DEGREE PROJECT, IN STEEL STRUCTURES , SECOND LEVEL STOCKHOLM, SWEDEN 2014
Momentbärförmåga för semikompakta ståltvärsnitt av HSQ-balkar
EN MODELL FÖR INTERPOLERING MELLAN EUROKODENS KLASS 2 OCH 3
KRISTIN ARBMAN KARLSSON OCH SIMON BUDDENBAUM GLANS
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY
SKOLAN FÖR ARKITEKTUR OCH SAMHÄLLSBYGGNAD
Sammanfattning
I de för närvarande gällande normerna för dimensionering av stål delas stålbalkar in i fyra tvärsnittsklasser utifrån tvärsnittsdelarnas slankheter. Beroende av vilken tvärsnittsklass ett tvärsnitt tillhör så beräknas bärförmågan antingen utefter en plastisk, elastisk eller en reducerad elastisk beräkningsmodell. Indelningen mellan de tvärsnitt som beräknas som plastiskt respektive elastiskt sker i dagsläget väldigt strikt utan någon mjuk övergång. Detta leder till att den beräknade bärförmågan för tvärsnitt som ligger vid tvärsnittsklassernas gränser kan skilja väldigt mycket beroende på vilken sida om tvärsnittsgränsen de hamnar. Elastoplastiska tvärsnitt beräknas i dagsläget som rent elastiska och den stora plastiska reserv i bärförmåga som finns i dessa beaktas alltså inte i de nuvarande normerna. Syftet med detta arbete har varit att ta fram en lämplig interpoleringsmodell för elastoplastiska tvärsnitt vilken ger en finare övergång mellan det plastiska och elastiska området.
För att verifiera den föreslagna interpoleringsmodellen har en rad olika balkar med varierande slankheter modellerats i FEM-programmet Abaqus. Balkarna har begränsats till att endast innefatta enkelspända HSQ-balkar. De resultat som erhölls visade sig tyda på att Eurokoden generellt sett tycks överskatta bärförmågan för de plastiska tvärsnitten i tvärsnittsklass 1 och 2, i vissa fall med upp till 10%. Med denna insikt styrdes fokus om från arbetet med en tänkt interpoleringsmodell till att istället närmare undersöka riktigheten för Eurokodens satta tvärsnittsgränser. Överlag visar resultaten på att Eurokoden överskattar bärförmågan mer desto närmare det elastiska området i tvärsnittsklass 3 tvärsnitten rör sig. Sedan övergår bärförmågan tvärt till att underskattas vid övergången från den plastiska beräkningsmodellen till den elastiska, vilket i sin tur påvisar avsaknaden av en interpoleringsmodell.
Det finns en rad tänkbara orsaker till varför Eurokoden tycks överskatta bärförmågan i vissa fall.
Störst inverkan verkar valet av initialbucklornas storlek ha på resultaten. Det är möjligt att den i Eurokoden valda storleken ligger för långt ifrån de tillåtna tillverkningstoleranser som faktiskt kan förekomma i verkligheten. Även andra faktorer som val bucklingslängder då slankheten bestäms och inverkan av egenspänningar kan påverka den slutliga bärförmågan.
Med tanke på de avgränsningar som gjorts i detta arbete ska inte för stora slutsatser dras men resultaten tyder ändå på att det finns brister i Eurokodens tvärsnittsklassning och att vidare efterforskningar bör utföras.
Summary
The current standards for design of steel beams are divided into four classes based on the
slenderness of cross-sectional parts. Depending on the section class a beams load capacity is either determined by a plastic, elastic or a reduced elastic model. The division between cross-sections calculated by a plastic and an elastic model is today done in a very harsh way with no smooth transition. This leads to a large difference in the calculated resistance for the sections located near the class limits. Elasto-plastic sections are in the current situation calculated as purely elastic and their large plastic reserve is not considered in the current standards. The ambition of this study was to develop an appropriate interpolation model for elasto-plastic sections which gives a finer
transition between the plastic and elastic region.
To verify the proposed interpolation model were a large range of beams with varying slenderness modeled in the FEM program Abaqus. The beams have been restricted to include only simply
supported HSQ-beams. The results obtained were found to indicate that Eurocode generally seem to overestimate the capacity of plastic cross-sections in section class 1 and 2, in some cases by up to 10%. With this insight focus ruled over from the interpolation model to instead look closer into the accuracy of the limit values in Eurocode. Overall, the results points to that Eurocode overestimate the bearing capacity the closer the elastic area you get. In the elastic area the load capacity instead shifts into being underestimated, which in turn shows the lack of an interpolation model.
There are a number of possible reasons why Eurocode seems to overestimate the bearing capacity in some cases. The largest impact on the results seems to be the initial deflection of the internal parts.
It is possible that the introduced deflection in Eurocode is too far from the allowable manufacturing tolerances that can actually occur in reality. Other factors such as choice of buckling lengths when the slenderness is determined and the effect of residual stresses may also affect the ultimate load bearing capacity.
Too big conclusions should not be made by the results of this study given the limitations made, but the results nevertheless indicate that there are deficiencies in the classification of cross-sections in Eurocode and that further research should be carried out.
Förteckning över använda tecken
Gemener
b bredd plåtdel, mm
c bucklingslängd plåtdel, m fu Stålets brottgräns, Pa fy Stålets sträckgräns, Pa
h Tvärsnittshöjd, mm
k Plasticitetsfaktor för plåtdel
l Balklängd, m
t tjocklek plåtdel, mm
Versaler
A Tvärsnittsarea, mm2
ä
ä
Af Flänsarea, mm2
E Elasticitetsmodul, Pa
F Kraft, N
K Styvhetsmatris
L Längd balkdel, m
M Böjmoment, Nm
Q Last, N
Wc Tvärsnittets böjmotstånd med avseende på tryckt kant, m3 Wt, Tvärsnittets böjmotstånd med avseende på dragen kant, m3 Z Tvärsnittets plastiskta böjmotstånd, m3
Grekiska tecken
βf, Slankhetskvot för fläns βw Slankhetskvot för liv
ε Kvot mellan aktuell spänning och referensspänning
ε Töjning
κ Plasticitetsfaktor för fläns κ Plasticitetsfaktor för liv
Egenvärde
η formfaktor
Densitet, kg/m3
Spänning, Pa
Poissons tal
Egenvektor
ωb reduktionsfaktor med hänsyn till vippning
1
1 Innehåll
2 Bakgrund ... 3
2.1 Syfte och mål med arbetet ... 3
2.2 Avgränsningar ... 3
2.3 Metoder för arbetet ... 4
3 Tvärsnittsklassning av ståltvärsnitt idag ... 4
4 Befintliga interpoleringssystem ... 7
4.1 De gamla svenska normerna ... 8
4.1.1 Interpolering mellan BSKs tvärsnittsklass 1 och 2 ... 8
4.2 SEMI-COMP och SEMI-COMP+ ... 11
4.2.1 Klassificeringssystem och beräkningsmetod ... 11
4.2.2 Bakomliggande tester för modifierat böjmotstånd ... 12
5 Interpolering mellan plastisk och elastisk analys ... 15
5.1 Interpolationshypotes ... 15
5.2 Finita elementmodelleringar ... 16
5.2.1 Abaqus ... 16
5.2.2 Metod ... 18
5.2.3 Modellerade fall ... 30
6 Resultat ... 35
6.1 Inverkan av elementstorlek ... 35
6.2 Inverkan av imperfektioner ... 35
6.3 Inverkan av egenspänningar ... 36
6.4 Kontroll av Eurokodens beräkningsmodell ... 36
2
7 Diskussion och slutsats ... 39
7.1 Tvärsnittsdelarnas inverkan på bärförmågan ... 39
7.2 Möjliga orsaker till Eurokodens överskattning av bärförmåga ... 39
7.3 Tvärsnittsgränser ... 40
7.4 Förslag till fortsatt arbete ... 41
8 Referenser ... 42
Bilaga A – Tvärsnittsberäkningar Bilaga B – Skriptfiler
Bilaga C - Resultat
3
2 Bakgrund
Idag delas enligt gällande normer stålbalkar in i strikta tvärsnittsklasser. (SS-EN 1993-1-1. 2005) Detta gör att balkar som ligger precis på gränsen mellan två klasser kan få ett avsevärt lägre beräknat hållfasthetsvärde än de i verkligheten har. Det gäller framförallt de balkar som ligger mellan tvärsnittsklass 2 och tvärsnittsklass 3. Denna gränsdragning, som beskrivs mer ingående i avsnittet nedan, beror av balkens förmåga att utveckla sin plastiska momentbärförmåga. Balkar ingående i tvärsnittsklass 3 antas utsättas för lokal buckling innan den plastiska bärförmågan uppnås. För balkar i tvärsnittsklass 2 antas däremot att balken kan utnyttja hela sin plastiska momentbärförmåga innan lokal buckling uppstår. (Johansson, B. 1995) Eftersom den senare inte riskerar att buckla kan balktvärsnitt i klass 2 beräknas med en plastik modell medan balktvärsnitt i klass 3 måste beräknas med en elastisk modell. Skillnaden mellan dessa två modeller är dock ganska stor varför balkar i tvärsnittsklass 3 får en avsevärt lägre bärförmåga. Risken för lokal buckling minskar däremot ju närmre tvärsnittsklass 2 balken är. En balk som ligger på gränsen mot tvärsnittsklass 2 skulle därför kunna få en betydligt högre bärförmåga om hänsyn tas till att en stor del av den plastiska bärförmågan hinner utvecklas innan buckling uppstår. Detta är dock inget som beaktas idag.
