Subitiseringsförmågans påverkan av en mängd elements arrangemang : En kvalitativ studie med elever i åk 1

Subitiseringsförmågans

påverkan av en mängd

elements arrangemang

- En kvalitativ studie med elever i åk 1

KURS: Examensarbete för grundlärare F-3, 15hp

PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning

mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3

FÖRFATTARE: Julia Olsson

EXAMINATOR: Anna-Lena Ekdahl

JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare F-3 15hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning

mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3 VT21

SAMMANFATTNING

Julia Olsson

Subitiseringsförmågans påverkan av en mängd elements arrangemang - En kvalitativ

studie med elever i åk 1

The effect of a variety of objects’ arrangement on the ability to subitize - A qualitative

study with pupils in first grade

Antal sidor: 36 Syftet med denna studie är att ge en bild av

hur en mängd elements avstånd påverkar elevers subitiseringsförmåga samt vilka subitiseringsaspekter som gör sig synliga under subitiseringsprocessen. Studien har sin utgångspunkt i MacDonald och Wilkins teori om de sju subitiseringsaspekterna som finns. För att besvara studiens syfte och frågeställningar används kvalitativa semistrukturerade intervjuer med en elevgrupp i årskurs 1. Resultatet visar att arrangemanget har en påverkan på elevers subitisering, men även att det är mer förekommande att de perceptuella subitiseringsaspekterna nyttjas. Slutsatsen i studien är att ett längre avstånd mellan elementen har en negativ effekt på elevernas subitiseringsförmåga samt att de konceptuella subitiseringsaspekterna nyttjas mer sällan än de perceptuella subitiseringsaspekterna.

The purpose of this study is to provide a picture of how the space between a variety of objects’ affect the pupils’ ability to subitize and which aspects of subitizing become visible during the subitizing process. The study founded in MacDonald and Wilkins’ theory of the seven subitizing aspects. To answer the study’s purpose and framing of questions, qualitative semi-structured interviews with a group of pupils in first grade were chosen. The result shows that the arrangement has an impact on pupils’ subitizing, but it also shows that it is more common for the perceptual aspects to be used during subitizing. The conclusion of the study is that a larger space between the elements have a negative effect on the pupils’ ability to subitize and that the conceptual aspects of subitizing are used less often than the perceptual aspects of subitizing.

__________________________________________________________________________________ Sökord: subitisering, arrangemang, grundskolelärare, matematik, subitiseringsaspekter

Innehållsförteckning

2.1.4 Subitiseringsförmågans positiva effekter ... 4

2.2 Styrdokument ... 5

2.3 Teoretisk utgångspunkt ... 5

3 Syfte och frågeställningar ... 8

4 Metod ... 9 4.1 Undersökningsmetod ... 9 4.2 Urval ... 9 4.3 Intervjuguide ... 10 4.4 Genomförande ... 10 4.4.1 Intervjumaterial ... 11 4.5 Materialanalys ... 11

4.5.1 Kategorisering och kodning ... 12

4.6 Etiska ställningstaganden ... 12

4.7 Reliabilitet och validitet ... 13

5 Resultat ... 15

5.1 Påverkar storlek och avstånd subitiseringsförmågan? ... 15

5.1.1 Mönster 1 ... 16

5.1.2 Mönster 2 ... 18

5.2 Varierade aspekter ... 20

5.2.1 Mönster 2 ... 20

5.2.2 Mönster 4 ... 23

5.2.3 Sammanställning av synliggjorda subitiseringsaspekter ... 25

6 Diskussion ... 27 6.1 Metoddiskussion ... 27 6.2 Resultatdiskussion ... 29 6.2.1 Arrangemangens svårigheter ... 29 6.2.2 Visade subitiseringsaspekter ... 31 6.2.3 Fortsatta studier ... 35 7 Referenser ... 37 8 Bilagor ... I Bilaga 1 - Samtyckesblankett ... I

Bilaga 2 – Intervjuguide ... II Bilaga 3 – Flash cards ... III

1 Inledning

Subitisering är ett sätt att uppfatta ett antal av någonting utan att behöva räkna varje element för sig. När denna förmåga används kallar man det för att individen använder sin subitiseringsförmåga (Clements et al., 2019), vilket kan vara både konkreta element och element på bilder eller prickar på tärningar. Förmågan finns inte utskriven läroplanen även fast flertalet olika studier tyder på att en utvecklad subitiseringsförmåga är positiv för inlärningen inom andra matematiska områden. Samtidigt kan en bristande sådan kopplas till svårigheter inom ämnet matematik (Özdem & Olkun, 2019; MacDonald & Wilkins, 2016; Desoete et al., 2009; Berjemo et al., 2004; Benoit et al., 2004; Yun et al., 2011).

I den litteraturstudie jag skrivit undersöktes det vad förmågan subitisering innebär, om denna är medfödd eller inte och om en god utvecklad subitiseringsförmåga möjligen kunde ha någon positiv effekt på någon annan matematisk förmåga (Duzel & Olsson, 2020). Under litteraturstudiens gång upplevde jag att forskningsbredden om förmågan var väldigt smal, eftersom aktuell forskning var svåröverkomlig. Mer ofta än sällan hade studier där subitisering nämndes primärt fokus på andra matematikförmågor såsom kardinalitet och antalsuppfattning. Förmågan var även mer komplex än vad jag tidigare trott. Det framkom även att arrangemanget av en mängd element påverkar elevers subitisering. Elementens relation till varandra kan göra det enklare respektive svårare att subitisera antalet (Wang et al., 1971; Clements, Sarama & MacDonald, 2019), alltså huruvida stort eller litet avståndet är mellan dessa samt hur och var de är placerade. Det man prövade då var huruvida elementens storlekar och färg påverkade subitiseringsprocessen, alltså olika storlekar på samma typer av element och blandade färger (Wang et al., 1971). Dock har jag inte kunnat finna någon forskning på huruvida likadana element i samma storlekar i relation till avstånd mellan dessa påverkar subitiseringsprocessen. Av detta skäl kommer studien undersöka ifall dessa relationer mellan de olika elementen påverkar subitiseringsförmågan.

Denna studie grundar sig i två olika frågeställningar. Den första frågeställningen behandlar hur elevers subitiseringsförmåga påverkas av olika arrangemang där avståndet mellan elementen ökar och storleken blir mindre. Den andra frågeställningen berör hur elever subitiserar en mängd element mer specifikt, vilket studeras med hjälp av MacDonald och Wilkins (2016) teori om subitiseringsaspekter. Frågeställningarna besvaras med hjälp av kvalitativa intervjuer med 20 elever i åk 1 och genomförs med flash cards med olika arrangemang som är intervjuernas utgångspunkt.

2 Bakgrund

I detta avsnitt redovisas en bakgrund som är relevant för studien. Inledande redovisas det vad subitiseringsförmågan är (2.1), vilket sedan följs av förmågans koppling till styrdokumenten (2.2). Slutligen avslutas avsnittet med studiens teoretiska utgångspunkt (2.3).

2.1 Vad är subitisering?

Att snabbt kunna uppfatta och identifiera en mängd element utan att behöva utföra någon en-till-en-räkning kallas för att subitisera (Clements, 1999). Subitiseringsförmågan är uppdelad i två kategorier: perceptuell och konceptuell subitisering. Flertalet forskare har undersökt om förmågan skulle kunna vara medfödd eller om det enbart är en inlärd förmåga. Dessa resultat har skiljts åt men majoriteten av forskare anses sig ha kunnat fastslå att den är medfödd och att den med träning kan utvecklas (Strauss & Curtis, 1981; Klein & Starkey, 1988; Clements et al., 2019).

2.1.1 Perceptuell subitisering

Den perceptuella förmågan är som den som är närmst den ursprungliga definitionen av subitiseringsförmågan. Perceptuell subitisering innebär att en individ kan avgöra en mängd element antal utan att behöva räkna elementen en-till-en (Clements et al., 2019). Forskning visar att barn redan vid två års ålder kan subitisera genom den perceptuella subitiseringen (Clements, 1999). Det som skiljer perceptuell subitisering från konceptuell är att den perceptuella inte kräver någon ytterligare matematiskt process, utan individen direkt identifierar mängdens antal element (Jung et al., 2013). Den perceptuella subitiseringen sker exempelvis när en sexsidig tärning slås och antalet prickar ska identifieras. Vanligtvis kräver inte sådana exempel någon konceptuell subitisering (ibid.).

