Lecture_3_Introduction.Demoräkneövningar.pdf: MVE605 Inledande matematik

Föreläsning 3 i Intromatematik för Automation och

mekatronik/Teknisk design.

Demonstrationer av

räkneövningar.

Uppgifter som demonstreras: Sommar Matte 1.8: 7c, 9h,12de, 14a; Adams P1: 8, 20, 38, 42

Uppgift SM 1.8: 7c. Förenkla:

x3+ 3 x3 3 x6+ 9 (a b)(a + b) = a2 b2 kan tillämpas ???

x3+ 3 x3 3 x6+ 9 = x3 2 (3)2 x6+ 9

= x6 9 x6+ 9 !!!

= x6 2 (9)2 = x12 81

Uppgift SM 1.8: 9h. Uppdela uttrycket i faktorer

54x2y7 16x5y = x2y 54y6 16x3 | {z } konjugatrege ln? = x2y 2 27y6 2 8x3 = x2y 2 33 y6 2 23 x3 _|{z}= ac+bc=c(a+b):_distributiva_lagen 2x2y 33 y2 3 23 x3 2x2y 0 @ 0 @ 3y2 |{z} a 1 A 3 2x |{z} b !31 A =

konjugatregel!:_a3 _b3_{=(a b)(a}2_+ab+b2₎

= 2x2y 3y2 (2x) 3y2 2+ 3y2 (2x) + (2x)2 = 2x2y 3y2 2x 9y4+ 6y2x + 4x2 Allmänna konjugatregeln: (an bn) = (a b)(an 1+ an 2b + an 3b2::: + abn 2+ bn 1): Uppgift SM 1.8: 12d. Förenkla:_b8b8_6b49₊₉ konjugatrege z }| { b8 9 (b4₎2 ₃2 _(b4 _{3) (b}4_{+ 3) (b}4_{+ 3)}

(b a)2 = ( 1 (a b))2 = ( 1)2(a b)2 = (a b)2 ( x)2 = (x)2 (b a)3 = (a b)3 ( x)3 = ( 1 x)3 = ( 1)3(x3) = ( 1) (x)3 = x3 ( 1)( 1):::( 1) n_ganger = 1 f•or_j•amna_n 1 f•or_udda_n Vi anger en graf för x2_: 5 2.5 0 -2.5 -5 25 20 15 10 5 0 x y x y och en graf för x3 : 5 2 .5 0 - 2 .5 - 5 1 0 0 5 0 0 - 5 0 - 1 0 0 x y x y

Uppgift SM 1.8: 14a. Förenkla: x y2 y2 x 1 x + 1 y2

x y2 y2 x 1 x+ 1 y2 = x y2 y2 x 1 x + 1 y2 = x x y2_x y2_y2 x y2 1 y2 x y2 +_y1 x2_x = x x y2_y2 y2_x 1 y2_{+1 x} x y2 = x x y2_y2 y2_x 1 y2_{+1 x} x y2 = x x y 2 _y2 x y2 x y2 1 y2_{+ 1 x} = 0 B @ konjugatregel x2 _(y2₎2 x + y2 1 C A = (x y 2_{) (x + y}2₎ x + y2 = x y2

Uppgift A P1: 8. Ange mängden av reella tal x som uppfytller givna villkor.

x < 2 och x 3

=_{) x < 2 och} 3 x

fx : 3 x < 2_g = [ 3; 2)

Uppgift A P1: 20. Ange mängden av reella talx som uppfytller givna villkor. Uttryck det som ett intervall eller en union av intervall.

x + 1 x 2 x + 1 x 2 2 2 x + 1 x 2x x 0 x + 1 2x x 0 1 x x 0

j2x + 5j < 1

Lösning: givna olikheten för absolut belopp är ekvivalent med följande två olikheter som vi skriver ihop.

1 < 2x + 5 < 1

Addera 5 till båda olikheter i vänster och höger (alternativt - subtrahera 5) 1 5 < 2x + 5 5 < 1 5

6 < 2x < 4

multiplicera med positivt tal 1=2 båda olikheter i vänster och höger (alternativt dela med 2):

3 < x < 2

Lösningsmängden är fx 2 R : 3 < x < 2g = ( 3; 2).

Uppgift A P1: 42. Tolka olikheten som avståndet på reella linjen och lös olikheten.

jx 3_{j < 2 jxj} Vi betraktat tre fall:

a. 0 < x < 3

b. 3 x

c. x 0

Vi kan skriva om den givna olikheten i varje fall enligt absoluta beloppets de…-nition.

a. jx 3_{j = 3} x < 2_{jxj = 2x:}

3 x < 2x =_{) 3 < 3x =) 1 < x < 3}

b. jx 3_{j = x} 3 < 2_{jxj = 2x:}

c. 3 x =_jx 3_{j < 2 jxj = 2x}

3 x < 2x =_{) 3 < x =) x < 3}

Detta ger lösningsmängden som består av två intervall: ( 1; 3) och (1; 1): Punkter på reella linjen som uppfyller en av dessa olikheter utgör lösningsmängden. Den mängden kallas unionen av dessa två intervall och betecknas med hjälp av tecknet [:

( _{1; 3) [ (1; 1)}

Lite svårare uppgifter.

Visa att för a > 0och b > 0

a + b 2

p ab

Visa att för positiva talen a; b; c; d > 0 det gäller att p

(a + c) (b + d) pab +pcd Lösning. Det räcker att visa att

(a + c) (b + d) ab + cd + 2pabcd eller att

cb + ad 2pcbad men detta följer från att

cb + ad 2pcbad = pcb pad

2