Det finns idag en efterfrågan på ett bättre system för klassificering av stålbalkar. Det finns planer på att införa ett interpoleringssystem för tvärsnittsklassning och en kommitté är tillsatt för att utreda saken. Utredningen tycks dock för tillfället inte vara särskilt prioriterad trots en efterfrågan i branschen.
2.1 Syfte och mål med arbetet
Syftet med detta arbete kommer vara att ta fram en relevant interpolering mellan tvärsnittsklass 2 och tvärsnittsklass 3 för att på ett bättre sätt kunna utnyttja stålets hållfasthet än vad som idag görs.
Den interpoleringsmodell som tas fram syftar till att hjälpa konstruktörer att på ett enkelt sätt kunna utnyttja stålets hållfasthet bättre och därmed kunna minska stålmängden i en konstruktion. Det är viktigt att modellen ger ett resultat som stämmer med den verkliga balken för att undvika brott. En överskattning av balkens bärförmåga skulle kunna ge katastrofala följder.
2.2 Avgränsningar
Arbetet kommer att begränsas till att enbart omfatta enkelspända HSQ-balkar. Detta då ett interpoleringssystem som fungerar för alla tänkbara balktvärsnitt skulle bli alldeles för stort och tidskrävande att finna. De modeller som tas fram för denna specifika typ av balk kan dock med stor sannolikhet också användas till dimensionering av andra balktvärsnitt. Det är inget som kommer att utredas här utan kräver vidare undersökningar.
Att just HSQ-tvärsnittet valts i detta arbete beror på att det är ett vanligt tvärsnitt inom det prefabricerade byggandet som i sin tur är ett byggande på frammarsch. Vidare så riskerar det
4 aktuella tvärsnittet ofta att hamna mellan klass 2 och klass 3 eftersom dimensionerna anpassas efter bjälklagens tjocklek och kan utformas i oändligt många kombinationer till skillnad från standardprofiler som ofta är framtagna så att de ligger i någon av de två första klasserna.
Interpoleringsmodellen kommer att begränsas till att endast gälla mellan tvärsnittsklass 2 och tvärsnittsklass 3 då detta är det intervall som ger störst tappet i bärförmåga. Det är därför i just detta intervall som ett interpoleringssystem kan komma till störst användning då reduktionen av stålmängden i vissa fall kan bli relativt stor i jämförelse med beräkningar enligt de strikta tvärsnittsklasserna.
2.3 Metoder för arbetet
Arbetet kommer att utformas som dels en litteraturstudie av befintliga studier och rapporter dels som ett praktiskt arbete med simuleringar av ett antal egna tvärsnitt.
Som en del i litteraturstudien kommer också andra redan befintliga interpoleringssystem att undersökas, exempelvis finns system för interpolering mellan tvärsnittsklasser i de tidigare svenska normerna (Höglund, T. 1985). Dessa har sedan legat som grund till den del av eurokoden som behandlar dimensionering av aluminium, där ett system för interpolering av tvärklasser redan finns (SS-EN 1999-1-1. 2007). Denna norm gäller inte för vanligt konstruktionsstål men skulle kunna användas som ett referenssystem.
I detta arbete kommer också att inkluderas egna tester av balktvärsnitt genom finita elementberäkningar av HSQ-balkar med olika dimensioner.
3 Tvärsnittsklassning av ståltvärsnitt idag
Stål är ett elastoplastiskt material vilket innebär att det är elastiskt upp till en viss gräns, den s.k.
sträckgränsen fy. Sträckgränsen är den lägsta spänningen som orsakar en permanent deformation.
Denna gräns är ofta svår att bestämma exakt varför den vanligen definieras som den spänning som krävs för att orsaka en kvarstående töjning på 0,2 %. (Johansson, B. 1995)
Fram tills dess att sträckgränsen uppnås i den tryckta kanten beter sig materialet således elastiskt vilket innebär att tvärsnittet återgår till sin ursprungliga form efter avlastning, utan några kvarstående deformationer. Under Bernoullis antagande om att plana tvärsnitt förblir plana kommer därmed töjningsfördelningen att variera rätlinjigt över höjden och en triangulär spänningsfördelning erhålls över tvärsnittet, figur 1a. (Johansson, B. 1995)
När sträckgränsen nås slutar materialet att bete sig elastiskt och börjar istället att plasticeras. De deformationer som fås i materialet efter att sträckgränsen har uppnåtts blir bestående och återgår inte efter avlastning. Spänningsfördelningen övergår från den triangulära till en rektangulär spänningsfördelning, figur 1b. (Johansson, B. 1995)
5 Allteftersom fler fibrer når sträckgränsen ökar plasticeringen och då alla fibrer nått sträckgränsen är tvärsnittet helt genomplasticerat, vilket ger en helt rektangulär spänningsfördelning, figur1c.
(Johansson, B. 1995)
Figur 1: Spänningsfördelning för a) elastiskt tvärsnitt b) elastoplastiskt tvärsnitt och c) plastiskt tvärsnitt
En balk eller pelares bärförmåga beror dock inte enbart på stålets sträckgräns utan begränsas även av utformningen på dess tvärsnitt. Full bärförmåga kan endast uppnås om samtliga tryckbelastade delar på tvärsnittet är tillräckligt korta och knubbiga så att de inte bucklar innan full plasticering uppnåtts. Hur lätt en tryckt tvärsnittsdel bucklar beror i huvudsak på följande tre parametrar:
o Slankheten på de plana plåtdelarna. Slankhetstalet, det vill säga kvoten mellan bredden c och tjockleken t på respektive plåtdel indikerar hur känslig plåten är för buckling. Givet i övrigt samma förhållanden vad gäller upplagsförhållanden och spänningsfördelning är en plåtdel med högt slankhetstal känsligare för buckling än en med lägre.
o Upplagsförhållandena för respektive plåtdel, det vill säga hur många ränder plåten är styrd längs. En plåt styrd längs två ränder, till exempel flänsen i ett lådtvärsnitt bucklar inte lika lätt som en plåt med en fri rand, till exempel flänsen på en I-balk.
o Spänningsfördelningen över plåtdelens bredd då en rektangulär spänningsfördelning är betydligt värre än en triangulär.