2.1.2 Konceptuell subitisering

Den konceptuella subitiseringen anses vara mer utvecklad sett till förmågans ursprungliga definition, eftersom forskare menar att individer som subitiserar konceptuellt har mer utvecklade matematikfärdigheter än om den perceptuella förmågan skulle användas (Clements, 1999) Den beskrivs som en upprepning av den perceptuella subitiseringen, för att sedan addera

de olika subgrupperna1 _{som subitiserats (Clements et al., 2019). Detta innebär att en individ} identifierar en mängd med exempelvis sju element och ser vid subitiseringen en subgrupp på tre element och en annan på fyra element. Det har då skett en upprepad perceptuell subitisering, vilket Clements et al. (2019) menar är den konceptuella subitiseringen. Den konceptuella subitiseringen kan även beskrivas som att individen ser flera delar av en helhet, alltså subgrupper av mängden, för att sedan kunna avgöra det totala antalet av mängden (Clements, 1999). En ytterligare förklaring på den konceptuella subitiseringen är när en individ slår två sexsidiga tärningar, där tärningarna exempelvis visar två respektive fyra prickar. Individen ser då två delar av en helhet, där en dubbel process av perceptuell subitisering sker för att därefter addera subgrupperna (delarna) till den totala mängden (helheten) (ibid.).

2.1.3 Arrangemangets betydelse

Något som framkommit i studier var att en mängd elements arrangemang har en påverkan på en individs subitiseringsförmåga (Wang et al., 1971; Clements et al., 2019). I matematiska läromedel är det inte ovanligt att de arrangemang som visas har en hämmande effekt på elevers utveckling av subitiseringsförmågan eftersom det är perceptuella mönster2 _{som visas. Ett} exempel är det X-mönster av antalet fem som visas på en sexsidig tärning (se figur 1, s. 4) När X-mönstret vid ett annat tillfälle har nio element är det vanligt förekommande att elever tror det är antalet fem, eftersom mönstret är densamma även fast det är fyra fler element i mängden (Clements et al., 2019). När en individ ska subitisera en mängd element påverkas denne av sina tidigare erfarenheter och de mönster som element kan ha visats i (Ekdahl, 2019). När det ibland förekommer uppgifter i läroböcker där eleverna ska ange en mängd elements totala antal är det vanligt att elementen är grupperade på ett sätt som gör det näst intill omöjligt att subitisera mängden. Eleverna måste istället räkna elementen en-till-en och kan i bästa fall se subgrupper av elementen och därefter addera dessa för att komma fram till dess totala antal (Clements et al., 2019).

1 _{Subgrupp(er): En mindre gruppering i en större mängd. Exempelvis kan en individ se fem bollar genom att se}

mindre grupper såsom två bollar och tre bollar.

Figur 1: Exempel på X-mönster med olika antal element.

2.1.4 Subitiseringsförmågans positiva effekter

Utöver att forskare i stor utsträckning fastslagit subitiseringsförmågan som medfödd har flertalet forskare också kommit fram till att en utvecklad subitiseringsförmåga har en positiv effekt på övriga matematikförmågor såsom antalsuppfattning och kardinalitetsförståelse3 (Özdem & Olkun, 2019; MacDonald & Wilkins, 2016; Desoete et al., 2009; Berjemo, Morales & deOsuna, 2004; Benoit, Lehalle & Jouen, 2004; Yun et al., 2011; Jung et al., 2013). Utöver en positiv effekt på flera andra matematikförmågor finns det en koppling mellan svårigheter inom matematiken och en mindre utvecklad subitiseringsförmåga (ibid.).

Forskning visar att elever som under en längre tid arbetat med att träna subitiseringsförmågan har i längden gynnats mer av fler lektioner som också är längre. Elever som fått färre lektionstillfällen som även var kortare gynnades inte i samma utsträckning. Den första elevgruppen hade efteråt en mer utvecklad subitiseringsförmåga och kunde även lösa mer komplicerade matematiska beräkningar. Den andra elevgruppen hade inte samma utveckling. Forskarna drog slutsatsen att fler tillfällen som även var längre hade en mer gynnsam effekt än motsatsen (Olkun & Özdem, 2019). Även elever med en mer osäker subitiseringsförmåga hade det svårare att läsa av tresiffriga tal än de barnen med en god subitiseringsförmåga (Desoete et al., 2009). Forskning gjordes även på huruvida barns kardinalitetsförståelse kunde utvecklas med hjälp av att utveckla deras subitiseringsförmåga och om förmågan kan gynna elevers förståelse av talområdet 1-5 (Bermejo et al., 2004; Benoit et al., 2004).

Kardinalitetsprincipen, eller kardinalitetsförståelse, är en av antalsuppfattningens fem principer (Gelman & Gallistel, 1986). Principen innebär att en individ har förståelse för att det sistnämnda räkneordet av en mängd också är det totala antalet element som mängden innehåller (ibid.). Subitiseringsförmågan är en stöttepelare för barn när de ska lära sig kardinalitetsförståelse (Jung et al., 2013). Även del- och helhetsrelationen har stark koppling till subitisering, då huvudsakligen konceptuell subitisering, där både subitiseringsförmågan har en positiv effekt

för förståelsen för del- och helhetsrelationen och vice versa (ibid.). När en individ delar upp en hel mängd (helhet) till flera subgrupper (delar) får hen tydligt syn på hur del- och helhetsrelationen fungerar samtidigt som subitiseringsförmågan utmanas (Ekdahl, 2019). En utvecklad förståelse för del- och helhetsrelationen kan vara till god hjälp för elever i sin utveckling av aritmetiska färdigheter. När det sker en tiotalsövergång i addition- eller subtraktionsuppgifter kan elever hjälpas av att kunna dela upp talen i flera komponenter (Jung et al, 2013; Ekdahl, 2019). Ett exempel som lyfts i en studie av Jung et al. (2013) studie är beräkningen 7+5. Eleven gynnas av att antingen dela upp femman till en trea och en tvåa, och på så vis omvandlas beräkningen till 7+3 (10) och därefter addera den kvarstående tvåan (10+2). Även sjuan går att dela upp i exempelvis fem och två (5+5+2). Eleven slipper då addera med hjälp av fingerräkning och hens aritmetiska färdigheter utvecklas (ibid.).

2.2 Styrdokument

Subitisering återfinns varken som ett begrepp eller en förmåga i matematikämnets kursplan i läroplanen, inte för förskoleklass eller för årskurs 1-3. Det finns däremot, under ämnets centrala innehåll för åk 1-3, att eleverna ska förstå ’’del av helhet och del av antal […]’’ (Skolverket, 2019a, s. 55). Del- och helhetsrelationen kan kopplas till den konceptuella subitiseringsprocessen då denna relation utvecklas parallellt med subitiseringsförmågan (Ekdahl, 2019). Det centrala innehållet för matematik i förskoleklass beskriver även att eleverna genom undervisning ska ges möjlighet att uppnå kunskaper om naturliga tal och dess egenskaper (Skolverket, 2019a). Utöver det ska undervisningen även möjliggöra förståelse för hur naturliga tal används men också hur dessa anges (Skolverket, 2019a). Man kan finna förmågan i bedömningsstödet där det förklaras att eleverna förväntas kunna uppskatta en mängd element utan att behöva räkna dessa, alltså subitisera (Skolverket, 2019b).

2.3 Teoretisk utgångspunkt

Den teoretiska utgångspunkt som studien kommer grunda sig i är den som MacDonald och Wilkins (2016) tagit fram i sin studie. MacDonald och Wilkins (2016) menar att subitiseringsförmågan kan delas upp i aspekter för att enklare förstå hur processen går till när en individ subitiserar. Genom denna studie kommer MacDonald och Wilkins teori benämnas som subitiseringsförmågans sju aspekter. De sju aspekterna beskriver och ger exempel på vilka olika sätt en individ kan subitisera.

Under en studie märkte MacDonald och Wilkins (2016) att deltagarna, barn i fyraårsåldern, utförde sin perceptuella subitisering på flera olika vis. Den perceptuella subitiseringen delades då upp i fem olika aspekter: Initial Perceptual Subitizing (IPS), Perceptual Subgroup Subitizing (PSS), Perceptual Ascending Subitizing (PAS), Perceptual Descending Subitizing (PDS) och

Perceptual Counting Subitizing (PCS), (se tabell 1 för förtydligande).

