1
Föreläsning 1 i Intromatematik för Automation
och mekatronik/Teknisk design.
2
Kommunikation i Zoom.
1. Man kan delta i ett Zoom - möte med att trycka på länken som man …ck från en värd (host in English) på mötet.
Första gången kan det ta ett par minuter för att aktivera Zoom programmet, men senare är det kvar på dator eller telefon.
2. Det …nns ‡era ikoner på Zoom - skärmen som låter aktivera lämpliga funk-tioner.
1) De …nns knappen "Chat" under "More" - knappen, som är bra att öppna från början och kontrollera vad som skrives där. Det är enklaste kommunikationskanal för deltagare i ett Zoommöte.
2) Man kan delta i mötet med sin röst och med sin bild eller utan dem. Dessa funktioner kopplas eller avkopplas med hjälp av två ikoner som visas i botten (alternativt högst upp) på vänstra sidan av Zoom - skärmen så att deltagare på mötet blir synliga eller osynliga och kan prata med varandra eller stänga sin mikrofon om de lyssnar på en föreläsning.
På övningar eller datalaborationer bör studenter däremot aktivera sin mikrofon för att ställa frågor till övningsledare.
3) lärare visar sina anteckningar (som en virtuell tavla) i ett fönster eller visar hela skärmen med att "dela sin skärm" ("Share screen" in English).
Studenter kan på samma sätt dela sin skärm eller en del av sin skärm för att visa sina anteckningar och för att förklara sina frågor på övningar och datalabbar. Stora gröna knappen "Share screen" syns i mitten av undre delen av Zoom skärmen. Med att trycka på den knappen får man ett fönster med förslag att dela hela sin skärm eller välja något särskilt fönster för att dela med andra deltagare i mötet. Den funktionen blir lämplig för studenter på övningar och på datalabbar. När man delar sin skärm - försvinner Zoom - ikoner i botten och ‡yttar upp under gröna knappen "You are screen sharing".
4) Det …nns en knapp "Annotate" med ‡era lämpliga funktioner under den. Ett exempel av delade skärmen med öppnade knappar under "Annotations" ges här:
De lämpligaste typer av anteckningar är: Text, Draw och Stamp. "Text" låter skriva kommentarer eller ställa frågor. "Stamp" låter markera några ställen på den delade skärmen med gra…ska reaktioner: ?, ~; F; =) .
"Draw" låter rita enkla …gurer eller markera delar av texten på den delade skär-men. Dessa anteckningar görs på "skärmens yta" och ändrar inte texten och bilder som visas på den skärmen.
Knappen "Format "låter välja färgen och tjocklek för bokstäver i "Text" och linjer som man ritar i "Draw".
Knappen "Spotlingt" skapar en pil eller en liten cirkelskiva som kan användas för att peta med musen i olika objekt på den delade skärmen.
Det …nns knappen "Clear", som eliminerar era eller allas anteckningar på den delade skärmen och knappen "Save", som sparar den delade skärmen som en gra…sk …l i en Zoom - katalog som ligger i katalogen Documents på er dator.
3
Mängder och relaterade elementära begrepp och
beteckningar.
Vi kommer att använda ordet "mängd" ganska ofta.
Mängder i matematik är samlingar av objekt - "element", som har något gemen-samt med varandra. Man säger att en mängd består av sina element.
Exempel.
En lämplig beteckning för att säga att 3 är ett element i N är: 32 N
Mängden av hela tal Z består av naturliga tal N; noll, och av negativa hela tal: ::: 5; 4: 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5:::
Vi säger att N är en delmängd i Z eftersom alla element ur N hör till Z. En standart beteckning för den relationen är
N Z
Samma beteckningar 2 och kommer senare att användas för godtyckliga mängder och deras element och delmängder. Till exempel A B på bilden.
Man säger att N är en äkta delmängd i Z eftersom Z innehåller några element som inte hör till N.
