ÖREBRO UNIVERSITET Grundlärarprogrammet Matematik
Självständigt arbete, avancerad nivå, 15 hp
Termin 8, 2020
En komparativ läroboksanalys med
fokus på multiplikation
–en jämförelse mellan tre läroböcker för årskurs 2
Malin Andrén och Sofie Segerdorff
A comparative textbook analysis focusing on multiplication - a
comparison of three textbooks
Abstract
Students are often introduced to multiplication in grade 2. Multiplication has proven difficult for students to master. Textbooks are used in large parts of mathematics teaching, and the choice of books have significance for students' understanding of multiplication. The purpose of this study was to do a textbook analysis to investigate how multiplication is presented in textbooks for grade 2, and what opportunities students have to develop an understanding of multiplication. This was done by examining variation patterns and representations in three textbooks. The result shows that all variation patterns exist in the textbooks, but to varying degrees. All representations occur in two of the three textbooks, but also to varying degrees. The variation of variation patterns and representations can have an impact on students' understanding of multiplication.
Keywords: Multiplication, textbooks, learning object, critical aspects, variation patterns,
representations
Abstrakt
Elever introduceras ofta för multiplikation i årskurs 2. Multiplikation har visat sig vara svårt för elever att bemästra. Läroböcker används i stora delar av matematikundervisningen, och valet av böcker har betydelse för elevers förståelse för multiplikation. Syftet med studien var att göra en läroboksanalys för att undersöka hur multiplikation framställs i läroböcker för årskurs 2, och vilka möjligheter elever har att utveckla förståelse för multiplikation. Detta gjordes genom att undersöka variationsmönster och uttrycksformer i tre läroböcker. Resultatet visar att alla variationsmönster förekommer i läroböckerna, men i olika utsträckning. Alla uttrycksformer förekommer i två av de tre läroböckerna, men även här i olika utsträckning. Variationen av variationsmönster och uttrycksformer kan ha inverkan på elevers förståelse för multiplikation.
Nyckelord: Multiplikation, läroböcker, lärandeobjekt, kritiska aspekter, variationsmönster,
Innehållsförteckning
Inledning ... 1
Syfte och frågeställning ... 2
Litteraturgenomgång ... 2
Multiplikation ... 3
Representationer och uttrycksformer ... 4
Läroböcker ... 5 Teoretiska utgångspunkter ... 7 Variationsteori ... 7 Lärandeobjekt ... 7 Kritiska aspekter ... 8 Variationsmönster ... 8 Kontrastering. ... 9 Separation. ... 9 Generalisering. ... 10 Fusion. ... 10
Variationsteori och lärande ... 10
Uttrycksformer analysen baseras på ... 11
Uttrycksform ord. ... 11 Uttrycksform symbol. ... 12 Uttrycksform bild. ... 12 Uttrycksform konkret. ... 12 Uttrycksform verbal. ... 12 Uttrycksform verklighet. ... 12 Metod ... 13 Urval ... 13
Favorit matematik 2A. ... 14
Mitt i prick matematik 2A ... 14
Prima matematik 2A. ... 14
Analysmetod... 15
Kategorisering och variationsteorin. ... 15
Kategorisering och uttrycksform ... 19
Tillvägagångssätt datainsamling och analys ... 21
Analysskillnader mellan författarna. ... 23
Etiska överväganden ... 24
Resultat ... 24
Förekomsten av lärandeobjekt och kritiska aspekter för de tre läroböckerna ... 24
Fördelningen av variationsmönster för lärandeobjekten för de tre läroböckerna ... 25
Variationsmönster kontrastering ... 26
Variationsmönstret separering ... 29
Variationsmönstret generalisering... 32
Variationsmönstret fusion ... 34
Likheter och skillnader mellan läroböckerna ... 36
Diskussion ... 37 Sammanfattning av huvudresultaten ... 37 Resultatdiskussion ... 37 Metoddiskussion ... 40 Konsekvenser för undervisning ... 41 Framtida forskning ... 41 Referenser ... 43 Bilagor ... 48
Bilaga 1. Studenters möten med läroböcker under VFU. ... 48
Bilaga 2. Lärares användning av läroböcker i verksamheten ... 49
Bilaga 3. Analysschema för Malin Andrén ... 50
1
Inledning
Elever ska tillgodogöra sig ett stort ämnesinnehåll i grundskolan. Det centrala innehållet för matematik lägger stor vikt vid de fyra räknesätten under skolåren 1-3, varav multiplikation är ett av dessa (Skolverket, 2019). Många elever ser ofta fram emot att få börja arbeta med multiplikation, och det är vanligt att läroböcker i matematik introducerar multiplikation i årskurs 2 (Häggblom, 2016).
Tankesättet som finns i multiplikation kan ses som mer krävande än addition och subtraktion. Addition och subtraktion är endimensionella räknesätt, medan multiplikation är tvådimensionellt med utgångspunkt i sammansatta enheter. Att inse värdet i att gruppera till enheter är nödvändigt för att få en förståelse för multiplikation (McIntosh, 2017). Om elever har brister i sina multiplikationskunskaper kan det få till konsekvens att elever t.ex. förväxlar addition och multiplikation, eller tror att multiplikation alltid ska ge ett högre tal (Grevholm, 2016; Häggblom, 2016; McIntosh, 2017). Det sista exemplet har i studier visat sig gälla för över 50 % av deltagarna (McIntosh, 2017).
Inom multiplikation ska elever både muntligt och skriftligt kunna beskriva hur de tänkt vid lösningen av en uppgift och förstå textuppgifter som handlar om multiplikation
(Häggblom, 2016). Att förstå att en textuppgift ska lösas med multiplikation är svårt för elever (Kaufmann, 2018). Att få möta multiplikation på varierande sätt är nödvändigt, då en varierad undervisning är del i att ge elever möjlighet att lära sig på bästa sätt. Att få börja med konkret material, diskutera med klasskamrater och läraren, samt svara på frågor om sina tankar, är den undervisningsväg som McIntosh (2017) rekommenderar. Häggblom (2016) framhåller också användandet av olika uttrycksformer vid undervisningen av multiplikation för att främja elevers förståelse. Matematiska uttrycksformer kan exempelvis vara
algebraiska, språkliga eller grafiska (Häggblom, 2016). Kursplanen för matematik nämner “konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer” som delar elever ska behärska efter årskurs tre (Skolverket, 2019, s.60).
Både nationellt och internationellt är läroböcker en central del av
matematikundervisningen (Despina & Harikleia, 2014; Fan, Zhu & Miao, 2013; Haggerty & Pepin, 2002; Hong, Choi, Runnalls & Hwang, 2019; Johansson, 2011), och
matematikundervisningen verkar vara mer beroende av läroböcker än andra ämnen (Robitaille and Travers, 1992). I TIMSS 2007 och 2011 (Skolverket, 2008; Skolverket, 2012) påvisades läromedlens betydelse för den svenska matematikundervisningen. Läroboken utgjorde grunden för undervisningen för 90 % av åk 4-lärarna vid 2011 TIMSS. Den höga siffran kan
2
bero på lärarnas övertygelse att läromedel försäkrar att undervisningen täcker det som läroplanen dikterar (Holmberg & Ranagården, 2016; Johansson, 2011; Skolinspektionen, 2009).
Multiplikation har visat sig vara svårt för elever att bemästra. I och med det behöver undervisningen lägga en grund som elever kan använda och bygga vidare på. Då
undervisningen har en tyngdpunkt på läroböcker kan en läroboksanalys av vanligt förekommande läroböcker ge lärare en inblick i elevers möjlighet att lära sig räknesättet multiplikation. Med en sådan inblick kan lärare få se möjligheter och utmaningar med olika läroböcker och hur hen kommer behöva komplettera sin undervisning, för att ge sina elever de bästa förutsättningarna för att lära sig multiplikation.
Syfte och frågeställning
Syftet med studien är att bidra med information om hur tre utvalda läroböcker för årskurs 2 framställer multiplikation och vilka möjligheter elever ges för att utveckla sin förståelse för multiplikation. Detta undersöks genom att granska vilka variationsmönster som förekommer inom multiplikation, samt vilka uttrycksformer som förekommer för respektive
variationsmönster. Detta kommer besvaras genom följande frågeställningar:
1. Vilka variationsmönster förekommer i läroboksavsnitten för multiplikation, och i hur stor utsträckning förekommer de?
2. Vilka uttrycksformer förekommer inom respektive variationsmönster, och i hur stor utsträckning förekommer de?
3. Vilka skillnader och likheter finns det mellan läroböckerna vad gäller variationsmönster och uttrycksformer?
Litteraturgenomgång
Detta kapitel presenterar först multiplikation som ämnesområde och även vilka svårigheter elever kan ha. Det görs även kopplingar till variationsteorin. Sedan ges en
definition av begreppet uttrycksformer samt så lyfts kopplingar till lärande och undervisning. Slutligen lyfts läroböcker samt implikationer för undervisning och elevers
3
Multiplikation
Inom multiplikation ska elever utveckla kunskap kring terminologi, liksom kunna tolka och använda multiplikation vid beräkningar och textuppgifter. De ska också veta hur de ska tänka i olika multiplikativa sammanhang och kunna förklara sina tankegångar (Häggblom, 2016: Kaufmann, 2019). Multiplikationen har ett nära samband med addition, vilket kan skapa problem om elever inte ser nyttan med att lära sig multiplikation då addition kan
användas istället (Kaufmann, 2019). Multiplikation är tvådimensionellt, och kombinerar olika delar, ex. tre korgar med 5 äpplen i varje korg är lika med 15 äpplen. Addition är
endimensionellt och håller sig till en del, då fem äpplen + fem äpplen är lika med 10 äpplen. Denna skillnad gör multiplikation till ett räknesätt som kräver ett mer avancerat tänkande (Hino & Kato, 2018; McIntosh, 2017).