För att bärförmågan ska kunna beräknas för en given balk delas i Eurokod 3 ståltvärsnitt in i fyra klasser efter när buckling uppstår. I de två första klasserna, tvärsnittsklass 1 (TVK1) och tvärsnittsklass 2 (TVK2) hinner vid plåtdelen plasticeras fullständigt innan plåten bucklar. Detta gäller för ett tvärsnitt som är moment och normalkraftsbelastat. Skillnaden mellan de båda klasserna är att en plåtdel i TVK1 även kan uppnå full plasticering innan någon plåtdel bucklar med hänsyn till rotation. Vilket inte är inte fallet för tvärsnittsklass 2. För plåtdelar i tvärsnittsklass 3 (TVK3) uppstår buckling innan full plastisk bärförmåga uppnåtts och därför antas bärförmågan vara den elastiska.
Dock är detta ett antagande på säkra sidan eftersom en viss del av den plastiska bärförmågan har hunnit uppnåtts och plåtdelen därmed har en bärförmåga någonstans mellan den plastiska och den elastiska. I den sista klassen, tvärsnittsklass 4 (TVK4) bucklar plåtdelen redan innan den första fibern uppnått sträckgränsen. Därför måste tvärsnittets area reduceras till enbart den obucklade arean innan bärförmågan kan beräknas. Gränserna för de respektive tvärsnittsklasserna anges som en kvot mellan längd och tjocklek och jämförs sedan med en gräns som är beroende av stålkvalitet,
6 spänningsfördelning och plåtens placering. Indelningen kan för inre delar kan ses i figur 2 och för yttre delar i figur 3. (Johansson, B. 1995)
Figur 2: Tvärsnittsklassning för inre tryckta delar styrda längs två ränder (SS-EN 1993-1-1, 5.5. 2005)
7
Figur 3: Tvärsnittsklassning för yttre tryckta delar styrda längs en rand (SS-EN 1993-1-1, 5.5. 2005)
4 Befintliga interpoleringssystem
Även om Eurokoden för stål i dagsläget inte tar någon hänsyn till den del av den plastiska bärförmågan som eventuellt finns kvar i ett tvärsnitt som bucklat innan den fulla plastiska bärförmågan uppnåtts finns det system för hur denna skulle kunna beräknas. Några exempel på detta är de gamla svenska normerna och ett nyare projekt, SEMI-COMP/SEMI-COMP+. Dessa två beskrivs närmare i följande stycken.
8
4.1 De gamla svenska normerna
I den norm som tidigare användes i Sverige, BSK 07, fanns precis som i Eurokoden indelning i olika tvärsnittsklasser. Detta skedde precis som idag med ett antal gränsvärden för slankhet med hänsyn till lokal buckling. Dock skedde indelningen bara i tre klasser. Till tvärsnittsklass 1 hörde de tvärsnitt som kan uppnå full plasticering innan någon del hunnit buckla. Till tvärsnittsklass 2 hörde de tvärsnitt där sträckgränsen hunnit uppnås i den delen av tvärsnittet med högst tryckbelastning innan någon del hunnit buckla. Övriga tvärsnitt tilldelades tvärsnittsklass 3. Det är alltså den tvärsnittsklass som tidigare kallades för tvärsnittsklass 2 som är likvärdig med den som idag kallas för tvärsnittsklass 3 och beräknas med en elastisk analys. Dock fick bärförmågan hos den gamla tvärsnittsklass 2 ökas genom en interpolering. (Höglund, T. 1985)
4.1.1 Interpolering mellan BSKs tvärsnittsklass 1 och 2
Bärförmåga vid böjande moment beräknades enligt BSK enligt nedan. (Höglund, T. 1985) För dimensionering används det minsta momentet.
= ∗ ∗ (1)
= ∗ ∗ ∗ (2)
Där ekvation 1 gäller för dragen kant och ekvation 2 för tryckt kant.
Wt,Wc = tvärsnittets böjmotstånd med avseende på dragen respektive tryckt kant.
η = formfaktor
ωb = reduktionsfaktor med hänsyn till vippning
Formfaktorn, η, är en kvot som beskriver förhållandet mellan det plastiska och det elastiska böjmotståndet. Förhållandet är beroende av den tryckta flänsen och livets slankheter. Slankheterna beskrivs med hjälp av ett varsitt β-värde, βf, βw som beräknas enligt ekvation 3 och 4.
=
(3)
=
(4)
9 Där
bf , bw = flänsplåten respektive livplåtens bredd tf , tw = flänsplåten respektive livplåtens tjocklek
Tvärsnittsklasserna som funktion av slankheterna beskrivs enligt figur 4 nedan.
Figur 4: Tvärsnittsklasser som funktion av slankheterna (Höglund, T. K18:42b. 1985).
Där
Z = plastiskt böjmotstånd W = elastiskt böjmotstånd
β= 0,3 ∗ (5)
10 β = 0,44 ∗ (6)
β = 2,4 ∗ (7)
β = 3,2 ∗ κ∗ (8) κ = 2,5 − 1,5 ∗%%&
&'( (9)
I område 1 kan alla tvärsnitt uppnå full plasticering och formfaktorn, η är därmed kvoten mellan det plastiska och det elastiska böjmotståndet. Gränsen till område 1 utgörs av de plastiska slankheterna βwpl och βfpl. Område 3 innehåller tvärsnitt som bucklar innan elastisk bärförmåga uppnåtts vilket ger en formfaktor, η mindre än 1. Detta område behandlas dock inte närmare inom ramen för detta arbete. Gränsen utgörs av de elastiska slankheterna, βwel och βfel och formfaktorn, η blir därmed kvoten mellan elastiskt och elastiskt böjmotstånd och får värdet 1. Inom område 2 sker en rätlinjig interpolering av formfaktorn η enligt;
= 1 + *, + − 1- ∗ κ (10)
Där κfw är det minsta av κf ochκw som beräknas enligt;
κ. %&'(/%&
%&'(/%&0(≤ 1 (11)
κ. %2'(/%2
%2'(/%20(≤ 1 (12)
För ett tvärsnitt med flänsarna i område 2 och livet i område 3 görs istället en interpolering enligt;
= [1 − 0,15 ∗425∗2
∗ *1 −%%2'(
2 -] (13) Där Af är flänsarean.
Om tvärsnittet innehåller flera olika typer av flänsdelar väljs slankheten för beräkning från den slankaste delen.
11
4.2 SEMI-COMP och SEMI-COMP+
Projektet som kallas SEMI-COMP och SEMI-COMP+ är ett stort forskningsprojekt utfört av Graz University of Technology i Österrike. SEMI COMP+ är en vidareutveckling av det första. Målet med projekten har varit att ta fram en metod för en bättre utnyttjad bärförmåga i tvärsnittsklass 3 än den elastiska bärförmåga som idag används enligt Eurokoden. SEMI-COMP-projektet är mycket mer omfattande än vad som kommer rymmas inom ramen för detta arbete varför endast de delar som kan anses relevanta för jämförelse av detta arbetes analys kommer att beskrivas mer ingående. För en full beskrivning av projektet hänvisas därför till rapporten ”Design guidlines for cross-section and member design according to Eurocode 3 with particular focus on semi-compact sections” (Greiner, R.
et al. 2012) och ”SEMI-COMP: Plastic member capacity of semi-compact steel sections –a more economic design” (Greiner, R. et al. 2009).
