TACK FÖR I ÄR!

F Ö R S K O L M A T E M A T I K

Å R G Å N G 1 • M a j 1956 N r 4

7M*

TACK FÖR I ÄR!

Tidskrift för s kolmatematik presenterar h ä r sitt för läsåret 1955—56 fjärde och sista nummer. D ä r m e d ä r den nya tidskriftens första å r g å n g avslutad. Det första viktiga steget ä r d ä r m e d också taget mot skapandet av ett forum, som kontinuerligt och a l l - sidigt tager upp räkneundervisningen i v å r a skolor t i l l behandling.

TfS v i l l v i d detta tillfälle rikta ett hjärtligt »Tack för i år!» t i l l alla dem, som p å olika s ä t t s t ö t t och uppmuntrat tidskriften.

• Särskilt glädjande har varit den spontana generositet, med vilken bidrag ställts t i l l tidskriftens förfogande. TfS har redan från början accepterats som ett värdefullt specialforum för räkneundervisningens problem.

• L ä r a r e och lärarinnor av alla kategorier har verksamt s t ö t t TfS genom prenu- meration. E t t speciellt tack v i l l TfS i detta sammanhang rikta t i l l l ä r a r k a n d i - daterna v i d landets seminarier: N i har givit TfS ett avgörande stöd!

• Landets förnämsta bokförlag har u p p m ä r k s a m m a t TfS som ett effektivt annonsorgan — TfS n å r j u också de lärare, som ä r speciellt intresserade av räkneundervisningen och därmed också lyhörda för de nyheter, bokförlagen kan erbjuda på detta viktiga område.

Den första årgången av Tidskrift för Skolmatematik ligger nu färdig. Men d ä r m e d ä r TfS långt ifrån färdig vare sig i fråga om innehåll eller format. Många utveck- lingsmöjligheter finnas, m å n g a områden inom skolans räkneundervisning är ä n n u ej behandlade, matematikundervisningen ä r ett så r i k t fasetterat gebit, a t t intressanta problem och problemställningar dyker upp på varje stadium, i varje kursmoment.

TfS har därför alla möjligheter a t t utvecklas.

E t t läsår ä r slut. Efter en sommar börjar åter ett n y t t . TfS fortsätter och startar

i september en ny intressant årgång. F ö r s ä k r a Eder (Dig) redan nu om nästa läsårs

nummer av TfS genom prenumerationsfemman på postgironummer 49 02 82! Så m ö t s

v i i höst igen!

Det är

lätt att sätta

pr lärare

som använder

FOLKSKOLANS MATEMATIKBÖCKER

T i l l denna series standardiserade provräkningar för klasserna 3 — 7 ( m e d o l i k a u p p g i f t e r för elever s o m sitter b r e d v i d varandra) har n u utarbetats betygsförslag. Dessa är t r y c k t a på k u v e r t e n m e d provlapparna. För d e m s o m redan använder F O L K S K O L A N S M A T E M A T I K B Ö C K E R i u n d e r v i s n i n g e n har v i iordningställt särtryck, s o m u t a n kostnad erhålls härifrån efter r e k v i s i t i o n .

RÄKNING 3 RÄKNING 4 RÄKNING 5 RÄKNING 6 RÄKNING 7

1:70 i :6o 2:50 2:50 2:40

Facit 0:60 P r o v r ä k n i n g a r

( 2 x 9 st.) 0:45 (2 x 2 0 st.) 0:60 (2 x 12 st.) 0:80 (2 x 2 0 st.) 0:80 (2 x 12 st.) 0:80 R Ä K N I N G 8 är under t r y c k n i n g .

H E L M E R B O M A N S T E N R Y D É N

Lärarexemplar m e d 25 % rabatt från

R Ä K N E F Ä R D I G H E T E N

av Docent Olof Magne

D en, som först ger sig in på frågan om vad som kan avses med räknefärdighet, ä r benägen att betrakta frågan som l ä t t att besvara. Man kan efter allt att döma anse säkerheten och snabbheten med uppställningar i de fyra r ä k n e s ä t t e n — o b e n ä m n d a uppgifter utan sorter och utan t e x t — såsom räknefärdighet. Det ä r kanske så de flesta m a t e m a t i k l ä r a r e i v å r t land menar, men det ä r uppenbart, a t t den distinktio- nen ä r synnerligen obestämd. B ö r v i exempelvis i n s k r ä n k a oss till heltalsräkning?

Om icke: vad för andra t a l b ö r v i inbegripa? K a n v i verkligen med fog påstå, att all r ä k n i n g med uppgifter utan text och sorter tillhör räknefärdigheten? Det är onödigt a t t söka besvara dessa frågor, eftersom svaren blir retoriska. F ö r a t t ange, vad v i av- ser med räknefärdighet, är v i tydligen tvungna att genom u p p r ä k n i n g ange, vad som tillhör densamma. Och jag v i l l h ä v d a den uppfattningen, a t t v i för ögonblicket inte ä r i s t å n d att ge en definition av räknefärdighet, därför att varje klassstadium bör ha sin speciella t y p och grad av räknefärdighet.

Det tycks emellertid vara en av v å r a uppgifter a t t söka utreda, vad som ä r r ä k n e - färdighet. L å t mig föreslå, att v i begränsar oss t i l l en b e s t ä m d ålder och en b e s t ä m d

klass, t . ex. klass 3 i folkskolan.

Med räknefärdighet för denna klass skulle jag vilja avse följande:

1) säkerhet i taluppfattning och talskrivning inom t a l o m r å d e t 1—10.000 (men icke snabbhet).

2) förmåga a t t snabbt och felfritt eller n ä s t a n felfritt klara r ä k n i n g med sådana ental och tiotal, som ingår i vanliga uppställningar — jag föreslår, a t t v i kallar s å d a n a numeriska element som 4 + 2 , 4—2, 4-2 och 4:2 för enkla kombinationer. Termen före- kommer b l . a. i engelskspråkig litteratur.

3) snabbhet och säkerhet i sorttabellerna (sortkombinationerna). V i b ö r säkert tillägga, a t t endast de allra mest gångbara sorterna ( m å t t e n ) kan anses höra hemma på detta stadium. N o r r m ä n n e n har således icke på motsvarande klassstadium med dm och hg. Bland de sorter, jag i klass 3 v i l l u t m ö n s t r a , befinner sig dussin och tjog samt dm, m i l och h l .

4) förmåga a t t automatiskt och utan direkt viljeinsats (men ej n ö d v ä n d i g t v i s snabbt) arbeta med vissa enkla uppställningar för sifferberäkning med heltal mellan 1 och 10.000.

Men inte heller en översikt som denna ä r fullständig utan att man också tar h ä n s y n t i l l vad för a n v ä n d n i n g den så definierade räknefärdigheten kan ha. Det tycks mig vara självklart, a t t räknefärdigheten ä r meningsfull endast i den m å n den ä r t i l l n y t t a för eleven, inte under skoltiden utan under den framtida yrkesverksamheten. Accep- terar v i denna uppfattning, är det tydligt att v i m å s t e ta ställning både t i l l m å l s ä t t - ningen för v å r matematikundervisning och t i l l v å r a undervisningsmetoder.

I 1919 å r s plan u t s ä d e s det med stor tydlighet, a t t undervisningen borde syfta t i l l

att ge eleverna praktisk färdighet i räkning. 1955 års plan uttrycker sig med mindre

pregnans p å denna punkt, men det förefaller vara r i k t i g t a t t lägga in den meningen,

att undervisningen även i fortsättningen skall ge praktiska kunskaper. F r å g a n ä r

t y v ä r r icke r i k t i g t v ä l utredd i v å r t land. Gör man en jämförelse, med andra l ä n d e r , kan man finna, a t t b l . a. i USA sedan ett par decennier tillbaka målsättningsfrågan betraktats som synnerligen väsentlig (jfr O. Magne, Matematikundervisningens m å l . P å försök 1955: 4, nr 3). Hos oss ä r förhållandet ett annat. Under 1940-talets utred- ningsarbete sköt man frågan ifrån sig med motiveringen, att den inte var någon speci- f i k t pedagogisk fråga. U t a n t v i v e l ä r detta ett olämpligt betraktelsesätt, i det a t t kursplaneringen m å s t e u t g å från näringslivets behov för att skolans arbete skall kunna betraktas som meningsfullt, men utom t i l l de olika yrkesgruppernas önskemål m å s t e man ta h ä n s y n t i l l frågan om samordning mellan högre och lägre undervisning och t i l l skolbarnens intressen, möjligheter att lära samt t i l l a t t deras anspassning u n d e r l ä t t a s . Man kommer knappast a t t vilja p å y r k a någon radikal förändring av matematikens m å l s ä t t n i n g inom svenska skolor. Men det råder ingen tvekan om, a t t det finns sociala aspekter på matematikundervisningen, som v i f ö r s u m m a t a t t ta ställning t i l l . Det vore därför lämpligt, a t t en utredning om undervisningens a n k n y t - ning t i l l förvärvslivet k o m t i l l s t å n d . E n s å d a n utredning ä r v i k t i g ur den synpunkten, a t t v i knappast kan föreslå förändringar i undervisningsmetoder, såvida man inte först gjort k l a r t för oss, vilka m å l som v i bör undervisa för.

