Analys av det nordiska kraftn¨atets p˚averkan p˚a det svenska elspotpriset

Analys av det nordiska kraftn¨atets p˚ averkan p˚ a det svenska elspotpriset

Kandidatexamensarbete i Matematisk Statistik, KTH

Daniel Boros (900711-4995), Viktor Joelsson (880405-0535) Handledare: Harald Lang

18 maj 2012

Sammanfattning

De senaste ˚aren har det varit mycket diskussion ang˚aende elpriset p˚a den svenska marknaden. Enligt en Sifounders¨okning som genomf¨ordes i slutet av 2011 ¨ar elpriset den del av privatekonomin som oroar svenskar mest. D¨arf¨or

¨ar det b˚ade aktuellt och av v¨arde att unders¨oka hur effektiviteten i det nor- diska kraftn¨atet p˚averkar det svenska elspotpriset. Tre fj¨ardedelar av all el i norden handlas p˚a elb¨orsen Nord Pool Spot.

I detta arbete utreds hur det svenska spotprisets variation ¨ar f¨ordelad mellan det f¨or norden gemensamma Systempriset och den ineffektivitet som finns i kraftn¨atet. Metoden som anv¨ands f¨or unders¨okningen ¨ar endoginitet- och heteroskedasticitetskorrigerad regressionsanalys p˚a data huvudsakligen fr˚an Nord Pool Spot och Vattenfall AB.

Resultatet av denna studie visar att ungef¨ar 40% av variationen av det svens- ka spotpriset inte kan tillskrivas variationen i Systempriset. Dessa 40% b¨or d¨arf¨or bero p˚a de f¨ortr¨angningar och den lokala obalans mellan produktion och konsumtion som existerar i Nordens elprisomr˚aden. Slutsatsen vi drar av detta ¨ar att det finns uppenbar potential f¨or f¨orb¨attring av kraftn¨atet d˚a tillr¨acklig omallokering av elproduktion ej ¨ar motiverbar ur varken ekonomisk eller l˚angsiktitgt h˚allbar synpunkt.

Abstract

During the last few years, there has been a lot of debate regarding the price of electricity on the Swedish market. According to a recent survey from Sifo, a non-bias governmental institute for consumer research and testing, the price of electricity is what worries Swedish households the most. An investigation of the efficiency of the Nordic power grids influence on the Swedish spot price is therefore both relevant and valuable. Three quarters of all electricity produced in the Nordic region is traded at the Nord Pool Spot power market.

This survey examines how much of the variation of the swedish spot price can be descried by the variation of the nordic system price and how much is caused because of inefficiencies in the power grid. Primarily, linear regression with adjustments for endogeneity and heteroskedasticity has been used in or- der to analyze data obtained mainly from Nord Pool Spot and Vattenfall AB.

The results show that the variation of the system price can account for all but about 40% of the variation in the Swedish spot price. Thus, it is reasonable to believe that these 40% are caused by limitations and local imbalance between production and consumption in the Nordic price areas. Our conclusion from the results is that it is in place with improvements of the Nordic power grid.

The alternative would be to reallocate the power production to match the consumption. However, the latter is neither economically nor environmentally sustainable.

Inneh˚ all

1 Inledning 1

1.1 Sammanhang . . . 1

1.2 Bakgrund . . . 2

1.2.1 Elmarknaden . . . 2

1.2.2 Pris¨attning p˚a Nord Pool Spot . . . 2

1.3 Fr˚agest¨allning . . . 5

1.4 Avgr¨ansingar . . . 5

2 Teoretisk bakgrund 6 2.1 OLS-regression . . . 6

2.2 F-test . . . 8

2.3 R² och ¯R² . . . 9

2.4 Endogenitet . . . 9

2.5 Homoskedasticitet och Heteroskedasticitet . . . 12

2.6 Transformation av beroende variabel . . . 12

3 Metod 14 3.1 OLS 1 . . . 14

3.2 L¨osning f¨or endogeniten . . . 14

3.2.1 L¨ampliga Instrument . . . 16

3.3 2 SLS . . . 17

4 Resultat 19 4.1 OLS 1 . . . 19

4.2 2 SLS . . . 19

4.2.1 Regression av systempris p˚a instrument . . . 19

4.2.2 Regression av svenska priset p˚a det predikterade System- priset . . . 20

5 Diskussion 22 5.1 Felk¨allor . . . 22

5.1.1 Data . . . 22

5.1.2 Antaganden . . . 22

5.2 Slutsats . . . 23

6 Referenslista 24

7 Bilagor 25

1 Inledning

1.1 Sammanhang

El ¨ar i dagens samh¨alle en livsn¨odv¨andighet som anv¨ands till bland annat uppv¨armning, transport och belysning. Norden har ett kallt klimat och un- der vinterhalv˚aret ¨ar det m¨orkt vilket g¨or nordbor beroende av el till ljus och uppv¨armning i en h¨ogre grad ¨an m˚anga andra europeiska l¨anders be- folkning. Sverige har ocks˚a en l˚ang tradition av h¨og elkonsumtion d˚a el l¨ange varit billigt eftersom en stor andel produceras med vattenkraft och k¨arnkraft.

Figur 1: Svenskt elspotpris fr˚an 2010 till 2012.

De senaste ˚aren har det i Sverige diskuterats mycket kring det svenska el- priset d˚a det har haft en h¨og voalitet. Priset var under vintern 2010 det h¨ogsta n˚agonsin (se F igur 1) och b˚ade den svenska industrin och hush˚allen p˚averkades mycket. Detta berodde p˚a m˚anga faktorer s˚a som inf¨orande av utsl¨appsr¨atter av koldioxid och att den svenska k¨arnkraften inte var fullt tillg¨anglig i kombination med kalla vintrar. Enligt en Sifounders¨okning¹, som

1http://www.tns-sifo.se/media/354953/eon.pdf, 2012-04-28

genomf¨ordes november och december 2011, ¨ar elpriset den del av privateko- nomin som svenskar oroar sig mest f¨or.

