Instruktioner för laboration 2, Elektromagnetism och elektriska nät 1TE025 Elektriska system 1TE014

Instruktioner för laboration 2,

Elektromagnetism och elektriska nät 1TE025 Elektriska system 1TE014

Mattias Wallin Datum:

15 februari 2010 16 februari 2010

1 Inledning

I denna laboration ingår förberedande räkneuppgifter. Innan laborationstill- fället skall hela instruktionen ha lästs och de förberedande uppgifterna ha lösts. Dessa uppgifter kommer att förhöras innan laborationsarbetet påbör- jas. I laborationsmaterialet ingår också en del förberedande läsning vilken beskrivs nedan.

Syftet med laborationen är att visa hur resonans kan uppstå i elektriska kretsar och hur enkla elektriska filter påverkar en signal.

Efter laborationen skall en kortfattad laborationsrapport skrivas och lämnas in senast 14 dagar efter laborationsdatumet.

Laborationsledaren kan nås för frågor angående både förberedande uppgifter och rapportskrivande på Mattias.Wallin@angstrom.uu.se eller 070/516 39 26 alternativt genom besök i rum 5104B.

I denna laboration behandlas följande områden

• Växelspänning och jω-metoden.

• Kretsar med motstånd, kondensatorer och induktanser i olika kombi- nationer.

• Resonans i kretsar och långa ledare.

Resten av instruktionen består av följande kapitel:

• Säkerhet

• Förberedande läsning

• Grundläggande samband

• Förberedande uppgifter

• Mätningar på kretsar

• Demonstration av resonans i en lång ledare

• Laborationsrapport

2 Säkerhet

Säkerhet behandlades i instruktionerna till laboration ett. Meddela läraren om det uppstår det några frågor eller om det påträffas några brister i utrust- ningen.

3 Förberedande läsning

Kursboken: University physics

Titta på graf 31.11 över impedanserna för R, L och C på sidan 1069 och jämför med tabell 31.1 på samma sida.

Läs styckena 31.3-5 inklusive problemlösningsstrategi och exempel.

Instruktionerna A wave lab in a coaxial cable

Ladda ner instruktionen med ovanstående namn från hemsidan och läs den.

Hemsidor

Läs texten på hemsidan:

http://openbookproject.net//electricCircuits/AC/AC_14.html och notera bland annat vad som står om karakteristisk impedans.

Gå in på sidorna

www.st-andrews.ac.uk/~www_pa/Scots_Guide/experiment/highpass/hpf.html och

www.st-andrews.ac.uk/~www_pa/Scots_Guide/experiment/lowpass/lpf.html och ändra komponent- och frekvensvärden. Notera hur amplituden på utsig-

nalen och fasförskjutningen förändras som svar på parameterförändringarna.

Titta extra noga på hur amplituden ändras i närheten av f₀.

4 Grundläggande samband

Fasförskjutning och impedans

När växelspänning appliceras på en krets som är kapacitiv eller induktiv leder induktansers och kapacitansers egenskaper till att strömmen över kret- sen inte ligger i fas med spänningen, vilket den gör i en enbart resistiv krets.

Med kapacitiv och induktiv avses summan av induktansers och kapacitan- sers reaktans. Dominerar kapacitanserna så är kretsen kapacitiv och omvänt.

Normalt är kraftnätet med dess laster induktivt.

Ett samlingsord för dessa egenskaper är impedans. Den består av resistan- sen från resistorer och reaktansen, X, från induktanser och kapacitanser.

Reaktans är frekvensberoende.

För att kunna visa att ström och spänning inte ligger i fas i en krets beskrivs strömmar och spänningar ofta med vektorer bestående av en imaginär och en real del. På samma sätt kan resistans och reaktans beskrivas med vektorer.