Jag skall exemplifiera detta med ett par iakttagelser, som jag haft tillfälle a t t göra.

V i d slutet av v å r t e r m i n e n 1954 studerade jag en grupp göteborgsbarn i klass 3, tillsammans 238 elever, vilka kan anses representera en genomsnittsgrupp i b e g å v - ningshänseende. Experimentet ä r mera i detalj beskrivet hos O. Magne, E t t experi- ment med t v å divisionsuppställningar, I — I I (Folkskolan—Svensk l ä r a r t i d n i n g 1955:9 N r 11 och 12). H ä r v i d a n v ä n d e s b l . a. t v å prov, som avsåg de enkla kombinationerna.

Det ena kallades »Enkla kombinationer 1» och det andra »Enkla kombinationer 2».

E N K L A K O M B

Tabell. 1 Klasser p o ä n g i

provet

P o ä n g . K o n t r o l l -

grupp

Experiment- grupp

208—199 53 77

198—189 35 31

188—179 12 9

178—169 4 3

168—159 4 3

158—149 2 2

148—139 2 —

138—129 ^{— —}

128—119 ^{— —}

118—109 1 —

S:a 113 125

X = 193,06±l,44 X = 197,l±0,95 Diff. 4,04—1,73

I N A T I O N E R 1.

Tabell 2.

Tid.

Klasser ( t i d i m i -

nuter)

K o n t r o l l - grupp

E x p e r i m e n t - grupp

99—104 ^— 1

93— 98 ^{— —}

87— 92 ^{— - -}

8 1 — 86 1 1

75— 80 ^—

69— 74 ^{— —}

63— 68 1 1

57— 62 2 ^—

5 1 — 56 3 3

45— 50 6 6

39— 44 9 6

33— 38 12 13

27— 32 28 33

2 1 — 26 27 27

15— 20 21 29

9— 14 3 5

S:a 113 125

X = 29,87±l,13 X = 28,64±l,16

Diff. =1,23—1,62

1

Enkla kombinationer 1 innehöll 208 uppgifter med enkla additioner, subtraktioner, multiplikationer och divisioner (tab. 1 och 2) I additionsuppgifterna kunde summan ej överstiga 18, i subtraktionsuppgifterna var minuenden aldrig mer än 19. I m u l t i p - likations- och divisionsuppgifterna a n v ä n d e s inga faktorer, vars produkt översteg 40, och det gällde i de fallen att den ena faktorn var 5. Provet var inte tidsbegränsat, men t i d togs för varje elev.

Studerar man först antal r ä t t besvarade uppgifter i detta prov, finner man felfrek- vensen vara betydande, endast 130 n å r så hög p o ä n g som 199 eller högre poäng, 66 189—198 och de å t e r s t å e n d e 42 har färre r ä t t ä n 189.

E t t studium av arbetstiderna ger v i d handen, att m å n g a barn arbetade l å n g s a m t , för att inte säga synnerligen långsamt. 7 elever hade längre t i d än 60 min.; och över hälften behövde mer än 25 minuter för detta prov som vuxna kan göra p å omkring 5 min.

Enkla kombinationer 2 innehöll 150 uppgifter med enkla multiplikationer och d i v i - sioner (tab. 3 och 4). Om detta prov kan ytterligare n å g r a upplysningar lämnas. I detta prov ingick endast multiplikationer och divisioner, nämligen de högre entals- kombinationerna, dock inga med produkten, resp. dividenden högre än 42.

E N K L A K O M B I N A T I O N E R 2.

Tabell 3.

K l a s s e r p o ä n g i

p r o v e t

P o ä n g .

K o n t r o l l - g r u p p

E x p e r i m e n t - g r u p p

Tabell 4.

K l a s s e r ( t i d i m i -

n u t e r )

T i d .

K o n t r o l l - g r u p p

E x p e r i m e n t - g r u p p

150—143 51 50 171—183 1

142—135 17 28 158—170 ^{— —}

134—127 16 20 145—157 ^{— —}

126—119 11 12 132—144 1 ^—

118—111 3 6 119—131 ^{— —}

110—103 5 2 106—118 3 3

102— 95 1 2 93—105 3 1

94— 87 1 1 80— 92 3 9

86— 79 2 1 67— 79 3 6

78— 71 2 1 54— 66 11 17

70— 63 ^— 2 4 1 — 53 9 1-1

62— 55 2 ^— 28— 40 22 29

54— 47 ^{— —} 15— 27 41 38

46— 39 2 — 2— 14 14 8

S:a 113 125 S:a 111 125

X = 131,35±2,13 X = 134,08±l,47 X = 3 8 , 1 0 ± 2 , 3 8 X r 41,38=2,19 Diff. 2,73—2,59 Diff. 3,28—3,58

Om p o ä n g s u m m o r n a kan n ä m n a s , att 101 hade högre poäng ä n 142 och endast hälften hade mer ä n 130 r ä t t .

Om arbetstider: c:a 60 elever b e h ö v d e hålla p å längre ä n 60 minuter — en inte mindre än 180 min., men vuxna kan göra uppgifterna felfritt på 3 minuter.

I fråga om kombinationerna kan jag gå med på, a t t en t r ä n i n g i fråga om både snabbhet och s ä k e r h e t kan vara befogad. Amerikanen Wilson* menar, att man aldrig

* ) G u y M . W i l s o n , T e a c h i n g t h e n e w a r i t h m e t i c , 1 9 5 1 .

bör nöja sig med mindre än hundraprocentig säkerhet i fråga om de enkla kombina- tionerna. Detta säger han med motiveringen, att en färdighet i dessa, som är 75-pro- centig eller 80-procentig, saknar praktiskt v ä r d e . Var och en kan j u inse, att felchan- serna är betydande v i d beräkning av ett additionsexempel med fyra tresiffriga termer, ifall säkerheten i de enkla kombinationerna är 90-procentig. Det är då sannolikt a t t knappast mer än v a r t annat räkneexempel blir r ä t t u t r ä k n a t .

E t t annat exempel ä r detta. Samma elever, som jag h ä r n ä m n t , studerades också vid h ö s t t e r m i n e n s början, och då gavs ett prov första räknelektionen, vilket a v s å g behållningen av räkneundervisningen med uppställningar i klass 3. Jag kan n ä m n a , att samtliga r ä k n e s ä t t var representerade och att eleverna hade r ä k n a t exakt samma uppgifter i slutet av maj m å n a d och i slutet av augusti. En jämförelse från v å r t i l l höst visade en allmän nedgång i antalet r ä t t . Nedgången var minst påtaglig i addi- tion. Men redan för subtraktionen var den så stor, a t t den var statistiskt säkerställd.

F ö r multiplikation var nedgången ä n n u större, och störst var den för divisionen.

F ö r det s i s t n ä m n d a r ä k n e s ä t t e t var lösningsfrekvensen speciellt låg för en grupp av 110 elever, vilka r ä k n a t på det mest brukade s ä t t e t med italiensk divisionsupp- ställning, såsom i exemplet

19 -49

F ö r dessa elever var inte mera än v a r t fjärde exempel r ä t t r ä k n a t , n ä r m a r e b e s t ä m t 28%. Liknande lösningsfrekvenser för samma eller liknande divisionsuppgifter har f. ö. iakttagits för andra studerade grupper av elever i klass 3 (jfr O. Magne, Inlär- ningsmetoden i division. Folkskolan—Svensk lärartidning, antagen för publicering).

L å t mig emellertid tillägga, att dessa elever r ä k n a t division sedan mitten av mars m å n a d fram t i l l examen den 10 j u n i och att de under denna t i d r ä k n a t omkring 1.000 divisionsuppgifter och därvid begagnat en av de v å r a dagar mest a n v ä n d a och upp- skattade r ä k n e l ä r o r n a . Då jag n ä m n t h ä r o m för lärare, har de betygat sin överrask- ning, men samtidigt också sin känsla av n e d s t ä m d h e t . Som en av dem sade: »Det ä r något fel med ett undervisningssystem, n ä r man efter att ha r ä k n a t 1.000 uppgifter inte kan göra mer än var fjärde provuppgift rätt.» Jag skulle vilja tillägga följande:

Vilken ogynnsam u t g å n g s p u n k t har inte läraren, då han i fjärde klass i februari har att å t e r u p p t a arbetet med division och därvid inom kort skall låta eleverna dividera med flersiffrig divisor.

