M U N D E R V I S N I N G I R Ä K N I N G
av
Torsten Dahlgren
Lärare \ i d Växjö folkskolor
S T O C K H O L M
P. A. Norstedt & Söners
Förlag
S T O C K H O L M 1924
EÖNÖIi B O K T R Y C K E R I K T . P . A . N O R S T E D T & SÖNER 2 3 3 7 4 6
F Ö R O R D .
E f t e r f ö l j a n d e framställning v i l l i c k e göra anspråk p å a t t ge den e n d a r i k t i g a m e t o d e n f ö r u n d e r v i s n i n g i räkning. D e n v i l l e n d a s t ge e n p s y k o l o g i s k - p c d a g o g i s k o r i e n t e r i n g i d e n - s a m m a , b e l y s a r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n s m å l o c h h u r o l i k a m e d e l v e r k a f ö r e r n å e n d e av d e t t a m å l .
S t o m m e n a v framställningen är h ä m t a d u r D:r J . Kilhnel, Neubau des liechenunterrichis, 1 9 2 2 , ( V e r l a g J . K l i n k h a r d t , L e i p z i g ) , 2 b d , 6 0 0 s i d o r . F ö r e l i g g a n d e a r b e t e u t g ö r e n f r i b e - a r b e t n i n g av o v a n s t å e n d e o r i g i n a l . J a g s k u l l e i c k e v i d t a g i t åtgärder att. p u b l i c e r a d e n n a framställning, o m j a g i c k e u n d e r flerårigt a r b e t e m e d r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n o c h dess s p r o b l e m » i f o l k s k o l a n k o m m i t t i l l s l u t s a t s e r , s o m l i k n a D : r K u h n e l s . O r i - g i n a l e t s v i d l y f t i g a framställning h a r m å s t k o n c e n t r e r a s i h ö g f i r a d . D e t är därför svårt a t t a n g i v a v i l k a p a r t i e r s o m äro h ä m t a d e därifrån.
V ä x j ö i n o v e m b e r 1 9 2 3 .
Torsten Dahlgren.
I N JST E E Å L L.
Sid.
I n l e d n i n g 1 K r i t i k av det vanliga lärosättet 4
Talbegreppet 1
Talsystemet • Siffrorna '
Relationerna mellan talen 1!
Operationsbegreppeu 1 Räkneoperationernas tillämpning 2t
E t t n y t t mål 2;
Lärosätt: A b s t r a k t i o n 27 Talserien 29 Dekadsystcmet 3
Bråktalet 3b Operationerna 39 Den matematiska formen 49
Den mekaniska, färdigheten ö l
B r u k e t av siffror 5<r
Bråkräkning 57 Ordningsföljden mellan undervisningsmomenten 6?
Räkning efter mönster 6f Övning ock tillämpning 70 U p p s k a t t n i n g och prövning 71 Tillämpningsuppgifter och deras behandling 72
Självständig p r o b l e m b i l d n i n g 74 Sammanfattning • « '
O m u n d e r v i s n i n g " i r ä k n i n g . I n l e d n i n g .
D e t k l a g a s i c k e sällan från s k i l d a h å l l ö v e r f o l k s k o l e - b a r n e n s b r i s t a n d e k u n s k a p e r och d ä r v i d i c k e m i n s t över deras m i n i m a l a f ö r m å g a a t t r e d a s i g m e d de s m å räkne- p r o b l e m , s o m de m ö t a u t e i l i v e t . I f o l k s k o l a n s l ä r o - b ö c k e r i r ä k n i n g äro j u s a m l a d e t u s e n t a l a v e x e m p e l från s n a r t s a g t a l l a l i v e t s o m r å d e n . F ö r b e r e d d är m a n alltså för a l l a e v e n t u a l i t e t e r , m e n —
minnet
s v i k e r : d å d e t g ä l l e r , k a n m a n ej e r i n r a s i g , h u r e t t p r o b l e m a v d e t s l a g e t s k u l l e r ä k n a s u t . M a n h a r g l ö m t »räknesättet», r e g e l n , f o r m e l n . M å n g e n p e d a g o g a n s e r s o m e n d a b o t e - m e d e l , a t t l ä r o t i d e n u t s t r ä c k e s , på d e t a t t r e g l e r n a m å g n u g g a s i n b ä t t r e . M e n s k u l l e m a n ej k u n n a t ä n k a s i g e t t f ö r s ö k a t tmed en annan metod åstadkomma bättre resultat på samma tid?
I n n a n m a n g e r s v a r p å d e n frå- g a n , m å s t e m a n t y d l i g e n g ö r a k l a r t för s i g , h u r u v i d a d e n m e t o d m a n a n v ä n d e r är r i k t i g . V a d s k a l l då v a r a a v g ö r a n d e för m e t o d e n s v ä r d e ? M å n g e n l ä r a r e k a n n o g u p p v i s a flera e x e m p e l p å g o t t r e s u l t a t , å s t a d k o m m e t u n d e r t i l l ä m p n i n g a v d e n g a m l a m e t o d e n , och därför påstå, a t t m e t o d e n är r i k t i g . M e n a t t m e t o d e n m e dnödvändighet
måste h a v a dessa a n d l i g a r e s u l t a t , bevisas i c k e d ä r a v . R e s u l t a t e t h a r k a n s k e k o m m i t t i l l stånd
trots
d e t a n - v ä n d a l ä r o s ä t t e t . O m m e t o d e n v o r e r i k t i g , b o r d e v ä l flertalet a v b a r n e n i t . ex. r ä k n i n g u p p n å de r e s u l t a t m a n åsyftar.E n m e t o d s v ä r d e m å s t e först o c h f r ä m s t b e d ö m a s e f t e r de g r u n d e r , p å v i l k a d e n stöder s i g .
1—233746. Dahlgren. Om undervisning i räkning.
2
A l l a u n d e r v i s a r e måste ha n å g o n ( m e d v e t e n e l l e r o m e d - v e t e n ) å s i k t o m h u r k u n s k a p k o m m e r t i l l stånd och v i d sin u n d e r v i s n i n g t i l l ä m p a d e n n a åsikt. N u f i n n s - d e t m å n g a , s o m r y c k a p å a x l a r n a , d å de h ö r a o r d e t p s y k o - l o g i o c h m e n a s i g k u n n a u n d v a r a a l l t v a d d ä r t i l l hör.
M e n a n t a g , a t t en lärare v i d s i n u n d e r v i s n i n g i e t t m o - m e n t a v e t t »ämne» t ä n k e r e f t e r som s å : h u r s k a l l j a g k u n n a lära d e m det? H u r l ä r d e j a g m i g d e t s j ä l v ? V i l k a v ä g a r g i c k k u n s k a p s t i l l ä g n a n d e t hos m i g s j ä l v ? E l l e r f r å g a r h a n e t t b a r n för a t t k o m m a u n d e r l u n d m e d v i l k e n g r a d a v k u n s k a p b a r n e t h a r u p p n å t t g e n o m h a n s d i t t i l l s v a r a n d e u n d e r v i s n i n g ? V a d är då d e t t a ? J o , p s y k o l o g i ! F a s t ä n i n t r o s p e k t i v och ej d e n f ö r h a t l i g a e x p e r i m e n t e l l a ! — N u h a r j u d e n i n t r o s p e k t i v a p s }rk o l o - g i e n r e d a n f ö r l ä n g e sedan u p p s t ä l l t den satsen, a t t »un- d e r v i s n i n g e n s k a l l v a r a åskådlig». T i l l y t t e r m e r a visso h a r d e n n a t e o r i bekräftats a v d e n e x p e r i m e n t e l l a p s y k o - l o g i e n och, v a d m e r a är, a v p e d a g o g i s k p r a x i s . D e t f i n n s v ä l ej h e l l e r m å n g a lärare, s o m f ö r n e k a satsens g i l t i g h e t . D e o j ä m f ö r l i g t flesta t o r d e erkänna d e n . V a d ha dessa d å a t t g ö r a ? J a , a t t först säga, a t t u n d e r v i s - n i n g e n s k a l l v a r a åskådlig, och sedan t r o t s d e n n a m e n i n g
»gå på i de g a m l a ullstrumporna», d e t k a n j u ej l e d a t i l l n å g o t n y t t e l l e r bättre r e s u l t a t . B l a n d s k o l a n s ämnen t i l l ä m p a s å s k å d l i g h e t s p r i n c i p e n m i n s t i r ä k n i n g . F ö r a t t i c k e t a l a o m d e n ävenledes i r e g e l e r k ä n d a p r i n c i p e n om själ v v e r k s a m h e t ! V a d få b a r n e n l a b o r e r a m e d i själva f o l k s k o l a n ? Ä r det i c k e så, a t t k r i t t a v l a n , k r i t a n , p a p p e r och p e n n a i r e g e l är d e t e n d a a r b e t s m a t e r i a l e t ? V a d å s t a d k o m m e s d ä r i g e n o m ? S i f f r o r , s i f f r o r och åter s i f f r o r ! O m b a r n e t k a n föreställa s i g , v a d som l i g g e r b a k o m s i f f r o r n a och räknesätten, j a , d å u p p n å s j u r e s u l - t a t även h ä r v i d l a g ! M e n i de flesta f a l l b l i r d e t b a r a siffer-exercis u t a n innehåll.
v i s n i n g e n i r ä k n i n g b ö r v a r a »insikt och f ä r d i g h e t » . O m v i g r u n d l i g t t ä n k a oss i n i dessa t v å o r d s b e t y d e l s e , så måste v i erkänna, a t t f ä r d i g h e t i n t e g ä r n a b ö r eftersträ- v a s o c h ej h e l l e r k a n uppnås, förrän e n r ä t t i n s i k t v u n - n i t s . O c h a t t när denna i n s i k t v ä l är f ö r v ä r v a d , fär- d i g h e t e n endast k a n u p p n å s g e n o m ö v n i n g .
