SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET
π
av
Anders Olsson
2017 - No 16
MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM
π
Anders Olsson
Självständigt arbete i matematik 15 högskolepoäng, grundnivå Handledare: Torbjörn Tambour
2017
Abstract
In this thesis we will look at historical calculations of the mathematical constant pi. The number has fascinated mankind through history and we begin with Archimedes approximations and then look at how François Viète and John Wallis did. Both Archimedes and Viète methods included polygons and circles while Wallis method reminds of modern work with integrals.
I want to thank my mentor Torbjörn Tambour and my friend Jonas Hallin.
Sammanfattning
Den här uppsatsen tar upp historiska beräkningar av den matematiska konstanten pi. Talet har fascinerat matematiker genom mänsklighetens historia och vi tar avstamp i Arkimedes
uppskattningar för att sedan titta på hur François Viète och John Wallis gjorde. Både Arkimedes och Viètes metoder innefattade polygoner och cirklar medan Wallis påminner om dagens arbete med integraler.
Jag vill tacka min handledare Torbjörn Tambour och min vän Jonas Hallin.
Innehållsförteckning
1 Begrepp ………2
2 Inledning ……….………..3
3 Arkimedes beräkningar ………4
3.1 Uppskattningar ………4
3.2 Lemma 1 ………5
3.3 Bevis för lemma 1 ………5
3.4 Beräkning med hjälp av lemma 1 ………..6
3.5 Beräkning med hjälp av trigonometri………..9
3.5 Lemma 2 ……….11
3.6 Bevis för lemma 2 ……….11
3.7 Beräkning med hjälp av lemma 2 ………...13
3.8 Alternativa beräkningar med hjälp av polygoner ...………..……….…15
3.9 Med hjälp av Excel ……….…18
4 Viètes formel ……….19
4.1 Beräkning av Viètes formel ……….19
4.2 Bevis ……….23
4.2 Härledning med hjälp av trigonometri ………24
5 Wallis produkt ……….27
5.1 Härledning ……….27
6 Referenser ……….………..33
2
Begrepp
∠𝐴𝑂𝐶 = vinkeln 𝐴𝑂𝐶
|𝐶𝐴| = längden av sträckan 𝐶𝐴 Hexagon = sexhörning
Dodekagon = tolvhörning Polygoner = månghörningar
En korda är en rät linje som sammanbinder två punkter på en cirkelbåge.
En bisektris delar en vinkel i två lika delar.
En inskriven månghörning är en månghörning som precis får plats inuti en cirkel.
En omskriven månghörning är en månghörning som precis innesluter en cirkel.
3
Inledning
Historik
Pi, betecknat 𝜋 efter den 16:e bokstaven i det grekiska alfabetet, är en matematisk konstant som brukar definieras som förhållandet mellan en cirkels diameter och dess omkrets. 𝜋 är ett av de mest studerade talen i matematik och är både irrationellt och transcendent, vilket innebär att talet inte kan skrivas som ett bråktal eller att det inte kan vara en rot i en algebraisk ekvation. 𝜋:s decimaler fortsätter i all oändlighet och i skrivande stund känner människan till 13,3 biljoner av dessa. Mycket tyder på att 𝜋 är normalt, även om det fortfarande saknas matematiska bevis för detta. [1] [3]
Att ett tal är normalt innebär att talets decimaler inte visar någon regelbundenhet utan fortsätter att vara slumpmässiga för evigt.
Långt före den moderna tideräkningen var människor intresserade av cirkelns kvadratur, ett gammalt geometriskt problem som innebär att med passare och linjal konstruera en kvadrat med samma area som en cirkel. ”Square the circle” har blivit ett uttryck för att försöka sig på det omöjliga.
Tidiga uppskattningar
På lertavlor med matematiska formler som härrör från babyloniska riket (2000 - 539 f.kr), står förklarat att man kan räkna ut en cirkels omkrets genom att ta diametern gånger tre. På samma sätt beskrivs sambandet mellan en cirkels omkrets och diametern i hebreiska bibeln från omkring 950 före Kristus. I dessa äldre texter avrundas värdet av 𝜋 helt enkelt till 3, fast inte allt för komplicerade mätningar skulle visa att det inte stämmer. Kanske nöjde sig dessa tidiga civilisationer med ett ungefärligt uttryck, kanske var det en gammal biblisk uppgift som inte fick ifrågasättas.
När det kommer till beräkningen av arean av en cirkel så hade egypterna beräkningar som
genererade ett bättre värde för 𝜋. I Rhindpapyrusens problem nummer 50, står hur beräkning av en cirkels area med diametern 9 ska gå till. Först ska en 1/9 av diametern tas bort, för att multipliceras med sig själv. Med modern matematik skulle detta skrivas: 𝐴 = (𝑑 −𝑑9)2. En jämförelse med formeln 𝐴 = (𝜋4) 𝑑2 visar att egypterna utförde en approximation av 𝜋 som 25681 = 3.16049 … alltså med en felmarginal på mindre än en procent. [1]
4
Arkimedes
Arkimedes uppskattningar
De första kända beräkningarna av värdet av 𝜋 gjordes av den grekiske matematikern Arkimedes (287 f.kr – 212 f.kr). Han var en begåvad mångsysslare, Arkimedes var inte bara matematiker utan även fysiker, astronom, uppfinnare och filosof. Han var redan berömd för beräkningar av volymer och areor och för att ha formulerat hävstångsprincipen. Han var också en uppskattad uppfinnare av slungor och andra anordningar som kunde användas i krig av armén.
Arkimedes förstod att han kunde beräkna närmevärden till 𝜋 om han lyckas beräkna en cirkels omkrets och han redogjorde för denna metod i ”Kuklou metrēsis” (grekisk titel, på svenska
”Mätning av en cirkel.”). Genom att räkna ut omkretsen på månghörningar, polygoner, kunde Arkimedes stänga in värdet för 𝜋 i ett mindre och mindre intervall. [1] [4]
Arkimedes metod. En cirkel innesluten av sex- och tolvhörningar.
Arkimedes formulerade två lemman på vilka han byggde sina uträkningar. Första lemmat var för att räkna ut omkretsen på månghörningarna som stängde in cirkeln och det andra lemmat för de månghörningar som fick plats inuti cirkeln. Hädanefter kallar vi månghörningarna som stänger in cirkeln för omskrivna polygoner och de som får plats inuti cirkeln för inskrivna polygoner.
Det första lemmat använder Arkimedes upprepade gånger för att utveckla en rekursiv algoritm så att han kan bestämma den efterfrågade sidlängden på olika polygoner. Han använder värdet från sexhörningen för att räkna ut tolvhörningen, värdet från tolvhörningen för 24-hörningen o.s.v.
5 Arkimedes lemma 1.
Antag att sträckan 𝐴𝑂 är radien i en cirkel och att sträckan 𝐶𝐴 är en tangent till cirkeln i punkten 𝐴.
Låt sträckan 𝐷𝑂 halvera vinkeln 𝐴𝑂𝐶 och skära tangenten i punkten 𝐷.
Då är
𝐷𝐴
𝑂𝐴= 𝐶𝐴
𝐶𝑂 + 𝑂𝐴 och
𝐷𝑂2 = 𝑂𝐴2+ 𝐷𝐴2.