E t t annat drastiskt exempel är väl detta. Jag p r ö v a d e ett antal femteklasser inom det o m r å d e av Göteborg, som brukar leverera de högsta begåvningarna. Dessa klasser hade undervisats om division med flersiffrig divisor under våren i fyran och under hösten i femman. Omedelbart före provet demonstrerades f. ö. ett exempel med tre- siffrig divisor. Det visade sig, att frekvensen r ä t t r ä k n a d e uppgifter i division med t v å - eller flersiffrig divisor var omkring 50 %, d. v. s. att varannan uppgift var fel, och detta omedelbart efter det att genomgången var avslutad.

Det finns enligt min mening exempel på iögonfallande brister i räknefärdigheten hos v å r a elever, redan då de går i skolans lägre klasser.

Vad som emellertid behöver framhållas är, att denna mening ä r representativ en- dast för mig personligen, och jag frågar mig, om man inte har anledning att utreda, vad för räknefärdighet som bör anses vara u p p n å d d i olika klasser. Såvitt jag kan inse, ä r detta i klarhetens intresse p å k a l l a t . Vilken annan person som helst kan j u om de h ä r n ä m n d a prestationerna p å s t å , antingen att de är goda för åldersstadiet eller att proven avsett oväsentliga kursmoment.

Det heter således i folkskolestadgan § 45, 1, att »lärjungar, som v i d läsårets slut

i n h ä m t a t klassens lärokurs, skola då uppflyttas t i l l högre klass». Detta kan givetvis

inte tolkas så, att eleverna skall klara alla de fall, som motsvarar vad som i undervis-

6

ningsplanen säges rörande lärokursen för en b e s t ä m d klass. Emedan det inte med- delas, hur väl eleverna b ö r klara en kurs, blir det i realiteten provräkningsförfattarna (t. ex. de som skrivit räkneläran), som kommer att b e s t ä m m a , vad eleven skall kunna eller inte kunna. Emellertid synes det finnas risk för a t t vissa element av kursen i så fall u t e l ä m n a s samt a t t olika klasser eller klassavdelningar b e d ö m s olika, beroende på vilken lärobok som kommit t i l l a n v ä n d n i n g .

Lösningen ur detta dilemma tycks endast kunna givas, genom a t t man noggrant preciserar vad för hänseenden en elev bör prövas i , ev. också vad för prestationsgrad han därvid bör u p p n å .

Det mest rationella tillvägagångssättet kanske kan anses vara, a t t konstruera vissa kunskapsprov, som ansluter sig t i l l en m å l s ä t t n i n g u t r e d n i n g rörande de moment, som kan t ä n k a s komma i fråga, och bedöma en elevs prestationer med u t g å n g s p u n k t från hans poäng i detta prov. Standardproven bygger f. ö. på denna t a n k e g å n g — men tycks inte i sin hittillsvarande form ansluta sig t i l l en m å l s ä t t n i n g s u t r e d n i n g .

Men v i b ö r otvivelaktigt söka oss vidare och inte stanna v i d det konstaterandet, a t t bristfälligheter föreligger. En fråga av betydelse är, om v i m å s t e nöja oss med en räknefärdighet sådan som den nu diskuterade, eller om v i genom ekonomiska och praktiska å t g ä r d e r kan f ö r b ä t t r a prestationerna.

Av allt att d ö m a finns det t v å möjliga kunskapskällor att ösa ur, nämligen 1) teore- tiska överväganden vunna genom lärareerfarenhet samt 2) pedagogiska experiment.

Jag har den uppfattningen, att särskilt genom den senare metoden det kan b l i m ö j - ligt att komma fram t i l l förbättrade undervisningsförfaranden. Det experiment, som jag redan t i l l en del redogjort för, avsåg i själva verket a t t pröva en metodisk j ä m - förelse mellan den gamla k ä n d a divisionsuppställningen och en annan, som a n v ä n d s bl. a. i de anglosaxiska länderna (anglosaxisk uppställning). V å r gamla invanda upp- ställningsform bedömdes därvid vara vida underlägsen den anglosaxiska på nybörjar- stadiet och speciellt med svagt begåvade elever.

Vad jag i det h ä r sammanhanget v i l l speciellt framhålla, det är, a t t v i kan t ä n k a s f ö r b ä t t r a elevernas räknefärdighet i fler hänseenden än det anförda. Det finns utan tvivel en uppsjö av problem, och varje lärare, som v i l l göra en kritisk prövning av undervisningsmetoder, borde stödas och uppmuntras.

Jag skulle vilja n ä m n a vissa önskemål, som jag t r o r delas av m å n g a lärare i detta land.

1) Det förhåller sig j u så, a t t v i än så länge befinner oss i en övergångsperiod för skolan, under vilken v å r gamla undervisningsplan delvis fungerar, 1955 års plan gäller men inte kan fullt ut tillämpas och försöksverksamhetens kursplaner ä r föremål för fortskridande redigering. Vore det då inte lämpligt a t t just nu söka göra en grundlig översyn av ett skolans nyckelämne s å d a n t som matematiken? Jag skulle vilja uttala det a l l m ä n n a önskemålet, att man noga utredde räknefärdighetens m å l s ä t t n i n g och grund- ligt analyserade kursplanen i matematik. Det förefaller som om såväl 1955 års plan som enhetsskolans plan innehåller diskutabla punkter.

2) Vidare skulle jag vilja förorda, att v i ställde undervisningsmetodiken i matema- t i k ä m n e t under debatt. Lektor Vanas gör i sin uppsats i nr 2 av denna tidskrift gäl- lande, att v å r a nuvarande r ä k n e u p p s t ä l l n i n g a r bygger på sekelgamla traditioner och a t t v i släpar på undervisningsförfaranden, vilkas pedagogiska v ä r d e kan ifrågasättas.

Det finns säkert m å n g a viktiga undervisningsmoment, d ä r v i arbetar slentrianmässigt

men utan att bygga på någon som helst säker grund. Jag skall i n s k r ä n k a mig t i l l en-

dast ett par frågor: K a n någon ge klara bevis för a t t barnen i folkskolan lär sig r ä k n a

division b ä t t r e genom a t t v i styckar upp r ä k n e s ä t t e t i innehållsdivision och delnings-

division? K a n någon ge b e s t ä m d a bevis för a t t v å r a elever skall lära in divisionsupp-

ställningarna genom a t t r ä k n a ett stort antal övningar? Vilken n y t t a gör h u v u d r ä k -

ning? Varför m å s t e elever med pedantisk noggrannhet »teckna» uppgifter?

H u r skolarbetet i praktiken bedrivs ä r en fråga, som ä r så litet studerad, a t t v i inte vet n å g o t om hur genomsnittsläraren g å r t i l l väga. Vilken detaljfråga v i än g å r t i l l , så finner v i , a t t v i m å s t e konstatera v å r okunnighet. Och frågar v i oss, i vilken grad den ena eller den andra pedagogiska å t g ä r d e n befordrar inlärandet och p å v e r k a r be- hållningen, så kan v i lika öppet förklara, a t t v å r a undervisningsmetoder bygger på tradition och t r o , men knappast på kunskap.

3) F ö r det tredje skulle jag vilja ifrågasätta läroböckernas effektivitet. Vad vet man om dem? Man skulle l ä t t kunna ge exempel på högt skattade — och vida spridda

— räkneläror, som visar sig innehålla de mest iögonfallande brister, b l . a. i fråga om divisionsräkning. V i bör b l . a. observera, a t t det varje å r ges ut nya läroböcker och a t t det å t m i n s t o n e i n å g r a skoldistrikt b l i v i t ett problem, hur man bör förfara med de nya läroböcker, som utkommer. P å en del håll arbetar en särskild k o m m i t t é , som på lärares förslag företar en prövning av nyutkommen undervisningsmateriel. F ö r a t t lärobok eller undervisningsmateriel skall g o d k ä n n a s fordras, a t t prövningen i vissa klasser utfallit t i l l förmån för densamma. — Ä r det inte så, a t t det ä r ett sam- hällsintresse a t t få t i l l s t å n d en effektivitetsprövning av undervisningsmateriel — inte endast i matematik utan i alla skolämnen? Man förstår j u att de största skol- distrikten kan arbeta på så sätt, som nu n ä m n d e s , men hur skall de mindre distrikten kunna fundera ut, vilken lärobok, som b ö r föredras?

'1) Sist och framför allt v i l l jag kraftigt uttala som min åsikt, att forskning r ö r a n d e undervisningen i matematik behövs. Det ä r ofta så l ä t t a t t ställa ett problem. Och har man en g å n g ställt ett problem, b ö r det vara möjligt att också finna en metod, som gör det möjligt a t t studera den v ä c k t a frågan. Eftersom v i rör oss om ett huvud- ä m n e , b ö r en ökning av effektiviteten direkt kunna uppskattas i form av f ö r b ä t t r a d kunskapsutrustning för eleven, då han t r ä d e r u t i förvärvslivet. P å lång sikt rör det sig troligen om en god samhällsinvestering, ifall årligen pengar satsas på forskning som gör eleverna mera skickade att gå i land med praktiska v ä r v och yrkesverksamhet.