J a g t r o r , a t t det är j u s t p å d e n n a p u n k t , som d e t b r i s t e r i v å r u n d e r v i s n i n g . E n g r u n d l i g i n s i k t i e l l e r förståelse för a l l a de e l e m e n t , s o m i n g å i r ä k n i n g , är n ö d v ä n d i g , o m b a r n e t s k a l l k u n n a g ö r a n å g r a f r a m s t e g i l ö s n i n g a v ä v e n e n k l a p r o b l e m . E n b r i s t f ä l l i g u p p - f a t t n i n g i småskolan a v e x e m p e l v i s t a l e n s s t o r l e k i för- h å l l a n d e t i l l v a r a n d r a e l l e r t a l s y s t e m e t e l l e r a n d r a så- d a n a elementära f a k t o r e r k a n g ö r a d e t o m ö j l i g t för b a r - net a t t t i l l g o d o g ö r a s i g d e n senare u n d e r v i s n i n g e n . M a n bör därför t a g a s i g v ä l i a k t , så a t t m a n ej ä g n a r för l i t e n t i d åt de l ä g r e s t a d i e r n a s k u r s m o m e n t a v rädsla för a t t ej »hinna m e d kursen». F å b a r n e n a r b e t a i n de e l e m e n t ä r a s a k e r n a g r u n d l i g t , så m e d h i n n a s i stället de efterföljande k u r s e r n a så m y c k e t lättare.
D e t är s å l u n d a n ö d v ä n d i g t a t t v i d a l l u n d e r v i s n i n g och i s y n n e r h e t v i d r ä k n e u n d e r v i s n i n g se t i l l , a t t m a n ej l a b o r e r a r m e d t o m m a b e g r e p p .
O m n å g o n g ö r s i g m ö d a m e d a t t läsa efterföljande f r a m s t ä l l n i n g i dess h e l h e t , t o r d e h a n i c k e d r ö j a l ä n g e med a t t erkänna, a t t m a n m e d n u v a r a n d e lärosätt endast a n s a t s v i s p r a k t i s e r a r , v a d m a n i t e o r i e n erkänner u t a n förbehåll. ( D e t b ö r k a n s k e från början framhållas, a t t i det följande k o m m e r a t t l ä m n a s m o t i v e r i n g och r e d o - g ö r e l s e för en k o m b i n a t i o n m e l l a n den s. k . >räknemeto- den» och » å s k å d n i n g s m e t o d e n » . )
K r i t i k av det vanliga lärosättet.
E n p s y k o l o g i s k t s k o l a d i a k t t a g a r e måste e r k ä n n a : 1 . N u v a r a n d e r ä k n e u n d e r v i s n i n g u t g å r från
den vux- nes ståndpunkt,
j a , t . o. m . d e n b i l d a d e v u x n e s . D e n n e är i stånd a t t s a m m a n f a t t a g e m e n s a m m a förhållanden i en r e g e l , a t t u r o f t a å t e r k o m m a n d e företeelser h ä r l e d a en l a go. s. v . Denna abstraktionsförmåga överför man nu utan vi-
dare på barnet.
M e n m ä n n i s k a n l å t e r i c k e före en v i s s u p p n å d d m o g e n h e t t v i n g a s i g t i l l a b s t r a k t i o n e r . E n s t o r d e l b i l d a s v i s s e r l i g e n r e d a n u n d e r barnaåldern, m e n l å n g - s a m t och p å k o n k r e t a g r u n d e r , d. v- s. ä n n u i c k e lös- s i i t n a från r e p r e s e n t e r a n d e föreställningar. D å d o c k m o t s a t s e n i b l a n d synes v a r a f a l l e t , är d e t t a e n d a s t e f t e r - sägande, t . ex. m u l t i p l i k a t i o n s t a b e l l e n , b r å k r ä k n i n g o. d y l .2 . D e n v u x n a människan h a r b e h o v a t t m e k a n i s k t a v k o r t a o f t a förekommande företeelser i n o i n s i t t v e r k - s a m h e t s o m r å d e . R e s u l t a t e t synes e x e m p e l v i s i affärsli- vets räknings- och v ä x e l f o r m u l ä r , p o s t a l a f o r m u l ä r o. s. v . D e t t a
behov av schemat isering
ö v e r f ö r e s l i k a l e d e s u t a n g r u n d p å b a r n e t . M a n t r o r , a t t d e n r ä k n e u n d e r v i s n i n g , s o m v i l l u p p n å p r a k t i s k a m å l , måste u t r u s t a b a r n e t m e d s c h e m a f ö r så m å n g a som m ö j l i g t a v i l i v e t f ö r e k o m - m a n d e r ä k n e p r o b l e m . D ä r a v u p p k o m m e r den v ä l d i g a r i k e d o m p å stoff, u n d e r v i l k e n s k o l a n sedan l ä n g e d i g - n a t . F r å n s i d a n a v d e n n a o r i e n t e r i n g m e d avseende p å s t o f f e t för u n d e r v i s n i n g e n är en i c k e r i n g a b r i s t på p s y -k o l o g i s k i n s i k t . E n b l i c k p å de ö v r i g a ä m n e n a i v å r a s k o l o r ( o b s ! ej b l o t t f o l k s k o l o r ! ) g e r v i d h a n d e n , a t t v å r s k o l u n d e r v i s n i n g i h u v u d s a k b e h ä r s k a s a v d e n n a
ämnes-
princip:
de f l e s t a ämnen b e h a n d l a s i s k o l a n b l o t t och b a r t för a t t l ä r j u n g e n s k a l l »ha l ä s t dem». T bästa f a l l göres en v i n s t i f o r m e l l t avseende, m e n d e t är a t t önska,a t t d o n n a v i n s t b e t y d l i g t ökas och a t t d e s s u t o m en m a - t e r i e l l v i n s t g ö r e s m ö j l i g . D e t t a k a n u p p n å s g e n o m en f ö r ä n d r i n g a v s t å n d p u n k t . D e t g ä l l e r a t t i c k e b l o t t sörja för b e v a r a n d e a v k u l t u r v ä r d e n a u t a n även a t t egga t i l l h ö j a n d e a v k u l t u r e n . V i l j a v i f r a m å t s k r i d a n d e , så m å s t e v i l ä g g a o m s y n p u n k t e n :
i stället för ämnesprincipen måste den psykologiska principen bliva den härskande.
Ä m n e s p r i n c i p e n m å b l i v a d e n a n d r a i r a n g o r d n i n g e n . D e t t a i n n e b ä r i c k e r e v o l u t i o n p å u p p f o s t r a n s o m r å d e u t a n e n d a s t en
förändrad inre inställning,
v i l k e n f ö r ö v - r i g t p å y r k a t s a v p e d a g o g i k e n s s t o r m ä n i a l l a t i d e r .V a d som avses m e d d e n n a p s y k o l o g i s k a p r i n c i p för- stås bäst, o m m a n h ä r v i d l a g g ö r en j ä m f ö r e l s e m e d d e n r e d a n g e n o m f ö r d a f ö r ä n d r i n g e n i m e t o d v i d e x e m p e l v i s t e c k n i n g s u n d e r v i s n i n g e n . M a n låter b a r n e n r i t a a v t . e x . f l a g g o r , b l o m m o r e l l e r s n e t t ställda l å d o r , i c k e f ö r a t t de i f r a m t i d e n s k o l a
kunna
t e c k n a sådana föremål u t a n för a t t ö v a d e r a s ö g a och h a n d , för a t t s k ä r p a deras i a k t t a g e l s e f ö r m å g a , för a t t u p p f o s t r a sådana a n l a g , som f r a m d e l e s - s k o l a b l i t i l l f ö r m å g a a t t se och b e d ö m a t i n - gens r e n t y t t r e förhållanden. E r i n r a v i oss sedan, h u r v i i r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n a l l t j ä m t g ö r a t i l l mål a t t l ä r a b a r n e n , a t t»den
s o r t e n s u p p g i f t e r lösas p ådet
sättet>och »den s o r t e n s p å det sättet», så b l i r det t y d l i g t , a t t d e n p s y k o l o g i s k a p r i n c i p e n , som s l a g i t i g e n o m i t e c k - n i n g s u n d e r v i s n i n g e n (och f. ö. även i flera a n d r a ä m n e n ) , ä n n u är f ö r s u m m a d i f r å g a o m r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n .
P å g r u n d a v d e t r e d a n n ä m n d a k u n n a d e n n u v a r a n d e r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n s b r i s t e r p r e c i s e r a s s å l u n d a :
1. F ö r t i d i g a b s t r a k t i o n .
2. ö v e r d r i v a n d e a v d e n s p r å k l i g a ö v n i n g e n . 3. Överflöd p å m e k a n i s k t stoff.
4. F ö r s u m m a n d e a v den e g e n t l i g a m a t e m a t i s k a b i l d - n i n g e n o c h d e n p r a k t i s k a a n v ä n d n i n g e n .
T a l b e g r e p p e t .
R ä k n e u n d e r v i s n i n g e n s o b j e k t är först och främst
talen.