Tabell 14_{: De fem aspekter som baseras på perceptuell subitisering (Clements et al., 2019).}

Vidare förklarar Clements et al. (2019) att de två subitiseringsaspekterna Perceptual Subgroup

Subitizing (PAS) och Perceptual Descending Subitizing (PDS) innebar att individen i stor

utsträckning var beroende och påverkades starkt av elementen som skulle subitiseras och hur dessa var arrangerade. Om en individ skulle använda sig av Initial Perceptual Subitizing (IPS) i sin subitisering beror det på att hen skulle vara beroende av perceptuella mönster (Clements et. al., 2019). Perceptual Counting Subitizing (PCS) förklarar MacDonald och Wilkins (2016) som en kombination av att subitisera och räkna. Den sista perceptuella subitiseringsaspekten

Aspekt Förklaring Exempel

Initial Perceptual Subitizing (IPS)

Individen beskriver och subitiserar beroende på hur mängden ser ut baserat på

arrangemangets detaljer

Individen benämner mängden element som ’’fem’’ eftersom dess arrangemang påminner hen om en blomma

Perceptual Subgroup Subitizing (PSS)

Individen kan se och subitisera delar av mängdens helhet men inte benämna dess sammansatta mängd

Individen ger förklaring på att hen kan se ’’två och tre’’ alt. ’’två plus tre’’ men kan inte addera dessa subgrupper (delarna) och benämna dess sammansatta mängd (helheten)

Perceptual Ascending Subitizing (PAS)

Individen kan se och subitisera subgrupperna i mängden för att därefter sammansätta

subgrupperna till mängdens totala summa

Individen ser subgrupperna ’’två och tre’’ (delarna) och kan därefter addera

subgrupperna och ange den totala mängden ’’fem’’ (helheten) Perceptual

Descending Subitizing (PDS)

Individen kan initialt se och subitisera mängden för att sedan beskriva mängden i de subgrupper som mängden kan komma att innehålla

Individen anger mängdens totala summa ’’fem’’ (helheten) för att sedan beskriva att mängden även innehåller subgrupperna ’’två och tre’’

Perceptual Counting Subitizing (PCS)

Individen kan initialt se en del av totala mängden, men behöver i viss utsträckning räkna, för att på så vis räkna uppåt eller neråt till den totala mängdens antal

- Individen anger ’’sex….fem’’ eller ’’fyra….fem’’

- Individen anger svaret fem eftersom hen såg att det var ’’sex….fem’’ eller

Perceptual Subgroup Subitizing (PSS) beskrivs som beroende av matematiska färdigheter,

eftersom individen kan se subgrupperna men saknar kunskaperna för att addera dessa (Clements et al., 2019).

Även när barnen i studien använde på den konceptuella subitiseringsförmågan insåg MacDonald och Wilkins (2016) att subitiseringen även fungerade på olika sätt. Den konceptuella subitiseringen delas i sin tur in i två olika aspekter: Rigid Conceptual Subitizer (RCS) och Flexible Conceptual Subitizing (FCS) (se tabell 2 för förtydligande).

Tabell 2: De två aspekter som baseras på konceptuell subitisering (Clements et al., 2019).

När en individ förlitar sig på RCS har hen en begränsad förmåga att upptäcka subgrupper och låser sig oftast vid en konstellation av subgrupper. Det kan innebära att individen enbart kan identifiera subgrupperna två och fem på ett och samma sätt när hen ska avgöra antalet element i en och samma mängd, således kan hen inte se subgrupperna två och tre i några andra kombinationer (Clements et al., 2019). Individen kan då exempelvis identifiera subgrupperna två och tre på flera olika sätt, i olika konstellationer, men även se andra subgrupper såsom två, två och en i olika konstellationer. Att kunna identifiera flera uppsättningar subgrupper i ett och samma mönster indikerar då individens subitiseringsförmåga att hen förlitar sig på FCS (MacDonald & Wilkins, 2016).

Aspekt Förklaring Exempel

Rigid Conceptual Subitizer (RCS)

Individen kan se mängden element i sin helhet samt ett set subgrupper som inte påverkas av dess arrangemang

Individen ger svaret att hen ser den totala mängden fyra (helheten) eftersom hen såg ’’två och två’’ (delarna)

Flexible Conceptual Subitizing (FCS)

Individen kan se mängden element i sin helhet samt två eller fler set subgrupper som inte påverkas av dess arrangemang

Individen ger svaret att hen ser den totala mängden fem (helheten) eftersom hen såg ’’två och tre’’ samt har även sett ’’två, två och en’’ (delarna)

3 Syfte och frågeställningar

Syftet med denna studie är att fördjupa bilden av hur elever i årskurs 1 subitiserar en mängds antal element i olika arrangemang. Syftet besvaras med hjälp av frågeställningarna:

• Hur påverkas elevens subitiseringsförmåga av storleken på elementen i relation till avståndet mellan dessa?

• Vilka subitiseringsaspekter kommer till uttryck när elever subitiserar element i arrangemang där storleken på elementen och avståndet mellan dessa förändras?

4 Metod

I metodavsnittet redovisas studiens undersökningsmetod (4.1), dess urval och vilka kriterier den innehåller (4.2) och information om intervjuguiden (4.3). Därefter presenteras intervjuernas genomförande (4.4) följt av en materialanalys (4.5). Avslutningsvis redovisas vilka etiska ställningstaganden som gjorts i studien (4.6) samt tolkning som gjorts av reliabilitet och validitet i relation till studien (4.7).

4.1 Undersökningsmetod

Den forskningsmetod som använts i denna studie är kvalitativa intervjuer. Denna metod anses vara lämplig eftersom studiens syfte är att få breda och fördjupande svar av eleverna. Forskaren ska koncentrera sig på elevernas svar. Som forskare strävar man efter att få så utförliga och detaljrika svar som möjligt (Bryman, 2011, kap. 17). Av de två olika typer av intervjustrukturer som Bryman (2011, kap. 14) lyft valdes semistrukturerade intervjuer. Semistrukturerade intervjuer innebär att intervjuguiden innehåller ett särskilt tema som ska behandlas under intervjun. Även om syftet med en intervjuguide är att följa denna, behöver inte frågorna ställas i en strikt ordning eftersom intervjuprocessen är väldigt flexibel. När en intervjuguide skapas är det viktigt att inte formulera ledande eller för detaljerade frågor, eftersom dessa kan begränsa elevernas svar och således även intervjuerna.

4.2 Urval

Vid kvalitativa intervjuer som dessa sker ett icke-sannolikhetsurval, ett målstyrt urval, vilket innebär att eleverna ska uppfylla särskilda kriterier för att medverka i studien. Det innebär också att man som forskare ska tänka strategiskt vid valet av elever så att dessa är relevanta för studiens syfte och frågeställningar (Bryman, 2011, kap. 16). Ett kriterium för att kunna medverka studien var att man skulle vara elev i åk 1. Ett ytterligare kriterium som sattes var att intervjun skulle spelas in med ljudupptagning. Eftersom eleverna var minderåriga krävdes det att dem fick en samtyckesblankett underskriven av samtliga vårdnadshavare. Utöver att det gjorts målstyrda urval gjordes det även bekvämlighetsurval. Bekvämlighetsurval innebär att forskaren väljer elever som är lättare tillgängliga för forskaren (Bryman, 2011, kap. 16). Elever blev utvalda tack vare personliga kontakter med elevgruppens klasslärare. Kontakten togs över sms där klassläraren blev informerad om de studiens syfte, den tänkta strukturen samt de olika kriterierna. Även rektorn informerades för att säkerställa att ett besök på plats var okej. Efter

ett godkännande av både rektorn och den verksamma läraren i aktuell årskurs fick denne även tillgång till samtyckesblanketten (se bilaga 1), för att därefter dela ut till en klass i åk 1. 31 elever blev tillfrågade. En klass valdes eftersom ett mål var att kunna generalisera resultatet. Av 31 tillfrågade elever godkände 23 vårdnadshavares att deras barn fick medverka i studien. Samtliga elever som medverkade tillhörde samma elevgrupp. Två elever var vid intervjutillfället frånvarande och en elev valde inför intervjun att avstå. Det blev 11 bortfall i klassen vilket resulterade i att 20 elever intervjuades.

4.3 Intervjuguide

Den intervjuguide som skapats inför intervjuerna har formats som en mall för det tema som skulle adresseras under intervjuerna. Det tema som skulle fokuseras på var resonemang. När temat var valt påbörjades utformningen av frågorna utifrån frågeställningarna där fokus låg på hur eleverna ser att en mängd är en viss mängd. Därefter formades frågor riktade mot visade färdigheter i subitiseringsförmågan och om arrangemanget av mängden gjorde det svårare respektive lättare att subitisera mängden. Utöver frågorna som utformats utifrån frågeställningarna ställdes det även följdfrågor. Följdfrågornas syfte var att fördjupa svaren och skapa möjligheter för eleven att utveckla sina tankar. Enligt Bryman (2011, kap. 17) finns det en risk att elevens egna ord och uttryck försvinner om forskaren enbart för anteckningar. Av den anledningen spelades intervjuerna in med hjälp av ljudupptagning. Ett annat fokus i studien var visade färdigheter i subitiseringsförmågan.

