Tentamenskrivning: TMS145 - Grundkurs i matematisk statistik och bioin- formatik, 7,5p.

(1)

Tentamenskrivning: TMS145 - Grundkurs i matematisk statistik och bioin- formatik, 7,5p.

Tid: Onsdagen den 3 april 2013, kl 08.30 - 12.30.

Examinator: Erik Kristiansson

Jour: Erik Kristiansson, tel 070-5259751

Hj¨ alpmedel: kalkylator, egen handskriven formelsamling (fyra A4 sidor) samt med skrivningen utdelade tabellsidor.

Max ¨ ar 32 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 15 po¨ ang, f¨ or betyget 4 kr¨ avs 20 po¨ ang och f¨ or 5 kr¨ avs 25 po¨ ang. Uppgifterna kommer inte i sv˚ arighetsordning.

1. M˚ anadsl¨ onen f¨ ore skatt hos en heltidsarbetande slumpm¨ assigt utvald svensk medborgare kan beskriva med hj¨ alp av en Paretof¨ ordelad stokastisk variabel X som har t¨ athetsfunktionen

f (x) = αβ

^α

x

^α+1

, x ≥ β.

Antag att α = 2 och β = 15000.

(a) Ber¨ akna sannolikheten att l¨ onen f¨ ore skatt hos en heltidsarbe- tande slumpm¨ assigt utvald svensk medborgare ¨ ar mellan 30000 och 60000? Vad ¨ ar sannolikheten att den ¨ overstiger 60000?

(b) Visa att den f¨ orv¨ antade l¨ onen E[X] ¨ ar st¨ orre ¨ an medianl¨ onen m

_X

. (5 p)

2. Koncentrationen av DNA i ett prov m¨ ats med hj¨ alp av en spektro- fotometer. Eftersom m¨ atningen ¨ ar os¨ aker upprepas den 10 g˚ anger (x

₁

, . . . , x

₁₀

) d¨ ar medelv¨ ardet ber¨ aknas till ¯ x = 4.87 (µg/mL). Antag att observationerna fr˚ an m¨ atningen ¨ ar oberoende och slumpm¨ assigt dragna fr˚ an en normalf¨ ordelning med ok¨ ant v¨ antev¨ arde µ och k¨ and varians σ

²

= 4.

(a) Ber¨ akna ett dubbelsidigt konfidensintervall f¨ or v¨ antev¨ ardet av m¨ angden DNA (µ). Konfidensgraden ska vara 99%.

(b) Om du ¨ andrar stickprovsstorleken fr˚ an 10, hur m˚ anga m¨ atningar m˚ aste g¨ oras om l¨ angden p˚ a konfidensintervallet inte ska ¨ overstiga 1 (µg/mL)?

1

(2)

(4 p)

3. L˚ at X beteckna antalet po¨ ang en slumpm¨ assig bioteknikstudent f˚ ar p˚ a den inledande uppgiften i en tentamen i kursen TMS145. Antag att X har f¨ oljande sannolikhetsf¨ ordelning

p

X

(x) =



 



 



0.15 x = 0 0.05 x = 1 0.20 x = 2 0.35 x = 3 0.25 x = 4.

Antag vidare att po¨ angen fr˚ an olika studenter ¨ ar oberoende och likaf¨ ordelade.

L˚ at ¯ X vara medelpo¨ angen av 52 tenterande bioteknikstudenter.

(a) Ber¨ akna v¨ antev¨ ardet och variansen f¨ or X.

(b) Anv¨ and centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen f¨ or att ber¨ akna en approxima- tiv f¨ ordelning f¨ or ¯ X. Gl¨ om inte att motivera approximationen.

(c) Ber¨ akna den approximativa sannolikheten att medelpo¨ angen p˚ a uppgiften bland de 52 tenterande ¨ ar st¨ orre ¨ an 3.

(5 p)

4. Efter ett milj¨ outsl¨ app av stora m¨ angder antibiotika unders¨ oks f¨ orekomsten av motst˚ andskraftiga bakterier. D¨ arf¨ or samlades tv˚ a stickprov in, ett med 35 jordprov fr˚ an den f¨ ororenade milj¨ on (x

₁

, . . . , x

₃₅

) och ett med 43 jordprov fr˚ an en kontrollmilj¨ o (y

₁

, . . . , y

₄₃

). M¨ angden motst˚ andskraftiga bakterier uppm¨ attes sedan med hj¨ alp av PCR och f¨ oljande medelv¨ arden och standardavvikelser ber¨ aknades ¯ x = 0.110, s

_x

= 0.109, ¯ y = 0.0479 och s

_y

= 0.011 (m¨ atv¨ ardena beskriver relativ m¨ angd motst˚ andskraftiga bakterier). Av tidigare erfarenhet vet man att variationen i de olika stickproven ej kan antas vara lika.

(a) Formulera l¨ ampliga hypoteser och f¨ ordelningsantaganden. Genomf¨ or sedan ett enkelsidigt test f¨ or att unders¨ oka om m¨ angden motst˚ andskraftiga bakterier ¨ ar h¨ ogre i den f¨ ororenade milj¨ on. Signifikansniv˚ an ska

vara 0.01.

(b) Ber¨ akna p-v¨ ardet f¨ or testet i (a).

(5 p)

2

(3)

5. L˚ at X vara en stokastisk variabel med t¨ athetsfunktionen f

_X

(x) = (a + 1)x

^a

, 0 < x < 1,

d¨ ar a ¨ ar en ok¨ and positiv parameter.

(a) Anv¨ and momentmetoden f¨ or att h¨ arleda en punktskattning ˆ a

_M

av a.

(b) Anv¨ and maxmimum-likelihoodmetoden f¨ or att h¨ arleda en punkt- skattning ˆ a

_{M L}

av a.

(c) Antag att X

₁

, . . . , X

₅

antar v¨ ardena 0.87, 0.93, 0.50, 0.66, 0.80. Ber¨ akna observations-v¨ arden p˚ a ˆ a

_M

och ˆ a

_{M L}

. ¨ Ar punktskattningarna lika?

F¨ orklara.

(5 p)

6. L˚ at X och Y vara tv˚ a kontinuerliga och oberoende stokastiska vari- abeler som b˚ ada ¨ ar likformigt f¨ ordelade mellan 0 och 1.

(a) Ber¨ akna P(X + Y ≤ 0.5).

(b) L˚ at Z = −ln(X). Visa att Z ¨ ar exponentialf¨ ordelad med param- eter λ = 1.

(4 p)

7. (a) What is the Levenshtein distance between strings ”ATA” and

”TAA”? Explain your answer.

(b) Assuming a match score of 2, a mismatch score of -1 and a gap score of -2, derive the score matrix for a global alignment of ”ATA”

and ”TAA”.

In this case, what is the score of an optimal global alignment? How many alignments have this optimal score (remember: each path represents a different alignment)? What are these alignments?