Linjär modellering av gummibussning

(1)

INOM

EXAMENSARBETE TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP

STOCKHOLM SVERIGE 2017,

Linjär modellering av gummibussning

ERIK BÄCKSTRÖM

CECILIA RYDEFALK

(2)

Linjär modellering av gummibussning

ERIK BÄCKSTRÖM OCH CECILIA RYDEFALK

Stockholm 2017

Hållfasthetslära

Skolan för Teknikvetenskap

Kungliga Tekniska Högskolan

(3)

1 Abstract

The purpose of this report is to provide a method of reproducing the stiffness of a set of rubber bushings, in three translational and three rotational directions, based on measurements carried out on them, using a single linear FEM element.

The model should be simple and useful for use in, for example, multi-body simulation, where you look at the behavior of an entire system. In order to save computation time, simplifications are made; in this case, a linear simplification of a material that in reality shows highly non-linear behavior. Only the stiffness is modeled and the damping is ignored.

The report presents the element itself, the form in which the result is given, and the content based on the measurements. It also discusses what constraints the method has because of, among other things, material properties of rubber that can not be reproduced in a linear system. It is apparent from our analysis that the amplitude dependence of rubber will be a critical factor for how well our model works, and that the data we have is insufficient to make reliable extrapolation beyond the limits of the measurement range.

2 Sammanfattning

Syftet med den här rapporten är att utifrån mätningar på gummibussningar med två olika hårdheter ta fram en metod för att med ett enda linjärt FEM-element återge styvheterna i tre translations- och tre rotationsriktningar. Modellen ska vara enkel och användbar för att kunna användas i till exempel flerkroppssimulering där man tittar på beteendet hos ett helt system. För att bespara beräkningskraft görs förenklingar; i det här fallet en linjär förenkling av ett material som i verkligheten uppvisar väldigt olinjärt beteende. Endast styvheten modelleras och dämpningen bortses från.

Rapporten presenterar dels själva elementet, formen som resultatet stöps i, och innehållet utifrån mätningarna. Begränsningar på grund av, bland annat, materialegenskaper hos gummi som inte kan återges i ett linjärt system diskute- ras. Det framgår av analyserna att amplitudberoendet hos gummi kommer att vara avgörande för hur väl modellen fungerar och att den data som finns inte är tillräcklig för att göra en tillförlitlig extrapolering utanför mätområdets gränser.

(4)

3 Förord

Det här kandidatarbetet har gjorts på uppdrag av och i samarbete med Scania.

Vi vill därför tacka vår kontakt där Anna Ekberg för uppgiften. Ett tack går även till Rickard Österlöf som bidragit med specialkunskap om gummi.

Ett särskilt tack till vår handledare på KTH Carl Dahlberg som har stöttat oss genom hela arbetet och bollat idéer med oss.

(5)

Innehåll

1 Abstract 2

2 Sammanfattning 2

3 Förord 3

4 Introduktion och bakgrund 1

4.1 Uppdragsbeskrivning och syfte . . . 1

4.2 FEM och flerkroppssimulering . . . 1

4.2.1 Gummis materialegenskaper . . . 2

4.2.2 Olinjärt beteende . . . 2

4.2.3 Hysteres och dämpning . . . 2

4.2.4 Frekvens- och amplitudberoende . . . 3

4.3 Modellering av gummi och gummibussningar . . . 5

5 Material och metod 6 5.1 Komponentprovningen . . . 6

5.1.1 Translation i x-led . . . 6

5.1.2 Translation i y- och z-led . . . 8

5.1.3 Rotation kring z . . . 8

5.2 FEM-elementet . . . 9

5.3 Styvheterna . . . 9

6 Resultat och analys 15 7 Diskussion och kommentarer 18 7.1 Felkällor . . . 18

7.2 Diskussion kring metod, förenklingar och resultat . . . 18

7.2.1 Förenklingar av geometrin . . . 18

7.2.2 Mätningarna i y-led . . . 18

7.2.3 Endast ett mätvärde i rotation finns . . . 20

7.2.4 Väldigt lite mätdata finns . . . 20

7.2.5 Diagonalelement i styvhetsmatrisen som är 0 . . . 20

7.2.6 Kan styvheterna räknas ut på något annat sätt? . . . 20

7.2.7 Kan man välja värdena till matrisen på något annat sätt? 21 7.2.8 Materialprovning kontra komponentprovning . . . 21

7.2.9 Amplitudberoendet hos gummi . . . 21

8 Referenser 22 9 Appendix 1 – Mått och töjningar 23 9.1 Translation x . . . 23

9.2 Translation y och z . . . 23

9.3 Rotation kring y och z . . . 23 10 Appendix 2 – Hystereskurvor för mätningarna i y-led 24

(6)

4 Introduktion och bakgrund

4.1 Uppdragsbeskrivning och syfte

Med ökad tillgång till allt snabbare och kraftfullare datorer har simuleringar blivit ett vanligt sätt att testa system och komponenter under utvecklingsfasen eller som ett komplement till fysiska tester på färdiga prototyper eller delar i produktion. Det kräver dock att modellen i simuleringen uppvisar ett beteende som är tillräckligt likt verkligheten för att den ska ge tillförlitliga resultat. Därför krävs ofta ett iterativt arbete mellan modellering och provning innan resultaten är användbara i praktiken. I den här rapporten görs en ansats till att skapa ett enkelt, linjärt element för att använda i simuleringar och som ska stämma överens med mätdata från provningar på ett par verkliga gummibussningar. Det ska ha sex frihetsgrader: tre translation och tre rotation. Här fokuseras på hur gummibussningarna överför krafter; deras dämpande egenskaper och olinjära beteende bortses från.