1.2 Bakgrund

1.2.1 Elmarknaden

Den svenska elmarknaden var reglerad fram till 1996 d˚a den avreglerades och det blev fritt f¨or alla akt¨orer att s¨alja och k¨opa el p˚a Nord Pool Spot som

¨ar elb¨orsen f¨or den nordiska marknaden. Nord Pool Spot ¨ags gemensamt av systemoperat¨orerna i Sverige (Svenska Kraftn¨at), Norge (Statnett), Finland (Fingrid) och Danmark (Energinet) och ungef¨ar tre fj¨ardedelar av all el i norden och Estland handlas d¨ar. Handeln med kortsiktiga fysiska elkontrakt f¨or det n¨astkommande dygnets timmar p˚a Nord Pool Spot kallas Elspot och det ¨ar denna handel som s¨atter marknadspriset. All handel p˚a Nord Pool Spot sker i EU R/M W h vartefter priserna r¨aknas om till den inhemska valutan f¨or respektive land.

1.2.2 Pris¨attning p˚a Nord Pool Spot

Marknadspriset p˚a el p˚a den nordiska marknaden s¨atts varje dag p˚a Nord Pool Spot f¨or det n¨astkommande dygnet och ben¨amns Systempriset (SYS).

Alla producenter l¨agger bud p˚a hur mycket de ¨ar beredda att producera f¨or och till vilket pris f¨or det n¨astkommande dygnets alla 24 timmar. Samtidigt l¨agger elhandlarna bud p˚a hur mycket de vill k¨opa (hur mycket de tror att deras kunder kommer konsumera) och till vilket pris. Alla bud skall vara b¨orsen tillhanda f¨ore klockan 12:00 varje dag. D˚a Nord Pool Spot f˚att bu- den skapas en aggregerad utbud- och efterfr˚agekurva f¨or varje enskild timme, se exempel i F igur 2, d¨ar Systempriset f¨or respektive timme best¨ams som j¨amviktspriset mellan kurvorna. All f¨ors¨aljning av el under n¨astkommande dygn kommer d¨arefter att ske till de angivna systempriserna. N¨ar System- priset s¨atts tas inga fysiska aspekter in i ber¨akningarna.

I F igur 3 kan man se att Systempriset kommer att bli det h¨ogsta priset f¨or den r¨orliga produktionskostnaden som kr¨avs f¨or att uppr¨atth˚alla kraftbalan- sen. Det betyder att all el kommer s¨aljas till detta pris ¨aven om de r¨orliga produktionskostnaderna ¨ar l¨agre ¨an Systempriset. Noteras b¨or dock att figu- ren inte tar h¨ansyn till de kostander som finns d˚a kraftverken inte anv¨ands, dessa ¨ar av relevans eftersom vattenkraften har en v¨aldigt liten s˚adan j¨amf¨ort med till exempel k¨arnkraften.

Figur 2: Aggregerad utbud- och efterfr˚agekurva. (Nord Pool Spot, 2012)

Figur 3: Princip f¨or prisbildningen p˚a spotmarkanden (Energimarknadsin- spektionen, 2006)

Eftersom det finns geografiska olikheter och fysiska begr¨ansningar mellan oli- ka omr˚aden ¨ar norden uppdelat i prisomr˚aden. Skillnaderna som uppkommer mellan priserna f¨or de olika prisomr˚adena beror p˚a den lokala produktionen och konsumtionen samt vilka f¨ortr¨angningar det finns i kraftn¨atet. Norden ¨ar p˚a grund av dessa begr¨ansningar uppdelat i tretton olika prisomr˚aden. Dessa

¨ ar

Danmark DK1 - Jylland DK2 - Sj¨alland Norge

NO1- Oslo

NO2 - Kristiansand NO3 - Molde, Trondheim NO4 - Troms¨o

NO5 - Bergen Finland FI - Helsinki Sverige SE1 - Lule˚a SE2 - Sundsvall SE3 - Stockholm SE4 - Malm¨o Estland EE -Tallin.

Efter att Systempriset ber¨aknats best¨ams priserna f¨or respektive omr˚ade.

Detta g¨ors av Nord Pool Spot genom att f¨orst avg¨ora om fl¨odet av energi mellan tv˚a prisomr˚adena kommer bli st¨orre ¨an ¨overf¨oringskapaciteten mellan dem enligt de bud som lagts p˚a marknaden. Om fl¨odet ¨overskrider kapacite- ten ber¨aknas ett omr˚adespris. Annars kommer omr˚adena att ha samma pris.

F¨or att ber¨akna dessa priser anv¨ander Nord Pool Spot en algoritm, SESAM , som syftar till att maximera v¨alf¨arden i byteshandeln. Om algoritmen skul- le begr¨ansas till enbart tv˚a prisomr˚aden kan dess princip beskrivas enligt f¨oljande. Till en b¨orjan beaktas utbud- och efterfr˚agekurva f¨or respektive

omr˚ade, d¨arefter adderas den maximala ¨overf¨oringskapaciteten som produk- tion i det omr˚ade som har ett underskott och som konsumtion i det omr˚ade som har ett ¨overskott. J¨amviktspriset i dessa nya utbud- och efterfr˚agekurvor for respeketive omr˚ade ger omr˚adespriset.

Notera att Sverige fram tills den f¨orsta november 2011 bestod av enbart ett prisomr˚ade som betecknas SE0, d¨arefter delades landet upp i fyra efter beslut fr˚an EU-komissionen. F¨oljden av detta blev att elpriset i s¨odra Sverige blev h¨ogre ¨an i norra Sverige. Detta d˚a mycket av den svenska elen produceras av vattenkraft i norra Sverige (SE1 och SE2) och k¨arnkraft i mellansveri- ge (SE3) men inte kan transporteras ner till det konsumentt¨ata sydsverige (SE4) eftersom det finns flaskhalsar i kraftn¨atet.

1.3 Fr˚ agest¨ allning

Hur mycket av f¨or¨andringarna i det svenska elspotpriset kan beskrivas av kapacitetsbegr¨ansningar i det nordiska kraftn¨atet och lokal obalans mellan produktion och konsumtion i n¨amnda elprisomr˚aden?

1.4 Avgr¨ ansingar

I detta arbete avses att bed¨oma hur det svenska elspotpriset beror p˚a be- gr¨ansningar i system och inte att unders¨oka de parametrar som styr System- priset noggrannare. Avsikten ¨ar ej att skapa ett verktyg f¨or att f¨orutsp˚a det svenska elspotpriset.