Arkimedes bestämmer också i lemmat att ∠𝐶𝑂𝐴 är en tredjedel av en rät vinkel, alltså 30°. Detta innebär att ∠𝑂𝐶𝐴 måste vara 60° eftersom triangeln är rätvinklig. Då är sträckan 𝐶𝐴 halva sidan av regelbunden sexhörning eftersom medelpunktsvinkeln i en sexhörning är 60°. Varje gång ∠𝐶𝑂𝐴 halveras så skapas en halv sida på en dubblerad månghörning. Alltså, 𝐶𝐴 är halva sidan på en sexhörning, 𝐷𝐴 är halva sidan på en tolvhörning o.s.v. [1]
Härledning av lemma 1.
Vi ska visa att
𝐷𝐴
𝑂𝐴= 𝐶𝐴
𝐶𝑂 + 𝑂𝐴.
För att bevisa detta använder vi oss av bisektrissatsen. Den säger att 𝐷𝐴
𝐶𝐷=𝑂𝐴 𝐶𝑂.
Genom att multiplicera båda led med 𝐶𝐷 och 𝐶𝑂 får vi 𝐷𝐴 ∙ 𝐶𝑂 = 𝑂𝐴 ∙ 𝐶𝐷.
6 Vi vet att 𝐶𝐷 = 𝐶𝐴 − 𝐷𝐴, således är
𝐷𝐴 ∙ 𝐶𝑂 = 𝑂𝐴 ∙ (𝐶𝐴 − 𝐷𝐴).
Vi multiplicerar in 𝑂𝐴 i högerledet
𝐷𝐴 ∙ 𝐶𝑂 = 𝑂𝐴 ∙ 𝐶𝐴 − 𝑂𝐴 ∙ 𝐷𝐴 och flyttar över 𝑂𝐴 ∙ 𝐷𝐴 till vänsterledet
𝐷𝐴 ∙ 𝐶𝑂 + 𝑂𝐴 ∙ 𝐷𝐴 = 𝑂𝐴 ∙ 𝐶𝐴.
Bryter vi ut 𝐷𝐴 i västerledet får vi
𝐷𝐴 ∙ (𝐶𝑂 + 𝑂𝐴) = 𝑂𝐴 ∙ 𝐶𝐴.
Vi dividerar båda sidor med (𝐶𝑂 + 𝑂𝐴)
𝐷𝐴 = 𝑂𝐴 ∙ 𝐶𝐴 𝐶𝑂 + 𝑂𝐴 och dividerar båda led med 𝑂𝐴
𝐷𝐴
𝑂𝐴= 𝐶𝐴
𝐶𝑂 + 𝑂𝐴. Härledningen är klar.
𝐷𝑂2= 𝑂𝐴2+ 𝐷𝐴2 i lemma 1 är Pythagoras sats.
Beräkning av polygoners omkretsar med hjälp av Lemma 1.
Arkimedes använde lemma ett och utvecklade det till en formel. Vi betraktar regelbundna omskrivna 3 ∙ 2𝑖-hörningar. Sträckan 𝑂𝐴 är radien, 𝑟. Vi kallar sträckan 𝐶𝐴 för 𝑡𝑖 och vi låter 𝑢𝑖 vara längden av en linje som går från mitten av cirkeln till polygonens högsta punkt.
Således är 𝑡1 halva sidan av en 6-hörning, 𝑡2 är halva sidan av en 12-höring o.s.v.
7 Lemma 1 säger att
𝐷𝐴
𝑂𝐴= 𝐶𝐴
𝐶𝑂 + 𝑂𝐴 vilket alltså kan skrivas som
𝑡𝑖+1 𝑟 = 𝑡𝑖
𝑢𝑖+ 𝑟 vi multiplicerar båda sidor med 𝑟 och får
𝑡𝑖+1 = 𝑟𝑡𝑖 𝑢𝑖+ 𝑟. På samma sätt kan
𝐷𝑂2= 𝑂𝐴2+ 𝐷𝐴2
skrivas om. Längden av 𝐷𝑂 är 𝑢𝑖+1 eftersom vinkeln 𝐴𝑂𝐶 är dubbla vinkeln 𝐴𝑂𝐷. Vi har nu 𝑢𝑖+12 = 𝑟2+ 𝑡𝑖+12
som kan skrivas
𝑢𝑖+1 = √𝑟2+ 𝑡𝑖+12 .
Vi testar med att räkna ut en 6-hörnings ytter- och inneromkrets till en cirkel med radien 12.
Eftersom en sexhörning består av sex stycken liksidiga trianglar så vet vi att sträckan 𝐶𝐴 är halva sidan 𝐶𝑂. 𝐶𝑂 räknas ut med Pythagoras sats. Vi kallar 𝐶𝑂 för 𝑥 och får då
(1 2)
2
+ (𝑥
2)2 = 𝑥2 Detta blir
1 4+𝑥2
4 = 𝑥2 𝑥2−𝑥2 4 =1
4 3𝑥2 4 =1
4 𝑥2=1
3 𝑥 = 1
√3
8 Nu vet vi att
𝐶𝑂 = 1
√3 och att 𝐶𝐴 = 1 2√3.
Vi sätter 𝑖 = 1 och får då 𝐶𝐴 = 𝑡1 och 𝐶𝑂 = 𝑢1. Hädanefter kommer inte alla beräkningar redovisas steg för steg av utrymmesskäl. Vi får att
𝑡𝑖+1 = 𝑟𝑡𝑖
𝑢𝑖+ 𝑟 ⇒ 𝑡2 = 12 ∙ 1
1 2√3
√3+1 2
=2 − √3
2 = 1 −√3 2 .
Detta är längden av halva sidan på en omskriven 12-hörning så omkretsen blir således (1 −√3
2) ∙ 24 = 24 − 12√3 = 3,2153 … Nu räknar vi ut värdet av 𝑢2. Vi har att
𝑢2= √𝑟2+ 𝑡22 vilket blir
𝑢2 = √(1 2)
2
+ (1 −√3 2 )
2
= √2 − √3.
Detta värde behöver vi för att räkna ut 24-hörningens omkrets. Vi sätter 𝑖 = 2 och får då 𝐶𝐴 = 𝑡2 och 𝐶𝑂 = 𝑢2.
𝑡3= 𝑟𝑡2
𝑢2+ 𝑟= 𝑡3=
12 ∙ (1 −√3 2 )
√2 − √3 + 12= 2 − √3 2 + 4√2 − √3 Omkretsen av den omskrivna 24-hörningen blir
( 2 − √3
2 + 4√2 − √3) ∙ 48 = 3,1596 … Nu har vi värdet för 𝑡3 och vi kan då räkna ut 𝑢3.
𝑢3= √𝑟2+ 𝑡32= √1
4+ ( 2 − √3 2 + 4√2 − √3)
2
.
Nu kan vi räkna ut omkretsen för 48-hörningen, 𝑖 = 3.
𝑡4= 𝑟𝑡3
𝑢3+ 𝑟= 𝑡4=
12 ∙ ( 2 − √3 2 + 4√2 − √3)
√14 + ( 2 − √3 2 + 4√2 − √3)
2
+1 2
= 2 − √3
2 + 4√2 − √3 + 4√4 − 2√3 + √2 − √3
9 Detta är längden av halva sidan av den omskrivna 48-hörningen så omkretsen blir
2 − √3
2 + 4√2 − √3 + 4√4 − 2√3 + √2 − √3
∙ 96 = 3,146086
Nu har vi värdet för 𝑡4 och vi kan då räkna ut 𝑢4.
𝑢4= √𝑟2+ 𝑡42= √1 4+
(
2 − √3
2 + 4√2 − √3 + 4√4 − 2√3 + √2 − √3)
2
.