Resistans och reaktans går att räkna samman till en impedans för kretsen i fråga. Symbolen för impedans är Z. Notera att det inom ellära är vanligt att skriva imaginärdelen för ett tal med j för att inte förväxla den med i som representerar ström. Uttrycket för impedans blir då

Z = R + jX (1)

Läs gärna om det fjärde stycket i instruktionerna för den första laborationen för att få en repetition av relevanta symboler och enheter.

Impedans är en vektor och skrivs i olika sammanhang med fetstil, Z, eller ett streck ovanför, ¯Z, för att indikera detta. Det händer också ofta att det skrivs med vanlig kursiv stil, Z, trots att det är en vektor. R och X är skalärer.

Reaktansen för induktanser och kapacitanser är som sagts frekvensberoende.

För en induktans blir impedansen

Z_L= jX_L= jωL ⇔ X = ωL. (2)

där

ω = 2πf. (3)

ω är vinkelhastigheten, mätt i radianer per sekund, och f är frekvensen hos växelspänningen, mätt i svängningar per sekund, Hz.

Ökar eller minskar en spoles reaktans med frekvensen?

Svar: . . . ..

För en kondensator är sambandet Z_C = jX_C = − 1

jωC = − j

ωC ⇔ X = − 1

ωC (4)

Ökar eller minskar en kondensators reaktans med frekvensen?

Svar: . . . ..

För en resistor är impedansen detsamma som resistansen

Z_R= R. (5)

På komplex form

Z = R + jXL− jX^C = R + j(XL− X^C) (6) där Z har en real och en komplex del. Impedansen kan även skrivas på polär form

Z =p

R²+ (X_L− XC)²

| {z }

|Z|

∠ θ (7)

där |Z| är absolutvärdet, längden på vektorn uträknad med Pytagoras sats.

θ = tan⁻¹(Im{Z}/Re{Z}) är vinkeln mellan vektorn och den positiva realaxeln.

Se figur 1.

Re Im

R, Re{Z}

jXC

jX_L

Z Im{Z}

θ

Figur 1: Impedansen, Z, hos en komponent som är resistiv, kapacitiv och induktiv.

Ekvationer som

U = RI (8)

får nu R utbytt mot Z. Det blir också viktigt att hålla reda på riktningen hos de olika storheterna så alla storheter blir vektorer, som kan skrivas på antingen komplex eller polär form.

U = ZI (9)

eller

U ∠α^◦ = Z ∠θ^◦· I ∠ϕ^◦ (10)

Aktiv och reaktiv effekt

Den skenbara effekten, S, som rör sig i ett transmissonsnät består av aktiv, P , och reaktiv, Q, effekt enligt

S = P + jQ (11)

där

P = |I|²R och Q = |I|²X. (12)

Enligt ovan är reaktansen

X = X_L− XC (13)

så för att maximera den aktiva effekt som kan transporteras genom en led- ning skall impedanserna för nätets induktiva och kapacitiva komponenter, inklusive lasterna, om möjligt fås att ta ut varandra.

Decibel

Decibel, dB, används för att visa förstärkningen av en signal. Enheten var från början bel, uppkallad efter Alexander Graham Bell¹, men enheten var så stor att det visade sig vara lättare att använda om tiondels bel, decibel.

Är det amplituders förstärkning som mäts så jämförs ofta kvadraten på den förstärkta signalen. Detta beror på effekten ofta är beroende av kvadraten på amplituden av något storhet och arbetssättet då blir mer jämförbart med förstärkning av ljudintensitet som är en effekt.

Förstärkningsfaktorn vid amplitudförstärkning blir då

LdB = 10 log₁₀ U₁² U₀²



= 10 log₁₀ U1

U₀

2

= 20 log₁₀ U1

U₀



(14) vilket ger att

U1 = U0· 10^(LdB/20) (15)

1Bell föddes i Skottland 1847 och är telefonens uppfinnare.

Således kan två utsignaler som har förstärkts till exempel 50 decibel ha väl- digt olika amplitud om deras respektive insignaler skiljde sig åt.

Notera att en försvagning av en signal svarar mot en negativ förstärknings- faktor.