4.4 Genomförande

Intervjuerna har genomförts med samtliga elever enskilt. Samtliga intervjuer gjordes avskilt i ett arbetsrum. Samtliga intervjuer spelades in med hjälp av en privat mobiltelefon och det var enbart via ljudupptagning. Tillvägagångssättet blev testat före intervjuerna ägde rum för att kunna säkerställa en hållbar ljudkvalitet.

Före intervjuerna påbörjades fick samtliga elever en kort sammanfattning av vad intervjun skulle handla om. Eleverna blev även informerade om att de när som fick ta ett beslut om att avbryta sin medverkan närsomhelst utan att behöva ge någon anledning till avbrytandet. Längden på intervjuerna varierade. De pågick 6-9 minuter och under intervjuernas gång användes en intervjuguide (se bilaga 2) samt de flash cards som tagits fram.

4.4.1 Intervjumaterial

Utöver intervjuguiden användes även flash cards (se bilaga 3). Under intervjuerna fick eleverna se de flash cards som framtagits varpå de generella subitiseringsfrågorna och de fördjupande frågorna ställdes. Eleverna fick som instruktion att så snabbt som möjligt se och ange antalet element i arrangemanget och att de sedan skulle få fler frågor efter att de hade svarat. Det användes sammanlagt 18 olika flash cards i studien. Totalt var det sex olika mönster där samtliga hade tre olika arrangemang. Kort 1 hade stora prickar som var placerade relativt nära varandra. Kort 2 såg likadant ut, men prickarna var mindre. Dock var avståndet i relation till prickarna densamma som kort 1, mönstret var bara förminskat. Kort 3 hade samma storlek på prickarna som kort 2 men avståndet var större än tidigare kort. Prickarna var även utplacerade på ett sätt som var likt de tidigare korten. Samtliga mönsters progression var konstruerade på samma vis och vid intervjuerna kom korten alltid i samma ordning (se figur 2 nedan).

Figur 2: Mönster 1

Kommentar: Exempel på hur ett mönsters tre arrangemang kunde se ut under intervjuerna och

dess ordningsföljd.

Stort fokus har lagts på att konstruera arrangemangen så att de inte skulle påminna om de mönster som finns på tärningar, eftersom dessa ansågs vara vanligt förekommande mönster. Korten har varit markerade på baksidan med siffror som är överensstämmande med den tabell som senare användes vid materialanalysen (se tabell 3) Samtliga elever fick se mönstren i samma ordning och således även arrangemangen. Ordningen var alltid x.1, x.2 och x.3 utan att andra mönsters arrangemang kom emellan.

4.5 Materialanalys

Inledningsvis lades stor vikt i att inte göra tolkningar av vad eleverna sa utan enbart fokusera på vad som faktiskt blev sagt. Efter två intervjuer blev det dock märkbart att elever vid vissa tillfällen sa en sak men tydligt gjorde på ett annat vis. Jag började då anteckna om eleven exempelvis förklarade att hen ’’såg’’ antalet och därav bara visste, men med hjälp av observationer kunde jag se att hen räknade varje prick för sig själv för att därefter ange antalet.

4.5.1 Kategorisering och kodning

Med hjälp av Bryman (2011, kap. 21) valdes kvalitativ dataanalys som analysmetod. Transkriberingarna kategoriserades först utifrån studiens frågeställningar för att skapa en tydlig struktur när innehållet skulle analyseras (se figur 3 för analysprocess).

Figur 3: Översikt av materialanalysen.

När intervjumaterialet transkriberats lästes det igenom noggrant. Efter genomläsningen kategoriserades innehållet utifrån studiens två frågeställningar. Utifrån kategoriseringarna börjades det även färgkodas för att på så vis enkelt kunna identifiera liknande elevsvar. Jag kodade även materialet utifrån MacDonald och Wilkins (2016) aspekt-uppdelning av förmågan. I denna del av materialanalysen valdes det även att särskilt koda de elevsvar där subitiseringsförmågan inte påvisades, utan då eleven istället räknat en-till-en. Kodningen gjordes för att öka förståelsen för datan som framkommit och även bena ut vad som var irrelevant för studien (Bryman, 2011, kap. 21). Både kategoriseringen och kodningarna av materialet gjordes med hjälp av tabeller i Words då det var mest bekvämt att arbeta i.

4.6 Etiska ställningstaganden

I denna studie har jag lagt stor vikt i att hålla mig till de fyra forskningsetiska principerna. Eleverna blev informerade om dessa på ett elevnära sätt. De fyra principerna är: samtyckeskravet, informationskravet, konfidentialitetskravet och nyttandekravet (Bryman, 2011, kap. 5).

Samtyckeskravet innebär att eleven som medverkar i studien måste lämna ett godkännande att

dessa vill och kan, eller i detta fall får, medverka i studien (Bryman, 2011, kap. 5). Vidare förklaras det att elever i studier som deltar aktivt måste ett samtycke inhämtas (Vetenskapsrådet, 2017. Eftersom samtliga elever i denna studie måste vara aktiva då det är en intervju efterföljdes kravet som principen innebär. Vårdnadshavare till de som medverkat i studien gav sitt samtycke och både vårdnadshavare och elever blev informerade att medverkan fick avbrytas när som under forskningens gång. Detta är något som Vetenskapsrådet (2017) skriver och lägger stor vikt vid.

Transkribering av samtliga intervjuer Kategorisering utifrån kärnsvar/ generaliseringsbara svar Kodning av visade subitiseringsaspekter Kodning utifrån svar

huruvida vilka arrangemang som var svårast/enklast att se Transkribering av samtliga intervjuer Kategorisering utifrån studiens två frågeställningar samt icke-kvalificerade svar Kodning av visade subitiseringsaspekter Kodning utifrån svar

huruvida vilka arrangemang som var svårast/enklast att se

Informationskravet innebär att forskaren har som skyldighet att informera eventuella

medverkande i studien vad studiens syfte är (Bryman, 2011, kap. 5). Det innebär även att eleverna ska bli väl informerade om sina rättigheter att avbryta sin medverkan (Vetenskapsrådet, 2017). Eleverna och dess vårdnadshavare har via samtyckesblanketten blivit informerade om både syftet med studien och rätten att avbryta sin medverkan närsomhelst. Utöver det har eleverna även fått denna information inför och efter intervjuerna ägt rum.

Konfidentialitetskravet lutar sig i offentlighet och konfidentialitet. Det innebär att samtliga

uppgifter som samlats in under kontakt med elever såsom inspelningarna och anteckningar som förts i samband med intervjuerna skall hanteras så att den medverkande inte kan identifieras av någon annan än forskare och den medverkande själv (Bryman, 2011, kap. 5; Vetenskapsrådet, 20017. Anteckningar, transkriberingar och ljudfiler från samtliga intervjuer förvaras på ett sätt som är slutet för utomstående. Elevernas namn och dess skola inkluderas inte i studien. Samtliga uppgifter som används i studien avidentifieras.

Nyttjandekravet innebär att uppgifter och material som samlats in med syftet att användas i

studien enbart får användas till det (Bryman, 2011, kap. 5). Uppgifterna får inte användas för icke-vetenskapliga ändamål (Vetenskapsrådet, 2017). Materialet kommer enbart användas till denna studie. Detta innebär även att den inte kommer användas vid senare tillfälle om nya forskningsansatser görs eller delas med till andra forskare. För att följa de regler som Jönköping University satt upp vid examensarbeten kommer samtligt material som samlats in med hjälp av eleverna att raderas så fort arbetet är godkänt.

4.7 Reliabilitet och validitet

Två av de viktigaste kriterierna för bedömning av studier är reliabilitet och validitet (Bryman, 2011, kap. 6). Reliabilitet berör huruvida resultatet i studien blir densamma om den skulle göras om på nytt eller om studien skulle kunna påverkas av tillfälliga eller slumpmässiga förutsättningar. När kvalitativa studier genomförs går det inte att med säkerhet anta att resultatet skulle bli densamma om de gjordes på nytt. Något som skulle kunna antas är däremot att studiens resultat skulle kunna bli liknande som den första, fast med nya perspektiv och andra erfarenheter än tidigare. Studien reliabilitet påverkas av de frågor som forskaren väljer att ställa under intervjun. Det påverkar också hur frågorna ställs (Bryman, 2011, kap. 6). Detta tas senare ställning till i metoddiskussionen.

