samplade signalen under aliasfrekvensen



_a

 2 

_N

 

^.

(25)

3.3 Val av samplingsintervall

Valet av samplingsintervall

Av samplingsteoremet följer att information om frekvenser som är högre än Nyquist-

frekvensen går förlorad vid samplingen. Man bör därför välja samplingsintervallet så, att frekvenser högre än Nyquistfrekvensen



_N

  /

h är ointressanta, dvs mest ”brus”.

Om man är intresserad av frekvenser upp till frekvensen

  

_max, dvs av frekvenser i intervallet

 ⁰ ^, 

_max



, bör samplingsintervallet h då väljas så, att

/ 

max





h (3.3.1)

Märk att valet av samplingsintervall utgående från samplingsteoremet är motiverat av informations-/mättekniska faktorer.

Det kan finnas andra faktorer, t.ex. krav på reglerprestanda, som gör att man väljer ett samplingsintervall h

  / 

_max. Då gäller att



_N

 

_max, dvs dessa frekvenser är inte identiska.

(26)

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.2 Filtrering 3 – 26

3.3.2 Filtrering

Oberoende av enligt vilka kriterier man valt samplingsintervallet h gäller att man inte kan få tillförlitlig information om frekvenser högre än Nyquistfrekvensen



_N

  /

h^.

Om frekvenser högre än Nyquistfrekvensen förekommer i en samplad signal är detta enbart till skada, eftersom de pga av aliaseffekten kommer att tolkas som lägre

frekvenser.

Mätbrus bidrar typiskt med sådana frekvenser, men det kan också vara frågan om mera regelbundna systemegenskaper med frekvenser

 

 _N, som man av någon anledning inte vill beakta.

Pga aliaseffekten bör sådana frekvenser elimineras (eller dämpas) genom filtrering före samplingen (dvs mätningen).

Därför skall signalen före samplingen filtreras med ett lågpassfilter som eliminerar frekvenser

 

 _N 



/ h^.

Ett dylikt församplingsfilter kallas även antialiasfilter.

(27)

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.2 Filtrering 3 – 27

Antialiasfiltret

Antialiasfiltrets uppgift är således att eliminiera högre frekvenser än Nyquistfrekvensen



N. Detta kan åstadkommas med ett lågpassfilter med en bandbredd



_B något större än



_N. Bandbredden



_B är den frekvens där filtrets förstärkningsförhållande är

1 / 2

. Ett första ordningens system ¹

( )

_{T s} 1

G s 

_ är ett enkelt analogt lågpassfilter. Kravet ovan innebär att man bör välja dess tidskonstant T  0, 3h^{, där}h är samplingsintervallet för den efterföljande samplingen av den filtrerade signalen.

Idealt borde lågpassfiltret släppa igenom alla frekvenser upp till Nyquistfrekvensen.

Detta är dock inte möjligt i praktiken, utan man måste nöja sig med en approximation.

En skarpare separering av frekvenser som filtreras och inte filtreras kan dock fås med ett filter av högre ordning, t.ex. _n

s

T

G

( 1)

)

1

( 

 .

Det finns också mer avancerade filter såsom Besselfilter, Butterworthfilter, Chebysjev- filter, ITAE-filter.

(28)

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.2 Filtrering 3 – 28

Observera att antialiasfiltret skall filtrera en signal innan den samplas.

Om man använder ett digitalt antialiasfilter bör signalen (dvs filtrets insignal) inledningsvis

samplas med hög frekvens så att filtret approxi- mativt beter sig som ett analogt filter. Därefter samplas den filtrerade signalen på nytt med ett samplingsintervall som bestäms enligt de normala kriterierna ovan.

Ett digitalt lågpassfilter av första ordningen har formen

x

(

k

)  ( 1 

a

)

x

(

k

 1 ) 

ay

(

k

)

(3.3.2) där x

(k )

är filtrerat värde, y

(k )

är mätvärde och

a är en filterkonstant sådan att ett mindre värde i intervallet

 0 , 1 

ger kraftigare filtrering.