V a d är e t t t a l ? E n siffra? E t t o r d ? N e j , först b a k o m s i f f r a n och o r d e t l i g g e r d e t , som v i e g e n t l i g e n få b e t e c k n a
som e t t t a l . Talen äro begrepp, mätandets begrepp. D e t
är v ä l b e k a n t , a t t b a r n o f t a v i d i n t r ä d e t i s k o l a n v a r k e n h a en f ö r e s t ä l l n i n g o m t . ex. 4 t i n g e l l e r t a l b e g r e p p e t 4, fastän v ä l r e d a n 4-åringar l ä t t k u n n a läras a t t »räkna t i l l 20» o c h längre. M e d t a l o r d e t är a l d r i g t a l b e g r e p p e t g i v e t . T a l b e g r e p p e t v ä x e r f r a m p å s a m m a sätt som a n d r a b e g r e p p . Å s k å d n i n g a r a v
flera
företeelser, i a k t - t a g e l s e r av d e m , j ä m f ö r e l s e ( h ä r m e d avseende p å a n t a l ) , u t s ö n d r a n d e a v d e t oväsentliga, b i l d a n d e a v totalåskåd- n i n g a r o c h så — begrepp. D e t första t a l b e g r e p p , som e t t l i t e t b a r n u t v e c k l a r , är en o b e s t ä m d f ö r e s t ä l l n i n g o m e t t f l e r t a l a v t i n g . Senare k o m i n e r h ä r t i l l föreställ- n i n g e n o m »icke inånga». M e n för de b e s t ä m d a t a l b e - g r e p p e n h a r b a r n e t p å d e t t a s t a d i u m i n g e n förståelse.D e t k a n i c k e s k i l j a m e l l a n 4 o c h 5 l i k a d a n a t i n g , endast m å n g a från få, och d e t t a t . o. m . endast o m motsatsför- h å l l a n d e t är k ä n s l o b e t o n a t ( i n å n g a k a r a m e l l e r — få d:o;
m å n g a t e n n s o l d a t e r — få d:o; m e n ej m å n g a m ö b l e r — få m ö b l e r e l l e r m ä n g a träd — fä t r ä d ) . B e g r e p p s o r d e n
»många» och »få» äro b u n d n a v i d b a r n e n s egen intresse- sfär.
P å d e t t a s t a d i u m h a r i c k e ens enheten s o m t a l b e g r e p p k o m m i t t i l l m e d v e t a n d e .
P å d e t a n d r a s t a d i e t u t v e c k l a s de första
bestämda
t a l - b e g r e p p e n . H ä r s k u l l e b a r n e t t i l l ä g n a s i g en h e l s e r i e a v sådana, o m i c k e t v å h i n d e r f u n n e s : d e t ena är, a t t omfånget a v b a r n e t s u p p m ä r k s a m h e t är för l i t e t , d e t a n d r a , a t t de s y m b o l i s k a , r e p r e s e n t e r a n d e föreställnin-g a n d e . S j ä l v f a l l e t m å s t e d e t f ö r s t a h i n d r e t tagas, i n n a n det a n d r a k a n ö v e r v i n n a s . M e n n a t u r e n k a n m a n i c k e t r o t s a , och b a r n p s y k o l o g i e n h a r u p p v i s a t , a t t b a r n e t p å s t a d i e t s t r a x före skolåldern h a r s i t t u p p m ä r k s a m h e t s - o m f å n g b e g r ä n s a t t i l l 4. H ä r k u n n a a l l t s å t a l b e g r e p p e n 2, 3, 4 o c h 1 v i n n a s .
D e t t o r d e observeras, a t t m a n i c k e g ä r n a k a n u t g å från b e g r e p p e t 1. D e t t a senare lär b a r n e t s i g bättre, om d e t f r a m s t ä l l e s som
kontrast till två
e l l e r f l e r a .D e t följande s t a d i e t , då t a l b e g r e p p e n från och m e d 5 f ö r v ä r v a s , i n f a l l e r i början a v s k o l å l d e r n . B e g r ä n s n i n g u p p å t k a n i c k e göras. G r ä n s e n f ö r s t a d i e t k a n ej sättas v i d 10 e l l e r 12 e l l e r 20, D e t är m e d h ä n s y n t i l l t a l b e - g r e p p e t s p s y k o l o g i s k a s t r u k t u r f u l l s t ä n d i g t l i k g i l t i g t , om b a r n e t lär känna t a l b e g r e p p e t 11 e l l e r 19 e l l e r 24.
B a r n e t k ä n n e r t a l b e g r e p p e t 1. U p p m ä r k s a m h e t s o m f å n - gets ( 1 — 4 ) u t v i d g n i n g u n d e r s t ö d e s g e n o m a t t så små- n i n g o m e n o u p p h ö r l i g t u p p r e p a d och d ä r i g e n o m fullstän- d i g t m e k a n i s e r a d o r d r a m s a inläres; d e n n a h a r den u n d e r - b a r a egenskapen, a t t en
storlekskänsla
förbindes m e d v a r j e l e d i d e n . D e n n a känslas f ö r e s t ä l l n i n g s i n n e h å l ] , l y f t t i l l u p p m ä r k s a m h e t e n s b l i c k p u n k t , g e r m e d v e t a n d e t o m a t t i f r å g a v a r a n d e l e d ä rstörre än alla de föregående
och 1 större än d e n o m e d e l b a r t föregående. O m v i l ä r d e ett b a r n o r d r a r a s a n i d e n n a o r d n i n g n i o ( 1 ) , å t t a ( 2 ) , s j u (o) o. s. v . , så s k u l l e b a r n e t m e d de n u v a r a n d e t a l o r d e n förbinda a n d r a b e g r e p p än de n u v a r a n d e . A v d e t t a f r a m - går, a t t d e t v ä s e n t l i g a i h e l a d e n n a företeelse
icke är
ordserien i sig,
i c k e ens d e n f a s t a o r d n i n g e n i d e n n a , u t a n d e n i n e d v a r j e o r d i o r d s e r i e n f ö r b u n d n astorleks-
känslan,
som endast k a n u t b i l d a s i a s s o c i a t i o n m e d en g r a d v i s ( m e d 1) v ä x a n d e s t o r h e t s s e r i e , som måste a b s t r a - heras från t i n g e n själva. B a r n e t förstår v ä l »8 p l o m m o n » ,8
»8 öre», »8 ä g g » m e n i c k e e n b a r t 8. Så s m å n i n g o m u p p - k o m m e r en s v a g r u m s f ö r e s t ä l l n i n g , t . ex. a v en
tallinje,
som associerar s i g m e d s e r i e n a v l j u d . D e n n a rumsföre- s t ä l l n i n g är m e r e l l e r m i n d r e m e d v e t e n a l l t efter de e n s k i l d a p e r s o n e r n a s f ö r e s t ä l l n i n g s t y p .
Talsystemet.
E t t v ä s e n t l i g t f r a m s t e g , e t t n y t t s t a d i u m i u t v e c k l i n - gen a v t a l b e g r e p p e n är g i v e t därmed, a t t b a r n e t v i n n e r förståelse för t a l s y s t e m e t s d e c i m a l a b y g g n a d . P å d e t förra s t a d i e t hade b a r n e t f u l l t u p p a t t g ö r a m e d a t t b e h ä r s k a t a l e n s o m
talserie.
M e d a n b a r n e t d å u p p f a t t a d e t a l e n s o m en l å n g serie, d e t ena b r e d v i d d e t a n d r a , får t a l b c g r e p p e t n u en a n n a n s t r u k t u r . D e t t r ä d e r i r e l a - t i o n t i l l f l e r t a l e t av de ö v r i g a av s i t t släkte o c h i c k e b l o t t t i l l d e t föregående och d e t efterföljande ( s o m i d e n r e n a t a l s e r i e n ) .L å n g s a m t och o m ä r k l i g t b e t r ä d e r b a r n e t d e t t a s t a d i u m . M e d l e t är
rytmen.
D e t är i n g e n t i n g a n n a t än g e n o m f ö r d och f o r t s k r i d a n d e r y t m i s e r i n g , då t i o t a l e t sammansättes t i l l h u n d r a t a l , t u s e n t a l o. s. v . , v i l k a l y d a s a m m a l a g a r som de e l e m e n t ä r a t a l b e g r e p p e n 1—10.M ä n n i s k a n h a r e t t s t a r k t r y t m i s k t a n l a g . M e n d e t är e t t l å n g t s t e g från b a r n e t s s v a g a r y t m k ä n s l a t i l l e t t m u s i k k a p e l l s h ö g t u t v e c k l a d e . D e n k a n i c k e anses t i l l - r ä c k l i g t u t v e c k l a d i d e t s j u n d e l e v n a d s å r e t , för a t t bar- n e t då s k u l l e k u n n a införas i t a l s y s t e m e t . S o m l i g a m e n a , a t t r y t m i s e r i n g e n i n t r ä d e r a v s i g själv, e m e d a n t a l o r d - s e r i e n u p p r e p a s . M e n — s e r i e n är i c k e känslobetonad, och v i d a r e är s t e g e t i r y t m e n f ö r l å n g t . D e k a d s y s t e m e t k a n f ö l j a k t l i g e n e j f ö r v ä r v a s , förrän t a l s e r i e n t i l l ä g n a t s . ( T a l s e r i e n k a n k a r a k t e r i s e r a s som 1 - t a k t . ) V i d a r e måste r y t m k ä n s i a n h a k o m m i t t i l l e t t v i s s t u t v e c k l i n g s s t a d i u m .
v i l k e t s m å n i n g o m u p p n å s g e n o m ö v n i n g a v 2 - t a k t , 3- t a k t o. s. v .
S i f f r o r n a .