En annan vanlig användning av ordet decibel är för att beskriva ljudintensitet och då är det inte kvadraten på amplituden som avses. Därmed blir ekvation (14)

L_I = 10 log₁₀ I1

I₀.



(16) I0 är en konstant, 10⁻¹²W/m², och därför innebär, till skillnad från vid förstärkning av en elektrisk signal, 50 decibel alltid samma ljudintensitet.

Notera att decibel är en logaritmisk skala, med basen 10, så att en fördubb- ling av en signal innebär en ökning med ungefär 3 decibel för ljud och 6 decibel om det är två amplituder som jämförs. Prova med att stoppa in U₁ = 2 och U₀ = 1 i ekvation (14).

För ljud innebär en ökning av decibeltalet med tio en tiofaldig ökning av ljudintensiteten.

5 Förberedande uppgifter

Komponenterna i figurerna nedan har följande värden:

Symbol Värde

U₁ 2 V, 50 Hz−50 kHz U₂ 5 V, 50 Hz−50 kHz

R1 100 Ω

R₂ 2, 4 kΩ C₁ 0, 022 µF C2 0, 1 µF

L₁ 2 mH

Tabell 1: Komponentvärden, spänningar och frekvenser till förberedande uppgifter och laboration. Spänningen indikerar amplituden och inte topp- till-toppvärden.

RCL-kretsen

En seriell RCL-krets är ett enkelt specialfall av en krets med en resistans, en induktans och en kapacitans.

Under de förberedande uppgifterna skall frekvensen 15 kHz antas.

Räkna med hjälp av informationen i kapitel 4 ut vinkeln mellan spänningen och strömmen i kretsen i figur 2 samt vinklarna mellan spänningarna över de olika komponenterna. Behövs mera teori så använd kursböckerna, andra böcker och internet. Notera vilka vinklar som är negativa och vilka som är positiva i förhålland till referensrikningen. Använd U1 som referensriktning och rita ut den och de andra spänningarna som vektorer i ett koordinatsystem med realdelen på x-axel och imaginärdelen på y-axel.

Svar: Vinkeln mellan U₁ och I är . . . grader.

Svar: Vinkeln mellan U1 och U_R5 är . . . grader.

Svar: Vinkeln mellan U₁ och U_C1 är . . . grader.

Svar: Vinkeln mellan U₁ och U_L1 är . . . grader.

På samma sätt som en pendel eller något annat mekaniskt system kan en elektrisk krets hamna i självsvängning, resonans, om frekvensen och kom- ponentvärdena är de rätta. För en seriekopplad RCL-krets blir uträkningen lätt och självsvängningsvinkelhastigheten fås ur

ωRES= 1

√LC. (17)

Huruvida kretsen kommer att börja oscillera vid denna frekvens eller inte beror på dämpningen, vilken utgörs av resistorn, och amplituden på den matande spänningen.

Vad blir resonansfrekvensen för kretsen i figur 2?

Svar: . . . Hz.

Vid låga frekvenser fungerar spolen som en ledare och spänningsfallet över denna blir mycket lågt. Kondensatorn å andra sidan fungerar som ett avbrott i ledningen och denna hinner laddas upp och ur helt och hållet vid låga frekvenser varför spänningsfallet blir stort över denna. Vid höga frekvenser gör induktansen i spolen att spänningsfallet över spolen blir stort medan kondensatorn inte hinner laddas och laddas ur så mycket att spänningsfallet över denna blir litet.

Filter

Titta på figurerna 6 och 7.

För ett lågpassfilter är sambandet

U¯_{U T} = ¯U₂ 1

1 + jRωC (18)

och för ett högpassfilter är sambandet

U¯_{U T} = ¯U₂ jRωC

1 + jRωC (19)

Strecken över ¯U_iindikerar att de är vektorer och det är viktigt att ha i åtanke att ett filter, vid sidan om filtrering, ger en viss fasförskjutning av signalen och att denna är beroende av frekvensen.

