TNA001 - FÖ 3 Kap 1.4 (fr.o.m. sid. 27), Kap 1.5 (t.o.m. sid 33)
1.4 Allmänna polynomekvationer
a) Vad menas med ett polynom och en polynomekvation?
b) Vad menas med polynomdivision? Vi illustrerar med ett exempel.
Exempel 11.
Skriv det rationella uttrycket
9 27 3 2
2 2 3
x
x
x som en summa av ett polynom och ett rationellt uttryck.
c) Faktorsatsen (Sats 1.2 sid. 29 i FN)
Exempel 12.
a) Faktorisera i förstagradsfaktorer polynomet 16 + 20 + 2 − 2 .
b) Bestäm rötterna till polynomekvationen 16 + 20 + 2 − 2 = 0 (tredjegradekvation).
Anm: På föreläsningen kommer vi att först lösa a)-uppgiften och sedan, med hjälp av denna, dra slutsatser om b)-uppgiften.
Nedan följer en fullständig lösning till Ex 12b), utan att vi först gjort a). I lösningen ingår en polynomdivision som dock inte redovisas här. Lägg märke till att vi, då vi löser den uppkomna
andragradsekvationen, dividerar med faktorn −2, som ju förstås skall finnas med i lösningen till a)-uppgiften!
Ex 12 b) Bestäm rötterna till polynomekvationen 1620x2x22x3 0
Låt ( ) = 16 + 20 + 2 − 2 . Vi ser (prövning) att = −1 är en lösning till ekvationen, d.v.s.
(−1) = 0. Då är, enligt faktorsatsen, − (−1) = + 1 faktor i . Alltså kan vi skriva den givna ekvationen
( ) = 0 ⟺ ( + 1) ( ) = 0
Genom polynomdivisionen ( ) = ( ) (visas alltså inte här) får vi ( ) = −2 + 4 + 16 och därmed ges ev. övriga lösningar till den givna ekvationen av villkoret
−2 + 4 + 16 = 0 ⇔
− 2 − 8 = 0 ⇔ [kvadratkomplettera]
( − 1) − 1 − 8 = 0 ⇔
− 1 = ±3 ⇔
= −2 eller = 4 Svar: Ekvationen har lösningarna = −1, = −2 eller = 4.
1.5 Olikheter
a) Vi illustrerar hur man bestämmer lösningsmängden till olikheter med hjälp av ett par exempel.
Exempel 13.
Lös olikheten a) 2 + 1 > 3 b)
x x
2 1 3
c) 2 < −
3 ≤ 5
Vad menas med en fullständig lösning?
(Se även kursinformationen!)
Exempel 14:
Om vi har till uppgift (Ex 13b) att bestämma lösningsmängden till olikheten
x x
2 1 3
kan en
fullständig lösning se ut på följande sätt:
Vi flyttar alla termer till VL. För den givna olikheten har vi
x x
2 1
3 0
) 1 (
) 1 ( 2 0 3
2 1 3
t liknämning Gör
x x
x x x
x
0
) 1 (
5 5 2 ) 0
1 (
2 0 5
) 1 (
2 2 3
a Faktoriser
x x
x x
x x x
x x x
Vi använder ett teckenschema för att studera det sista stegets olikhet:
Eftersom alla olikheter ovan är ekvivalenta så har vi av teckenschemat att den ursprungliga (givna) olikheten gäller för
,1
5 0 2 , L
x .
Kontroll: Vi prövar med att sätta in några lämpliga x-värden i den ursprungliga (givna) olikheten
: 1
x VL = 2
1 HL 2 2, 3 1 1
3
Alltså har vi VL HL
5:
1
x VL = 10
5 1 HL 2 4 , 15
5 4 3 5 1
1
3
Alltså har vi VL HL
5:
2
x VL = 5
5 2 HL 2 , 5 5 3 3 5 1
2
3
Alltså har vi VL HL
5
4
x : VL =
2 5 4 10
5 4 HL 2 , 15 5 1 3 5 1
4
3
Alltså har vi VL HL
Svar:
,1
5 0 2 , L
x .