Slutligen så bestämmer vi arean på den omskrivna 96-hörningen och sätter 𝑖 = 4. Vi multiplicerar uttrycket med 192 för att få omkretsen på den omskrivna 96-hörningen.
𝑡5 = 𝑟𝑡4
𝑢4+ 𝑟 ⇒ 𝑡5 = 12 ∙
(
2 − √3
2 + 4√2 − √3 + 4√4 − 2√3 + √2 − √3)
√14 + (
2 − √3
2 + 4√2 − √3 + 4√4 − 2√3 + √2 − √3)
2
+1 2
∙ 192 = 3,142714 …
Beräkning av omskrivna polygoner med hjälp av trigonometri
Ett alternativt sätt att göra Arkimedes beräkningar är med hjälp av trigonometri. Han bestämmer i lemma 1 att ∠𝐴𝑂𝐶 är 30° och att ∠𝐴𝑂𝐷 är 15°. Vi sätter cirkelns radie till 12.
10 Vi känner till värdena
cos 30° =√3
2 och sin 30° =1 2. Nu kan längden på 𝐶𝐴 bestämmas genom att först bestämma längden på 𝐶𝑂
cos 𝑣 =närliggande katet
hypotenusa cos 30° =1/2
𝐶𝑂 √3 2 =1/2
𝐶𝑂 ⇒ 𝐶𝑂 = 1
√3
sin 𝑣 =motstående katet
hypotenusa sin 30° = 𝐶𝐴
1/√3 1 2= 𝐶𝐴
1/√3 ⇒ 𝐶𝐴 = 1 2√3
Eftersom sträckan 𝐶𝐴 utgör halva sidan av en sexhörning måste resultatet multipliceras med 12 1
2√3∙ 12 = 2√3 = 3,4641 …
Detta är således omkretsen för en sexhörning som innesluter en cirkel med diametern 1 och samma värde som vi fick med Arkimedes formel.
Nu är sträckorna 𝐶𝐴 och 𝐶𝑂 kända. Eftersom ∠𝐶𝑂𝐴 är 15° så är sträckan 𝐷𝐴 halva sidan av en regelbunden tolvhörning. Vi har
cos 15° =√2 + √3
2 och sin 15° =√2 − √3 2 Vi räknar på samma sätt
cos 15° = 12
𝐷𝑂 ⇒ √2 + √3
2 =
12
𝐷𝑂 ⇒ 𝐷𝑂 = 1
√2 + √3
sin 15° = 𝐷𝐴
1/√2 + √3 ⇒ √2 − √3
2 = 𝐷𝐴
1/√2 + √3 ⇒ 𝐷𝐴 = 1 −√3 2
Nu vet vi längden på halva sidan och således är omkretsen för hela tolvhörningen (1 −√3
2 ) ∙ 24 = 3,21539 …
På detta sätt kan vi fortsätta att beräkna omkretsen för en 24-, 48- och 96-hörning som innesluter cirkeln.
11 Lemma 2.
Figur 1.
Låt 𝐴𝐵 vara diametern av en cirkel och 𝐴𝐶𝐵 en rätvinklig triangel som får plats i den övre halvan av cirkeln. Låt sträckan 𝐴𝐷 halvera vinkeln 𝐶𝐴𝐵 och möta cirkeln i punkten 𝐷. Dra en linje mellan 𝐷 och 𝐵. Då är 𝐴𝐵2/𝐵𝐷2= 1 + (𝐴𝐵 + 𝐴𝐶)2/𝐵𝐶2 och 𝐴𝐷2= 𝐴𝐵2− 𝐵𝐷2. [1]
Bevis för lemma 2.
Vi vill visa att
𝐴𝐵2
𝐵𝐷2= 1 +(𝐴𝐵 + 𝐴𝐶)2 𝐵𝐶2 Till att börja med kan vi konstatera att
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2+ 𝐵𝐷2 enligt Pythagoras sats.
Vi ersätter 𝐴𝐵2 och får
𝐴𝐷2+ 𝐵𝐷2
𝐵𝐷2 = 1 +(𝐴𝐵 + 𝐴𝐶)2 𝐵𝐶2 . Förenklar vänsterledet
𝐴𝐷2
𝐵𝐷2+ 1 = 1 +(𝐴𝐵 + 𝐴𝐶)2 𝐵𝐶2 vidare
𝐴𝐷2
𝐵𝐷2=(𝐴𝐵 + 𝐴𝐶)2 𝐵𝐶2 . Roten ur båda led ger
𝐴𝐷 𝐵𝐷 =𝐴𝐵
𝐵𝐶+𝐴𝐶 𝐵𝐶.
12 För att bevisa detta så övergår vi till härledning med hjälp av trigonometri. Vi ser i figur 1 att
𝐴𝐷
𝐵𝐷= cot(𝑢).
Vi kallar
∠𝐷𝐴𝐵 = 𝑢 vilket gör att ∠𝐶𝐴𝐵 = 2𝑢.
Vi ser också att
𝐵𝐶
𝐴𝐵= sin(2𝑢) ⇒ 𝐴𝐵
𝐵𝐶= 1
sin(2𝑢) och att 𝐴𝐶
𝐵𝐶= cot(2𝑢).
Uttrycket
𝐴𝐷 𝐵𝐷=𝐴𝐵
𝐵𝐶+𝐴𝐶 𝐵𝐶 kan nu skrivas som
cot(𝑢) = 1
sin(2𝑢)+ cot(2𝑢).
Vi byter ut cot(𝑢) mot cos(𝑢)sin(𝑢) vilket ger cos(𝑢)
sin(𝑢) = 1
sin(2𝑢)+cos(2𝑢) sin(2𝑢) Kan skrivas som
cos(𝑢)
sin(𝑢) =1 + cos(2𝑢) sin(2𝑢) Vi använder de trigonometriska sambanden
cos(2𝑢) = 2 cos2(𝑢) − 1 och sin(2𝑢) = 2 sin(𝑢) cos(𝑢) Vilket leder till
cos(𝑢)
sin(𝑢) =1 + 2 cos2(𝑢) − 1 2 sin(𝑢) cos(𝑢)
cos(𝑢)
sin(𝑢) = 2 cos2(𝑢) 2 sin(𝑢) cos(𝑢) cos(𝑢)
sin(𝑢) = cos2(𝑢) sin(𝑢) cos(𝑢) Bryter ut cos(𝑢) ur högerledet
cos(𝑢)
sin(𝑢) =cos(𝑢) sin(𝑢). Härledningen är klar.
13 Beräkning av polygoners omkretsar med hjälp av Lemma 2.
Arkimedes använde lemma 2 för att räkna omkretsen av de inskrivna månghörningarna. 𝐴𝐵 är diametern på cirkeln och 𝐴𝐷 är en bisektris till ∠𝐶𝐴𝐵. Då är 𝐵𝐶 sidan i en inskriven 𝑛-hörning och 𝐵𝐷 sidan i en inskriven 2𝑛-hörning.
Arkimedes lemma 2 samt periferivinkelsatsen. Figur 2 & 3.
Bevis
Vi använder oss av periferivinkelsatsen som säger att medelpunktvinkeln är dubbelt så stor som periferivinkeln. Se figur 3.
I figur 1 så är ∠𝐵𝐴𝐶 periferivinkel på kordan 𝐵𝐶 och ∠𝐵𝐴𝐷 periferivinkel till 𝐵𝐷.