Avsikten med dessa filter är att filtrera bort höga eller låga frekvenser i en signal. Det kan till exempel vara oönskade störningar som skall tas bort.

Brytpunktsvinkelhastigheten för den enklaste formen av RC filter räknas ut enligt

ω0= 1 τ = 1

RC (20)

Vid denna frekvens är signalens förstärkning -3 dB.

Vad blir brytpunktsfrekvensen för filtren i figurerna 6 och 7?

Svar: . . . Hz.

Mycket mer avancerade filter med flera kondensatorer och även spolar före- kommer.

6 Mätning på kretsar

Vid avläsningarna i denna laboration bör kurvornas x-position justeras så att insignalens topp går genom axeln x = 0.

Amplituden på signalen från funktionsgeneratorn kan ändras då komponen- ter byts ut eller frekvensen ändras. Detta beror på att funktionsgeneratorn inte är någon ideal spänningskälla utan reagerar på den krets den är kopplad till. Vid alla mätningar gäller att amplituden på utsignalen om så erfordras skall justeras till det korrekta värdet mellan avläsningarna.

Krets 1, RCL-kretsen

Då oscilloskopens båda kanaler har samma jord måste komponenterna flyt- tas om mellan mätningarna i denna uppgift men resultaten blir de samma oavsett ordning på komponenterna så länge motståndet inte sätts mellan spolen och kondensatorn.

Koppla kretsen i figur 2 med komponenternas värden enligt tabell 1. Re- sistorn skall kopplas mot jordkontakten på kopplingslådan.

Ställ sedan funktionsgeneratorn enligt följande Signal: AC sinus

Freq: 15 kHz Amp: 2 V

och mata kretsen med denna signal.

Börja med att mäta insignalens spänning och spänningen över resistorn och rita in dessa i figur 3. Glöm inte att rita in de valda skalorna på amplitud och tidssteg i grafen. Kurvan för signalen, U₁, skall ritas så att dess går topp genom x = 0 och U_R1 skall ritas med rätt fasförskjutning.

− U₁

+

R₁ +U_R

1−

i C₁

+U_C−₁

L₁ +U_L1−

Figur 2: Ett motstånd, en kondensator och en induktans kopplade i serie med ett växelspänningskälla kan användas för att visa hur spänning över och ström genom dessa komponenter uppförs sig jämfört med för en resistor.

Flytta därefter om komponenterna och sätt kondensatorn närmast jordkon- takten. Mät U1 och UC1 och rita in UC1 korrekt i grafen. Flytta sedan komponenterna igen så att induktansen är närmast jordsidan och rita in U₁ och U_L1 i grafen.

Hur mycket före spänningen ligger strömmen i kretsen som helhet? Hur kan detta mätas?

Justera signalgeneratorn och se hur spänningen över induktansen och kapaci- tansen uppför sig mellan 20 och 30 kHz. Vid vilken frekvens blir spänningen över spolen och kondensatorn som högst? Glöm inte att flytta om kompo- nenterna mellan mätningarna. Använd figur 4 och rita in U₁, U_C1 och U_L1

vid denna frekvens.

Vilken av kondensatorn och spolen påverkas mest vid en höjning respektive sänkning av frekvensen? Berätta vad detta beror på.

Krets 2, lågpassfilter

Koppla in signalen från generatorn mellan jord och ¯U₂ och koppla oscil- loskopet mellan jord och ¯U_{U T}. ¯U₂ skall ha amplituden 5 V och sinusform.

Frekvensen skall justeras från 50 Hz till 50 kHz. Vad händer med amplituden på ¯U_{U T}?

Välj ett antal frekvenser och rita in amplituden på utsignalen i figur 8. Var extra noga runt brytpunktsfrekvensen som räknades ut i de förberedande uppgifterna.

Figur 3: Underlag för mätningar på RCL-kretsen i 15 kHz.

