Strategier för att resonera proportionellt : En litteraturstudie om elevers val av strategi vid olika typer av proportionalitetsproblem

Strategier för att

resonera

proportionellt

En litteraturstudie om elevers val av strategi vid olika typer

av proportionalitetsproblem

KURS: Självständigt arbete för grundlärare 4–6, 15hp

PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6

FÖRFATTARE:Gustav Bogren, Simon Svensson EXAMINATOR:Pernilla Mårtensson

JÖNKÖPING UNIVERSITY Självständigt arbete för grundlärare, 15 hp School of Education and Communication Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6 HT 21

SAMMANFATTNING

______________________________________________________________________ Gustav Bogren, Simon Svensson

Strategier för att resonera proportionellt: En litteraturstudie om elevers val av strategi vid olika typer av proportionalitetsproblem.

Strategies for Proportional Reasoning: A literature study about students´ choice of strategy when solving different types of problems involving proportionality.

Antal sidor: 30 Att kunna resonera proportionellt är en grundläggande förmåga som elever behöver utveckla i grundskolan. Många elever upplever dock utmaningar med att resonera proportionellt, vilket kan leda till problem med den högre matematiken. Därav är syftet med litteraturstudien att sammanställa strategier som forskning framhäver att elever i grundskolan använder för att lösa olika typer av proportionalitetsproblem. Vilka strategier använder eleverna? Skiljer sig valet av strategi beroende på problemets karaktär? Insamling av material genomfördes via sökningar i olika databaser samt kedjesökning från den valda litteraturens referenslistor. Därefter har materialet granskades och analyserats utifrån studiens syfte och frågeställningar.

Resultatet visar att multiplikativa- och uppbyggnadsstrategier möjliggör proportionellt resonemang. Vidare är strategierna konstant differens och korsmultiplikation vanligt förekommande inom de strategier som hindrar proportionellt resonemang. Därtill framkom det att problemens struktur gällande heltals- eller icke-heltalsförhållanden påverkar elevernas val av strategi. Även den språkliga kontexten kan påverka valet av strategi.

Sammanfattningsvis kan sägas att lärare gynnas av att ha kunskap om de strategier elever använder för att lösa proportionalitetsproblem samt hur valet skiljer sig beroende på problemtypen. Sådan kunskap kan hjälpa lärare vid planering samt genomförande av undervisning och främja elevernas utveckling av förmågan att resonera proportionellt. _____________________________________________________________________ Sökord: Proportionellt resonemang, strategier, proportionalitetsproblem, grundskola, proportionalitet

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

2 Syfte och frågeställningar ... 2

3 Bakgrund ... 3

3.1 Proportionalitet ... 3

3.2 Proportionellt resonemang ... 5

3.3 Olika typer av proportionalitetsproblem ... 6

4 Metod ... 9

4.1 Informationssökning ... 9

4.2 Kriterier för inklusion och exklusion ... 10

4.3 Materialanalys ... 13

5 Resultat ... 14

5.1 Strategier ... 14

5.1.1 Strategier som möjliggör proportionellt resonemang ... 14

5.1.2 Strategier som hindrar proportionellt resonemang ... 17

5.2 Strategier för olika typer av proportionalitetsproblem ... 19

6 Diskussion ... 22 6.1 Metoddiskussion ... 22 6.2 Resultatdiskussion ... 23 6.3 Vidare forskning ... 27 7 Referenser ... 28 Bilagor ... 1

1

1 Inledning

Ett proportionellt resonemang grundar sig i en förståelse för de bakomliggande

förhållanden som finns vid proportionella situationer där det multiplikativa sambandet är av stor vikt (Kilpatrick et al., 2001, s. 241). Utvecklandet av ett proportionellt

resonemang har beskrivits som grundläggande inom aritmetiken och en nyckel till att lyckas med den högre matematiken, exempelvis inom algebra och geometri (Kilpatrick et al., 2001, s. 242; Häggström et al., 2019, s. 205). I Läroplanen nämns begreppet

proportionalitet redan i tidig ålder och får sedan en utökad roll i årskurs 4–6 (Skolverket, 2019, s. 56–57). Trots betydelsen av att utveckla förmågan att resonera proportionellt visar tidigare forskning att många elever har stora utmaningar med proportionella resonemang (Van Dooren et al., 2010; Misailidou & Williams, 2003, s. 344).

För en god undervisning kring förmågan att resonera proportionellt behöver läraren kunskap om elevers olika uppfattningar samt hur undervisningen kan bedrivas. Ball et al. (2008, s. 401) nämner bland annat två områden: kunskap om innehåll och elever samt kunskap om innehåll och lärande1_{. Områdena beskrivs som viktiga för att skapa en}

fungerande undervisning och bygger på förståelse för elevers uppfattningar och

missuppfattningar samt vad det är som eleverna upplever som utmanande kring det som ska läras. Vidare beskrivs att läraren behöver förmågan att planera

undervisningssekvenser som ger eleverna möjlighet att fördjupa sina kunskaper och som bygger vidare på det eleverna tidigare lärt sig. Följaktligen behöver lärare, för att

undervisa och lära ut proportionellt resonemang, kunskap om elevers olika uppfattningar, strategier som används för att resonera proportionellt samt hur olika uppgifter påverkar elevernas proportionella resonemang.

Mot bakgrund av ovanstående beskrivning, som nämner att många elever har stora utmaningar med att resonera proportionellt samt betydelsen av att läraren har kännedom kring elevers olika strategier och uppfattningar, är det av intresse att undersöka vad forskning tar upp kring vilka strategier elever använder för att lösa olika

proportionalitetsproblem. Därav genomförs en litteraturstudie kring det valda området som fokuserar på elever i grundskolan i en ålder mellan 6–16 år.

1 _{Författarnas översättning. De engelska benämningarna är knowledge of content and students samt} knowledge of content and teaching.

2

2 Syfte och frågeställningar

Syftet med litteraturstudien är att sammanställa strategier som forskning framhäver att elever i grundskolan använder för att lösa olika typer av proportionalitetsproblem.

• Vilka olika strategier används för att lösa problemuppgifter gällande proportionalitet?

3

3 Bakgrund

I bakgrunden kommer inledningsvis begreppet proportionalitet beskrivas samt vad som menas med proportionellt resonemang. Därefter redogörs för olika typer av

proportionalitetsproblem.

3.1 Proportionalitet

Proportionalitet innebär en relation mellan två kvantiteter där kvoten mellan de båda är konstant (Häggström, 2019, s. 205; Lamon, 2012, s. 3–4). Den matematiska modellen för proportionalitet skrivs 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑥 där x och y står för två olika kvantiteter där kvoten mellan de båda, som beskrevs tidigare, är konstant och k står för

proportionalitetskonstanten (Häggström et al., 2019, s. 205). För att beräkna proportionalitetskonstanten skrivs den matematiska modellen istället som 𝑦

𝑥= 𝑘 .

Kilpatrick et al. (2001, s. 241) redogör för ett exempel på ett proportionellt samband som beskriver att om 3 ballonger kostar 2 dollar kommer 9 ballonger kosta 6 dollar om förhållandet är proportionellt. I exemplet är antalet köpta ballonger och kostnaden två kvantiteter som i den matematiska modellen för proportionalitet betecknar x (antalet köpta ballonger) och y (kostnaden). Den totala kostnaden beror på hur många ballonger som köps. Med andra ord är den totala kostnaden proportionell mot antalet köpta ballonger. Det innebär till exempel att tre gånger så många ballonger, som i det nämnda exemplet, kostar tre gånger så mycket. I läroplanen nämns begreppet proportionalitet i det centrala innehållet och för årskurs 1–3 beskrivs att eleverna ska arbeta med ”Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften.” (Skolverket, 2019, s. 56–57). I årskurs 4–6 utökas sedan innehållet till att omfatta proportionella samband uttryckt med hjälp av grafer. Ett exempel på en sådan graf kan vara att illustrera det proportionella sambandet mellan kostnaden och antalet köpta ballonger som beskrevs i det tidigare nämnda exemplet.

Ett viktigt begrepp som är sammankopplat med proportionalitet är begreppet proportion. Kilpatrick et al. (2001, s. 241) förklarar begreppet proportion som en relation mellan två förhållanden och att en proportion innefattar ett förhållande inom förhållandet. Om vi tar det tidigare visade exemplet där det kostar 2 dollar för 3 ballonger och 6 dollar för 9 ballonger skulle proportionen vara 2

3 = 6

9

.