Validitet berör hur väl studiens frågor och följdfrågor mätt det som varit avsett att mäta (Bryman, 2011, kap. 6). Eftersom studiens syfte och frågeställningar konstant varit en utgångspunkt genom studiens gång har målet också varit att nå en god validitet. För att kunna koppla det materialet som samlats in i samband med intervjuerna med syftet och frågeställningar har också intervjufrågorna utformats i det syftet. För att kunna öka trovärdigheten i studien gjordes valet att intervjua fler elever än bara en.

5 Resultat

Resultatavsnittet delas upp i två olika delar utifrån studiens frågeställningar. I de båda delarna kommer frågeställningarna besvaras med hjälp av det empiriska material som samlats in under elevintervjuerna. Den första delen behandlar huruvida elevernas subitiseringsförmåga påverkas av successiv förändrade arrangemang (5.1) och den andra delen besvarar vilka olika subitiseringsaspekter som ges uttryck i elevernas svar (5.2).

5.1 Påverkar storlek och avstånd subitiseringsförmågan?

Mönsterbrytande arrangemang vars element är mindre i storlek och med längre avstånd sinsemellan påverkar subitiseringsförmågan och försvårar subitiseringsprocessen. Samma mönster men med större element och kortare avstånd är enklare att subitisera, likaså om elementen är mindre till storlek men fortfarande har kortare avstånd sinsemellan. Två mönster,

mönster 1 och mönster 2, kommer användas i denna del för att exemplifiera skillnaden som

framkommit bland elevsvaren.

Tabell 3: Kategorisering av vilket arrangemang som var svårast att subitisera utifrån elevernas

egna förklaringar.

Kort 1 Kort 2 Kort 3

Mönster 1 0 3 17 Mönster 2 0 4 16 Mönster 3 0 2 18 Mönster 4 0 6 14 Mönster 5 0 4 16 Mönster 6 0 2 18

Eleverna har i stor utsträckning varit överens om vilka arrangemang som upplevts svårast att subitisera antalet. Ovan finns en sammanställning av samtliga mönster som använts i studien där eleverna fått svara på vilket arrangemang i respektive mönster som upplevts svårast att subitisera (se tabell 3). De icke-kvalificerade svaren finns med eftersom frågan löd ’’Vilket kort tycker du är svårast att se prickarna snabbt på?’’. Tabellen är sammanställd där siffran visar på hur många av de tjugo eleverna som angett respektive kort som svårast.

Det var inte enbart genom elevernas egna svar kring vilka arrangemang som var svårast att subitisera, utan det blev även tydligt när själva subitiseringen gjordes. För varje arrangemang som eleverna skulle subitisera minskade antalet elever som kunde nyttja sin subitiseringsförmåga för att avgöra mängden element (se tabell 4 nedan).

Tabell 4: Antal elever som använde sin subitiseringsförmåga för samtliga arrangemang.

Kort 1 Kort 2 Kort 3

Mönster 1 13 11 8 Mönster 2 10 9 7 Mönster 3 18 18 15 Mönster 4 9 8 3 Mönster 5 13 13 9 Mönster 6 14 13 11

I tabellen framgår det att det blev ett successivt bortfall bland eleverna som kunde subitisera de olika arrangemangen. Detta var förekommande i alla mönster.

5.1.1 Mönster 1

Det första mönster som visades i studien innehöll fem element (se figur 4). Mönstret, likt de övriga mönstren, var mönsterbrytande och hade tre olika arrangemang där det första hade stora element med kort avstånd, det andra mindre element med samma avstånd och det tredje mindre element med längre avstånd.

Figur 4: Mönster 1 och dess tre arrangemang: 1.1, 1.2 och 1.3.

En elev påpekar och förklarar att mönstrets tredje arrangemang, 1.3, är svårare att subitisera än de övriga två.

E12: Jag tyckte att den sista var svårast att se snabbt på

E12: För asså det var ju längre mellan alla prickarna och när dom då är små också kan man nog lätt missa en prick

Eleven menar att avståndet mellan elementen och storleken på dessa påverkar och försvårar subitiseringsprocessen. Det skulle finnas en risk för att missa ett element med det avståndet samtidigt som storleken på elementen även gjorde det svårare att snabbt se dem. Eleven förklarar även att det första arrangemanget, 1.1 (se figur 3), var enklare att subitisera eftersom elementen var desto större och även närmre varandra.

E12: Jo men den första jag såg var enklast faktiskt. Intervjuare: Kan du förklara varför du tycker det?

E12: Men prickarna är större så man ser alla lätt på en och samma gång så även fast jag såg några åt gången så kunde jag se mer än en på samma gång.

När elementen både var större och närmre varandra kunde eleven sen subitisera. Eleven är inte ensam med att resonera på ett sådant vis.

E1: Den [1.1] va lättast men denna [1.3] va svårast. Intervjuare: Kan du förklara varför du tycker så?

E1: För på den blev prickarna jättesmå och det är mer plats mellan dom så det tog lite längre tid.

Intervjuare: När du säger att det tog längre tid, hur menar du då?

E1: Jo för asså dessa två såg jag snabbt ändå men denna raden på tre fick jag räkna [var] för sig och då blev det både svårt och tog lång tid.

Eleven förklarar att det sista arrangemanget, 1.3, blev desto svårare att subitisera och således avgöra den totala mängden eftersom både storlek på elementen och avstånd sinsemellan försvårade processen. Det försvårades så pass att eleven inte längre kunde subitisera subgrupper så som hen gjort de tidigare arrangemangen, utan fick övergå till en-till-en-räkning av den ena subgruppen. Vid en sådan övergång anses det att subitiseringsförmågan inte använts för att avgöra mängden i sin helhet, utan enbart en del av mängden. Arrangemangets utformning påverkade alltså eleven så pass mycket att hen inte längre kunde nyttja sin subitiseringsförmåga.

Även det andra arrangemanget, 1.2, påverkade och upplevdes svårare att subitisera av en elev.

E9: Jag tycker att denna [1.2] är jobbigare att se snabbt. Intervjuare: Hur kommer det sig att du tycker det?

E9: För när prickarna är små och så nära varandra så blandar jag nästan ihop prickarna.

Intervjuare: Vilken tyckte du var lättast?

E9: Den första [1.1] eftersom prickarna var så stora men denna [1.3] var lättare att se än den andra [1.2].

Intervjuare: Hur kommer det sig att du tycker den [1.3] är lättare än den andra [1.2]? E9: Även fast prickarna var små så blandade man inte ihop dom på samma sätt som den [1.2].

Det andra arrangemanget, 1.2, hade kortare avstånd än det tredje, 1.3, men trots det blev det ändå svårt för eleven att subitisera elementen. Storleken på elementen och det korta avståndet påverkade i en sådan utsträckning att element smälter samman eller helt enkelt försvinner för eleven.

5.1.2 Mönster 2

Det andra mönstret som eleverna fick bekanta sig med hade sex element (se figur 5). Mönstret var mönsterbrytande men påminde om hur antalet sex ser ut på en tärning, vilket även eleverna lade märke till. De tre arrangemangen konstruerades som föregående mönster där det första, 2.3, hade stora element som med kort avstånd. Det andra arrangemanget, 2.2, hade mindre element men med samma avstånd som föregående arrangemang och det tredje, 2.3, hade mindre element likt föregående arrangemang men med längre avstånd i förhållande till varandra.

Även detta mönster hade tydligt ett svårare arrangemang att subitisera. Det tredje arrangemanget, 2.3, var det flertalet som påpekade gjorde det antingen svårt eller omöjligt att subitisera.

E9: Den sista [2.3] var svår.

Intervjuare: Varför tycker du att den var svår?

E9: För det var det både så många prickar på men också långt mellan. Intervjuare: Men du kom fram till sex prickar i alla fall ju?

E9: Ja men nu fick jag räkna dom alla istället vilket jag inte behövde innan för det gick bara inte nu.

Eleven förklarade att det var så pass svårt att subitisera att hen istället behövde utföra en-till-en-räkning. Vidare förklarade eleven att hen redan vid första anblick bestämde sig för att räkna en-till-en, eftersom avståndet var alldeles för stor.