Det här introduktionskapitlet kommer kort att ta upp den matematiska metod som ligger till grund för projektet samt hur den kombineras med andra simuleringsmetoder. Därpå behandlas gummi och dess specifika egenskaper och varför det är så svårt att modellera korrekt.

4.2 FEM och flerkroppssimulering

Finita elementmetoden (FEM) är en metod som används för att ge en matema- tisk beskrivning av de elastiska, och där det är möjligt, plastiska egenskaperna i mekaniska system, där massa och elasticitet är kontinuerligt distribuerade i en kropp. Modellen består av allt från ett till flera tusen finita element med enkel geometri och som kan deformeras enligt specifika matematiska villkor. Metoden används huvudsakligen för att undersöka yttre krafters påverkan på deformation och spänningsfördelning i kroppen. [1]

Varje element kan beskrivas med en matris, vars storlek beror på elementets frihetsgrader och vars innehåll beskriver materialets styvhet. Den beskrivning som söks här är ett tvånodigt, tredimensionellt FEM-element med två noder och sex frihetsgrader i varje nod. Tre för translation och tre för rotation. Det representeras därmed av en 12x12-matris som beskriver dess styvhet.

Sambandet mellan kraft, styvhet och deformation uttrycks här på matrisform som

Kδ = F (1)

där K är styvheten, δ är förskjutningarna och F är krafterna som läggs på i de olika frihetsgraderna.

Flerkroppssimulering används för att beskriva hela system av kroppar som huvudsakligen är stela och anslutna till varandra med lager och leder. Ett flerkroppssystem består vanligtvis av stela kroppar med massa som utsätts för koncentrerade krafter och moment i diskreta punkter. Elasticitet och dämp- ning representeras av masslösa element. Flerkroppssystem är lämpliga för kom- plexa modeller som ska beskriva fordonsdynamik, men det går även att skapa en modell som använder sig av FEM. Det går även att kombinera FEM och flerkroppsmodellering i hybridsystem med både stela och elastiska kroppar.[1]

(7)

Med hjälp av en FEM-modell kan alltså en komponent eller ett helt system modelleras och testas, och förenklingar behövs om inte beräkningarna ska bli alltför krävande. Vissa komponenter är viktigare och vissa komponentegenskaper är mer intressanta än andra, beroende på vad man är ute efter. En och samma komponent kan modelleras med ett enda element eller med flera tusen beroende på om man vill titta noggrant på just den delens deformationer eller om den bara ska fungera som knutpunkt i ett större system.

4.2.1 Gummis materialegenskaper

Gummi som råmaterial är en naturlig eller syntetisk elastisk polymer, även kallad elastomer, och utgör basen i gummiprodukter. Det är uppbyggt av långa polymerkedjor vars oordning ger gummi dess karakteristiska egenskaper. Gummi kan deformeras avsevärt under mekanisk belastning, men återgår snabbt till nära nog sin ursprungliga form när belastningen upphör. Det består vanligtvis av en kombination av material, och i de flesta är en del av de långa kedjorna av grundpolymeren tvärbundna med antingen kemiska eller fysiska länkar.[2] För att öka styrkan och styvheten i gummimaterialet används fyllnadsmedel som till exempel kimrök, vilket starkt påverkar flera av gummits egenskaper.

Det finns olika sätt att mäta materialegenskaperna hos gummi. Bland annat klassificerar man gummi efter dess hårdhet som mäts i till exempel Sh. Beteck- ningen står för gummits Shore-värde som anges på en skala från 1-100 i olika klasser. Shoreprovning är en mätmetod som går ut på att ett trycktest görs mot ytan på gummimaterialet.[3] Även om fyllnadsmaterial gör gummit styvare så kan olika sorters gummi, med samma Shore-värde, innehålla olika mycket fyll- ning eftersom andra parametrar också påverkar hårdheten.[4] Eftersom mängden fyllnadsmaterial påverkar materialegenskaperna som ger styvheten går det alltså inte att ta fram styvheten enbart ur hårdhetsvärdet.

Gummi har ett antal specifika materialegenskaper som påverkar dess beteende, och en beskrivning av några av dem ges nedan. Vissa av dem är dessutom tydligare eller förekommer endast i fyllda gummin.

4.2.2 Olinjärt beteende

Gummi beter sig till stora delar elastiskt olinjärt. Att ett material är olinjärt innebär att en ökning av last inte ger en proportionell ökning av deformation.