Men jag t r o r också, a t t v i tills vidare b ö r undvika a t t engagera oss i ett alltför y v i g t och okontrollerat p r ö v a n d e av uppslag och hugskott. Man bör acceptera en viss å t e r h å l l s a m h e t i både tekniskt och didaktiskt avseende för a t t möjliggöra en angelä- gen enhetlighet beträffande metoder, beteckningar och uppställningar.

•

TRÄNA TABELLER

— rolig lek med h j ä l p av W i n n e t k a k o r t

Enligt 1955 å r s undervisningsplan för rikets folkskolor ska numera inte endast multiplikationstabellen utan såväl addi- tions- som subtraktionstabellerna inläras.

F ö r m å n g a lärare och barn har tragglet med multiplikationstabellen k ä n t s t r å k i g t t i d s ö d a n d e och enformigt. Ska det nu b l i ä n n u mera tragglande?

Det behöver det inte b l i . Varken i n - l ä r a n d e t av »gamla» eller »nya» tabeller blir intresselöst rabblande, om man an- v ä n d e r Winnetkakorten. Tabellträningen blir i stället en rolig lek, som »trollar i n tabellerna i huvudet» och gör övningstim- marna efterlängtade och s p ä n n a d e .

Winnetkakorten, som utarbetats efter exempel från de b e r ö m d a skolorna i W i n - netka, finns för såväl multiplikations- som additions- och subtraktionstabellerna.

P å ett korts ena sida står en uppgift, t . ex. 4-9, och p å kortets andra sida svaret 4 • 9 = 36. F ö r a t t man l ä t t ska kunna ordna korten, så a t t alla frågorna kommer å t samma håll och alla svaren å t det mot- satta, ä r ett hörn av korten avskuret.

Så h ä r ser de ut:

Och så h ä r kan de a n v ä n d a s :

I . E t t barn får en packe kort och »förhör sig självt» genom a t t se p å sidan med uppgiften, t ä n k a efter, om det kan svaret och kontrollera, genom a t t v ä n d a p å kor- tet, om svaret var r ä t t . Om det var r ä t t , läggs kortet i en hög. Om det var fel, läggs det i en annan. N ä r alla korten är slut, t a r barnet i t u med de kort, vars uppgifter det inte klarat, och arbetar igenom dem på n y t t , tills alla korten hamnar i »rätt»

hög.

I I . T v å och t v å barn kan kontrollera var- andra: A håller upp ett k o r t med upp- giften v ä n d mot B , som säger eller skriver svaret. Ä r det r ä t t får B behålla kortet.

Är det fel byter de roller och A får svara.

De håller p å tills den ene vunnit alla kor- ten.

Leken kan varieras men är alltid lika s p ä n n a n d e . Det blir roligt, och det g å r fort a t t t r ä n a i n tabellerna.

Winnetkakorten passar för individuellt arbete och för grupparbete. De ä r billiga och l ä t t h a n t e r l i g a . Med Winnetkakortens hjälp vinner läraren t i d , barnen k ä n n e r arbetsglädje, och »tragglet» kan sättas p å avskrivning.

Winnetkakorten finns i satser om 65 st.

kort för addition, 80 st. för subtraktion och 64 st. för multiplikation. Pris per sats k r 3: 20.

BERGVALLS FÖRLAG

D r o t t n i n g g a t a n 108

S T O C K H O L M VA

DEN N U M E R I S K A B E G Å V N I N G E N

av Fil. lic. Ingvar Werdelin

F örfattaren t i l l denna artikel har ett antal å r sysslat med a t t undersöka den mate- matiska begåvningens faktorsstruktur. E n framställning av en del av de funna resultaten gavs i TfS nr 1. D ä r visades a t t den matematiska begåvningen betingades av följande fem från varandra skilda begåvnings faktorer:

1) Den a l l m ä n n a resonemangsfaktorn, som betingar v å r förmåga a t t förstå ett problems natur.

2) Den deduktiva begåvningen, som betingar v å r förmåga att, sedan v i väl f ö r s t å t t problemet, deduktivt resonera oss fram t i l l en lösning.

3) Den verbala faktorn, som ger oss förmågan a t t förstå ord och språkliga sam- manhang.

4) Den visuella eller spatiala begåvningen, som ä r en f ö r u t s ä t t n i n g för a t t v i skall kunna operera med och i fantasien v r i d a och v ä n d a på figurer av olika slag, t . ex.

geometriska.

5) Den numeriska faktorn, som betingar v å r förmåga a t t lösa rent numeriska prob- lem: enkla additioner, multiplikationer o. s. v.

Sambandet mellan dessa faktorer och matematikbetyget varierar. Starkast ä r det, som naturligt är, mellan betyget och den a l l m ä n n a resonemangsfaktorn. Korrela- tionen*) mellan dem varierar mellan 0,5 och 0,8. D ä r n ä s t starkast samband finner man mellan betygen och den numeriska faktorn (0,2—0,6). Övriga faktorers korrela- tion med matematikbetyget varierar mellan 0 och 0,5. Sambandet mellan betygen i övriga skolämnen och dessa begåvningsfaktorer ä r r ä t t svagt, utom för den verbala faktorn, som helt naturligt visar hög korrelation med svenskbetyget (omkr. 0,5) och även med l ä s ä m n e n a , och för resonemangsfaktorn, vars korrelation med de olika skol- ä m n e n a ä r ganska hög men r ä t t varierande.

För a t t m ä t a dessa fem faktorer har förf. färdigställt ett testbatteri med n ä r a 20 test, vilka tar tre lektionstimmar a t t ge. D å den psykologiska forskningen på detta o m r å d e ä n n u ä r ganska »outvecklad», ä r det givet a t t ett s å d a n t testbatteri ä r r ä t t vanskligt a t t a n v ä n d a , men i varje fall ur forskningssynpunkt äger det ett stort i n - tresse. Enstaka exemplar av detta testbatteri kan erhållas — så långt upplagan r ä c - ker — hos förf. t i l l självkostnadspris (c:a 5 kr; adress Brommag. 21, Hälsingborg).

*) Sambandet mellan t v å variabler, t.ex. t v å test eller t v å betyg eller ett test och e t t b e t y g m ä t e s i ett m å t t som heter k o r r e l a t i o n ( s k o e f f i c i e n t ) . E n k o r r e l a t i o n p å + 1 anger ett f u l l s t ä n d i g t samband. Den b ä s t e i ett ä r b ä s t i det andra osv. E n k o r r e l a t i o n p å ± 0 anger a t t m a n inte har n å g o t som helst samband; u r den ena variabeln k a n m a n ej sluta n å g o t o m den andra. E n negativ k o r r e l a t i o n anger en m o t s ä t t n i n g mellan de t v å variablerna. De korrelationer m a n f i n n e r inom det intellektuella o m r å d e t ä r van- ligen positiva. Som ex. k a n n ä m n a s a t t korrelationen mellan t v å betyg b r u k a r v a r i e r a m e l l a n 0,3 och 0,7, korrelationen mellan t v å p å v a r a n d r a följande p r o v r ä k n i n g a r mellan

0,4 och 0,7. T v å f u l l k o m l i g t parallella test v i s a r ofta korrelationen 0,8

10

D E N N U M E R I S K A F A K T O R N S N A T U R

A v de funna fem faktorerna skall h ä r behandlas blott den numeriska. Den ä r sedan länge k ä n d , och det har också varit k ä n t sedan åtskilliga å r tillbaka, a t t den spelar en icke oväsentlig roll för matematiken även på det högre skolstadiet. Detta ä r i viss m å n ö v e r r a s k a n d e , eftersom ett rent matematiskt test ä r oberoende av den numeriska b e g å v n i n g e n och eftersom det numeriska r ä k n a n d e t på det högre stadiet spelar en föga utslagsgivande roll. Sambandet ä r faktiskt så kraftigt a t t man redan ur detta kan sluta a t t den numeriska begåvningen ej ä r begränsad t i l l det rena numeriska r ä k - nandet utan m å s t e ha ett mera v i d s t r ä c k t definitionsområde. V i d förf:s första under- sökning visade det sig också att korrelationen mellan den numeriska testen och ett ekvationstest med uppgifter av typen 4x — 8 = 12 blev så hög som 0,6, d. v. s. lika hög som eller högre än korrelationen mellan olika matematiska test. Denna höga korrelation kan ej tillfredsställande förklaras av det ganska ringa numeriska arbete som ingår i ekvationslösandet. Vidare framkom en korrelation på omkring 0,45 mellan de numeriska testen och förf:s test 17, d ä r det gäller a t t efter varje bokstavspar av typen A B , Y X , QP, skriva den sista bokstaven om paren står i bokstavsordning, den första om paren s t å r i o m v ä n d bokstavsordning. Detta icke-numeriska test visade sig alltså t y d l i g t m ä t t a t med den numeriska faktorn. Det ä r t y d l i g t a t t den numeriska b e g å v n i n g e n ä r någonting annat och mera än blott förmågan a t t behandla de fyra enkla r ä k n e s ä t t e n .

