Föreläsning 22 i Inledande matematik för Z/TD.
Repetition om punkter, vektorer, plan, linjer i
rum-met.
Praktiska användning av dessa begrepp är av två olika typer. Från geometri till =) Ekvationer:
Den första är, att från givna geometriska egenskaper hos plan och linjer eller …gurer, härleda olika typer av ekvationer som de uppfyller.
Från ekvationer till =) Geometri:
Den andra är att från givna ekvationer för plan, linjer och punkter, få fram olika geometriska egenskaper och relationer mellan dem, som avstånd och vinklar och relativa positioner.
Instrument
Matematiska instrument för att lösa dessa typer av problem är följande: 1. kartesiska koordinater av punkter,
2. vektorer och deras komponenter, och komposanter, 3. beräkningar av vektorer mellan två punkter,
4. skalärprodukt, 5. projektioner,
6. kryssprodukt av vektorer,
7. skalär trippel produkt av vektorer och determinant.
Två viktigaste vektorer som används i dessa problem är normalvektorer till plan och och tangenvektorer till linjer.
Typiska problem där man går från geometri till ekvationer:
1. Ange en ekvation för ett plan genom en given punkt som har en given normal (en vektor som är vinkelrät mot planet).
2. Ange en ekvation för ett plan genom tre givna punkter. 3. Ange en ekvation för ett plan parallelt med två givna linjer. 4. Ange en ekvation för ett plan genom en linje och en punkt.
5. Ange en ekvation för ett plan genom en linje som är parallell eller vinkelrät mot ett annat plan eller linje.
Det används en konstruktion som heter "knipe plan" (pencil of planes in English) för att lösa problem i 4 och 5.
6. Ange alla typer av ekvationer för en linje genom två givna punkter. 7. Ange en parametrisk ekvation för skärningslinjen av två plan.
8. Ange en linje som är vinkelrät mot ett plan sådan att linjen går genom en given punkt.
9. Bestäm projektion av en punkt på ett plan eller en linje. 11. Bestäm projektion av en linje på ett plan.
Typiska problem där man hittar geometriska egenskaper från givna ekvationer:
1. Hitta skärningspunkter av ett plan med koordinataxlarna (interceptpunkter). 2. Bestäm avståndet mellan en punkt och ett plan.
4. Bestäm om två plan är parallella. 5. Bestäm om två linjer är parallella.
6. Bestäm avståndet mellan en punkt och en linje. 7. Bestäm avståndet mellan två ickeparallella linjer. 8. Bestäm om två linjer korsar varandra.
9. Bestäm om fyra punkter ligger i samma plan.
0.1
Punkter och vektorer i rummet, kartesiska koordinater.
Punkter.
Avståndet r mellan två godtyckliga punkter med koordinater P1 = (x1; y1; z1)
och P2 = (x2; y2; z2) beräknas enligt formeln
r = q
(x1 x2)2+ (y1 y2)2+ (z1 z2)2
Vektorer
För varje given punkt P i R3 kan en pil ritas så att den går från origo O till den
punkten P = (x; y; z). Den pilen kallas för ortsvektorn som svarar mot punkten P , och betecknas medOP! där O och P markerar start och endpunkterna på vektorn. Foten av vektorn ligger i origo O och spetsen ligger i punkten P . Den vektorn kan skrivas på papper som en kolonn !r =
2 4 x y z 3
5 med dess komponenter x; y; z
Alla vektorer som har samma riktning och samma längd betraktas som samma vektor oavsett var deras fötter står i rummet.
En vektor som går mellat två godtyckliga punkter, nämligen från punkten P = (Px; Py; Pz)till punkten Q = (Qx; Qy; Qz)betecknas somP Q!och har komponenter:
! P Q = 2 4 Qx Px Qy Py Qz Pz 3 5 = !OQ OP!
!
P1P2 =OQ! OP!
Två vektoprer är lika om de har samma komponenter. Men man kan få samma komponenter i beräkningen ovan för oändligr måga par punkter i rummet.
Fastsittande (som spikar) punkter och fria
vektorer som kan ‡yga.
Enhetsvektorer parallella med koordinataxlarna x; y; z i R3 betecknas med!i , !
j , !k (även med vanliga bokstäver och utan pilar). De kallas för standarta basvektorer i R3:
Observera komponenter av dessa vektorer: !i = 2 4 1 0 0 3 5 ; !j = 2 4 0 1 0 3 5 ; !k = 2 4 0 0 1 3 5 :
Alla vektorer i R2
och R3 kan representeras som linjär kombination av
stan-darta basvektorer !i ; !j , !k: !r = 2 4 x y z 3 5 = 2 4 x 0 0 3 5 + 2 4 0 y 0 3 5 + 2 4 0 0 z 3 5 = x!i + y!j + z!k
Man säger att vektorn !r är uppdelat i komposanter x!i, y!j , z!k: De…nition
Skalärprodukten av !u och !v i R3(dot product in English in Adams) är ett reelt tal som beräknas enligt formeln:
!u !v = 2 4 u1 u2 u3 3 5 2 4 v1 v2 v3 3 5 = u1v1+ u2v2+ u3v3
Skalärprodukten av två vektorer är lika med produkt av deras längder gånger cosinus av vinkeln mellan dem.
