1
Repetition
mb9
2
Medelvärde
Medelvärdet är summan av alla
observationer dividerat med deras antal.
n x = ∑ x
i8732+8521+8385+8316+8246+8223+8087+8068+8042 = 74620 74620
9 = 8291
3
Medianen är den mittersta observationen.
Eller medelvärdet av de två mittersta observationerna (jämnt antal)
Median
8316 + 8246
2 = 8281
= 8246
4
Standardavvikelse
Varians (s
2)
( )
n x
s xi
−
2= Σ
( )
n x s xi
2
2
= Σ −
Normerat värde
Samma sak för poängen 881 - 870
55,5 = 0,20 832 - 697,5
75,4 = 1,78 48,59 - 48,84
1,17 = -0,21 256,99 - 277,59 11,9 = -1,73
Ger ”samma” svar.
avvikelse från medelvärde standardavvikelsen normerat värde =
s x z = x −
Frekvens
Resultat Frekvens
5,3 1
5 2
4,9 2
4,8 5
4,7 2
4,6 1
4,5 2
4,2 1
Stavresultat
0 1 2 3 4 5 6
5,3 5 4,9 4,8 4,7 4,6 4,5 4,2
Höjd (m)
Antal
7
Medelvärde och s
Resultat Frekvens
5,3 1
5 2
4,9 2
4,8 5
4,7 2
4,6 1
4,5 2
4,2 1
( )
n x
s xi
−
2= Σ
n x = ∑ x
in x x = ∑ f
i⋅
i( )
n x x s fi i
−
2⋅
= Σ
8
Klassindelning (400 m)
1 TUN 47,04
2 USA 47,78
3 EST 48,58
4 CZE 48,62
5 FRA 48,63
6 USA 48,65
7 BEL 49,04
8 HUN 49,29
9 GER 49,42
10 ESP 49,71
11 USA 50,21
12 FIN 50,29
13 CZE 50,34
14 NED 50,45
15 RUS 50,46
16 RUS 50,58
17 AUT 50,81
18 RUS 51,11
19 EST 51,44
Klass Frekvens
47-48 2
48-49 4
49-50 4
50-51 7
51-52 2
Summa 19
Rel. F
2/19 =11%
4/19 =21 % 21 % 37 % 11 %
Verkliga klasser 47-48 är 46,995-47,995
400 m
0 % 10 % 20 % 30 % 40 %
47-48 48-49 49-50 50-51 51-52 tid (s)
Relativ frekvens
9
Medelvärde
n x x = ∑ f
i⋅
iKlass Frekvens 47-48 2 48-49 4 49-50 4 50-51 7 51-52 2 Summa 19
Rel. F 11%
21 % 21 % 37 % 11 %
n klassmitt x = ∑ f
i⋅
i100 . f
ix
ix = ∑ R ⋅
Egentligen ska verkliga klasser
användas 46,995+47,995
2 10
Kumulerad frekvens
Klass Frekvens 47-48 2 48-49 4 49-50 4 50-51 7 51-52 2 Summa 19
Rel. F 11%
21 % 21 % 37 % 11 %
Kum. F 2 6 10 17 19
Kum. R. F 11 % 32 % 53 % 89 % 100 %
Median Undre kvartilen Övre kvartilen
11
Summapolygon
• Summapolygonen anger hur stor del av observationerna som är under ett visst värde.
• Dessa observationsvärden kallas fraktiler.
• Den gräns för vilket hälften av
observationerna är under kallas median
• 25% och 75% gränserna kallas kvartiler
12
Korrelationskoefficienten
R≈1
R>0 R≈0 R<0
R≈-1 Linjens
ekvation y = a·x+b y
x
y
x
13
Korstabell
Sve8 Eng98 9
9 9
8 8
9 10
8 10
8 8
9 9
9 9
9 10
8 10
8 8
9 8
8 10
8 8
7 8
9 9
8 9
7 8
7 7
8 9
Eng
10 3 2
9 4 4
8 1 4 1
7 2
7 8 9 10
sve
14
Sannolikhet
• Sannolikheten att slå en sexa.
