Malmö högskola
Lärande och samhälle
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoängProblemlösning i matematik är inte
oproblematiskt: Fyra lärare ger sin syn
Problem solving in mathematics is not unproblematic: Four
teachers are giving their view
Dusko Diko
Altin Musa
Lärarexamen 270 hp
Matematik och lärande
Examinator: Nanny Hartsmar
2
Förord
Examensarbetet har genomförts under höstterminen 2013 under vår sista termin på
lärarutbildningen vid Malmö högskola. Vi utbildar oss till matematiklärare för grundskolans senare år samt gymnasiet. Under arbetets gång har samtliga delar gjorts i samarbete mellan oss båda. Detta har vi gjort för att på bästa sätt försäkra oss om att bådas erfarenheter, kunskaper, idéer och synpunkter kommer arbetet till del.
Som stöd har vi haft vår handledare Maria C. Johansson som vi fått enorm hjälp av. Idéer har bollats fram och tillbaka. Vi vill även tacka våra lärare som hjälpt oss med arbetet genom att ställa upp på intervjuerna.
Malmö 28 oktober 2013
4
Sammanfattning
I vår undersökning har vi intervjuat fyra lärare med avseende på hur de ser på problemlösning och hur de arbetar med det. Lärarna arbetar i två olika skolformer, kommunal skola och internationell skola i Sverige. Därför följer skolorna olika läroplaner. Anledningen till att vi valt att ta med båda skolformerna är för att vi upplevt en högre motivation för problemlösning i den internationella när vi tidigare haft kontakt med dem. Vi har analyserat deras svar med hjälp av ett analytiskt ramverk som tar till hänsyn fyra lärandeteorier som kan sägas haft påverkan på lärandet i skolan. Teorierna är behaviorism, kognitivism, konstruktivism och
sociokulturell teori. Vi har även jämfört lärarna med varandra för att försöka hitta skillnader
och likheter.
Det vi kom fram till i undersökningen var att de lärare vi intervjuat skiljer sig något i hur de ser på problemlösning. Likaså varierar deras arbetssätt med problemlösning med både likheter och skillnader. Resultatet gör det svårt att förklara varför vi upplevde en högre motivation i den internationella skolan utifrån lärarnas syn på och undervisning med problemlösning, utan möjligheten finns att det är andra faktorer som påverkar.
Nyckelord: Matematik, problemlösning, lärandeteorier, behaviorism, kognitivism,
konstruktivism, sociokulturella teorin, analytiskt ramverk, internationell skola, kommunal skola
6
Innehållsförteckning
Förord ... 2 Sammanfattning... 4 1. Inledning ... 8 1.1 Syfte ... 9 1.2 Frågor ... 92. Bakgrund och tidigare forskning ... 10
2.1 Läroplanerna ... 10
2.1.1 Lgr 11 ... 10
2.1.2 International Baccalaureate Organization ... 11
2.1.2 Sammanfattning ... 12 2.2 Problemlösning ... 12 3. Teori ... 15 3.1 Behaviorism... 15 3.2 Kognitivsm ... 16 3.3 Konstruktivism ... 17 3.4 Sociokulturell teori ... 18 3.5 Analytiskt ramverk ... 19
4. Metod och genomförande ... 21
4.1 Kvalitativ metod ... 21
4.1.1 Underlag för intervjuer ... 21
4.1.2 Intervju som undersökningsmetod ... 22
4.1.3 Intervjuguiden ... 23
4.2 Urval och tillträde till fältet ... 24
4.2.1 Skolor ... 24
4.2.2 Intervjudeltagare ... 25
4.3 Validitet och reliabilitet ... 25
4.4 Etiska överväganden ... 26
5. Resultat – Presentation av intervjuer ... 27
5.1 Lärare: Anna ... 27
5.1.1 Synen på problemlösning ... 27
5.1.2 Problemlösning i den egna undervisningen ... 28
5.1.3 Läromedel, läroplan och problemlösning ... 28
7
5.2.1 Synen på problemlösning ... 29
5.2.2 Problemlösning i den egna undervisningen ... 30
5.2.3 Läromedel, läroplan och problemlösning ... 30
5.3 Lärare: Clark... 31
5.3.1 Synen på problemlösning ... 31
5.3.2 Problemlösning i den egna undervisningen ... 32
5.3.3 Läromedel, läroplan och problemlösning ... 33
5.4 Lärare: David ... 33
5.4.1 Synen på problemlösning ... 33
5.4.2 Problemlösning i den egna undervisningen ... 34
5.4.3 Läromedel, läroplan och problemlösning ... 35
6. Analys ... 36
6.1 Lgr 11 ... 36
6.2 International Baccalaureate Organization ... 37
6.3 Anna ... 37 6.4 Ben ... 38 6.5 Clark ... 38 6.6 David ... 39 6.7 Jämförelse ... 40 7. Diskussion ... 42 8. Referenser ... 44 Bilaga 1 ... 46
8
1. Inledning
Under våra praktikperioder samt vid andra tillfällen då vi har haft kontakt med både gymnasieskolor och grundskolor har vi märkt att lektioner, med visst undantag följer ett mönster. Lektioner liknar den så kallade traditionella amerikanska undervisningen som enligt Lester och Lambdin (2007) är lektioner där; läroboken är huvudkälla, uppgifter är utan kontext (mekaniska uppgifter), läraren använder sig av en snabb genomgång med enkla exempel samt att lärare och facit är de största auktoriteterna i klassrummet.
Matematikundervisningen är alltså fortfarande inspirerad av det som även brukar kallas ”katederundervisning”. Ändå så betonas vikten av att använda sig av problemlösning och verklighetsbetonad undervisning tydligt i Lgr 11: ” Undervisningen ska bidra till att eleverna
utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat.” (Skolverket, 2011 s. 62). Att lärare endast arbetar med en inledande genomgång följd av att elever arbetar i läroboken ger, enligt vår uppfattning, inte förutsättningar för en utveckling i matematikens förmågor, som till exempel problemlösning, resonemang, kommunikation och begrepp. Detta arbetssätt menar vi istället innebär att eleverna lägger stor vikt i att träna procedurfärdigheten, eller vad man skulle kunna kalla ett mekaniskt räknande.
I en undersökning av Helmertz (2010) jämfördes svensk och japansk undervisning. I studien undersöktes skillnader och likheter när det gäller matematisk problemlösning. Detta inspirerade oss att undersöka frågan vidare eftersom när vi haft kontakt med en internationell skola i Sverige, upplevde vi att kunskaperna och engagemanget för problemlösning var större där än i kommunala skolor. Detta gjorde att vi ville undersöka varför vi upplevde en sådan stor skillnad mellan skolorna, med avseende på problemlösning. Eftersom vi själva har ett intresse för arbete med problemlösning, kändes det naturligt att undersöka just detta område. Utmaningen i undersökningen ligger i att det finns väldigt många faktorer som skiljer dessa båda skolformer åt. Skolorna har olika läroplaner och olika läromedel. Dessutom ligger den ena skolan i vad som skulle kunna betecknas som ett socioekonomiskt utsatt område, medan den andra har en terminsavgift och därmed vänder sig till en annan socioekonomisk grupp. Det finns undersökningar som har utgångspunkt i den socioekonomiska bakgrunden och motivation i hur elever presterar i skolan. En sådan undersökning har till exempel gjorts av Orlando Mella (2006) från Uppsala Universitet som heter ”Tre faktorer som tillsammans förklarar skolresultat i Sverige: Socialklass, kön och etnicitet.” Studien baseras på sekundär
9
analys av data från PISA 2005 där Sverige bidrog till undersökningen med 4624, 15-åriga elever, från 185 skolor. Kategorierna som undersöktes var matematik, läsförståelse och vetenskap (NO-ämnen). Den socioekonomiska faktorn blev identifierad som viktig och som något som tydligt påverkar skolresultaten. Till exempel utgör föräldrarnas utbildningsnivå den faktor som har starkast påverkan på barnens skolresultat. ”Barn från medelklassen till exempel
har oftare tillgång till tidningar, datorer och internet i hemmet än barn i lågutbildade hem, men framförallt delar de en miljö som förespråkar intellektuella aktiviteter och de
uppmuntras till att söka och tolka information.” (Mella, 2006 s. 9). För att avgränsa vårt
problem till matematiken så har vi endast valt att undersöka problemlösning och då lärarnas syn på och arbetssätt med det mot bakgrund av att de arbetar i olika skolformer i Sverige.