!u !v = !u !v cos( )
Viktigt kriterium!!! Två vektorer !u och !v är ortogonala mot varandra om och endastr om !u !v = 0.
Skalärprojektionens av vektorn !u på vektorn !v s = !u cos( ) s = !1 v !u !v = !u 1 !v !v !
Vektorprojektionen som är lätt att komma ihåg: !u!v = !u !v !v 2 ! | {z } ett_tal !v |{z} en_vektor = s !1 v !v ! Kryssprodukten u v= det 2 4 ui1 uj2 uk3 v1 v2 v3 3 5 = det u2 u3 v2 v3 i det u1 u3 v1 v3 j+ det u1 u2 v1 v2 k ju vj = juj jvj sin( ) där är vinkeln mellan u och v:
Den produkten är lika med arean av parallelogramm spännd av vek-torer juj och jvj :
Skalär trippelprodukt Uttrycket
u (v w)
där kryssprodukten v wav vektorer v och w multipliceras skalärt med vektorn u kallas för skalär trippelprodukt (scalar tripple produt in Adams).
u (v w) = det 2 4 u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 3 5 V olum =ju (v w)j = jv wj juj cos( )
| {z }
h•ojden_i_parallelepipeden
Viktigt kriterium! Om skalär trippelprodukt u (v w) = 0 så ligger tre vektorer i samma plan.
0.2
Plan i rummet.
Ett plan med given normal genom en given punkt.
Betrakta en punkt P0 = (x0; y0; z0) och en vektor n med komponenter A, B, C.
Ortsvektorn för punkten P0 är vektorn
!
OP0 = r0 = x0i+ y0j+ z0k
Normalvektorn kan framställas med hjälp av basvektorer som n= A i + B j + C k
Betrakta en godtycklig punkt P i planet och dess ortsvektor r = xi + yj + zk. Vektorn P0!P = r r0 ligger i planet.
Villkoret att vektorn r r0 i planet är vinkelrät mot vektorn n är ekvivalent
med att deras skalärprodukt är lika med noll som ger oss planets ekvation på vektor form:
n (r r0) = 0
eller på skalär form:
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0
En ekvation för ett plan på allmän form: Ax + By + Cz = D
innehåller explicita komponenterna A, B, C ur en normal vektor till planet. I fall då D = 0 går planet genom origo:
En ekvation för ett plan på intercept form.
Detta ger oss ekvatonen för planet på intercept form där a, b, c är punkter på koordinataxlarna där planet skär axlar. Man får den med att dela allmänna ekvationen med D: x a + y b + z c = 1
Observera att om ett plan är parallelt med någon axel, t.ex. z - axeln, så kommer z koordinatan att saknas i ekvationen för det planet:Ax + By = C; z = konst
Knipe plan (pencil of planes).
En familj av plan som skär varandra genom samma linje i rummet kallas för pencil of planes på engelska. Vi får översätta det lite fritt som knipe plan.
Betrakta två plan givna av sina allmänna ekvationer. A1x + B1y + C1z = D1
A2x + B2y + C2z = D2
Flytta D1 och D2åt vänster och betrakta följande linjära kombinationen av dessa
två ekvationer:
A1x + B1y + C1z D1+ (A2x + B2y + C2z D2) = 0
med en godtycklig parameter .
Den ekvationen representerar nästan alla plan genom skärningslinjen som föru-tom planet A2x + B2y + C2z D2 = 0. Om vi vill plocka ett plan av den familj som
uppfyller ett särskildt villor, tillämpas villkoret till familjen, fås en skalär ekvation för som sedan löses ut och ger svaret.
0.3
Linjer i rummet.
Betrakta en punkt P0 = (x0; y0; z0)och dess ortsvektor r0 = x0i+y0j+z0k=
2 4 x0 y0 z0 3 5. Betrakta också en vektor v med kompoenter a, b, c: v = vxi+ vyj+ vzk. Tänk om
ett rumdskepp som har hastigheten v och passerar punkten P0 vid tiden t = 0.