S i f f r a n är p s y k o l o g i s k t t a g e t i c k e n å g o t för t a l b e g r e p - p e t v ä s e n t l i g t . D e n ä r s y m b o l i s k i ä n n u h ö g r e g r a d än räkneordet. D e t t a senare är j u s y m b o l för b e g r e p p e t . S i f f r a n måste f a t t a s som s y m b o l för r ä k n e o r d e t . D e t f o r d r a s en v i s s t i d , i n n a n a s s o c i a t i o n e n m e l l a n sak, be- g r e p p s i n n e h å l l , o r d o c h s i f f r a b l i v i t så f a s t , a t t e t t a v dessa e l e m e n t u t a n v i d a r e r e p r o d u c e r a r de ö v r i g a . D å d e t t a mål o m s i d e r u p p n å t t s , h a r d e t första större steget t a g i t s p å v ä g e n t i l l f r a m s t ä l l n i n g i r u m m e t s f o r m a v de f ö r v ä r v a d e talbegrejopen. D e t a n d r a , m å h ä n d a ännu v i k t i g a r e , är a t t v i n n a förståelse för siffrans
positions- värde,
d . v . s. a t t s i f f r a n h a r o l i k a v ä r d e a l l t efter s i n p l a t s i d e t s k r i v n a t a l e t . D e t h a r förut p å p e k a t s , a t t k ä n n e d o m o m t a l o r d s e r i e n i c k e n ö d v ä n d i g t i n n e b ä r för- ståelse för d e k a d s y s t e m e t . P å s a m m a s ä t t m å s t e v i be- t r a k t a f ö r h å l l a n d e t m e l l a n s i f f r a o c h s i f f r a n s p o s i t i o n s - v ä r d e : s i f f r a n s o m en s y m b o l f ö r t a l o r d e t m o t s v a r a r e t t u t v e c k l i n g s s t a d i u m , k u n s k a p e n o m s i f f r a n s p o s i t i o n s v ä r d e e t t h ö g r e . M a n t o r d e k u n n a påstå, a t t d e t senare sta- d i e t inträffar 1 ä 2 år senare än d e t förra. — M ä n n i - skans b e h o v a t t i s k r i f t b e v a r a d e t f l y k t i g a , t a l a d e o r d e t framträdde t ä m l i g e n s e n t i m ä n s k l i g h e t e n s h i s t o r i a . D e t g i v e s o c k s å i d e n e n s k i l d a m ä n n i s k a n s u t v e c k l i n g en t i d , då h o n nöjer s i g m e d o r d — ä v e n d å d e t g ä l l e r r ä k n i n g— o c h a l l s i c k e h a r b e h o v a t t b e v a r a s i n a u t r ä k n i n g a r i s k r i f t .
N ä s t a s t e g i u t v e c k l i n g e n b l i r b e h a n d l i n g e n a v bråk- t a l e n och därefter d e t s p e c i e l l a s l a g a v b r å k t a l , s o m k a l l a s
decimalbråk.
S å följaallmänna tal, negativa, irratio-
Ii)
nella, imaginära
ochkomplexa tal.
D e n n a o r d n i n g måste följas, där m a n ö n s k a r föra den m a t e m a t i s k a b i l d n i n g e n t i l l en v i s s g r a d a v u t v e c k l i n g .F ö l j a n d e g r a f i s k a f r a m s t ä l l n i n g a v t a l b e g r e p p e t s u t - v e c k l i n g v i l l framför a l l t v i s a , n ä r de r e p r e s e n t e r a n d e f ö r e s t ä l l n i n g a r n a ( s a k , o r d . s i f f r a ) u p p s t å och h u r de l ö p a i f ö r h å l l a n d e t i l l v a r a n d r a .
Siffror. Positionssi/stemet.
1 *~
Siffror o. andni tecken ss. representerande förest.
>-
Räkneord ss. repr. förest.
sakliga representer. förest.
a » 1 1 1 i 1 1 1——*-
obest,, dc första tal- tid- bråk- all in. irra- iuia- talbe- best. sorieu. systc- cch och tioncllu. ginnia.
grepp. talbc- met. decimal- ueg.
greppen. tal. tal.
Relationerna mellan talen.
H i t t i l l s h a v i b l o t t b e h a n d l a t t a l f ö r e s t ä l l n i n g a r och t a l b e g r e p p , v i l k a s j ä l v k l a r t äro d e t n ö d v ä n d i g a m a t e r i a - l e t för v a r t r ä k n a n d e . M e n för a t t k u n n a r ä k n a f o r d r a s n å g o t m e r , n å g o t h ö g r e . V i e r i n r a oss från l o g i k e n , a t t i e t t o m d ö m e , v i l k e t som h e l s t , fastställes e t t v i s s t
för- hållande
m e l l a n t v å b e g r e p p . M a n t o r d e k u n n a påstå, a t t d e t t a f a s t s t ä l l a n d e a v b e g r e p p e n s ö m s e s i d i g a förhål- l a n d e är nästan v i k t i g a r e än b e g r e p p e n s j ä l v a ; t y h e l a v å r t t ä n k a n d e b e s t å r e g e n t l i g e n i a t t j ä m f ö r a b e g r e p p e n och k o n s t a t e r a d e r a s r e l a t i o n e r . D e t t a g ä l l e r b e g r e p p i allmänhet m e n i s y n n e r h e t t a l b e g r e p p e n .E t t v a n l i g t e n k e l t o m d ö m e i n n e h å l l e r m i n s t t r e be-
u t t r y c k e s r e l a t i o n e n g e n o m v e r b e t s p r e s e n s f o r m . ) L å t oss n u b e t r a k t a e t t e n k e l t r ä k n e o m d ö m e , t . ex. 5 — 8 = 2 . D e t t a o m d ö m e innehåller i c k e t r e u t a n f e m b e g r e p p , näm- l i g e n t r e t a l b e g r e p p s a m t t v å r e l a t i o n s b e g r e p p : » m i n s k a t med» och »är l i k a ined». V i h a t y d l i g e n här e t t
sam- mansatt omdöme,
n ä r m a r e b e s t ä m t h y p o t e t i s k t : o m 5 m i n s k a s m e d 3, så finnas t v å k v a r . D e t s a m m a k a n på- visas m e d avseende p å a l l a a n d r a m a t e m a t i s k a o m d ö m e n . . R e l a t i o n s b e g r e p p e t i d e t a n d r a o m d ö m e t : »sä finnas» e l l e r»är l i k a med», i n n e b ä r j u i c k e d e t s a m m a som l o g i s k l i k - h e t , u t a n v i d m a t e m a t i s k a satser g ä l l e r d e t a t t v i s a , v i l k e t
storlelcsvärde
f ö r h å l l a n d e t m e l l a n t v å b e g r e p p h a r . Och i d e n e l e m e n t ä r a r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n v i l l m a n ge åt d e t t a f ö r h å l l a n d e e t tvisst värde i dehadsystemet.
S y - stemvärdet b l i r en g e m e n s a m m å t t s t o c k , m e d e l s t v i l k e n v i k u n n a j ä m f ö r a de o l i k a r e l a t i o n e r n a : t . ex. 6 - 1 3 är 1 större än 7 - 1 1 . V i inse, a t t 2 - 1 2 , 30 - ti, 10 + 14, 96 : 4 äro l i k a m e d v a r a n d r a , sedan d e t fastställts, a t t v a r och e n a v r e l a t i o n e r n a h a r s y s t e m v ä r d e t 24. L i k - h e t s b e g r e p p e t »är l i k a med» i n n e b ä r alltså d e t s a m m a för a l l a m a t e m a t i s k a o m d ö m e n , som k o m m a i fråga p å r o l k - s k o l e s t a d i e t .V i m å s t e n u b e t r a k t a d e t
föränderliga relationsbegrep-
pet o c h s t ä l l a då u p p f r å g a n : v i l k a äro de r e l a t i o n e r , som k o m m a i f r å g a v i d r ä k n a n d e t ? E l l e r : v i l k a äro dc r ä k n e o p e r a t i o n e r , som k u n n a f ö r e k o m m a ? A v g a m m a l v a n a s v a r a r m å n g e n : a d d i t i o n , s u b t r a k t i o n , m u l t i p l i k a - t i o n och d i v i s i o n , de » f y r a räknesätten». E n a n n a n , h ö g r e u p p f a t t n i n g framställer s a k l ä g e t så:
A d d i t i o n : 4 + 3 + 2 = 9.
M u l t i p l i k a t i o n : 3 + 3 + 3 + 3 — 4 • 3 = 12.
P o t e n s e r : 3 • 3 • 3 • 3 = 3d = 8 1 .
12
s a m t dessa t r e o p e r a t i o n e r s » ö m v ä n d n i n g a r » : a v a d d i t i o n s u b t r a k t i o n o c k a v m u l t i p l i k a t i o n d i v i s i o n . P o t e n s r ä k - n i n g får t v å ö m v ä n d n i n g a r : b e r ä k n i n g a v r ö t t e r o c h l o g a r i t m e r . O p e r a t i o n e r n a s a n t a l v ä x e r sålunda från 4 t i l l 7. — M e n d e n n a u p p f a t t n i n g k a n ej g o d t a g a s . D e n a v s e r d e t p r a k t i s k a utförandet a v r ä k n e o p e r a t i o n e r n a m e n m o t s v a r a r i c k e sakens väsen. F ö r h å l l a n d e n m e l l a n t a l k u n n a b l o t t v ä x a f r a m u r t a l e n själva. D e n , s o m h a r d e t k l a r t f ö r s i g , frågar g e n a s t : v a r f ö r s k a l l p o t e n s r ä k - n i n g n ö d v ä n d i g t h a t v å ö m v ä n d n i n g a r ? A n t i n g e n h a de b å d a ö v r i g a g r u n d o p e r a t i o n e r n a o c k s å v a r d e r a t v å o m - v ä n d n i n g a r , e l l e r också är b e g r e p p e t ö m v ä n d n i n g använt i m e r än en b e m ä r k e l s e . F ö r a t t k u n n a b e s v a r a frågan m å s t e v i k l a r g ö r a ,
vilka förhållanden som äro möjliga mellan talen.