1.1 Syfte
Syftet med arbetet är att undersöka och jämföra fyra lärares syn på problemlösning samt deras berättelser i hur de arbetar med det, mot bakgrund av de två läroplaner som skolorna
använder.
1.2 Frågor
Hur ser lärarna på problemlösning?
På vilket sätt säger lärarna att de arbetar med problemlösning?
Påverkas lärarnas syn på och arbetssätt med problemlösning av den läroplan som finns på skolan?
10
2. Bakgrund och tidigare forskning
I detta avsnitt kommer vi att presentera vad de olika läroplanerna och tidigare forskning skriver om problemlösning. Ett syfte är att skapa en förberedelse inför intervjuerna medan ett annat är att eventuellt kunna förstå lärarens syn på problemlösning i relation till den läroplan som styr deras arbete. Vår undersökning kommer att ske genom intervjuer och då är det nödvändigt att vara väl förberedda inför dessa för att kunna skapa en bra dialog.
2.1 Läroplanerna
Läroplanerna, Lgr11 och International Baccalaureate Organizations riktlinjer (IBO), som vi beskriver i detta avsnitt kommer vi senare i arbetet att kort kommentera och analysera.
2.1.1 Lgr 11
Problemlösning är tydligt formulerad i Lgr 11 genom att vara presenterad som ett centralt innehåll och som en förmåga samt att det tas upp i det syfte som matematikundervisningen i skolan ska sträva efter. Problemlösning i syftet förklaras i att: ”Undervisningen ska bidra till
att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer”
(Skolverket, 2011 s. 62). Läroplanen tar även upp användandet av digital teknik i att: ”Vidare
ska eleverna genom undervisningen ges möjligheter att utveckla kunskaper i att använda digital teknik för att kunna undersöka problemställningar” (Skolverket, 2011 s. 62).
Problemlösning i det centrala innehållet för årskurs 7-9 tar upp:
Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder.
Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden.
Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.
11
Problemlösning som förmåga förklaras med meningen: ”formulera och lösa problem med
hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder” (Skolverket, 2011 s.63).
2.1.2 International Baccalaureate Organization
I International Baccalaureate Organizations riktlinjer (IBO) tas problemlösning upp på ett lite annorlunda sätt än i Lgr 11. Begreppet kommer ofta upp och finns med i flera olika
matematiska områden. Tidigt i läroplanen står det att undervisningen ska sträva mot att: arbeta med ”real-life problems” vars kontext passar eleverna. Det står vidare att man ska lära ut olika strategier som medför olika lösningar och att elever ska kunna förklara lösningar och reflektera över resultaten som fåtts. IBO tar även upp punkter som lärarna ska följa när de planerar sina lektioner och även här är arbetet med problemlösning inkluderad i följande mening: ”teachers should ensure that tasks allow students to think about the problem-solving
processes, reflect upon their methods and results, and explore the connection with everyday life”(IBO, 2007 s. 16). Matematiken ska, enligt IBO, också utveckla tankefärdigheter, ”thinking skills”, där problemlösningsfärdigheten är en av dessa. Sedan beskriver IBO fyra
stora kriterier som matematikundervisningen ska sträva mot att utveckla hos eleverna.
Problemlösning i sig är inget kriterium, utan är något som ingår tydligt i tre av de fyra. De tre kriterierna är:
”knowledge and understanding”: kunskap och förståelse är fundamentala för att kunna skapa en grund i utvecklandet av problemlösningsfärdigheter. Kunskap och förståelse utvecklar även resonemang som hjälper en att lösa problem.
”investigating patterns”, genom att undersöka mönster, får elever möjlighet att
använda sina matematiska kunskaper och problemlösningsfärdigheter för att skapa och analysera information samt undersöka problem.
”reflection in mathematics”: eleverna ska kunna reflektera över sina
problemlösningsmetoder, samt kunna granska olika strategier, både egna och andras vid arbete med problemlösning. (IBO, 2007)
Matematikundervisningen ska enligt IBO även utveckla ett tålamod och uthållighet vid lösning av problem. Den ska skapa nyfikenhet för matematiken samt utveckla självsäkerhet i
12
användandet av matematik för att kunna analysera och lösa problem, både i skolan och i verkliga situationer.
2.1.2 Sammanfattning
Båda läroplanerna tar upp problemlösning som en del av matematiken och skriver att det ska läras ut. Läroplanerna kopplar även området till livet utanför skolan och redogör för en anknytning till vardagliga problem. Medan Lgr 11 är mer tydlig i kategorisering av
problemlösning som ett centralt innehåll och förmåga är problemlösning beskriven i IBO mer som en del av all matematikundervisning.
2.2 Problemlösning
Problemlösning ses som en viktig del av matematikundervisningen (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005). Matematikens primära mål är enligt Lgr11 att utveckla förmågorna resonemang, kommunikation, begrepp och problemlösning vilket ska skapa en bättre förståelse för matematiken. Områdena problemlösning och förståelse är relaterade till varandra på så sätt att förståelse förbättrar problemlösningsförmågan och lärande genom problemlösning utvecklar förståelse (Lester & Lambdin, 2007). Lärarens uppgift blir då att kunna välja problem som passar eleverna och att kunna organisera lektioner så att de arbetar med det som behövs. Det innebär att lämpliga uppgifter som uppfyller kraven för ett problem och samtidigt anpassa samma problem till alla elever i en klass är en svårighet i sig. Alla elever har förutsättningar för att lösa problem även om deras förmågor och baskunskaper varierar, och alla elever har behov av att lyckas (Strandberg, 1991). Dåligt anpassade
uppgifter kan orsaka stora svårigheter inte bara hos elever med låg motivation, men även hos de som är framgångsrika och intresserade av ämnet (Grevholm & Mouwitz, 2000). Enligt Skoogh och Johansson (1991) så finns det vissa saker som en lärare inte ska göra under sin undervisning i problemlösning: läraren ska inte ”förklara” för eleverna hur de ska lösa
problem, läraren ska inte ”programmera” eleverna att göra på ett visst sätt och läraren ska inte ”leda” eleverna mot svaret. Detta för att låta eleven själv utveckla en förståelse för olika problem och sättet att lösa dessa. Då läraren har lyckats välja ut problem som fungerar bra i sin elevgrupp och anpassat dem så att de passar alla eleverna är det dags att tänka på hur eleverna ska arbeta. Enligt Hagland m.fl. (2005) har det arbetet tre delar/faser:
13
1. Introduktion av problem (läraren berättar, läser upp eller skriver på tavlan, använder IT, ber en elev återberätta problemtexten)
2. Eleverna arbetar enskilt och/eller gruppviss med problem (lärare bestämmer gruppens storlek, homogenitet eller heterogenitet)
3. Gemensam klassdiskussion kring elevernas lösningar och den matematik som då aktualiserats
Vidare är det viktigt att klargöra elevens roll i undervisningen (Skoogh & Johansson, 1991). Eleverna ska alltid försöka lösa problemen utan hjälp, anteckningar från försök ska sparas samt att de ska försöka skriva så mycket som möjligt om själva problemet, där frågor såsom vad vet jag? vad förstår jag? vad förstår jag inte? vad vill jag veta? osv. besvaras. Eleverna ska även få använda sig av olika problemlösningsmetoder som till exempel återskapa
problemet praktiskt, rita bilder, söka mönster, arbeta baklänges, använda sig av tabeller, gissa och kontrollera om svaret är logiskt samt testa att skriva om problemet med egna ord (Skoogh & Johansson, 1991).
Vad är då ett problem? Hagland m.fl. (2005) förklarar att ett problem är en speciell typ av uppgift som en person vill eller måste lösa. Den har inte en given procedur och ansträngning behövs för att uppgiften ska kunnas klaras av. Vidare förklarar författarna att ett problem kan klassas som rikt problem om den uppfyller vissa kriterier såsom:
introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier
informationen går att förstå
upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid
kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer
kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer
kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden
kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem (Hagland m.fl., 2005).
För att förstå betydelsen av problemlösning i undervisningen har Jo Boaler (1998) jämfört två skolor i England, där de sociala bakgrunderna var liknande, men där undervisningen i
14
skolan arbetade mer med stora problemlösningsuppgifter och projektarbeten där eleverna själva fick ta mycket ansvar. I skolan där det arbetades mycket med olika
problemlösningsprojekt visade att eleverna utvecklade en bra grundförståelse för matematiken, utvecklade bra problemlösningsmetoder, ser en verklighetsförankring i
matematiken samt har mycket lättare att använda matematiken i vardagliga situationer än bara i skolan.