2 Teoretisk bakgrund

Detta avsnitt avser prim¨art att introducera och f¨orklara de matematiska modeller och verktyg som anv¨ands f¨or att analysera data i syfte att f¨ors¨oka besvara angivnen fr˚agest¨allning.

2.1 OLS-regression

Det genomg˚aende prim¨ara modell som anv¨ands i analysen ¨ar linj¨ar regression och specificeras som

y_i =

k

X

j=0

x_ijβ_j + e_i, i = 1, . . . , n. (1) H¨ar ¨ar yi den beroende variabeln f¨or observation i, xij det j:te kovariatet f¨or observation i, β_j koefficienten f¨or kovariat j och e_i feltermen f¨or observation i. Totala antalet observationer ges av n och antalet kovariat av k.

Med f¨ordel kan (1) med hj¨alp av matrisnotationerna Y = y1 y₂ . . . y_n
T

, e = e₁ e₂ . . . e_n
T

, β = β₀ β₁ . . . β_k
T

och

X =







x10 x11 . . . x1k

... ... . .. ... x_n0 x_n1 . . . x_nk





, skrivas om p˚a formen

Y = Xβ + e. (2)

Notera att β₀ ben¨amns som interceptet och x_i0= 1 f¨or i ∈ [1, 2, . . . , n].

Tills vidare g¨ors ¨aven f¨oljande antaganden

• Exogenitet : E[e|X] = 0

• Homoskedasticitet : E[ee^T|X] = Iσ²

• Normalf¨ordelade residualer: ei ∈ N (0, σ)

Terminologin ovan behandlas l¨angre ned.

Den skattning som genomg˚aende anv¨ands f¨or β kallas for Ordinary Least Squares(OLS)-skattningen av β och betecknas ˆβ_OLS. OLS-skattningen mini- merar kvadratsumman ˆe^tˆe av residualerna ˆe, ber¨aknade fr˚an ˆe = Y − X ˆβ och erh˚alls genom att l¨osa normalekvationerna

X^Tˆe_OLS = 0. (3)

Den skattade regressionen betecknas

Y = X ˆβ_OLS+ ˆe (4)

d¨ar ˆβ_OLS ber¨aknas genom att f¨orst multiplicera (4) med X^T och sedan ut- nyttja (3) f¨or att erh˚alla

βˆ_OLS = (X^TX)⁻¹X^TY. (5)

D¨arefter anv¨ands uttrycket f¨or Y, enligt (2), i (5) och

βˆ_OLS= β + (X^TX)⁻¹X^Te (6) erh˚alls.

Eftersom (X^TX)⁻¹ 6= 0 ¨ar det uppenbart att

E[X^Te] = 0 (7)

om OLS-skattningen ˆβ_OLS av β skall vara v¨antev¨ardesriktig.

Eftersom ovanst˚aende likhet f¨oljer fr˚an antagandet om exogenitet ¨ar fallet s˚adant.

Kovariansmatrisen f¨or ˆβ_OLS ber¨aknas som

Cov( ˆβ_OLS| X) = E[(X^TX)⁻¹X^Tee^TX(X^TX)⁻¹]

= (X^TX)⁻¹E[ee^T] = (X^TX)⁻¹Iσ² (8) Residualernas varians σ² skattas med den v¨antev¨ardesriktiga stickprovsvari- ansen, enligt

s² = 1

n − k − 1|ˆe|². (9)

2.2 F-test

Pr¨ovning av nollhypotesen H₀: r av koefficienterna i (2) ¨ar noll, g¨ors via homoskedastiskt F-test. Testvariabeln ges av

F = 1 r

ˆ

e^T_∗ˆe_∗− ˆe^Tˆe

s² = n − k − 1 r

 |ˆe_∗|²

|ˆe|² − 1



(10)

d¨ar ˆe∗ ¨ar residualvektorn som erh˚alls d˚a Y regresserats utan de r kovariaten.

Under H₀ g¨aller sedan att

F ∈ F (r, n − k − 1).

F¨or specialfallet r = 1 ¨ar (10) ekvivalent med

F =

βˆ_i− β SE( ˆβ_i)

!

∈ F (1, n − k − 1). (11)

L˚at s_∗ vara den enligt (9) skattade standardavvikelsen d˚a de ovan n¨amnda r kovariaten satts till noll och s detsamma d˚a regressionen genomf¨orts enligt (2). D˚a s∗ < s verkar det allts˚a rimligt att s¨atta koefficienterna f¨or de r kovariaten till noll, eftersom variansen f¨or ˆβ_OLS d˚a minskar och skattningen blir s¨akrare. Ovanst˚aende olikhet g¨aller d˚a

|ˆe∗|²

n + r − k − 1 < |ˆe|² n − k − 1, som kan skrivas om till

|ˆe∗|²(n − k − 1) < |ˆe|²(n + r − k − 1), och vidare till

(n − k − 1)(|ˆe∗|²− |ˆe|²) < r|ˆe|². Vartefter olikheten

n − k − 1 r

 |ˆe∗|²− |ˆe|²

|ˆe|²



= F < 1 (12)

f¨or v¨ardet p˚a F erh˚alls, d¨ar H₀ kan accepteras och de r kovariaten plockas bort fr˚an modellen med f¨orminskad stickprovsvarians till f¨oljd.

2.3 R

och ¯ R

Variationen i (4) kan delas upp i tv˚a delar enligt

V ar(Y) = V ar(X ˆβ_OLS) + V ar(ˆe_OLS). (13) Betrakta nu kvoten

V ar(X ˆβ_OLS)

V ar(Y) = 1 − V ar(ˆe_OLS) V ar(Y) .

D˚a varianserna skattas enligt (9) , men n − k − 1 ers¨atts med n (ingen h¨ansyn tas till att korrigera f¨or skillnaderna i frihetsgrader) blir ovanst˚aende kvot den statistiska variabeln

R² = 1 − |ˆe|²

|Y − ¯Y|. (14)

Tas d¨aremot h¨ansyn till frihetsgraderna vid skattningen av varianserna erh˚alls R¯² = 1 − n − 1

n − k − 1

|ˆe|²

|Y − ¯Y|, (15)

som ben¨amns som den korrigerade R² variabeln.

B˚ade R² och ¯R² ¨ar m˚att p˚a andelen av den totala variansen, V ar(Y), som modellen kan f¨orklara med V ar(X ˆβ_OLS) och fungerar p˚a s˚a s¨att som en de- terminationskoefficient

.