4.2.1 Klassificeringssystem och beräkningsmetod
Klassificeringen utgår precis som i Eurokoden från förhållandet mellan plåtdelarnas bredd och tjocklek och delar därefter in tvärsnittsdelarna i någon av de befintliga klasserna. Det har dock i projektet framkommit att gränserna mellan de olika klasserna skulle behövas modifieras något för att få de tänkta säkerhetsfaktorerna. Gränserna för tvärsnittsdelar styrda längs två ränder har sänkts från 33ε till 28ε mellan tvärsnittsklass 1 och 2, från 38ε till 34ε mellan tvärsnittsklass 2 och 3 och från 42ε till 38ε mellan tvärsnittsklass 3 och 4. Utefter de nya gränserna beräknas sedan bärförmågan med hjälp av det plastiska böjmotståndet, Wpl för tvärsnittsklass 1 respektive 2 och det effektiva böjmotståndet, Weff för tvärsnittsklass 4 precis enligt Eurokoden. Skillnaden är tvärsnitt i klass 3 som istället för att beräknas med det elastiska böjmotståndet,Wel istället beräknas med ett modifierat böjmotstånd, W3.
Det modifierade böjmotståndet tar hänsyn till att en del av tvärsnittet har uppnått full plasticering innan första bucklan uppstår. Det vill säga att en del av tvärsnittet tillhör tvärsnittsklass 2. Det beräknas med hjälp av en interpoleringsfaktor som beskriver hur stor andel som tillhör tvärsnittsklass 3 och därefter bestäms det största tillåtna moment som kan appliceras som funktion av det elastiska momentet och det plastiska momentet samt den andel som är plasticerad. Beräkningsförfarandet beskrivs av följande formler:
78=;9:/;<
=/;< (14)
Interpoleringsfaktor som beskriver andelen av tvärsnittet som ligger i tvärsnittsklass 3. Faktorn beräknas med hjälp av de övre gränserna för tvärsnittsklass 2, β2 samt tvärsnittsklass 3, β3. Interpoleringsfaktorn beräknas för inre delar så väl som utstickande delar med respektive gränsvärde. Faktorn väljs sedan som den största av dessa.
12
>= >∗@?
AB = CD,E/(CD,E/GD,E/) ∗
78 (15)
Det högsta tillåtna momentet, M3 beräknas genom att multiplicera sträckgränsen, fy med det modifierade böjmotståndet, W3. Detta är i sin tur samma sak som att differensen mellan det plastiska och det elastiska momentet multipliceras med interpoleringsfaktorn och därefter dras av från det plastiska momentet.
Det modifierade momentet beräknas alltså som ett plastiskt moment men minskas sedan för den andel som tillhör tvärsnittsklass 3. I projektet Semi-Comp + menas att detta system fortfarande är ett system på säkra sidan och därför skulle kunna tillämpas istället för systemet i Eurokoden. Dock är systemet bara provat på I- och lådprofiler och därmed inte bevisat att det gäller samtliga tvärsnitt.
4.2.2 Bakomliggande tester för modifierat böjmotstånd
I projektet SEMI-COMP har både fysiska tester och finita elementmodelleringar utförts.
4.2.2.1 Fysiska tester
De fysiska testerna har utförts på fem olika typer av tvärsnitt med en viss stålkvalitet som alla valts så att den minst fördelaktiga plåtdelen tillhör tvärsnittsklass 3. Följande tvärsnitt fanns med i testerna.
o HEAA 260, S235, varmformad o HEAA 260, S355, varmformad o HEAA 260, S235, svetsad
o SHS 180/180/5, S355, kallformad o RHS 200/120/4, S275, varmformad
Testerna inleddes med ett antal dragprov för att bestämma spännings-töjningsförhållandena för de olika balktvärsnitten. De diagram som togs fram användes senare även i FE-modelleringarna. Sedan testades tvärsnittens beteenden vid mono- och biaxial böjning genom att korta balkar belastades med en excentrisk kraft.
13 4.2.2.2 Finita elementmodelleringar
FE-modelleringarna utfördes med de två programen ABAQUS 6.5-1 samt FINELg. Modellerna utfördes med linjära S4 skalelement. Till H-profilerna användes över 4000 element och för fyrkantsprofilerna mellan 8000-9000 element vilket gav elementen en ungefärlig storlek på 10x10mm. Totalt testades 729 stycken olika tvärsnitt enligt kombinationerna nedan.
o Fem olika tvärsnitt; HEA 280, HEA 220, HEA 300, RHS 250/150/6 och SHS 180/5 o Fyra olika stålkvaliteter; S235, S275, S355 och S460
o Olika kombinationer av svetsade H-profiler.
I modellen introducerades också imperfektioner enligt det första bucklingsmönstret till en storlek av h/200 samt egenspänningar från varm-/kallformning eller svetsning. Det utfördes även en kontroll av att kända klass 1 tvärsnitt uppnådde full plastisk bärförmåga för att verifiera modellen.
Ur tabell 1 nedan framgår att de fysiska testerna och FEM-beräkningarna tycks stämma väldigt bra överens. Som mest avviker FEM-resultaten endast med 10 % från testerna och överlag skiljer sig resultaten med några få procent.
14
Tabell 1: Jämförelse mellan brottlaster för fysiska tester och FEM-beräkningar av olika tvärsnitt i varierande stålkvalitet utförda av SEMI-COMP
FFE = Brottlast FEM FExp = Brottlast fysiskt test
15
5 Interpolering mellan plastisk och elastisk analys
5.1 Interpolationshypotes
Nedan följer den föreslagna interpoleringsmetoden som är tänkt att kunna tillämpas för elastoplastiska tvärsnitt efter att ha verifierats av FE-analyserna.
CD= IJäLM NOPP NQäJMLONNMRPSMM 2 öJ PäLMUL GD= IJäLM NOPP NQäJMLONNMRPSMM 3 öJ PäLMUL CD = IJäLM NOPP NQäJMLONNMRPSMM 2 öJ POQUN GD= IJäLM NOPP NQäJMLONNMRPSMM 3 öJ POQUN
Samtliga gränser varierar beroende på spänningsfördelningen, se figur 4 i avsnitt 4.1.1.
RV=;;8W/;XW
8W/;XW (16)
RY=;;8W/;XW
8W/;XW (17)
CD=,,XW
8W (18)
GD=,,8W
8W= 1,0 (19)
CD= ZPSMNOMRN [ö\]^NMNåL`
GD= aPSMNOMRN [ö\]^NMNåL`
Om och är mindre än CD resp. CD;
= CD (20)
Om GD≥ > CD och ≤ CD+ RV∗ ( − CD) (21) = CD−;dXWed8W
8W/;XW∗ ( − CD) (22)
Om GD≥ > CD och ≤ CD+ RY∗ ( − CD) (23) = CD−;dXWed8W
8W/;XW∗ ( − CD) (24)
16
5.2 Finita elementmodelleringar
I detta arbete har 169 balkar av typ HSQ modellerats upp i programmet ABAQUS. Profilbredden och profilhöjden har valts till densamma för alla balkar och tjockleken på liven och överflänsen har varierats för att skapa en tvärsnittsfördelning över de olika tvärsnittsklasserna. Balktvärsnitten har sedan belastats genom en påtvingad deformation vilket gett den maximala kraft, och därmed det maximala moment, som respektive balk tål. Detta moment har sedan kunnat jämföras med det beräknade maximala moment som tvärsnittet skulle tåla enligt Eurokoden och de föreslagna interpoleringsformlerna. I analysen har hänsyn tagits till moment, tvärkraft, plasticering, buckling, initialkrokighet och egenspänningar. Fenomen som vippning och vridning har undvikits med hjälp av upplagsförhållanden som förhindrat detta då dessa valts att inte omfattas i arbetet.
5.2.1 Abaqus
FEM-beräkningarna har valts att genomföras i Abaqus, vilket är ett brett modelleringsprogram som ger användaren stora möjligheter att själv styra väldigt mycket av analyserna.
Modelleringen i Abaqus sker i tre steg: förbehandling, simulering och efterbehandling.
5.2.1.1 Förbehandling
I detta steg byggs den geometriska strukturen upp och tilldelas olika fysiska och materiella egenskaper. Här appliceras även de laster och randvillkor som gäller för modellen. Innan modellen skickas för analys delas den in i en lämplig elementstruktur, en s.k. mesh. Modellen kan byggas upp antingen genom det inbyggda, grafiska användargränssnittet, Abaqus/CAE, eller genom scriptfiler.
