FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält -

Föreläsningsanteckningar

Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige

Oct 16, 2018

9. Lösningar av Poissons ekvation

Vi vet att Poissons ekvation

∆φ(~r) = −ρ(~r), har entydiga lösningar om

φ|∂V = f (~r) Dirichlets randvillkor ( ~∇φ)|∂V · ~n = g(~r) Neumans randvillkor där f och g är funktioner på randen ∂V .

Lösning av Poissons ekvation

Vi kommer att betrakta fyra olika lösningsmetoder:

1. Greensfunktionsmetoden. Generell metod, men det är ofta svårt att finna analytiska uttryck för Greensfunktionen.

2. Spegling. Ger uttryck för Greensfunktionen i vissa speciella geometri- er och homogena randvillkor.

3. Variabelseparation. Kraftfull analytisk metod. Riktigt användbar i kombination med Fourieranalys.

4. Numeriska metoder.

• De tre förstnämnda är analytiska metoder som vi introducerar för att ge en fysikalisk förståelse av lösningarna.

• De numeriska metoderna är förstås viktigast för praktiska tillämp- ningar. Se datoruppgift.

3. Variabelseparation

• Bygger på att man löser ekvationerna stegvis för en variabel i taget.

• Problemet skall passa bra ihop med ett visst koordinatsystem.

Exempel: Laplaces ekvation på en cirkelskiva

• ∆φ = 0, på % =p

x²+ y²< a.

• Betrakta fallet där randvillkoret enbart innehåller ett vinkelberoende φ(~r)|_∂V = h(ϕ)

Laplaceoperatorn är

∆ = 1

%

∂

∂%%∂

∂% + 1

%²

∂²

∂ϕ².

Målet är att lösa ekvationen, samtidigt som vi uppfyller randvillkoret, genom att separera beroendet på variabeln ϕ och % genom en ansats av formen

φ(%, ϕ) = f (%)g(ϕ)

Exempel. Antag att randvillkoret är φ(a, ϕ) = φ0cos mϕ, där m är ett heltal.

Vi ansätter att hela lösningen har just detta beroende av ϕ, så att φ(%, ϕ) = f (%) cos mϕ

Funktionen cos mϕ uppfyller

∂²

∂ϕ²cos mϕ = −m²cos mϕ,

dvs, den är en egenfunktion till _∂ϕ^∂22 med egenvärdet −m².

Insättning:

1

% d d%



%df (%) d%



cos mϕ −m²

%²f (%) cos mϕ = 0, och om detta skall gälla överallt på cirkelskivan måste man ha

%d d%



%df (%) d%



− m²f (%) = 0.

Den partiella differentialekvationen har nu reducerats till en ordinär diffe- rentialekvation för funktionen f (%)

• Ansatz: f (%) = A%^p

• Löser ekvationen med p²− m²= 0, dvs. p = ±m, där minustecknet väljs bort på grund av singulariteten i origo.

• Slutsats:

φ(%, ϕ) = φ₀% a

m

cos mϕ,

är en lösning till Laplaces ekvation på cirkelskivan med randvillkoret φ(a, ϕ) = φ₀cos mϕ.

Exempel 2: Laplaces ekvation på en cirkelskiva med allmänt Di- richlet randvillkor

OBS!

Detta exempel inkluderar Fourieranalys som ej ingår i kursen. Anteck- ningarna är endast med för bättre koppling till motsvarande material i andra kurser och för att antyda den mer generella användningen av variabelseparationsmetoden.

Med randvillkoret

φ(a, ϕ) = h(ϕ), ansätter vi lösningen φ(%, ϕ) = f (%)g(ϕ).

Laplacianen blir

∆φ = ∆ (f (%)g(ϕ)) = g(ϕ)1

%

∂

∂%



%∂f (%)

∂%

 +f (%)

ρ²

∂²g

∂ϕ² = 0.

Detta ger den separerade ekvationen f (%)g(ϕ)

%²

 %² f (%)

1

%

∂

∂%



%∂f (%)

∂%



+ 1

g(ϕ)

∂²g

∂ϕ²



= 0,

där den första termen i hakparantesen enbart beror på % och den andra bara på ϕ. Därmed måste bägge vara konstanta (för att gälla för alla %, ϕ).

Vi sätter den första till −λ och den andra till +λ.