Intervjuare: När bestämde du att du behövde räkna alla prickarna var för sig? E9: Jag vet inte men jag tror jag gjorde det ganska direkt när jag fick se kortet. Intervjuare: Testade du att bara se det så som du gjorde på de andra korten? E9: Jag har gjort det på alla andra kort, även när det bara var fem prickar. Nu när jag såg att prickarna var både många och små med stor plats mellan dom så bara räknade jag istället. Det kändes inte lönt för nu gick det snabbare tror jag […]

Bara av att se det sista arrangemanget [2.3] avskräcktes eleven från att nyttja sin subitiseringsförmåga och således var också arrangemanget svårast för hen att subitisera. Däremot var den inte enbart det sista arrangemanget [2.3] som ansågs vara svårt. Även det andra arrangemanget [2.2] visade sig påverka en elevs subitiseringsförmåga.

E19: Jag tycker nog att denna [2.2] är svårast att se hur många prickar det är. Intervjuare: Hur kommer det sig att du tycker den är svårast men inte denna [2.3]?

E19: Jo men jag tycker den [2.2] är svårast för att allt är så nära och smått, men på den [2.3] så är det mer avstånd på prickarna vilket gör att dom inte blandas ihop på samma sätt, förstår du?

Intervjuare: Så du tycker att det andra kortet [2.2] är svårast för att det både är smått och långt mellan prickarna och dem är små?

E19: Ja precis, det kan liksom se ut som att två prickar är som en avlång prick istället för att dom smälter ihop.

Eleven menar att det korta avståndet mellan elementen och att de är så pass små, påverkas subitiseringsprocessen negativt och således försvåras den också. I detta fall påverkade det i sådan utsträckning att subitiseringsprocessen prioriterades bort helt och hållet. Eleven kunde inte längre lita på sin subitiseringsförmåga allt eftersom arrangemangets utformning inte var optimalt för att det skulle kunna ske. Istället valde eleven att lita på sin en-till-en-räkning både för att det skulle kännas bäst men också för att det angivna antalet då också skulle bli korrekt.

5.2 Varierade aspekter

Enligt MacDonald och Wilkins (2016) teori kan subitiseringsförmågan delas upp i sju olika aspekter där den perceptuella subitiseringsförmågan är uppdelad i fem aspekter och den konceptuella subitiseringsförmågan är uppdelad i två aspekter (se s. 3). I de olika elevsvaren som kommit fram under intervjuerna synliggjordes också en rad olika subitiseringsaspekter. En del elever återgav inte några svar som tydde på subitisering alls när antalet element översteg fyra eller fem, medan vissa elever inte kunde subitisera alls oberoende antalet element. Eftersom fler svar på så vis blev icke-kvalificerade minskade också mängden visade subitiseringsaspekter. I mönstren 2 och 4 framkom subitiseringsaspekterna extra tydligt, och dessa kommer visas nedan. Valet av mönstren 2 och 4 gjordes för att samtliga aspekter som synliggjorts under studien också synliggjordes i just dessa två mönster.

5.2.1 Mönster 2

Mönster 2 är som tidigare nämnt ett mönster med fem element (se figur 5). De subitiseringsaspekter som getts uttryck i elevernas förklaringar på hur de definierar mängdens antal har varit olika. Den förklaring som förekommit mest är att eleverna har kunnat se två subgrupper och på så vis angett det totala antalet i mängden. Flertalet elever förtydligade att de

kunde se subgrupperna tre och tre och således kunde de även avgöra att det totala antalet i mängden var sex (se figur 6 nedan).

E6: sex prickar.

Intervjuare: Hur vet du att det är sex prickar?

E6: För här såg jag tre prickar och där såg jag tre prickar och då vet jag att det är sex tillsammans.

Figur 6: Elevexempel på hur E6 har identifierat subgrupper.

Eleven kunde identifiera de två subgrupperna tre och tre och med hjälp av sin matematiska förmåga således avgöra att det totala antalet var sex prickar. Även om elevens initiala svar var sex förklarar hen att den kunnat ta reda på detta genom att identifiera subgrupperna först, men inte behövde det. Den subitiseringsaspekt som synliggörs genom elevsvaret är således Rigid Conceptual Subitizer (RCS, s. 6). Eleven hade inte sett någon annan konstellation av subgrupper innan hen svarade, men efter uppmuntran kunde hen även identifiera subgrupperna två, två och två.

En annan elev beskrev hur hen identifierade mängden med hjälp av tidigare erfarenheter. Eleven kunde både beskriva subgrupperna och koppla mönstret till, för eleven, tidigare bekanta mönster och bilder.

E7: Sex.

Intervjuare: Hur kunde du veta att det var sex prickar?

E7: För den ser nästan ut som en tärnings-sexa […] men den ena tre-raden är lite krokig, som en ostbåge […] sen så är det ju två rader med tre i såg jag sen.

Eleven beskriver tydligt att hen kunde avgöra mängdens antal tack vare att hen varit i kontakt med en tärning och således vet att mönstret påminner om talet sex på en sådan. I efterhand kunde eleven även identifiera subgrupperna tre och tre (se figur 7 ovan). Ytterligare en elev använde sig av samma resonemang när hen skulle identifiera mängdens totala antal element:

E19: Sex.

Intervjuare: Hur vet du att det är sex prickar?

E19: jag såg ganska lätt att det var sex […] för här såg jag ett hus med en skorsten så därför var det lätt att se fyra en och en.

Intervjuare: Kan du förklara och visa hur du menar?

E19: Här har man ju fyra prickar och dom är ju som huset fast utan tak […] om man sen kollar igen så ser man en prick över huset som då blir som ett tak […] sen är där en prick kvar och den såg lite ut som om huset skulle ha en skorsten.

Figur 8: Elevexempel på hur E19 har identifierat subgrupper.

Eleven har initialt tittat på arrangemanget och kände med hjälp av tidigare erfarenheter kunde hen se elementen som ett hus. Således kunde hen identifiera subgrupperna enklare och på den vägen har hen sett tre subgrupper på fyra, en och en (se figur 8 ovan). Efter att ha fått frågan om hen kunde komma på några övriga sätt att se hur många element mönstret innehöll fick hen inte ihop något svar. Både E7 och E19 nyttjar alltså sina tidigare erfarenheter av mönster och figurer vilket hjälper eleverna att enklare och/eller snabbare subitisera mängden element. Den subitiseringsaspekt som synliggörs genom dessa två elevsvar är Initial Perceptual Subitizing (IPS, s. 5), men det kan även diskuteras huruvida subitiseringsaspekten Perceptual Ascending Subitizing (PAS, s. 5) också är applicerbar.

5.2.2 Mönster 4

Det fjärde mönstret som användes i intervjuerna innehöll sju element (se figur 9). Arrangemangen var mönsterbrytande och tack vare sina sju element många i antal, och således försvårades subitiseringsförmågan. Likt de övriga mönstren som eleverna fått bekanta sig med i studien hade även detta mönster tre arrangemang. Uppläggen på arrangemangen var densamma som tidigare, där storlek på elementen och avståndet sinsemellan ökade mellan korten.

Figur 9: Mönster 4 och dess tre arrangemang: 4.1, 4.2 och 4.3.

E1: Sju.

Intervjuare: Hur vet du det?

E1: Jo här har vi ju fyra som den ser ut på en tärning, och sen har du tre kanter så fyra och tre är sju ihop.

Figur 10: Elevexempel på hur E1 har identifierat subgrupper.

Tack vare sina tidigare erfarenheter av en sexsidig tärning kunde eleven identifiera en subgrupp på fyra element och med hjälp av sina kunskaper hur en triangel är formad kunde hen även identifiera en subgrupp på tre element (se figur 10 ovan) Således kunde eleven avgöra att mönstrets totala antal var sju element. Likt E7 och E12 kunde även E1 med hjälp av subitiseringsaspekten Initial Perceptual Subitizing (IPS, s. 5), men möjligtvis också/eller med hjälp av Perceptual Ascending Subitizing (PAS, s. 5). Även andra elever har identifierat två subgrupper tack vare tidigare erfarenheter på olika vis:

E12: Sju!

E12: Jag såg först fyra här som påminner om ett T och sen är här tre till och då är ju alla dom tillsammans sju prickar.

Figur 11: Elevexempel på hur E12 har identifierat subgrupper.