4 visas hur en proportion bildas med hjälp av två ekvivalenta förhållanden där det råder proportionalitet. Vidare använder vi exemplet med ballongerna i figur 1 för att tydliggöra kopplingen mellan begreppen proportionalitet och proportion. Som kan ses i figuren beskriver 𝑦1

𝑥1 ett förhållande som är ekvivalent med

𝑦

𝑥. Med andra ord har 𝑦₁

𝑥1 samma

proportionalitetskonstant som 𝑦

𝑥 , vilket därmed bildar proportionen 𝑦 𝑥=

𝑦₁

𝑥1 . Följaktligen

råder det proportionalitet mellan de två förhållandena. Om vi plockar in exemplet med ballongerna, som beskriver den totala kostnaden beroende av hur många ballonger som köps, är proportionalitetskonstanten för båda förhållandena ungefär 0,67 (2

3 ≈ 0,67 och 6 9 ≈ 0,67). De ekvivalenta förhållandena 2 3 och 6

9 , visar därmed att den totala kostnaden är

proportionell mot antalet köpta ballonger och att förhållandena därav bildar en proportion.

Figur 1. Kopplingen mellan begreppen proportionalitet och proportion. Med inspiration från Magnusson (2014, s. 29).

Som beskrevs tidigare innefattar en proportion ett förhållande inom förhållandet. I exemplet med ballongerna utgör 2

3 och 6

9 två förhållanden i samma proportion. Inom

proportionen kan en jämförelse göras på två olika sätt (se figur 2). En jämförelse kan göras mellan storheterna i proportionen, men även inom ett förhållande (Häggström et al., 2019, s. 208).

𝑎

𝑏

=

𝑐

𝑑

𝑎

𝑏

=

𝑐

𝑑

Figur 2. Jämförelse inom och mellan i en proportion.

Inom Mellan Proportionalitet Proportion 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑥 ⟷ 𝑦 𝑥= 𝑘 → 2 3≈ 0,67 𝑦₁= 𝑘 ∙ 𝑥₁ ⟷ 𝑦1 𝑥₁= 𝑘 → 6 9 ≈ 0,67 𝑦 𝑥

=

→

=

5

3.2 Proportionellt resonemang

Lamon (2012, s. 4) beskriver proportionellt resonemang som att upptäcka, analysera, förklara och tillhandahålla bevis som stödjer påståenden om en proportionell relation. Vidare framförs att proportionellt resonemang visar att vi inte enbart använder tal från uppgifter samt tillämpar operationer och regler. Cramer & Post (1993) framhäver också att proportionellt resonemang innebär mer än att göra rena algoritmiska lösningar. Följande problemuppgift används för att illustrera hur elever tillämpar en operation utan att nödvändigtvis att använda proportionellt resonemang: Receptet för att få fram en viss nyans av färgen blå består av 2 delar blå färg och 3 delar vit färg. Hur mycket blå färg behövs om 9 delar av den vita färgen används? (Cramer & Post, 1993, s. 342). Genom att använda de tre givna värdena och sätta upp en likhet med ett saknat värde kan eleverna lösa uppgiften rent algoritmiskt (se figur 3). Att lära sig en sådan procedur kräver inte förståelse för vad värdena har för relation och proportionellt samband utan enbart hur metoden ska appliceras för att komma fram till ett svar.

2 3= 𝑥 9 → 9 ∙ 2 3= 𝑥 → 18 3 = 𝑥 → 6 = 𝑥 𝑆𝑣𝑎𝑟: 6 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟 𝑏𝑙å 𝑓ä𝑟𝑔

Figur 3. Algoritmisk lösning av proportionalitetsproblem (korsmultiplikation).

Proportionellt resonerande bygger på förståelse för proportioner och att ett sådant förhållande innefattar en multiplikativ relation (Kilpatrick et al., 2001, s. 241). Van Dooren et al. (2010, s. 34–35) påtalar vikten av ett utvecklat multiplikativt tänkande för att kunna föra proportionella resonemang och tillägger även att elever behöver kunna urskilja situationer där det är lämpligt att använda ett multiplikativt tänkande. I en proportion går det urskilja två olika multiplikativa relationer (Häggström et al., 2019, s. 208). Det här kan göras både mellan storheterna i proportionen och inom en storhet i proportionen (se figur 2). Efter att ha identifierat en sådan relation kan eleven använda förhållandet för att komma fram till en lösning på proportionalitetsproblemet.

Sammanfattningsvis kan sägas att proportionellt resonemang grundar sig i att kunna beskriva det multiplikativa sambandet som existerar vid proportionella situationer. En elev som enbart utför en procedurell metod utan att kunna redogöra för det proportionella sambandet kan därav inte anses ha resonerat proportionellt.

6

3.3 Olika typer av proportionalitetsproblem

Lamon (2012, s. 112–113) beskriver två typer av proportionalitetsproblem som innefattar proportionellt resonerande: jämförelseproblem [författarnas översättning, benämningen på engelska är comparison problems] och saknat värde [författarnas översättning,

benämningen på engelska är missing-value problems]. I ett jämförelseproblem ingår fyra kvantiteter som formar två givna förhållanden. Ett exempel på ett jämförelseproblem är: Jane och Phyllis springer runt en löparbana. Jane springer 3 varv på 9 minuter. Phyllis springer 6 varv på 15 minuter. Springer de lika snabbt? Om inte, vem springer snabbast? (Karplus et al., 1983, s. 222)? I problem av typen saknat värde är tre kvantiteter angivna och det fjärde värdet är det som ska hittas (Lamon, 2012, s. 113). Ett exempel på ett problem av typen saknat värde är: Om det tar 4 personer 3 dagar att tvätta fönsterna på en byggnad. Hur lång tid tar det för 8 personer att göra jobbet (Lamon, 2012, s. 114)? Cramer och Post (1993, s. 342) framhäver att den här typen av problem är den vanligast förekommande i grundskolan, men att svar på sådana uppgifter inte nödvändigtvis ska tas som ett bevis på proportionellt resonerande då eleven möjligtvis kan ha utfört en rent algoritmisk operation utan att kunna beskriva det multiplikativa sambandet.

Proportionalitetsproblem kan skilja sig åt gällande olika delar. Lamon (1993, s. 42) beskriver skillnader utifrån problemens språkliga kontext och visar på fyra olika typer av problem. Den första problemtypen, välkända förhållanden [författarnas översättning, benämningen på engelska är well-chunked measures], beskriver ett välkänt förhållande mellan två storheter där eleven ska avgöra om det råder proportionalitet mellan

förhållandena. Ett exempel som Lamon (1993, s. 44) beskriver är: Efter 2 timmars bilkörning har du hunnit köra 140 km. Efter 5 timmar har du kört 350 km och efter 6 timmar har du hunnit 440 km. Har du då hållit en konstant medelhastighet under resan? Här bildar de två enheterna, kilometer och timmar, det välkända förhållandet hastighet. Inom den andra problemtypen, del-del-helhet [författarnas översättning, benämningen på engelska är part-part-whole], beskrivs att en delmängd jämförs med en annan delmängd eller med helheten. Ett exempel är: En lärare placerar sina elever i grupper med fem elever i varje grupp varav 3 elever i varje grupp är flickor. Om det är totalt 25 elever i klassen hur många är flickor respektive pojkar (Lamon, 1993, s. 48)? Här kan eleven göra en jämförelse mellan de två delmängderna, flickor och pojkar, som rätt utfört bildar proportionen 3

2= 15

7 till helheten (en grupp och klassen). Rätt utfört bildas då proportionen 5

3 = 25

15 , som visar

att antalet flickor i klassen är 15 om det är 3 flickor i varje grupp. Därifrån kan antalet pojkar, som är 10, avgöras. Tredje problemtypen kallas associerade mängder [författarnas översättning, benämningen på engelska är associated sets] och innefattar två storheter där förhållandet mellan fastställs genom problemet. Fram tills att ett påstående tydligt talar om att storheterna ska bilda ett förhållande är relationen inte klarlagd. Ett eget exempel som utgår från Lamons beskrivning av problemtypen associerade mängder är: 6 personer delar lika på 3 pizzor. Hur många pizzor krävs om 14 personer ska dela lika och få lika stor del som varje person i gruppen med 6 personer? Fjärde och sista kategorin som Lamon (1993, s. 43) beskriver, problem innefattade ökning och minskning [författarnas översättning, benämningen på engelska är stretchers and shrinkers], behandlar ett

förhållande mellan två kontinuerliga kvantiteter inom en eller två specifika egenskaper av ett föremål, exempelvis längd, höjd och bredd. Vidare innehåller problemen någon form av ökning eller minskning av de kontinuerliga kvantiteterna enligt ett fast förhållande. Ett exempel som Lamon (1993, s. 44) beskriver är: Två rektanglar jämförs. Rektangel A har höjden 6 cm samt bredden 8 cm. Rektangel B har bredden 12 cm. Vilken höjd har rektangel B om båda rektanglarna har samma form?