Modellen och alla de inställningar som görs sparas till en datafil som används som indata vid nästa steg, simuleringssteget. (Dassault Systems Simulia Corp. 2010)
5.2.1.2 Simulering
Abaqus består av tre huvudprodukter för analys: Abaqus/Standard, Abaqus/Explicit och Abaqus/CFD, som var och en är olika väl lämpade för olika sorts analyser. Abaqus/Standard är ett allmänt analysverktyg som kan lösa ett brett utbud av både linjära och ickelinjära problem, såsom statiska, dynamiska och termiska problem. Vid analyser med Abaqus/Standard löses ett system av ekvationer implicit i, av användaren, förvalda steg. Abaqus/Explicit å andra sidan använder sig av små tidssteg utan att ekvationssystemet löses vid varje tidsökning. Denna analysmetod lämpar sig bättre för modellering av kortvariga, dynamiska problem, som exempelvis kollisioner och explosioner.
Abaqus/Explicit är dessutom mycket användbart för att skapa simuleringar för väldigt olinjära problem där kontaktvillkoren ändras med tiden. Abaqus/CFD används för flödesanalyser och
17 hanterar bland annat laminär och turbulent strömning och termisk konvektion. För de analyser som genomförts i arbetet har genomgående Abaqus/Standard använts. I simuleringssteget skapas en utdatafil innehållande de resultat som beräknats fram under analysen. (Dassault Systems Simulia Corp. 2010)
5.2.1.3 Efterbehandling
I det sista steget kan resultaten i utdatafilen från simuleringarna utvärderas. Tolkningen av utdatat görs med fördel interaktivt genom olika grafer och animationer med hjälp av de inbyggda visualiseringsverktygen. (Dassault Systems Simulia Corp. 2010)
5.2.1.4 Moduler
Abaqus är uppbyggt genom en rad moduler som tar en stegvis genom modelluppbyggnaden, simuleringen och efterbehandlingen. Modellträdet består av följande huvudkategorier.
• Sketch: I denna modul görs tvådimensionella sketcher av exempelvis en balk eller pelares tvärsnitt. Tvärsnittet kan sedan extraheras ut till en tredimensionell del.
• Part: Här skapas individuella delar i antingen 2D eller 3D. Dessa delar kan utgöras av olika sorts elementtyper, såsom skalelement, solider eller vajrar, beroende på vilken form som bäst speglar verkligheten.
• Property: Här definieras olika materialegenskaper, som exempelvis elasticitetsmodul, densitet och termisk konduktivitet. Materialegenskaperna definieras oberoende av de olika tvärsnittsdelarna och blir aktiva först då de knyts samman till dessa. Tvärsnittsdelarna kan även tilldelas en viss geometri och varierande tjocklekar.
• Assembly: Då de olika delarna skapats under partmodulen har de skapats oberoende av varandra i egna koordinatsystem. I denna modul kan de olika delarna roteras och flyttas för att sedan länkas samman till en gemensam struktur i ett gemensamt koordinatsystem.
• Step: Stepmodulen används för att skapa och konfigurera steg i analysen. Här anges vilken lösningsmetod som ska användas beroende på vilken sorts analys som ska genomföras. Olika steg används även när exempelvis randvillkor eller laster ändras under simuleringen. För varje steg kan bestämmas vilka utdata som ska genereras och med vilka intervall.
• Interaction: Här kan specificeras hur de olika delarna ska interagera rent mekaniskt med varandra. Delarna kan exempelvis knytas samman genom en led, genom friktion eller väljas så att de fungerar som en styv enhet.
18
• Load: I denna modul anges vilka laster och randvillkor som ska gälla och dessutom i vilka analyssteg de ska vara verksamma. Lasterna kan väljas som punktlaster, utbredda laster, termiska laster o.s.v. Randvillkoren används för att exempelvis hindra kroppen från att röra sig i en viss riktning eller rotera kring en viss axel.
• Mesh: Här delas kroppen upp i små finita element. Olika elementformer som kvadratiska, rektangulära, triangulära kan väljas med fler eller färre noder. Finare element ger högre noggrannhet men leder till längre beräkningstid.
• Job: När modellen färdigställts genom ovanstående moduler är den redo att analyseras genom jobbmodulen. Analysen går att följa genom hela processen i form av meddelanden och utdata som kontinuerligt ges.
• Visualization: Denna efterbehandlingsmodul tillåter användaren att tolka och analysera utdata från jobbet i form av visuella grafer, tabeller och diagram.
5.2.2 Metod
5.2.2.1 Problembeskrivning
Målet med FEM-modelleringarna har varit att hitta den faktiska momentbärförmågan för HSQ-balkar av varierande tvärsnitt. I analyserna har hänsyn tagits till att balkarna kan utnyttja en del av sin plastiska bärförmåga innan de bucklar. Tvärsnittshöjder och tvärsnittsbredder har hållits konstanta för alla undersökta fall medan liv- och flänstjocklekar har varierats. För en komplett redogörelse av vilka tvärsnittsmått som använts hänvisas till bilaga C. Samma inspänningsförhållanden, laster och materialparametrar har använts i samtliga modeller för att underlätta jämförelsen av resultaten. Vid skapandet av modellerna har inte Abaqus inbyggda användargränssnitt, Abaqus/CAE, använts utan istället har skript i programspråket Python använts för att automatisera modelluppbyggnaden. Nedan följer en mer detaljerad redogörelse för hur 3D-modellerna byggts upp i Abaqus och i bilaga B finns pythonskripten som har använts.
5.2.2.2 Part
Balkarna har byggts upp av två separata delar, en del som utformats för att så nära som möjligt representera en verklig HSQ-balk och en mer idealiserad del, se figur 5. I den förstnämnda delen är alla tvärsnittsdelar väldigt tunna i relation till sin längd och bredd vilket ger mycket små spänningar i tjocklekens riktning. Tvärsnittsdelarna har därför modellerats som skalelement där spänningarna i denna riktning är försumbara. Tvärsnittet har sketchats upp i en 2D-vy där tvärsnittsdelarna endast representeras av linjer, tjocklekarna har sedan införts under properties. Efter att de tvådimensionella sketcherna färdigställts har de sedan extruderats ut i längdriktningen till önskad längd.
19 Den idealiserade delen utgörs, istället för skalelement, utav balkelement som endast representeras av en rät linje. Fördelen med att låta en del av balkens längd representeras av en förenklad balkdel är att den delen kan ges en mesh med färre element och därmed minska beräkningstiden för analyserna. Balkdelen blir dessutom mindre känslig för lokala effekter orsakade av punktlasten och vid upplagen vilket kan orsaka brott innan balkens fulla bärförmåga hunnits utvecklas.
Skaldelen representerar den mittersta delen av balken och har getts en längd på sex balkbredder. På vardera sida av skaldelen finns två balkdelar med en längd på fyra balkbredder. För att ytterligare minska på beräkningstiden har endast halva balken valts att modelleras genom att utnyttja symmetrin kring x-axeln.
fghiDGD = 6 ∗ [klGmDälg 6 ∗ 600 n 3600 ]] (25) f iDhGD 4 ∗ [klGmDälg 4 ∗ 600 n 2400 ]] (26) f iDh fghiDGD) 2 ∗ f iDhGD 3600 ) 2 ∗ 2400 8400 ]] (27)
Utnyttjande av symmetri kring x-axeln ger:
fghiDGD 3600/2 1800 ]] (28)
f iDh fghiDGD) f iDhGD 1800 ) 2400 4200 ]] (29)
Den verkliga balkens längd är alltså 8400 mm medan den modellerade balken endast är 4200 mm.
Figur 5: Mittendel modellerad som skaldel (vänstra figuren) och ändar modellerade som balkdelar (högra figuren).