2.4 Endogenitet

I avsnitten ovan antas alla k kovariat vara exogena, dessa kovariat antas inte vara korrelerade med feltermen i modellen (uppfyller (7)) utan anses ist¨allet vara best¨amda utanf¨or modellen. Motsatsen ¨ar d˚a ett eller flera kovariat ¨ar endogena och korrelerade med feltermen, d˚a g¨aller att E[e|X] 6= 0 och krite- rium (7) ¨ar inte uppfyllt. Under dessa f¨oruts¨attningar kommer ˆβ_OLS allts˚a enligt (6) inte vara v¨antev¨ardesriktig. Det visar sig att skattningen dessutom inte ens ¨ar konsekvent, i vilket fall E[ ˆβ_OLS] skulle konvergera mot β d˚a n → ∞. Det ¨ar allts˚a uppenbart att n¨arvaro av endogenitet skapar problem i regressionen.

Ett vanligt s¨att att hantera denna problematik ¨ar att anv¨anda sig av vari- abler som ¨ar beskrivande f¨or de u endogena kovariaten, E_v, v ∈ [1, 2, . . . , u],

men samtidigt inte korrelerade med felet, s˚a kallade instrumentella variabler.

Notera att E_v ∈ X.

Matrisen Z inf¨ors, inneh˚allande v¨arden f¨or n observationer av respektive kovariat enligt

Z =







1 w₁₁ . . . w_1m x^ex₁₁ . . . x^ex_1(k−u) ... ... . .. ... ... . .. ... 1 w_n1 . . . w_nk x^ex_n1 . . . x^ex_n(k−u)





,

d¨ar w_ij ¨ar v¨ardet p˚a observation i av ny variabel j och x^ex_ir ¨ar observation i av exogent givet kovariat r, i ∈ [1, 2, . . . , n], j ∈ [1, 2, . . . , m],r ∈ [1, 2, . . . , k −u].

F¨or att kovariatet som ˚aterfinns i den p:te kolonnen av Z, Z_p, skall vara ett anv¨andbart instrument f¨or E_v kr¨avs enligt ovan f¨oljande

• Z_p skall vara relevant, det vill s¨aga corr(Z_p, E_v) 6= 0.

• Zp skall vara exogent given, det vill s¨aga corr(Zp, e) = 0, d¨ar e ¨ar residualen i (2).

Det f¨orsta kravet inneb¨ar att instrumentens variation ¨ar lik variationen i den endogena variabeln och det andra att denna variation ¨ar exogen i (2). Att praktiskt isolera denna i modellen exogent givna variation har gjorts enligt 2SLS-metodiken.

Till en b¨orjan betraktas

E_v = Zγ + v (16)

d¨ar

γ = γ₀ γ₁ . . . γ_m+1+(k−u)
T

¨ar kofficienterna f¨or kovariaten Z d˚a X regresseras p˚a Z och v = v₁ v₂ . . . v_n
T

¨ar residualerna f¨or (16).

I regression (16) beskriver nu Zγ den del av E_vs variation som exogent kan beskrivas med instrumenten i Z och som d˚a allts˚a inte ¨ar korrelerad till e i (2). Den problematiska endogena delen av E_v finns allts˚a i v.

F¨or att isolera den exogena delen fr˚an den endogena, predikteras E_v med OLS-skattningen ˆγ enligt

Eˆ_v= Zˆγ, (17)

d¨ar felet ˆv allts˚a inte inverkar.

Eˆ_v ers¨atter sedan E_v i X som d¨arefter betecknas ˆX och (2) blir d˚a

Y = ˆXβ + u. (18)

OLS-skattningen av (18) kallas f¨or 2SLS-skattningen av β och betecknas h¨ar βˆ_2SLS. Skattningen ges i likhet med (5) explicit av

βˆ_2SLS = ( ˆX^TX)ˆ ⁻¹Xˆ^TY (19) Den sanna modellen f¨or Y ges av (2) och av det f¨oljer den sanna 2SLS- skattningen enligt

βˆ_2SLS = ( ˆX^TX)ˆ ⁻¹Xˆ^TXβ + ( ˆX^TX)ˆ ⁻¹Xˆ^Te. (20) Men eftersom det kan visas att ˆX^TX = ˆˆ X^TX blir ˆβ_2SLS konsistent d˚a

( ˆX^TX)ˆ ⁻¹Xˆ^Te → 0 d˚a n → ∞.

Den sanna kovariansmatrisen f¨or ˆβ_2SLS blir med (20) E[( ˆX^TX)ˆ ⁻¹Xˆ^Tee^TX( ˆˆ X^TX)ˆ ⁻¹] och den kovariansmatris som erh˚alls fr˚an (19),

( ˆX^TX)ˆ ⁻¹Xˆ^Tuu^TX( ˆˆ X^TX)ˆ ⁻¹ m˚aste d¨arf¨or multipliceras med kvoten

ˆ eˆe^T ˆ

uˆu^T = |ˆe|²

|ˆu|², d¨ar ˆe h¨amtas ur

ˆe = Y − X ˆβ_2SLS.

F¨oljden ¨ar att standardfelet f¨or kovariat j, SE( ˆβ_2SLS^j ), multipliceras med skal¨aren

s

|ˆe|²

|ˆu|² (21)

f¨or att bli riktig.

2.5 Homoskedasticitet och Heteroskedasticitet

Naturligtvis ¨ar antagandet om att data ¨ar homoskedastisk inte alltid san- ningsenligt. Motsatsen ¨ar heteroskedasticitet, d¨ar variansen f¨or residualerna skiljer sig fr˚an observation till observation, i detta fall g¨aller:

E[e²_i|X] = σ_i², i ∈ [1, . . . , n]

Efersom homoskedasticitetsantagandet enbart anv¨ands f¨or att skatta varian- ser (se ekvation (8)) kommer skattningen av β fortfarande vara

v¨antev¨ardesriktig och/eller konsistent, men standardfelen f¨or kovariaten kom- mer inte st¨amma ¨overens med verkligheten. Kovariansmatrisen f¨or ˆβ_OLS ser fortfarande ut som i (8), men E[ee^T] kan inte l¨angre antas vara Iσ². F¨or att korrigera f¨or heteroskedasticiteten anv¨ands l¨ampligenWhite’s heteroskedasti- citetskonsistenta skattare d¨ar f¨orst E[X^Tee^TX] skattas som

X^T









 ˆ

e²₁ 0 . . . 0 0 ˆe²₂ . . . 0 ... ... . .. ...