En uppdelning kan också göras mellan förhållanden och proportioner med

heltalsförhållanden och icke-heltalsförhållanden (Steinthorsdottir & Sriraman, 2009, s. 7). Exempelvis har proportionen 4

2= 8

4 enbart heltalsförhållanden, både inom och

mellan de två förhållandena (kvoten 2). Ett exempel på ett icke-heltalsförhållande finns i proportionen 8

5 = 48

30 där relationen mellan de två kvoterna är ett heltal, men relationen

inom kvoterna är ett icke-heltal (se figur 4).

8

5

=

48

30

Figur 4: Exempel på icke-heltalsproportion där kvoten inom = 1,6 och kvoten mellan = 6.

Inom = 1,6

8 I vår studie kommer indelningen av olika typer av proportionalitetsproblem göras dels efter de mest övergripande typerna, jämförelseproblem och saknat värde. Även andra indelningar som görs av det berörda materialet gällande skillnader i

proportionalitetsproblemens karaktär, exempelvis olika heltals och

9

4 Metod

En systematisk litteraturstudie har genomförts för att åskådliggöra det nuvarande

forskningsläget inom ämnesområdet. Att göra en systematiskt litteraturstudie hjälper till att ge en helhetssyn över vilken kunskap som existerar inom fältet (Nilholm, 2017, s. 15– 16), vilket i studiens fall handlar om att sammanställa strategier som forskning framhäver att elever i grundskolan använder för att lösa olika typer av proportionalitetsproblem. Genomförande av en litteraturstudie hjälper oss även att se vilka öppningar för ny

forskning som kan finnas. Vidare kan nya idéer och forskningsfrågor samt lärdomar dras utifrån hur forskare genomfört tidigare forskning, där både positiva och negativa aspekter går att dra nytta av (Bryman, 2018, s. 136).

I metodavsnittet beskrivs hur vi har gått tillväga i informationssökningen. Vidare redogörs också för vilka kriterier som har använts vid urvalet av källor. Avslutningsvis följer ett avsnitt som förtydligar hur det insamlade materialet har analyserats.

4.1 Informationssökning

Informationssökningen har genomförts med hjälp av olika databaser. De databaser som har använts är ERIC (Educational Resources Information Center) och Web of Science som innehåller ett brett utbud av källor inom utbildningsvetenskap. Primo, Jönköping Universitys biblioteks egen söktjänst, har använts för att finna material som biblioteket har tillgång till och var till nytta som hjälpmedel vid kedjesökningen.

Vid informationssökningen användes följande sökord: ”proportional reasoning”, ”strateg*” och ”elementary education” samt olika synonymer till det sistnämnda ordet som ”primary education”, ”elementary school students”, ”elementary schools” och ”middle schools”. Vid första sökningen, som gjordes i ERIC, använde vi oss enbart av ordet ”proportional reasoning” med avgränsningen att sökträffarna måste vara

vetenskapligt granskade, vilket gav 333 träffar. Därefter, för att begränsa urvalet, lades sökordet ”strateg*” till med en trunkering för att få med olika ändelser av ordet, exempelvis ”strategy” och ”strategies”. Antalet träffar minskade då till 82. Sedan adderades även ordet ”elementary education” och olika synonymer. Sökträffarna minskade då till 48. Söksträngen vid sökningen i Web of Science såg liknande ut, men stannade vid orden ”Proportional Reasoning” och ”strateg*” samt att vi avgränsade oss till kategorin education educational research. Söksträngen gav totalt 37 träffar.

10 Mer information kring hur den slutgiltiga söksträngen, som användes vid

informationssökningen i ERIC och Web of Science, växte fram går att finna i bilaga 1. Primo användes enbart vid kedjesökningen för att få fram studier från referenslistorna i de studier som ingick i det slutgiltiga urvalet efter sökningen i ERIC och Web of Science. Sökorden utgick ifrån författarnas namn och studiens publikationsår (se bilaga 2 för mer information).

4.2 Kriterier för inklusion och exklusion

Utifrån de 48 träffarna i ERIC och de 37 träffarna i Web of Science gjordes därefter ett urval genom att läsa titel och sammanfattningarna av artiklarna. Vid genomläsningen användes ett antal kriterier för att avgöra vilka studier som ansågs relevanta för vårt arbete. Till att börja med var ett inkluderingskriterium att studien måste behandla elevers proportionella resonemang. Därav följer att ett exkluderingskriterium var att studien inte fick undersöka lärarens förmåga att resonera proportionellt då vår studie fokuserar på elevers proportionella resonemang. Det andra exkluderingskriteriet behandlade ifall studien berör hur olika verktyg kan utnyttjas för utveckling av proportionellt

resonemang. Avslutningsvis exkluderades studier som beskrev olika aktiviteter för att utveckla proportionellt resonemang.

Av de tidigare träffarna resulterade det första urvalet i 29 träffar som ansågs motsvara de ovan beskrivna kriterierna. Fyra av träffarna var dubbletter och ingick vid sökningen i både ERIC och Web of Science. De 29 träffarna som återstod studerades mer noggrant genom att sammanfattningen samt resultat och diskussionsdel granskades för att avgöra vilka som fortfarande ansågs uppfylla inkluderings- och exkluderingskriterierna. Totalt åtta studier motsvarade inkluderings- och exkluderingskriterierna och ingick i det

slutgiltiga urvalet. Vidare genomfördes även kedjesökningar utifrån referenslistorna från de studier som var en del det slutgiltiga urvalet efter databassökningen för att hitta studier som inte ingått i sökningarna via ERIC och Web of Science och som kunde tillföra något till vår analys. Först granskades studiernas titel i referenslistorna för att avgöra om de möjligtvis kunde vara lämpliga för vår studie. Därefter granskades sammanfattning, resultat och diskussionsdel hos de studier vars titel ansågs relevant och de tidigare nämnda kriterierna för inklusion och exklusion användes för att avgöra om studien fortfarande var aktuell för att ingå i det slutgiltiga urvalet. Till sist diskuterades om studierna som motsvarade inkluderings- och exkluderingskriterierna kunde tillföra något

11 till vår analys. Totalt fyra studier inkluderades utifrån kedjesökningen. Karplus et al. (1983) ansågs ge värdefull information från äldre forskning som kunde användas i jämförelse med nyare forskning för att se likheter och skillnader, vilket även Tourniaire och Pulos (1985) ansågs ge. Lamon (1993) tillförde ett nytt perspektiv på

proportionalitetsproblem gällande den språkliga kontexten och togs av den anledningen med i vår analys. Avslutningsvis ansågs Langrall och Swafford (2000) tillföra många värdefulla exempel som kunde tänkas användas i vår resultatdel samtidigt som Lamons (1993) uppdelning utifrån den språkliga kontexten även fanns med i deras studie. I figur 5 sammanfattas den beskrivna processen vid informationssökningen.

Figur 5: Sammanfattning av processen vid informationssökningen.

De artiklar som genomgick urvalet och ingick i studien redovisas i tabell 1. Totalt ingick tolv studier i analysen där både tidskriftsartiklar och konferenspublikationer fanns med.

Databassökning i ERIC och Web of science (slutgilitig söksträng) •48 träffar i ERIC och 37 träffar i Web of Science. Granskning av titel och sammanfattning utifrån kriterier för inklusion och exklusion. •29 träffar kvar efter granskning varav fyra dubbletter. Granskning av resultat- och diskussionsdel utifrån kriterier för inklusion och exklusion. •8 artiklar inkluderas i studien. Kedjesökning via referenslistor. •4 artiklar inkluderas i studien.

12

Tabell 1: Urvalstabell

Författare Titel Publikationstyp Årtal Land

Artut, P.H., & Pelen, M.S.

6th _{Grade Students’ Solution}

Strategies on Proportional Reasoning Problems.

Konferenspublikation 2015 Turkiet

Avcu, R., & Avcu, S.

6(th) Grade Students’ Use of Different Strategies in Solving Ratio and Proportion Problems.

Tidskriftsartikel 2010 Turkiet

Ayan, R., & Isiksal-Bostan, M.

Middle School Students’

Proportional Reasoning in Real Life Contexts in the Domain of Geometry and Measurement. Tidskriftsartikel 2019 Turkiet Carney, M., Smith, E., Hughes, G., Brendefur, J., Crawford, A., & Totorica, T.

Analysis of Students’ Proportional Reasoning Strategies.

Konferenspublikation 2015 USA

Che M., Wiegert, E., & Threlkeld, K.

Problem Solving Strategies of Girls and Boys in Single-Sex Mathematics Classrooms.

Tidskriftsartikel 2012 USA

Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E.K.

Early Adolscents’ Proportional Reasoning on Rate Problems.

Tidskriftsartikel 1983 USA

Lamon, S. J. Ratio and Proportion: Connecting Content and Children's Thinking.