(29)

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.2 Filtrering 3 – 29

Följande två exempel är tagna ur Åström och Wittenmark (1984).

Exempel. Aliasfenomenet.

(30)

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.2 Filtrering 3 – 30



(31)

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.2 Filtrering 3 – 31

Exempel. Förfiltrering.

(32)

3.3 Val av samplingsintervall

3.3.2 Filtrering 3 – 32



(33)

3 Samplade system

3.4 Stabilitet poler och nollställen 3 – 33

3.4 Stabilitet, poler och nollställen

Egenvärden

Om det tidskontinuerliga systemet

x  (

t

)  Ax (

t

)  Bu (

t

)

har egenvärdena



_i^och

vänsteregenvektorerna

t

_i, i

 1 ,  ,

n^{, gäller}

T T

i i

i

A t

t  

, i

 1 ,  ,

n (3.4.1)

För den samplade systembeskrivningen

x (

k

 1 )  F x (

k

)  G u (

k

)

med samplingsintervallet h gäller

 





² ² ³ ³

! 3

1 ! 2

1 ! 1

e

^h

I 1 A

h

A

h

A

h

F

^A (3.4.2)

Multiplikation från vänster med

t

_i^T ger såsom tidigare för exponentialfunktionen

h i

i ⁱ

e



e

^T

T

F t t

t 

^A



(3.4.3)

Av detta följer:

Om



_i är ett egenvärde till systemmatrisen

A

för ett tidskontinuerligt system så är e^ⁱ^h ett egenvärde till övergångsmatrisen

F

för motsvarande samplade system med

samplingsintervallet h .

(34)

3.4 Stabilitet, poler och nollställen

3.4.1 Stabilitet 3 – 34

3.4.1 Stabilitet

Ett tidskontinuerligt system är stabilt om och endast om systemmatrisens

A

samtliga egenvärden



_i, i

 1 ,  ,

n, har negativ realdel, dvs om

i i

i

 

   j

,



_i

 0

, i

 1 ,  ,

n (3.4.4)

Om det tidskontinuerliga systemet är stabilt måste också motsvarande samplade system vara stabilt eftersom signalerna sammanfaller i samplingspunkterna.

För det samplade systemets egenvärden

e

^ⁱ^h, i

 1 ,  ,

n^{, gäller}

 ^cos( ⁾ ^j ^sin( ⁾ 

e e

e

^ⁱ^h



^ⁱ^h^^j^ⁱ^h



^ⁱ^h ^j^ⁱ^h



^ⁱ^h



_i

h  

_i

h

(3.4.5)

h i

i h

h _i _i

i ^

h h

^



e cos (  ) sin (  ) e

e 

²



²



(3.4.6)

Om



_i

 0

är

e

^ⁱ^h

 1

, dvs

e

^ⁱ^h

 1

. Av detta följer:

Det samplade systemet är stabilt om absolutbeloppet av samtliga egenvärden till över- gångsmatrisen

F

är mindre än 1, dvs om e^ⁱ^h 1,

i  1 ,  , n

, vilket är ekvivalent med att alla egenvärden ligger innanför enhetscirkeln i det komplexa talplanet.

(35)

3.4 Stabilitet, poler och nollställen

3.4.2 Poler 3 – 35

3.4.2 Poler

Det kontinuerliga systemets poler är, om systemet är styrbart och observerbart, lika med

A

-matrisens egenvärden.

Om även det samplade systemet är styrbart och observerbart är

F

-matrisens egen- värden lika med det samplade systemets poler.

Under antagandet om styrbarhet och observerbarhet gäller då:

Om det kontinuerliga systemets poler är



_i, i

 1 ,  ,

n, så är e^ⁱ^h, i

 1 ,  ,

n, motsvarande samplade systems poler då samplingsintervallet är

h

.

Vi kan konstatera att om h  0, så gäller att

e

^ⁱ^h

 1

(dvs allmänt e^ⁱ^h 



_i^).