0 0 . . . ˆe²_n









 X

och kovariansmatrisen ges sedan som

Cov( ˆβ_OLS| X) = (X^TX)⁻¹

n

X

i=1

ˆ e²_ix^t_ix_i

!

(X^TX)⁻¹ (22) d¨ar

x_i= x_i0 x_i1 . . . x_ik
.

2.6 Transformation av beroende variabel

Om den beroende variabeln ¨ar av positiv natur (som ¨ar fallet med ett pris) kan den i (2) med f¨ordel logaritmeras. Ekvationen blir d˚a ist¨allet

ln Y = Xβ + e (23)

och n¨ar regressionen ovan k¨orts och skattningen av β erh˚allits kan resultatet omtolkas som

Y = e^{X ˆβOLS+ˆe}= e^X0βˆ0e^X1βˆ1. . . e^Xkβˆke^ˆe d¨ar

X_j = x1j x2j . . . xnj

T

.

P˚a s˚a s¨att ¨ar e^sβj faktorn f¨or hur mycket den beroende variabeln ¨andras d˚a v¨ardet p˚a kovariat j ¨okar eller minskar med s vid en ceteris paribus- j¨amf¨orelse, det vill s¨aga d˚a alla andra kovariat h˚alls konstanta.

3 Metod

I detta avsnitt beskrivs metodiken f¨or analysen av Systemprisets inverkan p˚a det svenska elspotpriset.

Eftersom Sverige i november 2011 delades in i fyra prisomr˚aden ist¨allet f¨or ett har det svenska elspotpriset efter denna uppdelning uppskattats som pri- set i prisomr˚ade SE2 efter inr˚adan fr˚an Vattenfall AB. Allts˚a g¨aller f¨oljande f¨or det svenska priset:

SE =

(SE0 f¨or dagar innan f¨orsta november 2011 SE2 f¨or dagar efter f¨orsta november 2011 .

3.1 OLS 1

Enligt avsnitt 1.2.2 beror den del av det svenska priset som inte kan beskri- vas med Systempriset p˚a ineffektivitet i form av kapacitetsbegr¨ansningar och regional obalans mellan produktion och konsumtion. Eftersom det ¨ar sv˚art att s¨atta v¨arden p˚a denna ineffektivitet beaktas ist¨allet f¨oljande regressions- modell

ln (SE)_i = β₀ + (SY S)_iβ₁+ e_i, i ∈ [1, 2, . . . , n],

d¨ar det syftas till att uppskatta hur stor del som faktiskt kan beskrivas av det nordiska Systempriset (SY S) som s¨atts enligt avsnitt 1.2.2. Av detta f¨oljer d˚a att felet i n˚agon mening beskriver den efters¨okta variansen som beror av ovan n¨amnda effektivitetsparametrar. Ovanst˚aende skrivs med f¨ordel om till

ln Y = Xβ + e (24)

med uppenbara beteckningar.

Enligt presenterad priss¨attningsmodellen ¨ar det tydligt att Systempriset ¨ar korrelerat med ett antal parametrar. D˚a dessa inte inkluderats som kovariat i (24) kommer de ist¨allet beskrivas av feltermen och d¨armed finns endogenitet i modellen och ˆβ_OLS blir enligt tidigare en inkonsistent skattning av β.

3.2 L¨ osning f¨ or endogeniten

F¨or de parametrar som antas vara korrelerade enligt ovan har data h¨amtats och beskrivs nedan.

• Nettoimport (Total import − Total export) av el f¨or Norge (N IN o), Finland (N I_{F in}), Danmark (N I_Dk) och Sverige (N I_SE) i M W h.²

• Priset p˚a r˚aolja i EU R/f at, (P_Olja).³

• Spotpriset p˚a Naturgas i EU R/M M Btu, (PGas).³

• Priset p˚a kol i EU R/ton, (P_Kol).⁴

• Priset i EU R f¨or utsl¨appsr¨atten av ett ton koldioxid, (PCO2).⁵

• Energi lagrad i Vattenreservoarerna i Norge (V R_{N o}), Finland V R_{F in} och Sverige V R_SE m¨att i GW h.²

• Konsumtionen av el i Norge (KN o), Finland (KF in), Sverige(KSE) och Danmark (K_Dk) i M W h.²

• Produktionen av el i Norge (P_{N o}), Finland (P_{F in}), Sverige(P_SE) och Danmark (PDk) i M W h.²

• Dygnsmedeltemperatur i Norge (T_{N o}), Finland (T_{F in}) och Sverige (T_SE).⁵ Observera att priserna f¨or r˚aolja, naturgas och kol har ¨oversatts fr˚an U SD till EU R med den vid tidpunkten aktuell v¨axelkursen. Detta eftersom priss¨attning och handel p˚a Nord Pool Spot sker i EU R. Priset p˚a ¨ovriga r˚avaror ¨ar fr˚an b¨orjan givet i r¨att valuta. Po¨angteras skall ¨aven att data f¨or de senast n¨amnda parametrarna samt vattenreservoarerna enbart kunnat anskaffas i veckouppl¨osning. F¨or att f˚a en dygnsuppl¨osning har respektive parameters dygnsv¨arde uppskattas vara veckov¨ardet. Datan f¨or l¨andernas temperaturer

¨ar viktade efter konsumtionsf¨ordelningen i landet. F¨or ett f˚atal dygn saknades viss temperaturdata. F¨or dessa uppskattades temperaturen med f¨oreg˚aende dygns v¨arde.

Det ¨onskas ocks˚a att korrigera f¨or elprisets periodicitet ¨over ˚aret. Detta g¨ors genom att inf¨ora dummyvariabler f¨or l¨ampligt f¨orskjutna kvartal. H¨osten anv¨ands som utg˚angspunkt och kovariaten blir d˚a

• (V inter) f¨or perioden December till Februari.

• (V˚ar) f¨or perioden Mars till Maj.

2Nord Pool Spot, 2012-04-22.

3U.S. Energy Information Administration, 2012-04-22.

4Bloomberg, 2012-05-03.