Multiplikation är ett ämnesområde som elever bör få möta tidigt under skolåren. I årskurs 2 introduceras ofta multiplikation för första gången, och då i form av multiplikation som upprepad addition (Häggblom, 2016; Kaufmann, 2019). Upprepad addition är en delkomponent i att förstå multiplikation. Att introducera multiplikation som upprepad addition har både fördelar och nackdelar. Fördelar är att det blir en förlängning av addition och kan användas för att skapa en grund för vad multiplikation innebär (Sutherland, Winter & Harries, 2001). En nackdel är att upprepad addition inte hjälper elever se kommutativitet (Häggblom, 2016; Sutherland et al., 2001). Kommutativitet innebär att faktorer kan multipliceras i vilken ordning som helst, vilket kan illustreras med t.ex. areamodellen. Egenskapen att kunna välja vilken faktor som kommer först kan göra beräkningen lättare att utföra (Grevholm, 2016).
Samband är en viktig del för elever när de ska förstå multiplikation. Samband kan hittas inom och mellan multiplikationstabeller, och när elever jämför räknesätt. Får elever syn på dessa samband underlättar det förståelsen och de kan utnyttja detta vid beräkningar. Att besitta tabellkunskaper är del i att kunna utföra operationer med flersiffriga tal för de fyra räknesätten, men lärs tabellerna ut en och en ser inte elever samband mellan dem och hur de kan användas för att beräkna tal. Multiplikation inom tabellerna 0 och 1 har lite andra förutsättningar som elever måste lära sig. Många elever kopplar multiplikation till att produkten blir större, vilket inte stämmer för dessa tabeller (Grevholm, 2016; McIntosh, 2017).
Prioriteringsregler kan också vara en svårighet för elever då de inte kan arbeta från vänster till höger (McIntosh, 2017) som de är vana vid inom andra skolämnen. I en beräkning ska multiplikation utföras först, före addition och subtraktion. För prioriteringsregler finns
4
ingen övergripande logik i ordningen av räknesätt, utan detta är något elever måste lära sig (Grevholm, 2016; McIntosh, 2017).
För att elever ska utveckla en djupare förståelse för multiplikation behöver de arbeta med multiplikation i varierande framställningar och uttrycksformer (Häggblom, 2016; Kosko, 2019). När elever börjar arbeta med multiplikation används ofta bilder och användandet av konkret material. Dessa tillvägagångssätt är inte gångbara i längden, varpå introduktion av symboliska representationer är nödvändigt (Venkat & Mathews, 2019). Elever som kan använda varierande strategier och växla mellan uttrycksformer för att lösa uppgifter, är elever som också behärskar multiplikation (Kaufmann, 2019).
Representationer och uttrycksformer
En representation kan beskrivas som något som används för att tankemässigt eller i kommunikation ersätta det fenomen som det egentligen syftar till (Bergius, Helenius, Rystedt & Trygg, 2019; Roos & Trygg, 2019). En representation blir en abstrakt avbildning av
verkligheten (Rystedt & Trygg, 2010). Ett exempel är siffertal. Själva siffrorna är en representation av talet som egentligen inte går att se, t.ex. tecknet 10 som egentligen är en symbol för talet tio. Det kan också handla om mer konkreta ting som representationer av ett visst matematiskt innehåll, t.ex. kan en fotbollsplan representera en abstrakt rektangel.
Uttrycksform kan användas för att tala om det som nyss benämnts som representationer. Båda begreppen syftar till att ge elever möjlighet att kommunicera (Bergius et al., 2019; Gustafsson et al., 2011), och följande citat illustrerar skillnaden mellan begreppen:
[...] representationen står för något, t ex ett matematiskt begrepp, medan uttrycksformen
anger formen, dvs hur matematiken kommuniceras. Ett konkret exempel på detta är när en person ritar flera olika trianglar som alla får representera begreppet triangel, men där uttrycksformen i samtliga fall är en bild. (Bergius et al., 2019, s.1).
Uttrycksform är alltså ett begrepp som handlar om hur någonting uttrycks och med vilken form, och det är det begrepp som LGR11 använder sig av. Det har också en större koppling till hur ett matematiskt innehåll kommuniceras (Gustafsson et al., 2011). Uttrycksformer är det begrepp som denna studie kommer att använda sig av. Studien utgår från att
uttrycksformer definieras som olika sätt och former att uttrycka sig på, alltså hur matematik kan kommuniceras.
5
Kommentarmaterialet till kursplanen i matematik uttrycker att det är grundläggande för elevers utveckling i matematik att få använda olika uttrycksformer och att få pröva sig fram i olika sammanhang. Detta ger elever kunskap i hur olika uttryck och metoder kan tillämpas och utvecklas. Tanken är att eleverna går från ett mer konkret innehåll som ligger nära dem, för att sedan allt eftersom lära sig hantera mer abstrakt och obekant innehåll. Denna process ger elever verktyg för att kunna uttrycka sig på ett mer matematiskt sätt (Skolverket, 2017). Lärandet i matematik kan därigenom ses som en process där elever allt eftersom får tillgång till olika uttrycksformer och förstår hur dessa kan användas (Bergius et al., 2019). Genom att elever ges möjlighet att arbeta med uppgifter med olika uttrycksformer får de också möjlighet att utvärdera olika sätt att uttrycka sig på (Häggblom, 2016). Det är alltså inte tillräckligt att elever endast får möta matematiska uppgifter som består av att räkna med siffror i en lärobok. Eleverna måste få möjlighet att arbeta med fler uttrycksformer för att kunna utvecklas
matematiskt (Bergius et al., 2019; Roos & Trygg, 2019).
Fördelen med ett varierat mönster av uttrycksformer i undervisningen kan illustreras då läroböcker som följer ett mönster som tar eleverna från verkliga exempel, till bilder på samma exempel, till matematiska uttryck, främjar elevernas matematiska kunnande. Uttryck i
läroböcker kan dock resultera i fel slutresultat då elever inte upplever saker på samma sätt som läroboksförfattare gör. Bilder och andra illustrationer i matematikläroböcker har visats få både för mycket och för lite uppmärksamhet av elever i relation till avsikten med bilden. Likaså uppmärksammar en del bilder i matematikläroböcker saker som inte har med uppgifterna att göra (Sutherland et al., 2001). Detta kan göra elever förvirrade.
Uttrycksformer kan användas på olika sätt och för olika syften (Bergius et al., 2019; Gustafsson et al., 2011). De uttrycksformer som är relevanta för studien är ord, symbol, bild,
konkret, verbal och verklighet. Dessa valdes med utgångspunkt från kursplanens (Skolverket,
2019) skrivelser, men också med inspiration från Lesh (1981) och Häggblom (2016). Uttrycksformerna som analysen kommer utgå från redovisas under rubriken Uttrycksformer
analysen baseras på i teoriavsnittet nedan.
Läroböcker
Läroboken anses vara det läromedel som till störst grad täcker in det läroplanen dikterar (Haggerty & Pepin, 2002; Holmberg & Ranagården, 2016; Johansson, 2011;
Skolinspektionen, 2009). För att skapa en lärobok tolkar läroboksförfattarna läroplanen och omformar den till uppgifter (Van den Ham & Heinze, 2018). Att läroplanen skriver ut
6
obligatoriska ämnesdelar innebär inte att läroböcker fullt ut behöver följa detta. Det finns inga krav eller granskningar av läromedel i Sverige (Johansson, 2011).
Läroböcker i matematik är, förutom att de har potential att införliva läroplanen, ett sätt att uppleva den abstrakta matematiska världen på ett strukturerat sätt, i syfte att underlätta
lärandet (Fan et al., 2013; Van den Ham & Heinze, 2018). Det förbestämda innehållet och strukturen sätter också gränserna för vilka sätt som är möjliga att arbeta på i klassrummet (Despina & Hariklea, 2014; Van den Ham & Heinze, 2018). Därmed får läroböckerna effekt på lärarens undervisningsstil i både avsikten av hur undervisning går till och vad som ingår i den (Fan & Kaeley, 1998).