15
3. Teori
Denna undersökning har en empiriskt grund och vår avsikt är att vara öppna för lärarnas svar i intervjuerna. Därför gör vi ingen teoretisk positionering. Istället har vi, för att kunna förstå våra lärares sätt att undervisa med problemlösning valt att ta till hjälp olika inlärningsteorier som utgör grunden för det analytiska ramverk vi senare kommer att använda. På så sätt får vi en viss överblick för hur teorierna är representerade utifrån det våra informanter berättar för oss. Teorierna är grundade på frågor som berör vad lärande egentligen är och hur det går till (Wyndhamn m.fl., 2000). De fyra teorierna är behaviorism, kognitivsm, konstruktivism och den sociokulturella teorin. Sedan kommer vi genom ett analytiskt ramverk av Wyndhamn m.fl. (2000) analysera intervjuerna som vi kommer att utföra med våra lärare.
3.1 Behaviorism
Idén med behaviorism är att det är möjligt att åstadkomma förändringar i en individs beteende. Lärandet kommer in som en anpassning till något nytt eller ett uppsatt mål. Behaviorismen var en dominerande teori i lärandepedagogiken fram till 1960-talet med Burrhus Frederic Skinner som företrädare (Wyndhamn m.fl., 2000). Skinner (1969) menar att med hjälp av yttre stimuleringar går det att förändra ett visst beteende. Ett önskvärt beteende går att förstärkas genom att stimulera beteendet med till exempel belöning. Icke önskvärda beteenden går det att reducera eller eliminera genom att försvaga stimulus, eller genom till exempel bestraffningar. Genom att upprepa stimulus regelbundet resulterar det i att beteendets förändring blir reflexartad. Den här metoden är känd som stimulus – respons och med det menar Skinner att det är så inlärning sker (Skinner, 1969). Skinner tar upp tre teser som han anser är viktiga vid inlärningsprocessen: lärande genom erfarenhet, lärande genom att vara aktiv och lärande genom misstag. Läraren har en roll att överföra sina erfarenheter till sina elever, som genom att vara aktiva och använda sig av erfarenheterna skapar nya kunskaper. Sedan lär sig eleverna genom att den önskade kunskapen premieras, i vilket stimulus –
respons metoden kommer in (Skinner, 1969).
Belöning Bestraffningar
Ökar chansen för att beteendet utförs igen Minskar chansen för att beteendet utförs igen (Figur 1)
16
Behaviorismen i matematiken är resultatfokuserad, där det rätta svaret samt berömmande respons från läraren ger eleven en vilja att räkna vidare (Wyndhamn m.fl., 2000). Den allmänna bilden i behaviorismen för hur klassrummet ska vara är:
Kunskapen är given
Passivt lärande med mycket upprepningar
Eleven som passiv mottagare
Läraren är auktoritativ, anvisande och övervakande (Wyndhamn m.fl., 2000).
3.2 Kognitivsm
Kognitivismen, till skillnad från behaviorismen, är mer intresserad i hur individen hanterar information som ges (Wyndhamn m.fl., 2000). Jean Piaget utvecklade teorin då han förutom att titta på beteende även la vikt på inlärningen som en individuell kognitiv process. Han ansåg att utvecklingen skedde med hjälp av både yttre faktorer, såsom miljö samt inre faktorer, såsom erfarenheter. Piaget ansåg också att inlärningen styrdes av de erfarenheter som fanns i individen (Piaget, 1968). I matematiken kan då individens kognitiva förmågor och mentala tankeprocesser ses som viktiga i att till exempel förstå problemlösning. Kunskap ses dock som något givet i teorin. Inom kognitivismen finns det olika förgreningar som till exempel HIP-teorin (Human Information Processing) som på svenska kan översättas till informationsbehandling (Wyndhamn m.fl., 2000). Sättet att se på inlärning genom HIP hjälper att konstruera modeller på hur tänkandet sker vid till exempel i arbete med problemlösning. Kort kan det beskrivas med hjälp av följande bild
(Figur 2) (Wyndhamn m.fl., 2000, s. 87) Problem Uppgift Omgivning (Miljö) Uppgift Sensorisk input Arbetsminne Självreglerande processer Mentala representationer Långtidsminne Matematiska kunskaper Metakunskaper Omvärldskunskaper Output
17
Bilden berättar att en uppfattar ett problem på ett visst sätt och sedan genom samarbete mellan arbetsminne och långtidsminne får fram en lösning. Med hjälp av informationsbehandlings teorierna går det då att beskriva beteende som målinriktade handlingar (Wyndhamn m.fl., 2000). En lektion i den kognitiva teorin kan innehålla:
Lärare som intar roll som ordförande i diskussioner men aldrig som bedömare
Eleven ska själv hitta strategier för att uppnå resultat
Elever ska även värdera lösningar och reflektera över det de gjort (Wyndhamn m.fl., 2000)
3.3 Konstruktivism
Konstruktivismen kan ses som en del av kognitivismen då båda teorierna lägger stor vikt på det kognitiva och erfarenheter men där konstruktivismen förklarar kunskap som något som individen konstruerar utifrån sina egna erfarenheter (Wyndhamn m.fl., 2000; von Glasersfeld, 1990). Det är samspelet mellan sinnesintryck och förnuft som konstruerar kunskapen.
Processen kan förklaras genom att individen gör en handling med hjälp av sina erfarenheter, reflekterar över det som har skett vilket sedan resulterar i ny kunskap och lärande. Ernst von Glasersfeld, som utvecklade termen radikal konstruktivism (individuell konstruktivism) beskriver inlärning med:”Knowledge is no passively recieved either through the senses or by
way of communication. Knowledge is actively built up by the cognizing subject.”(von
Glasersfeld, 1990, s. 22-23). Han menade att kunskap och förståelse är något individuellt och är beroende av tidigare erfarenheter. Erfarenheterna som fås är subjektiva och påverkar då hur vi uppfattar nya intryck och inlärning. På så sätt är kunskap enligt konstruktivismen också relativ, det är något som varierar med tiden och miljön (von Glasersfeld, 1990). Detta överensstämmer med Piaget som menade att det sker förändringar i individens kognitiva strukturer vid tolkning av händelser och information som sedan görs begripliga. Han delar upp inhämtningen av kunskap till två begrepp: assimilation och ackommodation. Assimilation betyder att individen kan tolka nya händelser med hjälp av tidigare erfarenheter medan
ackommodation betyder att erfarenheterna måste omkonstrueras för att förstå och lösa den nya händelsen (Piaget, 1968).
18
Diagnoser för att rätta till fel och missuppfattningar
Begrepp representeras på olika sätt
Förklara skillnader mellan matematiken i skolan och matematiken utanför skolan
Tydlighet vilka mål som eleverna ska kunna klara av (Wyndhamn m.fl., 2000)
3.4 Sociokulturell teori
Lev Vygotskijs sociokulturella teori utgår ifrån att individens beteende och tankeprocesser inte kan utvärderas endast utifrån det kognitiva. Hänsyn måste också tas till den kultur som finns i samhället. Individen föds och utvecklas alltså i den rådande samhällskulturen (Vygotskij, 1978). Vygotskij förklarar också att miljö och språk har en central roll i
inlärningsprocesserna, där han gör en skillnad mellan ”sign” (tecken, språk, symboler) och ”tools” (hjälpmedel, artefakter). Båda begreppen har en likhet i att de används för att förmedla kunskap (Vygotskij, 1978). Han menade också att samspelet med omgivningen är avgörande för individens utveckling och lärande: ”… what children can do with the assistance of others
might be in some sense even more indicative of their mental development than what they can do alone.” (Vygotskij, 1978, s. 85) Teorin beskriver även att sättet vi tänker på och uppfattar
information om världen är färgad av den kultur som är dominerande (Wyndhamn m.fl., 2000). Vygotskij anser för att kunna optimera kunskapsutvecklingen är det viktigt att hitta en individs ”zone of proximal development”. Han förklarar det som vad som kan uppnås kunskapsmässigt med stöd av andra i omgivningen: ”It is the distance between the actual
developmental level as determined by independent problem solving and the level of potential development as determined through problem solving under adult guidance or in collaboration with more capable peers.”(Vygotskij, 1978, s. 86). Vygotskij förklarar också att det finns en
aktuell utvecklingsnivå, vilket han beskriver som hur mycket individen kan i en given tidpunkt, men anser att det inte räcker för att förstå kunskapsutvecklingen och därför måste det tas hänsyn till vad individen kan uppnå med hjälp av omgivningen (Vygotskij, 1978).