Vad ä r d å den numeriska begåvningens natur? Den psykologiska vetenskapen har ä n n u ej sysslat med detta problem i någon större u t s t r ä c k n i n g . De enda för förf. k ä n d a teorierna ä r L A N D A H L S åsikt a t t den har »serial-response-natur» och COOMBS' a t t den ä r förmågan a t t arbeta med en k ä n d räkneregel i ett väl bekant symboliskt system. Med »serial-response» menas a t t varje svar p å ett par siffror leder t i l l nästa svar o. s. v . Den numeriska begåvningen skulle alltså vara den snabbhet med vilken dessa svar u p p v ä c k a s . Coombs bevisade a t t Landahls teori ä r felaktig, eftersom addi- tioner med t v å ensiffriga t a l , d ä r alltså »serial response» ej kan förekomma, ä r lika m ä t t a d e med den numeriska faktorn som längre uppgifter. Sin egen huvudhypotes söker han bevisa genom att bevisa följande underhypoteser:

1) J u mera bekant en räkneoperation är dess högre m ä t t n a d med den numeriska faktorn skall den få.

2) En väl bekant symbolism är mera m ä t t a d med den numeriska begåvningsfak- torn än en föga k ä n d .

F ö r a t t bevisa den första undertesen ger han samma test i olika form (ett tämligen komplicerat test d ä r man skall r ä k n a med b o k s t ä v e r efter givna regler) tre gånger efter varandra. Han visar a t t korrelationen med den numeriska begåvningsfaktorn stiger, men denna stegring är ganska obetydlig.

F ö r a t t bevisa den andra undertesen ger han ett test i olika form (samma regler som

a n v ä n d e s i förf:s nedan beskrivna ABC-test men med 2 bokstäver, med 5 b o k s t ä v e r

resp. med geometriska tecken i st. för med 3 b o k s t ä v e r ) . De b å d a bokstavstesten

visar n å g o t högre korrelation med den numeriska faktorn än testet med de geome-

triska tecknen, vilket Coombs förklarar med a t t bokstavssymboliken ä r mera v ä l -

bekant. — Coombs anser att hans resultat »är i linje med» hans hypotes. Detta synes

vara sant, även om stöden för den ä r mycket svaga. Han förbiser dock att m å n g a

fakta utanför hans undersökning talar emot hypotesen. E t t test, d ä r det gäller a t t

t . ex. stryka u t alla a-n i en text, innefattar en väl bekant regel och en i hög grad i n -

övad symbolism, men är inget numeriskt test.

E G N A E X P E R I M E N T

F ö r förf. har det synts väsentligt a t t söka den numeriska faktorns natur, då detta skulle kunna förklara åtskilligt inom det matematiska begåvningsområdet. Den ar-

betshypotes som uppställdes var:

Den numeriska faktorn är till sin natur förmågan att kunna automatisera en in- tellektuell process (räkneprocess).

Det ä r v ä l för alla som syssla med matematik bekant att åtskilliga processer, som tidigare v a r i t logiska eller i varje fall intelligenskrävande, med tiden automatiseras.

Detta gäller det numeriska r ä k n a n d e t , som p å lågstadiet innebär stor a n s t r ä n g n i n g och är ett ganska gott intelligenstest, men som sedan snabbt blir automatiserat. Det gäller det algebraiska r ä k n a n d e t , som av eleven i realskolan återföres t i l l vissa be- s t ä m d a regler, men som senare sker mer eller mindre automatiskt. Det gäller enkla problem av typen: »5 kg. äpplen kostar 75 öre; vad kostar 3 kg.? I folkskolans lägre klasser i n n e b ä r detta problem en svår logisk uppgift, medan en t r ä n a d matematiker löser det utan överläggning. Och det gäller ekvationslösandet, som först erbjuder stora svårigheter, men som senare mer eller mindre automatiseras. Det ä r alltså förf:s hypotes a t t denna automatiseringsprocess skall ske i riktning mot den numeriska begåvningen; j u högre denna ä r dess längre kan automatiseringen drivas och dess snabbare och l ä t t a r e arbetar man.

F ö r a t t kunna bevisa denna hypotes har förf. ställt upp ett antal underhypoteser:

1) Om man låter en enkel icke-numerisk räkneprocess övas alltmera så att den så småningom n ä r m a r sig automatisering så skall den visa allt högre korrelation med de numeriska testen.

2) Den numeriska faktorn ä r inte en ren övningsfaktor. E n intellektuell process som övas men som ej visar allt högre grad av automatisering skall ej visa allt högre grad av samband med de numeriska testen.

3) Ju snabbare automatiseringsprocessen går, dess snabbare b ö r korrelationen med de numeriska testen stiga. E n process som ej l ä t t automatiseras skall endast visa m å t t l i g stegring i korrelationen. Det b ö r påpekas a t t Coombs resultat ä r i full över-

ensstämmelse med denna sista underhypotes.

E t t antal test, som b l . a. avsåg a t t bevisa dessa hypoteser gavs i ett testbatteri p å n ä r m a r e 50 test. Det ä r avsikten att ge dessa test t i l l c:a 150 frivilliga försökspersoner (fp). Större delen av denna undersökning har redan utförts men ej hunnit bearbetas.

Som helhet torde ej heller denna undersökning vara av särskilt stort intresse för t i d - skriftens läsare. A v större intresse ä r sannolikt den specialundersökning som utfördes i samband med den större undersökningen. Sjuttio försökspersoner gåvos b l . a. följ- ande test:

ABC: Man skall r ä k n a med b o k s t ä v e r n a A, B och C efter följande regler: t v å lika

b o k s t ä v e r ersattes med samma bokstav (BB = B), t v å olika b o k s t ä v e r ersattes med

den tredje (AB = C osv.). Testet omfattade trebokstaviga uppgifter, som alltså u t -

fördes på följande sätt: A A B = A B = C, A C B = B B = B osv. — Försökspersonerna fick

först en grundlig förklaring t i l l testet med flera lösta uppgifter. Efter detta fick de

fyra minuters prov på dylika uppgifter. Därefter kom fyra minuters övning p å samma

slags uppgifter, ett n y t t prov på fyra minuter, nya fyra minuters övning osv. tills

de utfört fem fyraminuters prov och fyra övningspass. Om förf:s hypotes ä r r i k t i g

skulle detta test, som innehåller en l ä t t automatiserbar räkneprocess, visa en snabbt

stigande korrelation med de numeriska testen.

Alfabetet: Fp skall skriva den sista bokstaven i alfabetisk ordning efter varje bok- stavspar av typen A B = , CB = , Y Z = osv. Detta test gavs likadant som det före- gående men med fyra egentliga prov och tre mellanliggande övningsuppgifter om var- dera fyra minuter. — Detta test är från början ganska starkt automatiserat, men visar ingen tilltagande automatisering. Övningseffekten är betydande beroende på m i n - nesfaktorer. Testet innefattar alltså ej en sådan automatisering av t ä n k a n d e t som det föregående testet. Man kan v ä n t a sig en ganska hög begynnelsekorrelation med de numeriska testen men ingen stegring i denna.

Syllogismer: Detta test omfattade uppgifter av följande t y p : Per är större än Nils, Nils är större än Erik.

Är E r i k större än Per?

Testet gavs först en gång med grundlig instruktion. Därefter följde nära fyrtio olika test, en del av logisk natur. Därefter gavs fp. å n y o en kortfattad instruktion och ett par minuters t r ä n i n g på dylika uppgifter. Därefter m ä t t e s förmågan en andra gång, ett n y t t träningspass insköts, förmågan m ä t t e s tredje gången, sedan kom ett sista träningspass och ett fjärde prov. — Detta test omfattar en intellektuell process som är svårare att automatisera än den i ABC-testet. Det borde alltså enligt den tredje underhypotesen visa en ganska m å t t l i g stegring i korrelationen med de numeriska testen.

Ekvationer: F ö r dessa ovan beskrivna test har valts sådana intellektuella uppgifter som fp. endera är helt obekant med (ABC och syllogismer) eller så pass väl bekant med att ingen större skillnad i deras bekantskap torde föreligga (Alfabetet). Förf. ville emellertid även ha med test som omfattar i skolan automatiserat r ä k n a n d e och har valt ekvationer. De första ekvationerna i test I hör t i l l den allra enklaste typen (4x—

8 = 12, o. dyl.), medan ekvationerna i test I I är av mera komplicerad natur:

4x 3x—2 _ 5 + x l i 1 2

~6~

Det rent numeriska arbetet torde spela störst roll i dessa senare ekvationer. Om förf: s hypotes är r i k t i g bör emellertid den första enkla typen, som löses mera »tankelöst»

visa högre m ä t t n a d med den numeriska faktorn än den senare som löses mera med resonemang.

Som numeriska test a n v ä n d e s följande:

Test 21: addition av tre ensiffriga tal under tre minuter.