Eleven identifierade två subgrupper med hjälp av tidigare erfarenheter av mönster och hur bokstaven T formas. Med hjälp av den kunskapen kunde eleven enklare identifiera en subgrupp på fyra element och således även identifiera de resterande tre elementen i en subgrupp (se figur 11 ovan). Perceptual Descending Subitizing (PDS, s. 5) är den subitiseringsaspekt där eleven först ser den totala mängden för att sedan beskriva subgrupperna, vilket E12 gör i konversationen ovan. Eleven förklarade även att hen kunde se en av subgrupperna som ett T och därigenom kan man även se subitiseringsaspekten Initial Perceptual Subitizing (IPS, s. 5) som aktuell för elevsvaret.

En elev identifierade subgrupperna och mängdens antal på liknande vis, däremot skiljde de sig åt i identifierandet av subgrupper.

E14: Sju prickar!

Intervjuare: Hur vet du det?

E14: Här är ju tre prickar och sen blir det liksom som att det är spegelvänt så där är ju tre prickar till då och sist har man en som är ensam där.

Intervjuare: Hur vet du då att det är sju prickar?

E14: Tre tre och en är ju sju räknade jag då […] sen kan jag också se fyra här och tre här.

Eleven identifierade tre subgrupper istället för två i grupper av tre, tre och en. Eleven använde inte någon tidigare erfarenhet av mönster eller bilder för att identifiera subgrupperna men kunde däremot nyttja sina kunskaper av vad spegelvänt innebär (se figur 12 ovan) Vidare förklarade eleven även att hen kunde se två subgrupper med tre respektive fyra element var. När eleven ser flera kombinationer av subgrupper i en och samma mängd indikerar det att subitiseringsaspekten som används är Flexible Conceptual Subitizing (FCS, s. 6). Om eleven såg detta innan hen gav det initiala svaret om sju element kunde hen inte svara på.

5.2.3 Sammanställning av synliggjorda subitiseringsaspekter

Elevsvaren har varit blandade där både perceptuella och konceptuella aspekter har framkommit under intervjuerna. Det var vanligare förekommande att de konceptuella subitiseringsaspekterna visades i mönster när elementen var fler än fyra, men även när det var fem element kunde någon av de perceptuella subitiseringsaspekterna synas. Vad som blev tydligt var att en elev som angivit en förklaring som kopplas till en perceptuell subitiseringsaspekt inte nödvändigtvis innebar att samma elev alltid gjorde detta. Således kunde samma elev ange förklaringar kopplade till både perceptuella och konceptuella subitiseringsaspekter (se s. 5-6) i både samma och olika mönster (se tabell 5, s. 26).

Tabell 5: Subitiseringsaspekter som synliggjordes genom elevsvar i respektive arrangemang.

IPS PSS PAS PDS PCS RCS FCS Kvalificerade elevsvar

1.1 0 6 4 2 1 13 1.2 0 5 3 2 1 11 1.3 0 5 3 0 0 8 2.1 3 3 2 0 2 10 2.2 3 1 1 2 2 9 2.3 3 2 1 0 1 7 3.1 0 11 7 0 0 18 3.2 0 11 7 0 0 18 3.3 0 9 6 0 0 15 4.1 2 3 2 2 0 9 4.2 2 2 2 1 1 8 4.3 0 1 1 0 1 3 5.1 3 5 5 0 0 13 5.2 3 5 5 0 0 13 5.3 2 4 3 0 0 9 6.1 4 6 4 0 0 14 6.2 4 5 4 0 0 13 6.3 3 4 4 0 0 11

Tabellen visar två saker: dels hur många elever som kunde subitisera mängden element och dels vilka aspekter som synliggjorts genom elevsvaren till respektive mönster och dess arrangemang. Kolumnerna med PSS och PCS innehåller diagonala streck på varje rad då dessa två subitiseringsaspekter inte framkommit i några elevsvar under studiens gång.

6 Diskussion

Detta avsnitt delas upp i två delar. I den första delen (6.1) förs en metoddiskussion. I den andra delen (6.2) diskuteras studiens resultat. Avslutningsvis lyfts idéer om vidare forskning i ämnesområdet (6.2.3).

6.1 Metoddiskussion

Valet av semistrukturerade intervjuer anser jag var ett lämpligt val för att nå studiens syfte och besvara frågeställningarna. Intervjumetoden gav eleverna en möjlighet att ge svar som både var öppna och fördjupande. Utöver det kunde intervjuerna startas med inledande frågor vars syfte var att mjuka upp eventuella spänningar och osäkerhet hos eleverna. En enkätinsamling hade inte varit lämplig för denna studie eftersom de flash cards som användes var av betydelse för att svara på studiens frågeställningar. Enkäter hade inte gett mig samma möjligheter att ställa följdfrågor eller observera eleverna såsom intervjuerna gjorde.

Jag tycker att följdfrågorna i intervjuguiden skapade möjligheter för en djupare förståelse i hur eleverna identifierade subgrupper i de olika arrangemangen. Jag insåg även att det fanns fördelar med att följa intervjuguiden i den utsträckningen som gjordes, även om det inte hade behövts, när materialet transkriberades. Tack vare att jag följde intervjuguiden någorlunda likt vid varje intervju blev det också enklare att analysera materialet. Transkriberingarna av varje intervju följde därför ett tydligt mönster, vilket gjorde att jag kunde kategorisera materialet direkt. Jag upplevde även att det material som användes i samband med intervjuerna, de flash cards som framtagits, varit till stor hjälp för att få syn på elevernas subitiseringsförmåga. Tyvärr var det två subitiseringsaspekter som inte synliggjordes i elevsvaren och det är möjligt att de flash cards som konstruerades inte skapade förutsättningarna för att dessa skulle kunna synliggöras. Om studien skulle göras igen önskar jag att jag kunde konstruera andra arrangemang där de två subitiseringsaspekter skulle kunna lyftas fram i elevsvaren.

Studiens urval hade både för- och nackdelar. För att kunna göra en generalisering av resultatet behövdes åtminstone en hel klass. Eftersom bortfallet blev så pass stort som det blev kunde inte en sådan generalisering göras som tänkt. Fler elever skapar ett mer tillförlitligt resultat vid generalisering. Transkriberingen och kategoriseringen samt kodningen av materialet tog mycket tid. Tack vare att eleverna och dess klasslärare valdes utifrån ett bekvämlighetsperspektiv var det inte heller några svårigheter att genomföra intervjuerna, trots en pågående pandemi. Även fast en klass valdes till studien, i detta fall 31 elever, blev bortfallet

markant stort. Huruvida detta i längden hade påverkat resultatet är svårt att avgöra. Varken jag eller klassläraren gjorde några aktiva beslut om bortfall i elevgruppen, utan det blev bortfall på grund av att samtyckesblanketter inte återlämnades, sjukdom eller eget val av avhopp från elevers håll.

En elevgrupp med lika många elever skulle kunna ge elevsvar som är mer utvecklade och lutar mer mot de konceptuella subitiseringsaspekterna än vad den aktuella elevgruppen gjorde. Jag tror att mycket beror på hur mycket eleverna har fått ta del av undervisning och bekanta sig med undervisningskontexter och undervisningsmaterial där det ligger ett fokus på just subitiseringsförmågan. Den aktuella gruppen har ingen tidigare erfarenhet av sådan undervisning. Ett fåtal elever blev under intervjuernas uppmärksamma på och lade märke till att samtliga mönster och dess arrangemang kom i samma ordning varje gång. En elev sa till slut innan sista kortet lades fram att även det tredje arrangemanget skulle vara det aktuella antalet, eftersom hen lagt märkte till mitt intervjumönster när det gällde de flash cards som användes. I ett försök till att motarbeta detta, i hopp om att eleven skulle behöva subitisera och inte förlita sig på föregående arrangemang, bytte jag ut det sista arrangemanget mot ett slumpmässigt mönsters arrangemang. Om jag fick möjligheten att göra om intervjuerna igen skulle jag inte pröva varje mönster för sig, utan istället arrangemangen. Ordningen på vilka kort som visas skulle gå från 1.1, 1.2 och 1.3 till 1.1, 2.1, 3.1 och så vidare för att därefter visa 1.2, 2.2, 3.2 och så vidare. Jag tror att en sådan ordning istället hade minskat risken för att eleverna skulle förutse arrangemangens ordning.