Metoder och strategier som läroböcker framhåller får stor effekt på lärandemiljön i klassrummet och kvaliteten på elevers inlärningsmöjligheter. Sievert, Van den Ham, Niedermeyer och Heinze (2019) beskriver hur läroboken påverkar elevers utvecklande av strategier, och att det är den strategi som förekommer mest i läroboken som elever utvecklar förmågan att hantera. Utvecklar elever fler strategier så använder sig troligen boken av flera strategier. Det medför att elevers möjligheter att utveckla strategier är beroende av att läroboken illustrerar och använder en variation av dem.
Flera studier har visat att lärare ofta använder läroboken som grund för undervisningen i matematik (Haggerty & Pepin, 2002; Hong et al., 2019; Mullis, Martin, Foy & Arora, 2012; Skolverket, 2012; Van den Ham & Heinze, 2018). TIMSS 2011 visade att ca 75% av grundskolelärarna baserade undervisningen på läroboken. Dessutom utgjorde läroboken utgångspunkt för elevers arbete under hälften av lektionstiden för 79-92 % av lärarna (Mullis et al., 2012). Läroboken får stort utrymme i undervisningen då den anses vara den bästa pedagogiska vägen, att den uppfyller läroplanens skrivningar samt att det föreligger tidsbrist hos lärarna (Haggerty & Pepin, 2002; Holmberg & Ranagården, 2016; Johansson, 2011; Skolinspektionen, 2009).
Fast läroboken styr undervisningen, används den inte alltid som läroboksförfattaren avsett. En del lärare följer strikt boken utan att komplettera med annat material, och en del hoppar över avsnitt, missar innehåll och lägger till eget material istället (Fan et al., 2013; Haggerty & Pepin, 2002). Skillnad i hantering av en och samma lärobok av samma lärare mellan olika klasser, har också uppmärksammats (Fan et al., 2013).
Lärobokens potential för lärande, och elevers faktiska lärande sammankopplas av läraren. Därmed blir lärarens val av lärobok och uppgifter centralt, och inbegriper att läraren kan göra bra val (Hong & Choi, 2018). Läroboksanalyser är ett sätt för lärare att ta del utav läroböckers potentiella fördelar för hens elever. Därmed bör lärare utbildas i att bedöma kvaliteten i de
7
läroböcker som används i undervisningen, för ofta är det skolorna som väljer vilka dessa är. Nuvarande forskning vet dock lite om vilka kriterier skolorna använder för att göra dessa val (Sievert et al., 2019).
Teoretiska utgångspunkter
Avsnittet presenterar den föreliggande teorin för studien, variationsteorin, och relevanta begrepp inom denna. Det ges en beskrivning av lärande inom variationsteorin, samt en förklaring för kopplingen mellan variationsteorin och uttrycksformer. Till sist ges också en beskrivning av de uttrycksformer som ingår i analysen.
Variationsteori
Variationsteorin är ett verktyg för att analysera och beskriva hur lärande går till (Bragg, 2017). Hänsyn tas till det som ska läras in, lärandeobjektet, och den som ska lära sig det (Lo, 2014; Runesson, 2006). Variation är nödvändigt för att elever ska kunna urskilja nya aspekter av ett lärandeobjekt (Kullberg, Runesson Kempe & Marton, 2017). Variationsteorin utgår från lärandeobjektet och applicerar viktiga begrepp på hur lärandeobjektet bör hanteras (Lo, 2014). De centrala begreppen lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster (Holmqvist Olander & Nyberg, 2014; Kullberg et al., 2017) kommer lyftas i avsnitten nedan.
Lärandeobjekt
Lärandeobjekt är startpunkten för variationsteorin. Detta objekt är kunskap som elever ska lära sig (Ekawati & Lin, 2014; Lo, 2014), men det är inget lärandemål. Lärandemål kan urskiljas i läroplanen. Det lärandeobjektet fokuserar på är de delar som behöver finnas med för att lärandemålet ska kunna uppnås. Därmed består lärandeobjekt inte enbart av ett kortare lärandemål för stunden, utan inbegriper även utvecklandet av generella färdigheter (Lo, 2014; Marton, Runesson & Tsui, 2004).
Lärandeobjektet definierar kunskapsinnehållet, motivet till att lära ut innehållet samt vilka aspekter kring kunskapsinnehållet som behöver finnas med (Kullberg et al., 2017: Lo, 2014). Dessa aspekter är de kritiska aspekterna som kommer förklaras nedan.
Lärandeobjektet är ett avgränsat innehåll som eleven ska förstå (Lo, 2014). Kontexten till lärandeobjektet blir också relevant att ta hänsyn till, för kontexten påverkar vilka delar som måste finnas med och läras ut till eleverna för att de ska förstå lärandeobjektet. Kattdjur får en betydelse om det används som något som finns i elevens hem, och en annan betydelse om det
8
berör kattdjur i djungeln. Kontexten urskiljer också lärandeobjektet från andra närbesläktade saker. Katt och hund har likheter men är två olika djur (Lo, 2014; Marton et al., 2004).
Lärandeobjektet kan befinna sig i tre faser; det avsedda, det iscensatta och det upplevda.
Det avsedda handlar om vad läraren planerat för lektionen. Det inbegriper lärandemål och
kompetenser som ska utvecklas. Det iscensatta är vad som blev möjligt för eleverna att lära sig under lektionen. Det upplevda utgår ifrån elevernas perspektiv och handlar om vad de egentligen lärt sig. De tre olika faserna av lärandeobjektet innebär att lärarens avsikt och den verkliga utkomsten kan skilja sig, med konsekvensen att elever erfar något annat än det som var meningen (Ekawati & Lin, 2014; Kullberg et al., 2017; Lo, 2014; Marton et al., 2004). Det är det avsedda lärandeobjektet som studien kommer utgå ifrån.
Kritiska aspekter
Centralt för variationsteorin är att identifiera kritiska aspekter, det vill säga vad som behöver synliggöras för att eleverna ska förstå ett lärandeobjekt (Holmqvist Olander & Olteanu, 2013). De saker som behöver synliggöras är delar som på olika sätt definierar lärandeobjektet i vad det är och vad det inte är (Marton et al., 2004). Ett lärandeobjekt kan innehålla fler aspekter än de som lyfts fram. Det är bara de kritiska aspekterna, de som är nödvändiga för lärande, som tas upp i undervisningen. Variationen inom variationsteorin uppstår här, med att de kritiska aspekterna för ett lärandeobjekt varieras, inte att läraren varierar sina undervisningsstrategier (Lo, 2014).
Sätt att definiera kritiska aspekter för ett ämnesområde är t.ex. genom att studera
läroböcker eller genom kollegialt samarbete (Lo, 2014). För varje lärandeobjekt och för varje elev finns det kritiska aspekter som måste identifieras (Bragg, 2017; Ekawati & Lin, 2014). Detta blir viktigt då det hjälper lärare förstå lärandeobjektet, och därmed kan elevers olika inlärningsmönster mötas upp bättre. De kritiska aspekterna synliggörs i undervisningen genom olika variationsmönster (Holmqvist Olander & Nyberg, 2014).
Variationsmönster
Variationsmönster ger elever möjlighet att urskilja de kritiska aspekterna kring ett lärandeobjekt genom att de skapar en struktur som tydliggör aspekterna. Denna struktur hjälper elever uppmärksamma skillnader och likheter, eller variationer och konstanta aspekter, kring ett lärandeobjekt. Både skillnader och likheter är nödvändiga för att förstå helheten kring ett lärandeobjekt (Lo, 2014).
9
Det finns fyra olika variationsmönster. Dessa är kontrastering, separering, generalisering och fusion. När det kommer till ordningen av variationsmönster för att främja lärande, kan uppgifter där först kontrastering, följt av separering och generalisering, och till sist fusion förekommer, ge elever en relevant grund för att förstå lärandeobjektet (Holmqvist Olander & Nyberg, 2014; Kullberg et al., 2017; Lo, 2014).
Kontrastering. Kontrastering innebär att påvisa skillnader, att visa vad någonting är
genom att jämföra med vad det inte är. Syftet är att visa nya och varierande varianter av lärandeobjektet (Kullberg et al., 2017). När något kontrasteras mot något annat, t.ex. trianglar mot fyrkanter, kan skillnader mellan de två uppmärksammas. För att underlätta
kontrasteringen bör de två figurerna finnas tillgängliga samtidigt, t.ex. i form av konkret material på bänken framför eleverna, så skillnader dem emellan tydligt kan lyftas fram. Tidigare inlärningsmoment i matematik kan också kontrasteras mot ny undervisning. T.ex. kan elevernas tidigare möte med addition kontrasteras mot multiplikation. Då får elever uppmärksamma ett nytt sätt att utföra beräkningar, som i längden är en mer effektiv strategi än upprepad addition. Elever får en förståelse för multiplikation genom att uppleva skillnad mellan räknesätten (Lo, 2014). Lärare som effektivt kan lyfta kontraster av ett lärandeobjekt verkar kunna stimulera till bättre inlärning hos eleverna (Holmqvist Olander & Olteanu, 2013).