T v å t a l , t . ex. 8 o c h 5, äro g i v n a . V i a n t a g a , a t t de äro
samtidigt
b e f i n t l i g a och s k o l a j ä m t o r a s . D e t t a s k u l l e m a n k a n s k e e n l i g t t r a d i t i o n e l l u p p f a t t n i n g v i l j a åskåd- l i g g ö r a m e d f o r m e l n 8 + 5 — 13. M e n den, s o m b e t r a k - t a r s a k e n d j u p a r e , känner genast, a t t den m a t e m a t i s k a f o r m e l n e g e n t l i g e n f ö r k r o p p s l i g a r n å g o t a n n a t . V i d a r e : o m n å g o njämför
de b å d a t a l e n o c h d ä r v i d s ä g e r 8 — 5 = 3, så i n n e b ä r d e t t a l i k s o m d e t förra o m d ö m e t en r e l a t i o n a v e n k l a s t e s l a g . M e n f o r m e l n k a n i c k e h e l l e r h ä r anses t ä c k a o p e r a t i o n e n , o m b å d e b e g r e p p e t 8 och b e g r e p p e t 5samtidigt
äro förhanden.I s t ä l l e t k a n j u tänkas, a t t först e n d a s t d e t ena t a l - b e g r e p p e t (8) är g i v e t , och a t t det a n d r a (5) s k a l l följa m e d d e n u p p g i f t e n a t t ö k a d e n f ö r u t g i v n a m ä n g d e n . D e t i n n e b ä r e t t h e l t a n n a t f ö r h å l l a n d e m e l l a n de båda t a l b e g r e p p e n 8 o c h 5 än d e t u r s p r u n g l i g a . D e t är a v a n n a n
art,
t y g e n t e m o t de b å d a t a l b e g r e p p e n svila
i för- hållande t i l l v a r a n d r a i de t v å första r e l a t i o n e r n a , k a r a k - t e r i s e r a s d e n n a a n d r a r e l a t i o n s a r t a vrörelsemomentet.
T i l l s k i l l n a d från de första
vilande
r e l a t i o n e r n a k a l l a v i d e n n afortskridande
e l l e roperativ.
T y d e t v ä s e n t l i g a i d e t t a f ö r h å l l a n d e är i c k e u p p f a t t n i n g e n a v t v å s a m t i - d i g t f ö r e s t ä l l d a s t o r h e t e r u t a n denuppåtstigande rörelsen
i n o m t a l s e r i e n , v a r v i d b l i c k e n r i k t a s från den förhanden- v a r a n d e s t o r h e t e n hän m o t den n y a , s o m sökes. G r a f i s k t k a n d e t t a framställas så:
8 > ?
I 1 5
D e n n a å s k å d n i n g täckes f u l l s t ä n d i g t a v d e n m a t e m a - t i s k a f o r m e l n : 8 + 5 = 13.
D e n n a u p p å t s t i g a n d e r ö r e l s e får s i n ö m v ä n d n i n g i e n
sjunkande.
F r å n en b e s t ä m d p u n k t i t a l s e r i e n s k a l l j a g g å t i l l b a k a en v i s s l ä n g d . V a r t k o m m e r j a g ? G r a f i s k t :? < 82
1— 1
M a t e m a t i s k f o r m : 82 - 14 = 68.
Således h a v i två v i l a n d e och t v å f o r t s k r i d a n d e r e l a - t i o n e r . V i förstå n u bättre de två v i l a n d e . D e n första av d e m k a l l a v i
uppdelning,
d e n senarejämförelse.
G r a f i s k t :
8 5
13
U p p d e l n i n g : i • 1 i 1 J ä m f ö r e l s e : T K fl
14
Ä v e n v i d m u l t i p l i k a t i o n k a n särskiljas v i l a n d e o c h f o r t s k r i d a n d e förhållande. D e n
uppåtstigande operativa relationen
består h ä r i a t t en v i s s s t o r h e t t a n k e s m å n g - f a l d i g a d : 6 f e m g å n g e r t a g e t g e r s y s t e m v ä r d e t 80. D e t t a låter s i g t ä n k a s så, a t t G f o g a s f e m g å n g e r efter v a r - a n d r a , så a t t 30 u p p n å s p å t a l l i n j e n . B ä t t r e k o m m e r d o c k s t i g n i n g s m o m e n t e t h ä r v i d l a g f r a m , o m m a n före- ställer s i g o p e r a t i o n e n så:6
6
— 6
6
6
e l l e r ännu m e r a ä n d a m å l s e n l i g t :
• n • • i.'] • LJ • • • • •
• Q D O Q O
• • • • • •
D e n
sjunkande operativa relationen
består här i a t t s ö n d e r d e l a e t t s å l u n d a v u n n e t a n t a l . H ä r v i d l a g f r å g a s : V i l k e n s t o r h e t är d e t , s o m måste t a g a s f e m g å n g e r föra t t g e 30? D e t är delningsoperationen.
V i d v i l a n d e r e l a t i o n s u p p f a t t n i n g ser m a n h ä r v i d l a g de fem r a d e r n a a v s e x o r färdiga. M a n är m e d v e t e n o m v i l k e n s t r u k t u r ifrågavarande s t o r h e t h a r : 30 = 5 - 6 .
D e t är uppdelning i faktorer.
Vilande relation vid jämförelse
råder här, o m m a n j ä m - f ö r de b å d a s t o r h e t e r n a 6 o c h 30 o c h frågar s i g : H u r m å n g a g å n g e r innehålles den ena i d e n a n d r a ? D e t ärinnehållsdivision
e l l e r h e l t e n k e l t m ä t n i n g a v 30 m e d 6 som måttenhet.N u k u n n a v i få en k l a r a r e
Överblick över talens relatio-
ner. D e n u p p å t s t i g a n d e f o r t s k r i d a n d e r e l a t i o n e n i n n e - bär i v a r j e g r u p p e t t f o r m e r a n d e , e n ö k n i n g . D e n s j u n - k a n d e , f o r t s k r i d a n d e r e l a t i o n e n är ö v e r a l l t en m i n s k n i n g , e t t b o r t t a g a n d e . D e n v i l a n d e s ö n d c r d e l n i n g s r e l a t i o n e n består i u p p d e l n i n g a v t a l i a d d e n d e r , i f a k t o r e r , i po- tenser. Den. v i l a n d e j ä m f ö r e l s e r e l a t i o n e n s l u t l i g e n är ö v e r a l l t e t t mätande, e t t a d d i t i v t mätande, då m a n i n - t r e s s e r a r s i g f ö r s k i l l n a d e n , t . ex. m e l l a n 2 och 8; e t t m u l t i p l i k a t i v t mätande, h u r inånga g å n g e r i n n e h å i l e s 2 i 8; en p o t e n t i e l l m ä t n i n g , d å m a n f r å g a r : h u r m å n g a gån- ger s k a l l 2 m u l t i p l i c e r a s m e d s i g s j ä l v f ö r a t t 8 s k a l l e r h å l l a s ?
Översikt:
Fortskridande relation
(Operativ e l l . a k t i v ) Vilande relation
uppåtstigande sjunkande sönderdelning jämförelse
addera subtrahera uppdela i addender
addit. mätande = v a n l . enk. jämför.
multiplicera dela (del- ningsdiv.)
nppdela i faktorer
m u l t . mätande = hinohållsdi vision
poteupräkn. rotberäkn. nppdela i pot. mätande =
| potenstr iogaritmräkning
N u äro v i d å i s t å n d a t t ö v e r s k å d a r e l a t i o n s a r t e r n a * bättre än förut. B l a n d de o m n ä m n d a f o r t s k r i d a n d e e l l e r o p e r a t i v a r e l a t i o n e r n a i g e n k ä n n a v i r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n s o p e r a t i o n e r e l l e r »räknesätt», v i l k a s a n t a l v i n u fastställa t i l l 4 : 2 s t i g a n d e och 2 s j u n k a n d e . M e n v i h a d e s s u t o m fastställt, a t t det f ö r e k o m m e r r e l a t i o n e r , s o m äro a v a n n a n a r t än de, som i n r y m m a s u n d e r »de f y r a räknesätten».
O m v i j ä m f ö r a de b å d a a r t e r n a , f o r t s k r i d a n d e och v i -
16
l a n d e , så v i s a r s i g de f ö r r a r e l a t i o n e r n a s v ä s e n i , a t t ur
tvä förhandenvarande talstorheter vinnes en ny, som h a r
m e r e l l e r m i n d r e s u b s t a n t i e l l karaktär. M e n de v i l a n d e äro a v a n n a n n a t u r . V i d d e m g ä l l e r d e t ej a t t v i n n a en n y s t o r h e t u t a n a t t
allt noggrannare känna de en- skilda storheterna.