20 5.2.2.3 Property
För att styra hur balkarna ska bete sig vid belastning har en del materialegenskaper specificerats. Alla balkar har modellerats med stålkvalitén S355 vilket gett följande egenskaper.
qULMONUN = r = 7850 Rt/]>
När balken utsätts för dragkrafter på grund av nedböjningen så töjs det ut i dragriktningen medan det samtidigt kontraheras i den vinkelräta riktningen. Den geometriska förändringen kommer att förändra arean över vilken krafterna verkar på och därmed fås andra spänningar än om arean sågs som konstant under hela analysen. Hur stora dessa förändringar kommer att bli har därför specificerats i form av ett tvärkontraktionstal, benämns även Poissons tal, som är ett mått på förhållandet mellan töjningen och kontraktionen (Fäldt, G. Tengblad, U. 2011).
Z^OMM^LM NSP = u = 0.3
Stål är, som tidigare beskrivet, ett elastiskt-plastiskt material vilket innebär att det till en början kommer att bete sig elastiskt och sedan, efter att sträckgränsen uppnåtts, kommer att få ett plastiskt beteende. Det elastiska beteendet innebär att töjningarna följer spänningarna linjärt enligt en elasticitetsmodul.
aPSMNOwONUNM]^`xP = a = 209 IZS
I normalfallet kommer materialdata som används för beräkningar från materialtester. Vid dessa tester kan olika spänning-töjningsförhållanden fås beroende på vilket test som utförs och beroende på vilka mätningstekniker som används. Resultaten blir olika beroende på om det är ett dragtest eller om det är ett trycktest som genomförs. Töjningarna är dessutom relaterade till den ursprungliga arean s.k. nominella töjningar. Som nämnts ovan förändras arean allteftersom balken plasticeras och detta måste i regel beaktas i Abaqus. Skillnaden framgår ur figur 6 och 7. Som följd av att töjningarna och spänningarna vid det nominella fallet utgår från den ursprungliga arean ser det i arbetskurvan ut som om balken går till brott vid en lägre spänning än sträckgränsen. En omvandling från nominella till verkliga spänningar och töjningar kan göras genom några enkla formler. (Dassault Systems Simulia Corp. 2010)
21 z]QSL`POLt SQ L^]OLUPPS Nö\LOLtSJ NOPP QUJRPOtS Nö\LOLtSJ
{l|}= ΔP/P (30)
{l|}=D/DD B
B =DD
B−DDB
B=DD
B− 1 (31)
U(WBW)= U(V ) (32) lnDD
B= { (33)
{ = ln(1 + {l|}) (34)
z]QSL`POLt SQ L^]OLUPPS MäLLOLtSJ NOPP QUJRPOtS MäLLOLtSJ
l|} = / (35)
P∗ = P ∗ (36)
= ∗DDB (37)
==
B∗DD
B= l|}∗DD
B (38)
D
DB= 1 + {l|} (39)
= l|}∗ (1 + {l|}) (40)
Figur 6: Nominell spänning-töjningskurva Figur 7: Verklig spänning-töjningskurva
22 I de befintliga Eurokoderna används däremot inte så detaljerade arbetskurvor som beskrivet ovan utan istället används förenklade arbetskurvor för att underlätta för konstruktörer. I ett första modelleringsskede användes en arbetskurva likt dessa med tanken att lättare kunna jämföra resultaten mot Eurokoderna, se figur 8. Kurvan för det plastiska beteendet utgörs endast av tre punkter. Den första punkten utgörs av sträckspänningen där den plastiska töjningen är 0, i den andra punkten är spänningen 5 % högre än sträckgränsen vilket ger arbetskurvan en svag lutning uppåt.
Den sista punkten ligger vid halva sträckgränsen och säkerställer att balken går till brott. Vid vidare modellering valdes istället att använda de verkliga spänningarna enligt ovan för att bättre spegla verkligheten.
Figur 8: Förenklad töjning-spänningskurva
Samtliga tvärsnittsdelar har tilldelats samma materialegenskaper och det enda som har varierats är tjocklekarna på överflänsen och liven. I programmet har valts att tvärsnittsegenskaperna ska förändras under analysens gång. För att bestämma de nya tvärsnittsegenskaperna approximeras integraler vilket kan göras genom antingen Simpsonintegration eller Gaussintegration i programmet.
Integrationen har valts att genomföras med Simpsonintegration med 5 integrationspunkter över tjockleken på varje tvärsnittsdel. Anledningen till att inte Gaussintegration valdes är att det inte ger några resultat för skalelementens ytor utan endast för punkter på insidan av skalelementen.
Balkdelen har getts ett ihåligt, kvadratiskt tvärsnitt 700x700 mm med en konstant tjocklek på 60 mm.
Detta tvärsnitt är av klart större dimensioner än skaldelens vilket säkerställer att brott sker i skaldelen, som är av intresse, innan det sker i balkdelen.
23 5.2.2.4 Assembly
Skaldelen och balkdelen skapades under partmodulen som två fristående separata delar, oberoende av varandra, i två olika lokala koordinatsystem. Dessa båda delar har sedan kopplats samman till en gemensam struktur i ett globalt koordinatsystem. Tyngdpunkten för skaldelens tvärsnitt har beräknats och sedan angivits som punkten för sammankoppling mellan de båda delarna.
5.2.2.5 Step
För modellen har tre steg använts, ett initialt steg där randvillkor och egenspänningar kommer in och två analyssteg. Det första analyssteget är en bucklingsanalys som har genomförts för att få ut hur balkens deformerade form ser ut p.g.a. buckling.
Vid bucklingsanalysen har ett egenvärdesproblem lösts genom Lanczos algoritm som finns inbyggd i Abaqus. De 20 första egenvärdena har tagits fram och var och en motsvarar en bucklingsmod. För egenvärdesproblemet eftersöks den last som gör att balkens styvhetsmatris blir singulär så att ekvationen nedan har icke-triviala lösningar:
∗ Q = 0 (41)
Under analysen har balken stegvis belastats av en punktlast Q av storleken 1 N. Storleken på denna last har ingen betydelse eftersom den senare skalas upp av de framräknade egenvärdena . Egenvärdena har räknats fram genom att lösa egenvärdesproblemet:
(+ ∗ ) ∗ Q = 0 (42)
där
K är styvhetsmatrisen
är styvhetsmatrisen innan pålastning
är styvhetsmatrisen orsakad av lasten Q
är egenvärdena för de olika bucklingsmodena
Q är egenvektorerna innehållande nodförskjutningarna som motsvarar de olika bucklingsmodenas deformerade former
24 Den kritiska bucklingslasten för vardera bucklingsmod är alltså den ursprungliga punktlasten Q multiplicerad med egenvärdet för respektive bucklingsmod.
Kritisk bucklingslast
∗ (43)
Endast de positiva egenvärdena och dess tillhörande egenvektorer har beaktats eftersom att de representerar de fall där den tryckta flänsen, alternativt den tryckta flänsen och livet, bucklar. Av de positiva egenvärdena har sedan det första valts ut eftersom det motsvarar den bucklingsmod som inträffar först. Nodförskjutningarna har för denna bucklingsmod skalats om med hänsyn till de tillverkningstoleranser som gäller för balkarna. En tillverkningstolerans på tvärsnittshöjden dividerat med 200 har använts. De omskalade deformationerna har sedan använts som indata i form av imperfektioner vid nästa analyssteg.
Den andra analysen som genomförts bestod av en ickelinjär, statisk spänningsanalys där spänningarna över hela balken räknats fram.
5.2.2.6 Interaction
I assemblymodulen sammankopplades de två delarna till en gemensam struktur, men inget angavs om hur de ska förhålla sig till varandra när de deformeras. I modellen har de två delarna sammanlänkats genom ett MPC-constraint, vilket innebär att alla noder längs med skaldelens tvärsnittsyta fungerar som slavnoder till den yttersta noden på balkdelen, se figur 9.