Tidskriftsartikel 1993 USA

Langrall, C.W., & Swafford, J.

Three Balloons for Two Dollars: Developing Proportional Reasoning.

Tidskriftsartikel 2000 USA

Riehl, S.M., & Steinthorsdottir, O.B.

Missing-value Proportion Problems: The Effects of Number Structure Characteristics.

Tidskriftsartikel 2019 USA

Steinthorsdottir, O.B., & Sriraman, B.

Icelandic 5th _{– Grade Girls’}

Developmental Trajectories in Proportional Reasoning.

Tidskriftsartikel 2009 Island

Steinthorsdottir, O.B.

Proportional Reasoning: Variable Influencing the Problems Difficulty Level and One’s Use of Problem Solving Strategies.

Konferenspublikation 2006 Island

Tourniaire, F., & Pulos, S.

Proportional Reasoning: A Review of the Literature.

13

4.3 Materialanalys

I materialanalysen presenteras hur de tolv studierna har granskats. Allt material behandlar proportionellt resonemang för elever i grundskolan och fokuserar

huvudsakligen på olika strategier som används. Vid en materialanalys kan olika delar av materialet granskas (Nilholm, 2017, s. 47–48). Vår studie fokuserar på studiernas resultat- och diskussionsdel i relation till vårt syfte och våra frågeställningar, vilket var att sammanställa strategier som forskning framhäver att elever i grundskolan använder för att lösa olika typer av proportionalitetsproblem. Utifrån ovanstående beskrivning har materialet analyserats. Vid analysen av materialet har våra frågeställningar varit i fokus: (1) Vilka olika strategier som används för att lösa problemuppgifter gällande

proportionalitet och (2) hur valet av strategi skiljer sig beroende på problemets karaktär. Frågeställningarna var grunden i vår analys, som genomförts med hjälp av tabellen (översikt av analyserat material) i bilaga 3, för att försäkra oss om att studierna har granskats utifrån samma aspekter. Texterna har analyserats tillsammans för att kunna se hur vi båda har tolkat studierna. Om det funnits olika tolkningar har en diskussion förts för att komma fram till en enhetlig syn.

Vid analysen gjordes en indelning mellan de strategier som möjliggör proportionellt resonemang och de strategier som hindrar proportionellt resonemang. Indelningen görs utifrån om strategin möjliggör eller hindrar att eleven kan beskriva det multiplikativa sambandet. Indelningen har med andra ord inte gjorts utifrån vilken nivå av

proportionellt resonemang som strategin visar eller om strategin är lämplig att använda högre upp i åldrarna vid mer utmanande uppgifter. Strategier som leder fram till ett rätt svar, men där möjligheten inte finns för att beskriva det multiplikativa sambandet ses därmed som strategier som hindrar proportionellt resonemang. Vidare innebär inte användningen av en strategi som möjliggör proportionellt resonemang att eleven alltid visar proportionellt resonemang i sin lösning av problemet, men möjligheten att beskriva det multiplikativa sambandet finns.

14

5 Resultat

Resultatavsnittet delas upp i två avsnitt där avsnitt 5.1 behandlar den första frågeställningen, vilka olika strategier som används för att lösa problemuppgifter

gällande proportionalitet. Avsnitt 5.2 redogör i sin tur för den andra forskningsfrågan om hur valet av strategi skiljer sig beroende på problemets karaktär.

5.1 Strategier

Som nämnts tidigare görs en indelning av de strategier som används för att lösa

problemuppgifter gällande proportionalitet. Indelningen görs i strategier som möjliggör proportionellt resonemang och strategier som hindrar proportionellt resonemang. Indelningen avgörs utifrån om eleven kan beskriva det multiplikativa sambandet som finns vid proportionella situationer. De två indelningarna kommer att presenteras i följande två avsnitt där de strategier som möjliggör proportionellt resonemang kommer att presenteras först (avsnitt 5.1.1) följt av de strategier som hindrar proportionellt resonemang (avsnitt 5.1.2).

5.1.1 Strategier som möjliggör proportionellt resonemang

Två områden av strategier har urskilts i forskningen med strategier som möjliggör ett proportionellt resonemang: (1) Multiplikativa strategier och (2) uppbyggnadsstrategier. De multiplikativa strategierna innehåller strategier där ett multiplikativt förhållningssätt används för att komma fram till en lösning genom att urskilja ett förhållande som därefter används för jämförande eller skapande av proportioner. Uppbyggnadsstrategier innebär i sin tur någon form av etablerande av en relation mellan värden i ett förhållande som sedan byggs på tills det andra önskade förhållandet har nåtts.

Multiplikativa strategier kännetecknas som sagt av ett multiplikativt förhållningssätt. Bland de multiplikativa strategierna ingår de tillvägagångssätt där förhållandet inom en relation eller förhållandet mellan används. Strategierna nämns redan av Tourniaire & Pulos (1985, s. 184) och Karplus et al. (1983, s. 224) som vanligt förekommande. Senare forskning visar att tillvägagångssätten används regelbundet bland elever (Avcu & Avcu, 2010, s. 1280; Steinthorsdottir, 2006, s. 172; Steinthorsdottir & Sriraman, 2009, s. 21). Avcu & Avcu (2010, s. 1278) använder följande problem för att demonstrera strategin att använda sig av förhållanden inom: 3 böcker kostar 30 dollar. Hur mycket kostar 9

15 böcker. Alltså måste 9 böcker kosta 90 dollar om 3 böcker kostar 30 dollar. När istället relationen mellan används görs en jämförelse av kvoten i båda förhållandena som ingår i en proportion (se figur 6): 9 böcker är 3 gånger så mycket som 3 böcker. Alltså måste priset för 9 böcker vara 3 gånger så stort som för 3 böcker. Med andra ord 90 dollar.

Även Carney et al. (2015) beskriver samma strategier. Att se förhållandet inom benämns som ett funktionellt perspektiv och innebär att istället för att urskilja förändringsfaktorn, mellan den givna kvoten och det tredje värdet i den andra kvoten, bestäms

proportionalitetskonstanten för den redan givna kvoten. Att använda antingen

förändringsfaktorn eller proportionalitetskonstanten beskrivs som två olika perspektiv eller strategier: Skalperspektiv [författarnas översättning, engelska benämningen är scalar perspective] och funktionellt perspektiv [författarnas översättning, engelska benämningen är functional perspective]. Perspektiven kan jämföras med att använda förhållandet inom eller mellan (se figur 6).

Böcker 3 9

Dollar 30 90

Figur 6: Sambandet mellan skalperspektiv & funktionellt perspektiv samt att se förhållandet mellan och inom

Förutom multiplikativa strategier är uppbyggnadsstrategier vanligt förekommande strategier som möjliggör proportionellt resonemang. Uppbyggnadsstrategier innebär att en relation först etableras inom ett förhållande. Förhållandet används sedan för att komma fram till det andra förhållandet i proportionen, vilket kan ske med hjälp av både addition, division och multiplikation (Riehl & Steinthorsdottir, 2019, s. 60–61;

Tourniaire & Pulos, 1985, s. 184–185). Tourniare och Pulos (1985, s. 184) använder följande problem (översatt till kronor) för att beskriva användningen av en

uppbyggnadstrategi: 2 godisbitar kostar 8 kr. Hur mycket kostar 6 godisbitar? Genom att applicera uppbyggnadsstrategin på problemet skulle en elev resonera som så att om 2 godisbitar kostar 8 kr kommer 4 godisbitar kosta 16 kr och 6 godisbitar 24 kr.