Man kan alltså inte förutspå materialresponsen med hjälp av Hookes-lag. An- ledningen till att gummi är olinjärt beror på två saker:

1. Nätverket med polymerkedjor som gummi består av har en olinjär styvhet.

2. I fyllt gummi så interagerar fyllnadsmedlet, som ligger inblandat i gummit, med polymerkedjorna och ger därmed olinjära fenomen.

Dessutom är båda dessa starkt temperaturberoende, framför allt vid lägre töjningsnivåer (under 1 % töjning).[5]

4.2.3 Hysteres och dämpning

Gummimaterial används ofta i just bussningar, isolatorer och dämpare på grund av sina dämpande egenskaper. Detta sker genom att gummi överför energi till

(8)

Figur 1: (a) Ett rent linjärt system utan fasförskjutning (ingen dämpning), (b) ett linjärt viskoelastiskt beteende (ett dämpat system) och (c) generell form för gummi

värme genom inre friktion och dämpning uppstår. Genom att tillsätta fyllmedel i gummiblandningen ökar dämpningen.[6]

Det här kan man se genom att spänning och töjning registreras kontinuerligt medan en kropp belastas cykliskt under sin brottgräns. Linjär dynamik karak- teriseras av en sinusformad respons på sinusformad excitation. Responsen har samma frekvens, och är systemet dämpat så är den förskjuten med fasvinkeln ϕ. Figur 1 visar skillnaden mellan odämpat, dämpat linjärt och dämpat olinjärt system: (a) är ett rent linjärt system utan fasförskjutning (ingen dämpning), (b) visar ett linjärt viskoelastiskt beteende (ett dämpat system) vilket karak- teriseras av en ren ellips. (c) visar en mer generell form för just gummi där olinjäriteten i materialet visar sig som en förvridning från ellipsformen.

I det dämpade systemet ligger återgångskurvan hela tiden under töjnings- kurvan. Det har alltså gått åt mer arbete att töja gummit än vad som fås tillbaka vid avlastningen. Skillnaden utgörs av en energiförlust och den inne- slutna ytan mellan pålastnings- och avlastningskurvorna motsvarar den energi som omvandlats till värme. Fenomenet kallas hysteres.[4]

Eftersom hysteresen resulterar i en värmegenerering så kan ett gummi som utsätts för en snabb pulserande belastning brytas ner på grund av upphett- ningen. Den elastiska töjbarheten hos ett gummimaterial är beroende av tem- peraturen och den ökar, och hårdheten minskar, när materialet värms upp. På samma sätt ökar hårdheten och elasticiteten minskar vid låga temperaturer. Vid tillräckligt låga temperaturer blir gummi stelt och sprött.[4]

4.2.4 Frekvens- och amplitudberoende

Hastigheten på belastningscyklerna och storleken på töjningarna har stor in- verkan på gummits styvhet och de är dessutom starkt sammankopplade med varandra. Mängden fyllnadsmedel i gummit påverkar också frekvens- och amplitudberoendet.

För små töjningar kan frekvensberoendet vara mycket stort och vid amplituder nära 0 % kan styvhetsökningen vara fem gånger så stor som vid töjning- samplituder kring 10 % för ett frekvensspann på 0,1–75 Hz. På grund av att små töjningar är så starkt frekvensberoende behövs avancerade modeller för att kunna räkna på gummi vid högfrekventa vibrationer. [7, 8]

Gummi uppvisar även en olinjär spänning-töjningsrelation för töjning i in- tervallet 20–500 % och olinjära egenskaper för små till mellanstora töjningar

(9)

Figur 2: Styvhetens amplitud- och frekvensberoende hos gummi. Från Consti- tutive modelling of the amplitude and frequency dependency [10]

Figur 3: Amplitudberoende hos gummi. Från Modelling non-linear dynamics of rubber bushings[11]. Plotten till vänster visar ett gummi med lite fyllmedel och den till höger ett med mycket fyllmedel.

– upp till ungefär 5 % komponenttöjning – på grund av materialbeteende där små cykliska deformationer resulterar i ökad styvhet jämfört med det vid stor cyklisk deformation.[9]

Det här starkt sammankopplade beroendet av amplitud och frekvens innebär att approximationen av styvheten inom ett visst frekvensområde kommer att vara sämre vid små amplituder.

Figur 2 och 3 visar hur styvhetsökningen för gummi vid ökande frekvens är liten för större töjningsnivåer och ner till en viss gräns har den en nära nog linjär trendlinje i en logaritmisk plot. Det gör att om styvheten uppmäts vid samma amplitud för olika frekvenser så kan den extrapoleras ganska långt från mätområdet eftersom ökningen i styvhet mellan 0,1 Hz och 1 Hz är ungefär lika stor som ökningen mellan 1 Hz och 10 Hz, och ökningen från 10 Hz till 100 Hz.