Separation. Separation innebär att utmärkande drag från helheten av lärandeobjektet
separeras. Att något separeras innebär att en av de kritiska aspekterna som uppmärksammades under kontrasteringen, hamnar i fokus och varieras så denna kan urskiljas lättare, medans resterande aspekter hålls konstanta. Därmed måste kontrastering föregå separation (Lo, 2014; Marton et al., 2004). Ett exempel skulle kunna vara uppgifter där eleven först får möta 2:ans multiplikationstabell för faktor 0-10, ex, 0x2=0, 1x2=2 osv, så elever får se den kritiska aspekten att multiplikationstabellen ökar med faktorn för tabellen. Sen ges uppgift där eleven ska räkna med 2-hopp, vilket då visar den kritiska aspekten på ett annat sätt. Att helheten separeras ner till enskilda delar, gör att elever kan använda detta till att generalisera i nästa steg av variationsmönstrena. Separering leder alltså till en förståelse för de enskilda kritiska aspekterna av lärandeobjektet, vilket öppnar upp för en förståelse av helheten (Al-Murani, Kilhamn, Morgan & Watson, 2019; Holmqvist Olander & Nyberg, 2014). Författare inom variationsteori har olika syn på variationsmönstret separering. I den föreliggande studien är den ovan nämnda tolkningen, den som kommer vara utgångspunkten för variationsmönstret.
10 Generalisering. Generalisering innebär att upptäcka likheter kring ett lärandeobjekt, genom
att hålla något konstant och samtidigt variera de kritiska aspekterna, en åt gången.
Generalisering bygger på separering, där de kritiska aspekterna skiljts ut från helheten, och här kan bli till ett generellt koncept (Al-Murani et al., 2019; Kullberg et al., 2017; Lo, 2014). Om målet är att elever ska få förståelse för 2:ans multiplikationstabell, måste ena faktorn hållas konstant på talet 2, medans den andra varieras. Det ger eleverna möjlighet att se det generella draget hos 2:ans multiplikationstabell, alltså att det ökar med två varje gång den ena faktorn ökar med ett tal, trots att multiplikationen kan ha olika utseende. För att generalisera krävs att elever får uppleva minst två exempel av det som avses generaliseras (Kullberg et al., 2017; Lo, 2014; Marton et al., 2004). Elever lär sig generalisera ett koncept efter de fått möta konceptet i olika utformningar, vilket börjar under separeringsprocessen (Al-Murani et al., 2019; Kullberg et al., 2017).
Fusion. Fusion innebär att de aktuella kritiska aspekterna, och deras inbördes kopplingar
till lärandeobjektet, synliggörs samtidigt och kan bli till en medveten tanke hos elever
(Kullberg et al., 2017; Lo, 2014). Det kan framställas när elever fått möta lärandeobjektet i de tre föregående variationsmönstrena. När undervisningen först påvisar skillnader via
kontrastering, sedan likheter via separering och generalisering, och därefter kopplar ihop alla delarna till en helhet, görs elever mer kapabla att hantera lärandeobjektet i olika kontexter (Marton et al., 2004). Där fusion berörs är alltså tanken att eleverna ska ha fått förståelse för de ingående delarna av lärandeobjektet, kan ha dessa i åtanke och kan applicera dessa på ett korrekt sätt för den rådande situationen (Lo, 2014). Detta skulle kunna visa sig i
problemlösningssituationer när elever inte får givna lösningsstrategier.
Variationsteori och lärande
Variationsteorin är ett verktyg lärare kan använda vid sin lektionsplanering av ett kunskapsområde. Teorin bygger upp ramar för hur lärande kan ske, där begreppen
lärandeobjekt och kritiska aspekter stöttar lärare i att definiera vad som ska undervisas om. Variationsmönster kan öka elevers möjlighet att lägga märke till syftet med lektionen, men det är ingen garanti för att lärande sker (Kullberg et al., 2017; Lo, 2014). För all undervisning, oavsett undervisningsstrategi, fokuserar variationsteorin på att eleverna ska vara i centrum och aktiva i sitt eget lärande (Ekawati & Lin, 2014; Lo, 2014).
En komponent för lärande är motivation. Variationsteorins syn på motivation utgår ifrån elevens förhållande till lärandeobjektet, och hur relevant lärandeobjektet är för dem. Denna
11
relevansstruktur kan stödjas med vardagsnära problem och variationsmönster som gör att lärandeobjektet upplevs möjligt att lära sig (Lo, 2014). Att använda sig av elevnära exempel öppnar dessutom upp för större förståelse av lärandeobjektet (Marton, Runesson & Tsui, 2014).
Variationsteorin kan också användas för att skapa ett ramverk för att analysera lektioner, i syfte att förbättra undervisningen. Analysen kan göras vid planeringsstadiet av lektionen, genom att analysera det avsedda variationsmönstret och om det ger elever möjlighet att uppnå det avsedda lärandeobjektet (Ekawati & Lin, 2014; Lo, 2014,). Samma principer kan
appliceras på läroböcker. Genom att analysera uppgifterna ges det möjlighet att urskilja vilket sorts lärande som läroboken ger upphov till (Al-Murani et al., 2019).
I den föreliggande studien är lärandeobjektet någonting inom multiplikation. Får elever möta alla variationsmönster för ett lärandeobjekt och för de kritiska aspekterna ökar
chanserna för att de kan förstå innebörden i lärandeobjektet. Det betyder att om elever får möta multiplikation i de olika variationsmönstren kan de förstå det matematiska innehållet.
För att elever ska lära sig multiplikation är ett varierat mönster av uttryck även önskvärt (Häggblom, 2016; Kosko, 2019). När elever möter multiplikation i ex. konkret och senare symbolisk form kan förståelsen öka (Skolverket, 2017). Om det då förekommer ett varierat mönster av uttryck inom de olika variationsmönstren kan det antas att det skulle hjälpa elever utveckla sin förståelse för multiplikation ytterligare. De får då möta multiplikation i
varierande uttrycksformer i alla de olika inlärningsstadier som variationsteorin förespråkar. Det blir också utgångspunkten för analysen, att se hur olika variationsmönster åstadkoms med hjälp av olika uttrycksformer. Därmed är detta en relevant teori, och även två relevanta aspekter, för att synliggöra och få en bild av hur multiplikation framställs och vilka
möjligheter som ges för att elever ska utveckla en förståelse för multiplikation.
Uttrycksformer analysen baseras på
Analysen av uttrycksformer för variationsmönstren kommer baseras på följande definitioner.
Uttrycksform ord. Ord handlar om att skriftligt använda bokstäver och text, i form av vardagsspråket och det matematiska språket, för att förmedla matematiska koncept. Det går till stor del ut på att skriva matematik i textform, men även att kunna läsa och tolka de redan skrivna orden (Bergius et al., 2019; Häggblom, 2016; Lesh, 1981). Ord kan fungera som ett delsteg för elever när de försöker koppla verkligheten till symboler. Att gå från verkligheten,
12
till att beskriva den med egna ord, till att sen skriva symboler, kan upplevas lättare än att gå direkt till symboler (Lesh, 1981).
Uttrycksform symbol. Denna uttrycksform går ut på att kunna använda olika
matematiska symboler. Det innebär att kunna tolka symbolen i en uppgift, använda den i en beräkning och att kunna skriva den korrekt. Att lära sig använda symboler är en process där eleverna ska kunna följa matematiska regler, i syfte att uttrycka matematiska tankar. Exempel på symboler är 20 och =. Elevers sätt att hantera en symbol ger inblick i deras förståelse för det matematiska området symbolen används i. Att utveckla en flexibel förståelse för den symboliska uttrycksformen kan ta lång tid, men är ett viktigt steg för att elever ska kunna förstå det matematiska symbolspråket (Bergius et al., 2019; Häggblom, 2016; Lesh, 1981).
Uttrycksform bild. Bild avser något som är illustrerat, t.ex. bilder, tabeller eller grafer. Bild kan både avse en färdig bild i läroboken, men också bilder som eleverna själva ritar för att förklara hur de tänker när de löser matematiska uppgifter (Bergius et al., 2019; Häggblom, 2016). För yngre elever och/eller elever med svårigheter kan uttrycksformen bild upplevas som ett lättare sätt att uttrycka sig på än den symboliska uttrycksformen (Häggblom, 2016).
Uttrycksform konkret. Denna uttrycksform handlar om att göra matematiska idéer
konkreta och greppbara genom att arbeta med konkret material. Konkret material är föremål som elever kan röra och plocka med, och kan vara vardagssaker, t.ex. skor eller äpplen, men också klossar eller centikuber. Den konkreta uttrycksformen är vanlig när yngre elever arbetar med matematik (Bergius et al., 2019; Häggblom, 2016; Lesh, 1981).