Vidare går det att säga att individen agerar utifrån sina egna kunskaper och erfarenheter, samt av vad omgivningens normer tillåter i en viss situation. Undervisning som följer den sociokulturella teorin betonar:
19
Lärande som en social och samarbetsbetonad aktivitet
Problemlösning med anknytning till vardagliga situationer
Ta hänsyn till elevernas erfarenheter utanför skolan
Verbal förmedling från läraren
Läraren ska agera organisatör, deltagare, utvärderare samt vara stöd till eleverna under undervisningen (Wyndhamn m.fl., 2000).
3.5 Analytiskt ramverk
Vi kommer använda oss av ett analytiskt ramverk baserad av Wyndhamn m.fl. (2000) som bygger på de fyra lärandeteorier, som vi har presenterat ovan, behaviorism, kognitivsm,
konstruktivism och sociokulturell teori. Modellen har två tydliga dimensioner, där den ena
berör relationen mellan inlärning och tillämpning medan den andra dimensionen berör relationen mellan arbetsätt och tankeprocess. Ramverket använder vi som stöd för att undersöka hur problemlösning uppfattas och används hos våra lärare. Den kommer även att användas vid en översiktlig reflektion av de två läroplanen som skolformerna följer. I relationen mellan inlärning och tillämpning kan problemlösning ses som antingen ett sätt att lära sig något nytt eller som något där tidigare kunskaper kan tillämpas. I den andra
dimensionen syftar arbetssätt på hur problemlösning rent praktiskt utförs medan tankeprocess syftar på olika kognitiva processer vid själva arbetet.
B A
C D
(Figur 3)
I modellen skapas det fyra fält som har olika egenskaper. Fält A handlar om hur olika strategier, tekniker eller regler tillämpas vid problemlösning. Dessa egenskaper är starkt
ARBETSSÄTT
TILLÄMPNING
TANKEPROCESS
20
anknutna till kognitivismen. I fält B är det praktiska arbetet viktigt, samt att problemlösning sker för att kunna tillämpa tidigare kunskaper och här är det resultatet som står i fokus. Fält B kan då knytas till behaviorismen. Fält C tar upp egenskaper där elever arbetar i grupper, diskuterar, använder konkret material samt genom arbetet med problemlösning lära sig något nytt. Fältets egenskaper passar bra med den sociokulturella teorin. I det sista fältet, fält D, läggs intresse mycket på att elever ska reflektera över sina lösningsmetoder och erfarenheter som fås under själva arbetet. Mycket fokus läggs på att tänkandet ska utvidga kunskaperna. Fält D ses som ett område passande till konstruktivismen.
21
4. Metod och genomförande
I detta avsnitt kommer vi att redogöra för våra metodologiska ställningstaganden, som varför vi har valt en kvalitativ metod. Vidare kommer vi att beskriva intervju som metod, med dess fördelar och begränsningar. Vi berättar också hur vi fick tillträde till fältet och vilka etiska ställningstaganden vi har gjort, samt studiens validitet och reliabilitet.
4.1 Kvalitativ metod
I vår undersökning kommer vi använda oss av en kvalitativ metod. Kvalitativa metoder, till skillnad från kvantitativa, är inte fokuserade på att få fram kvantifierad resultat (Hur mycket? Hur många?). Istället är det viktiga att få en förståelse för hur de människor som undersöks upplever de frågor som ställs (Hartman, 2004), i vårt fall lärares syn på och arbete med problemlösning. Ett sätt att genomföra en kvalitativ undersökning är genom intervju vilket vi har valt att använda.
4.1.1 Underlag för intervjuer
Intervjuerna kommer genomföras halvstrukturerat (Hartman, 2004). Det betyder att det finns frågor som är förberedda som stöd för att leda intervjun, men där det lämnas utrymme för en öppnare diskussion kring ämnet. Möjlighet fanns att om det dyker upp frågor i samtalet med den första deltagaren, att dessa frågor även används hos de andra. Just denna egenskap hos halvstrukturerade intervjuer som sker med flera deltagare ökar våra möjligheter för att uppnå resultat. Till skillnad från enkätundersökning som metod är fördelen med en intervju att intervjuaren kan förklara vissa frågor som kan upplevas som oklara. Därmed förhindras att intervjudeltagaren automatisk anger ett svar, vilket som helst, bara för att svara på frågan. Konsekvensen av detta är att svaren har större trovärdighet i en muntlig intervju (Bryman, 2011). Nackdelarna med intervju som metod är att den kräver personlig kontakt mellan frågeställaren och intervjudeltagaren och att de muntliga frågorna och svaren är väldigt tidskrävande. Likaså kan den som intervjuar påverka svaren i större utsträckning.
Intervjuarens viktigaste egenskaper är att han eller hon är väl förberedd inför intervjun och att de kan skapa en bra miljö där den intervjuade ska känna sig avslappnad och bekväm i att svara på ställda frågor (Hartman, 2004)
22
Intervjun som en analytisk induktionsmetod utmärks dels av en frihet hos frågeställaren att välja frågor som inte är standardiserade eller stängda vilket i sin tur resulterar i att
frågeställaren kan improvisera utifrån den intervjuades svar, vilket gör metoden väldigt flexibel (Hartman, 2004). I en sådan intervju är miljön avslappnad och det faktum att den intervjuade kan uttala sig fritt utan formella, innehållsmässiga begränsningar resulterar i svar som är innehållsrika, detaljerade och baserade på egna erfarenheter. Intervjuerna kommer att spelas in med hjälp av en diktafon. Fördelarna med inspelad intervju är att frågeställaren inte behöver tappa fokus genom att anteckna svaren direkt utan kan lyssna på det inspelade materialet vid senare tillfälle och då upptäcka saker som vid samtalet hade missats eller uppfattats på ett annat sätt (Bryman, 2011).
De problem som man kan råka ut för i en halvstrukturerad intervju handlar återigen om tid och resurser eftersom alla intervjuer av sådan art är tidskrävande. Ett annat problem är att frågeställaren på grund av den frihet den ostrukturerade intervjun har, kan påverka och rikta den intervjuades svar (Hartman, 2004). För att undvika en sådan situation kommer vi att sträva efter att våra frågor är icke-suggestiva, så kallande icke-ledande frågor.
För att underlätta uppgiften, skapa trygghet och förtroende så har intervjudeltagarna innan intervjuerna fått information om de områden som intervjuerna kommer gå in på. En av
intervjuerna kommer att ske på engelska, vilket innebär att temaområden och själva frågorna samt transkribering av den färdiga intervjun kommer att översättas. Intervjuerna kommer att ske där enligt Bryman (2011) deltagarna känner sig mest bekväma, alltså i deras skolmiljö (kontor).
4.1.2 Intervju som undersökningsmetod
Intervju som metod är ”en lämplig metod för att skaffa fram autentisk eller äkta kunskap och
intervjuarens roll är att avslöja den sanna identitet som befinner sig under ytan” (Ryen, 2004
s.12). Hartman (2004) urskiljer två grenar inom den kvalitativa undersökningsmetoden: analytisk induktion och interaktiv induktion. Den analytiska induktionen eller den traditionella metoden betyder att man först samlar data från en informant och senare analyserar det. Inom interaktiv induktion sker istället datainsamling och dataanalys
omväxlande. I det här arbetet kommer vi att låta oss inspireras av analytisk induktion. Den analytiska induktionen är fördelad i tre etapper: planering, datainsamling och dataanalys (Hartman, 2004).
23
1. Planeringsfasen. Planeringsfasen har två viktiga moment: detförsta är att man formulerar en fråga som man vill att undersökningen ska ge svar på och det andra momentet är valet av kunskapskällor.
2. Datainsamling. De kvalitativa studierna är mycket friare än de kvantitativa studierna när det gäller källor och i denna fas krävs känslighet för vad som är viktig
datainsamling och vad som är intressant för frågeställningen.
3. Analys av kvalitativ data. Här analyserar man det insamlade datamaterialet så att en teori växer fram. I vårt fall kommer vi även att använda oss av det analytiska ramverk som presenterats tidigare.