• Sannolikheten att slå minst en femma
Sannolikheten för händelse =antalet gynnsamma utfall totala antalet utfall P(6) = 1
6 = 0,17 P(minst 5) = 2
6 = 0,33
15
Komplementhändelse
• Sannolikheten att föda en flicka?
• 0,488
• Sannolikhet att föda en pojke
• 1-0,488 = 0,512
Summan av sannolikheten för händelse A och dess komplementhändelse A är 1 P(A) + P(A) = 1
d.v.s P(A) = 1-P(A)
16
Sannolikheten för att både händelse A och händelse B inträffar är produkten
P(A och B) = P(A) ⋅ P(B)
Multiplikationsregeln
• Sannolikhet att föda en pojke på en söndag
0,512
0,5*1/7 =0,071
• Sannolikhet att först kasta en 5:a och sedan en 6:a ?
Sannolikheten för att endera händelse A eller händelse B inträffar är summan
P(A eller B) = P(A) + P(B)
Additionsregeln
Sannolikheten att slå minst en femma (5:a eller 6:a)
Sannolikheten att slå en udda eller en 6:a
3/6+1/6 = 4/6
Sannolikhet att först kasta en 5:a och sedan en 6:a ?
1/6+1/6 = 2/6
Betingad sannolikhet
Dra två kort ur en kortpacke;
Vad är sannolikheten att båda är kungar?
Vad är sannolikheten att få par?
Multiplikationsregeln
P(A och B) = P(A) ⋅ P(B förutsatt att A inträffat) Vad är sannolikheten att få färg?
19
Sannolikhetsfördelning
Teoretisk fördelning
0 2 4 6 8 10 12 14
2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Väntevärde 14,0 En stokastisk variabel ger ett värde
åt varje utfall i ett slumpförsök. 20
Exempel 5
Sannolikhet 80% att lyckas med fastighetsaffär.
Vinst 100 000 €
Vid misslyckande förlust 150 000 €
Väntevärdet
0,8 ·100 000 + 0,2 · (-150 000) = 50 000 € Svar: Den förväntade vinsten är 50 000 €
∑
= p
kx
kX
E ( )
21
Sannolikhet att få tre sexor på rad.
1/6 *1/6*1/6
Sannolikheten av få exakt tre sexor av fem?
666xx eller 66x6x, 6x66x, x666x, x66x6, 6x6x6, 66xx6,
6xx66, x6x66, xx666
Vi kan få 3 sexor på 10 olika sätt.
P = 10*(1/6)3*(5/6)2
22
Sannolikheten att ett försök lyckas p Försöket upprepas n gånger
Hur många gånger försöket ska lyckas k
Hur många gånger den stokastiska variabeln ska få det önskade värdet
( )
n kk p
k p k n X
P ⎟⎟⎠⋅ ⋅ − −
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
= ) 1
(
0322 , 6 0 5 6 1 3 ) 5 (
2 3
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛ fem av sexor tre P
Vad är sannolikheten att få 4 sexor av 5?
P(X≤3)?
23
Sannolikheten att ett försök lyckas p Försöket upprepas n gånger
Hur många gånger försöket ska lyckas k
Hur många gånger den stokastiska variabeln ska få det önskade värdet
( )
n kk p
k p k n X
P ⎟⎟⎠⋅ ⋅ − −
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
= ) 1
(
X antalet sexor
Väntevärdet E(X) = n·p
24
Sannolikheten av få exakt tre sexor av fem?
P = 10*(1/6)3*(5/6)2
antalet gånger en viss händelse inträffar då ett försök upprepas flera gånger.
Binomialfördelning
( )
nkk p
k p k n X
P ⎟⎟⎠⋅ ⋅ − −
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
= ) 1
(
25
Kastserie X Sannolikhet
x...x6 k (5/6)k*1/6
X = ”antal omgångar i startrutan”
(
p)
pk X
P( = )= 1− k⋅
Sannolikheten att A inträffar efter k försök, är sannolikheten för A:s komplementhändelse upphöjt i k, multiplicerat med sannolikheten för A
Geometrisk fördelning
26
X = ”antal omgångar i startrutan”
Geometriskfördelning
0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 %
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
(
p)
pk X
P( = )= 1− k⋅
Hur sannolikt är det,
att man står i startrutan högst 9 gånger?