Uttrycksform verbal. Verbal uttrycksform handlar om att elever muntligt använder sitt vardagsspråk och det matematiska språket för att beskriva något. Det sker ofta när elever arbetar i par eller grupp. Att delta i sådan interaktion utvecklar och konkretiserar tankar och idéer, vilket leder till kognitiv utveckling. Det kan även göra att uppgifter upplevs lättare. En viktig process för elever är att omformulera matematiska problem till sina egna ord
(Häggblom, 2016; Lesh, 1981).
Uttrycksform verklighet. Verklighet avser verklighetsbaserade och/eller elevnära exempel som elever kan relatera till, t.ex. användandet av bilder på frukter i uppgifter (Häggblom, 2016). Uttrycksformen verklighet kommer sammanfalla med någon annan uttrycksform, t.ex. konkret om det rör sig om legobitar eller bild om det finns bilder på
13
legobitar. Elever ska alltså kunna använda och tolka exempel från verkliga situationer i matematiken (Bergius et al., 2019). Vid verklighetsbaserade situationer och exempel måste både det matematiska fokuset och kontexten tas hänsyn till, då kontexten kan bli ett
störningsmoment (Lesh, 1981).
Metod
Detta avsnitt beskriver studiens tillvägagångssätt. Urval och kort introduktion av läroböckerna ges först. Därefter redovisas analysmetoden och kategorierna som analysen baseras på, samt de olika steg analysen genomförts i. Kapitlet avslutas med analysskillnader mellan författarna, reliabilitet och validitet samt etiska överväganden.
Urval
Valet av läroböcker till analysen var ett bekvämlighetsurval då en viss uppsättning böcker fanns tillgängliga via Örebro Universitet (Bryman, 2018). För att välja mellan de tillgängliga böckerna skapades följande urvalskriterier:
• Utgivningsår. Böckerna skulle ha författats och utgivits efter 2011, alternativt utgivits och reviderats efter 2011. Att läroböcker utgivits under denna period ansågs relevant, även fast det inte finns några krav på läromedelsförfattarna att förhålla sig till gällande läroplan (Johansson, 2011).
• Fokus på multiplikation. Varje lärobok skulle ha ett kapitel om multiplikation som möjliggjorde en analys, och omfattning uppskattades till minst 10 sidor. Det innebar att läroböcker för årskurs F och 1 uteslöts, då multiplikation inte ingick i dessa.
• Aktuella som läroböcker i skolor. Detta var ett krav för att öka relevansen för studien. I och med det behövde böckerna användas i relativt stor utsträckning ute i
skolverksamheter. För att finna relevanta läroböcker genomfördes en enkel
undersökning av våra kurskamraters möte med läroböcker under VFU (bilaga 1). Av 21 svar som rörde frågeställningen, uppgav 20 kurskamrater att Favorit matematik använts på deras VFU-skolor. En tidigare förfrågan om läromedelsanvändning av verksamma F-3 lärare i en sluten Facebook-grupp (bilaga 2) visade också att Favorit
matematik var den mest förekommande läroboken med 128 svar av totalt 215 svar. På
andra och tredje plats kom Mitt i prick matematik (21/215) och Prima matematik (19/215).
14
Utifrån de tillgängliga läroböckerna och urvalskriterierna valdes slutligen Favorit matematik 2A, Prima matematik 2A och Mitt i prick matematik 2A. Att det blev årskurs 2 berodde på att vi ville få med introduktionskapitel om multiplikation. Introduktionskapitel ansågs ha större möjlighet att jämföras i innehåll, än kapitel i åk 3-böcker där multiplikation redan introducerats.
Favorit matematik 2A. Läroboken har finskt ursprung, men är anpassad till svenska
förhållanden utifrån revidering i enlighet med LGR 11. Det finns en tryckt lärarhandledning och diverse digitala resurser att tillgå. Författarna är Kerttu Ristola, Tiina Tapaninaho och Leena Vaaraniemi och läroboken ges ut av Studentlitteratur AB. Favorit matematik är ett basläromedel, där A-boken är avsedd för höstterminen och B-boken avsedd för vårterminen. Multiplikationsavsnittet är kapitel 4 och sträcker sig från sida 122-157. Det finns 10
underkapitel till huvudkapitlet (Studentlitteratur, u.å.a).
I den senaste upplagan, upplaga 2, ingår digitalisering. Den lärobok som analyserades var från upplaga 1 och trycktes 2013. Detta var den upplaga som fanns tillgänglig via Örebro Universitet. Detta kommer diskuteras i metoddiskussionen.
Mitt i prick matematik 2A. Läroboken är ursprungligen från Finland av författarna Sari
Rinne, Ann-Mari Sintonen, Tuula Uus-Leponiemi och Markuu Uus-Leponiemi. Den svenska versionen är redigerad utifrån LGR 11 och utgiven av Majemaförlaget AB. Det finns en fysisk lärarhandledning och det digitala hjälpmedlet Lärarwebben. Exemplaret analysen utgick från utgavs 2016. Mitt i prick är ett basläromedel, där ett underkapitel är avsett som en lektion. För multiplikationskapitlet: 2 Multiplikation - tabellerna från 1 till 5 och 10 (s.48-92), innebär det att det finns 16 lektioner. Boken börjar med lärandemål för varje kapitel och för kapitel 2 finns sju lärandemål (Majema!, u.å.b).
Prima matematik 2A. Prima matematik är ett svenskt läromedel producerat utifrån LGR
11, från Gleerups förlag av författaren Åsa Brorsson. Det finns både tryckt och digitalt lärarstöd. Publikationsår för analysexemplaret var 2019. Läroboken är ett basläromedel med fokus på tydliga mål och de matematiska förmågorna. Multiplikation finns i kapitel 5
Expedition i djurparken. Kapitlet delas med områdena massa och division (Gleerups, u.å.b).
De relevanta sidorna i kapitlet för studien var: 122-127, 130-131, 135-137, 140-141. Totalt blev det 13 sidor.
15
Analysmetod
Den valda analysmetoden var en komparativ analys. Det innebär att en jämförelse gjordes mellan de valda läroböckerna, där samma analysprocess användes för varje bok. Metoden utgår från att det finns likheter och skillnader, och att dessa ger ökad förståelse för fenomenet som studeras genom att resultaten kan användas för reflektion (Bryman, 2018; Denk, 2002). Denna reflektion återspeglas i diskussionsavsnittet.
En komparativ studie kan ha olika infallsvinklar. Den föreliggande analysen utgick från en beskrivande studie, då avsikten var att använda deskriptioner för att påvisa likheter och skillnader mellan läroböckerna. Indelningar, kategorier, har en central plats för den
beskrivande, komparativa analysmetoden (Denk, 2002), och dessa kategorier beskrivs mer utförligt under rubrikerna kategorisering och variationsteorin och kategorisering och
uttrycksform.
Avsikten var att analysera hur multiplikation framställs och hur elevernas förståelse för multiplikation möjliggörs i de olika läroböckerna. Detta gjordes genom att granska
lärandeobjekt, kritiska aspekter, variationsmönster, samt vilka uttrycksformer som fanns och hur de varierade. Det gjordes först i varje bok var för sig, och därefter gjordes en jämförelse mellan böckerna. Jämförelsen gjordes för att kunna se de olika möjligheterna till lärande som förelåg och vilka konsekvenser det kunde ge för lärandet. Därmed ansågs den komparativa metoden som en lämplig metod att utgå från.
Analysen utgick från ett antal kategorier. Dessa kategorier preciserade vad som studerades i läroböckerna, och baserades på variationsteorin samt på uttrycksformer. För analys av variationsmönster och uttrycksformer i läroböckerna har nedanstående analytiska ramverk använts.
Kategorisering och variationsteorin. I och med att kategorierna skulle baseras på den
föreliggande teorin för studien (Denk, 2002), utgick kategorierna från lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster. Läroböckerna granskades i den ordningen. Syftet med att först identifiera lärandeobjektet samt kritiska aspekter och sedan variationsmönster, var att variationsmönstren är kopplade till lärandeobjekt och kritiska aspekter. En uppgift skulle kunna kategoriserats som ett annat variationsmönster, om inte hänsyn togs till det aktuella lärandeobjektet för uppgiften. Detta visade sig vara en sak som uppmärksammades av författarna när analyserna jämfördes. Därmed blev både lärandeobjektet och kritisk aspekter ett nödvändigt medel för att analysera fram variationsmönster. Endast enstaka fynd kring
16
lärandeobjekt och kritiska aspekter lyfts i resultatet, då fokus ligger på variationsmönster och uttrycksformer.
Lärandeobjekt. De avsedda lärandeobjekten urskildes genom att granska vad kapitlen handlade om. Det övergripande målet var att elever ska få förståelse för multiplikation, men detta bröts ner i delkapitel och det är dessa som lärandeobjekten baserats på.