Den här trenden gäller bara då amplituden är tillräckligt stor.[10, 11]

(10)

4.3 Modellering av gummi och gummibussningar

Eftersom gummi ändå är ett relativt vanligt konstruktionsmaterial har många försök gjorts för att modellera det så rättvisande som möjligt, men på grund av alla ovanstående egenskaper är det svårt. Några av de vanligaste modellerna är Yeoh, Ogden och Neo-Hookean.[12] De är modeller som finns inbyggda i många kommersiella FEM-program som till exempel ANSYS och där möjlighe- ten finns att mata in mätdata från materialprovningar och anpassa den efter någon av modellerna för att kunna använda i simuleringar. Eftersom standar- diserade materialprov saknas i det här fallet, utan endast mätningar gjorda på en hel komponent finns, kan inte dessa modeller användas.

Det finns fler modeller för hur gummi ska modelleras som tar hänsyn till olika aspekter av materialegenskaperna, men ju noggrannare de är desto mer beräkningskraft kräver de och är mer aktuella när det är själva gummidetaljen som ska studeras.

(11)

Figur 4: Skiss av mätuppställningen till vänster. Förenklad geometri till höger.

Cirklarna är gummibussningarna sedda från sidan. De är sitter fast i en skena och mellan dem ligger en aluminiumbalk som kopplar samman dem.

5 Material och metod

5.1 Komponentprovningen

Scanias testlabb har utfört provningar på gummibussningar i hårdheterna SH60 och SH80. Mätning av gummibussningarnas deformation gjordes i följande be- lastningsriktningar, translation i x-, y- och z-led samt rotation kring z-axeln.

Mätningen har utförts med växlande last. Olika belastningshastigheter har an- vänts för att om möjligt beskriva styvhetens hastighetsberoende, från statisk last till den högsta frekvens provuppställningen klarar.

Mätobjektet består av två likadana gummibussningar i en rigg och kraften F som läggs på fördelas jämnt mellan dem (se Figur 4). Geometrin kring bussningarna har även förenklats enligt Figur 4. Det gör att deformationen i z-led kan användas för att räkna ut en radiell styvhet. Kraften angriper bussningarna mitt på varpå problemet går att reducera till att titta på en halv bussning som kan ses som en liten balk, fast inspänd i ena änden och med alla krafter pålagda i den andra. Kraften som angriper den kommer alltså att vara en fjärdedel av den som läggs på systemet vilket inses vid en enkel jämviktsbetraktelse. I Figur 5 finns riktningarna markerade på halva bussningen.

5.1.1 Translation i x-led

Figur 6 visar hur kraften angriper samt hur deformationen därav ser ut. Kraften läggs på en bit från bussningarna (se även Figur 4) och mätupställningen är sådan att lastvägen ska vara så rak som möjligt för att undvika rotationer och enbart belasta i en frihetsgrad.

Den uppmätta deformationen ∆ som mäts en bit utanför bussningarna är

(12)

Figur 5: Riktningarna. Gummibussningen är fast inspänd till vänster. Kraften angriper till höger, vilket är mitten på den verkliga bussningen.

Figur 6: Translation i x-led och deformation vid translation i x-led.

(13)

Figur 7: Translation i y- och z-led och deformation vid translation i y- och z-led.

Figur 8: Rotation kring z-axeln och deformation vid rotation kring z-axeln.

densamma som den i gummibussningen, det vill säga δ. Kraften F_xpå objektet är en fjärdedel av den uppmätta. Reaktionskraften R_xvid infästningen blir lika stor som F_x.

5.1.2 Translation i y- och z-led

På grund av symmetrin i bussningen så används samma värden för y och z och kommer från mätningarna i z-led. Resultaten kommer att betraktas som en radiell styvhet. Figur 7 visar hur kraften angriper samt hur deformationen därav ser ut.

Mätningen är uppställd så att den uppmätta deformationen ∆ är förskjut- ningen δ på gummibussningen. Kraften F_z(och F_y) på objektet är som tidigare en fjärdedel av den uppmätta. Reaktionskraften R_z vid infästningen blir lika stor som F_z(och samma sak för y).

5.1.3 Rotation kring z

Figur 8 visar hur momentet kring z-axeln samt deformationen därav ser ut.

Kraften F som angriper en bit från själva bussningen, ger ett moment Mzz. Lastvägen benämns L. Deformationen ∆ är uppmätt vid kraftangreppspunkten och ger, tillsammans med bussningens mått, vinkeländringen

(14)

θ = sin⁻¹(∆

L) = sin⁻¹(δ

L) (2)

På samma sätt som beskrivet ovan kommer en fjärdedel av kraften ge upphov till momentet i gummibussningen. Reaktionsmomentet M_Rz vid infästningen blir lika stort som Mzz.

5.2 FEM-elementet

För att förenkla gummibussningen valdes ett 2-nodigt 3-dimensionellt element, närmast att betrakta som ett balkelement. Det har styvheter i 6 frihetsgrader i varje nod, 3 translation och 3 rotation, och uppfyller därmed kravet för det linjära FEM-element som skulle skapas. Elementets längd motsvarar halva bussningens, så att dess ena nod hamnar mitt på bussningen där kraftangrepp och förskjutningarna är uppmätta i experimenten. Den andra noden betraktas som fix eftersom bussningen kan anses fast inspänd i sina ytterändar på grund av den omkringliggande strukturens styvhet i jämförelse med bussningens.