Medelpunktsvinklarna till 𝐵𝐶 och 𝐵𝐷 är ∠𝐵𝑂𝐶 respektive ∠𝐵𝑂𝐷. Eftersom 𝐴𝐷 är bisektris till ∠𝐵𝐴𝐶 så gäller
∠𝐵𝑂𝐷 = 2∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐴𝐶 =1
2∠𝐵𝑂𝐶.
Om 𝐵𝐶 är sidan i en regelbunden inskriven 𝑛-hörning, så innebär det att 𝐵𝐷 är sidan i en
regelbunden inskriven 2𝑛-hörning. Vi sätter radien till 1 och börjar med att låta 𝐵𝐶 vara sidan i en sexhörning, så sträckan 𝐵𝐶 har längden 1. |𝐴𝐵| är 2 (radien är 1) och |𝐴𝐵|2 är således 4. |𝐴𝐶| räknas ut med Pythagoras sats, 12+ 𝐴𝐶2= 22 ⇒ 𝐴𝐶 = √3
Insättning i Arkimedes formel
𝐴𝐵2
𝐵𝐷2= 1 +(𝐴𝐵 + 𝐴𝐶)2 𝐵𝐶2 ger
4
𝐵𝐷2= 1 +(2 + √3)2 1 4
𝐵𝐷2= 8 + 4√3
14 𝐵𝐷2 = 4
8 + 4√3= 1 2 + √3
𝐵𝐷2= 2 − √3 ⇒ 𝐵𝐷 = √2 − √3
√2 − √3 ∙ 12 = 6,211657 …
vilket således är omkretsen på en inskriven 12-hörning i en cirkel med diametern 2. Vi delar med 2 och får
√2 − √3 ∙ 6 = 3,10582854 …
Nu visste Arkimedes omkretsen på en inskriven dodekagon och kunde fortsätta med en 24-hörning, då är 𝐵𝐶 sidan på en tolvhörning och 𝐵𝐷 sidan på en 24-hörning. Som vi precis räknade ut så är sidan i en tolvhörning √2 −√3, så alltså är
𝐵𝐶 = √2 − √3.
𝐴𝐵2= 4
eftersom radien fortfarande är 1. Återstår att räkna ut 𝐴𝐶, som enligt Pytagoras sats blir (√2 − √3)
2
+ 𝐴𝐶2= 22 ⇒ 2 − √3 + 𝐴𝐶2= 4 ⇒ 𝐴𝐶 = √2 + √3 Insättning i Arkimedes formel
𝐴𝐵2
𝐵𝐷2= 1 +(𝐴𝐵 + 𝐴𝐶)2 𝐵𝐶2 ger
4
𝐵𝐷2 = 1 +(2 + √2 + √3)2 (√2 − √3)2 vilket blir
𝐵𝐷 = √ 2 − √3 2 + √2 + √3 Multiplicerar med 12 (inte med 24 eftersom diametern är 2) och får
√ 2 − √3
2 + √2 + √3∙ 12 = 3,1326286 …
15 Genom att göra polygoner med fler och fler hörn så kom Arkimedes närmare och närmare ett
approximativt värde för cirkelns omkrets och på så sätt för 𝜋. Han utförde denna beräkning med 12, 24, 48 och 96-hörnade polygoner och kom fram till att värdet för 𝜋 måste ligga någonstans mellan 310
71 och 317. Ett allmänt förekommande värde för 𝜋 var senare 227, alltså 317, det tycks som att Arkimedes övre begränsning för 𝜋 av misstag togs som det uträknade värdet.
Tanken att räkna ut 𝜋 med hjälp av månghörningar var inte ursprungligen Arkimedes idé, tidigare kända grekiska tänkare som Antiphon och Bryson från Heraclea hade föreslagit en sådan uträkning men inte gjort den så utförligt som Arkimedes. Forskare tror att boken var början på ett större matematiskt arbete som är förlorat, där Arkimedes dubblade en tiohörning sex gånger och kommit så nära 𝜋 som 3,1416. [1]
Alternativa sätt att räkna ut omkretsen på en sex- och tolvhörning.
Med hjälp av Pythagoras sats och bisektrissatsen kan omkretsen också räknas ut för en hexagon och dodekagon.
Vi börjar med att rita en cirkel med diametern 1. Inuti denna cirkel ritar vi en sexhörning, hexagon, vars hörn precis sitter ihop med cirkeln. Hexagonen kan delas in i sex lika stora liksidiga trianglar som således har samma längd på sidorna som cirkelns radie, alltså 12. På detta sätt får vi att sexhörningens omkrets är 3, eftersom en liksidig triangel har lika långa sidor och 12∙ 6 = 3.
Nästa sexhörning stänger in cirkeln. Cirkelns radie går nu rakt genom trianglarna istället för att vara dess sida. Nu skapas en rätvinklig triangel vars hypotenusa (x) går att räkna ut med Pytagoras sats.
(1
2)2+ (𝑥
2)2= 𝑥2 ⇒ 𝑥 = 1
√3 . Eftersom x även är hexagonens sidländ så blir omkretsen:
6 ∙ 1
√3= 2√3 = 3,464 …
På detta sätt ser vi att cirkelns omkrets – tillika värdet på 𝜋 - är något värde mellan dessa två omkretsar. 3 < 𝜋 < 3,464 …
16 Tolvhörningen har tolv stycken streck som utgår från mittpunkten av cirkeln, som ekrarna på ett cykelhjul. Vi vet att alla dessa streck har längden ½. För att räkna ut omkretsen så får vi föreställa oss varje sida av tolvhörningen som hypotenusan på en triangel som bildas mellan tolvhörningen och sexhörningens sida. Detta kan räknas ut som:
𝑥2+ (1 4)
2
= (1 2)
2
⇒ 𝑥 =√3 4
Nu kan hypotenusan på den lilla triangeln som bildas mellan sexhörningen och tolvhörningens sidor räknas ut som:
(1 2−√3
4)
2
+ (1 4)
2
= 𝑦2⇒ 𝑦 =√2 − √3 2 Alltså är tolvhörningens omkrets:
√2 − √3
2 ∙ 12 = 6√2 − √3 = 3,1058 … Yttersidans omkrets blir lite mer komplicerad att räkna ut.
17 Vi vet sen tidigare att sidan på sexhörningen är √31 och att radien på cirkeln alltid är 12. Således är halva sexhörningens sida 2√31 . När den övre liksidiga triangeln delas mitt itu av radien uppstår samma vinklar i de båda rätvinkliga trianglarna som bildas.
Nu kan vi använda oss av bisektrissatsen som säger att förhållandet mellan sträckorna 𝐴𝐵𝐴𝐶 =𝐵𝐷𝐶𝐷. Således kan x räknas ut som
1
√31 2
= 1 2√3− 𝑥
𝑥 ⇒ 𝑥 = 1
2(2 + √3).
Nu har vi räknat ut halva sträckan av 12-hörningens sida så värdet måste multipliceras med 24 1
2(2 + √3)∙ 24 = 3,21539 …
Nu vet vi omkretsarna för båda tolvhörningarna och kan således att: 3,105 … < 𝜋 < 3,215 …
Figur 4.
18 Med hjälp av Excel
Anledningen till att vi gick igenom dessa alternativa sätt att räkna ut omkretsen på månghörningarna är för att visa hur Pytagoras sats kan implementeras i Excel. Med hjälp av detta program kan
omkretsen för en inskriven månghörning räknas ut betydligt snabbare. [5] Vi utgår från exemplet där tolvhörningens omkrets räknas ut och fortsätter att räkna ut hypotenusan för varje ny triangel som bildas längs cirkelns kant när en 2𝑛-hörning läggs på en 𝑛-hörning. Se figur 4. A är hypotenusan, tillika månghörningens sida, B är närliggande katet och C är motstående katet.