5Vattenfall AB, 2012-05-03.

• (Sommar) f¨or perioden Juni till Augusti.

En l¨osning skulle vara att inkludera alla ovan n¨amnda kovariat i (24) och p˚a s˚a s¨att bli av med korrelationen mellan Systempriset och feltermen men problem uppst˚ar d˚a med kovariaten f¨or produktion och konsumtion.

Eftersom producenterna och elhandlarna best¨ammer sitt utbud och sin ef- terfr˚agan efter hur de uppskattar att produktionen respektive konsumtio- nen kommer se ut, ¨ar antagandet att dessa parametrar ¨ar korrelerade med Systempriset rimligt. De bygger d¨aremot upp den obalans som leder till han- del mellan regionerna som i sin tur skapar f¨ortr¨angningar och kommer d¨arf¨or vara endogena om de inkluderas i (24).

Systempriset kommer d¨arf¨or vara korrelerat med feltermen direkt om produk- tion och konsumtion inte inkluderas (24) och via produktion och konsumtion om de inkluderas. Endogenitet kvarst˚ar d¨arf¨or ¨aven d˚a alla tillg¨angliga kova- riat inkluderas direkt. Det ¨onskas ist¨allet att isolera den del av Systempriset vars varians kan beskrivas av de kovariat som i sig inte ¨ar korrelerade med feltermen (exogent givna) fr˚an den varians som beskrivs av produktionen och konsumtionen. Detta genomf¨ors med 2SLS-metodiken enligt avsnitt 2.4. Det kvarst˚ar sedan att best¨amma l¨ampliga instrument fr˚an ovan listade kovariat.

3.2.1 L¨ampliga Instrument

F¨or att ett instrument skall anses l¨ampligt skall det uppfylla de tv˚a kraven st¨allda under avsnitt 2.4.

Nettoimporterna i respektive land uppfyller rimligtvis inget av villkoren. Dels eftersom Systempriset inte tar h¨ansyn till obalans i produktion och konsum- tion, som ¨ar det som kommer styra nettoimporterna, och dels f¨or att import- och exportm¨angden visar p˚a hur den individuella priss¨attningen f¨or de olika regionerna sker.

Kovariaten f¨or priserna p˚a olja, naturgas, kol och utsl¨appsr¨atter, som al- la v¨asentligen kan klassas som r˚avaror, verkar vara l¨ampligare instrument.

Eftersom parametrarna alla beh¨ovs i produktionen av el, verkar de rimligt att de ¨ar korrelerade med Systempriset. D˚a r˚avarorna k¨ops till samma pris i alla regioner verkar det ocks˚a orimligt att parametrarna skulle bidra till det faktum att produktionskapaciteten och konsumtionsviljan inte alltid ¨ar lika inom regionerna. Dessutom ger dessa priser inte upphov till fysiska be- gr¨ansningar i nordens eln¨at.

Eftersom vattenreservoarerna fungerar i stort sett som perfekta batterier vet elproducenterna precis n¨ar och hur mycket energi som kan utvinnas i form av vattenkraft. I och med denna vetskap kan de reglera sitt utbud p˚a Nord Pool Spot och p˚a s˚a s¨att p˚averka Systempriset, vilket inneb¨ar att parametrarna f¨or l¨andernas vattenreserver i h¨ogsta grad ¨ar korrelerade till Systempriset. Teore- tiskt skulle producenterna ¨aven kunna anv¨anda detta f¨or att skapa ett under- skott av energi lokalt och p˚a s˚a s¨att p˚averka den individuella priss¨attningen i regionerna. Men eftersom alla priser s¨atts enligt en utbud-efterfr˚agemodell skulle f¨ors¨aljningen minska, varf¨or incitament f¨or detta agerande saknas d˚a det bortses fr˚an m¨ojlig kartellbildning. Dessutom finns det b˚ade fysiska och juridiska hinder mot att reglera vattenniv˚an helt fritt.

D˚a det blir kallare kr¨avs mer energi f¨or att s¨orja f¨or bland annat uppv¨armning, d˚a m˚aste producenterna anv¨anda ¨aven dyrare energik¨allor som gas och ol- ja f¨or att kunna m¨ota efterfr˚agan. Eftersom detta g¨aller f¨or hela norden

¨

okar Systempriset d˚a temperaturen sjunker. Det antas att producenternas m¨ojlighet att m¨ota r˚adande efterfr˚agan inte f¨or¨andras med temperaturen, utan att den f¨or¨andring som sker i konsumtion t¨acks upp av dyrare energi- nalternativ. Temperaturerna i de nordiska l¨anderna kan allts˚a rimligen accep- teras som instrument. Med samma argument antas ¨aven s¨asongskovariaten vara l¨ampliga.

3.3 2 SLS

Med argument enligt ovan och teori enligt (16) st¨alls f¨oljande modell upp f¨or att isolera den exogena delen av variationen i (SY S):

(SY S_i) = γ₀+ (V inter_i)γ₁+ (V˚ar)γ₂+ (Sommar_i)γ₃ + (P_Olja,i)γ₄+ (P_Gas,i)γ₅+ (P_Kol,i)γ₆+ (P_CO2)γ₇ + (V R_{N o,i})γ₈+ (V R_{F in,i})γ₉+ (V R_SE,i)γ₁₀ + (T_{N o,i})γ₁₁+ (T_{F in,i})γ₁₂+ (T_SE,i)γ₁₂+ v_i

(25)

d¨ar i ∈ [1, 2, . . . , n]. Ovanst˚aende skrivs precis som tidigare om till

X₁ = Zγ + v (26)

d¨ar

X₁ = (SY S1) (SY S2) . . . (SY Sn)
T

vartefter OLS-skattningen ˆ

γ = ˆγ₀ γˆ₁ . . . ˆγ₁₂

erh˚alls. D¨arefter st¨alls nollhypoteserna H₀ⁱ : γ_i = 0, i ∈ [1, 2, . . . , 12] upp.