FEM-ekvationen lyder Kδ = F, där K är matrisen som representerar elementet. Med värden på F och δ från mätningar uppställda i vektorform så finns det ett väldigt stort antal lösningar för matrisen K, men eftersom varje te- stuppställning mätt bara en frihetsgrad i taget kan matrisen byggas med enbart diagonalelement, knnsom räknats fram separat från varje mätning, se Ekvation 3. Translationsstyvheterna i x, y och z är k11− k33 och rotationsstyvhetena kring x, y och z är k44− k66.

k =







k11 0 0 0 0 0

0 k22 0 0 0 0

0 0 k₃₃ 0 0 0

0 0 0 k₄₄ 0 0

0 0 0 0 k₅₅ 0

0 0 0 0 0 k₆₆







(3)

I detta fall gäller för gummibussningarna att k22 = k₃₃ och k55 = k₆₆ på grund av symmetri. Delarna i den totala styvhetsmatrisen K är:

K = k −k

−k k

(4)

5.3 Styvheterna

Styvheten i materialet eller komponenten är lutningen på en kurva där y-axeln anger kraften och där x-axeln anger deformationen, se Figur 9.

Ett sätt att ta fram styvheten för gummi ur den här sortens data vore att ta ett medelvärde på lutningarna mellan belastningscyklerna [13] enligt:

k = 1 n

n

X

j=1

fmax,j− fmin,j

x_max,j− x_min,j (5)

Principen förenklades ytterligare och approximation av bussningens styvhet ges av lutningen på den räta linje som går genom kurvans största och minsta värde sett över alla lastcykler:

(15)

Figur 9: Från Rubber component vibrations: frequency and amplitude dependence [13] visar kopplingen mellan kraft- och deformationssignalerna och hystereskurvan.

k = f_max,j− fmin,j

xmax,j− xmin,j

(6) Hystereskurvorna i Figur 10-15 visar hur bussningarna har svarat på kraften som lagts på. Bussningens styvhet har approximerats med lutningen på den räta linje som går genom kurvans största och minsta värde och är markerad med en röd linje i figurerna. Som kan ses i figurerna borde styvheten inte nämnvärt avvika från det värde som skulle fåtts med Ekvation 5.

-4 -2 0 2 4 6 8 10

vridningen [grader]

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

momentet [Nm]

Figur 10: Styvheten vid rotation kring z-axeln för SH80 vid 0,3 Hz.

(16)

3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4

deformationen [m] ^×10^-3

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(a) 0,9 Hz

3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(b) 3 Hz Figur 11: Styvheten vid translation i x-led för SH80

3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(a) 0,9 Hz

3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(b) 3 Hz

3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(c) 9,8 Hz

Figur 12: Styvheten vid translation i z-led för SH80

(17)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

vridningen [grader]

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

momentet [Nm]

Figur 13: Styvheten vid rotation kring z-axeln för SH60 vid 0,3 Hz.

1 2 3 4 5 6 7

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(a) 0,9 Hz

1 2 3 4 5 6 7

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(b) 1,9 Hz Figur 14: Styvheten vid translation i x-led för SH60

(18)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(a) 0,9 Hz

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(b) 3 Hz

0 1 2 3 4 5 6

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(c) 5,2 Hz

Figur 15: Styvheten vid translation i z-led för SH60

Styvheterna som räknats fram ur mätningarna ger k11för translation i x-led, k33för translation i z-led och k66för rotation kring z-axeln. Eftersom bussningen är symmetrisk ges k22 som är translation i y-led och k55 som är rotation kring y-axeln av mätningarna kring z. Styvheten i rotation kring x-axeln k₄₄ = 0 eftersom axeln som griper kring bussningen kan rotera fritt på den här ledden.

Styvheten för själva bussningen är alltså inte 0, men systemet har styvhet 0 (utom möjligen lite friktion).

Tabell 1 och 2 visar styvheterna för de olika lastfallen.

(19)

Translation x Translation y Translation z Rotation x Rotation y Rotation z

Frekvens Styvhet Styvhet Styvhet Styvhet

[kN/m] [kN/m] [kN/m] [Nm]

Styvhet Styvhet

[Nm] [Nm]

k11 k22 k33 k44 k55 k66

0,3 0 2,3227 2,3227

0,9 887 815 815 0

3 956 943 943 0

9,8 1266 1266 0

Tabell 1: Styvheterna för SH80

Translation x Translation y Translation z Rotation x Rotation y Rotation z

Frekvens Styvhet Styvhet Styvhet Styvhet

[kN/m] [kN/m] [kN/m] [Nm]

Styvhet Styvhet

[Nm] [Nm]

k11 k22 k33 k44 k55 k66

0,3 0 0,7629 0,7629

0,9 178 214 214 0

1,9 175 0

3 236 236 0

5,2 243 243 0

Tabell 2: Styvheterna för SH60

(20)

Figur 16: Principen för hur modellen fungerar

10-1 100 101 102

frekvens Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

styvhet N/m

#106

SH80 X ca 4% töjning SH80 Z ca 4% töjning SH60 X ca 20% töjning SH60 Z ca 16% töjning

Figur 17: Styvhetsförändringarna och extrapolerade trendlinjer

6 Resultat och analys

Styvheterna som räknats fram ur mätdatan ska passas in i FEM-elementets styvhetsmatris. Eftersom det är ett enda linjärt FEM-element som efterfrågas måste ett mätvärde eller någon form av medelvärde eller uppskattning användas.