Test 23: multiplikation av tresiffriga tal med ensiffriga under tre minuter.

Test 30: Fp. skall avgöra vilka av de givna lösta additionerna med fem ensiffriga t a l som är r ä t t lösta.

Resultat av undersökningarna:

I tabell 1 och diagram 1 visas det stigande sambandet mellan ABC-testen och de numeriska testen (ABC I , I I osv. betyder det första, andra, osv. provet av denna t y p ) . Det synes som om korrelationerna stabiliserades sig mellan 0,70 och 0,75. D å korrela- tionerna mellan t v å numeriska test är 0,72—0,85, är det t y d l i g t att ABC-testet myc- ket snart n ä r m a r sig dessa v ä r d e n och alltså visar sig som ett tämligen rent numeriskt test i n ä s t a n lika hög grad som ett additions- eller multiplikationstest.

I tabell 2 och diagram 2 ges resultaten från alfabet-testen. Som synes har v i h ä r ett

ganska högt begynnelsevärde, vilket kan förklaras med att detta test innefattar en

tämligen automatiserad intellektuell process. Trots att en kraftig övningseffekt gör

q?

Qé c o o

^ 0,2

:

;

/ ^{/ A}

/ r / x

Y / / /

Diaq rom 1- /

/

Diaq rom 1-

Test 2 1 23 J O

ABC 1 O, O, 2>S O, 19 ABC II O. 5 7 O, -47 O. 37

ABC III 0, Q O, 55 ABC IV Q 7C O, 6 5 O, 63 ABC V O, 7 / Q 7 2 Q 6 6

/ / /

IV

Tabell I

Stegringen i korrelationen mellan ABC - test ef och de numeriska testen när det

f ärra övas

0,8

0,7

)

C

•9Q5 -v- f

o

02

30

23\ k ^{' 1 1}

, ^ s

r

grarr

i 0 grarr

Alfab. I

Test 21 2 3 3 0

Alf. 1 O, 61 0/51 Oj 52

Alf. II Oj 5 4 0 , 4 6 Oj43 Alf. Ill O, 5 3 O ^ S Oj4B

Alf. IV Oj 52 0 , < 7 0 , 4 6

Tabell 2

K o r r e l a t i o n e r n a m e l l a n de n u m e r i s k a t e s t e n o c h a l f a b e t t e s t en

III IV

sig gällande — m e d e l v ä r d e t blir ungefär 1

/

gång högre för varje m ä t n i n g — så stiger ej korrelationen med de numeriska testen utan sjunker i stället något. Denna sänk- ning kan förklaras med att den automatiserade »räkneprocessen» av delvis numerisk natur t i l l en del ersattes med en minnesprocess: fp. lär sig svaren på bokstavsparen.

I tabell 3 och diagram 3 ges resultaten från syllogismtesten. Som synes har v i även

h ä r en stegring, som emellertid är betydligt l å n g s a m m a r e än för ABC-testen. V i finner

ej heller någon tendens hos kurvan att vika av. A t t försöket med dessa test ej drevs

längre beror på att testet verkar kraftigt u t t r ö t t a n d e vilket gör att resultaten ganska

snart blir osäkra.

O, 9 o, a

C O, 6

kO , 3

0 . 2

• -_- i,-f

21" r

^>—

^.<

—

3 O' f

—-

f~) i s i s j r c t m 2 3 ' L-s fCJC j r c t m

Test 21 2 3 3 0

Sy//. 1 0,48 0,27 0 , 3 3

Syll. II O, 5 5 O, 3 5 0 , 4 9

Sy/I. Ill O, 61 0 , 4 3 O, 50

Syll. IV O, 6 2 0^47 0 , 5 6

Tabell 3

K o r r e l a t i o n e r mellan de n u m e r i s k a festen o c h

s y l l o g i s m t e s t e n

Syll. I III IV

Korrelationen mellan de numeriska testen och ekvationsproven ges i tabell 4. Som synes ä r de ganska mycket högre för de enklare ekvationerna, som j u ä r mera auto- matiserade.

Test 21 23 30

Ekv. 1 Ckv.il

O, 59 Oj 52

O,49 O,43

Oj 53 C, 43

Tabell 4

Korrelationerna mellan de numeriska testen och e k v a t i o n s t e s t e n

De av förf. utförda experimenten stöder alltså fullkomligt hypotesen. Förf. har ej heller utanför sina försök kunnat finna några fakta som talar emot det utan t v ä r t o m åtskilliga stöd. E t t bevis i matematisk mening kan givetvis ej framläggas för en psy- kologisk hypotes, utan man m å s t e nöja sig med a t t konstatera a t t alla tillgängliga fakta talar i en viss riktning.

Förf:s hypotes synes vara fruktbar ur forskningssynpunkt: vidare undersökningar får avgöra vilka processer det ä r som kan automatiseras p å detta sätt, hur automati- seringen i varje fall sker, om det finns något samband mellan förmågan a t t automa- tisera snabbt och förmågan a t t driva automationen långt, osv.

Hypotesen synes vara fruktbar även ur den synpunkten a t t man med dess hjälp osökt kan förklara den numeriska faktorns stora betydelse för matematikbetyget:

under hela skoltiden ges i matematiken olika intellektuella processer, som skall drivas

t i l l fulländning, t . ex. sifferräknandet, ekvationerna, det algebraiska r ä k n a n d e t , i n -

s ä t t a n d e t i en del formler, t i l l ä m p a n d e t av räkneregler osv. Dessa ä r av väsentlig

betydelse för framgången i skolmatematiken; j u längre de drives mot automatisering

dess mera avlastas det rent intelligensmässiga t ä n k a n d e t . Det synes inte orimligt a t t

anta att det ä r v å r numeriska begåvning som h ä r kommer in. Det förtjänar dock a t t påpekas, att den numeriska begåvningen har en stark begränsning: den ger oss ingen förmåga att förstå en enda av de automatiserade processerna! Matematiken fordrar oundgängligen högre begåvningsfaktorer.

R Ä K N E N I V Å E R

Problemet med det numeriska r ä k n a n d e t är ej u t t ö m t blott genom h ä n s y n s t a g a n d e t i l l den numeriska faktorn. Korrelationen mellan olika numeriska test, hur väl dessa än är konstruerade, blir ej fullständig. V i har t. ex. funnit att korrelationen mellan v å r t test 23 och test 30 blott är 0,72. Andra forskare har funnit än lägre v ä r d e n . Det numeriska r ä k n a n d e t är alltså ej enbart beroende av den numeriska faktorn. Det har visat sig a t t det är ganska l ä t t för en driven matematikpedagog att på k o r t t i d driva upp r ä k n e h a s t i g h e t e n (särskilt för additioner). Detta ä r i viss m å n förvånande: det hade synts rimligt att man har d r i v i t sm räkneförmåga till ett maximum efter några års skolmässig t r ä n i n g . A l l t detta fordrar en förklaring. Förf. t i l l denna artikel anser att å t m i n s t o n e en del förklaras genom det s ä t t på vilket eleverna angriper en addi- tion (eller annan enkel sifferräkningsuppgift).

Förf. har funnit att det numeriska r ä k n a n d e t av additioner kan ske på olika nivåer.

Man skulle kunna tala om olika typer av r ä k n a r e . Dessa nivåer utgöra från varandra skilda s ä t t att angripa uppgiften och har ingenting att göra med hur långt automati- seringen drivits. P å var och en av dessa nivåer kan automatiseringen vara mer eller mindre fullständig. (Undantag gäller delvis den högsta nivån).

Den första nivån k ä n n e t e c k n a s av att personen i fråga v i d addition »delar upp» ett tal i lika m å n g a enheter som talet anger. Han r ä k n a r alltså 2 + 4 + 3 på följande s ä t t : ett-två—tre-fyra-fem-sex — sju-åtta-nio. I m å n g a fall utsattes prickar v i d sidan av talet, i en del fall förklarar sig personen se dessa prickar utan att rita dem, i andra r ä k n a r han på fingrarna. Det är givet att denna metod är opraktisk; endast i få fall kommer man upp i någon högre hastighet. Ytterst få lärare torde ha en aning om hur m å n g a elever som — alltid eller ofta — a n v ä n d e r sig av detta primitiva s ä t t att r ä k n a additioner. V i d förf:s undersökning har av c:a 400 u n d e r s ö k t a elever i realskolans högsta klasser minst 60 h ö r t ( i l l denna t y p ! Troligen är antalet ä n n u större.

Den andra nivån k ä n n e t e c k n a s av a t t additionen sker stegvis. F ö r s t adderas t v å siffror, sedan adderas resultatet med en tredje siffra, detta resultat med en fjärde osv.

Uppgiften 3 + 7 + 5 + 6 löses alltså på följande sätt: tre och sju är tio — tio och fem är femton — femton och sex är tjugotre. I en del fall förklarar sig den u n d e r s ö k t a perso- nen se det mellanliggande resultatet liksom skrivet v i d sidan om de andra siffrorna, andra uttalar det tyst, ett par elever skrev det faktiskt »för säkerhets skull» v i d sidan om de andra siffrorna. Denna nivå omfattar säkerligen mera än hälften av alla elever.