Instruktionstexter, faktarutor och uppgifter granskades för att bestämma lärandeobjekt. I Favorit matematik och Mitt i prick matematik stod det utskrivet vad kunskapsinnehållet var, och då togs det med i granskningen. För studien kunde tio lärandeobjekt hittas.
I analystabellerna gjordes en gemensam kolumn för lärandeobjekt och kritiska aspekter. Det framkom under analysen att dessa alltid överensstämde, varpå de fick dela kolumn. I lärandeobjekt och kritisk aspekt-kolumnen skrevs någon av de tio lärandeobjekten in. Vissa uppgifter var svårplacerade då de kunde tillhöra flera olika multiplikationstabeller. För att lösa detta skapades en kategori som kallades tabellträning. Tabellträning indikerar att det rör sig om multiplikation inom flera tabeller för en och samma uppgift.
Kritiska aspekter. De kritiska aspekterna urskildes genom att analysera varje lärandeobjekt och tillhörande läroboksavsnitt utifrån vad kunskapsinnehållet var och vad elever måste lära sig för att få förståelse för lärandeobjektet. För att göra detta granskades introduktions- och instruktionstexter, liksom uppgifterna. Även litteratur om matematik lästes för att se vad som verkar vara kritiska delar för de respektive lärandeobjekten. Minst en kritisk aspekt för varje lärandeobjekt identifierades.
Variationsmönster.De fyra variationsmönstren analyserades fram utifrån uppgifternas utformning. Kategorierna fastställdes med hjälp av analytiska frågor för respektive
variationsmönster. Frågorna ställdes inför varje uppgift i läroboken, och gick det att svara ja på alla frågor inom ett variationsmönster kunde uppgiften kopplas till det specifika
variationsmönstret och placeras i den kategorin. Då variationsmönster enligt variationsteorin gärna ska följa ordningen kontrastering, separering, generalisering och fusion (Holmqvist Olander & Nyberg, 2014; Kullberg et al., 2017; Lo, 2014), utgick analysen från att denna ordning också skulle förekomma i läroböckerna. Exempelvis skulle både separering och generalisering finnas för att det skulle kunna bli fusion på uppgifter inom ett och samma lärandeobjekt. Detta var utgångspunkten för alla variationsmönster, med undantag för
17 upprepad addition, bedömdes kontrastering finnas närvarande för alla andra lärandeobjekt.
Nedan följer de analytiska frågorna.
Kontrastering:
1. Bygger uppgiften på tidigare undervisning? T.ex. finns det koppling till annat räknesätt som boken tidigare gått igenom?
2. Jämförs multiplikation mot någonting, ex. ett annat räknesätt, för att påvisa en skillnad mot multiplikation?
Exempel på uppgifter som kategoriseras som kontrastering är de:
• som illustrerar samma tal med både addition och multiplikation, ex. s. 50 i Mitt i prick där instruktionstexten säger “Skriv som multiplikation.” och symbolerna 5 + 5 + 5, står. Eleverna ska fylla i multiplikationen i rutor under symbolerna.
• där elever måste avgöra om tecknet ska vara x, + eller -, ex. s.141 i Favorit matematik: “Skriv ∗, + eller -”
2 _ 10 = 20
10 _ 5 = 5
80 _ 50 = 30
I båda exemplen kontrasteras multiplikation mot andra räknesätt för att påvisa skillnad mot multiplikation, och därmed kan de kategoriseras som kontrastering. I det första fallet synliggörs även att upprepad addition kan skrivas som en multiplikation, vilket ingår i lärandeobjektet förstå multiplikation som upprepad addition. Exempel 2 har lärandeobjektet
10:ans multiplikationstabell.
Separering:
1. Bygger uppgiften på en tidigare uppgift som visat på kontrastering? 2. Visar uppgiften en multiplikationsstrategi av flera möjliga?
18
• där exempelvis produkten 10 illustreras med ett rutsystem och eleven ska fylla i att produkten kan ses som två enheter med fem i, men också som fem enheter med två i (Prima matematik, s.126).
• där elever ska färglägga produkter från en viss multiplikationstabell, t.ex. s. 152 i Favorit matematik.
Första exemplet synliggör kommutativa lagen genom areamodellen, då det inte spelar någon roll vilken faktor som kommer först i multiplikationen, och exempel två har brutit ner multiplikationstabeller i enstaka multiplikationer som elever ska räkna ut. På grund av att uppgifterna har brutit ner multiplikation i mindre delar och fokuserar på en
multiplikationsstrategi i taget, kan de kategoriseras som separering.
Generalisering:
1. Har det för lärandeobjektet redan funnits kontrastering och separering?
2. Hålls någonting i uppgiften konstant medan något varierar, och förekommer detta i minst två tal efter varandra?
Exempel på uppgifter som kategoriseras som generalisering är de:
• där en faktor i multiplikationen varierar och den andra faktorn hålls konstant. T.ex. s. 127 i Favorit matematik: “Multiplicera”
4 x 2 6 x 2 9 x 2 3 x 2 10 x 2
• där en faktor i multiplikationen och en term hålls konstant, ex. s.83 i Mitt i prick: “Räkna.”
3x2+2=_ 5x2+2=_ 7x2+2=_ 6x2-2=_ 9x2-2=_
För båda uppgifterna varieras den första faktorn i multiplikationen, medan den andra faktorn är konstant, och även termen i det andra exemplet. Det första exemplet förekommer därmed för 2:ans multiplikationstabell, och det andra exemplet för prioriteringsregler. På grund av att multiplikationstabellen hålls konstant i ett flertal deluppgifter och den andra faktorn varierar, kan dessa uppgifter kategoriseras som generalisering.
Fusion:
1. Har variationsmönstrena kontrastering, separering och generalisering tagits upp för det aktuella lärandeobjektet?
19
2. Kräver uppgiften att eleverna kan förstå, hantera och använda multiplikation, dvs att eleven kan förstå att det handlar om multiplikation, vilka faktorerna är och hur de används?
Exempel på uppgifter som kategoriseras som fusion är de:
• där eleverna inte får veta hur de ska gå tillväga för att lösa en viss uppgift, t.ex. s.60 i Mitt i prick: “Nelly ser fem djur och räknar till 14 ben. Hur många hästar och hur många ankor ser Nelly?”
• där elever ska räkna ut vad figurer är värda, t.ex. s.78 i Mitt i prick: “Vad är figurerna värda?”
hjärta + löv = 8
hjärta - löv = 2 hjärta= _
hjärta x löv = 15 löv= _
Båda exemplen berör tabellträning. Ingen av dem har en formulerad strategi för hur elever ska gå tillväga för att lösa uppgiften. Därmed är en förutsättning att eleverna har med sig kunskaper från tidigare uppgifter inom lärandeobjektet för att kunna lösa uppgiften. Det är också av den anledningen som de kategoriserats som fusionsuppgifter.
Kategorisering och uttrycksform. Uttrycksformer analyserades för att få en bild av
vilka uttrycksformer som är vanligast för att åstadkomma de olika variationsmönstren. Kategorierna för uttrycksformer var ord, symbol, bild, konkret, verbal och verklighet. De sex uttrycksformerna valdes dels pga kursplanens skrivelser om uttrycksformer (Skolverket, 2019), där uttrycksformerna verbal, ord, symbol, konkret och bild framhålls, och dels pga variationsteorins framhållning av verklighetsbaserade kontexter och elevnära uppgifter för att underlätta elevers lärande (Lo, 2014; Marton et al., 2004).
Inspiration för kategorierna togs från Lesh (1981, s.246) modell över “translation
processes”, vilket beskriver processer när elever översätter mellan olika uttrycksformer. Lesh modell utgår ifrån konkret material, skrivna symboler, talade symboler, bilder och verkliga situationer. För den föreliggande studien önskades en uppdelning mellan ord och symbol, då läroboksuppgifter kan bestå av enbart en av dessa. Denna uppdelning använde sig inte Lesh av, och därmed kompletterades hans modell med Häggbloms (2016, s.43-55) definitioner över olika uttrycksformer.
20
För respektive läroboksavsnitt analyserades uppgifterna och placerades in i den eller de kategorier som motsvarade de uttrycksformer som förekom. Både de uttrycksformer
läroboken använder sig av, och de uttrycksformer som elever ska använda, togs med i analysen. Detta synliggjorde både vad elever får möta för uttrycksformer, och vilka de får använda sig av, vilket båda är viktiga delar för att utveckla förståelsen för ett matematiskt innehåll (Skolverket, 2017). Det fanns uppgifter som uppmuntrade eleverna att lösa uppgiften på vilket sätt de själva ville, och därmed blev dessa uppgifter speciella och markerades i analystabellerna (bilaga 3 och 4). Följande kriterier användes för att avgöra vilken uttrycksform en uppgift skulle kategoriseras som.
