BEVIS AV EXISTENS –OCH ENTYDIGHETSSATSEN för begynnelsevärdesproblem (IVP, initial-value problem) av första ordningen som är skrivet på standardform (normalform)

Sida 1 av 5

BEVIS AV EXISTENS –OCH ENTYDIGHETSSATSEN

för begynnelsevärdesproblem (IVP, initial-value problem) av första ordningen som är skrivet på standardform (normalform)

yF(x,y), y(x₀) y₀ (IVP1).

Sats 1.2.1 EXISTENS –OCH ENTYDIGHETSSATS (Th. 1.2.1 Existence of a Unique Solution, Zill, Wright)

Om följande två villkor är uppfyllda i en omgivning Ω till punkten (x₀,y₀) 1. F(x,y)kontinuerlig på Ω, och

2. y

y x F



 ( , )

är kontinuerlig på Ω,

då existerar ett intervall I₀ [x₀ h,x₀h] sådant att begynnelsevärdesproblemet yF(x,y), y(x₀) y₀ (IVP1)

har på I₀ exakt en lösning.

BEVIS

Betrakta en rektangel R:x₀a xx₀ a, y₀b y y₀b, där a,b0, som ligger i Ω.

) , (x0 y0

h x₀ x₀h

a

x₀ x₀a

b y₀

b y₀

Sida 2 av 5 Eftersom )F(x,y och

y y x F



 ( , )

är kontinuerliga på rektangeln R finns det M så att M

y x F( , )|

| och L så att L

y y x

F 



 ( , )|

| .

Låt min( , ) M a b

h .

Från villkoret L

y y x

F 



 ( , )|

| följer

|

|

| ) )(

,

| ( essatsen) (medelvärd

| ) , ( ) , (

| _{2 1} y₂ y₁ L y₂ y₁

y y x y F

x F y x

F ^s   



 



 (*) ,

så kallade Lipschitz villkor.

Problemet )) ( , ( )

(x F x y x

y  , y(x₀) y₀ (IVP1)

skriver vi (genom att integrera båda sidor på x) som en ekvivalent integralekvation







x

x

dx x y x F y x y

0

)) ( , ( )

( ₀ , (ekv 1)

där y(x) är den sökta funktionen.

Vi bildar följande funktionsföljd







x

x

dx y x F y x y

0

) , ( )

( _{0 0}

1 ,







x

x

dx x y x F y x y

0

)) ( , ( )

( _{0 1}

2 ,

…



^





x

x

n

n x y F x y x dx

y

0

)) ( , ( )

( _{0 1} .

Metoden med ovanstående succesiva approximationer kallas ”Picardmetoden”. ( Picard var en fransk matematiker.)

Vi ska visa att funktionsföljden y_n( x) konvergerar mot en funktion Y( x) som är en unik lösning till (IVP1) på intervallet I₀ [x₀h,x₀ h].

a) Först visar vi att graferna till y_n( x) ligger i rektangeln R om x[x₀h,x₀ h] dvs att

Sida 3 av 5 b

y x

y_n( ) |

| ₀ om x[x₀ h,x₀h]. Vi har

M b M b Mh x

x M dx y x F dx

y x F y

x y

x

x x

x















 ^{| |}



^{( , ) | |}



^{| ( , )| | | |}

) (

| _{1 0 0 0 0}

0 0

,

dvs y₁(x) ligger i R om, x(x₀h,x₀ h). Vidare

M b M b Mh dx

x y x F y

x y

x

x











 ^{| |}



^{( , ( )) | (eftersom y(x)ligger iR)}

) (

| _{2 0 1 1}

0

På liknande sätt (matematisk induktion) visar vi att M b M b Mh dx

x y x F y

x y

x

x

n

n^{( )} ^|^|



^{( ,  ( )) |}  

|

0

1

0 .

Därmed ligger (x,y_n(x))i R, om x[x₀h,x₀ h]. b) Vi ska nu visa att gränsvärdet Y(x) limy_n(x)

n

 existerar för x(x₀h,x₀h) och att )

( x

Y är en lösning till begynnelsevärdesproblemet (IVP1).