Den tillåter en högre hastighet v i d r ä k n a n d e t än dec förra, men är ej fullt tillfreds- ställande.

Den tredje nivån k ä n n e t e c k n a s av serial-response, dvs. den r ä k n a n d e utför inga verkliga additioner i verklig mening. En addition av typen 4 + 3 + 7 + 9 + 5 (skriven som vanligt nedåt!) löses på följande s ä t t : fyra-sju-fjorton—tjugutre-tjuguåtta. De mellanliggande additionerna utföres alltså inte separat. Det är ofta svårt att avgöra om en person hör t i l l nivå 2 eller nivå 3. I m å n g a fall har han ej klart för sig hur han egentligen r ä k n a r , särskilt om han hör t i l l en visuell r ä k n e t y p . Bakom de b å d a n i - v å e r n a synes dock ligga i grunden skilda r ä k n e m e t o d e r . Detta visar sig inte minst i den senare nivåens överlägsenhet n ä r det gäller att r ä k n a snabbt. Ungefär fjärde- delen av alla elever i realskolans högsta klasser synes höra t i l l denna tredje nivå.

Den fjärde och högsta nivån k ä n n e t e c k n a s av elevens förmåga att addera mera än

t v å siffror å t gången. Detta är a l l m ä n t förekommande n ä r det gäller additioner av

typen: 1 + 2 + 1 o. d y l . Hos en del fp. kan denna förmåga utveckla sig t i l l en förmåga att blott v i d en blick avgöra om ett problem med 5 å 6 siffror är r ä t t löst. En elev som förf. undersökte kunde r ä k n a 140 additioner med tre ensiffriga tal på tre minuter.

F ö r u t s ä t t n i n g e n för detta är att han blott genom en blick på problemet fann lösningen.

En dylik förmåga i något lägre grad visar sig hos de fp som låter blicken glida nedför additionsuppgiften och sedan, tillsynes utan att ha arbetat med uppgiften, har lös- ningen klar. Antalet elever som hör t i l l denna nivå är r ä t t litet; högst någon procent av alla.

I tabell 5 visas ett urval av förf:s försökspersoner (de som p r ö v a t s v i d den sista un- dersökningen). Deras prestationer i test 23 och test 30 har ställts upp som funktion av deras r ä k n e n i v å . Som synes är sambandet starkare för additionstestet än för m u l - tiplikationstestet. Dessa räknenivåer är definierade blott för additioner. Motsvarande har ej kunnat finnas för multiplikationer, även om en klar tendens är m ä r k b a r . D ä r - emot p å v e r k a r de alltid multiplikationerna, eftersom additioner ingår som ett led i multiplikationen. A v tabellen framgår även att en hög r ä k n e n i v å är en nödvändig men ej tillräcklig förutsättning för hög numerisk färdighet. Det finns som synes elever med hög nivå men låg additions- och multiplikationshastighet. D ä r e m o t finns det inga elever med låg nivå men hög numerisk färdighet!

5 5 -

T e s t 3 O i 1 T e s t 2 3

36-

50-54 3 2 1 33-35

2 1 1 3Ö-323

%4o-44 1 2 1 Q

27-29 "*

035-39 3 2 1 24-26 c

'^30-34 2 8 i 9 8 1 21-23^

^25-29 2 13 16 i 9 7 1 13 - 20

^ 20-24 2 15 5 7 8 17 Q

15-17$

0

C t S ~ 19 7 5 13 2 2 5 3

12- 14 n>

10-14 1 2 1 4 2 9- 11

Nivå 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. Nivå T a b e l l 5

Siffrorna i tabellen anger antalet fp. som tillhör en viss nivå och löst ett visst antal uppgifter

Man skulle kunna förmoda, att en elev skulle r ä t t a sin räknenivå efter sin förmåga

att räkna snabbt, och att alltså denna skulle b e s t ä m m a över och förklara hans n i v å .

Så synes dock ej alltid vara fallet, även om det är t y d l i g t att samtliga som tillhör nivå

fyra äga hög numerisk färdighet, även frånsett nivån. I de fall då färdigheten inom

additionerna ä r betydligt underlägsen färdigheten inom andra numeriska test, t . ex.

multiplikationerna eller det högt t r ä n a d e ABC-testet, har man anledning förmoda a t t en låg r ä k n e t y p spelar i n . F ö r att få ett verkligt bevis för att verkligen r ä k n e n i v å n spelar en b e s t ä m m a n d e roll, har förf. t r ä n a t en del fp. med låg nivå (den första eller den andra) så att de f l y t t a t upp på den tredje eller fjärde. H i t t i l l s har endast ett fåtal sådana försök gjorts, men de synes i mycket hög grad stöda antagandet: genomsnitt- ligt får man en mycket högre numerisk förmåga, framför allt inom additionerna, men även inom multiplikationerna. E t t slumpmässigt urval av dessa försök åskådliggöres i diagram 4.

55

* 50 0

> -*5-

"fj

"Q ^4C- 0 o

-

$ 3C-

<

,. 25-\

5 ^20-

C

% 15-

<

i

*

é

~-

—t /

5

/

/

l i

Nivå 1 2 3 4

Diagram -4

Andringe n i addiiions för- måga (test 30) med för- ändring i räknenivån.

* ' begynnelsevärde

Problemet med räknenivåns inverkan är mycket vanskligt att utreda. Man m å s t e nämligen helt l i t a på elevens egen instrospektiva redogörelse, vilken ofta är oklar och tvetydig. Resultaten hittills är emellertid otvetydiga. Det är emellertid v i k t i g t a t t problemet redes ut, då det har väsentliga pedagogiska aspekter. Det synes vara m ö j - ligt att verkligen lära eleverna att r ä k n a på en hög nivå, den tredje eller i m å n g a fall den fjärde. Det är förf. bekant att m å n g a lärare systematiskt t r ä n a r sina elever a t t r ä k n a snabbt numeriskt, och förf. skulle vara mycket intresserad av ett utbyte av erfarenheter.

•

NYA RÄKNEBOKEN för FOLKSKOLAN

jörsta och andra klassen

a n v ä n d s n u i de flesta av s m å s k o l a n s klasser

N Y A R Ä K N E B O K E N

f o r

FOLKSKOLAN

Tredje klassen

a n v ä n d s redan i m å n g a skoldistrikt och p r ö v a s i m å n g a andra.

KS* »OlKiÄtHAN i 111• i

Il i l i l \

Den har jått utmärkt kritik:

" E x e m p l e n ä r v a l d a f r å n barnens v ä r l d , v ä l formulerade o c h enkla i s p r å k e t .

L ä r o g å n g e n ä r v ä l g e n o m t ä n k t o c h k l a r . . .

U p p g i f t e r n a ä r delade i m i n i m i k u r s , g r u n d k u r s o c h ö v e r k u r s . . . "

Folkskollärarnas Tidning

"Bokens redigering är föredömligt klar och redig . . . Utan tvivel är denna lärobok en av de bästa för stadiet."

Sveriges Folkskollärarinnors Tidning

Pris 2 :50 Facit 0:50 R ä k n e p r o v 0:50

NYA RÄKNEBOKEN

för FOLKSKOLAN Fjärde klassen u t k o m m e r i h ö s t . Övriga delar under arbete.

ALMQVIST & WIKSELL

Z ^

t ^ ¹

M A T E M A T I K I S P R Å K U N D E R V I S N I N G E N !

Den sällsamma historien om Bengt,

b e r ä t t a d av A d j u n k t W . Göransson

Det h ä n d e r v ä l varje läsare då och då, a t t han tycker sig ha gjort sitt allra yttersta för a t t förklara ett problem för en klass eller en enskild elev men misslyckats. H a n har v r i d i t och v ä n t p å saken, belyst den ur olika synpunkter och a n v ä n t alla de t j u v - knep han med tiden l ä r t sig och ä n d å inte f å t t Andersson eller Pettersson eller L u n d - ström a t t förstå.

Vad skall man då egentligen ta sig till?

Ja, vad var det hästen gjorde, som jagades av en vildsint tjur?

Han k l ä t t r a d e helt enkelt upp i ett t r ä d och satte sig.

»Men inte kan h ä s t a r k l ä t t r a i träd?»

»Nej, men vad skulle den stackarn göra?»

Jag fick en gång i tiden som privatelev en gosse v i d namn Bengt. Denne gosse hade en ytterst ambitiös och dessutom v ä l b ä r g a d fader, och det var inte t a l om annat ä n att Bengt skulle ta å t m i n s t o n e realexamen. N ä r han i elva å r t i l l v u x i t i ålder och vis- dom, sattes han också i realskolan. D ä r visade han emellertid huvudsakligen anlag för a t t t i l l v ä x a i ålder, och redan efter ett å r s t å t a d e han med C i tyska. Uppdraget a t t t i l l varje pris läsa upp honom var alltså inte direkt lockande, men det visade sig lärorikt.