V i k u n n a t . o. m . påstå, a t t dessa v i l a n d e r e l a t i o n e r i v i s s mån i n t a g a en m e l l a n s t ä l l n i n g i s i t t förhållande t i l l t a l b e g r e p p e n och o p e r a t i o n e r n a : de k u n n a anses s o m en u t v e c k l i n g a v t a l b e g r e p p e n v i d s i d a n a v d e n förut o m n ä m n d a från d e t t r e d j e s t a d i e t . D e v i - l a n d e r e l a t i o n e r n a i n g å så s m å n i n g o m såsom begrepps- e l e m e n t i t a l b e g r e p p e n , s o m v ä s e n t l i g a k ä n n e t e c k e n i d e m . E n 10-åring h a r e x e m p e l v i s ej s t ö r r e i n t r e s s e för 225 än för 226. M e n den s o m h a r v e r k l i g i n s i k t ser d e t t a 225 m e d a n d r a ö g o n , t y h a n är g e n a s t medveten o m dess u p p d e l n i n g i 15 • 15.H a de o p e r a t i v a r e l a t i o n e r n a e l l e r de v i l a n d e störst b e t y d e l s e ? J a , de o p e r a t i v a s y n a s i n t a g a en f ö r h ä r s k a n d e s t ä l l n i n g i s k o l a s å v ä l som i det p r a k t i s k a l i v e t . M e d
»räknesätt» m e n a r m a n j u »operationer», a n d r a t a l r e l a t i o - n e r k ä n n s m a n ej v i d , - o c h de m a t e m a t i s k a f o r m e r n a äro så g o t t som u t e s l u t a n d e a v s e d d a för och a n v ä n d b a r a f ö r de o p e r a t i v a r e l a t i o n e r n a .1
M e n o m m a n b e s i n n a r , a t t de v i l a n d e r e l a t i o n e r n a äro ä g n a d e a t t l y f t a de e n s k i l d a t a l b e g r e p p e n t i l l e t t h ö g r e u t v e c k l i n g s s t a d i u m , måste m a n erkänna, a t t de b e t y d l i g t u n d e r l ä t t a »operationerna» o c h medföra större s ä k e r h e t i u t f ö r a n d e t a v dessa. D e n , som i o v a n anförda avseende v e r k l i g e n k ä n n e r t i l l t a l e n 384 och 576, i n s e r
utan räk- ning,
a t t differensen m e l l a n d e m är 192, v i d a r e a t t d e n n a1 Stigande oper. r e l a t i o n : 7 + 3 — 10;
Sjunkande oper. > : 10 — 3 = 7 ; Vilande sönderdeln. : 10 — 7 + 3
> jämförelse : (Matematisk form. saknas) 7 är 4 cnh.
större än 3.
differens innehålles 2 g å n g e r i 384 och 3 g å n g e r i 576, a t t d e n själv b e s t å r a v 8 - 2 4 o. s. v . B a r n d ä r e m o t o c h även ä l d r e , v i l k a s t a l b e g r e p p i c k e m e d e l s t de v i l a n d e r e l a t i o n e r n a n å t t d e n h ö g r e u t v e c k l i n g e n , »räkna» s i g r e l a t i v t l å n g s a m t t i l l r e s u l t a t e t , och o m d e t händelsevis s k u l l e b l i 292 e l l e r 182 i stället f ö r 192, f i n n s i r e g e l i n g e n k ä n s l a a v d e t o r i k t i g a i r e s u l t a t e t . M e d h ä n s y n t i l l d e t p r a k t i s k a l i v e t s f o r d r i n g a r är d e t n ö d v ä n d i g t , a t t å t m i n s t o n e t a l b e g r e p p e n från 1 t . o. m . 100 nå d e n n a h ö g r e g r a d a v u t v e c k l i n g .
Operatioiisbcgreppens utveckling.
O p e r a t i o n s b e g r e p p e n , s o m äro a v a n n a n a r t än t a l b e - g r e p p e n , äro i c k e m e d f ö d d a och i c k e h e l l e r g i v n a i och med t a l b e g r e p p e n . A v e n o m b a r n e t k ä n n e r t i l l , v a d d e t i n n e b ä r a t t »dela m e d sig» a v g o d s a k e r e l . d y l . t i l l s i n a s y s k o n e l l e r k a m r a t e r , så är j u d e n n a »delning» e t t be- g r e p p m e d h e l t a n n a n m e n i n g än m a t e m a t i k e n s »delning».
Och även o m de b å d a n ä m n d a d e l n i n g s b e g r e p p e n v o r e s y n o n y m a , så k u n n a v i i n v ä n d a : e t t b a r n , som h a r u t - ö v a t en v e r k s a m h e t p å
ting,
k a n i c k e a l l t i d u t a n v i d a r e ö v e r f ö r a d e n n a v e r k s a m h e t p åbegrepp.
B a r n e t måste först l ä r a s i g o p e r a t i o n s b e g r e p p e n s innebörd. D e t s a m m a g ä l l e r k a n s k e i ä n n u h ö g r e g r a d o mlilchetsbegreppet.
E t t b a r n f ö r ö k a r och f ö r m i n s k a r s i n a s k a t t e r u t a n a t t g ö r a r e s u l t a t e t k l a r t för s i g . E n p o j k e h a r 12 s o l d a t e r och får 4 t i l l . N u k a n j a g s t ä l l a u p p en ä n n u l ä n g r e r a d , säger h a n i r e g e l . D å d e t g ä l l e r a t t d e l a u p p t . ex.
nötter m e l l a n s y s k o n e n , frågar p o j k e n e l l e r f l i c k a n k a n - ske, h u r m å n g a v a r o c h en h a r ; m e n d e t t a s k e r i c k e för a t t fastställa, h u r m å n g a v a r och en k a n få, u t a n b l o t t för a t t f ö r v i s s a s i g o m , a t t i n g e n f å t t m e r ä n de a n d r a . —
2—233746. Dahl jr en, Om xmdervisning i räkning.
18
Mewmann
1 s ä g e r : » Ä v e n efter det t a l f ö r e s t ä l l n i n g a r n a u t v e c k l a t s , s a k n a r b a r n e tvarje förmåga
a t t u t f ö r a de e n k l a s t e operationer.»E n u n d e r v i s a r e , sorn b ö r j a t m e d o p e r a t i o n e r , m e d a n b a r n e t ä n n u b e f i n n e r s i g p å t a l b e g r e p p s u t v e c k l i n g e n s l å g a s t a d i u m , u p p e n b a r a r således s i n
okunnighet om barnanaturen.
E f t e r en d y l i k b ö r j a n k a n i c k e f ö l j a a n n a t än m e k a n i s k d r e s s y r . —De additiva relationerna.
P å d e t första s t a d i e t a v o p e r a t i o n s b e g r e p p e n s u t v e c k - l i n g f ö r v ä r v a s de a d d i t i v a och b l a n d d e m de
aktiva ope- rationerna
f ö r s t (se s i d . 15, Ö v e r s i k t e n , f ö r s t a r a d e n ) . D ä r v i d m ö t a en r a d svårigheter, s o m i c k e k u n n a över- v i n n a s p å en g å n g u t a n efter h a n d . D e t är f y r a från v a r a n d r a h e l t o c h h å l l e t s k i l d a o p e r a t i o n e r , som s k o l a inses t i l l s i t t s a m m a n h a n g och s i t t ö m s e s i d i g a för- h å l l a n d e t i l l v a r a n d r a . T v å s ä r s k i l d a s v å r i g h e t e r u p p - stå, då det g ä l l e r a t t f ö r v ä r v a l i k h e t s b e g r e p p e t o c h för- stå d e n m a t e m a t i s k a f o r m e n . D e t är b e t ä n k l i g t a t t , s o m så o f t a s k e r n u f ö r t i d e n , b j u d a l i k h e t s f ö r h å l l a n d e t o c h d e n m a t e m a t i s k a f o r m e n i a n s l u t n i n g t i l l de första ope- r a t i o n s b e g r e p p e n . E t t b a r n k a n s ä g a : J a g h a r sex n ö t t e r ; sedan får j a g t v å t i l l ; då h a r j a g å t t a . M e n d e t är n å g o t h e l t a n n a t o c h h e l t n y t t a t t d ä r a v s l u t a s i g t i l l : 6 och 2 är 8. —D e t är s a n n o l i k t , a t t de flesta a v oss i c k e k u n n a e r i n r a sig, när o c h h u r v i h a f ö r v ä r v a t k ä n n e d o m o m
de vilande talrelationerna.
N u r å d a n d e u n d e r v i s n i n g s p r a x i s l ä g g e r s ä r s k i l d v i k t v i d de o p e r a t i v a r e l a t i o n e r n a . L ä r j u n g e n får d o c k b e g r e p p o m de v i l a n d e . D e n n a k u n s k a p u p p k o m m e r1 >Åbriss> sid, 379.
19 så a t t s ä g a s o m en b i p r o d u k t av u n d e r v i s n i n g e n , även o m denna ä r i n r i k t a d p å de o p e r a t i v a r e l a t i o n e r n a , särskilt o m m a n l ä g g e r v i k t v i d a t t e l e v e n föreställer s i g t a l s t o r h e - t e r n a i r u m m e t (ex. t a l l i n j e n ) . — D e v i l a n d e r e l a t i o n e r n a övas d o c k flerstädes, även o m d e t t a s k e r u n d e r a n d r a n a m n . V a n l i g a f o r m e r äro s ö n d e r d e l n i n g s - och f y l l n a d s - ö v n i n g a r , v i l k a ge bäst r e s u l t a t i a n s l u t n i n g t i l l t a l b i l - der.
De multiplikativa talrolationerna
(Översikten, s i d . 15, a n d r a r a d e n ) f ö r v ä r v a s u n d e r d e t a n - d r a s t a d i e t a v d e n n a u t v e c k l i n g . D e r a s inbördes o r d n i n g t o r d e b l i v a : m å n g f a l d i g a n d e , » i n n e h å l l s d i v i s i o n » , u p p d e l - n i n g i f a k t o r e r s a m t d e l n i n g . D e s s u t o m måste de o l i k a o p e r a t i o n e r n a s i n b ö r d e s s a m m a n h a n g b l i k l a r t för b a r n e n . D e n m a t e m a t i s k a f o r m e n v å l l a r n u ej så s t o r a svårig- heter, e m e d a n f ö r u t s ä t t n i n g a r n a för d e n g i v a s u n d e r be- h a n d l i n g e n a v de a d d i t i v a o p e r a t i o n e r n a .