Det är lätt att skriva ner ett uttryck för skeppets ortsvektorn r = xi + yj + zk vid ett godtycklig tid t 2 R.
r= r0+ tv
som beskriver en rät linje som rumdskeppet har som sin bana i rumden. Den ekva-tionen kallas för parametrisk vektorekvation för en rät linje. Vi kan skriv om den ekvationen som tre skalära ekvationer för komponenter av inblandade vektorer.
x = x0+ vxt
y = y0+ vyt
z = z0+ vzt
Ekvationer för en rät linje på standart form
Man kan eliminera parametern t från dessa tre ekvationer: x x0 vx = t y y0 vy = t z z0 vz = t
och få ekvationer för linjen på standart form (faktiskt två ekvationer) x x0 vx = y y0 vy = z z0 vz = t
I fall en av hastighetens komponenter t.ex. är noll vz = 0, kommer koordinatan
av rundskeppet att vara konstant z = z0; och andra ekvationen på standart form
väljas då som z = z0: x x0 vx = y y0 vy ; z = z0
Avståndet mellan två punkter (Pythagorsatsen)
r = q
(x1 x2)2+ (y1 y2)2+ (z1 z2)2
0.4
Avståndet mellan en punkt och ett plan
Bestäm avståndet mellan en punkt P0 = (x0; y0; z0) och ett plan med ekvationen
Ax + By + Cz D = 0.
Ortsvektorn för punkten P0 är vektorn
!
OP0 = r0 = x0i+ y0j+ z0k
En normalvektorn till planet har komponenter A, B, C: n= A i + B j + C k
Det syns från bilden att avståndet s mellan punkten P0 och planet är lika med
absolut belopp av skalärprojektionen av vektorn !
P P0 = r0 r
på normalvektorn n där punkten P är en godtyklig punkt på planet som har ortsvek-torn OP = r! s = P P!0 1 jnjn = (r0 r) n jnj
Man kan uttrycka svaret i en form som är enklare att komma ihåg. s = Ax0p+ By0+ Cz0 D
A2+ B2+ C2
Avståndet är lika med absolut belopp av det värdet som ger insättningen av punkternas P0 koordinater in i planets ekvation, dividerad med normalens längd.
OBSERVERA!!! Lägg märke till att uttrycket Ax0+ By0 + Cz0 D har olika
tecken för punkter som ligger på olika sidor av planet. Den observationen låter lösa ett standart problem till: att bestämma om två punkter ligger på samma sida planet.
Avståndet från en punkt till en linje.
Exempel .
Bestäm avståndet från en punkt P0 = (x0; y0; z0)till en rät linje genom punkten
P1 och parallell med vektorn v:
Man ser från bilden att sökta längden s i triangeln är lika med s =jr0 r1j sin ( )
Vi lägger märke till att
Detta medför att vi kan framställa s som
s = j(r0 r1) vj jvj
Det är en relativt lång beräkning: med en kryss produkt och två längder av vektorer som måste beräknas.
AlternATIV LÖSNING.
Man kan istället beräkna beräkna cos( ) från skalärprodukten (r0 r1) v =jr0 r1j jvj cos( )
sin( ) =p1 cos2( )
s =jr0 r1j sin ( )
1
Avståndet mellan två icke parallella linjer.
Med avståndet mellan två ickeparallella linjer (röda och blåa på bilden) menas kor-taste aståndet mellan ett par punkter på dessa linjer.
N = v1 v2
Vektorn!N = v1 v2 här är en gemensam normalvektorn till båda linjer.
Betrakta en vektor mellan planen t.ex. r2 r1 (gröna vektorn på bilden)
Avståndet s är lika med absolutbeloppet av skalära projektionen av en godtycklig sträcka mellan linjerna (eller planen) på den gemensamma normala vektorn!N. Välj !N = v 1 v2: s = (r2 r1) !N !N = j(r 2 r1) (v1 v2)j j(v1 v2)j
Ett problem från gammal tenta.
Bestäm om två linjer givna med ekvationer
x 3 5 = y + 1 2 = z 2 4 x 8 3 = y 1 1 = z 6 2 skär varandra (har en gemensamm punkt).
Lösning.
Observera först att dessa linjer är inte parallella (riktningsvektorer v1 =
2 4 5 2 4 3 5och v2 = 2 4 31 2 3
5 är inte parallella: det …nns inget tal sådant att v1 = v2; 5 = 3 ;
2 = ; 4 = 2)
Vi en punkt på varje linje: A = (3; 1; 2) och B = (8; 1; 6)
Betrakta en vektor mellan dessa punkter från en linje till annan linje: ! AB = 2 4 8 3 1 ( 1) 6 2 3 5 = 2 4 5 2 4 3 5 :
Linjerna skär varandra om och endast om dessa sre vektorer v1, v2; AB! ligger i
samma plan:
Kriteriet för detta är att skalär trippelprodukt är lika med noll: AB (v! 1 v2) =
0 ! AB (v1 v2) = det 2 4 5 2 4 3 1 2 5 2 4 3 5 = 0 Då har dessa två linjer en gemensamm punkt.
Ett problem från en gammal tenta.
Ange ekvationen för planet som skär koordinataxlar i punkter -2, 1, 2 och beräkna avståndet av det planet från origo.