(Hartman, 2004)
Knut Kjeldstadli (2009) skriver att tolkningsprocessen betecknas ibland som en
”hermeneutisk cirkel”. Det betyder att en tolkning växer fram i en cirkulär rörelse mellan individens förförståelse och möten med nya antaganden, kategorier och fenomen, vilket leder till ny förståelse som i sin tur blir förförståelse i kommande tolkningsansatser. Kjeldstadli beskriver hela denna process med följande ord:
”Lite tillspetsat kan man säga att det är först när undersökningen är genomförd som man vet vad man
har gjort. Att skriva inledningen i slutet är det naturlig svar på processen, inte något man bör
skämmas för och sopa undan”. (Kjeldstadli, 2009, s.130)
I vår studie avspeglar sig detta i att vi vill vara öppna för våra informanters berättelser, vilket i sig innebär att de kunde ändra våra uppfattningar genom sina berättelser. Att vänta tills
informationen är samlad och behandlad kan då ge oss en helt ny bild vilket kan resultera i att vi ändrar syfte och frågeställning något.
4.1.3 Intervjuguiden
Enligt Hartman (2004) är det viktigt att intervjuaren är ordentligt förberedd för att kunna hålla samtalet till det område som är av intresse (se bilaga 1). Samtidigt har vi velat vara öppna för informanternas egna berättelser. För att uppnå detta förbereds det en intervjuguide före själva intervjuerna för att minska risken att lämna intervjun med irrelevant material. I intervjuguiden tar man upp teman som ska diskuteras och utför dem i en viss ordning. Våra temaområden till intervjuerna är:
24
1. Synen på problemlösning/ The view on problem solving
2. Problemlösning i den egna undervisningen/ Using problem solving in their own
teaching
3. Läromedel, läroplan och problemlösning/ Teaching materials, curriculum and
problem solving
4.2 Urval och tillträde till fältet
De skolor som lärarna arbetar på är då en internationell och en kommunal. Lärarna är sedan tidigare bekanta för oss, vilket underlättade tillträde till skolorna.
4.2.1 Skolor
Den internationella skolan är centralt placerad i en stad i Sverige. Skolan har både Primary Years Programme (Lågstadium) och Middle Years Programme (Högstadium). Den är vad som i en svensk skola skulle kallas en F-9 skola. Antalet elever uppgår till mer än 300 stycken, från 30 olika länder. All undervisning i skolan sker på engelska. Undervisningen i matematik genomförs i den här skolan med homogena grupper. Med det avses att eleverna är grupperade kunskapsmässig i matematikundervisningen. Eleverna har matematik fyra gånger i veckan, där varje lektion är 60 minuter långa. Klasserna är vanligtvis i en storlek med cirka 20 elever där fördelningen mellan pojkar och flickor är jämn. För att ges möjlighet att gå på skolan finns det kriterier som måste uppnås samt att utbildningen är avgiftsbelagd:
1. Engelska som modermål eller som andraspråk, där boendet i Sverige är tillfällig. 2. Icke engelsk-talande elever, där boendet i Sverige också är tillfälligt.
3. Icke engelsk-talande elever som är bosatta i Sverige men planerar flytta utomlands. 4. En engelsk-talande förälder där familjen flyttar utomlands.
Den kommunala skolan ligger i utkanten i samma stad som den internationella. Skolan är en F-9 skola med cirka 450 elever. Majoriteten av eleverna har utländsk bakgrund och många av dem är nyanlända där språkförbistringen anses vara ett problem för skolan. Skolan kallar sig en modern multikulturell grundskola, enligt deras hemsida. I den här skolan, till skillnad från den internationella, sker undervisningen med heterogena klassgrupperingar. Det är även så att matematiklektionerna är uppsatta på en och samma dag och det innebär att eleverna har
25
matematik tre timmar i rad. Antalet elever per klass är cirka 20 stycken och genusfördelningen är även här jämn.
4.2.2 Intervjudeltagare
Intervjudeltagarna har valts genom en purposive sampling, vilket betyder att de valdes för att passa vår undersökning (Bryman, 2011). De som har valts är högstadielärare i matematik på de utvalda skolorna samt med varierande erfarenheter och bakgrund. Själva urvalet av intervjupersoner var begränsad till antal eftersom det inte finns så många matematiklärare på varje skola. Problemet med ett så litet urval är att det finns en risk att lärare inte ställer upp vid intervjuer, men vi hade tur att ett sådant problem inte uppstod. Alla på de båda skolorna hade möjlighet att delta i vår undersökning vilket gav oss alternativ att välja. Vårt syfte är att titta på dessa lärares syn på problemlösning, samt arbetssätt mot bakgrund av sina egna erfarenheter och skolan de arbetar på. Därför valde vi lärare med olika erfarenheter.
Lärarna har vi valt att namnge till Anna, Ben, Clark och David. Lärarna Anna och Ben arbetar på den internationella skolan medan Clark och David arbetar på den kommunala. Anna är en lärare med utbildning och bakgrund från U.S.A medan Ben har sin bakgrund från f.d. Jugoslavien och med en lärarutbildning i Sverige. Clark och David har båda sin utbildning i Sverige där Clark även har sin uppväxt i medan David har sitt ursprung i södra Europa. Arbetserfarenheten varierar från några år till några decennier.
4.3 Validitet och reliabilitet
Validitet (giltighet) och reliabilitet (trovärdighet) är viktiga begrepp inom vetenskaplig forskning. Inom kvalitativ undersökning går det att dela upp reliabilitet och validitet i fyra undergrupper: Intern och extern reliabilitet samt intern och extern validitet (Bryman, 2011). Hög intern reliabilitet innebär att gruppen som intervjuar och analyserar data gör det med en färdig strategi i hur informationen som ges uppfattas, medan extern reliabilitet avser hur väl intervjuerna och textanalyserna kan replikeras. Hög intern validitet visar hur väl
observationer/intervjuer stämmer överens med de teoretiska idéer som finns medan extern validitet istället rör i vilket mån resultaten som fås kan generaliseras till andra sociala miljöer och situationer (Bryman, 2011). I vår studie kan den interna reliabilitet och den interna validiteten anses hög. Den interna reliabiliteten är hög på grund av att vi båda från början haft
26
en klar strategi av vad vi vill uppnå, samt att analysen kommer ske med ett klar analytisk ramverk. Den interna validiteten kan också anses hög då undersökningens roll är att få fram lärares syn på problemlösning och deras sätt att arbeta med det, och genom att intervjua dessa lärare med frågor som omfattar vårt intresseområde får vi svar på det som behövs i
undersökningen. Däremot kan den externa reliabiliteten ses som låg då intervjuerna har skett halvstrukturerade samt att den personliga kontakten kan påverka hur lärarna svarar på våra frågor. Även den externa validiteten i studien kan anses som låg då våra resultat endast gäller för de lärare vi intervjuat och kan inte generaliserar för landets lärare eller skolor.
4.4 Etiska överväganden
Alla lärare har fått tydlig information om att deltagande är frivilligt samt anonymt. Resultaten av intervjuerna kommer att behandlas konfidentiellt och deras svar kommer endast att
användas i denna undersökning (Vetenskapsrådet, 2011). Samtliga lärare har givit tillstånd att intervjuerna får spelas in via en diktafon för att kunna analyseras vid ett senare tillfälle. Vi har också varit noga med att inte ställa frågor av privat natur, eller som kan skada, eller upplevas som otrevliga (Bryman, 2011). För att försäkra lärarna anonymitet så är deras namn fingerade.
27
5. Resultat – Presentation av intervjuer
I detta avsnitt presenterar vi kort våra informanters bakgrunder och berättelser för att kunna ge en tydlig bild av det de har sagt. Informanternas intervjuer kommer att presenteras var för sig och kommer att följa de områden som togs upp i intervjuguiden. Vi intresserar oss för olika uppfattningar som av olika anledningar finns i allas våra medvetanden, men vi vill också presentera de människor som hjälpt oss att få fördjupad förståelse för dessa uppfattningar.
5.1 Lärare: Anna
”If you are doing problem solving, I think it has to be when kids can, when it’s more open ended”
Anna är uppväxt och utbildad i USA. Under sin tid som lärare har hon upplevt ”drill and kill” metoden, men har märkt att mycket har förändrats sen hon började arbeta som lärare, både positivt och negativt. Hon har arbetat i mer än två decennier i en privat skola i Nord Amerika och sedan början av 2000-talet arbetar hon på en internationell skola i Sverige.