Med vetskapen om att gummits egenskaper ändras med frekvens och amplitud och genom att plotta styvheterna mot frekvensen kan man se hur mycket. I rotation finns bara ett mätvärde vilket innebär att det inte går att göra någon förutsägelse för hur styvheten kommer att ändras.

Det värde som väljs att sättas in i matrisen kommer att fungera enligt Figur 16. Det vill säga, ju brantare lutning kurvan har desto mindre frekvensområde kommer styvheten att gälla inom. De faktiska värdena ger Figur 17.

Som synes i Figur 17 är styvhetsökningen mycket större för det hårdare gummit SH80 som utsätts för lägre töjningsnivåer än för SH60 som utsätts för högre töjningsnivåer. Som nämnts är mätningarna gjorda på en komponent, inte

(21)

ett material, och bussningarna består inte alltigenom av gummi, men den största delen gör det. Om antagandet görs att den del av bussningen som inte är i gummi dessutom beter sig linjärt och inte är frekvensberoende och amplitudberoende i samma utsträckning som gummi, så kommer den delen visserligen att påverka styvheten, men inte styvhetsökningen. Med så här få mätvärden är det svårt att göra en tillförlitlig förutsägelse och man kan även se att styvheten minskar svagt för ett av fallen vilket den inte borde göra.

Det visar sig alltså att det som påverkar modellen mest är amplituden med vilken bussningen belastas. För att tillförlitlighet ska kunna uppnås behöver belastningarna vid mätningarna motsvara de som bussningen kommer att ut- sättas för i drift. Då kan felet för varierande frekvens uppskattas närmare och är amplituderna stora kommer det att bli litet. Det linjära elementet kommer alltså att stämma bättre för den mjukare bussningen där töjningarna vid de olika mätningarna ligger närmare varandra i storlek än vad de gör för den hårdare bussningen vilket syns i Tabell 3 och 4. (Se Appendix 1 för beräkning av töjning- arna). Det gäller även över ett större frekvensspann eftersom styvhetsökningen är mindre vid högre amplituder.

Töjningsberäkningarna visar även att amplituden för SH80 är långt ifrån konstant vid translation i z-led vilket gör att den trendlinjen är mycket missvi- sande.

(22)

Translation x Translation Rotation y och z y och z

Frekvens εx εy,εz γy,γz

0,3 0,161601

0,9 0,0384 0,0418

3 0,0357 0,0365

9,8 0,0270

Tabell 3: Töjningarna för SH80

Translation x Translation Rotation y och z y och z

Frekvens εx εy,εz γy,γz

0,3 0,198498

0,9 0,1929 0,1571

1,9 0,1857

3 0,1429

5,2 0,1143

(23)

7 Diskussion och kommentarer

7.1 Felkällor

• Det visade sig vid analys av testdatan att de uppmätta värdena för translation i y- och z-led avvek avsevärt från varandra, trots att gummibussningarna är symmetriska. En närmare genomgång av provuppställningarna pekar på att det som egentligen mäts som translation i y-led är huvudsakligen styvheten hos aluminiumstången som ligger mellan bussningarna, snarare än styvheten hos själva bussningarna. Mätvärdena för translation i z-led används därför även i y-led.

• På samma sätt som för translation i y-led används mätdata för rotation kring z-axeln för rotation kring y-axeln på grund av symmetri.

• Det finns endast mätningar vid en frekvens för rotation kring z-axeln.

• Det finns inga mätningar för rotation kring x-axeln och systemet som undersökts kan röra sig fritt kring den axeln (även om det kanske finns lite friktion). Bussningen har styvhet i den här riktningen, men systemet har det inte.

• Passningen för den mjukare bussningen SH60 var inte så bra, det glappade när den monterades i mätriggen, vilket antagligen har introducerat mätfel.

• I det här arbetet har ingen hänsyn tagits till eventuell påverkan av värme, utan gummit förutsätts jobba under konstant temperatur. Skulle vidare tester göras, och vid högre frekvenser och fler belastningscykler kan det vara något som behöver beaktas.

• Hur den del som inte består av gummi beter sig på är okänt, men antagandet om att den är linjärelastisk har gjorts. Samt att den inte är frekvens- och amplitudberoende som gummi.