Sammanlänkningen gör alltså så att noden i balkdelen styr noderna längs skaldelens yta vad det gäller förskjutningar och rotationer.
Figur 9: Den styrande noden ligger i balkdelens tyngdpunkt och från punkten utgår de gula strecken som visar sammanlänkningen till slavnoderna längs skaldelens tvärsnittsyta
25 5.2.2.7 Load
5.2.2.7.1 Randvillkor
Balken har i symmetrilinjen getts randvillkor för återspegla beteendet av en balk av full längd, se figur 10. Detta har uppnåtts genom att tvärsnittsytan i symmetrilinjens plan har förhindrats att röra sig i x- riktningen. Ytan har dessutom förhindrats att rotera kring y- och z-axlarna. Ett rullager har lagts in vid balkdelens upplag vilket förhindrar balken att röra sig i y- och z-led. För att motverka att balken roterar kring sin egen axel har dessutom x-axeln låsts för rotation vid upplaget. Då bucklingsanalysen genomfördes för balkar med större tjocklekar på de olika tvärsnittsdelarna upptäcktes att balken vippade innan den bucklade. För att säkerställa att den första brottmoden utgjordes av buckling och inte vippning så introducerades ytterligare rotationsförhindringar kring z-axeln längs med balkdelen.
Figur 10: Randvillkor vid symmetriaxel
5.2.2.7.2 Egenspänningar
Då tvärsnittsdelar svetsas samman vid tillverkningen ger värmen från svetsen upphov till en utvidgning av stålet närmast svetsen. (TWI. 2013) När svetsen sedan svalnar så återgår töjningarna olika mycket över det påverkade området vilket ger upphov till egenspänningar. I området närmast svetsen uppstår stora dragspänningar som balanseras upp av resten av tvärsnittet genom
tryckspänningar. De ökade tryckspänningarna har en negativ inverkan på bucklingslasten. I BSK99 beskrivs hur spänningsfördelningen ser ut över ett I-tvärsnitt respektive ett lådbalkstvärsnitt, se figur 11. Spänningsfördelningen för en HSQ-balk beskrivs inte specifikt vilket lett till att några egna
tolkningar gjorts. Den antagna egenspänningsfördelningen för en HSQ-balk framgår ur figur 12. En mer detaljerad bild av svetsarnas påverkan ges i figur 13. Dragspänningarna har antagits uppgå till sträckgränsen och för att tvärsnittet ska balanseras upp och vara i jämvikt måste följande samband råda för vardera tvärsnittsdel:
26
,öGmDälg∗ ,öGmDälg = ∗ ,öGmDälg (44)
,D∗ ,D= ∗ ,D (45)
,klGmDälg∗ ,klGmDälg = ∗ ,klGmDälg (46)
där
= qJStUtULMäLLOLtSJ
= JwRUtULMäLLOLtSJ
= qJStUL NQäJMLONNMSJUS
= JwRN NQäJMLONNMSJUS
Ur sambanden har sedan tryckspänningarna lösts ut och använts som indata i Abaqus.
Figur 11: Egenspänningsfördelning över I-tvärsnitt och lådtvärsnitt enligt BSK (BSK99. 1999).
27
Figur 12: Antagen egenspänningsfördelning för ett HSQ-tvärsnitt.
Figur 13: Uppförstoring av figur 12.
28 Figur 14 visar även hur noderna placerats ut över tvärsnittet för att bäst anpassas efter
egenspänningarna. Genom att nodlinjerna har lagts längs med livens insidor och i linje med livens överkant för överflänsen möts dessa, och får en delad nod, i det hörn där svetsen lagts. Detta medför att underflänsen och liven inte får en delad nod i läget för de nedre svetsarna. Ett alternativ hade varit att placera nodlinjerna centrisk för liven och gjort en kompromiss mellan de båda svetsarna, men bedömningen gjordes att det förstnämnda alternativet var bättre.
Figur 14: Nodfördelningöver tvärsnittet i Abaqus
5.2.2.7.3 Laster
Belastningen på HSQ-balkar kommer i huvudsak från de håldäck som de bär upp. Håldäck läggs upp på de utstickande underflänsarna och skapar en jämnt utbredd last som ger ett paraboliskt moment över balken enligt figur 15.
Figur 15: Momentfördelning över en belastad HSQ-balk.
I bucklingsanalysen har istället den utbredda lasten ersatts av en punktlast för att skapa ett konstant moment över skaldelen. Punktlasten angriper 2150 mm från upplaget vilket är tillräckligt långt ut för
29 att skapa ett konstant moment över hela skaldelen, se figur 16. I och med att punktlasten har placerats på balkdelen så undviks risken för punktlasten skapar lokala effekter på de tunna tvärsnittsdelarna. Lasten har satts till 1 N.
Figur 16: Momentfördelning vid belastning av två punktlaster.
För den statiska spänningsanalysen har punktlasten istället ersatts med en nodförskjutning i samma angreppspunkt.
5.2.2.8 Mesh
Meshningen av modellen gjordes i två steg. Först gavs skaldelen en mesh som utgjordes av ca 4000 kvadratiska skalelement av typen S4R, se figur 18. Varje skalelement av typen S4R innehåller fyra noder med vardera 6 frihetsgrader. För S4R-element görs en reducerad integration till skillnad från vanliga S4-element. Detta innebär att spänningar endast beräknas för noderna och sedan interpoleras värden fram till integrationspunkten mellan dem, se figur 17. Några testsimuleringar genomfördes med S8R-element vilka istället innehåller åtta noder. De 8-nodiga skalelementen gav en jämnare bucklingskurva men skillnaden i resultat ansågs inte tillräckligt stor för att rättfärdiga den ökade beräkningstiden. Elementstorleken som användes var ca 30x30 mm över de stora ytorna på skalet. Vid svetsarna var elementdensiteten högre för att ta hänsyn till de pålagda egenspänningarna.
(Dassault Systems Simulia Corp. 2010)
Med tanke på att balkdelen inte var av samma betydelse för modelleringen valdes en glesare mesh med färre element till denna. Även en simplare elementtyp, i form av linjära B31 balkelement, valdes med endast en nod i vardera änden. Detta hade en positiv effekt på beräkningstiden.
Sammanlagt bestod modellerna av ca 4000 noder och ca 25000 frihetsgrader.
30
Figur 17: S4R-element (Janghorban, M. Zare, A. 2013).
Figur 18: Meshning av Abaqus-modell.
5.2.3 Modellerade fall
Inledningsvis har en rad analyser genomförts med syftet att ta reda på vilken inverkan olika indataparametrar och programinställningar har på resultaten av analyserna. Vid analyserna har ett tvärsnitt används enligt måtten i figur 19 nedan.
31
Figur 19: Modellerat tvärnitt i Abaqus.
qäJ
fOQö\`, 345 ]]
QäJMLONNMö\`, QSJOUJSJ
L`UJPäLMULM [JU``, [ 600 ]]
ÖQUJPäLMULM [JU``, [ 356 ]]
L`UJPäLMULM N\^wRPUR, N 15 ]]
ÖQUJPäLMULM N\^wRPUR, N QSJOUJSJ fOQN\^wRPUR, N QSJOUJSJ
5.2.3.1 Analys av elementstorlek
Det första som undersöktes var elementstorlekens inverkan på resultaten. Samma tvärsnitt i TVK 3 modellerades med fyra olika elementstorlekar för att jämföra skillnad i resultat och beräkningstid.
Målet med analyserna var att hitta en elementstorlek som gav tillräckligt noggranna resultat med en rimlig beräkningstid. Denna elementstorlek har sedan använts för samtliga efterföljande analyser.
Resultaten av analys 1 går att läsa i avsnitt 6.1.
32 5.2.3.2 Analys av imperfektioners inverkan
I denna analys har imperfektionernas påverkan på resultaten undersökts. Samma analys har genomförts för ett antal tvärsnitt av olika tvärsnittsklass både med och utan initialbucklor.
