Repetition Normalf¨ordelning CGS

Repetition Normalf¨ordelning CGS

Matematisk statistik 9hp F¨orel¨asning 7: Normalf¨ordelning

Anna Lindgren

29+30 september 2016

Kovarians, C(X, Y)

C(X, Y) = E{[X − E(X)][Y − E(Y)]} = E(XY) − E(X)E(Y) Korrellationskoefficient, ρ, ρ X,Y

ρ X,Y = C(X, Y) D(X)D(Y) R¨akneregler

E X

a _i X _i + b 

= X

a _i E(X _i ) + b V (aX + b) = a ² V(X)

C



 X

i

a _i X _i , X

j

b _j Y _j



 = X

i

X

j

a _i b _j C(X _i , Y _j )

V X

i

a i X i

!

= X

i

a ² _i V(X i ) + 2 X

i<j

a i a j C(X i , X j )

| {z }

=0 om okorrelerade

Repetition Normalf¨ordelning CGS Kovarians Stora talens lag

Stora talens lag

Om X ₁ , X ₂ , . . . , X n ¨ar oberoende och likaf¨ordelade med E(X i ) = μ s˚a g¨aller

P(| ¯ X n − μ| > ε) → 0, n → ∞ f¨or alla ε > 0.

Det vill s¨aga medelv¨ardet konvergerar i sannolikhet mot v¨antev¨ardet d˚a n v¨axer mot o¨andligheten!

Gauss approximationsformler i en variabel

Y = g(X). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X) g(X) ≈ g(μ) + (X − μ)g ⁰ (μ) =⇒

I E(Y) ≈ g(E(X))

Standardiserad normalf¨ordelning

X ∈ N(0, 1), E(X) = 0, V(X) = 1, x α ≡ λ α

f X (x) = 1

√ 2π e ^−x

^/2 ≡ φ(x), x ∈ R

F X (x) = Z x

−∞

φ(t) dt ≡ Φ(x), x ∈ R

Φ(x) r¨aknas ut numeriskt eller tabell (1).

−4 0 −2 0 2 4

0.2 0.4

Täthetsfunktion för N(0,1)

φ (x)

−4 0 −2 0 2 4

0.5 1

Fördelningsfunktion för N(0,1)

Φ (x)

Repetition Normalf¨ordelning CGS

Linj¨arkombination

Allm¨an normalf¨ordelning

Sats 6.1

Om X ∈ N(μ, σ), E(X) = μ, V(X) = σ ² s˚a ¨ar X − μ

σ ∈ N(0, 1)

f X (x) = 1

√ 2πσ e ^−(x−μ)

^/2σ

, x ∈ R

F X (x) = Z x

−∞

f X (t) dt = Φ( x − μ

σ ), x ∈ R

x α = μ + σλ α

T¨athetsfunktioner f¨or n˚agra normalf¨ordelningar

−2 0 2 4 6 8 10

0 0.5

µ = 4

x f

(x)

σ = 2 σ = 1

−20 0 0 20 40

0.15

σ = 2

x f

(x)

µ = 0 µ = 10

Repetition Normalf¨ordelning CGS

Linj¨arkombination

Exempel

Om X ∈ N(0, 1), ber¨akna:

1. P(X ≤ 1) 2. P(X > −1) 3. P(X > 1.96) 4. P(−1 ≤ X ≤ 1.96) 5. x 0.025

Om Y ∈ N(2, 5), ber¨akna:

1. P(Y ≤ 7)

2. P(Y > −3)

3. P(Y > 11.8)

4. P(−3 ≤ X ≤ 11.8)

5. y 0.025

Linj¨arkombinationer av normalf¨ordelningar

Linj¨arkombinationer av simultant normalf¨ordelade s.v. ¨ar normalf¨ordelade.

Om X i ∈ N(μ i , σ i ) och Y =

n

X

i=1

a i X i g¨aller

Y ∈ N(E(Y), D(Y))

⇐⇒

Y ∈ N





n

X

i=1

a i μ i , v u u t

n

X

i=1

a ² _i σ ² _i





om alla X i ¨ar oberoende av varandra. (L¨agg annars till kovarianserna i variansen.)

Exempel: Ber¨akna P(3X ₁ − X ₂ > 2) om X i ∈ N(2, 1) och oberoende

samt om C(X ₁ , X ₂ ) = 0.5.

Repetition Normalf¨ordelning CGS Ex 1 Stora talens lag Ex 2 Delta metoden

Centrala gr¨ansv¨ardessatsen CGS

L˚at X 1 , X 2 , . . . , X n vara oberoende stokastiska variabler med samma f¨ordelning och E(X i ) = μ, V(X i ) = σ ² (¨andliga).