7.2 Diskussion kring metod, förenklingar och resultat

7.2.1 Förenklingar av geometrin

Formen på aluminiumbalken som förenar bussningarna har förenklats (se Fi- gur 4). Eftersom det sitter ett stöd intill balken vid mätningar i z-led för att inte balken ska trilla ur bussningarna så hindras även rotation och skillnaden mellan att försöka lösa upp problemet och behandla bussningarna var för sig i infästningar som är något vinklade i förhållande till varandra torde bli liten.

Balken griper dessutom inte kring hela bussningen men problemet har be- handlats som om kraften är densamma över mitten på bussningen.

7.2.2 Mätningarna i y-led

När hystereskurvorna i y-led jämfördes med de i z-led för samma frekvens och hårdhet så avvek de avsevärt från de senare, både i form och styvhet.

Jämför kurvorna i Figur 18 där y har väldigt lite hysteres och dessutom har signifikant lägre styvhet. I det här lastfallet läggs kraften på mitten av själva balken som är ganska lång och smal. En överslagsberäkning med balkens

(24)

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

kraften [N]

(a) SH60 i y-led vid 3 Hz

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(b) SH60 i z-led vid 3 Hz

3.5 4 4.5 5 5.5

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

kraften [N]

(c) SH80 i y-led vid 3 Hz

3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

kraften [N]

(d) SH80 i z-led vid 3 Hz

Figur 18: Styvheterna vid 3 Hz för mätningarna i y- och z-led. De övre med SH60 och de undre med SH80.

(25)

tröghetsmoment approximerat som för en rektangel ger en styvhet som ligger närmare, men aningen högre än, den som kan avläsas i plotten. Och då balken är urfräst så är styvheten lägre än så. Det verkar som att det som mäts här i stor utsträckning är balkens styvhet och inte bussningarnas. Det kan också ses i Tabell 5 med styvheterna för SH80 vid mätningar i y- och z-led att styvheten i y förändras knappt med de olika frekvenserna vilket även det styrker slutsatsen att det till stor del inte är gummit som mätts. Se även Appendix 2 för alla hystereskurvor i y-led.

Frekvens Styvhet i y [kN/m] Styvhet i z [kN/m]

0,9 273 815

3 273 943

9,8 266 1266

7.2.3 Endast ett mätvärde i rotation finns

Eftersom endast ett mätvärde i rotation finns går det inte att dra några slut- satser alls om hur styvhetsökningen ser ut vid den frihetsgraden.

7.2.4 Väldigt lite mätdata finns

Det är svårt att tillförlitligt se hur styvheten förändras då det finns så få mät- värden som två eller tre stycken för samma lastfall. Principen för trenden i Figur 16 borde vara korrekt, men de faktiska värdena som extrapoleras blir väldigt skissartade.

7.2.5 Diagonalelement i styvhetsmatrisen som är 0

Som nämnts är element k44 = 0. Det beror på att axeln som griper tag runt bussningen kan rotera fritt bortsett från lite friktion, och bussningen kommer därför inte själv att deformeras runt x-axeln.

De flesta FEM-program har svårt att hantera en styvhetsmatris som in- nehåller 0 i diagonalen och risken är att de kraschar. Man kan komma runt problemet genom att sätta k44 till ett mycket litet tal, t.ex. till 1/1000 av de andra rotationsstyvheterna, på detta sätt kraschar inte FEM-analysen och k44

är tillräckligt litet för att inte påverka resultatet något märkbart.

7.2.6 Kan styvheterna räknas ut på något annat sätt?

Ur varje mätning togs endast ett värde på styvheten fram och approximationen av styvheten som valdes togs fram genom lutningen på den räta linje som skär mätningarnas största och minsta värde. Det finns däremot fler sätt på vilka styvheten skulle kunna approximeras. Till exempel skulle man kunna titta på lutningen hos ett av de brantare eller flackare partierna i hystereskurvan, därmed fås antingen ett mycket högre eller lägre styvhetsvärde än det som användes.

Detta skulle innebära mycket sämre approximationer i helhet förutom för de partierna i hystereskurvan där styvheten har just de högsta och minsta värdena.

Ett annat sätt skulle kunna vara att titta på om hystereskurvan har långa

(26)

partier med linjärt beteende och använda styvheten där. En tredje variant skulle kunna vara att gå mellan noll och max- respektive minpunkten och se hur de lutningarna ser ut.

7.2.7 Kan man välja värdena till matrisen på något annat sätt?

Den matris som tagits fram innehåller endast diagonalelement eftersom mät- ningarna var gjorda på så rena lastfall. Men med de värden som uppmättes på kraft och deformation kan givetvis ge en mängd olika lösningar på styvhetsma- trisens utseende. För att de ska stämma även vid andra kraftpålägg så behöver de kombineras med en materialmodell. Fler provningar, framför allt rena materialprovningar av gummit i bussningen, skulle kunna ge en sådan modell istället.

7.2.8 Materialprovning kontra komponentprovning

Gummibussningen som modellerats består visserligen huvudsakligen av gummi, men det finns även en kärna som bland annat består av den skruv eller sprint som håller fast den, och som går rakt genom bussningen i x-led. Eftersom mät- ningarna är gjorda på hela bussningen – inte gummit – och eftersom det är hela bussningen som ska modelleras med ett enda FEM-element så kommer den här delen att spela in i styvheten och gör att en ren materialprovning av gummit inte hade räckt för att ta fram den önskade modellen.