Antal sidor A B C Månghörningens omkrets
6 0,5 0,43301270 0,25 3 12 0,25881905 0,25000000 0,06698730 3,10582854123025 24 0,13052619 0,12940952 0,01703709 3,13262861328124 48 0,06540313 0,06526310 0,00427757 3,13935020304687 96 0,03271908 0,03270156 0,00107054 3,14103195089051 192 0,01636173 0,01635954 0,00026771 3,14145247228546 384 0,00818114 0,00818087 0,00006693 3,14155760791186 768 0,00409060 0,00409057 0,00001673 3,14158389214832 1 536 0,00204531 0,00204530 0,00000418 3,14159046322805 3 072 0,00102265 0,00102265 0,00000105 3,14159210599927 6 144 0,00051133 0,00051133 0,00000026 3,14159251669216 12 288 0,00025566 0,00025566 0,00000007 3,14159261936538 24 576 0,00012783 0,00012783 0,00000002 3,14159264503369 49 152 0,00006392 0,00006392 0,00000000 3,14159265145077 98 304 0,00003196 0,00003196 0,00000000 3,14159265305504 196 608 0,00001598 0,00001598 0,00000000 3,14159265345610 393 216 0,00000799 0,00000799 0,00000000 3,14159265355637 786 432 0,00000399 0,00000399 0,00000000 3,14159265358144 1 572 864 0,00000200 0,00000200 0,00000000 3,14159265358770 3 145 728 0,00000100 0,00000100 0,00000000 3,14159265358927 6 291 456 0,00000050 0,00000050 0,00000000 3,14159265358966 12 582 912 0,00000025 0,00000025 0,00000000 3,14159265358976 25 165 824 0,00000012 0,00000012 0,00000000 3,14159265358979000000 π=3,14159265358979323846
Excel klarar inte av att räkna längre än till en 25 165 824-hörning, och då har vi bara kommit fram till 14 korrekta decimaler. Att räkna ut 𝜋 med hjälp av månghörningars omkretsar var ett bra och användbart sätt tidigare i mänsklighetens historia. Idag är det dock oerhört ineffektivt jämfört med moderna beräkningar, med tanke på att det krävs mer än 25 miljoner hörn på en månghörning för 14 decimaler och att vi idag känner till 13,3 biljoner sådana. Hur många hörn det skulle krävas på en månghörning för att komma fram till dessa 13,3 biljoner decimaler låter vi vara osagt.
19
Viètes formel
François Viète (1540–1603) var en fransk matematiker som 1593 publicerade ett nytt sätt att räkna ut 𝜋 i sin bok Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII. Viète var en erkänd
matematiker som brukar kallas för den moderna algebrans skapare.
Viète var den första som beskrev 𝜋 som en oändlig produkt. Formeln såg ut så här:
2 𝜋=√2
2 ∙√2 + √2
2 ∙√2 + √2 + √2
2 …
Viète utgick precis som Arkimedes från månghörningar inuti en cirkel. Men Viète försökte inte stänga in cirkeln utan räknade bara med månghörningar som får plats inuti den. Med hjälp av denna formel lyckades Viète beräkna 9 korrekta decimaler av 𝜋, men vid denna tidpunkt (1424) så hade den persiske matematikern Jamshīd al-Kāshī lyckats komma fram till hela 16 decimaler. [6]
Beräkning av Viètes formel
Viète kom fram till att produkten i högerledet närmade sig 2𝜋 genom att studera inskrivna polygoners omkretsar.
Vi låter cirkelns radie vara 1. Vi kallar omkretsen av den inskrivna månghörningen för O(𝑛), där 𝑛 betyder antalet hörn. Viète studerade produkten
O(2) O(4)∙O(4)
O(8)∙ O(8)
O(16)∙O(16)
O(32)…O(2𝑛−1) O(2𝑛) . Kan förkortas som
O(2) O(2𝑛)
där O(2) är en ”tvåhörning”, alltså en diameter genomlöpt 2 gånger. Så vi får O(2) = 4 och O(2n) → 2𝜋 då 𝑛 → ∞.
Precis som exemplet med Excel-arket så kommer den inskrivna månghörningen närma sig 𝜋 då antalet hörn går mot oändligheten. Alltså, när 𝑛 → ∞ så måste O(𝑛) gå mot cirkelns omkrets som i det här fallet är 2𝜋 eftersom diametern är 2.
Produkten går således mot
4 2𝜋=2
𝜋 då 𝑛 → ∞.
Vi beräknar första kvoten i formeln, omkretsen av en tvåhörning dividerat på en fyrhörning inuti en cirkel med radien 1. En tvåhörning har som sagt omkretsen 4 och en kvadrat har omkretsen 4√2, eftersom kvadraten kan delas in i fyra stycken rätvinkliga trianglar med hypotenusan och tillika sidan
√2. Se figur 4. Vi får således
20 O(2)
O(4)= 4 4√2= 1
√2=√2 2.
Viètes formel. François Viète utgick precis som Arkimedes från polygoner inuti en cirkel. Figur 5 & 6.
Vi fortsätter att beräkna en kvadrats omkrets delat på en åttahörning. En Octagon kan delas in i åtta stycken likbenta trianglar som har två sidor med längden 1, och en toppvinkel på 45°. Dessa kan i sin tur delas i två, vi får då en rätvinklig triangel med hypotenusan 1 och vinkeln 22,5°. Se figur 5. Nu kan vi räkna ut längden på sidan med hjälp av trigonometri. Vi vet att formeln för halva vinkeln säger att
sin (𝑣
2) = √1 − cos(𝑣)
2 och cos (𝑣
2) = √1 + cos(𝑣)
2 .
Alltså är sin(22.5°)
sin (45°
2 ) = √1 − cos(45°)
2 =√1 − 1
√2
2 =√2 − √2 2 . Eftersom sin(𝑣) =motstående katet
hypotenusan så blir längden på halva sidan av åttahörningen sin22.5° =𝑥
1 ⇒ 𝑥 =√2 − √2 2 omkretsen på en åttahörning blir således
√2 − √2
2 ∙ 16 = 8√2 − √2.
Nu vet vi att andra kvoten är
21 O(4)
O(8)= 4√2
8√2 − √2=√2 + √2 2 .
Således får vi Viètes formel om vi fortsätter med en åttahörnings omkrets delat på en 16-hörning o.s.v. Vi ska nu undersöka vad som händer om vi istället dividerar månghörningars areor med varandra, som vi kallar för A(𝑛), där 𝑛 är antalet hörn. Vi har att
A(4) A(8)∙ A(8)
A(16)∙A(16)
A(32)…A(2𝑛−1)
A(2𝑛) = A(4) A(2𝑛) Som går mot
2
𝜋 då 𝑛 → ∞
Första termen √22, är arean av en kvadrat delat på arean av en åttahörning, octagon.
Om radien är 1 blir kvadratens, A(4), area = 2. Eftersom kvadraten kan delas in i två lika stora trianglar som har basen 2 och höjden 1. Arean för en triangel skrivs
𝑏 ∙ ℎ 2 Såldes är trianglarnas area
2 ∙ 1 2 = 1 och
A(4) = 2.