Under intervjuerna började jag även föra anteckningar på det jag observerade. Det var inget som var planerat inför intervjuerna. Det förekom att elever förklarade att hen kunde se ett antal och inte räknade en-till-en, när jag i själva verket kunde se och höra eleven tyst för sig själv räcka samtliga element en-till-en. Observationer som dessa innebar då också att vissa elevers svar ansågs vara icke-kvalificerade eftersom subitiseringsförmågan då inte användes. Det resulterade en stor mängd svar som inte gick att använda i studien och således försvårades även den generalisering av resultatet som skulle kunna göras. Som följd av detta påverkades även sammanställningen av det empiriska innehållet. I efterhand önskar jag att jag även haft möjlighet att spela in intervjuerna även med bild för att kunna se elevernas ansiktsuttryck och ögonrörelser. På så vis hade även anteckningarna som berör hur eleverna ringat in subgrupper kunnat inkluderas i transkriberingarna.

6.2 Resultatdiskussion

Resultatdiskussionen delas upp i tre delar. Det första avsnittet kommer beröra studiens första frågeställning medan det andra avsnittet berör studiens andra frågeställning. Slutligen avslutas resultatdiskussionen med en ingång i fortsatt forskning.

6.2.1 Arrangemangens svårigheter

Denna diskussion kommer presenteras utifrån de tre olika arrangemang som samtliga sex mönster innehåller. Delen behandlar studiens andra frågeställning vars fokus var att studera vilka subitiseringsaspekter som synliggjorts i elevsvaren under intervjuerna. Bland de sex olika mönster intervjuerna hade som utgångspunkt hade samtliga mönster tre olika arrangemang (se bilaga 3) Viktigt att belysa är att samtliga mönsters arrangemang har haft samma upplägg, där elementen stegvis blivit mindre samt ökat i avstånd.

Det första arrangemanget i mönstren bestod av närliggande element vars utformning var stora prickar. Bland de olika elevsvaren fanns det inga som ansåg att det första arrangemanget, i något av mönstren, var svårast att subitisera. Det var däremot övergripande i att arrangemanget upplevdes som enklast att subitisera. Motiveringarna till varför arrangemanget var enklast av de tre att subitisera löd vanligtvis att elementen var stora och låg så pass nära att de antingen gick snabbt att identifiera subgrupper och således avgöra den totala mängden, eller att det gick snabbare att räkna en-till-en. Även Wang et al. (1971) kom fram till i sin studie att större element skapade positiva förutsättningar för att enklare kunna subitisera en mängd.

I det andra arrangemanget är förhållandet mellan storleken på elementen och avståndet mellan dessa densamma som i det första arrangemanget. Det första arrangemanget har blivit förminskat och således är de båda arrangemangen identiska bortsett från dess skala. Till detta arrangemang var det vanligare att elever uttryckte svårigheter för att subitisera mängden än föregående arrangemang. Elevsvaren var överensstämmande på så vis att det huvudsakligen var storleken på elementen som försvårade subitiseringsprocessen. Elever tyckte att de små elementen och dess korta avstånd orsakade sammansmältningar av två element och således påverkades dem negativt av detta. På samtliga mönster var det någon elev som upplevde detta som svårast eller jobbigast, vilket även är i linje med resultatet i studien från Wang et al. (1971) där de kom fram till att storleken på elementen spelar roll. Både i arrangemang där samtliga element är små och där storleken på elementen är blandade har tidigare visat sig påverka subitiseringsförmågan. Det betyder inte att de övriga två arrangemangen nödvändigtvis var enkla att subitisera för

samma elever, men faktorer som små och närliggande element gjorde att detta arrangemang upplevdes som svårast att subitisera för en del elever. Likt det resultat som visas i studien av Wang et al. (1971) förklarar även eleverna i denna studie att avståndet påverkar subitiseringsförmågan när en mängd element ska avgöras. Det som inte framkommer i deras studie är huruvida Wang et al. (1971) prövat små och närliggande element, eller om denna aspekt undersökt alternativt diskuterats under studiens gång. Något som framkommit i denna studie är att även korta avstånd kan ha en negativ påverkan i en elevs subitiseringsprocess.

I det tredje arrangemanget har avståndet mellan elementen ökat även fast elementens storlek förblir densamma som i arrangemang två. Det blev uppenbart att detta arrangemang för samtliga mönster var svårast att subitisera. Majoriteten av eleverna kunde inte nyttja sin subitiseringsförmåga för att identifiera vare sig subgrupper eller mängden som helhet, utan övergick till sina kunskaper i en-till-en-räkning. En förekommande anledningen till detta var att eleverna vid första anblick av arrangemanget ansåg att avståndet mellan elementen var för stort. Stämmer elevernas egna åsikter om svårast arrangemang med hur väl dem faktiskt subitiserat arrangemangen? Utöver elevernas egna resonemang gällande vilka arrangemang som var svårast att subitisera kan man även granska huruvida väl eleverna faktiskt kunde subitisera varje arrangemang. Det man kan se i tabell 6, vars syfte var att sammanfatta vilka subitiseringsaspekter som synliggjordes i respektive mönster och dess arrangemang samt enkelt kunna se huruvida eleverna kunde subitisera samtliga arrangemang eller inte. I tabellen kan man även se det bortfall som uppstår för varje arrangemang. Det blir tydligt att fler kan subitisera det första arrangemanget än det tredje och som eleverna själva förklarar beror detta på elementens storlek och avståndet mellan dessa. Desto fler antal element resulterade också i att desto färre elever kunde subitisera det tredje arrangemanget. Vid mönster 3 som innehåller tre element kunde nästintill samtliga elever subitisera de första två arrangemangen, 18 stycken, medan 15 stycken kunde subitisera det tredje arrangemanget. När eleverna skulle subitisera mönster 4 och dess arrangemang blev det tydligt att även mängden element försvårade subitiseringsprocessen. Mönstret innehöll sju element. Av 20 elever kunde 9 stycken subitisera det första arrangemanget och med varje arrangemang steg bortfallet. När det tredje arrangemanget skulle subitiseras var det enbart 3 elever som kunde nyttja sin subitiseringsförmåga.

Sammanfattningsvis skulle jag vilja påstå att resultatet för studiens första frågeställning skulle kunna vara generaliseringsbart. Elevsvaren har i så pass stor utsträckning varit

elevsvar som förändrar resultatet avsevärt. Elevernas egna tankar kring vilket arrangemang som är svårast att subitisera stämmer väl överens med deras faktiska subitisering av dessa. Elevsvaren stämmer även överens med det resultat som Wang et al. (1971) kommit fram till i sin studie, vilket är att avståndet mellan elementen och storleken på dessa påverkar elevernas subitiseringsförmåga negativt. Både för långt avstånd mellan elementen och för närliggande element har en negativ effekt.

Utifrån studiens resultat och tidigare forskning kan det ses som det är nödvändigt att lärare eller annan verksam vuxen i skolan har elevperspektivet i åtanke när mönster och arrangemang diskuteras i undervisningen eftersom det underlättar för eleverna i deras utveckling av subitiseringsförmågan. För att utveckla elevers subitiseringsförmåga används ibland både digitalt och konkret material. Används projektorer eller smartboards av olika slag blir mönstret och dess arrangemang annorlunda för de elever som sitter långt fram jämfört med för de elever som sitter längst bak i klassrummet. Studiens resultat indikerar att storleken på elementen och avståndet mellan dessa har en försvårande påverkan på elevers subitiseringsförmåga. Således blir inte heller undervisningen likvärdig för samtliga elever om inte aspekter som denna has i åtanke. Därför anser jag att det är av stor vikt att läraren har elevperspektivet i åtanke i sin undervisningsplanering när subitiseringsförmågan ska undervisas om.

6.2.2 Visade subitiseringsaspekter

I MacDonald och Wilkins (2016) teori om subitiseringsförmågan och dess uppdelning i aspekter finns det sju olika subitiseringsaspekter (se tabell 1 och 2). Aspekterna delas upp utifrån subitiseringsförmågans två grenar, perceptuell och konceptuell subitisering. Denna del kommer att diskuteras utifrån subitiseringsaspekterna.

I den perceptuella subitiseringsförmågan finns det fem olika subitiseringsaspekter. En av subitiseringsaspekterna som nämns i MacDonald och Wilkins (2016) teori är Initial Perceptual

Subitizing (IPS). Forskarna förklarar att Initial Perceptual Subitizing (IPS) är den

subitiseringsaspekt där individen ser mängden element som en uppsättning av en bild. Med hjälp av tidigare erfarenheter kan individen se mängden som exempelvis en blomma, stjärna eller en boll och således enklare identifiera mängdens antal element. E1 förklarade i sitt elevsvar att hen kunde identifiera den totala mängden element med hjälp av sina tidigare erfarenheter av figurer och mönster. Elevsvaret, likt som E7 och E19s elevsvar, grundar sin identifikation av mängden element i bilder, men gör detta genom att identifiera subgrupperna och således addera