4
De rationella talen
Rationella tal eller bråktal är tal på formen pq där p och q är två hela tal så att q 6= 0:
Meningen med beteckningen pq är att det är ett tal sådant att q pq = p. Mängden av rationella tal betecknas med Q:
Rationella tal som användes mest i praktiken är decimalutvecklingar som man kan få fram genom divisionen i r = pq. Decimalutvecklingar av rationella tal kan vara begrnsade som t.ex. 18 = 0; 125; eller kan ha en periodisk anslutning som
5
6 = 0; 8333333:::
Exempel
Man kan ochså göra en transformation tillbaka: från en decimalutveckling med periodisk anslutning till en vanligt bråkform.
Betrakta talet r = 0; 353535::: med periodisk anslutning 35:
Vi får från decimalutveckling att 100r = 35; 353535::: = 35+0; 353535::: = 35+r. 100r = 35 + r
100r r = 35 Detta medför att
r = 35 100 1 = 35 99 = 5 7 9 11
: Det är enklaste bråkforment för r eftersom 35 och 99 är relativt prima, d.v.s de har inga gemensamma delare.
5
Reella tal
Begreppet med reella tal är ganska komplicerat. Vi nöjer oss med att ge två intu-itiva tolkningar av reella tal: en geometrisk tolkning och en tolkning med hjälp av decimalutvecklingar eller andra rationella utvecklingar.
Geometrisk tolkning av reella tal.
Betrakta en rät linje, och markera två punkter på den: en punkt som svarar mot talet noll och en punkt som ligger på avståndet ett åt höger kommer att svara mot talet ett.
Välj ett godtyckligt rationellt tal pn med hela tal p och n och markera en punkt på den linjen som har avståndet np från nollpunkten mot höger för positivt pn > 0 eller mot vänster för negativt pn < 0:
Alla rationella tal skildras på det viset med punkter på en linje. Större tal ligger åt höger från dem som är mindre.
Välj nu en godtycklig punkt X på den linjen och observera att punkten X delar mängden av punkter på linjen som svarar de rationella talen Q i två delar: mängden (markerad med blått) av rationella punkter som ligger åt vänster av punkten X och mängden (markerad med gult) av rationella punkter som ligger åt höger av punkten X:
Det kan uppstå två situationer:
i) att X är en "rationell punkt" med rationellt avstånd från origo,
ii) eller att X hamnar "mellan" rationella punkter som ligger åt höger och åt vänster av X.
I den andra situationen säger vi att punkten X framställer ett irrationellt reelt tal.
Irrationella tal tillsammans med rationella tal Q bildar mängden av reella tal R. Hela linjen som framställer både rationella och irrationella tal kallas för reella linjen.
Man kan kommentera att det …nns mycket mera irrationella tal än rationella tal. Mängden Q av rationella tal är uppräcknelig, d.v.s. man kan numrera alla rationella tal (en bra övning!). Det kan man inte göra med irrationella tal.
Tolkning av reella tal med decimalutveckling. Exempel.
Ett exempel av irrationella tal är positiv lösning till ekvationen r2 = 2. Den
betecknas med r =p2 = (2)1=2.
Det faktum attp2 är ett irrationellt tal är ganska lätt att bevisa. Antag motsatsen att r2 = 2 och r = p
n där p och n är relativt prima hela tal (tal
som inte har gemensamma delare andra än 1). Eftersom p n 2 = 2 och p2 = 2n2
måste p vara ett jämt tal, d.v.s. p = 2s. Detta medför att 4s2 = 2n2
2s2 = n2
Därmed måste även n vara ett jämt tal. Vi …ck att både p och n är jämna tal och har en gemensam delare 2 som strider mot att de är relativt prima. Alltså …nns det inget rationellt tal r sådant att det löser ekvationen r2 = 2.
Man kan approximera den lösning med hjälp av en decimalutveckling, t.ex. p2 1: 414 2. Man kan ta en mera exakt decimalutvecklingp2 1:41421356237, eller en ännu mera exakt: p2 1:4142135623730950488.
Men det faktum att p2 är ett irrationellt tal gör att ingen begränsad eller peri-odisk decimalutveckling kan framställa p2: Man kan tänka om en oändlig decima-lutveckling avp2 med decimaler utan periodisk anslut.
