RIKTNINGSFÄLT. AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER GEOMETRISK TOLKNING AV DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Riktningsfält

Sida 1 av 3

RIKTNINGSFÄLT. AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER

GEOMETRISK TOLKNING AV DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Vi betraktar en DE av första ordningen som är skriven på normal form )

, (x y F

y (ekv1).

Låt y f(x)vara en lösning till (ekv 1). Ekvationen ger riktningskoefficient k_T  yF( ba, )

till tangenten till lösningskurvan i punkten (a,b). Därmed kan vi konstruera tangenten genom en given punkt utan att lösa ekvationen.

Definition. Kurvor i xy-planet där riktningskoefficient y är konstant dvs F(x,y)k kallas isokliner till (ekv1).

Exempel1. Rita ett tangentstycke för lösningskurvan till DE y xysom går genom punkten (–2,–1).

Lösning: Tangenten går genom punkten (–2,–1) och har riktningskoefficient 3

1 2 ) 1 , 2

(    





 y F

k_T .

Genom att rita många korta tangentstycken i xy-planet får vi s.k. ekvationens riktningsfält.

I vanliga fall använder man ett matematisk data-program (t ex Maple, Matlab eller Mathematica) för att rita ett riktningsfält. Man kan också själv, i enkla fall, grovt skissera (papper och penna) ekvationens riktningsfält. En metod är att betrakta kurvor i xy-planet där riktningskoefficient y är konstant dvs F(x,y)k (s.k. isokliner) . Man väljer t ex

0 ) , (x y 

F , 1F(x,y) , 1F(x,y) , 2F(x,y) , 2F(x,y) o.s.v.

Därefter ritar man längs varje kurva F(x,y)k korta tangentstycken med lutningen k.

Uppgift 1. a) Rita ett riktningsfält till yx y.

b1. Skissera lösningskurvan som går genom punkten (2,0).

(2)

Armin Ha

b2. Skis c) Statio d) En is egenska e) Visa

Lösning

a) Vi rit i0: k_T Därför r i1: k_T  tangents På likna



 y x Här är e

b) Vi rit På samm Se neda

alilovic: EXTRA

ssera lösnin onära punkt soklin är en ap karakteri att x y

g:

tar några iso 0



 y

ritar vi på li 1



 y x

stycken me ande sätt rita

1

 , (lutni ett riktnings

tar en lösnin ma sätt ritar anstående gr

A ÖVNINGAR

gskurvan so ter till lösnin sned asymp sera denna

1 är en lö

okliner dvs

0

 y

x .

injen x y

1

 y

x ell

ed lutningen ar vi linjesty ing -1), x sfält för DE

ngskurva ge r vi lösnings raf med de s

om går geno ngskurvor l ptot är till al

isoklin.

sning till D

linjer där y I punkter s

0 korta ta er  y n k_T 1.

ycken på lin

2



y , (lu y x y 

enom punkt skurvan gen sökta lösnin

Sida 2 av 3 om punkten ligger på en lla lösnings

DE.

k y (kon

som ligger p angentstyck

1

x . På lin

njerna x utning -2) o

ten (0,2) gen nom (0,–2).

ngskurvorna

3

n (–2,0).

isoklin. Be skurvor. Bes

stant). Vi v på linjen x ken med lut njen x y

2

y , (lutn o.s.v.

nom att följ

a.

estäm denna stäm denna

äljer k=0, 1

0

 y

x är

tningen k_T 

1 ritar vi

ning 2),

a riktningsf

Rik

a isoklin.

isoklin. Vil

, –1,2, –2 o

0

 y .

 0 korta

fältet.

ktningsfält

lken

o.s.v.

(3)

Armin Ha

c) En pu



 y x d) Från lösnings Vilka eg x y lutnings e) y VL=y Alltså V

alilovic: EXTRA

unkt är stati 0eller y riktningsfäl skurvor, då genskaper s

k har lutn skoefficient

1 



x y

1

 , H VL=HL, (V

A ÖVNINGAR

ioner om y

x

ltet ser vi at x går mot  skiljer x y

ningskoeffic ter –1 är lika

1

 . Detta HL=x x(

VSV)

0 

 x

tt x y



 .

1



y från cienter – 1.

a med k dvs a substituera

1 ) 1 



x .

Sida 3 av 3

0

y . All

1 (eller y

andra isokli Speciellt m s med deriv

as i DE y

3

ltså ligger s

1



 x ) är

iner? Alla i med x y

atan y' x y x

 . Vi

stationera pu

en sned asy

isokliner x

1 är att de

1



 y . har

Rik

unkter på is

ymptot för a

k y

 (ell

ess

ktningsfält

oklinen

alla

ler