* * *
F ö r s t å e l s e f ö r o p e r a t i o n e r n a v i n n e s endast g e n o m a t t de v e r k l i g e n utföras. B a r n e t lär s i g a d d e r a endast g e n o m a t t i v e r k l i g h e t e n utföra s a m m a n l ä g g n i n g u p p r e p a d e gånger, lär s i g m å n g f a l d i g a e n d a s t g e n o m v e r k l i g t m å n g f a l d i g a n d e , l ä r s i g d e l a e n d a s t g e n o m v e r k l i g d e l - n i n g . D e t d u g e r ej a t t b l o t t b y g g a på de m ö j l i g a er- f a r e n h e t e r n a från h e m m e t o c h f o r d r a a v b a r n e t , a t t d e t s k a l l föreställa s i g v i s s a föremål, såsom nötter, äpplen, k u l o r o. s. v . , och så u t f ö r a o p e r a t i o n e r n a . A n d l i g e n m o g n a b a r n , som äro ö v a d e i föreställandets s v å r a k o n s t , k u n n a n o g lära r ä k n a p å d e t sättet, m e n i c k e de m e d e l - m å t t i g t e l l e r s v a g t begåvade. S o m l i g a mena, a t t ö v n i n g är d e t första och f ö r n ä m s t a m e d l e t v i d o p e r a t i o n e r n a s
i n l ä r a n d e . M e d ö v n i n g m e n a de då o f t a s t t . ex. d a g l i g t u p p r e p a n d e a v m u l t i p l i k a t i o n s t a b e l l e n e l . d y l . t a l s e r i e r . M a n m e n a r , a t t dessa r e l a t i o n e r måste läras u t a n t i l l , p å det a t t de m å så a t t säga v ä x a i n i l ä r j u n g a r n a . J a , i och f ö r s i g är d e t r i k t i g t , a t t dessa r e l a t i o n e r m å s t e l i g g a i b e r e d s k a p i m e d v e t a n d e t för a t t r ä k n i n g ö v e r - h u v u d s k a l l v a r a m ö j l i g . M e n d e t är å a n d r a s i d a n e t t m i s s t a g , d å m a n t r o r , a t t ö v n i n g är e t t v i l l k o r e l l e r en f o r m f ö r s j ä l v a f ö r v ä r v a n d e t a v i n s i k t e n e l l e r
förmågan.
G e n o m ö v n i n g k a n endast å s t a d k o m m a s , a t t en f ö r v ä r - v a d f ö r m å g a befästes och g ö r e s säkrare.
U t v e c k l i n g s g å n g e n v i d v a r j e s l a g a v r ä k n e o p e r a t i o n e r är f a s t m e r a d e n n a : f ö r m å g a n måste f ö r v ä r v a s g e n o m
verkligt handlande;
g e n o m u p p r e p a t u t f ö r a n d e v i n n e s a l l t störreklarhet och förståelse
för d e n ; därefter l e d e r d e t u p p r e p a d e i g e n k ä n n a n d e t t i l lmekaniserad beredskap
e l l e r r e p r o d u k t i o n . D e n n a måste eftersträvas ä v e n p å f o l k - s k o l e s t a d i e t , t y p å den g r u n d e n är d e t , s o m d e n m a t e - m a t i s k a b i l d n i n g e n a v a l l a g r a d e r m å s t e b y g g a s .D e t k a n h ä r v i d l a g i c k e n o g u p p r e p a s , a t t » å s k å d l i g h e t i u n d e r v i s n i n g e n » i c k e är l i k t y d i g t m e d a t t en e l l e r t v å e l l e r k a n s k e t r e , f y r a g å n g e r
visa
en sak (låta b a r n e n Se d e n ) u t a n å s k å d l i g h e t innebär, a t t l ä r a r e n t a r b a r n e n salla
s i n n e n i a n s p r å k , a t t b a r n e n l ä r a k ä n n a u n d e r v i s - n i n g s o b j e k t e t från så m å n g a s y n p u n k t e r s o m m ö j l i g t o c hså ofta,
a t t b a r n e n v e r k l i g e n k ä n n a t i l l s a k e n i fråga.Räkneoperationernas p r a k t i s k a tillämpning.
M a t e m a t i k e n är j u t i l l s i t t väsen r e n t e o r i och d o c k från en a n n a n s y n p u n k t d e n m e s t p r a k t i s k a a v a l l a ve- t e n s k a p e r . I n g e n a n n a n v e t e n s k a p g r i p e r så s o m d e n i n i a l l a l i v e t s f ö r h å l l a n d e n , i n g e n är a v så g r u n d l ä g g a n d e b e t y d e l s e för h e l a k u l t u r l i v e t . M a t e m a t i k e n u t g ö r ske-
l e t t e t i f y s i k , k e m i , g e o m e t r i , a s t r o n o m i , n a t i o n a l e k o n o m i , h a n d e l s v e t e n s k a p o. s. v . F r å n a l l a dessa områden h ä m t a v i t i l l ä m p n i n g s e x e m p e l v i d r ä k n e u n d e r v i s n i n g e n . M e n k n a p p t h a e t t p a r år f ö r g å t t , s e d a n b a r n e n s l u t a t s k o l a n , förrän de äro u r stånd a t t r ä k n a u t d e t e n k l a s t e p r o - b l e m . D e n frågan u p p s t å r då: är m å n n e i c k e ä g a n d e t a v t a l b e g r e p p e n o c h t a l r e l a t i o n e r n a i d e n t i s k t m e d m a t e - m a t i s k b i l d n i n g ? S o m l i g a b e s v a r a en sådan f r å g a j a - k a n d e och mena, a t t v a d s o m d ä r u t ö v e r f o r d r a s är en- dast ö v n i n g . A n d r a d ä r e m o t påstå, a t t o m i n t e t a n n a t fordrades än t a l b e g r e p p och t a l r e l a t i o n e r , så s k u l l e b i l d - n i n g v a r a i d e n t i s k t m e d m i n n e , o c h det är j u en föråld- r a d åsikt. N e j , t a l b e g r e p p e n o c h t a l r e l a t i o n e r n a äro d e t
associativa
m a t e r i a l e t , som måste a n v ä n d a sappcrceptivt.
D . v . s. m a t e r i a l e t s t å r t i l l f ö r f o g a n d e , o c h v å r u p p m ä r k - s a m h e t s r i k t n i n g b e s t ä m m e r , v i l k e n d e l a v d e t t a m a t e r i a l , s o m i det f ö r e v a r a n d e f a l l e t s k a l l a n v ä n d a s . D e n n a a n - v ä n d n i n g är det säkerligen, som m a n m e n a r , då m a n t a l a r o m » ö v n i n g » . M e n d e t är i c k e p å s i n p l a t s här.
H ä r v i d l a g är d e t f r å g a o m en h ö g r e , m e r a k o m p l i c e r a d a n d l i g v e r k s a m h e t , e t t u r v a l , en v a l h a n d l i n g . V i t a g a e t t e x e m p e l : h u r u s t o r a m ä n g d e r a v r å g b r ö d och m a g e r ost b e h ö v e r en m a n d a g l i g e n förtära för a t t u p p e h å l l a s i g (frånsett a l l a b i o m s t ä n d i g h e t e r ) ? F ö l j a n d e u p p g i f t e r e r h å l l a s :
H a n s d a g l i g a behov äro a v ä g g v i t a
IM
g r .f e t t 88 g r .
0 , 6
3
k o l h y d r a t e r 400 g r . o s t i n n e h . . . 33,s
r å g b r ö d . . . 4,7 V i d a r e är . . 5
f ö r h å l l a n d e t m e l l a n dessa ä m n e n s n ä r i n g s v ä r d e v i d ömse- s i d i g t u t b y t e . —
22
F ö l j a n d e r e f l e x i o n e r och u t r ä k n i n g a r g ö r a s sedan. ( U p p - g i f t e n k a n lösas p å f l e r a sätt. M e n a l l a m ö j l i g a lösnin- g a r m å s t e t a g a hänsyn t i l l v e r k l i g h e t e n . ) V i a n t a g a , a t t en m a n d a g l i g e n förtär 1 k g . r å g b r ö d . D å tillföres h o n o m 47 g r . ä g g v i t a , 6 g r . f e t t o c h 478 g r . k o l h d r . J ä m f ö r dessa s i f f r o r m e d b e h o v e t :
1 kg. rågbröd . . 47 gr. äggvita 6 gr. fett 479 gr. kolhydrater behov 118 » » 88 » > 400 » >
— 71 gr. äggvita — 82 gr. fett + 79 gr. kolhydrater
alltså förefinnes e t t r e s t b e h o v a v ä g g v i t a o c h f e t t , e t t ö v e r s k o t t a v k o l h y d r a t e r . Ö v e r s k o t t e t användes j u först för b e h o v e t a v f e t t , 79 g r a m k o l h y d r a t o m s a t t e s i 7 9/3 g r . f e t t == u n g . 26 g r . f e t t . D e t y t t e r l i g a r e b e h o v e t s k a l l täckas g e n o m e n v i s s m ä n g d ost
Och så fortlöper r e s o n e m a n g e t o c h u t r ä k n i n g a r n a . A v d e t t a e x e m p e l framgår k l a r t , a t t d e n m a t e m a t i s k a b e a r b e t n i n g e n a v en u p p g i f t är n å g o t v ä s e n t l i g t a n n a t än b l o t t o c h b a r t h a n t e r a n d e t med t a l b e g r e p p och t a l r e l a - t i o n e r . V i k a l l a d e d e t n y s s en h ö g r e a n d l i g v e r k s a m h e t . V i l j a v i n u g ö r a k l a r t f ö r oss, v a r u t i d e n n a består, så k u n n a v i a n a l y s e r a föregående e x e m p e l :
1. S e d a n v i g j o r t k l a r t för oss u p p g i f t e n s i n n e b ö r d , ställa v i oss u n d e r i n v e r k a n a v
foreställningen om målet.
V i f ö r e s t ä l l a oss sakförhållandet ä n n u en g å n g och r i k t a u p p m ä r k s a m h e t e n p å l u c k o r n a , s o m s k o l a f y l l a s .
2. V i g ö r a u p p e n
plan
för r ä k n i n g e n , r e f l e k t e r a ö v e r v e r k n i n g a r n a a v v å r t g ö r a n d e .o. V i t ä n k a e f t e r v i l k a s i f f e r u p p g i f t e r , s o m b e h ö v a s , och b e d ö m a , h u r u v i d a l ä m n a d e s i f f e r u p p g i f t e r äro t i l l - r ä c k l i g a för p r o b l e m e t s lösande.