Det …nns en elegant framställning avp2 med hjälp av ett kontinuerligt bråk: 1 + 1
2 + 2+ 11 2+ 1
2::::::
På liknande sätt kan man tänka om godtyckliga irrationella reella tal som tal med oändlig decimalutveckling utan periodisk anslut. Irrationella tal tillsammans med rationella Q tal bildar alla reella tal R.
Egenskaper hos reela tal delas i tre grupper: algebraiska egenskaper, ordingsegen-skaper och fulständigetsegenskap.
Algebraiska egenskaper är beräkningsregler som vi kommer snart att betrakta i detalj.
Ordningsegenskapet betyder att för två olika reella tal x och z …nns alltid relation x < z eller z < x.
Relationen x < z betyder från den geometriska synvinkeln att talet x ligger åt vänster från talet z på reella axeln.
Fullständighetsegenskap betyder att reella linjen R "saknar hål" (som mängden Q av rationella tal hade). Vi kan förklara det på följande sätt. Betrakta en mängd B R av reella tal (röd på bilden) begränsad underifrån. Det betyder att det …nns en undre gräns eller ett tal C sådan att alla elementen x 2 B i B är större än C så att C < x.
Fullständigheten betyder att för varje sådan mängd B …nns ett reelt tal inf (B) 2 R som är största undre gräns. Det kallas "in…mum" av B och betecknas med inf (B).
På samma sätt …nns det minsta övre gräns sup(A) 2 R för varje mängd A R begränsad ovanifrån.
6
Algebraiska omskrivningar:
Elementära algebraiska beräkningsregler a + b = b + a addition är kommutativ ab = ba b = ( 1)b b = ( b) a(b + c) = ab + ac
Träna extra mycket på konkreta exempel med bråkräkning: a b + c d = a d b d + c b d b = a d + c b b d a b c d = a d b d c b d b = a d b d + ( 1) c b d b = a d c b b d a b c d = a c b d a b = c d = a d b c
Potenslagar för hela och rationella exponenter. a0 = 1; a 6= 0
an = a a| {z }a
n faktorer
a n = 1 an
för ett positivt heltal n. am an = an+m a b n = a n bn = a n b n för heltal m och n.
Lägg märke till att operationer inom paranteser beräknas först. Exempel d sid. 44 med algebraiska omskrivingar.
3x2y3z 4 = :::
Exempel e sid. 44 med algebraiska omskrivingar.
(2x + 3) 4x2 6x + 9 = 2x 4x2 + 2x ( 6x) + 2x 9 + 3 4x2 + 3 ( 6x) + 3 9 8x3 12x2+ 18x + 12x2 18x + 27
= 8x3+ 27
Kvadrerings- och kuberingsregler samt konjugatregler. Kvadreringsreglerna: (a + b)2 = a2+ 2ab + b2 (a b)2 = (a + ( b))2 = a2+ 2a( b) + ( b)2 a2 2ab + b2 Konjugatregeln: a2 b2 = (a b)(a + b) = (a + b)(a b) Kuberingsreglerna: (a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 (a b)3 = (a + ( b))3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 Tredjegrads konjugatreglerna (faktoruppdelningarna):
a3 b3 = (a b)(a2+ ab + b2) a3+ b3 = (a + b)(a2 ab + b2) Allmänna konjugatregeln:
an bn= (a b) an 1+ an 2b + an 3b2+ ::: + abn 2+ bn 1
I andra parantesen står summan av alla produkter apbm sådana att p+m = n 1:
Koe¢ cienter för högregradsregler kan plockas från rader i Pascals triangel: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 t.ex.
(a + b)5 = a5+ 5a4b + 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+ b3: Exempel sid. 45-46 Exempel a (3a + 4b)2 = ::: Exempel e 12x4 2x5 18x3 = ::: Exempel f x4+8xy6=(conjugatregeln) Exempel d, sid.48 a b + b a + 2 1 b b a2 = (V isa!) = (a + b) a a b Exempel e, sid.48 5 2x 2 1 3x+ 3x + 1 1 x2 = Svårt exempel (Krechmar 2.17) Visa att (x b) (x c) (a b) (a c) + (x c) (x a) (b c) (b a) + (x a) (x b) (c a) (c b) = 1