En octagon, A(8), kan delas in i åtta stycken likbenta trianglar som har två sidor med längden 1 och toppvinkel på 45°. Se figur 6. Dessa kan i sin tur delas i två, vi får då en rätvinklig triangel med
hypotenusan 1 och vinkeln 22,5°. Nu kan vi räkna ut längden på basen och höjden med trigonometri.
sin (45°
2 ) = √1 − cos(45°)
2 =√2 − √2
2
cos (45°
2 ) = √1 + cos(45°)
2 =√2 + √2
2 Höjden blir
sin22.5° =ℎ
1 ⇒ ℎ =√2 − √2 2 . Basen blir
cos22.5° =𝑏
1 ⇒ 𝑏 =√2 + √2 2 Arean för triangeln blir
22
√2 + √2
2 ∙√2 − √2 2
2 = 1
8√2
Nu vet vi arean för triangeln som utgör en sextondel av A(8). Alltså är arean
A(8) = 1
8√2∙ 16 = 2
√2 Således är kvadratens area delat på åttahörningens
A(4) A(8)= 1
2
√2
=√2 2
Den andra termen √2+√22 , är förhållandet mellan en åttahörning, A(8), och en 16-hörning,
hexadecagon, A(16). Åttahörningens area vet vi redan och 16-hörningen kan räknas ut på samma sätt. Hexadecagonen kan delas in i 32 likbenta trianglar med två sidor som har längden 1 och toppvinkel på 22.5°.
Dessa kan delas i två, då uppstår en rätvinklig triangel med hypotenusan 1 och en vinkel på 12.25°.
Vi vet sin22.5° och cos22.5° och kan således räkna ut 12.25° med formeln för halva vinkeln.
sin (22.5°
2 ) = √1 − cos(22.5°)
2 =√1 − (√2 + √2
2 )
2 =1
2√2 − √2 + √2
cos (22.5°
2 ) = √1 + cos(22.5°)
2 =√1 + (√2 + √2
2 )
2 =1
2√2 + √2 + √2 Höjden blir
sin12.25° =ℎ
1 ⇒ ℎ =1
2√2 − √2 + √2 Basen blir
cos12.25° =𝑏
1 ⇒ 𝑏 =1
2√2 + √2 + √2 Arean för triangeln blir
(1
2√2 + √2 + √2) (12√2 − √2 + √2)
2 =√2 − √2
16
23 Triangeln utgör en 32-del av 16-hörningen, således är arean
A(16) =√2 − √2
16 ∙ 32 = 2√2 − √2
Alltså är åttahörningens area delat på 16-hörningens
A(8) A(16)=
2
√2
2√2 − √2 =√2 + √2 2
Formeln fortsätter sedan med 16-hörningen delat på 32-hörningen o.s.v.
Hur kan det komma sig att formeln både beskriver sambandet mellan polygoners areor och omkretsar?
Bevis
Vi låter som tidigare A(𝑛) och O(𝑛) vara arean respektive omkretsen på en regelbunden 𝑛-hörning med radien 1. Att radien är 1 innebär att avståndet mellan medelpunkten (𝑀) och hörnen är 1.
Medelpunktsvinkeln 𝐴𝑀𝐵 och längden på sträckan 𝐴𝐵 är då
∠𝐴𝑀𝐵 =2𝜋
𝑛 |𝐴𝐵| = 2 sin2𝜋 2𝑛 så omkretsen på 𝑛-hörningen blir
O(𝑛) = 2𝑛 sin2𝜋 2𝑛.
24 Areasatsen ger att arean av triangeln ⊿𝐴𝑀𝐵 är
1
2∙ 1 ∙ 1 ∙ sin2𝜋 𝑛 =1
2sin2𝜋 𝑛 så
A(𝑛) =𝑛 2sin2𝜋
𝑛. Om vi använder att
sin 𝛼 = 2 sin𝛼 2cos𝛼
2 så får vi att
O(𝑛)
O(2𝑛)=2𝑛 sin(2𝜋/2𝑛)
4𝑛 sin(2𝜋/4𝑛) = sin(2𝜋/2𝑛) 2 sin(2𝜋/4𝑛)
=2𝑛 sin(2𝜋/4𝑛) cos(2𝜋/4𝑛)
2 sin(2𝜋/4𝑛) = cos2𝜋 4𝑛. På samma sätt får vi
A(𝑛)
A(2𝑛)= cos2𝜋 2𝑛. Vi får nu att
O(2𝑘)
O(2𝑘+1)=A(2𝑘+1) A(2𝑘+2). Utskrivet är nu detta
O(2)
O(4)=A(4)
A(8), O(4)
O(8)= A(8)
A(16), O(8)
O(16)=A(16) A(32) o.s.v. och vi ser att
O(2) O(4)∙O(4)
O(8)∙ O(8)
O(16)∙ … ∙ O(2𝑘)
O(2𝑘+1)=A(4) A(8)∙ A(8)
A(16)∙A(16)
A(32)∙ … ∙A(2𝑘+1) A(2𝑘+2).
Härledning med hjälp av trigonometri Viètes formel kan skrivas som
2
𝜋= cos𝜋 4cos𝜋
8cos 𝜋
16… =√2
2 ∙√2 + √2
2 ∙√2 + √2 + √2
2 …
Bevis för detta. Formeln för halva vinkel säger att
sin x = cos𝑥
2∙ 2sin𝑥 2.
25 Här kan 2sin𝑥2 kan skrivas som
2sin𝑥
2= 4 cos (𝑥
4) sin (𝑥 4) . Därför är
sin x = cos𝑥
2∙ cos (𝑥
4) ∙ 4 sin (𝑥 4).
Här kan 4 sin (𝑥4) skrivas som
4 sin (𝑥
4) = 8 cos (𝑥
8) ∙ sin (𝑥 8).
Därav följer att sin x är
sin x = cos𝑥 2∙ cos𝑥
4∙ cos𝑥
8∙ 8 sin𝑥 8
och så vidare. Följaktligen kan sin 𝑥 skrivas som en produkt sin x = (∏ cos
𝑛
𝑘=1
𝑥
2𝑘) 2𝑛sin 𝑥 2𝑛 sinx/x blir då:
sinx
x = (∏ cos
𝑛
𝑘=1
𝑥 2𝑘)2
𝑥
𝑛
∙ sin 𝑥 2𝑛 Vi undersöker gränsvärdet för 2𝑥𝑛sin 𝑥
2𝑛 när 𝑛 → ∞
𝑛→∞lim 2 𝑥
𝑛
∙ sin 𝑥
2𝑛 = lim
𝑛→∞
sin 𝑥 2𝑛 2𝑥𝑛
= [variabelbyte 𝑥
2𝑛= 𝑡] = lim
𝑡→0
sin 𝑡 𝑡 = 1
lim𝑡→0
sin 𝑡
𝑡 = 1 då 𝑛 → ∞ går 𝑡 → 0 Således blir
sinx
x = (∏ cos
∞
𝑘=1
𝑥
2𝑘) ∙ 1 = (∏ cos
∞
𝑘=1
𝑥 2𝑘).