Böcker 3 9

Dollar 30 90 Skalperspektiv / Mellan Funktionellt perspektiv / Inom

x 3

16 Storheterna adderas enligt följande: 8 𝑘𝑟+8 𝑘𝑟+8 𝑘𝑟

2 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑠𝑎𝑟+2 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑠𝑎𝑟+2 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑠𝑎𝑟 = 24 𝑘𝑟

6 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑠𝑎𝑟 . Riehl och

Steinthorsdottir (2019, s. 60) beskriver att en elev även kan kombinera räknesätt och använda exempelvis både multiplikation och addition. Kombinationen av räknesätt används när multiplikationen inte går jämt ut, till exempel vid problem med följande värden: 8

12= 𝑥

27 . När multiplikationen inte går jämt ut används addition för att hantera

resten som är kvar för att skapa det andra förhållandet (se figur 7). Till att börja med multipliceras det första förhållandet: 8

12→ 8∙2 12∙2 =

16

24 . Vid multiplikationen används

förhållandet inom för att skapa rätt proportioner, vilket visar på förståelse för det multiplikativa sambandet. Därefter, för att slutföra skapandet av det andra förhållandet, där relationen inom ska vara samma som i det första förhållandet, används addition enligt följande: 16

24→ 16+2 24+3=

18

27. Vidare kan även det från början beskrivna förhållandet skalas

ned för att sedan byggas upp till det givna tredje värdet för att på så sätt hitta det fjärde och saknade värdet (Carney et al., 2015; Riehl & Steinthorsdottir, 2019, s. 60–61). Tillvägagångssättet liknar det som i Sverige ofta benämns som vägen över ett. Strategin är vanligt förekommande bland elever i grundskolan (Artut & Pelen 2015, s. 116; Avcu & Avcu, 2010, s. 1280; Langrall & Swafford, 2000, s. 257–258). Utgångspunkten är att först ta reda på vad en enhet är värd och sedan använda multiplikation för att komma fram till det önskade värdet. Om vi återgår till exemplet med godisbitarna, som Tourniare och Pulos (1985, s. 184) beskrev, där 2 godisbitar kostade 8 kr och frågan var hur mycket 6 godisbitar kostar, kan strategin användas genom att först komma fram till att 1 godis kostar 4 kr. Värdet 4 kr multipliceras sedan med det tredje värdet som var 6 godisbitar. Strategin kan beskrivas enligt följande: 8

2= 4 1→ 4 1∙ 6 6= 24 6 . 8 12∙ 2 2= 16 24

8

12

=

𝑥

27

Figur 7: Exempel på uppbyggnadsstrategi med hjälp av multiplikation och addition.

2 8 16 18 3 12 24 27 𝑥 = 18 Steg 1: Multiplikation Steg 2: Addition

17

5.1.2 Strategier som hindrar proportionellt resonemang

I vår studie definieras ett proportionellt resonemang som att kunna beskriva det

multiplikativa sambandet som existerar vid proportionella situationer. En strategi där en procedurell metod utförs som inte beskriver det multiplikativa sambandet har därav ansetts hindra proportionellt resonemang, även om svaret blir korrekt. En vanligt förekommande strategi är konstant differens som innebär att eleverna tar reda på

differensen mellan två av kvantiteterna, antingen inom eller mellan förhållandena, för att sedan applicera och skapa ett andra förhållande med samma differens (Steinthorsdottir, 2006, s. 172; Riehl & Steinthorsdottir, 2019, s. 60–61). Eleverna tänker med andra ord i absoluta termer istället för i relativa (Langrall & Swafford, 2000, s. 258). Langrall och Swafford (2000, s. 256–257) använder följande problem som exempel: Ett foto med bredden 6 cm och höjden 8 cm förstoras så att höjden ändras från 8 cm till 12 cm. Vad är bredden på det förstorade fotot? Då höjden ökar med 4 cm ses det som ett bevis för att även bredden ökar med 4 cm istället för att se ökningen ur ett relativt perspektiv. Ett annat sätt att använda sig av strategin är att se att det skiljer 2 cm mellan bredden och höjden i det första fotot. Då antas att skillnaden mellan bredden och höjden i det andra fotot också måste vara 2 cm, vilket leder fram till svaret 10 cm istället för det korrekta svaret 9 cm (se figur 8).

6𝑐𝑚 8𝑐𝑚 = 𝑥𝑐𝑚 12𝑐𝑚 → 8𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 = 12𝑐𝑚 → 6𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 = 10𝑐𝑚 𝑆𝑣𝑎𝑟: 𝑏𝑟𝑒𝑑𝑑𝑒𝑛 ä𝑟 10 𝑐𝑚 6𝑐𝑚 8𝑐𝑚 = 𝑥𝑐𝑚 12𝑐𝑚 → 8𝑐𝑚 − 6𝑐𝑚 = 2𝑐𝑚 → 12𝑐𝑚 − 𝑥𝑐𝑚 = 2𝑐𝑚 → 𝑥𝑐𝑚 = 10𝑐𝑚 𝑆𝑣𝑎𝑟: 𝑏𝑟𝑒𝑑𝑑𝑒𝑛 ä𝑟 10𝑐𝑚

Figur 8: Två olika sätt att använda strategin konstant differens.

Se differensen mellan

18 En annan strategi som hindrar proportionellt resonemang och är vanligt förekommande hos elever i grundskolan (Ayan & Isiksal-Bostan, 2019, s. 73–74), är korsmultiplikation. Strategin använder de tre redan givna värdena i en likhet för att hitta det fjärde och saknade värdet med hjälp av en procedurell metod där matematiska operationer används för att komma fram till det rätta svaret (se figur 3). Lösningen visar inte på ett

proportionellt resonemang, även om eleven möjligen kan besitta förmågan att resonera proportionellt, och strategin kan genomföras utan någon förståelse för det multiplikativa sambandet. Trots det är strategins användning för att lösa proportionalitetsproblem utbredd inom skolan av anledningen att en korrekt utförd procedur leder fram till rätt svar. Ayan och Isiksal-Bostan (2019, s. 73) rapporterar bland annat att nästan alla 935 elever som deltog i studien använde sig av korsmultiplikation för att lösa

proportionalitetsproblemen. Även Che et al. (2012, s. 320–321) påtalar att användning av korsmultiplikation förekommer, men nämner också att det inte nödvändigtvis visar förståelse för det multiplikativa sambandet.

Vanligt förekommande är även att elever ignorerar delar av informationen från problemet eller den givna proportionen, samt att de använder sig av räkneoperationer som planlöst väljs utan något rimligt skäl (Lamon, 1993, s. 52–53; Langrall & Swafford, 2000, s. 256; Riehl & Steinthorsdottir, 2019, s. 60; Steinthorsdottir, 2006, s. 172; Tourniare & Pulos, 1985, s. 185). En elev som försöker lösa ett problem, representerat av proportionen 2

3= 𝑥

24 , med hjälp av en sådan strategi skulle exempelvis välja att utföra division mellan talen

24 och 3 och komma fram till svaret 8 utan någon förklaring till varför den valda operationen genomförts (Langrall & Swafford, 2000, s. 256). En annan elev skulle i det ovan beskrivna problemet kunna addera talen 2 och 24 för att komma fram till ett svar, vilket inte finns någon logisk grund för utifrån den nämnda proportionen. Karplus et al. (1983, s. 225–226) förklarar en annan typ av felaktig strategi, nämligen att multiplicera tal inom ett förhållande och därefter göra en jämförelse. Ett sådant problem, som Karplus et al. (1983, s. 222–223) beskriver med hjälp av förhållandena 12

6 och 15

8, är: En person

köper 6 tuggummin och betalar 12 kr medan en annan person köper 8 tuggummin och betalar 15 kr. Vem fick flest tuggummin för pengarna? Eleven multiplicerar talen enligt följande sätt: 6 ∙ 12 = 72 och 8 ∙ 15 = 120. Sedan konstateras att den första personen gjorde en bättre affär då 72 är mindre än 120. Återigen visar strategin på ett ogrundat val av räkneoperationer samt ingen förmåga till proportionellt resonemang.

19

5.2 Strategier för olika typer av proportionalitetsproblem

I följande avsnitt kommer elevers val av strategi granskas beroende på problemets karaktär. Som beskrevs i bakgrunden är en vanlig indelning den mellan

jämförelseproblem och saknat värde. Proportionalitetsproblemens karaktär kan även skilja sig åt rörande problemens språkliga kontext samt om förhållandena i problemen är av heltals- eller icke-heltalsförhållanden (se avsnitt 3.3).

Artut och Pelen (2015, s. 116) rapporterar att den vanligast förekommande strategin för både jämförelseproblem och saknat värde är att använda sig av förhållandet inom en relation för att på så vis lösa problemet. Karplus et al. (1983, s. 231) redogör att både inom- och mellanstrategin ofta används vid jämförelseproblem, vilket var den enda problemtyp som studien testade. Vidare beskriver Ayan och Isiksal-Bostan (2019, s. 73) att strategin korsmultiplikation används vid problem av typen saknat värde och nästan alla 935 elever som deltog i studien använde strategin vid sådana problem. Strategin används däremot inte vid jämförelseproblem, vilket Artut och Pelens (2015, s. 116) resultat visar. Då strategin bygger på att ta reda på det fjärde och saknade värdet i en proportion går strategin inte att använda vid jämförelseproblem där de värden som ska jämföras redan finns.