5.1.1 Synen på problemlösning
Anna anser att problemlösning är viktig eftersom det är något som används i arbetslivet. Enligt henne hjälper det utvecklingen av matematiken att samarbeta med andra och att samt kunna hitta logiska lösningar. För henne innebär problemlösning att hitta förslag till lösningar, prova lösningsförslagen och sen försöka få dem att fungera. Hon tycker att ett bra problem är ett problem där man kan komma till olika resultat, hitta olika vägar att uppnå resultaten och där eleverna kan förklara sina lösningar. Anna säger också att även om eleverna kan lära sig att räkna mekaniskt, så är den kunskapen onödig om de inte kan använda den i andra
situationer. Så att bara lära elever ”mechanical mathematics”, eller som man i U.S.A säger
”drill and kill”, är oanvändbart. Anna säger att lärarens uppgift är att lära elever tänka
28
5.1.2 Problemlösning i den egna undervisningen
Anna berättar att under hennes lektioner används problemlösning ofta. Hon anser att det är viktigt att eleverna får diskutera och reflektera i matematiken. Hon låter alltid sina elever diskutera problemen, tillvägagångssätten och resultaten. Men hon säger också att, hur mycket eleverna arbetar med problemlösning beror på matematikområdet och elevernas motivation. Dock så har hon alltid med diskussion och reflektion i sina lektioner. Hon berättar också att i diskussionerna sker det att eleverna diskuterar vardagssituationer där matematiken de lärt sig används, för att försöka få en mer vardagsanknytning. Hon berättar också att när eleverna arbetar med problem, brukar de oftast börja arbeta individuellt för att sedan i grupper, till exempel om fyra, diskutera problem och lösningar. Anna berättar för oss att klasserna i matematikundervisningen är nivågrupperade och det medför att planeringen och utförandet av lektionerna skiljer sig lite åt. Hon berättar vidare att utförandet är något som startats den här terminen och det positiva, enligt henne, är att det blir lättare att skapa lektioner och att eleverna får arbeta med det de behöver.
Anna berättar att hennes lektioner inte är ”textbook driven”, utan att hon själv väljer vilka typer av uppgifter och problem som behövs till lektionerna, till exempel med hjälp av olika typer av matematikböcker och lärarhandledningar. Hon säger också att matematikboken, som eleverna får som CD, är ett komplement och skulle det behövas mer arbete i ett visst område, är uppgifterna lättillgängliga för eleverna.
Eftersom eleverna har datorer skapar det möjligheter för dem att arbeta med
problemlösning på annat sätt, enligt Anna. Hon berättar att skolan använder ett speciellt program, mathletics.eu, där lärare kan skapa uppgifter som eleverna sedan får lösa. Även Internet i allmänhet används hos eleverna för att söka information.
5.1.3 Läromedel, läroplan och problemlösning
Anna anser att det står tydligt i IBO om arbetet med problemlösning, att elever måste kunna samarbeta med andra, reflektera samt diskutera matematik. Hon anser att läraren har en frihet att lära ut det som står i läroplanen, med tydliga krav vad eleverna ska uppnå i kunskapsnivå när de går ut MYP (Middle Year Program). När det gäller läromedlen, berättar Anna att det inte är något som följs hela tiden utan det är hennes personliga undervisningserfarenheter som följs.
29
5.2 Lärare: Ben
”Jag förespråkar spontanitet. Planering i all ära, men som lärare måste det finnas ganska stora marginaler för improvisation, spontanitet, att man avviker från planeringen och den vägen som man
hade tänkt innan lektionen satte igång.”
Ben är född i Sverige och har även gått grundskolan i Sverige. I början av 80-talet avslutade Ben grundskolan och flyttade till hemlandet (F.d. Jugoslavien) där han påbörjade och avslutade gymnasieutbildningen. Han tog med sig sina erfarenheter från den svenska skolan till f.d. Jugoslavien och blev där ”chockad” av undervisningen och de pedagogiska
metoderna. Under sin tid i grundskolan i Sverige minns Ben att det var mer krävande kunskapsmässigt, striktare disciplin och läraren hade större auktoritet än idag. I skolan i f.d. Jugoslavien var situationen ännu mer krävande och strikt. Ben minns inte hur lärarna på grundskolan arbetade med problemlösning, men ser en likhet mellan kraven då och i den internationella grundskolan idag. Lärarutbildningen har Ben från Sverige. Läraren har arbetat sedan några år tillbaka som matematik och NO-lärare. Han har arbetat i kommunal skola i fåtal år och på senaste tiden har Ben arbetat i internationell skola, men endast med matematik.
5.2.1 Synen på problemlösning
Ben berättar att begreppet problemlösning är för honom en bred definitionsfråga. Men matematiskt problem ser han som något som har olika vägar för att uppnå resultat, där olika typer av hjälpmedel (till exempel miniräknare, böcker och dator) kan vara tillhjälp. Ett problem ska även, enligt honom, kunna anpassas till alla elever så att de kan förstå, lösa,
”snappa upp” mönster, förstå mönster och kunna generalisera. I problemet ska det även vara
tydligt vad som är givet och vad som inte är givet, så att eleverna vet vilken väg de ska ta. Ben tar sedan upp begreppet Problem Based Learning, PBL, som ett sätt att lösa problem. Metoden, berättar han, kan användas i matematikundervisningen, men är även användbar i andra ämnen och situationer. Ben anser också att arbetet med problemlösning är givande för eleverna då dessa elever, förutom utveckling i matematik, även är ett sätt att förberedda dem för det praktiska i livet.
30
5.2.2 Problemlösning i den egna undervisningen
Ben berättar att när han planerar undervisningen så utgår han inte ifrån problemlösning som central innehåll, utan att det är något som kommer naturligt under själva lektionerna.
Problemen som kommer fram under tiden skapas med hjälp av Bens erfarenheter och tar hänsyn till elevernas kunskapsnivåer. Ben betonar att han förespråkar spontanitet i sin
undervisning där läraren ska ha stora marginaler för improvisation, samt att en lärare ska klara av att avvika från den planerade undervisningen. Men det ska alltid finnas en ”röd tråd” som ska följas. Ben säger vidare att något som är viktigt för eleverna är att läraren ”pushar” dem, för att få dem att utvecklas. Detta gör han till exempel genom att använda sig av uppgifter och problem som ligger några nivåer högre i form av en utmaning, vilket skapar en nyfikenhet hos eleverna. Det är enligt honom lättare att fånga elever när problemen är lite svårare än vad de är vana vid, att de går in på ”okänd mark”. Han säger också att bara arbeta med
uträkningsuppgifter gör att eleverna tröttnar och tappar fokus, medan nya begrepp och nya moment skapar nyfikenhet. Men å andra sidan, menar han, är det inte hållbart med att endast arbeta med svårare problem och med nya moment, då det inte skapas kontinuitet hos eleverna. Det som kan ske är att läraren och eleverna missar att arbeta med ett område som kursplanen kräver. Problemlösning är något alla eleverna arbetar med, ”ibland i grupp, ibland
individuellt”, beroende på uppgiftens struktur, omfattning och själva det matematiska
området. Ben berättar att han bara ibland arbetar med laborativa övningar på grund av tidsbrist. Däremot när det gäller IT-teknik så är Ben positiv. Till sin hjälp använder han till exempel Internet, där eleverna kan söka information om begrepp, historia och om
matematiska moment och problem. Ben och eleverna på den internationella skolan har även tillgång till ett program där Ben kan ge sina elever läxor och uppgifter efter deras behov. Via programmet kan Ben se statistik på hur många som har gjort uppgifterna, samt resultat.
Programmet ger även eleverna chans till att tävla, både mot varandra och internationellt. På så sätt skapas då en utmaning hos eleverna att vilja lyckas enligt Ben. Det finns även ett
rankingsystem i programmet som visar vilka resultat eleverna uppnår. Tävlingsmomenten används oftast som en ”morot” för eleverna och uppgifterna i momenten är oftast av enkel karaktär.
5.2.3 Läromedel, läroplan och problemlösning
I läroplanen, IBO, förklarar Ben att det står att varje elev ska få den hjälp den behöver och att alla elever ska synas. Varje elev ska få chansen att utvecklas kunskapsmässigt och även som
31
individ. Problemlösning är en del av detta. Fördelarna med IBO, ser han vara att den har ganska tydliga hänvisningar när det gäller matematikinnehållet, samt ger bra information i bedömning av eleverna. När det gäller användandet av läromedel, där Ben inkluderar till exempel miniräknare, IT-program och matematikböcker, har han inga krav från ledning eller läroplan på hur dessa ska användas, utan det är Ben som avgör vad som behövs.