Bucklornas storlek har satts till flänsens bredd dividerat med 125, detta ger en ungefärlig storlek på 3mm. Genom att jämföra skillnaden i resultat fås en uppfattning om hur stor effekt imperfektionerna har i de olika tvärsnittsklasserna.
5.2.3.3 Analys av egenspänningars inverkan
Samma tvärsnitt som användes i imperfektionsanalysen har använts för att se vilken inverkan
egenspänningarna har på bärförmågan. I det ena fallet har egenspänningar lagts in i modellerna och i det andra har de helt utelämnats.
5.2.3.4 Kontroll av Eurokodens beräkningsmodell
För att kunna göra en bra kontroll och kunna täcka in så många fall som möjligt har ett rutnät med olika tvärsnitt gjorts, se figur 20.
Tvärsnitten har valts så att alla olika kombinationer av liv och överfläns i samtliga tvärsnittsklasser och på alla gränser mellan dessa förekommer. Underflänsen har hållits konstant i tvärsnittsklass 2.
Tvärsnitten har fördelats enligt tabell 2.
Tabell 2: Fördelning av antal tvärsnitt i de olika tvärsnittsklasserna.
Tvärsnittsklass Antal tvärsnitt
1 3
1-2 1
2 2
2-3 1
3 3
3-4 1
4 2
Mellan tvärsnittsgränserna har tvärsnitten fördelat jämnt över intervallet. Tvärsnitten längst in i tvärsnittsklass 1 och 4 har valts så att de ligger långt in i respektive klass.
33
Figur 20: Modellerade fall.
För att få en så bra jämförelse som möjligt mellan de beräknade värdena enligt Eurokod 3 och värdena från Abaqus så har slankhetsparametrarna modifierats en del. Ur den vänstra kolumnen i figur 21 ses hur bucklingslängden skulle ha bestämts för tvärsnittsdelarna enligt eurokoden (SS-EN 1993-1-1. 2005). Där räknas bucklingslängden (c) från antingen fri kant eller svetskant. I och med att svetsarna inte modellerats i abaqusmodellerna har bucklingslängderna räknats på ett något
annorlunda sätt i Abaqus. Den fria bucklingslängden har istället räknats från antingen fri kant eller de valda nodlinjerna enligt högerkolumnen, figur 21. Detta inonebär att bucklingslängden blivit något längre för liven och de utstickande underflänsdelarna. Av samma anledning har underflänsens inre del istället fått en något kortare bucklingslängd. Överflänsens bucklingslängd har däremot bestämts på samma sätt i bägge fallen.
34
Figur 21: Slankhetstal för Abaqus (högra kolumnen) och Eurokod (vänstra kolumnen).
35
6 Resultat
6.1 Inverkan av elementstorlek
Tabell 3: Inverkan av elementstorlek på beräkningstid.
Elementstorlek mm x mm
Momentbärförmåga kNm
Skillnad mot föregående elementstorlek
%
Beräkningstid
min
50x50 1071.1 1
30x30 1064.9 0.59 4
20x20 1062.4 0.23 8
10x10 1059.9 0.24 30
En elementstorlek på 10x10mm eller mindre gav väldigt lång beräkningstid då en analys av endast ett tvärsnitt tog över 30 min att genomföra. Då hundratals fall skulle modelleras insågs snabbt att denna beräkningstid skulle bli alltför lång. Valet stod mellan elementstorlekarna 20x20 och 30x30mm.
Skillnaden mellan dessa var så pass liten att en halvering av beräkningstiden motiverade valet av 30x30mm.
6.2 Inverkan av imperfektioner
Diagram 1: Den gröna kurvan visar momentbärförmåga för ett imperfektionsfritt tvärsnitt och den blå kurvan visar momentbärförmågan för ett tvärsnitt med initialbucklor motsvarande 125:e delen av överflänsens bredd.
500 600 700 800 900 1000 1100 1200
0 50 100 150 200
Momentbärförmåga kNm
Slankhet ε
Inverkan av initialbuckla
FEM med initialbucklor FEM utan initialbucklor
36 Ur diagram 1 ses att initialbucklans betydelse ökar med högre tvärsnittsklass fram till tvärsnittsklass 4. Det kan antas rimligt att initialbucklorna har en större inverkan på en slankare tvärsnittsdel än på en knubbigare, och bidra till att tvärsnittet bucklar tidigare och därmed får en lägre bärförmåga. Att initialbucklans storlek inte verkar ha lika stor betydelse i tvärsnittsklass 4 skulle kunna bero på att tvärsnittet bucklar så pass fort och enkelt att det spelar mindre roll huruvida tvärsnittet varit rakt eller buckligt från början. Generellt kan sägas att initialbucklans storlek ändå tycks ha en stor inverkan på bärförmågan, i det värsta fallet fås en minskad bärförmåga på närmare 20%.
6.3 Inverkan av egenspänningar
Diagram 2: Inverkan av egenspänningar.
Som ses ur diagram 2 tycks inte egenspänningarna ha någon större inverkan på tvärsnittets bärförmåga, skillnaden blir endast någon enstaka procent. Trots detta har ändå egenspänningarna tagits med i alla analyser för att få en så verklighetstrogen modell som möjligt.
6.4 Kontroll av Eurokodens beräkningsmodell
Enligt de resultat som erhållits kan ses att generellt sett överskattas bärförmågan i tvärsnittsklass 1 och 2 enligt Eurokod. I tvärsnittsklass 3 överskattas istället bärförmågan medan den i tvärsnittsklass 4 tycks stämma ganska väl överens. Hur stor avvikelsen är skiljer sig en del mellan de olika fallen.
500 600 700 800 900 1000 1100
0 50 100 150 200
Momentbärförmåga kNm
Slankhet ε
Inverkan av egenspänningar
FEM med egenspänningar FEM utan egenspänningar
37 Så länge både liven och överflänsen tillhör tvärsnittsklass 1 eller tvärsnittsklass 2 överskattar
Eurokoden bärförmågan enligt resultaten. Överskattningen blir större ju närmare flänsen kommer tvärsnittsklass 3.
När flänsen ligger långt in i tvärsnittsklass 1 är överskattningen endast ca 2% men ligger flänsen istället på gränsen till tvärsnittsklass 3 har överskattningen ökat till ca 10%. När flänsen sedan övergår till tvärsnittsklass 3 och tvärsnittet därmed beräknas med en elastiskanalys underskattar istället Eurokoden bärförmågan med 20%. Ligger flänsen istället i tvärsnittsklass 4 underskattas bärförmågan enligt standarden med dryga 50%. Där underskattningen ökar ju längre in i tvärsnittområdet som flänsen rör sig.
För fallet där överflänsen ligger i tvärsnittsklass 1 eller 2 och istället liven varieras mellan alla
tvärsnittsklasser överskattas bärförmågan endast med några få procent i det plastiska området. I det elastiska området underskattas bärförmågan med ca 7% och i tvärsnittsklass 4 är underskattningen ca 5%. Ett exempel kan ses i diagram 3, för mer detaljerade resultat över samtliga kontrollerade tvärsnitt se bilaga C.
Diagram 3: Fall 5. Överfläns i tvärsnittsklass 2 och liven varieras över tvärsnittsklasserna.
Om livet ligger i klass 2 eller bättre och flänsen i klass 3 så underskattar Eurokod bärförmågan, till skillnad från när livet ligger i klass 3 och flänsen i klass 2 eller bättre då bärförmågan istället
överskattas, jämför diagram 3 och 4. Skillnaden mellan Eurokod och FEM-resultaten ökar ju längre in i tvärsnittsklass 1 livet ligger.
500 600 700 800 900 1000 1100 1200
0 50 100 150 200
Momentbärförmåga kNm
Slankhet ε
Fall 5
FEM Eurocode