D˚a g¨aller att:

P

 P n

i=1 X _i − nμ σ

√ n ≤ a



→ Φ(a) d˚a n → ∞ f¨or alla a

Observera att br˚aket i sannolikheten hela tiden har v¨antev¨arde noll och

varians ett.

Till¨ampning av Centrala gr¨ansv¨ardessatsen

Summa av oberoende likaf¨ordelade s.v. ¨ar ungef¨ar normalf¨ordelad om antalet termer ¨ar ”tillr¨ackligt stort”. Med E(X _i ) = μ, V(X i ) = σ ² f˚as

1. Om Y =

n

X

i=1

X i g¨aller

Y ∈ _∼ N(nμ, σ √ n)

2. Om X ¯ n = 1 n

n

X

i=1

X _i g¨aller

X ¯ n ∈

∼ N(μ, σ

√ n )

Repetition Normalf¨ordelning CGS Ex 1 Stora talens lag Ex 2 Delta metoden

Applen ¨

Tag 25 ¨applen fr˚an ett ¨appeltr¨ad. L˚at X i vara vikten av ¨apple nr i. Vad ¨ar

slh att den sammanlagda vikten ¨overstiger 3 150 g om E(X _i ) = 120 g

och V(X i ) = 400 g ² ?

Hur snabbt konvergerar medelv¨ardet i stora talens lag?

Histogram f¨or X ¯ n − μ σ/

√ n , X i ∈ Exp(1) med μ = σ = 1.

−2 0 2 4 6 8

0 0.5

n=1

−2 0 2 4 6

0 0.2 0.4

n=3

−2 0 2 4

0 0.2 0.4

n=5

−2 0 2 4 6

0 0.2 0.4

n=20

−2 0 2 4

0 0.2 0.4

n=50

−2 0 2 4

0 0.2 0.4

n=1000

Repetition Normalf¨ordelning CGS Ex 1 Stora talens lag Ex 2 Delta metoden

1 2

3 4

5 6

7

8 0

10 20

30 40

50 0

0.1 0.2

k

Summa av tärningar

Antal tärningar pX(k)

Exempel: Sten, sax och p˚ase

Per och Lisa spelar sten, sax och p˚ase. Vinnaren f˚ar en krona av f¨orloraren, vid oavgjort h¨ander inget. Antag att det ¨ar samma sannolikhet f¨or vinst, oavgjort och f¨orlust.

a) Best¨am f¨ordelningen f¨or Lisas vinst i en spelomg˚ang.

b) Ber¨akna v¨antev¨arde och varians f¨or Lisas vinst i en spelomg˚ang.

c) Vad ¨ar sannolikheten att Lisa totalt vunnit minst 5 kr efter 50 spelomg˚angar?

−200 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

0.02 0.04 0.06 0.08

Sannolikhetsfunktion Normalapproximation

Repetition Normalf¨ordelning CGS Ex 1 Stora talens lag Ex 2 Delta metoden

CGS och Gaussapproximation (Delta metoden)

E(X _i ) = μ V(X i ) = σ ² , X ₁ , X ₂ , . . . , X n oberoende likaf¨ordelade.

Vi har att

√ n · (g( ¯ X n ) − g(μ)) ≈ g ⁰ (μ) √

n( ¯ X n − μ)

= σ · g ⁰ (μ) · X ¯ n − μ σ/

√ n

| {z }

CGS ger ∈

∼ N(0,1)

∈ ∼ N(0, σ · |g ⁰ (μ)|).

Vilket ger att

g( ¯ X n ) ∈ _∼ N(g(μ), |g ⁰ (μ)| · σ

√ n ).

Exempel: M¨atning av tyngdacceleration

Tyngdaccelerationen, g, m¨ats genom att tiden, t, det tar f¨or en kula att, fr˚an stillast˚aende, falla s = 1 m m¨ats. Fr˚an fysiken vet vi att:

s = gt ²

2 g = 2s

t ² t =

s 2s g

Anta att varje m¨atning, T _i , ¨ar oberoende och rektangelf¨ordelade kring det r¨atta v¨ardet med en os¨akerhet p˚a ±0.05 s.

Best¨am variansen av G = 2s

T ¯ ² efter n oberoende m¨atningar.

Repetition Normalf¨ordelning CGS Ex 1 Stora talens lag Ex 2 Delta metoden

Exempel: M¨atning av tyngdacceleration

Medelv¨arde av 100 m¨atningar