Proportionalitetsproblemens karaktär kan även skilja sig åt gällande den språkliga

kontexten (se avsnitt 3.3). Den språkliga kontextens påverkan på elevernas val av strategi beskrivs av Lamon (1993) som hittat olikheter i användningen av strategier vid olika problem där den språkliga kontexten skiljer sig. Problemtypen problem innefattande ökning eller minskning visade att en vanligt förekommande strategi bland eleverna i de undersökta klasserna (11–12 år) var strategin konstant differens. Eleverna hade svårt att tänka i relativa termer istället för i absoluta termer. Anledningen tros vara att eleverna inte uppmärksammar och urskiljer de drag som kännetecknar ett problem innefattande ökning eller minskning och att det här är relaterat till elevernas förmåga att tänka relativt. Vidare beskriver Lamon (1993, s. 50–51) problemtypen associerade mängder som den typ av problem som gav upphov till mest användning av uppbyggnadsstrategier. Steinthorsdottir däremot (2006, s. 172–173) påtalar att många elever i de undersökta klasserna (13–14 år) använder en multiplikativ strategi vid problemtypen associerade mängder och ser relationen inom eller mellan. Samma val av strategier görs även för

20 problemtypen del-del-helhet, som enligt Lamon (1993, s. 47–48) gav upphov till

användning av uppbyggnadsstrategier hos elever i åldern 11–12 år. Det här skiljer sig från Stenthorsdottirs (2006, s.172–173) beskrivning av elever i åldern 13–14 år där väldigt få elever i studien använde sig av någon form av uppbyggnadsstrategi i de undersökta klasserna. Jämfört med Lamon rapporterar Steinthorsdottir (2006, s. 172– 173) istället att en multiplikativ strategi och att se förhållandet inom och mellan var den vanligaste strategin bland de elever som undersöktes. Både Lamon och Steinthorsdottir nämner alltså strategier som i vår studie ses som strategier som möjliggör proportionellt resonemang. De elever som inte kunde lösa problemet med hjälp av en multiplikativ strategi försökte istället använda strategin konstant differens (Steinthorsdottir, 2006, s. 172–173).

Vid problem inom den sista problemtypen, välkända förhållanden, var det signifikativt för de som löste problemet att använda en multiplikativ strategi där förhållanden jämförs med varandra (Lamon, 1993, s. 55). Följande problem, av typen välkända förhållanden, används för att visa på elevernas val av strategi:

Studenten visas ett prenumerationserbjudande från en populär tidskrift. Det finns 3 olika erbjudanden: (1) en 6-månaders prenumeration med 3 delbetalningar där varje delbetalning kostar 40 kr; (2) en 9-månaders prenumeration med 3

delbetalning där varje kostar 60 kr; och (3) en 12-månaders prenumeration med 3 delbetalningar där varje kostar 80 kr. Gör du en bättre affär om du tecknar en prenumeration för en längre period. (Lamon, 1993, s. 44) [egen översättning].

Eleverna använde sig antingen av vad kostnaden för varje, var tredje eller var sjätte månad hade blivit för varje typ av prenumeration. Vanligast var att använda sig av kostnaden för var tredje månad där kostnaden för prenumerationen blir 60 kr var tredje månad för alla tre typerna. I det här fallet har eleverna med andra ord skapat ett

förhållande för varje typ av prenumeration, som i fallet för alla tre blev 60 kr

3 månader . Då

relationen inom förhållandet är samma för alla tre typerna kan eleverna konstatera att kostnaden är lika stor. Alltså gör du inte en bättre affär om du tecknar en längre prenumeration. Steinthorsdottir (2006, s. 172–173) påtalar att omkring hälften av eleverna i studien, i en ålder av 13–14 år, använde någon form av multiplikativ strategi

21 eller en kombination av en multiplikativ- och en uppbyggnadsstrategi vid problemtypen del-del-helhet.

Jämfört med den språkliga kontexten rapporteras större påverkan på elevernas val av lösningsstrategi om förhållandena i uppgifterna har heltals- eller icke-heltalsförhållanden (Steinthorsdottir, 2006, s. 175). Uppgifternas heltals- och icke-heltalsförhållanden beskrivs även påverka svårighetsgraden på problemet, vilket beskrivs ha en inverkan på elevernas val av strategi (Steinthorsdottir, 2006, s. 175). Problem där alla förhållandena i proportionen består av heltal anses vara de lättaste problemen medan problem med enbart icke-heltalsförhållanden är de svåraste. Vid problem som endast består av

heltalsförhållanden rapporteras en större användning av multiplikativa strategier (Artut & Pelen, 2015, s. 118; Steinthorsdottir, 2006, s. 174–175). Steinthorsdottir (2006, s. 173– 174) visar att andelen elever i de undersökta klasserna (13–14 år) som använder

multiplikativa strategier går från 82% vid problem med heltalsförhållanden till 25% för problem med enbart icke-heltalsförhållanden. Istället redovisas att eleverna i högre grad använder sig av exempelvis strategin konstant differens, för att försöka lösa problem med icke-heltalsförhållanden (Artut & Pelen, 2015, s. 118; Steinthorsdottir, 2006, s. 174).

För problemen där något av förhållandena i proportionen var ett icke-heltal använde majoriteten av eleverna en uppbyggnadsstrategi där både multiplikation och addition användes för att hantera resten (se figur 7) och skapa det andra förhållandet

(Steinthorsdottir, 2006, s. 173–175). När problemen sedan innehöll ett icke-heltalsförhållande både inom och mellan, exempelvis 8

12= 𝑥

27 , men värdet på x var ett

heltal (18) använde 65% av eleverna en uppbyggnadsstrategi med multiplikation som inledning och addition som komplement för att hantera resten (se figur 6 för beskrivning av strategi). Ungefär en tredjedel av eleverna klarade inte av att lösa problemet. Vid problem där både förhållandet inom och mellan samt värdet på x var ett icke-heltal försökte lite mindre än en tredjedel av eleverna komplettera med att använda strategin konstant differens när uppbyggnadsstrategin och användning av multiplikation inte fungerade hela vägen. Samtidigt använde den sista tredjedelen en uppbyggnadsstrategi med multiplikation som inledning och addition som komplement för att hantera det som var kvar för att nå fram till det önskade talet.

22

6 Diskussion

Diskussionsdelen är uppdelad i tre avsnitt. Först diskuteras litteraturstudiens metod och tillvägagångssätt. Sedan resoneras kring studiens resultatdel och återkopplar det till studiens syfte och frågeställningar samt diskuterar det i förhållande till yrkespraktiken. Avslutningsvis redogörs för möjliga områden för framtida forskning.

6.1 Metoddiskussion

Vårt arbete syftar till att sammanställa strategier som forskning framhäver att elever i grundskolan använder för att lösa olika typer av proportionalitetsproblem. För att uppfylla syftet har en litteraturstudie genomförts av ett urval av studier. Valet av studier gjordes efter en systematisk litteratursökning där sökord som ansetts relevanta för vår studies syfte och frågeställningar har använts. Möjligtvis kan vår sökning ha påverkats av de valda sökorden och det kan tänkas att andra sökord skulle ha resulterat i andra studier. Dock anser vi att sökorden som använts täcker en stor del av området samtidigt som resultaten från de valda studierna är relativt samstämmigt. Vidare genomfördes

sökningen i tre olika databaser: ERIC, Web of Science samt Primo som enbart användes vid kedjesökningen för specifika studier. Även här kan det dock tänkas att sökningen påverkats då andra databaser, än de som använts, möjligtvis hade resulterat i att studier som inte är med i de nämnda databaserna kommit med. Däremot gav ERIC och Web of Science till stor del olika träffar och tillsammans en bredare bild av området.

Efter sökningen gjordes ett urval genom att först läsa träffarnas titel och sammanfattning. Urvalet gjordes utefter särskilda kriterier för inklusion och exklusion som var att: (1) studien måste behandla elevers proportionella resonemang, inte lärares. (2) Studien får inte beröra hur olika verktyg kan utnyttjas för utveckling av proportionellt resonemang. (3) Studien får inte behandla olika aktiviteter som kan användas för att utveckla

proportionellt resonemang. Kriterierna bedömdes som viktiga för att kunna uppfylla syftet med vårt arbete och för att studierna skulle hjälpa oss att svara på våra

frågeställningar. Därefter gjordes ytterligare ett urval genom att granska studiernas resultat och diskussionsdel och se om kriterierna för inklusion och exklusion fortfarande uppfylldes. Urvalet kompletterades sedan med hjälp av kedjesökning utifrån studiernas referenslistor, där alla arbeten uppfyllde kriterierna som utformats. Hela processen anser vi ha utmynnat i att de studier som använts vid analysen varit användbara och hjälpt oss att uppfylla studiens syfte.