Ord
För att en uppgift skulle kategoriseras som ord skulle det finnas ord eller text i skriven form. Ord och text kunde vara uttryckt med ett vardagsspråk, såväl som med det mer abstrakta matematiska språket.
Det gjordes en uppdelning i om orden ansågs essentiella eller inte för att lösa
uppgiften. T.ex. ansågs inte ord i uppgifter med instruktionstexten “Skriv färdigt uppgiften” som nödvändiga ifall det var tydliga multiplikationstal under informationstexten (Favorit matematik, s.127, uppgift 4). Ord ansågs essentiella om uppgiften skulle vara svår att lösa utan att orden stod med, t.ex. “Måla produkterna i tvåans multiplikationstabell” och det i uppgiften endast finns ett rutnät med olika tal i (Favorit matematik, s.152, uppgift 4a). Om det var liknande uppgifter med samma instruktionstext, räknades dessa som essentiella första gången de fanns med. Var instruktionstexten liknande men tog upp nytt begrepp, ex. produkt (Prima matematik, s.124), räknades det som essentiella ord.
Symbol
För att kategoriseras som symbol skulle uppgiften använda sig av siffror eller andra matematiska symboler, t.ex. likhetstecken eller multiplikationstecken.
Bild
För att kategoriseras som bild skulle exempelvis bilder användas för att illustrera uppgiften, eller så skulle eleverna besvara uppgiften genom att rita eller måla. Uppgifter där elever drog streck mellan t.ex. faktorer och produkt, kategoriserades också som bild.
21
En uppgift blev konkret om den uppmanade elever att använda någon form av konkret material. Att använda blyertspenna och papper för att skriva sina svar i eller utanför boken räknas inte som konkret material, men att använda färgpennor för att måla i en uppgift räknades. Här skulle läroboken uppmana till användandet av färgpennor, t.ex. genom ordet
måla. Skillnaden drogs mellan de material eleven normalt tar fram när hen ska arbeta med sin
lärobok och de som hen måste hämta utöver detta när uppgifter kräver det.
Elever kan själva använda konkret material, ex. centikuber, för att göra beräkningar utöver vad läroboken uppmanar till, men detta ligger inte inom studiens ramar för att undersöka och kommer inte nämnas i resultatdelen.
Verbal
För att uppgiften skulle kategoriseras som verbal skulle den uppmuntra elever till att prata med varandra. Dessa uppgifter sammanföll med par- eller gruppuppgifter. Par- och gruppuppgifter uttrycktes explicit när det stod utskrivet att de ska prata med varandra, eller mer implicit där det i instruktionstexten stod, ex. “Spel: 2 personer” (Favorit matematik s.130).
Verklighet
För att kategoriseras som verklighet skulle uppgiften använda sig av elev- och/eller verklighetsnära exempel, t.ex. frukter (Mitt i prick, s.50). Det skulle också vara ett relevant exempel för uppgiften. T.ex. så gav inte sex par gummistövlar, som avgränsade två uppgifter om tvåans multiplikationstabell från varandra, ett verklighetsnära exempel då stövlarna inte var centrala för att lösa uppgifterna ovan och under (Favorit matematik, s.124).
I och med att analysen skilde på vad läroboken visade och vad elever fick använda för uttrycksformer, blev en uppgift verklighet för elever om det visade sig att uppgiften hade en verklighetsanknytning när elever löst uppgiften. Fanns verklighetsanknytningen där från början, blev uttrycksformen verklighet för läroboken enbart.
Tillvägagångssätt datainsamling och analys
Läroböckerna analyserades utifrån faktarutor, instruktionstexter och uppgifter.
Faktarutorna gav metodtips för avsnittet, instruktionstexter förklarade hur uppgifterna skulle lösas, och uppgifter var de tal som elever arbetar med självständigt. Läroböckerna
analyserades en åt gången, och faktarutor, instruktionstexter och uppgifter togs en i taget, i ordningen som de kom i böckerna. Även fast uppgifter togs en åt gången, gjordes även en
22
helhetsbedömning för att få en säkrare bild över förhållanden mellan de olika variationsmönstren.
För att veta vad som räknades som en uppgift, utgick analysen från att varje ny uppgift innefattar en ny uppgifts-siffra, t.ex. uppgift 1, uppgift 2 osv, och/eller någon form av ny instruktionstext. När det fanns en övergripande instruktionstext som stod över flera uppgifter med uppgiftssiffror, räknades dessa som en uppgift med flera deluppgifter. Ett exempel på detta skulle vara sida 82 i Mitt i prick matematik. På sidan finns det en huvudsaklig instruktionstext och under den finns sex numrerade uppgifter. Eftersom alla sex uppgifter tillhör samma huvudsakliga instruktionstext ses de som deluppgifter, trots att de har egna uppgiftssiffror.
De uppgifter som ingick i analysen var de där multiplikation antingen skrevs ut i instruktionstexten, som symboler i uppgiften, där elever skulle svara i multiplikation eller tolka och förstå att det handlar om multiplikation. T.ex. exkluderas uppgift 9 i Favorit Matematik på s.129. Uppgiften bestod av bilder som motsvarade tal, och mellan dessa bilder fanns additionstecken. Denna uppgift skulle kunna tolkas som upprepad addition, dock sågs ingen direkt koppling till multiplikation då multiplikation varken nämns med ord eller tecken. Elever uppmanas bara att “räkna”, och kan göra det med andra räknesätt än multiplikation. Därför exkluderades uppgiften.
Analysen gjordes i 10 steg. För varje steg granskades och sorterades innehållet i
läroboksavsnitten in i tabeller (bilaga 3 och 4). Varje steg fokuserade på en specifik del, vilket illustreras nedan. Båda författarna till den föreliggande studien analyserade en kopia var av varje lärobok. Analyserna gjordes enskilt och på skilda håll, för att stärka reliabiliteten.
Datainsamlingen och analysen gjordes i följande 10 steg:
Steg 1: Definierade vad som skulle räknas som en uppgift.
Steg 2: Ställde upp kriterier för variationsmönster och uttrycksformer.
Steg 3: Testade kriterierna för variationsmönster och uttrycksformer. Detta steg gjordes för att se hållbarheten på kriterierna.
Steg 4: Ändringar av kriterierna utifrån resultat av steg 3.
Steg 5: Granskning av vilka uppgifter som skulle inkluderas i analysen. Steg 6: Granskning av lärandeobjekt och kritiska aspekter.
Steg 7: Granskning av vilka variationsmönster som fanns kopplade till lärandeobjekten och de kritiska aspekterna.
23
Steg 9: Sammanställning av respektive lärobok.
Steg 10: Jämförelse mellan de tre läroböckerna utifrån fynden av kritiska aspekter, variationsmönster och uttrycksformer.
Analysskillnader mellan författarna. Under analysprocessen framkom saker som
behövde lyftas till diskussion och förtydligas. Dessa saker nämns nedan, och lösningarna på punkterna skrevs sedan in i metodavsnittet där det var relevant.
• Att det inte skulle gå att enbart ta uppgifterna en och en. För att få fram korrekta variationsmönster, blev helheten en central del att ha i åtanke.
• Att vi tänkte olika för variationsmönstret fusion och när det kunde förekomma. För att förtydliga fusion lades därför följande analytiska fråga till: “Har variationsmönstrena kontrastering, separering och generalisering tagits upp för det aktuella
lärandeobjektet?”.
• Hur vi skulle tolka textuppgifter. I en del fall nämndes varken multiplikation eller multiplikationstecken i instruktionstexten, men ur ett didaktiskt perspektiv kan vi se att det är meningen att eleverna ska använda sig av multiplikation. Här bestämdes att alla textuppgifter där det var avsett att elever skulle använda sig av multiplikation för att lösa uppgiften, togs med i analysen.
När båda författarna analyserat all data, gjordes en slutlig jämförelse. Då framkom det att det fanns skillnader i analyserna mellan de olika läroböckerna och det var främst missade uttrycksformer eller om ord varit essentiella eller inte som skiljde sig åt. Detta visade sig i 20 uppgifter för Favorit matematik, 2 uppgifter för Prima matematik och 28 uppgifter för Mitt i prick matematik. Bara sex uppgifter totalt rörde skillnader i bedömning av variationsmönster, och alla dessa rörde faktarutor och fem av dem gällde generalisering.
Reliabilitet och validitet
Reliabilitet handlar om studiens pålitlighet (Bryman, 2018). Ett sätt att stärka reliabiliteten var att analysen genomfördes av två personer, var för sig, i form av analystriangulering, för att sedan tillsammans jämföra och sammanställa resultatet av
analysen. Analystriangulering gjordes för att stärka interbedömarreliabiliteten så de respektive analyserna överensstämde i sina resultat. I syfte att säkra en god reliabilitet har även
metodavsnittet öppet och tydligt presenterats, för att öka möjligheten att studien går att replikera med liknande resultat.