Matematikböcker är inget som följs ”slaviskt”, utan böckerna är mer som ett riktmärke vid undervisningen. Böcker anses även vara något som skapar en trygghet hos eleverna, då eleverna har enklare att följa riktningen i undervisningen.
5.3 Lärare: Clark
”Det tror jag för många elever är någonting som de får med sig i framtiden… ju fler problem de
arbetar med, desto olika problem, desto mer erfarna blir de. Jag tror det är positivt.”
Clark avslutade sin grundskoleutbildning i mitten av 70-talet i Sverige. Han upplevde sin utbildningstid i grundskolan som betydligt mer krävande än dagens skola. Kunskapskraven upplevde han som betydligt högre, samt så var lärarens roll mer auktoritativ. När det gäller problemlösning, så minns Clark att det fanns men att det var väl inbäddat i
matematikundervisning. Lärarutbildningen gjordes och avslutades i Sverige, och under 2000-talet har Clark arbetat som matematik och NO-lärare i några grundskolor.
5.3.1 Synen på problemlösning
På frågan: Vad är problemlösning för dig? svarade Clark att det är något som är viktigt för eleverna att arbeta med, då det är något de får med sig i framtiden. Enligt Clark skapar eleverna en erfarenhet som för dem är positiv. De lär sig att lösa problem med hjälp av matematiken och får kunskaper att använda olika typer av förbestämda strategier. Därför är problemlösning, enligt Clark, givande: ”Vi ska utveckla deras förmåga, deras
problemlösningsförmåga.” Ett matematiskt problem, är för Clark ett problem som går att lösa
på olika sätt. Sen säger han att ett problem för en elev behöver inte alltid betyda att det är ett problem för en annan.
32
5.3.2 Problemlösning i den egna undervisningen
Clark anser att läraren ska ta initiativ för att presentera problem, så att eleverna får en förståelse för problemet: ”låt eleverna ställa frågor...”. Clark förklarar att det finns elever med svårigheter att uppfatta texter och själva problemet. Dessa elever måste då få en ”chans” att diskutera och att ställa frågor för att ge sig in i det: ”De måste äga problemet.”. Clark betonar viktigheten att eleverna måste förstå problemet för att kunna lösa det.
Hur ser en problemlösningslektion ut hos Clark? Clark berättar att han har olika problem nedskrivna på papper, som han antingen presenterar vid tavlan eller delar ut problemet till eleverna. Efter presentation får eleverna ställa frågor om det är något de inte förstår. Han menade att i hans skola ställs de flesta frågorna angående textförståelsen och mindre om det själva matematiska innehållet: ”Det kan till exempel vara vilket av någonting, om de säger
vilket då är det bara ett, säger man vilken eller vilka, det kan innefatta fler.” Clark berättar
vidare att eleverna i början arbetar med ett problem själva, för att sedan i par eller grupper om tre, diskutera lösningsmetoder och fortsätter att försöka lösa problemet. Detta gör, enligt Clark, att eleverna förstår och ”äger” problemet. För Clark är det ideala gruppfördelningen mellan två och tre elever, medan större grupper kan betyda större störningsmoment. I sådana grupper, menar Clark, att svagare elever ”glider undan”. De lär sig inte. Om det uppkommer svårigheter vid problemlösning avböjer Clark, direkt inbladning i form av hjälp. Eleverna får gärna fråga andra elever om hjälp för att på så sätt öka diskussionen inom matematiken. Han betonar också att elevernas personliga relation kan bidra till lyckad problemlösning: ”De är
lite svaga, men de två tillsammans fixar det rätt bra.” (Pratar om två elever). Clark säger
vidare att om en elev, eller grupp i klassen har löst ett problem på ett bra sätt, kan han göra att eleven/gruppen redovisar sin lösning framför hela klassen.
Den kommunala skolans sätt att ha matematik, tre timmar i följd, ser Clark en fördel, och det är att vid så långa lektioner finns det alltid tid att inkludera problemlösning, samt
laborativa övningar. För Clark är det bra att han väljer att variera undervisningen under dessa tre timmar, där han ger akt på elevernas motivation: ”Vill de arbeta i matteboken, då får de
väl göra det.” Han säger också att om eleverna känner sig intresserade för utmaningar så får
de arbeta med större problem.
När det gäller IT-användningen är Clark väldigt positiv till det. Enligt honom använder hans elever digitala hjälpmedel såsom datorer och miniräknare. Han tar upp som exempel statistik, där han har låtit sina elever analysera och skapa diagram på dator. Ibland, när det är
33
passande till matematikområdet, säger Clark att laborativa övningar är ”fint komplement” till det ”vanliga”.
5.3.3 Läromedel, läroplan och problemlösning
Clark förklarar att i Lgr 11, står det ganska informativt om förmågorna som varje elev ska utvecklas i, där problemlösning är en del av detta. För Clark är läromedlen, till exempel matematikboken, inte av central vikt: ”speciellt inte vid problemlösning.”. Han förklarar vidare att uppgifter han väljer att använda sig av har kommit fram under tiden han har arbetat som lärare, då han har samlat ihop en mängd material som han känner fungerar bra. Han säger även att centrala prov, såsom nationella prov, har varit till hjälp i att hitta uppgifter. När vi frågar om gamla läromedel och den nya läroplanen, får vi som svar att han tycker det är synd att de inte följer Lgr 11, men att genom eget initiativ går det att undgå ett sådant problem. Han tar även upp att det är en resursfråga, när och om nya läromedel, som är anpassade till Lgr 11, kommer vara tillgängliga i skolan för alla elever.
5.4 Lärare: David
”Det blir dialoger i klassrummet, man hör olika tankar, olika strategier.”
David är ursprungligen från Sydeuropa där han avslutade sin grundskoleutbildning under 60-talet. David tycker inte att det går att jämföra hans tid i skolan med hans elevers
grundskoletid. Han menar att kunskapskraven på hans tid var betydligt högre, samt att lärorollen var annorlunda än idag. Läraren var den högsta auktoriteten med strikta
disciplinmetoder. Han är både utbildad ingenjör och lärare, med lärarutbildning i Sverige. Han har sedan slutet av 90-talet arbetat i kommunal skola.
5.4.1 Synen på problemlösning
David börjar med att berätta att problemlösning för honom är ett sätt att låta eleverna utveckla ett logiskt tänkande och att det ger de en möjlighet att se samband med verkligheten. Han säger vidare att ett riktigt problem ska vara en utmaning för eleverna, med olika metoder och strategier som kan leda till lösningen. Han fortsätter med att förklara att han anser att låta
34
eleverna arbeta med problemlösning är givande på grund av att det hjälper elever att använda sina kunskaper i andra situationer, samt att det ”hjälper det logiska tänkandet” som för David är viktigt inom matematiken.
5.4.2 Problemlösning i den egna undervisningen
Angående sitt sätt att arbeta under lektionerna, berättar David att i hans undervisning så använder han den sista halvtimmen till att låta eleverna arbeta med problemlösning. Då arbetar eleverna med problem med olika svårighetsgrader. Han förklarar att när han skapar uppgifter och problem så använder han sina egna erfarenheter från det praktiska livet. Han säger också att han använder sig mycket av det vardagliga i skapandet av problem så att eleverna har lättare att komma in i problemet. David fortsätter med att säga att han låter eleverna först arbeta individuellt med ett problem av lättare grad. Klarar eleverna problemet får de gå vidare till något svårare. Klarar de inte problemet får de istället arbeta i par för att försöka lösa det. David berättar sen att han avslutar sina lektioner genom att ha en gemensam presentation framför tavlan. På så sätt får han fram dialoger kring matematiken”använda det
matematiska språket”.
En metod som David använder i undervisningen är att låta eleverna själva skapa problem utifrån det område de arbetar med. Detta hjälper, enligt David, honom att se på vilka nivåer eleverna ligger på. Han berättar också att eleverna efter att de har skapat uppgifterna, går igenom dem, antingen i helklass eller med läraren för att kunna se ”logiken” bakom det de gjort.David försöker att anpassa problemen språkmässigt, så att det förstås av alla elever. David tar sedan upp att många elever saknar språklig förståelse för de matematiska
begreppen. Som exempel tar han upp subtraktion, som vissa elever kallar för ”minusera eller
minusa”.