(36)

3.4 Stabilitet, poler och nollställen

3.4.2 Poler 3 – 36

Samband mellan det kontinuerliga och det samplade systemets poler

Det streckade området anger lämplig polplacering för ett reglerat system.

(37)

3.4 Stabilitet, poler och nollställen

3.4.3 Nollställen 3 – 37

3.4.3 Nollställen

Det är svårt att beskriva sambandet mellan det tidskontinuerliga och det samplade systemets nollställen. Speciellt kan noteras att

 Det samplade systemet kan ha både fler och färre nollställen än det tidskontinuerliga.

 Det samplade systemet kan vara icke-minimumfas även om det tidskontinuerliga är minimumfas och vice versa.

Det samplade systemets pulsöverföringsfunktion

H ( z )

kan dock analyseras på liknande sätt som det kontinuerliga systemets överföringsfunktion

G ( s )

för att bestämma

systemets nollställen.

Speciellt gäller för ett system med en insignal och en utsignal att nollställena ges av

0 ) ( z 

B

då

) (

) ) (

( A z

z z B

H 

(3.4.7)

(38)

3. Samplade system

3.5.1 Styrbarhet 3 – 38

3.5 Styrbarhet och observerbarhet

3.5.1 Styrbarhet

Styrbarhet innebär såväl för samplade som kontinuerliga system att tillståndet kan från ett godtyckligt initialtillstånd styras till origo på ändlig tid.

Vid styrning av ett samplat system förfogar man bara över en delmängd av de insignaler som kan användas i ett tidskontinuerligt system, nämligen styckvis konstanta signaler.

Detta medför att:

 Ett samplat system kan vara styrbart endast om det kontinuerliga systemet är det.

 Om samplingsintervallet är illa valt kan det samplade systemet vara icke-styrbart även om det kontinuerliga systemet är styrbart.

Test av styrbarhet

Ett samplat system är styrbart om och endast om styrbarhetsmatrisen

 ^G ^FG ^F ^G ^F ^G 

Γ

_c



²



ⁿ^¹ ^(3.5.1)

har full rang (dvs rangen

n

).

(39)

3.5 Styrbarhet och observerbarhet

3.5.2 Observerbarhet 3 – 39

3.5.2 Observerbarhet

Observerbarhet definieras som att endast tillståndet noll kan producera en utsignal-

sekvens som är identiskt noll då insignalen är noll. Om andra tillstånd kan ge utsignalen noll är systemet icke-observerbart.

För ett tidskontinuerligt system krävs då att

y ( ) t  0

för alla t, medan det för ett samplat system räcker att

y ( kh )  0

,

k  0 , 1 , 

Av detta följer att ett samplat system kan vara icke-observerbart (

y ( kh )  0

,

k  0 , 1 , 

) trots att det kontinuerliga systemet är observerbart (

y ( ) t _ 0

).

Test av observerbarhet

Det samplade systemet är observerbart om och endast om observerbarhetsmatrisen

 







 









1 o

CF

n

CF C

Γ 

^(3.5.2)

har full rang (dvs rangen

n

).

(40)

3.5 Styrbarhet och observerbarhet

3.5.2 Observerbarhet 3 – 40

Övning 3.5.1

Betrakta dieselmotorkatalysatorexemplet i Övning 2.2.2, där vi funderade på om vi kunde observera halten av NO_x och NH₃ på basen av en mätning som var summan av NO_x och

NH

₃. Undersök observerbarheten om man antar att dynamiken i katalysatorn i stället för en tidkonstant är en dödtid som är a) lika stor b) olika stor för halten av

NO

_x

och NH₃. Anta i a) fallet för enkelhets skull att dödtiden är 1 samplingstid lång, och i b) fallet att dödtiden är 1 respektive 2 samplingstider lång.

3 Samplade system. 3. Samplade system. Vad är ett samplat system? I ett tidskontinuerligt system är alla variabler x (t), y (t)