24
Validitet rör ifall studien verkligen besvarar det som den avser att undersöka (Bryman, 2018). I och med att studiens resultat baseras på de kategorier som skapats med utgångspunkt från studiens forskningsfrågor, ökar också chansen för att studien besvarar det som avses att undersöka. Detta resulterar i att studiens validitet kan öka.
Etiska överväganden
Etiska övervägandet påverkar studiers kvalitet. Fyra principer är viktiga att ta hänsyn till vid forskning som berör människor; informationskravet, samtyckeskravet,
konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2017; Bryman, 2018). Då den föreliggande studien är en läromedelsanalys som inte berör människor, och som inte avser publicera bilder från läroböckerna, blir dessa principer inte aktuella. Hänsyn kommer dock tas mot författarna av läroböckerna genom att hålla analysen objektiv och saklig.
Resultat
Avsnittet redovisar först förekomsten av lärandeobjekt och kritiska aspekter för de olika läroböckerna. Sedan är resultatet uppdelat utifrån de fyra variationsmönstren. För var och en av dessa redovisas i hur stor utsträckning variationsmönstren förekommer samt fördelningen av de uttrycksformer som läroboken visar och de som elever får använda sig av. Som
avslutning jämförs likheter och skillnader som hittats mellan läroböckerna.
Förekomsten av lärandeobjekt och kritiska aspekter för de tre
läroböckerna
11 lärandeobjekt och 11 kritiska aspekter identifierades i analysen, då tabellträning inkluderas. I Mitt i prick matematik förekommer tio lärandeobjekt och tio kritiska aspekter. Det lärandeobjekt som saknas är kopplingen mellan multiplikation och division. Detta lärandeobjekt saknar även Favorit matematik. Favorit matematik har totalt sex lärandeobjekt och kritiska aspekter. Prima matematik har fyra lärandeobjekt och kritiska aspekter, och är den enda bok där kopplingen mellan multiplikation och division, och den kritiska aspekten
Räknesätten hör ihop och är inversa, då räknesätten är varandras omvända operationer,
förekommer. Läroböckerna har tre kritiska aspekter, med tre tillhörande lärandeobjekt, gemensamt och dessa är: En upprepad addition kan alltid skrivas ut och ses som en
multiplikation, faktorerna i en multiplikation kan multipliceras i vilken ordning som helst och ändå få samma produkt, och multiplikationstabellerna ökar alltid med lika mycket som faktorn för respektive tabell. De lärandeobjekt och de tillhörande kritiska aspekterna som
25
Tabell 1. Förekomsten av lärandeobjekt och kritiska aspekter i läroböckerna.
Lärandeobjekt - Kritiska aspekter Favorit matematik Mitt i prick matematik Prima matematik Förstå multiplikation som upprepad addition
- en upprepad addition kan alltid skrivas ut och ses som en multiplikation.
x x x
Den kommutativa lagen
- faktorerna i en multiplikation kan multipliceras i vilken ordning som helst och ändå få samma produkt.
x x x
Kopplingen mellan multiplikation och division
- räknesätten hör ihop och är inversa, då räknesätten är varandras omvända operationer.
x
Prioriteringsregler
- multiplikation ska alltid genomföras före addition och subtraktion ifall det förekommer fler räknesätt i en och samma beräkning
x
2:ans multiplikationstabell
- när du multiplicerar med 2 ökar resultatet med 2.
x x
3:ans multiplikationstabell
- när du multiplicerar med 3 ökar resultatet med 3.
x
4:ans multiplikationstabell
- när du multiplicerar med 4 ökar resultatet med 4.
x
5:ans multiplikationstabell
- när du multiplicerar med 5 ökar resultatet med 5.
x x
10:ans multiplikationstabell
- när du multiplicerar med 10 ökar resultatet med 10.
x x
Multiplikation med faktorerna 0 och 1
- ett tal som multipliceras med 1 förändras aldrig, och ett tal som multipliceras med 0 får alltid svaret 0.
x
Tabellträning
- multiplikationstabellerna ökar alltid med lika mycket som faktorn för respektive tabell
x x x
Fördelningen av variationsmönster för lärandeobjekten för de tre
läroböckerna
Kontrastering förekommer för alla lärandeobjekt, förutom kommutativa lagen och
prioriteringsregler. Det lärandeobjekt som har flest kontrasteringsuppgifter är förstå multiplikation som upprepad addition. Dessa uppgifter finns oftast först i läroböckerna och
lägger grunden för efterföljande avsnitt.
Separering finns inom alla lärandeobjekt förutom koppling mellan multiplikation och
division i Prima. Flest uppgifter finns inom kommutativa lagen och tabellträning för alla
läroböckerna. För den kommutativa lagen finns enbart separeringsuppgifter.
Generalisering finns inom de olika multiplikationstabellerna och tabellträning för de tre böckerna, och i en uppgift för prioriteringsregler i Mitt i prick.
26
Fusion förekommer endast i form av tabellträning, vilket gäller för alla läroböckerna. Tabellerna nedan illustrerar fördelningen av variationsmönster för lärandeobjekten, och därmed de kritiska aspekterna, för respektive lärobok.
Tabell 2. Fördelningen av variationsmönster för uppgifter för de olika lärandeobjekten för Favorit matematik. Förstå multiplikation som upprepad addition Kommutativa lagen
2:ans tabell 5:ans tabell 10:ans tabell Tabellträning
Kontrastering 8 - 3 4 4 3
Separering 1 10 5 4 4 12
Generalisering - - 2 2 2 7
Fusion - - - 3
Tabell 3. Fördelningen av variationsmönster för uppgifter för de olika lärandeobjekten för Mitt i prick matematik.
Förstå multiplikation som upprepad addition Kommutativa lagen 2:ans tabell 3:ans tabell 4:ans tabell 5:ans tabell 10:ans tabell Tabell-träning Multiplikation med 1 och 0 Prioriterings-regler Kontrastering 3 - 1 1 1 1 1 3 1 - Separering 1 4 2 1 1 7 2 15 2 5 Generalisering - - - 2 - 4 - 1 Fusion - - - 11 - -
Tabell 4. Fördelningen av variationsmönster för uppgifter för de olika lärandeobjekten för Prima matematik.
Förstå multiplikation som upprepad addition
Kommutativa lagen Koppling mellan multiplikation och division Tabellträning Kontrastering 4 - 2 1 Separering 1 4 - 1 Generalisering - - - 2 Fusion - - - 2
Variationsmönster kontrastering
Kontrastering finns i alla läroböckerna, både i relation till uppgifter och som faktarutor. Tabellen nedan visar fördelningen för de tre läroböckerna i antal uppgifter och vilken procentsats antalet utgör av det totala antalet uppgifter.
27
Lärobok Antal uppgifter % av totala antalet uppgifter för läroboken
Antal faktarutor
Favorit matematik 22 30 1
Mitt i prick matematik 12 17 1
Prima matematik 7 41 2
Alla uppgifter kännetecknas av att de påvisar en skillnad genom att multiplikation jämförs med något, ofta addition. Den vanligaste uppgiftsformen i alla tre läroböcker är att både multiplikation och upprepad addition finns med och ska skrivas ut för samma tal, vilket ofta illustreras med en bild. Dessa uppgifter visade sig höra till den kritiska aspekten en
upprepad addition kan alltid skrivas ut och ses som en multiplikation, tillhörande
lärandeobjektet förstå multiplikation som upprepad addition. Följande exempel illustrerar detta. Exempel 1) från Prima matematik (s.122) visar två storkar som står upp med
instruktionstexten “Hur många ben har djuren tillsammans?” I exempel 2) från Mitt i prick (s.52) visar boken upprepade additioner och multiplikationer som eleven ska dra streck mellan. Produkten ska även räknas ut.
Exempel 1) Exempel 2) _ + _ = __ 5 + 5 4 x 5 = __ _ x _ = __ 5 + 5 + 5 + 5 5 x 5 = __ 5 + 5 + 5 + 5 + 5 2 x 5 = __ 5 + 5 + 5 6 x 5 = __ 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 7 x 5 = __ 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 3 x 5 = __ 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 8 x 5 = __
Den näst vanligaste uppgiftsformen går ut på att elever ska räkna ut vilket matematiskt tecken som ska användas för att beräkna något. På dessa uppgifter kontrasteras multiplikation mot både addition och subtraktion, alternativt mot begreppen större än och mindre än. Dessa uppgiftsformer finns i både Favorit matematik och Mitt i Prick matematik, men inte i Prima matematik. I exempel 3 från Favorit matematik ska eleven bestämma vilken operation som ska in i den tomma rutan för att likheten ska gälla. Vid a) finns valet mellan multiplikation, addition eller subtraktion, och vid b) lika med-, mindre än- eller större än-tecken. Dessa två uppgifter tillhör lärandeobjekten 10:ans multiplikationstabell och tabellträning. De kritiska