23 Analysen av studierna genomfördes med hjälp av matrisen i bilaga 3 (översikt av

analyserat material). Matrisen gav oss en struktur vid analysen genom att källorna undersökts utifrån samma aspekter och att studiens syfte och frågeställningar hela tiden varit i fokus vid läsningen. Genom att använda matrisen anser vi att analysen genomförts på ett konsekvent sätt, vilket vi ser som en styrka med studiens utförande. Som beskrevs tidigare (se avsnitt 4.3) diskuterades eventuella oklarheter, som uppkom vid läsning av litteraturen, för att få en enhetlig syn på de analyserade studierna. Frågetecken har ibland uppkommit kring om en strategi kan anses möjliggöra eller hindra proportionellt

resonemang. En strategi som möjliggör proportionellt resonemang innebär enligt oss att eleven ges möjlighet att kunna beskriva det multiplikativa sambandet, vilket är

definitionen för proportionellt resonemang som vi använt oss av. Dock innebär nödvändigtvis inte en strategi som möjliggör proportionellt resonemang att eleven resonerar proportionellt vid användning av strategin. En elev kan exempelvis lösa ett problem med en uppbyggnadsstrategi utan att beskriva det multiplikativa sambandet. Däremot hindrar inte strategin eleven från proportionellt resonemang utan möjligheten finns för att beskriva det multiplikativa sambandet. En strategi som hindrar proportionellt resonemang innebär däremot att eleven inte ges möjlighet att beskriva det multiplikativa sambandet. Strategin korsmultiplikation kan exempelvis genomföras av en elev som besitter förmågan att resonera proportionellt, men strategin i sig visar inte att eleven kan beskriva det multiplikativa sambandet, trots att eleven fått ett korrekt svar. Därav ser vi det som att strategin hindrar proportionellt resonemang.

6.2 Resultatdiskussion

Studiens syfte var att sammanställa strategier som forskning framhäver att elever i grundskolan använder för att lösa olika typer av proportionalitetsproblem. Våra två forskningsfrågor har varit i fokus under analysen av materialet: (1) vilka olika strategier elever använder för att lösa problemuppgifter gällande proportionalitet och (2) hur valet av strategi skiljer sig beroende på problemets karaktär.

Resultatet gällande första frågeställningen, vilka strategier elever använder, visar att strategierna antingen möjliggör eller hindrar proportionellt resonemang (se avsnitt 5.1). De strategier som möjliggör ett proportionellt resonemang kan i sin tur delas in i två huvudområden: (1) multiplikativa strategier och (2) uppbyggnadsstrategier. Det är tydligt

24 att det finns en större variation av strategier som hindrar proportionellt resonemang, vilket kan tänkas bero att strategier som hindrar proportionellt resonemang öppnar upp för en mängd olika tolkningar av problemen som inte inbegriper att resonera

proportionellt.

Utifrån resultatet för den första frågeställningen anser vi att det är av stor vikt att som lärare känna till vilka strategier som elever använder vid proportionalitetsproblem. Vi ser det som särskilt viktigt att ha kännedom om de strategier som hindrar proportionellt resonemang då strategierna visar på luckor i förståelsen kring förmågan att resonera proportionellt, vilket i längden kan leda till utmaningar när eleven ska lära sig den högre matematiken, exempelvis algebra och geometri där förmågan att resonera proportionellt är viktig (Kilpatrick et al., 2001, s. 242). Lärare behöver därav kunna urskilja luckorna och se vad det är som brister i elevens resonemang. Vid bedömning av elevernas arbeten med proportionella problem, kan det även tänkas att läraren behöver kunna urskilja när en strategi visar en hög nivå av proportionellt resonemang och inte endast en applicering av en metod. Det är därav tydligt att lärarens kunskap om innehåll och elever samt kunskap om innehåll och lärande är av betydelse (Ball et al., 2008, s. 401). Sådan kunskap bygger på en förståelse för att elever uppfattar ett område på olika sätt, vad det är som ligger bakom elevernas uppfattning samt hur lärandet kan planeras för att eleverna ska utveckla det som undervisningen syftar till. Utan sådan kunskap är det troligtvis lättare att undervisningen fastnar i att enbart utveckla och lära ut en procedurell metod som eleverna använder, utan att visa någon kunskap och förståelse för vad det är som utförs. Som en följd finns en risk att eleverna inte utvecklar sitt proportionella

resonemang, vilket beskrivits som grundläggande för den högre matematiken (Kilpatrick et al., 2001, s. 242).

Det framkom även att valet av strategi påverkas av problemets utformning då skillnader i problemets karaktär gav upphov till olika val av strategier (Lamon, 1993; Riehl &

Steinthorsdottir, 2019; Steinthorsdottir, 2006). Utifrån den språkliga kontextens betydelse kan sägas att den kan tänkas påverka elevernas val av strategi (Lamon, 1993;

Steinthorsdottir, 2006). Det är däremot oklart hur stor påverkan den språkliga kontexten haft vid problem med samma heltals- och icke-heltalsförhållanden. Är det istället så att proportionalitetsproblem med olika språkliga kontexter haft varierande heltals- och icke-heltalsförhållanden som inverkat på elevernas val? Vad som kan sägas är att strukturen i

25 problemen gällande heltals- och icke-heltalsförhållanden verkar spela en större roll för valet av strategi, vilket troligtvis beror på att problemets svårighetsgrad till stor del avgörs utifrån förhållandena i problemen gällande heltals- och icke-heltalsförhållanden (Steinthorsdottir, 2006, s. 175). Problem med heltalskvoter bedöms som lättare medan problem med enbart icke-heltalskvoter anses mest utmanande. Bland annat sjönk andelen elever som använde multiplikativa strategier från 82% vid problem med enbart

heltalsförhållanden till 25% för problem med enbart icke-heltalsförhållanden. Resultatet är inte oväntat då mer utmanande uppgifter kan tänkas leda till att eleverna försöker använda andra strategier än de som funkar vid problem med endast heltalskvoter. En trolig anledning kan vara att deras nuvarande förståelse kring proportionalitet samt hur de ska beräkna förhållandet inom eller mellan när det är ett icke-heltalsförhållande inte räcker till för att lösa proportionalitetsproblemet med en strategi som möjliggör

proportionellt resonemang. Problem med icke-heltalsförhållanden innehåller decimaltal, vilket många elever troligen upplever större utmaningar att operera med jämfört med problem som enbart innehåller heltalsförhållanden. Slutligen anser vi att utformningen av proportionalitetsproblem kan påverka yrkespraktiken. Lärare bör vara uppmärksamma på både den språkliga kontexten, men framförallt hur förhållandena i problemen ser ut gällande heltals- och icke-heltalsförhållanden då det sannolikt påverkar elevernas val av strategi och problemets svårighetsgrad. Både vid planering av undervisningen, men även vid granskning av elevarbeten är det väsentligt att läraren känner till vilka strategier som är vanligt förekommande för olika typer av problem.

Att utforma en undervisning som är anpassad efter elevernas nuvarande nivå kan ses som grundläggande för ett gott lärande. Simon (1995, s. 133–138) beskriver samspelet mellan tre faktorer: målet med lärandet, lärandeaktiviteterna samt vad eleverna kan tänkas lära sig och påtalar att de tillsammans utgör en hypotetisk lärandebana [författarnas

översättning, den engelska benämningen är hypothetical learning trajectory]. Utifrån de ovan beskrivna faktorerna kan som sagt en hypotetisk lärandebana utstakas som utgör lärarens argument för att välja att lägga upp undervisningen på det sätt som har valts. Frågan blir då hur undervisningen med proportionalitetsproblem kan läggas upp utifrån målet att eleverna ska lära sig att resonera proportionellt och kunna beskriva det

multiplikativa sambandet. Möjligen kan de olika problemtyperna användas och utgöra en progression vid valet av proportionalitetsproblem där både den språkliga kontexten samt om problemen innehåller heltals- eller icke-heltalsförhållanden bör tas i beaktning. Som

26 visats tidigare (se avsnitt 5.2) kan de två aspekterna påverka elevernas val av strategi. Bland annat leder problem med enbart heltalsförhållanden till en större användning av multiplikativa strategier. Gällande den språkliga kontexten visar forskningen att problem av typen associerade mängder troligen leder till att eleverna i större utsträckning

använder sig av multiplikativa strategier jämförts med de andra tre kategorierna. Härav följer att en progression av undervisningen, som utgår från att problemen till en början skapas utifrån de ovan beskrivna kategorierna, heltalsförhållanden och associerade mängder, kan tänkas leda till att eleverna i större utsträckning använder strategier som leder fram till ett proportionellt resonemang. Något som i slutändan kan tänkas resultera i att eleverna lyckas beskriva det multiplikativa sambandet. Andra problemtyper kan antas leda till att det blir mer utmanande för eleverna att använda strategier som möjliggör proportionellt resonemang, vilket leder till att det blir svårare att nå målet med

undervisningen. Däremot kan kategorier som anses vara av större svårighetsgrad fungera som en progression när eleverna befäst sina kunskaper och utvecklat sin förmåga att resonera proportionellt vid enklare problemtyper. Genom att sekvensera

undervisningsförloppet utefter vilka problemtyper som leder till fram till särskilda strategival kan läraren möjligtvis göra det enklare för eleverna att utveckla de strategier som möjliggör ett proportionellt resonemang samt få dem att använda strategierna när problemen blir mer utmanande.