David berättar vidare att han ofta ”utnyttjar” elevernas ”tävlingsinstinkt”. Han organiserar olika typer av tävlingar, som sker han anser alltid ska ske i grupper och aldrig individuellt. På så sätt säger han att det ökar grupptillhörigheten och skapar en bra arbetsatmosfär. Han anser att just detta moment är viktigt för eleverna eftersom det kommer att hjälpa dem i deras arbetsliv. Han påpekar att klassrumsklimatet är viktig för att eleverna ska kunna arbeta, speciellt då med problem. När det gäller laborativa övningar, säger David att det görs endast i vissa områden, till exempel geometri, enheter och mönster och samtidigt tycker han att sådant arbetssätt är givande, men krävande. David avslutar sättet han arbetar med att berätta att han använder som hjälp både Youtube och Facebook. Facebook använder han till att ge
35
information om läxor och att få in dem. Youtube är perfekt, enligt David, för att med hjälp av videoklippen kan han visa olika metoder att lösa matematiska uppgifter och problem.
5.4.3 Läromedel, läroplan och problemlösning
När vi börjar prata om läroplanen, berättar David att det är viktigt att kunna den och att de centrala innehållen är bra att följa eftersom det är vad lärarna ska undervisa. Eftersom problemlösning är en del av det, är det självklart för David att det ska vara med i det han lär ut. Han berättar också att bedömningsmatrisen som finns i Lgr11 är lätt att följa och använda. När det gäller matematikböcker, anser David att uppgifter som anknyter verkligheten till elevernas vardag finns inte i så stor omfattning som det skulle behövas. Han säger också att han inte följer matematikboken, men eleverna använder den till läxor och träningsuppgifter.
36
6. Analys
I följande avsnitt kommer vi att analysera data från våra intervjuer, samt de båda läroplanerna. Huvudverktyg till analysen är Wyndhamns analytiska ramverk (figur 3), som använder sig av de fyra lärandeteorier vilka vi beskrivit tidigare samt de två dimensionerna, tillämpning - inlärning och arbetssätt - tankeprocess. På så sätt kommer våra undersökningsfrågor att besvaras och analyseras. Vi vill betona att analysen av lärarnas berättelser inte kan ge en helhetsbild av lärarna och vilka teorier som kan förknippas med dem och deras arbetssätt.
6.1 Lgr 11
Problemlösning framhävs tydligt och som viktigt i Lgr 11. Vidare så ska eleverna kunna
formulera, reflektera och värdera när de arbetar med problem (Skolverket, 2011). Tittar vi
närmare med hjälp av det analytiska ramverket kan vi se att Lgr 11 försöker omfatta olika lärandeteorier i en helhet. Detta syns bäst i följande mening: ”Undervisningen ska bidra till
att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat.” (Skolverket, 2011 s. 62).
Problemlösningsområdet fokuserar på att eleven som individ ska utveckla kunskaper genom att reflektera och värdera, kunna formulera samt använda olika metoder, modeller och
strategier. Detta är aspekter knutna till individens kognitiva förmåga. Både kognitivismen och
konstruktivismen lägger stort fokus på att elever utvecklar kunskaper, till skillnad från behaviorismen där kunskap istället endast ses som något inlärt. Konstruktivistiska drag visas även av att matematikundervisningen ska stödja assimilering: ”Eleverna ska även ges
förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer…” (Skolverket, 2011 s. 62). Elever ska även kunna beskriva och förklara
(kommunicera) problem vilket kan knytas till en samarbetsbetonad undervisning. Förutom den individuella aspekten står det även i Lgr 11 om arbetet med vardagsanknutna problem samt en betoning av samhällsenliga artefakter, såsom digitala verktyg vilket är områden som den sociokulturella teorin anser som viktig.
Även om Lgr 11 på något sätt försöker kompromissa med de olika teorier, kan vi se att problemlösning i skolan försöker luta mot att det viktiga i undervisningen är
37
Samtidigt så ska arbetet med problemlösning undervisas på så sätt att eleverna både ska kunna utveckla nya kunskaper samtidigt som tidigare kunskaper ska kunna tillämpas. Det ser vi genom att problemlösning benämns både som en förmåga och som ett centralt innehåll.
6.2 International Baccalaureate Organization
IBO är väldigt detaljerad, i jämförelse med Lgr 11. I den står det att problemlösning ska ingå i alla delar av matematiken (International Baccalaurate Organization, 2007). Det som
genomsyrar denna läroplan är att arbetet med problemlösning är en tankeprocess, där både kognitivismen och konstruktivismen kommer fram. Begreppen reflektera och resonera tas ofta upp i samband med problemlösning och ordet tänka används frekvent, som i till exempel: ”teachers should ensure that tasks allow students to think about the problem-solving
processes, reflect upon their methods and results” (International Baccalaurate Organization,
2007 s. 16). Matematikundervisningen ska sträva mot att förberedda elever så att de kan lösa och analysera problem, både i skolan och i verkliga situationer. Vardagsanknytningen av problemlösningen, samt kommunikationen mellan elever/lärare framhävs också och bär tydliga spår av den sociokulturella teorin. IBO beskriver arbetet med problemlösning som en integrerad del av matematiken och tyngden ligger på problemlösning som en tankeprocess, och där liknande Lgr 11, att problemlösning ska både kunna utveckla nya kunskaper och samtidigt ge möjlighet till att tillämpa tidigare kunskaper.
6.3 Anna
Anna har en syn på problemlösning som visar likheter med den läroplan hon följer. Både hon och IBO anser att problemlösning ska arbetas med i kontexter för att efterlikna arbetslivet och vardagen. Undervisningen ska betona reflektion och tänkande och det är begrepp som Anna ofta tog upp. Eleverna ska enligt Anna kommunicera, reflektera och diskutera i matematiken vilket sker antingen i helklass eller i grupper. Den sociokulturella teorin anser att
kunskapsutveckling sker i samspel med andra och genom det Anna berättar för oss, så innebär mycket av hennes undervisning samarbete mellan elever. Detta visar på likheter med det Vygotskij framhäver medan betoningen på reflektion och självständigt tänkande är begrepp enligt Wyndhamns ramverk passande det kognitivistiska perspektivet. Anna berättade också om användningen av digitala hjälpmedel som stöd till kunskapsutveckling i matematiken.
38
Vygotskij förklarade att miljön har en central roll i elevernas inlärningsprocesser där ”tools”, i Annas fall datorer, används för att förmedla kunskap. Även om Anna lägger mycket fokus på samarbete, kommunikation och reflekterande så finns det saker som Anna har sagt som kan tolkas som drag från de andra teorierna. Till exempel att elever ska kunna hitta olika sätt att lösa problem och att kunskap är onödigt om det inte kan användas i andra situationer. Elever ska kunna assimilera tidigare kunskaper och erfarenheter till att lösa problem. Att Anna även låter eleverna börja arbeta individuellt för att sen övergå till grupper skapar även det
paradoxer mellan de olika teorierna.
6.4 Ben
Ben berättar för oss vikten att som lärare kunna ”pusha” elever för att få dem att utvecklas kunskapsmässigt genom att till exempel ge utmanande problem som eleverna arbetar med antingen individuellt eller i grupp. Den kognitivistiska teorin anser att en elev ska ha möjlighet att själv utveckla kunskap om att lösa problem, medan den sociokulturella teorin anser att kunskapen utvecklas med hjälp av andra. Dock så blir det svårt att anknyta
arbetssättet till en viss teori då Ben inte berättar hur han som lärare agerar i de situationerna. Han berättar också om vikten att utgå från elevernas erfarenheter och kunskapsnivåer, vilket om vi sammanknyter med att ”pusha” elever, då med stöd av lärare och klasskamrater, kan ses som en optimering av undervisningen. Det begrepp som kommer i åtanke är Vygotskijs ”zone of proximal development”, ett drag av det sociokulturella förhållningssätt vilket ger en komplex bild av Bens undervisning.
Ben tar även upp att han använder sig av tävlingsmoment med belöningar. Syftet är att han menar att det går att uppnå goda resultat vid tävlingar. Behaviorismen utgår från antagandet att genom stimulus - respons metoden sker inlärning. Genom att vinna en tävling och få belöning så gynnas ett visst beteende. Men det går inte att hänvisa Bens undervisning till en särskild teori, utan det som han berättarvisar olika drag från olika teorier.
6.5 Clark
Clarks lektioner, utifrån det han berättar, ser ut på så sätt att lärandet sker som en social och samarbetsbetonad aktivitet samtidigt som han också berättar att eleverna oftast startar arbetet individuellt. Även om det sociala anses viktigt så berättar han att det är viktigt för den