Vad är medianen för den stokastiska variabeln X?
X p Kumulerad
0 17 % 17 %
1 14 % 31 %
2 12 % 42 %
3 10 % 52 %
4 8 % 60 %
5 7 % 67 %
6 6 % 72 %
7 5 % 77 %
8 4 % 81 %
9 3 % 84 %
10 3 % 87 %
11 2 % 89 %
12 2 % 91 %
13 2 % 92 %
14 1 % 94 %
Kumulerad sannolikhet
0,00 % 10,00 % 20,00 % 30,00 % 40,00 % 50,00 % 60,00 % 70,00 % 80,00 % 90,00 % 100,00 %
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
27
X = ”antal omgångar i startrutan”
(
p)
pk X
P( = )= 1− k⋅
(
1)
k11 )
(X≤k = − −p +
P
( )
p X p E( )= 1−
Geometriskfördelning
0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 %
0 12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18
28
Fördelningar
( p) p k
X
P( = )=1− k⋅
p X p
D −
= 1 ) (
( )nk
k p
k p k n X
P ⎟⎟⎠⋅ ⋅ − −
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
= ) 1
(
(
1)
k11 )
(X≤k = − −p + P
( )
p X p E = 1−
) (
Geometrisk fördelning Binomial fördelning
E(X) = n·p
P(X≤k) = P(X=0)+ P(X=1)+…+ P(X=k)
P(X≤k) = P(X=0)+ P(X=1)+…+ P(X=k)
X ~ Geom(p) X ~ Bin(n,p)
) 1 ( )
(X np p
D = −
Sannolikheten att en lampa ska slockna under en vecka är 0,2?
Sannolikheten att lampan brinner efter en vecka 1-0,2 = 0,8
.. efter t veckor 0,8t
.. efter 60 dagar
Exponentialfördelning
Sannolikheten att lampan brinner efter t veckor P(X>t) = 0,8t
.. brinner högst 3 veckor P(X≤3) =
1- P(X>3) = 1- 0,83 ..högst t veckor P(X≤t) = 1- 0,8t
X = ”lampans livslängd”
31
P(X≤t) kallas fördelningsfunktion F(t)
En stokastisk variabel vars fördelningsfunktion har formen F(t) = 1- (1-p)t sägs vara exponentialfördelad
X = ”lampans livslängd”
Sannolikhet att gå sönder p under tiden t
P(X≤t) = F(t) = 1- (1-p)t
32
Standardavvikelse
Toppen på kurvan ligger vid medelvärdet.
68 % av värdena ligger 1 s från medelvärdet
95 % av värdena ligger 2 s från medelvärdet
33
Exempel
Fordonens hastighet är på en plats
normalfördelade med m 55 km/h och s 4 km/h Hur många bilar kör under 60 km/h?
Över 80 %
Hur många s från 55 ligger 60 ? 25
, 4 1
55
60− =
55 51 59
σ μ
= X − Z
34
Normering
25 , 4 1
55 60− =
55 51 59
vikelsen standardav
t medelvärde värdet
värde
normerat = −
Det normerade värdet kan slås upp i en tabell Maol sid 63.
Φ(1,25) = …
Svar:
… % av bilar kör under 60 km/h?
35
Teori
Summan av flera oberoende normalfördelade stokastiska variabler
X1, ~ N(μ, σ) X2, ~ N(μ, σ)
…
Xn~ N(μ, σ)
X1, X2, X2 ,…Xn~ N(nμ, σ)n
36
Konfidensnivå
säkerheten 95 % kallas konfidensnivå motsvarande intervall z= -1.96 till z= 1.96 kallas
konfidensintervall signifikansnivå 0.05
95 %
2,5 % 2,5 %
9750 φ(1.96) = 9750