Eftersom kvantiteten av varan, vars pris ¨ar v˚ar beroende variabel, ¨ar samma i alla observationer (varje dag) ¨ar det rimligt att anta att modellen ¨ar homos- kedastisk. Enligt avsnitt 2.2 som behandlar F -testet g¨or detta det m¨ojligt att anv¨anda (10) eller (11) f¨or att testa H₀ⁱ: mot H₁ⁱ : γ 6= 0. Beslut om hur vida γ_i skall plockas bort fr˚an (25) tas genom att betrakta F_i och utnyttja olikheten (12). D¨arefter regresseras Systempriset ˚aterigen, men denna g˚ang utan de instrument som enbart f¨ors¨amrar noggrannheten. Proceduren upp- repas tills ett s˚adant ˆγ erh˚alls, att elementen enbart inneh˚aller koefficienter vars F -v¨arde ¨overstiger ett. Denna skattning betecknas ˆγ2SLS.

Systempriserna predikteras d¨arefter som

Xˆ₁ = Zˆγ_2SLS. (27)

D¨arefter tas skattningen ˆβ_2SLS och den korrigerade kovariansmatrisen f¨or denna fram i enlighet med tidigare beskriven procedur. Dessutom ber¨aknas med hj¨alp av MATLAB (se Bilaga 1) den heteroskedasticitetskonsistenta ko- variansmatrisen och varianserna i denna j¨amf¨ors med varianserna i den d¨ar homoskedasticitet antagits.

Skattningen ˆβ_2SLS av β b¨or ligga n¨armare verkligheten ¨an ˆβ_OLS, detta, tillsammans med White’s korrektion ger ett noggrannare v¨arde f¨or ¯R² ¨an innan endogenitet- och heteroskedasticitetskorrektionen. Detta ¯R², tillsam- mans med ˆβ_2SLS anv¨ands sedan till att f¨ors¨oka besvara de st¨allda fr˚agest¨allningrna.

4 Resultat

Resultaten kommer att presenteras stegvis enligt medtodbeskrivningen och regressioner presenteras i tabeller vars inneh˚all beskrivs i Tabell 1.

Tabell 1: Modell f¨or presentation av regression.

βˆ_k βˆ_k−1 . . . βˆ₁ βˆ₀ SE( ˆβ_k) SE( ˆβ_k−1) . . . SE( ˆβ₁) SE( ˆβ₀)

R² σˆ

F #df

| ˆY − ¯Y | |ˆe|² R¯²

4.1 OLS 1

I den f¨orsta regressionen, d¨ar det svenska elspotpriset regresseras p˚a System- priset, enligt (24), ¨ar det resultat som ¨ar av intresse

R¯² = 0, 9049463,

de andra resultaten ¨ar i sammanhanget ointressanta d˚a Systemprisetet antas vara endogent.

4.2 2 SLS

4.2.1 Regression av systempris p˚a instrument

Efter att Systempriset regresserats enligt (25) f˚ar de kovariat som presenteras i Tabell 2 ett F-v¨arde som mindre ¨an ett och tas d¨armed i enlighet med (12) bort fr˚an regressionen av Systempriset.

Tabell 2: F-v¨arde mindre ¨an ett T_{N o} V˚ar F-v¨arde 0,736106 0,124400

Skattningarna av standardavvikelsen, enligt (9), har som v¨antat minskat d˚a korvariaten ovan tagits ur modellen, se Tabell 3.

Tabell 3: Skattning av standardavvikelsen ˆ

σ₁ σˆ₂ 8,399442 8,393604

F¨or regressionen av Systempriset, utan kovariaten i Tabell 2, erh˚alls ocks˚a R¯² = 0, 688110097.

Fullst¨andigt resultat av ovanst˚aende regressioner kan ses i Bilaga 2.

4.2.2 Regression av svenska priset p˚a det predikterade System- priset

Resultat av regressionen p˚a svenska priset, d¨ar Systempriset ersatts med det predikterade Systempriset, ges i Tabell 4.

Tabell 4: Resultat av regression p˚a svenska priset med predikterat systempris SY S[ Intercept

0,022155299 2,775026378 0,000675858 0,034108348 0,568991623 0,24150148 1074,594384 814 62,67353039 47,4748933 0,567932635

Det som ¨ar markerat med fetstil ovan ¨ar elementen i ˆβ_2SLS och det under- strukna ¨ar ¯R² f¨or regressionen.

I Tabell 5 presenteras standardfelen d˚a de korrigerats enligt (21) och homos- kedasticitet antagits.

Tabell 5: 2SLS-korrigerade standardfel SY S[ Intercept

SE( ˆβ_2SLS¹ ) SE( ˆβ_2SLS⁰ ) 0,000320567 0,016177988

I Tabell 6 ses standardfelen f¨or ˆβ_2SLS d˚a kovariansmatrisen ist¨allets skattats enligt (22), det vill s¨aga d˚a vi till˚atit heteroskedasticitet och korrigerat f¨or denna.

Tabell 6: White’s korrigerade standardfel SY S[ Intercept

SE( ˆβ_2SLS¹ ) SE( ˆβ_2SLS⁰ ) 0,000617791 0,03177608

5 Diskussion

Vi kan se att ¯R² f¨or skattningen ˆβ_OLS ¨ar v¨aldigt h¨og. Detta ger intrycket att det svenska priset beskrivs v¨aldigt v¨al av Systempriset. Men d˚a ¯R² f¨or βˆ_2SLS betraktas ¨ar det uppenbart att det f¨orsta v¨ardet inte ¨ar tillr¨ackligt n¨ara verkligheten. Genom korrektion f¨or Systemprisets endogenitet och d˚a h¨ansyn tagits till den heteroskedasticitet som resultatet pekar p˚a b¨or ˆβ_2SLS ligga n¨armare verkligheten. Eftersom ¯R² enligt teorin s¨ager hur stor del av totala variationen som beskrivs av X ˆβ kommer d˚a ocks˚a det ¯R² som erh˚alls efter korrektioner ligga n¨armare det sanna.

5.1 Felk¨ allor

5.1.1 Data

I b¨orjan avsnittet f¨or analysens metodik har viss begr¨ansning och manipule- ring av data beskrivits. Detta kan inneb¨ara ett mer eller mindre stort problem f¨or modellen. Exempelvis misst¨anker vi att volatiliteten f¨or vattenst˚andet och priserna p˚a v˚ara r˚avaror ¨ar h¨ogre ¨an vad som p˚a ett fullt tillfredsst¨allande s¨att kan beskrivas av veckouppl¨ost data. Skulle detta vara fallet kommer en del variation givetvis undertryckas och p˚a s˚a s¨att f¨ors¨amra precisionen i v˚ar modell. Vad g¨aller temperaturdata b¨or den manipulation vi gjort inte inneb¨ara n˚agra st¨orre problem eftersom temperaturens variation i tiden ¨ar relativt f¨oruts¨agbar och extrema variationer av dygnmedeltemperatur fr˚an dag till dag ¨ar inte troliga.