Vi bildar serien



  









( ₁( ) ₀) ( ₂( ) ₁( )) ( ( ) _1( ))

0 y x y y x y x y x y x

y _{n n} (**)

och uppskattar termer:

|

|

| ) (

|y₁ x  y₀ M xx₀ (e1) har vi redan visat.

|

| ) , ( )) ( , (

|

|

| ) , ( )) ( , (

|

| ) ( ) (

|

0 0

0 1

0 1

1

2 ^{ }



^{ }



^{x }

x x

x

dx y x F x y x F dx

y x F x y x F x

y x y

2

|

| |

|

|

| e1) (enligt

|

| ) (

|

|

2 0 0

0 1

0 0

x ML x dx x x M L dx

y x y L

x

x x

x

 











 

^(e2)

Vidare

|

| )) ( , ( )) ( , (

|

|

| )) ( , ( )) ( , (

|

| ) ( ) (

|

0 0

1 2

1 2

2

3 ^{ }



^{ }



^{x }

x x

x

dx x y x F x y x F dx

x y x F x y x F x

y x y

3 2

|

| | 2

|

| | e2) (enligt

|

| ) ( ) (

|

|

3 2 0

2 0 1

2

0

0 

 

 





^L



^{y x y x dx L}



^{xML x x dx ML x x}

x x

x

(e3)

Sida 4 av 5 På liknande sätt ( matematisk induktion) får vi

!

!

|

| | ) ( )

(

|

1 1 0

1 n

h ML n

x ML x

x y x y

n n n

n n

n

 

   

 .

Serien



 

 





 ^

! 3

2 2

1 3

2 2

0 n

h ML ML h

Mh MLh y

n n

konvergerar enligt kvotkriterium.

Enligt jämförelsekriterium ( eftersom

| ! ) ( )

(

|

1

1 n

h x ML

y x y

n n n

n



 

 ) konvergerar uniform

serien



  









( ₁( ) ₀) ( ₂( ) ₁( )) ( ( ) _1( ))

0 y x y y x y x y x y x

y _{n n} .

till en kontinuerlig funktion. Beteckna seriens summa med Y(x). Eftersom för seriens delsummor gäller

)) ( )

( ( ))

( ) ( ( ) ) (

( _{1 0 2 1 1}

0 y x y y x y x y x y x

y     _ _n  _n =y_n( x) har vi Y(x) limy_n(x)

n

 . (***)

Eftersom grafen till y_n( x) ligger i R, dvs y_n( x) uppfyller |y_n(x) y₀|b om ]

, [x₀ h x₀ h

x   , då gäller samma för Y(x) limy_n(x)

n

 .

Om vi låter n i uttrycket ^{ }



^{x }

x

n

n x y F x y x dx

y

0

)) ( , ( )

( _{0 1}

får vi







x

x

dx x Y x F y x Y

0

)) ( , ( )

( ₀

dvs Y(x) är en lösning till (ekv 1) och därmed till (IVP1) på intervallet [x₀h,x₀h]. c) Kvarstå att bevisa att Y(x)är den enda lösningen till (ekv1).

Låt Z(x) vara en annan lösning till ( IVP1) och därmed till ( ekv1) och att lösningen ligger i R för x[x₀h₁,x₀h₁] där 0h₁h. Alltså gäller

Sida 5 av 5







x

x

dx x Z x F y x Z

0

)) ( , ( )

( ₀ .

Vi uppskattar |Z(x) y_n(x)|med samma metod som i b-delen.

Vi har

|

|

| )) ( , (

|

| ) (

| _{0 0}

0

x x M dx x Z x F y

x Z

x

x











(e1) har vi redan visat.

|

| ) , ( )) ( , (

|

|

| ) ( ) (

|

0

0

1 ^



^



x

x

dx y x F x Z x F x

y x Z

2

|

| |

|

|

| e1) (enligt

|

| ) (

|

|

2 0 0

0

0 0

x ML x dx x x M L dx

y x Z L

x

x x

x

 











 

^(e2)

På liknande sätt ( matematisk induktion) får vi

)!

1 ( )!

1 (

|

| | ) ( ) (

|

1 1

0

 



 

 ^{ }

n h ML n

x ML x x

y x Z

n n n

n

n som går mot 0 om n .

Med andra ord är Z(x) limy_n(x)

n

 och eftersom Y(x) limy_n(x)

n

 drar vi slutsats att

) ( ) (x Z x

Y  på intervallet x[x₀h₁,x₀ h₁].

Med andra ord har begynnelsevärdesproblem exakt en lösning.

Därmed är satsen bevisad.