T i l l en början gick allt bra. Bengt var från hemmet van v i d kadaverdisciplin, och att få honom a t t lyda var inte svårt. Och det r ä c k t e ganska långt på den tiden, n ä r man skrev med lexika och grammatik. V a d som brast i fråga om språköra, kunde ofta kompenseras av manuell färdighet och noggrannhet. Dessutom var Bengt inte alldeles omöjlig i matematik och teckning.

Bengt fick alltså ett schema att slaviskt följa, och detta schema byggdes u t undan för undan:

A. S ä t t i varje sats in ordet icke.

B . Om detta icke kommer t i l l v ä n s t e r om första verbet, drar du en cirkel kring detta verb. Sedan drar du från valfri p u n k t på denna cirkels periferi en r ä t linje å t h ö - ger, varefter du med en p i l markerar, att det inringade verbet skall stå sist.

C. Finnes ytterligare ett verb i satsen, drar du en cirkel även kring detta och mar- kerar med en ny r ä t linje och en ny p i l , a t t detta verb skall stå n ä s t sist.

Obs! De sålunda dragna r ä t a linjerna få icke skära varandra!

Bengt var en ordningsmänniska av stora m å t t , och han medförde t i l l varje tysk lektion passare och linjal. »Pilen» liknade mest ett v ä l s k a p t rottecken.

Så s m å n i n g o m infördes nya matematiska tecken. S å d a n a kufiska ord som infinitiv, imperfekt och supinum ersattes med arabisk etta, t v å a och trea, positiv, komparativ och superlativ med romersk etta, t v å a och trea etc.

Och det hela gick bra, såtillvida a t t Bengt flyttade från klass t i l l klass utan under- betyg i tyska.

Men så kom den dag, då det inte längre r ä c k t e med att lyda och vara noggrann, och det var n ä r Bengt skulle lära sig konjunktivens bruk. Jag förklarade för honom, a t t nu fanns det inte fler geometriska figurer a t t tillgripa; nu m å s t e han börja t ä n k a .

Resultatet blev nedslående. Grammatiken sade j u , a t t det overkliga uttryckes med

konjunktiv. Satsen »Jag ä r inte hungrig» m å s t e alltså heta »Ich sei nicht hungrig»,

för om jag inte är hungerig, så m å t t e väl hungern vara overklig, menade Bengt. Alla nekade satser satte han alltså i konjunktiv, och det r ä c k t e följaktligen med fem å sex negationer i en stil för a t t Bengt skulle vara såld.

Det blev nya b i t t r a t å r a r för Bengt och nya gråa h å r för mig, tills v i slutligen kunde utropa v å r t heureka!

Formeln var funnen och den löd:

M = F • I ,

där M = modus, F = formen och I = innehållet.

F ö r formelns r ä t t a tillämpning m å s t e Bengt också veta, a t t indikativ = plus, kon- j u n k t i v = minus. A t t lika tecken ger plus medan olika tecken ge minus, visste han reda från matematiken.

L å t oss ta några exempel:

F I M Magistern har t a n d v ä r k + + + Magistern har inte t a n d v ä r k — — + Ack om magistern hade t a n d v ä r k + — — (vilket han tydligen inte har)

Ack om magistern inte hade tand-

v ä r k (vilket han tydligen har) — + — Så småningom klarade Bengt med tillhjälp av denna formel r i k t i g t svåra fall:

Om jag hade tid, reste jag bort i morgon. Form? + i b å d a satserna, eftersom ne- gation saknas.

Innehåll: Reser han bort?

Nej. ( I = - ) Varför inte?

Han har inte t i d . ( I = — ) M = — i b å d a satserna.

Om jag hade tid, brukade jag resa bort på Form? + i b å d a satserna.

lördagarna i somras. Innehåll: Reste han bort?

Ja. ( I = + ) N ä r då?

N ä r han hade t i d . ( I = + ) M = + i b å d a satserna.

Så kom slutligen det stora ögonblick, då Bengt skulle skriva i realexamen. N å g r a minuter efter klockan 12 ringde det på dörren. Utanför stod Bengt med lexika, gram- matik, passare, linjal och gradskiva. Han var svettdrypande, utmattad. Ingen hade haft en sån dag som han. Det tar nämligen t i d a t t först skriva om hela texten på m i l l i - meterrutat papper av s å d a n t format, a t t alla geometriska figurer få plats. Och det tar t i d att en hel stil igenom i sats efter sats multiplicera form och innehåll. Men Bengt hade med uppbjudande av hela sin energi lyckats genomföra den bravaden, och den tyska ö v e r s ä t t n i n g som jag nu mellan cirklar, rottecken, plus och minus lyckades leta fram på hans solkiga kladdpapper var mer än godkänd. Det blev t.o.m. ett gott Ba.

Bengt var naturligtvis överlycklig. E n enda liten droppe m a l ö r t fanns dock i glädje- bägaren:

»Nog är det väl h å r t , att det inte blev en enda minusprodukt i hela stilen!»

Det var Bengts b e n ä m n i n g på konjunktiven.

Detta h ä n d e i maj 1942. Troligen var det sista gången Bengt ägnade en tanke å t

tyska språket.

ATT LÄRA ELLER DRILLA

Av Seminarielärare Elof Åhlin, Luleå

E t t problem bland m å n g a andra i matematikundervisningen, som förefaller mig naturligt att ta upp t i l l diskussion, är frågan angående den »mekaniska» sidan av den t i l l ä m p a d e räkningen (lösning av problemuppgifter). Ofta har det varit så, a t t dessa slag av uppgifter inte så mycket givit anledning t i l l ett problemlösande som mera ett mekaniskt inplacerande av tal i en på förhand inlärd formel.

Jag skall h ä r nöja mig med några exempel för a t t d ä r m e d belysa, vad jag avser.

Det är lite s v å r t att förstå, varför man n ö d v ä n d i g t skall behöva frångå metoden att r ä k n a ut y t a n på t . ex. en rektangel (5 • 4 cm

= 20 cm

) och låta eleverna inlära for- meln 1 • b = Y . Har man kommit så långt, a t t dessa förstår det förra, bör det vara na- turligt att också låta dem b e r ä k n a ytorna på samma s ä t t å t m i n s t o n e i folkskolan. L i k a - så har jag s v å r t att förstå, varför man, n ä r eleverna kommit fram t i l l att pelarens, k u - bens och cylinderns volym b e r ä k n a s på samma s ä t t , nämligen höjden gånger botten- lagret (6 • 12 c m

= 72 cm

), på redan t i d i g t stadium skall införa den tredimensionella formeln, (t. ex. för pelaren 2 cm • 3 cm

12 cm = 72 cm

.)

A t t pyramidens eller konens r y m d ä r tredjedelen av pelarens resp. cylinderns v o l y m , lär sig eleverna på egen iaktagelse, varför de lämpligen bör f o r t s ä t t a att b e r ä k n a r y m - den på basis av den kunskapen. N ä r man på samma s ä t t kommer fram t i l l a t t halv- klotets v o l y m ä r tredjedelen av volymen på cylindern med samma diameter och höjd som klotets diameter och d ä r a v följer, a t t volymen på hela klotet är dubbelt så stor, bör likaså klotets v o l y m enklast b e r ä k n a s enligt den vunna erfarenheten. Det före- faller onödigt a t t k rå n g l a t i l l saken genom att föra fram barnen t i l l den i och för sig

4 it r

logiskt riktiga formeln . Även om eleverna bringas att förstå, hur v i k o m m i t fram t i l l den formeln, har denna »rationalisering» enbart t i l l följd, att man medverkar t i l l att sudda ut minnesbilden av sambandet mellan volymerna hos de olika krop- parna och förhållandet dem emellan.

Dessa exempel ur geometrin kan sedan kompletteras med andra ur matematik- undervisningen i övrigt.

Beträffande r ä n t e r ä k n i n g e n var det förr självklart, att eleverna fick lära sig formeln k p t

r = — - — 100

Det är en b e k v ä m v ä g att på det s ä t t e t lära eleverna en slags »plocka-in-mate- tik». Krångligare ränteuppgifter behöver man inte ta med i folkskolans matematik- undervisning, att inte eleverna mycket väl kan få f o r t s ä t t a sin r ä n t e b e r ä k n i n g direkt på basis av deras kunskaper om procentbegreppet.

Ofta får man det intrycket, att endast en v ä g leder t i l l Bom. Det är helt viss natur-

ligt, att man på det elementäraste stadiet inte kan och inte heller bör komma med

varierande s ä t t att lösa ett och samma problem. Men någonstans bör den frågan föras

in. I konsekvens med min grundtanke, att eleverna bör förstå, vad de håller på med,

bör de v ä n j a s att söka sig fram på olika v ä g a r . F ö r att belysa t a n k e g å n g e n , ett exem-