Nu sätter vi 𝑥 =𝜋2. Eftersom sin (𝜋2) = 1, så är vänsterledet sin𝜋
𝜋2 2
= 1 𝜋2
= 2 𝜋. Vi får
26 2
𝜋= (∏ cos
𝑛
𝑘=1
𝜋2 2𝑘)
Högerledets första faktor blir cos (𝑥2/2), den andra blir cos (𝑥2/4) o.s.v. Alltså är
2
𝜋= cos𝜋 4cos𝜋
8cos 𝜋 16cos 𝜋
32… Värdet av cos𝜋4 är
cos𝜋 4 = √1
2(1 + cos𝜋 2) =√2
2 och cos𝜋8 kan också beräknas med formeln för halva vinkeln
cos𝜋 8= √1
2(1 + cos𝜋
4) = √1
2(1 +√2
2) =√2 + √2 2 Alltså är
cos𝜋 4∙ cos𝜋
8 =√2
2 ∙√2 + √2 2 så
cos𝜋 4∙ cos𝜋
8∙ cos 𝜋
16∙ cos 𝜋
32… =√2
2 ∙√2 + √2
2 ∙√2 + √2 + √2
2 ∙
√2 + √2 + √2 + √2
2 …
och
2
𝜋= cos𝜋 4∙ cos𝜋
8∙ cos 𝜋
16∙ cos 𝜋
32… =√2
2 ∙√2 + √2
2 ∙√2 + √2 + √2
2 ∙
√2 + √2 + √2 + √2
2 …
27
Wallis produkt
John Wallis, (1616–1703) presenterade i sin bok Arithmetica infinitorum, som publicerades 1656, en formel för att beskriva värdet för 𝜋:
𝜋 = 2 ∙2 1∙2
3∙4 3∙4
5∙6 5∙6
7∙8 7∙8
9… skrivs även som
𝜋 2=2
1∙2 3∙4
3∙4 5∙6
5∙6 7∙8
7∙8 9…
något som kallas för Wallis produkt. Han arbetade som professor på universitetet i Oxford i över 50 år ändå till sin död. Wallis beskrev, precis som Viète, 𝜋 som en oändlig produkt men han var den första som beskrev 𝜋 som en produkt av rationella operationer. [2]
Wallis produkt är ett bra sätt för att approximera 𝜋 ganska enkelt. Den är dock, precis som Arkimedes månghörningar, tämligen värdelös för att beräkna många decimaler.
Wallis produkt kan också skrivas som 𝜋
2= ∏ 4𝑛2 4𝑛2− 1
∞
𝑛=1
.
Eftersom
𝜋
2= ∏ 4𝑛2 4𝑛2− 1
∞
𝑛=1
= (2𝑛)2
(2𝑛)2− 1= (2𝑛)2 (2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1) och
𝜋 2=2
1∙2 3∙4
3∙4 5∙6
5∙6 7∙8
7∙8
9… = 22 1 ∙ 3∙ 42
3 ∙ 5∙ 62 5 ∙ 7∙ 82
7 ∙ 9… så är
𝜋
2= ∏ 4𝑛2 4𝑛2− 1
∞
𝑛=1
.
Härledning.
Integralen
𝐼𝑛= ∫ sin𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋2
0
kan beskrivas med formeln
𝐼𝑛=𝑛 − 1 𝑛 𝐼𝑛−2.
Bevis. Vi skriver om integralen med hjälp av summaregeln och kedjeregeln 𝐼𝑛= ∫ sin𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋2
0
= ∫ sin 𝑥 ∙ sin𝑛−1𝑥 𝑑𝑥
𝜋2
0
28
= [−cos 𝑥 sinn−1𝑥]0
𝜋2− ∫ (− cos 𝑥) ∙ (𝑛 − 1) sin𝑛−2𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋2
0
= 0 + ∫ (𝑛 − 1) cos2𝑥 ∙ sin𝑛−2𝑥 𝑑𝑥.
𝜋2
0
Använder trigonometriska ettan som säger att cos2𝑥 = 1 − sin2𝑥, och får således
∫ (𝑛 − 1) cos2𝑥 ∙ sin𝑛−2𝑥 𝑑𝑥
𝜋2
0
= (𝑛 − 1) ∫ (1 − sin2𝑥) ∙ sin𝑛−2𝑥 𝑑𝑥
𝜋2
0
multiplicerar in sin𝑛−2𝑥
= (𝑛 − 1) ∫ (sin𝑛−2𝑥 − sinn𝑥) 𝑑𝑥
𝜋2
0
Nu använder vi oss av summaregeln igen och får
= (𝑛 − 1) ∫ sin𝑛−2𝑥 𝑑𝑥
𝜋2
0
− (𝑛 − 1) ∫ sinn𝑥 𝑑𝑥.
𝜋2
0
Vi vet att
𝐼𝑛= ∫ sin𝑛𝑥𝑑𝑥.
𝜋2
0
Alltså kan uttrycket skrivas om som
= (𝑛 − 1)𝐼𝑛−2− (𝑛 − 1)𝐼𝑛. Vi har nu
𝐼𝑛= (𝑛 − 1)𝐼𝑛−2− (𝑛 − 1)𝐼𝑛 som kan skrivas
(𝑛 − 1)𝐼𝑛+ 𝐼𝑛= (𝑛 − 1)𝐼𝑛−2 multiplicerar in 𝐼𝑛
𝐼𝑛𝑛 − 𝐼𝑛+ 𝐼𝑛= (𝑛 − 1)𝐼𝑛−2 Således har vi
𝐼𝑛𝑛 = (𝑛 − 1)𝐼𝑛−2 vilket blir
𝐼𝑛=𝑛 − 1 𝑛 𝐼𝑛−2. Nu beräknar vi integralen för 𝑛 = 0, 1.
𝐼𝑛= ∫ sin𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝜋2
0
𝐼0= ∫ sin0𝑥𝑑𝑥
𝜋2
0
= [𝑥]0
𝜋 2 =𝜋
2
29 𝐼1= ∫ sin1𝑥𝑑𝑥
𝜋2
0
= [−cos𝑥]0
𝜋2= 0 − (−1) = 1
Nu kan vi beräkna 𝑛 = 2, 3, 4 i uttrycket
𝐼𝑛=𝑛 − 1 𝑛 𝐼𝑛−2. 𝐼2=2 − 1
2 𝐼2−2=1 2∙𝜋
2=𝜋 4 𝐼3=3 − 1
3 𝐼3−2=2
3∙ 1 =2 3 𝐼4=4 − 1
4 𝐼4−2=3 4∙𝜋
4 =3𝜋 16 Vi kan notera att i jämnt index ingår pi och ojämna index ingår det inte.
Vi ska nu bevisa att 𝐼2𝑛 kan skrivas som 𝐼2𝑛=2𝑛 − 1
2𝑛 ∙2𝑛 − 3 2𝑛 − 2…5
6∙3 4∙1
2∙𝜋 2 och 𝐼2𝑛+1 kan skrivas som
𝐼2𝑛+1= 2𝑛
2𝑛 + 1∙2𝑛 − 2 2𝑛 − 1…6
7∙4 5∙2
3. Eftersom
𝐼𝑛=𝑛 − 1 𝑛 𝐼𝑛−2 så är
𝐼2𝑛=2𝑛 − 1 2𝑛 𝐼2𝑛−2 och
𝐼2𝑛−2=2𝑛 − 2 − 1 2𝑛 − 2 𝐼2𝑛−4. Således blir
𝐼2𝑛=2𝑛 − 1
2𝑛 𝐼2𝑛−2=2𝑛 − 1
2𝑛 ∙2𝑛 − 2 − 1 2𝑛 − 2 𝐼2𝑛−4. Fortsätter vi får vi
𝐼2𝑛=2𝑛 − 1
2𝑛 𝐼2𝑛−2=2𝑛 − 1
2𝑛 ∙2𝑛 − 3
2𝑛 − 2∙2𝑛 − 5
2𝑛 − 4∙2𝑛 − 7
2𝑛 − 6∙2𝑛 − 9 2𝑛 − 8… och så vidare. Detta kan skrivas som
𝐼2𝑛=(2𝑛 − 1) ∙ (2𝑛 − 3) ∙ . . . ∙ 1 2𝑛 ∙ (2𝑛 − 2) ∙ . . . ∙ 2 ∙ 𝐼0 och
30 𝐼2𝑛+1= (2𝑛) ∙ (2𝑛 − 2) ∙ . . . ∙ 2
(2𝑛 + 1) ∙ (2𝑛 − 1) ∙ . . . ∙ 1∙ 𝐼1. Vi minns att 𝐼0=𝜋2 och 𝐼1= 1, så uttrycken kan skrivas som
𝐼2𝑛=(2𝑛 − 1)‼
(2𝑛)‼ ∙𝜋 2 och
𝐼2𝑛+1= (2𝑛) ∙ (2𝑛 − 2) ∙ . . . ∙ 2 (2𝑛 + 1) ∙ (2𝑛 − 1) ∙ . . . ∙ 1∙ 1.