Figur 4: Underlag för mätningar på RCL-kretsen i resonansfrekvens.

Figur 5: Extra underlag för mätningar på RCL-kretsen. Glöm inte att skriva ner vilka inställningar användes.

U¯₂

R₂

U¯UT

C₂

Figur 6: Ett motstånd och en kondensator kan också användas som ett enkelt lågpassfilter för att filtrera bort högfrekventa signaler.

Krets 3, högpassfilter

Koppla in signalen från generatorn mellan jord och ¯U₂ och koppla oscil- loskopet mellan jord och ¯U_{U T}. ¯U₂ skall ha amplituden 5 V och sinusform.

Frekvensen skall justeras från 50 Hz till 50 kHz. Vad händer med amplituden på ¯U_{U T}?

Välj ett antal frekvenser och rita in amplituden på utsignalen i figur 9. Var extra noga runt brytpunktsfrekvensen som räknades ut i de inledande upp- gifterna.

U¯2

C2

U¯UT

R2

Figur 7: Får motståndet och kondensatorn byta plats så filtreras lågfrekven- ta signaler bort. Beroende på vilka frekvenser som skall filtreras respektive behållas kan komponentvärdena behöva ändras för att få rätt egenskaper hos högpassfiltret.

7 Demonstration av resonans i ledare

I en kraftledning påverkar bland annat avståndet mellan ledarna och mellan ledarna och marken den karakteristiska impedansen. För en koaxialkabel

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ f ,[Hz]

Förstärkning, L_dB [dB]

1

0

-1

-2

-3

-4

-5 -6

Figur 8: Underlag för mätning på lågpassfiltret.

har karakteristisk impedans att göra med kvoten mellan ytterradien på den inre ledaren och innerradien på den yttre ledaren samt permittiviteten för isolationsmaterialet dem emellan. Last i änden på ledaren påverkar också kretsens impedans.

Impedansen påverkar högfrekventa signaler och med högfrekvent avses fre- kvenser där våglängden är av samma storleksordning som ledningens längd.

Detta gör att vad som måste ses högfrekvent sjunker då längden på ledningen ökar.

Kopplas ett motstånd med samma resistans som kabelns karakteristiska im- pedans mellan ledarna i den fria kabeländen sker ingen reflektion i den änden.

Detta beror på att motståndet får kabeln att uppföra sig som om den vore oändligt lång och då finns det ingen ände att reflektera mot. Ett ändligt stort motstånd, vilket är det samma som en öppen krets gör att en reflektion sker med samma fas och en kortslutning gör att reflektion sker med omvänd fas.

Kabeln i demonstrationen har våghastigheten 0, 66c, där c är ljusets hastig- het.

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ f ,[Hz]

Förstärkning, L_dB [dB]

1

0

-1

-2

-3

-4

-5 -6

Figur 9: Underlag för mätning på högpassfiltret.

Tiden det tog för en puls att reflekteras och vända var: . . . s.

Frekvensen som användes i demonstrationen var: . . . Hz.

Hur lång är kabeln?

Rita av hur signalerna ser ut vid de olika kopplingarna i rutorna nedan.

Öppen kabel Kortsluten kabel Med inkopplat 50 Ω-motstånd

8 Laborationsrapport

Denna rapport får vara kortfattad och det viktiga är att visa att laborationen har förståtts. En lista med siffror och svar duger dock inte.

Rapporten skall vara maskinskriven men får innehålla prydliga handritade figurer.

Gå under rapportskrivandet tillbaka till de dokument och hemsidor som nämndes i stycket Förberedande läsning om det underlättar rapportskrivan- det.

Alla frågor i instruktionerna skall besvaras och alla ritade figurer skall vara med i rapporten.

Problemlösningsguiden kan användas som en minneslista över vad som krävs för att göra en problembeskrivning och lösning tydlig.

Extra kopior av figurerna kan skrivas ut och användas i rapporten.

Skriv på rapporten vilken dag laborationen ägde rum.