Sammanfattningsvis kan sägas att lärare troligen gynnas av kännedom om det omfång av strategier elever använder samt vad som ligger bakom deras val och hur de har tänkt. En slutsats som eventuellt kan dras utifrån resultatet är att kunskap om hur problemets karaktär påverkar svårighetsgraden och slutligen elevernas strategival är viktig för att skapa en lyckad undervisning kring förmågan att resonera proportionellt. En sådan undervisning ger eleverna möjligheter att lyckas när de når den högre matematiken, men även i andra ämnen där förmågan att resonera proportionellt visat sig vara

27

6.3 Vidare forskning

Framtida forskning inom ämnesområdet kan tänkas fokusera på hur den språkliga kontexten påverkar elevernas val av strategi och då i kombination med olika typer av heltals- och icke-heltalsförhållanden. Påverkar den språkliga kontexten valet av strategi eller är det skillnader gällande heltals- och icke-heltalsförhållanden som gör att eleverna gör olika val? Vi har inte funnit mycket forskning som tagit både den språkliga kontexten och strukturen gällande heltals- och icke-heltalsförhållanden i beaktning. Vidare har den forskning som fanns vid tidpunkten för den här studien, som beaktar både strukturen gällande heltals- och icke-heltalsförhållanden samt språkkontexten, undersökt elever i en ålder av 13–14 år. Här kan valet av strategi skilja sig åt från elever i mellanstadiet i en ålder av 10–13 år på grund av en högre kunskapsnivå.

Kommande forskning kan även tänkas fokusera på om en undervisning som sekvenserar lektionerna utefter vilka problemtyper som leder till strategival som möjliggör

proportionellt resonemang medför att eleverna i större utsträckning utvecklar förmågan till proportionellt resonemang. Det här skulle möjligtvis kunna göras genom att jämföra en sådan undervisning med en icke-sekvenserad där problemtyperna blandas och används parallellt utan hänsyn till vilka typer av problem som leder till fram till en större

användning av strategier som möjliggör eller hindrar proportionellt resonemang.

Avslutningsvis skulle det även vara av intresse att undersöka hur lärare arbetar med proportionalitetsproblem i undervisningen. Är de medvetna om elevernas olika strategival? På vilka grunder väljer lärarna problemen som används? Tas hänsyn till exempelvis nummerstrukturen? Eftersom olika typer av proportionalitetsproblem leder till olika val av strategi kan en granskning av undervisningen visa om faktorerna som påverkar valet av strategi tas i beaktning av lärarna eller om de är medvetna om de olika tillvägagångsätten som eleverna använder sig av för att lösa problemen.

28

7 Referenser

Artut, P.H., & Pelen, M.S. (2015). 6th _{Grade students’ solution strategies on proportional}

reasoning problems. Procedia – Social and Behavioral Sciences. 197, 113-119. https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2015.07.066

Avcu, R., & Avcu, S. (2010). 6(th) Grade students’ use of different strategies in solving ratio and proportion problems. Procedia – Social and Behavioral Sciences, 9, 1277-1281. https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2010.12.320

Ayan, R., & Isiksal-Bostan, M. (2019). Middle school students’ proportional reasoning in real life contexts in the domain of geometry and measurement. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 50(1), 65-81. https://doi.org/10.1080/0020739X.2018.1468042

Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389–407.

https://doi.org/10.1177/0022487108324554

Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder (3. uppl.). Liber.

Carney, M., Smith, E., Hughes, G., Brendefur, J., Crawford, A., & Totorica, T. (2015, October 27). Analysis of students’ proportional reasoning strategies [Paper presentation]. North American chapter of International Group for the Psychology of Mathematics Education, East Lansing, Michigan, United States.

https://www.researchgate.net/publication/283255840_ANALYSIS_OF_STUDEN TS%27_PROPORTIONAL_REASONING_STRATEGIES

Che M., Wiegert, E., & Threlkeld, K. (2012). Problem solving strategies of girls and boys in single-sex mathematics classrooms. Education Studies in Mathematics, 79, 311-326. https://doi.org/10.1007/s10649-011-9346-x

Cramer, K., & Post, T. (1993). Making connections: A case for proportionality. The Arithmetic Teacher. 40(6), 342-346. https://doi.org/10.5951/AT.40.6.0342 Häggström, J., Kilhamn, C., & Fredriksson, M. (2019). Algebra i grundskolan. NCM. Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E.K. (1983). Early adolescents’ proportional reasoning

on rate problems. Educational Studies in Mathematics, 14(3), 219-233.

Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. The National Academies Press.

29 Lamon, S.J. (1993). Ratio and proportion: Connecting content and children's

thinking. Journal for Research in Mathematics Education, 24(1), 41-61. https://doi.org/10.2307/749385

Lamon, S.J. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers. 3rd. ed. Routledge.

Langrall, C. W., & Swafford, J. (2000). Three ballons for two dollars: Developing proportional reasoning. Mathematics Teaching in the Middle School. 6(4), 254– 261. https://doi.org/10.5951/mtms.6.4.0254

Magnusson, J. (2014). Proportionella samband: Innehållets behandling och elevernas lärande. [Licentiatavhandling, Göteborgs Universitet]. Gupea.

http://hdl.handle.net/2077/37219

Misailidou, C., & Williams, J. (2003). Diagnostic assessment of children’s proportional reasoning. Journal of Mathematical Behavior, 22(3), 335-368.

https://doi.org/10.1016/S0732-3123(03)00025-7

Nilholm, C. (2017). SMART: Ett sätt att genomföra forskningsöversikter. Studentlitteratur.

Riehl, S.M., & Steinthorsdottir, O.B. (2019). Missing-value proportion problems: The effects of number structure characteristics. Investigations in Mathematics Learning, 11(1), 56-68. https://doi.org/10.1080/19477503.2017.1375361 Simon, M. A. (1995). Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist

perspective. Journal for Research in Mathematics Education, 26, 114–145. https://doi.org/10.2307/749205

Skolverket (2011, rev. 2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11. Skolverket.

Steinthorsdottir, O.B (2006). Proportional reasoning: Variable influencing the problems difficulty level and one’s use of problem solving strategies. I Novotná, J., Moraová, H., Krátká, M. & Stehlíková, N. (Red.). Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 5, pp. 169-176). Prague: PME.

30 Steinthorsdottir, O.B., & Sriraman, B. (2009). Icelandic 5th _{– grade girls’ developmental}

trajectories in proportional reasoning. Mathematics Education Research Journal, 21(1), 6-30. https://doi.org/10.1007/BF03217536

Tourniaire, F., & Pulos, S. (1985). Proportional reasoning: A review of the literature. Educational Studies in Mathematics, 16(2), 181-204.

Van Dooren, W., De Bock, D., & Verschaffel, L. (2010). From addition to multiplication … and back: The development of students’ additive and multiplicative reasoning skills. Cognition and Instruction, 28(3), 360–381.

Bilagor

Bilaga 1

Söksträngar vid informationssökning i ERIC och Web of Science.

ERIC

Sökord Eventuell Avgränsning Antal Träffar

”Proportional Reasoning” Peer reviewed 333

”Proportional Reasoning” AND Strateg*

Peer reviewed 82

”Proportional Reasoning” AND Strateg* AND

(”Elementary Education” OR ”Primary Education” OR “Elementary Schools Students” OR ”Elementary Schools” OR “Middle Schools”) Peer reviewed 48 Web of Science “Proportional Reasoning” 308 ”Proportional Reasoning” AND Strateg* 70 ”Proportional Reasoning” AND Strateg* Kategori:

education educational research 37

”Proportional Reasoning” AND Strateg* AND

(”Elementary Education” OR ”Primary Education” OR “Elementary Schools Students” OR ”Elementary Schools” OR “Middle Schools”) 1 ”Proportional Reasoning” AND Strateg* Categories: EDUCATION EDUCATIONAL RESEARCH 37

Bilaga 2

Söksträngar vid kedjesökning.

Primo

Kedjesökning: Genom

referenslistan för Artut, P.H., & Pelen, M.S. (2015) hittades Langrall &

Swafford (2000).

Sökord: Langrall &

Swafford (2000) Kedjesökning: Genom referenslistan för Artut, P.H., & Pelen, M.S. (2015); Steinthorsdottir, O.B. (2006); Riehl, S.M., & Steinthorsdottir, O.B. (2019) hittades Lamon, S.J. (1993).

Sökord: Susan Lamon

(1993)

Kedjesökning: Genom

referenslistan för Avcu, R., & Avcu, S. (2010) hittades Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E.K. (1983).

Sökord: Robert Karplus

(1983)

Kedjesökning: Genom

referenslistan för Carney, M et al. (2015) hittades

Tourniaire, F., & Pulos, S (1985).