Där
(2𝑛)‼ = 2𝑛 ∙ (2𝑛 − 2) ∙ . . . ∙ 2 och
(2𝑛 + 1)‼ = (2𝑛 + 1) ∙ (2𝑛 − 1) ∙ . . . ∙ 1 kallas för semifakuliteter.
Alltså kan 𝐼2𝑛 och 𝐼2𝑛+1 skrivas som
𝐼2𝑛=2𝑛 − 1
2𝑛 ∙2𝑛 − 3 2𝑛 − 2…5
6∙3 4∙1
2∙𝜋 2 och
𝐼2𝑛+1= (2𝑛) ∙ (2𝑛 − 2) ∙ . . . ∙ 2 (2𝑛 + 1) ∙ (2𝑛 − 1) ∙ . . . ∙ 1∙ 1.
Vi skriver om som
𝜋
2 = 2𝑛
2𝑛 − 1∙2𝑛 − 2 2𝑛 − 3…6
5∙4 3∙2
1∙ 𝐼2𝑛 och
1 = 2𝑛
2𝑛 + 1∙2𝑛 − 2 2𝑛 − 1…6
7∙4 5∙2
3∙ 1 𝐼2𝑛+1. Sammanför vi båda uttrycken får vi
𝜋
2∙ 1 = 2𝑛
2𝑛 − 1∙2𝑛 − 2 2𝑛 − 3…6
5∙4 3∙2
1∙ 𝐼2𝑛∙ 2𝑛
2𝑛 + 1∙2𝑛 − 2 2𝑛 − 1…6
7∙4 5∙2
3∙ 1 𝐼2𝑛+1.
Fortsätter förenkla 𝜋
2 = 2𝑛
2𝑛 − 1∙2𝑛 − 2
2𝑛 − 3… ∙ 2𝑛
2𝑛 + 1∙2𝑛 − 2 2𝑛 − 1…6
5∙4 3∙2
1∙6 7∙4
5∙2
3∙ 𝐼2𝑛∙ 1 𝐼2𝑛+1 𝜋
2= 2𝑛
(2𝑛 − 1)2∙(2𝑛 − 2)2
2𝑛 − 3 …(6 ∙ 4 ∙ 2)2 (7 ∙ 5 ∙ 3)2∙ 2𝑛
2𝑛 + 1∙ 𝐼2𝑛 𝐼2𝑛+1
31 Vilket blir
𝜋
2= ( 2 ∙ 4 ∙ 6 … 2𝑛 3 ∙ 5 ∙ 7 … (2𝑛 − 1))
2
∙ 1
2𝑛 + 1∙ 𝐼2𝑛 𝐼2𝑛+1 Nu räcker det att visa att
𝑛→∞lim 𝐼2𝑛 𝐼2𝑛+1= 1 Vi vet att för alla 𝑥 ∈ (0, 𝜋/2) så är
sin2𝑛−1𝑥 > sin2𝑛𝑥 > sin2𝑛+1𝑥 eftersom
sin 𝑥 > sin2𝑥 > sin3𝑥 då 𝑥 ∈ (0, 𝜋/2).
Således leder en integration från 0 till 𝜋/2 att
∫ sin2𝑛−1𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
≥ ∫ sin2𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
≥ ∫ sin2𝑛+1𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
0
vilket leder till att
𝐼2𝑛−1≥ 𝐼2𝑛≥ 𝐼2𝑛+1. Vi delar alla led med 𝐼2𝑛+1 och får att
𝐼2𝑛−1 𝐼2𝑛+1≥ 𝐼2𝑛
𝐼2𝑛+1≥ 1.
Eftersom
𝐼𝑛=𝑛 − 1 𝑛 𝐼𝑛−2 så blir
𝐼2𝑛+1=2𝑛 + 1 − 1 2𝑛 + 1 𝐼2𝑛−1 och
𝐼2𝑛+1 𝐼2𝑛−1=
2𝑛 + 1 𝐼2𝑛 2𝑛−1
𝐼2𝑛−1 = 2𝑛
2𝑛 + 1. Alltså är
𝐼2𝑛−1
𝐼2𝑛+1=2𝑛 + 1 2𝑛 Vi undersöker gränsvärdet
𝑛→∞lim
2𝑛 + 1 2𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛 (2 +1 𝑛) 𝑛(2) = lim
𝑛→∞
2 +1 𝑛 2 = lim
𝑛→∞
2 2= 1
32 Således är
𝑛→∞lim 𝐼2𝑛−1 𝐼2𝑛+1= lim
𝑛→∞
2𝑛 + 1 2𝑛 = 1 Nu kan vi konstatera att
𝑛→∞lim 𝐼2𝑛−1 𝐼2𝑛+1= 1.
Alltså är
𝑛→∞lim ( 2 ∙ 4 ∙ 6 … 2𝑛 3 ∙ 5 ∙ 7 … (2𝑛 − 1))
2
∙ 1
2𝑛 + 1∙ 𝐼2𝑛 𝐼2𝑛+1 samma sak som
𝑛→∞lim ( 2 ∙ 4 ∙ 6 … 2𝑛 3 ∙ 5 ∙ 7 … (2𝑛 − 1))
2
∙ 1
2𝑛 + 1∙ 1 = lim
𝑛→∞( 2 ∙ 4 ∙ 6 … 2𝑛 3 ∙ 5 ∙ 7 … (2𝑛 − 1))
2
∙ 1
2𝑛 + 1 Vi får
𝜋
2= ( 2 ∙ 4 ∙ 6 … 2𝑛 3 ∙ 5 ∙ 7 … (2𝑛 − 1))
2
∙ 1
2𝑛 + 1∙ 𝐼2𝑛 𝐼2𝑛+1 som blir
𝜋 2 = lim
𝑛→∞( 2 ∙ 4 ∙ 6 … 2𝑛 3 ∙ 5 ∙ 7 … (2𝑛 − 1))
2
∙ 1
2𝑛 + 1∙ 1
vilket är ekvivalent med Wallis produkt.
33
Referenser
[1] Katz, Victor J. (1998): A History of Mathematics, An Introduction, 2nd edition, Addison- Wesley Educational Publishers, Inc.
[2] Bailey, David H. & Borwein, Jonathan M. (2016): Pi: The Next Generation, Springer International Publishing Switzerland
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Pi
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes
[5] MathWithoutBorders. (2012): Finding Pi by Archimedes Method https://www.youtube.com/watch?v=_rJdkhlWZVQ
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formula