Studera vinkelekvationen först

∂²g

∂ϕ² = λg(ϕ),

dvs vi kan tolka g som en egenfunktion till ∂²/∂ϕ². Lösningen är g(ϕ) = A cos(mϕ) + B sin(mϕ),

med egenvärdet λ = −m². Funktionen måste uppfylla randvillkoret g(0) = g(2π) vilket ger att m = 0, 1, 2, . . . (notera att m = 0 är meningslös för sinus-termen).

Den kvarvarande, radiella ekvationen blir nu 1

%

∂

∂%



%∂f (%)

∂%



−m²

%²f (%) = 0.

• m = 0, vilket innebär att g(ϕ) = A

∂

∂%



%∂f (%)

∂%



= 0 ⇒ %∂f (%)

∂% = B ⇒ ∂f (%)

∂% = B%.

Med lösningen f (%) = A + B ln(%), där den andra termen motsvarar en punktkälla i två dimensioner (vi skippar denna).

Alltså är φ(~r) = A (konstant) en lösning om randvillkoret är h(ϕ) = A (konstant).

• m > 0, ansätt lösning f (%) = C%^p 1

%

∂

∂%



% ∂

∂%%^p



−m²

%²%^p= 0 ⇒ p²%^p−2− m²%^p−2 = 0 ⇒ p = ±m Med lösningen f (%) = A%^m+_%^Bm, där den andra termen är singulär i origo (vi skippar denna).

Med randvillkoret från ovan h(ϕ) = cos mϕ, f (a) = φ0 får vi lösningen φ(~r) = φ₀%

a

m

cos mϕ, som ovan.

För ett mer allmänt randvillkor kan man (Fourier)-utveckla

h(ϕ) =

∞

X

m=0

amcos(mϕ) + bmsin(mϕ),

vilket ger lösningen

φ(~r) =

∞

X

m=0

a_m% a

^m

cos(mϕ) + b_m% a

^m

sin(mϕ).

OBS: ingår ej i denna kurs att kunna göra en sådan Fourierutveckling.

Kommentar

Separationsmetoden kan förstås användas med fler än två variabler. Vill man t.ex. använda den i sfäriska koordinater, hittar man egenfunktioner i tur och ordning i ϕ, θ och r. Se veckans tal. Eller så hittar man direkt egenfunktioner på S², s.k. klotytefunktioner (se kvantmekanik).

1. Greensfunktionsmetoden

Vi tecknar Poissons ekvation i hela R³,

∆φ(~r) = −ρ(~r).

En lösningsstrategi som vi har betraktat tidigare är att:

• Beräkna bidraget till potentialen i punkten ~r givet en punktladdningen med styrkan q = 1 belägen i punkten ~r⁰.

• Superpositionsprincipen ger potentialen som en summa/integral över käll- tätheten gånger ovanstående “Greensfunktion”.

Vi har redan visat att

G_R³(~r, ~r⁰) = 1 4π|~r − ~r⁰|,

där vi förtydligar att detta gäller på R³. Eftersom en punktkälla i punkten

~r = ~r⁰ med styrkan q = 1 beskrivs av källtätheten ρ(~r) = δ⁽³⁾(~r − ~r⁰), inser vi att Greensfunktionen löser följande differentialekvation

∆G_R3(~r, ~r⁰) = −δ⁽³⁾(~r − ~r⁰), (1) på hela R³.

Kommentar 1: Notera att Laplaceoperatorn verkar på variabeln ~r (inte

Lösningen till Poissons ekvation i R³ med en allmän källa ρ blir en superpo- sition

φ(~r) = Z

R³

dV⁰ ρ(~r⁰) 4π|~r − ~r⁰|.

Exempel: linjekälla

Betrakta en linjekälla, ρ(~r) = kδ²(~ρ), i R³.

Vi skall integrera över linjekällan och introducerar koordinaten

~r⁰ = ~ρ⁰+ z⁰ˆz⁰= ρ⁰ρˆ⁰+ z⁰z,ˆ

där vi noterar att det inte behövs något “prim” på z-riktningen.

Vi sätter in i φ(~r) =

Z

R³

ρ(~r⁰)G_R³(~r, ~r⁰)dV⁰ = Z ∞

−∞

dz⁰ Z

R²

dS⁰ kδ²(~ρ⁰) 4π|~r − (ρ⁰ρˆ⁰+ z⁰z)|ˆ . IntegralenR dS⁰ över x⁰ och y⁰ kan enkelt utföras tack vare deltafunk- tionen. Resultatet:

φ(~r) = Z ∞

−∞

dz⁰ k 4π|~r − z⁰z|ˆ

som är identiskt med den direkta konstruktionen från kap. 6.