4. V i a n v ä n d a de e r h å l l n a s i f f e r u p p g i f t e r n a på den
föreställda sakliga verkligheten, utvälja
p å g r u n d a vsöka u n g e f ä r l i g e n u p p s k a t t a r e s u l t a t e t .
5. Vi utföra operationerna.
6.
Vi upprepa
t i l l v ä g a g å n g s s ä t t e t u n d e r 4 . o c h 5. så o f t a d e t b e h ö v s , o c horientera
oss v a r j e g å n g e n l i g t 1.och 2., m å l f ö r e s t ä l l n i n g och r ä k n i n g s p l a n ,
förbinda
v a r j e g å n g a r b e t e o c h r e s u l t a t m e d f ö r e g å e n d e d e l r e s u l t a t ochbedöma
dess b e t y d e l s e för d e t s l u t l i g a målet.7. V i u t s t r ä c k a p r ö v n i n g e n t i l l h e l a räkneprocessen, j ä m f ö r a r e s u l t a t e t med m å l f ö r e s t ä l l n i n g e n och söka g ö r a
k l a r t för oss, u n d e r v i l k a f ö r h å l l a n d e n d e n s l u t f ö r d a räk- n i n g e n äger g i l t i g h e t . —
D e n n a a n a l y s v i s a r , a t t t a l b e g r e p p och t a l r e l a t i o n e r v ä l b i l d a det n a t u r l i g a m a t e r i a l e t v i d v e r k l i g t r ä k n a n d e , m e n a t t h u v u d s a k e n är n å g o t h e l t a n n a t . D e t t a a n d r a
— för a t t n u u t t r y c k a d e t m e r a s a m m a n f a t t a n d e — be- s t å r a v
det under inverkan av målföreställningen försig- gående urvalet och sammanbindandet av associativt mate- rial.
N å g o n i n v ä n d e r n u , a t t d e n n a k o m p l i c e r a d e a n d l i g a v e r k s a m h e t i c k e k a n anses f ö r s i g g å , d å d e t g ä l l e r e n k - l a r e p r o b l e m . L å t oss d ä r f ö r b e t r a k t a e t t e n k l a r e e x e m - p e l :
M o r s k i c k a r s i n p o j k e t i l l s l a k t a r e n för a t t k ö p a 3/4 k g . k ö t t . H o n g ö r s i g s j ä l v d e n f r å g a n : V a d k o s t a r 3A k g . k ö t t ?
P u n k t 1 i a n a l y s e n är o a v k o r t a d förhanden. P u n k t 2 förenklas, då det här r ö r s i g o m e n d a s t en e n d a räkne- fråga. P u n k t 3 är o a v k o r t a d : H o n måste v e t a p r i s e t p r k g . P u n k t 4 får hos d e n n a p e r s o n en särskilt u t f ö r l i g b e h a n d l i n g , i d e t h o n först r ä k n a r u t p r i s e t p å l/$ k g . och s e d a n V-1 kg-1 v a r e f t e r h o n l ä g g e r t i l l s a m m a n s dessa b å d a o c h så får p r i s e t p å 3/ - i k g . H ä r i innehåll es t y d l i - gen p u n k t e r n a 5 och. 6. P u n k t 7 g ä l l e r också här.
24
M a n ser, a t t a n a l y s e n ej k a n v ä s e n t l i g e n förkortas.
D e o l i k a m o m e n t e n i räkneprocessen försiggå b l o t t i r a - s k a r e t e m p o , a l l t e f t e r s o m de äro m e k a n i s e r a d e . —
F ö r a t t än t y d l i g a r e k l a r g ö r a , v a d som f o r d r a s u t ö v e r t a l b e g r e p p o c l i t a l r e l a t i o n e r , k u n n a v i n u p e k a på e t t p a r a n a l o g i e r . E n s y m a s k i n består a v en s t o r m ä n g d små- d e l a r . D e t är i c k e t i l l r ä c k l i g t a t t v a r a i b e s i t t n i n g a v dessa s m å d e l a r f ö r a t t sätta i h o p s y m a s k i n e n . M a n måste o c k s å k ä n n a t i l l och föreställa s i g smådelarnas förbindelser och ö m s e s i d i g a v e r k n i n g a r . P å l i k n a n d e sätt äro t a l be- g r e p p e n o c h t a l r e l a t i o n e r n a b e s t å n d s d e l a r n a v i d r ä k n i n g , och m å n g a b a r n ä g a d e m . D o c k förekommer d e t j u i c k e sällan, a t t de i c k e k u n n a »räkna ut» s. k . »benämnda tal».
D e n a n d r a a n a l o g i e n är också l ä r o r i k . R ä k n e k o n s t e n e r b j u d e r f l e r a j ä m f ö r e l s e p u n k t e r m e d
språket
(frånsett, a t t s p r å k e t b l o t t är u t t r y c k för t ä n k a n d e t ö v e r h u v u d , m e d a n r ä k n a n d e t u t g ö r delområde av såväl s p r å k e t som tänkandet). M a t e m a t i k e n s t a l b e g r e p p m o t s v a r a s p r å k e t s o r d b e g r e p p i a l l m ä n h e t . L i k s o m t a l e n stå i r e l a t i o n t i l l v a r a n d r a , så stå ä v e n o r d e n i m e n i n g a r t i l l v a r a n d r a i f ö r h å l l a n d e n , som i v a r j e särskilt f a l l u t t r y c k a s ge- n o m ändelser, p r e p o s i t i o n e r o. s. v . M a n t o r d e d å h a rätt a t t påstå, a t t l i k s o m en d i k t e l l e r e t t f ö r e d r a g f ö r h å l l e r s i g t i l l en o r d b o k , på s a m m a s ä t t förhål- ler s i g d e n m a t e m a t i s k a a n v ä n d n i n g e n t i l l d e t i n h ä m t a d e förrådet a v r ä k n e m a t e r i a l ( t a l b e g r e p p , t a l r e l a t i o n e r ) . D e t som g ö r o r d och s a t s e r t i l l t a n k a r och a v h a n d l i n g a r , d e t som g ö r t a l b e g r e p p och r ä k n e r e g l e r t i l l p r o b l e m l ö s n i n g a r av e n k e l e l l e r m e r a k o m p l i c e r a d a r t , d e t är: d e tplan- mässiga sammanhanget under en ledande idé.
R ä k n e k o n s t e n s väsen är alltså förmågan a t t u n d e r l e d - n i n g a v m å l f ö r e s t ä l l n i n g e n b l a n d de t a l b e g r e p p och ope- r a t i o n e r , som stå t i l l förfogande,
utvälja
d e m , som r i k -t i g t , säkert, f o r t och e l e g a n t l e d a t i l l målet,
bringa sam- manhang mellan dem och sätta dem så att säga i verk- samhet.
F r å n p s y k o l o g i s k s y n p u n k t är v a r och en a v dessa processer enviljeprocess.
D ä r m e d ä r o c k s å en a n - t y d a n g i v e n a n g å e n d e d e n n a f ö r m å g a s u t v e c k l i n g . —D e t är två i n t e l l e k t u e l l a k o m p o n e n t e r , s o m d e l t a g a i d e n n a u t v e c k l i n g :
kännedom om och förståelse av tingens måttförhållande
s a m therravälde över talbegreppen och talrelationerna.
A n g å e n d e m å t t f ö r h å l l a n d e n a k a n sägas, a t t d e t ej r ä c k e r m e d k ä n n e d o m o m de s. k . s o r t e r n a . D e t l i g g e r l i k a s t o r v i k t v i d a t t d e t s. k . ö g o n m å t t e t får s i n ö v n i n g . D e t är o c k s å t v åemotionella komponen-
ter, s o m k o m m a i b e t r a k t a n d e v i d r ä k n e f ö r m å g a n s u t - v e c k l i n g , de h ö g r e
intellektuella känslorna
s a m tuppmärk- samheten.
T o g e s v i d r ä k n e u n d e r v i s n i n g t i l l b ö r l i g h ä n s y n t i l l dessa f y r a k o m p o n e n t e r s b e t y d e l s e f ö r r ä k n e f ö r m å g a n s u t v e c k - l i n g , s k u l l e m a n m e d s ä k e r h e t ej så o f t a b e h ö v a k l a g a ö v e r b a r n s b r i s t a n d e m a t e m a t i s k a b e g å v n i n g , s o m n u för t i d e n sker. O c h den ö v r i g a s a k u n d e r v i s n i n g e n är i c k e u t a n s k u l d . T y är d e n i c k e så g o t t s o m u t e s l u t a n d e k v a l i t a t i v ? N ä s t a n ö v e r a l l t rör det s i g o m
hurudant
e t t t i n g är, e l l e r v a r t det hör. D e t k v a n t i t a t i v a m o m e n t e t f ö r b i g å s o f t a s t e l l e r v i d r ö r e s i förbigående. — U m g ä n - g e t s o c h u p p f o s t r a n s ( u n d e r v i s n i n g e n s ) v e r k n i n g a r för- b l a n d a s förvisso o f t a m e d » b r i s t a n d e anlag».E t t n y t t mål.
D e n n y a s v e n s k a u n d e r v i s n i n g s p l a n e n a n g e r som räkne- u n d e r v i s n i n g e n s m å l : i n s i k t och f ä r d i g h e t i r ä k n i n g m e d s ä r s k i l d h ä n s y n t i l l d e t d a g l i g a l i v e t s f o r d r i n g a r . D e n n a f o r m u l e r i n g g ö r , a t t m a n l ö p e r r i s k e n , a t t den i v e r k l i g - h e t e n första och v i k t i g a s t e u p p g i f t e n b l i r f ö r s u m m a d : den
