Kap 5
Trigonometri
Vi har 3 likformiga trianglar.
a b ka kb a b Katetern Motstående
eKatetern Närliggand
v
b a kb ka b a eKatetern Närliggand
Katetern Motstående
v
c b kc kb c b n
Hypotenusa eKatetern Närliggand
v c a kc II ka
c I a
n Hypotenusa
Katetern Motstående
v
) cot(
) tan(
) cos(
: :
) sin(
Ex. Bestäm sin v, cos v, tan v, cot v v=0, 30, 45, 60, 90
0 0
1
90 3
3 1 2
1 2
60 3
1 2 1
1 2
45 1
3 3 1 2
3 2
30 1
0 1
0 0
) cot(
) tan(
) cos(
) (
EjDef
EjDef v v
v v
siv v
halv kvadrat c
b
a kc
ka ka
v v
2a
a
√3a
90 60
30
√2a
a
a
45
45 90
3 3 ) 30 cot(
3 1 ) 3
30 tan(
2 3 2
) 3 30 cos(
2 1 ) 2
30 sin(
a a a a
a a a a
3 1 ) 3
60 cot(
3 3 ) 60 tan(
2 1 ) 2
60 cos(
2 3 2
) 3 60 sin(
a a a a a a
a a
1 )
45 cot(
1 )
45 tan(
2 1 ) 2
45 cos(
2 1 ) 2
45 sin(
a a a a
a a
a a
d ejdefinera
) 0 cot(
0 ) 0 tan(
1 ) 0 cos(
0 ) 0 sin(
0 ) 90 cot(
) 90 tan(
0 ) 90 cos(
1 ) 90 sin(
d ejdefinera
Ex. Beräkna exakt
2 6 3 2
2
) 2 1 ( 2
* 3 2
2 2 2 2 3 2
2 2
2 ) 2 2 ( 3 3 2 * 2
2 2
1
* 3 2
* 2
2
* 1 2
* 1
3 1
2
* 2
2
* 1 2
* 1
3 1
2
* 2
2
* 1 2
* 2
2
* 1
3 1
2 1 2 1
) 60 cot(
) 45 sin(
) 60 cos(
Sammanband mellan trigonometriska funktioner
1) cos( )
) ) sin(
tan( v
v v 2)
) tan(
) 1
cot(v v 3)
1 ) (cos )
(sin
1 cos sin
2 2
2 2
v v
v
v försöker undvika paranteser för at få en ren skrift
Bevis:
v HL v
cos
sin stämmer inte
1 1 (sin ) (cos ) 1 sin cos 1
cos sin
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
v v
v c v
b c a c
b c a
c b a
v v
Ex. Man vet att :0 90 5
cosv 3 v
Beräkna ett exakt värde för sinv och tanv
5 sin 4 25 sin 16
25 16 25
9 25 sin 25
5 1
sin 3 2
2
2
v v v
v