Greensfunktioner för en begränsad volym med randvillkor. Låt oss göra denna metod mer generell. Studera Poissons ekvation

∆φ(~r) = −ρ(~r).

• ... inuti en (begränsad) volym V .

• ... med homogena randvillkor, dvs. f = 0 eller g = 0 på randen ∂V .

• ... för en allmän källtäthet ρ(~r).

Lösningen kan skrivas

φ(~r) = Z

V⁰

dV⁰G(~r, ~r⁰)ρ(~r⁰),

där Greensfunktionen löser Ekv. (1) inuti volymen V och med det givna rand- villkoret.

Att detta är en lösning visas genom insättning:

∆φ(~r) = ∆ Z

V⁰

dV⁰G(~r, ~r⁰)ρ(~r⁰) = Z

V⁰

dV⁰∆G(~r, ~r⁰)ρ(~r⁰)

= − Z

V⁰

dV⁰δ³(~r − ~r⁰)ρ(~r⁰) = −ρ(~r). (2)

• Notera att ~r-beroendet bara sitter i Greensfunktionen.

• Notera att Greensfunktionen G på ett område V bestäms av formen på området och av randvillkoren på ∂V .

• Genom att G(~r, ~r⁰) uppfyller det homogena randvillkoret kommer ovanstå- ende superposition också att uppfylla det.

2. Spegling

• Vi såg att lösningen φ(~r) erhålls enkelt om man har tillgång till Greens- funktionen. Men denna är ofta svår att finna.

• För vissa geometrier erbjuder speglingsmetoden ett väldigt elegant sätt att konstruera Greensfunktionen.

Rita: Fältbilder tre olika konfigurationer med punktladdningar Skissa fältbilder för tre olika fall:

• En punktladdning +q (belägen i det övre halvplanet, z > 0);

• Två punktladdningar +q och −q (den första i det övre halvplanet och den andra i det undre);

• Två punktladdningar +q och +q (den första i det övre halvplanet och den andra i det undre).

Betrakta speciellt potentialen vid speglingsytan z = 0.

Fundera: Poissons ekvation

Det första fallet ger en potential φ som löser Poissons ekvation

∆φ = −qδ⁽³⁾(~r₀),

i hela R³. Vilken differentialekvation löser det andra respektive det tredje fallet om vi begränsar oss till övre halvplanet?

Betrakta halvrymden {~r : z > 0} med ett homogent randvillkor på planet z = 0:

• Dirichlets randvillkor: φ = 0, eller

Kommentar 2: Detta är ett bra tillfälle att repetera begreppen ekvipotentia- lytor och fältlinjer (till vektorfältet − ~∇φ). Se till att förstå att ett randvillkor φ = 0 (Dirichlet) betyder att randen är en ekvipotentialyta, och att ~n · ~∇φ = 0 betyder att fältlinjerna är parallella med randen.

Betrakta nu en punktladdning belägen i det övre halvplanet. Vi kan införa en spegelladdning i det område som vi inte är intresserade av (z < 0). Den påverkar alltså inte källtätheten i det fysikaliska området (z > 0), men hjälper till att uppfylla randvillkoren.

O q (Neumann)

−q (Dirichlet)

q

Med ~r0= (x0, y0, z0) och ~r1= (x0, y0, −z0) och:

• q1= q uppfylls Neumanns randvillor

• q1= −q uppfylls Dirichlets randvillor dvs potentialen från den två punktladdningarna

φ(~r) = q

4π|~r − ~r0|± q 4π|~r − ~r1|

I det förra fallet är fältlinjerna parallella med z = 0 planet, i det senare fallet ligger ekvipotentialytan φ = 0 i z = 0 planet.

Vi kan alltså konstruera Greensfunktioner för övre halvplanet med dessa två randvillkor. Med Dirichlets homogena randvillkor blir alltså Greensfunktionen

G(~r, ~r⁰) = 1

4π|~r − ~r⁰|− 1 4π|~r − ~r⁰⁰|, där ~r⁰= (x⁰, y⁰, z⁰) och ~r⁰⁰= (x⁰, y⁰, −z⁰), med z⁰ > 0.

Notera att G(~r, ~r⁰) uppfyller ∆G(~r, ~r⁰) = −δ(~r − ~r⁰) i det övre halvrummet.

Intressant nog fungerar speglingsmetoden även för cirklar i två dimensio- ner och sfärer i tre dimensioner (i det senare fallet dock endast för Dirichlets randvillkor). Se demonstrationsuppgift.

R

q q’

a

b