5.1.2 Antaganden

De antaganden som gjorts under arbetets g˚ang vilka kan anses som relativt starka ¨ar antagandet om heteroskedasticitet f¨or Systempriset och antagan- dena om instrumentens validitet. Argumentet som presenteras redan d˚a det f¨orsta av n¨amnda antaganden g¨ors motverkas av det faktum att det svens- ka priset efter korrektion visar p˚a att heteroskedasticitet verkar f¨orekomma.

Detta i sin tur skulle kunna f¨ors¨amra F -testens precision med m¨ojlig exklude- ring av tillr¨ackligt starka instrument som f¨oljd. Med tanke p˚a den v¨aldigt l˚aga gr¨ansen p˚a F -v¨ardet f¨or uteslutning av instrument b¨or dock det ovan n¨amnda enbart resultera i marginell precisionsf¨orlust. De instrument vi misst¨anker vara minst l¨ampliga ¨ar kovariaten f¨or de nordiska temperaturerna. Motive- ringen f¨or att dessa skulle vara exogent givna d˚a svenska priset regresseras p˚a Systempriset kan ifr˚agas¨attas. V˚art antagande bygger p˚a att det ¨ar rim- ligt att det relativa lokala behovet av att importera el inte f¨or¨andras under

˚aret. Regionerna tros allts˚a s¨orja f¨or att det finns reservkraftverk att k¨ora vid behov, men detta ¨ar ett mindre s¨akert antagande fr˚an v˚ar sida.

5.2 Slutsats

Genom att betrakta det slutgiltiga ¯R² i resultatet (avsnitt 4.2.1) kan vi med v˚ar data uppskatta att ungef¨ar 60% av svenska elspotprisets varians beror p˚a det nordiska Systemprisets varians. Enligt den priss¨attningsmodell som be- skrivits b¨or detta inneb¨ara att de ¨ovriga 40% av f¨or¨andringarna kan beskrivas av begr¨ansningar i kraftn¨atet och lokal obalans i produktion och konsumtion i de nordiska prisomr˚adena. Detta visar p˚a att det nordiska kraftn¨atet i da- gens form inte klarar av det fl¨ode som uppst˚ar p˚a grund av att all produktion inte sker d¨ar energin konsumeras. F¨or att l¨osa detta problem kan man an- tigen bygga bort flaskhalsar fr˚an kraftn¨atet eller allokera om produktion s˚a att den finns d¨ar konsumtionen sker. Det senare ¨ar praktiskt genomf¨orbart genom att till exempel fylla bristomr˚aden med kraftverk som drivs av fossila br¨anslen. Detta ¨ar d¨aremot varken ekonomiskt f¨orsvarbart eller l˚angsiktigt och milj¨om¨assigt h˚allbart.

6 Referenslista

Bildreferenser

• Nord Pool Spot. System price calculation.

Tillg¨anglig: http://www.nordpoolspot.com/PageFiles/2220/system-price- calcultaion.gif (2012-05-07).

• Energimarknadsinspektionen. Prisbildning och konkurrens p˚a elmark- naden ER 2006:13. 2006-04-12.

Tillg¨anlig: http://www.energimarknadsinspektionen.se/sv/Publikationer/Rapporter- och-PM/rapporter-2006/prisbildning-och-konkurrens-pa-elmarknaden/

(2012-05-17).

Datareferenser

• Produktion, konsumtion, nettoimport, vattenreservoarer, systempriset och svenska elspotpriset: Nord Pool Spot. 2012-04-22.

Tillg¨anglig: http://www.nordpoolspot.com/Market-data1/Downloads/Historical- Data-Download1/Data-Download-Page/ (2012-04-22).

• Utsl¨appsr¨attspriser och temperaturdata:Vattenfall AB. 2012-05-03.

• Naturgaspris: U.S. Energy Information Administration. 2012-04-22.

Tillg¨anglig: http://205.254.135.7/dnav/ng/hist/rngwhhdd.htm (2012- 04-22)

• Oljepris: U.S. Energy Information Administration. 2012-04-22.

Tillg¨anglig: http://205.254.135.7/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx?n

=PET&s=RBRTE&f=D (2012-04-22)

• Kolpris: Bloomberg. 2012-05-03.

Tillg¨anglig: http://www.bloomberg.com/quote/CLSPAUNE:IND (2012- 05-03)

Ovriga referenser ¨

• Sifounders¨okning. Elf¨orbrukning. 2012-02-13.

Tillg¨anglig: http://www.tns-sifo.se/media/354953/eon.pdf (2012-04-26)

7 Bilagor

Bilaga 1: Matlabkod f¨ or utr¨ akning av Whtie’s heteroskedastici- tetsjusterade Kovariansmatris.

% Matlabprogram f¨or utr¨akning av White’s heteroskedasticitetsjusterade

% Kovariansmatris.

% Daniel Boros 900711-4995

% Viktor Joelsson 880405-0535

% 17-05-2012

clc, close all, clear all format long

%L¨aser in data inneh˚allande X och e.

e_X=xlsread(’Cov_2SLS_formac’);

% Skapar egen vektor ˚at felet.

e = e_X(:,1);

% Genererar vektor f¨or x0i.

temp = ones(length(e),1);

% Bygger ihop X.

X = [temp e_X(:,2:end)];

% Definierar matris

White = zeros(size(X,2),size(X,2));

%R¨aknar ut Whites skattning av E[ee’]

for n = 1:length(e)

temp_2 = e(n)^2*X(n,:)’*X(n,:);

White = White+temp_2;

end

% R¨aknar ut hela kovariansmatrisen.

Cov = inv(X’*X)*White*inv(X’*X);

% Definierar vektor f¨or de korrigerade varianserna.

NX_2 = [];

% H¨amtar de korrigerade varianserna for n=1:size(X,2)

NX = sqrt(Cov(n,n));

NX_2 = [NX NX_2];

end

Bilaga 2: 2SLS-regressionerna.