7.2.9 Amplitudberoendet hos gummi

Amplitudberoendet hos gummi är så stort att modellen fungerar dåligt då frekvens- och amplitudberoende inte hållits åtskilda under mätningarna. För att styvhetsmätningar mellan 1–10 Hz ska kunna extrapoleras till att få fram styvheten vid till exempel 30 Hz behöver mätningarna göras vid konstant amplitud.

På samma sätt skulle mätningar vid konstant frekvens men varierad amplitud också hjälpa till att ringa in styvhetsbeteendet hos komponenten och kunna ge en bättre bedömning av hur stort felet blir vid körning med elementet.

En idé är att ta reda på vilka amplituder som bussningen faktiskt utsätts för genom att titta på den omkringliggande geometri som inte finns med i mätupp- ställningen, men i verkligheten.

(27)

8 Referenser

[1] Dieter Schramm. Vehicle Dynamics : Modeling and Simulation (1), volume 9783540360452. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, July 2014.

[2] Rubber — vocabulary. Standard, International Organization for Standar- dization TC45, 2012.

[3] Standard test method for rubber property—2014; durometer hardness.

Standard, ASTM International, 2015.

[4] Konstruera i gummi. Plast- och gummitekniska institutet (PGI); Sveriges mekanförbundet (Mekan), Värnamo : Stockholm, 1986.

[5] Mattias Sjöberg. On dynamic properties of rubber isolators. Trita-FKT, 2002:39. Stockholm, 2002.

[6] P.E Austrell. Konstruktionsberäkningar för gummikomponenter. TVSM- 00/7131. Lund, 2000.

[7] Martin Rendek and Alexander Lion. Amplitude dependence of filler- reinforced rubber: Experiments, constitutive modelling and fem - imple- mentation. International Journal of Solids and Structures, 47(21), October 2010.

[8] Wenbo Luo, Xiaoling Hu, Chuhong Wang, and Qifu Li. Frequency- and strain-amplitude-dependent dynamical mechanical properties and hystere- sis loss of cb-filled vulcanized natural rubber. International Journal of Mechanical Sciences, 52(2):168–174, 2010.

[9] P.K. Freakley and A.R. Payne. Theory and Practice of Engineering with Rubber. Applied Science Publishers, 1978.

[10] Rickard Österlöf, Henrik Wentzel, Leif Kari, Nico Diercks, and Daniel Wollscheid. Constitutive modelling of the amplitude and frequency dependency of filled elastomers utilizing a modified boundary surface model.

International Journal of Solids and Structures, 51(19-20):3431–3438, Octo- ber 2014.

[11] F. Karlsson and A. Persson. Modelling Non-linear Dynamics of Rubber Bushings: Parameter Identification and Validation: Master’s Dissertation.

Report TVSM. Division of Structural Mechanics, LTH, 2003.

[12] P.E Austrell. Modeling of elasticity and damping for filled elastomers. Re- port TVSM-1009. Lund, 1997.

[13] Mattias Sjöberg. Rubber component vibrations : frequency and amplitude dependence. Trita-FKT 0056. Stockholm, 2000.

(28)

9 Appendix 1 – Mått och töjningar

Objektets (d v s halva bussningen) mått:

Längd: l = 14 mm Radie: r = 20 mm

9.1 Translation x

Töjningen är ε = ^δ_l

Största deformationen för SH80: 5.4 mm 5, 4

14 = 0, 0386 ≈ 3, 9%

14 = 0, 1928 ≈ 19, 3%

9.2 Translation y och z

Skjuvningen är γ = ^δ_l

Största deformationen för SH80: 0,6 mm 0, 6

14 = 0, 0428 ≈ 4, 3%

14 = 0, 1571 ≈ 15, 7%

9.3 Rotation kring y och z

Rotation för SH80: θ = 6, 439 Deformationen:

r · tan(θ) = 20 · tan(6, 439) ≈ 2, 26 Töjningen:

2, 26

14 = 0, 161 ≈ 16%

Rotation för SH60: θ = 7, 9105 Deformationen:

r · tan(θ) = 20 · tan(7, 9105) ≈ 2, 78 Töjningen:

2, 78

14 = 0, 198 ≈ 20%

(29)

10 Appendix 2 – Hystereskurvor för mätningar- na i y-led

3.5 4 4.5 5 5.5

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

kraften [N]

(a) 0,9 Hz

3.5 4 4.5 5 5.5

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

kraften [N]

(b) 3 Hz

3.5 4 4.5 5 5.5

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

kraften [N]

(c) 9,8 Hz

Figur 19: Styvheten vid translation i y-led för SH80

(30)

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

kraften [N]

(a) 0,9 Hz

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

kraften [N]

(b) 3 Hz

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

kraften [N]

(c) 9,8 Hz

Figur 20: Styvheten vid translation i y-led för SH60

(31)